Математическое моделирование стационарных магнитных полей на основе метода ортогональных проекций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Шапошников, Кирилл Сергеевич

• Шапошников, Кирилл Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шапошников, Кирилл Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Метод ортогональных проекций в задаче дифракции стационарного магнитного поля

1.1 Расчёт магнитной реакции массивных намагничиваемых тел

1.1.1 Постановка задачи. Исходные положения. Краевая задача для расчёта магнитного поля.

1.1.2 Обобщённая постановка. Задача ортогонального проектирования. Исследование задачи.

1.2 Особенности расчёта магнитной реакции тонких намагничивающихся оболочек.

Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. Случай поверхности с идеальными магнитными свойствами

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Физическая постановка. Идеализации и допущения.

2.1.2 Краевая задача для расчёта магнитного поля

2.1.3 Обобщённая постановка краевой задачи.

2.2 Модель метода ортогональных проекций.

2.3 Численное решение задачи. Выбор координатных функций.

2.4 Особенности формирования системы линейных алгебраических уравнений и её решения.

2.5 Расчёт магнитной реакции бесконечной идеально-проводящей пластины с отверстием

2.5.1 Постановка задачи.

2.5.2 Преобразование уравнений и задач

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. Случай поверхности с конечной магнитной проницаемостью

3.1 Постановка задачи.

3.1.1 Особенности физической постановки. Идеализации и допущения

3.1.2 Краевая задача для расчёта магнитного поля

3.1.3 Краевая задача в обобщённой постановке.

3.2 Модель метода ортогональных проекций.

3.3 Численное решение задачи. Выбор координатных функций.

3.4 Вычисление собственных функций интегрального оператора со слабо особым ядром.

Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. Программная реализация разработанных алгоритмов

4.1 Описание программного пакета.

4.2 Контрольные задачи.

4.3 Примеры расчётов.:

Выводы по главе 4.

ГЛАВА 5. Задача магнитной дефектоскопии стальных канатов

5.1 Общие сведения о магнитной дефектоскопии.

5.2 Постановка задачи.

5.2.1 Физическая постановка. Идеализации, допущения, условные обозначения

5.2.2 Моделирование дефекта.

5.2.3 Краевая задача для расчёта поля реакции.

5.3 Особенности применения метода ортогональных проекций в случае кусочно-однородной среды

5.4 Численное решение задачи. Выбор базиса. Вычисление элементов системы линейных алгебраических уравнений.

5.5 Примеры расчётов. Сравнение результатов с экспериментом . 126 Выводы по главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование стационарных магнитных полей на основе метода ортогональных проекций»

В настоящее время расчёт статических и стационарных полей включают математические постановки многих инженерных задач. А в связи с тем, что последние имеют тенденцию к усложнению, требования, предъявляемые к точности расчётов, постоянно растут, что стимулирует создание всё более совершенных программных средств для численного решения таких задач.

Наибольшую популярность в качестве математической основы для разработки проблемно-ориентированных программных пакетов приобрёл метод конечных элементов (МКЭ) [1]. Она связана с простотой численной реализации метода, а также его широкими возможностями по расчету полей в средах с различными свойствами (неоднородность, нелинейность). На МКЭ основаны такие известные пакеты программ, как FEMM, ELCUT, DMF, ANSYS, AMPERES (и другие разработки компании Integrated Engineering Software) и многие другие. В связи с универсальностью МКЭ многие основанные на нём пакеты позволяют решать не только задачи электромагнетизма, но и теории упругости, термодинамики и т.д. Обратной стороной подобной универсальности является большой "вес" реализующих её пакетов программ и, соответственно, их усложнение, что влечёт за собой написание обширных руководств по использованию определённого пакета для решения определённых задач. Отсюда вытекает и высокая стоимость многих из них и, как следствие, их модульность (отдельные решения для задач какой-либо области). Существующие же свободные и бесплатные пакеты (FEMM, FreeFEM, FreeFEM3D, Z88, EMAP, GetDP и др.) зачастую "не дотягивают" до уровня своих коммерческих аналогов по тем или иным причинам. Так, FEMM позволяет рассчитывать магнитное поле лишь в плоскомеридианных постановках, FreeFEM и FreeFEM3D не обладают графическим интерфейсом, ЕМАР может рассчитывать 3-х мерные стационарные магнитные и электростатические поля в случае области неоднородности определённых геометрических форм,

Z88 применим только к задачам теории упругости.

Другими энергично развивающимися методами являются метод интегральных уравнений (МИУ) [2], называемый также методом вторичных источников, и метод граничных элементов (МГЭ) [3]. Они реализованы в таких пакетах программ для расчёта магнитного поля, как MULTIC [4] (разработка института физики высоких энергий) и GFUN [5]. Однако, несмотря на то, что МИУ и МГЭ являются по сути более экономными с вычислительной точки зрения, реализующие их в чистом виде пакеты гораздо менее распространены. Возможно, это связано с тем, что получая численную модель меньшей размерности, приходится жертвовать простотой расчётных формул, а также с тем, что МИУ и МГЭ применимы не для всех типов задач. Другой особенностью МИУ и МГЭ является то, что одна и та же задача допускает сведение к уравнениям относительно скалярных и векторных величин, интегральные уравнения могут быть первого и второго родов, со слабо особым, сингулярным и суперсингулярным ядрами. Теория этих уравнений зачастую оказывается слишком сложной для разработчиков программ или недостаточно проработанной.

Наиболее же распространённым является использование комбинации МКЭ и МГЭ [6-8], позволяющее аннулировать недостатки каждого из них1, такие как неэффективность при расчёте открытых систем (с разомкнутыми магнитопроводами), необходимость введения искусственной границы, большая размерность расчётной модели для МКЭ и невозможность эффективного применения в нелинейных задачах для МГЭ. Такой подход в частности применяется в разработках компании Integrated Engineering Software. В них имеется возможность использования как только МКЭ, так и комбинированного метода. При этом, по заявлению разработчиков, в пакете AMPERES реализована передовая технология МГЭ, наиболее эффективная для электромагнитных расчётов.

1 Подробно сравнительная характеристика МКЭ и МГЭ приведена в [9].

Однако основанные на традиционных методах пакеты программ не столь универсальны, как это может показаться. Дело в том, что в ряде практически важных задач их использование весьма затруднительно. К таким задачам в области электро- и магнитостатики относится расчёт электростатического и стационарного магнитного поля в присутствии геометрически тонких проводящих и намагничивающихся тел (оболочек, пластин) соответственно. Например, тонкие намагничивающиеся пластины и оболочки широко используются для экранирования низкочастотных магнитных полей [10,11], являются элементами различных датчиков магнитного поля [12], MEMS-устройств [13], корабельных конструкций [14-16] и т.д. При расчёте электрической и магнитной реакции таких тел известные программные пакеты испытывают ряд трудностей как с вычислительной стороны, так и со стороны обоснования корректности применения в подобных задачах методов их решения.

С вычислительной точки зрения для получения результатов приемлемой точности необходимо обеспечить высокую степень дискретизации объёма тонкой оболочки. Очевидно, что даже при использовании адаптивных сеток столь же высокой будет получаться и степень дискретизации некоторой приграничной области, примыкающей к оболочке. Это приводит к расчётным моделям колоссальной размерности, и, если в плоскомеридианных постановках выполнение высокоточных расчётов в разумных временных рамках на "обычном" ПК ещё возможно, то при расчёте трёхмерных полей, в силу больших затрат памяти и машинного времени, уже необходимо использовать специализированные ЭВМ. Другой особенностью моделей, построенных для тонких оболочек на основе МКЭ, МГЭ и МИУ, является их численная неустойчивость. Она связана с тем, что значения скалярного потенциала поля в узлах, расположенных друг напротив друга на противоположных сторонах оболочки, практически не отличаются [14,17,18]. В свете этих особенностей подобные задачи непрерывно исследуются отечественными и зарубежными специалистами, предпринимаются попытки разработки новых и адаптации уже известных математических моделей для эффективного численного решения поставленных задач. Эти работы также стимулируются тем небезызвестным фактом, что для решения конкретной задачи иногда лучше разработать учитывающий именно её специфику метод, чем использовать уже созданные, предназначенные для решения широкого круга задач.

Одним из методов решения задач магнитостатики является разложение по обратным степеням магнитной проницаемости. Идея этого метода описана в [19]. Она заключается в представлении скалярного магнитного потенциала в виде ряда, слагаемые в котором вычисляются поочерёдно путём решения внутренних задач Неймана и внешних задач Дирихле для уравнения Лапласа. Для решения задач о топких намагничивающихся оболочках этот метод развит в работах [10,11]. Однако его существенным недостатком I является зависимость сходимости ряда от геометрических параметров рассматриваемой оболочки и её магнитной проницаемости.

Другие заслуживающие внимания результаты получены в попытках адаптировать известные методы к задачам с тонкими оболочками. Подход, предложенный A. Nicolet в статьях [17,18], заключается в замене намагничивающейся оболочки поверхностными токами, распределёнными на её противоположных гранях. Однако для расчёта этих токов необходимо решать систему из двух векторных интегральных уравнений второго рода, к тому же, боковая грань оболочки фактически исключается из рассмотрения (верхняя и нижняя грани рассматриваются обособленно друг от друга) и никак не учитывается. Результаты расчётов, представленные однако лишь для плоскопараллельной постановки в [17], выглядят весьма правдоподобными. Несколько формулировок математических моделей, основанных на МКЭ и МГЭ, приведены в [14]. В качестве искомых величин в работе рассмотрены как непосредственно значения скалярного магнитного потенциала, так и плотностей распределения фиктивных магнитных зарядов и диполей. К сожалению, судить об эффективности той или иной предложенной модели по представленной в работе информации не представляется возможным. Применение МГЭ также рассматривается в [15], где помимо магнитных свойств оболочки учитываются и проводящие. Однако детали численной реализации в работе также не описываются.

Особенностью работ [14,15] является то, что в них авторы переходят от реальной оболочки с толщиной к её срединной поверхности с эквивалентной магнитной проницаемостью и эквивалентными граничными условиями для скалярного магнитного потенциала. В [14,15] эти условия получены тем же способом, что и в [19], а впервые они по всей видимости выведены JI. А. Цейтлиным в статье [20]. Из этих условий можно перейти к граничному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению второго рода, решением которого занимались такие отечественные учёные, как И. П. Краснов, А. М. Вишневский, А. Я. Лаповок. Это уравнение можно рассматривать как аналог так называемого основного уравнения магнитостатики [21], которое при расчете магнитной реакции массивных тел рассматривалось в работах [16,22-25]. Однако в случае тонких оболочек его решение вызывает серьёзные затруднения. Так, в [16] автор использовал для его решения различные методы регуляризации, обоснованность и эффективность которых, однако, весьма сомнительна. Полученные "регуляризованные" уравнения к тому же не исследовались на корректность.

Из изложенного выше ясно, что разработка универсального и математически строго обоснованного подхода для расчёта стационарного магнитного поля в присутствии намагничиваемых тел различной геометрической конфигурации является актуальной на сегодняшний день задачей. Цель данной диссертационной работы — создание математической модели применительно к решению задач дифракции стационарного магнитного поля на основе метода ортогональных проекций и её эффективная численная реализация в случаях, представляющих наибольшие трудности для известных численных методов и пакетов программ. Как будет показано ниже, метод ортогональных проекций позволяет решать задачи расчёта поля и в присутствии массивных намагничиваемых тел, и в присутствии тонких оболочек (этой задаче посвящена большая часть работы). Благодаря геометрическому подходу, теория метода сравнительно проста и наглядна, а также экономна в том смысле, что позволяет ограничиться использованием естественных для инженерной постановки задач функциональных пространств. Основная часть диссертационной работы состоит из 5 глав.

В первой главе настоящей работы строится математическая модель расчёта магнитного поля в присутствии массивных намагничиваемых тел на основе метода ортогональных проекций. Описывается идея метода, устанавливается существование, единственность и устойчивость решения задачи ортогонального проектирования. Численная реализация метода сводится к СЛАУ, решение которой существует и единственно при условии линейной независимости выбранных координатных функций. Также в главе описываются общие соображения по решению задачи для случая тонких намагничивающихся оболочек.

Вторая глава посвящена применению метода в рамках одного из вариантов идеализаций при расчёте поля в присутствии тонкой оболочки: замене последней поверхностью с бесконечной магнитной проницаемостью. Для решения задачи выбран подходящий базис, при использовании которого численная модель имеет наименьшую размерность, а расчётные формулы существенно упрощаются. Описаны особенности численного решения задачи и пути экономизации расчётов. Рассмотрена задача расчёта вихревых токов на бесконечной идеально-проводящей пластине с отверстием. Установлено, что она является дуальной к задаче расчёта магнитной реакции пластины в форме отверстия, имеющей бесконечную магнитную проницаемость.

В третьей главе рассматривается другой вариант идеализации: замена оболочки поверхностью с конечной магнитной проницаемостью. Излагается схема применения метода ортогональных проекций в рассматриваемых условиях. Рассматривается система координатных функций, позволяющая упростить процесс численного решения задачи, и предлагается способ построения указанной системы.

В четвёртой главе описывается созданный на основе разработанной теории и численных алгоритмов программный пакет, проводится его контроль путём сравнения результатов численных расчётов для модельных задач с аналитическими решениями последних. Также рассматриваются примеры применения пакета к решению задач магнитного экранирования.

Пятая глава посвящена важной с практической точки зрения задаче о магнитной дефектоскопии стальных канатов. Выполняется построение математической модели на основе разрабатываемого метода, и предлагается эффективный способ её численной реализации с использованием специального базиса. Приводятся примеры расчётов и их сравнение с экспериментально полученными результатами.

Основные результаты выполненной работы отражены в публикациях [26-34], а также представлены на следующих конференциях:

1. Конференция студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ), г. Новочеркасск,

2006 и 2007 гг.;

2. V и VI Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России, г. Ростов-на-Дону, 2006 и 2007 гг.;

3. IV и V Всероссийская научно-практическая конференция «Молодёжь XXI века — будущее российской науки», г. Ростов-на-Дону, 2006 и

2007 гг.;

4. Ill, IV и V ежегодная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН, г. Ростов-на-Дону, 2007-2009 гг.;

5. 52, 53, 54 Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, Ilmenau (Германия), 2007, 2008 и 2009 гг.;

6. «Lyapunov Memorial Conference», г. Харьков (Украина), 2007 г.;

7. 2nd International Conference on Matrix Methods and Operator Equations, г. Москва, 2007 г.;

8. Международная конференция «Теория операторов. Комплексный анализ. Математическое моделирование», г. Волгодонск, 2007 г.;

9. VI Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования», г. Владикавказ, 2008 г.;

10. Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна, г. Воронеж, 2008 г.;

11. Дванадцята мiжнapoднa наукова конференщя iMem академжа М. Кравчука, г. Киев (Украина), 2008 г.;

12. International Conference «Days on Diffraction», г. Санкт-Петербург, 2008 и 2009 гг.

Объём работы составляет 142 страницы и включает 53 рисунка и 2 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 95 источников.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шапошников, Кирилл Сергеевич

Выводы по главе 5

1. Рассмотрена практически важная задача магнитной дефектоскопии стальных канатов. В условиях достаточно сильного первичного поля, когда сталь находится в насыщении, допущения о бесконечной длине каната и специальной модели для оценки вклада дефекта задача сведена к расчёту плотности g микротоков, распределённых на поверхностях Sk, к = 1,п.

2. Решение задачи выполнено методом ортогональных проекций для случая кусочно-однородной среды. Исходя из специфики задачи в качестве координатных функций выбраны градиенты потенциалов простого слоя с плотностями в виде рядов по тригонометрическим функциям. После применения равенства Планшереля в формулах для вычисления элементов СЛАУ интегралы по боковым поверхностям бесконечно-длинных цилиндров преобразованы в интегралы по окружностям. Последние вычисляются аналитически с использованием теорем сложения для бесселевых функций.

3. С помощью построенного метода решения задачи выполнены расчёты, которые сопоставлены с экспериментально полученными данными. По результатам сравнения сделан вывод об адекватности разработанной математической и численной модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена созданию метода решения задач дифракции стационарного магнитного поля и его эффективной численной реализации. Основные результаты формулируются в следующем виде.

1. Рассмотрены задачи расчёта стационарного магнитного поля в присутствии объёмного намагничиваемого тела и в присутствии тонкой оболочки в условиях конечности энергии магнитного поля и липшицевости границ намагничиваемых тел. Для решения последней задачи использованы идеализации, при которых оболочка заменяется своей срединной поверхностью с эквивалентной магнитной проницаемостью. Установлено, что во всех рассматриваемых задачах напряжённость Н* поля реакции микротоков намагничиваемых тел является ортогональной проекцией напряжённости Н° первичного (или ему эквивалентного) поля заданных источников на некоторое подпространство обобщённых потенциальных полей: Н* = —Р^Н°. Такой вывод сделан на основе доказанного свойства ортогональности поля реакции и результирующего поля в подходящим образом выбранном и отвечающем реальной физической ситуации пространстве векторных полей.

Доказано существование и единственность решения задачи ортогонального проектирования, а также его устойчивость в том смысле, что погрешность в энергии поля реакции не превысит погрешности в энергии первичного поля, вызванную его неточным заданием или аппроксимацией. Предложен способ нахождения проекции разложением искомого поля по пеорто-гональному базису с последующим вычислением координат разложения решением СЛАУ.

Также рассмотрен вариант применения метода ортогональных проекций к решению указанной задача в случае, когда роль искомого играет поле В.

2. Разработаны эффективные численные модели для расчёта магнитной реакции поверхностей с бесконечной и конечной эквивалентной магнитной проницаемостью. В первом случае для решения задачи выбраны потенциалы простого слоя, плотности которых являются финитными кусочно-постоянными функциями, традиционно применяемыми для аппроксимации элементов Z/2 (S). С учётом выбранной системы получены формулы для вычисления элементов основной матрицы СЛАУ, позволяющие избавиться от особенностей при интегрировании и понизить кратность интегрирования с 4-х до 2-х. В случае, когда носители плотностей расположены на достаточно большом расстоянии друг от друга, для вычисления соответствующих элементов матрицы получена приближённая асимптотическая формула на основе разложения в ряд Тейлора. Во втором случае в качестве базисных функций выбраны собственные функции интегрального оператора Т со слабо особым ядром из класса Wj" (£)• Показана эффективность и обоснована допустимость их применения. Предложен способ формирования базисной системы путём вычисления собственных чисел и векторов положительно определённой матрицы.

Задача расчёта вихревых токов на бесконечной идеально-проводящей пластине с отверстиями сведена к расчёту простого слоя зарядов на пластинах в форме отверстий. При этом для решения последней задачи пригодна численная модель, разработанная для расчёта магнитной реакции поверхностей с бесконечной эквивалентной магнитной проницаемостью.

3. На основе разработанной теории и реализующих её численных методов разработан программный пакет «CTMR 3D». Пакет позволяет рассчитывать стационарное магнитное поле в присутствии поверхностей с бесконечной или конечной магнитной проницаемостью. В результате работы программы можно получить распределение плотности потенциала поля реакции на S, вычислить энергию, запасённую в магнитном поле, электромагнитную силу, напряжённость результирующего поля и коэффициент экранирования в интересующих точках. Созданный пакет пригоден для расчёта параметров реальных технических устройств, в которых используются тонкие ферромагнитные оболочки. К таким устройствам можно отнести корпуса экранов для защиты персонала и оборудования от воздействия низкочастотных магнитных полей.

Достоверность результатов, выполненных с помощью разработанного пакета программ, подтверждена их сравнением с аналитическими решениями модельных задач.

4. Показана эффективность применения метода ортогональных проекций в задаче дефектоскопии стальных канатов. Получена численная модель, позволяющая перейти от микротоков, распределённых на поверхностях проволок, к их Фурье-образам и тем самым свести поверхностные интегралы к контурным. При решении задачи с помощью теорем сложения для функций Бесселя и использования специальных базисных функций элементы основной матрицы СЛАУ и столбца свободных членов вычислены аналитически. Полученные с помощью разработанной модели результаты сопоставлены с экспериментальными данными.

Разработанный в диссертационной работе подход может найти применение не только при решении задач расчёта стационарного магнитного поля, но и при решении задач электростатики, расчёте стационарного поля электрических токов и т. д. Важно лишь подходящим образом выбрать функциональные пространства для решения соответствующей задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шапошников, Кирилл Сергеевич, 2010 год

1. Сильвестр П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков: Пер. с английского. М.: «Мир», 1986. 229 с.

2. Тозони О. В., Маергойз И. Д. Расчёт трёхмерных электромагнитных полей. Киев: «Техшка», 1974. 352 с.

3. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел J1. Методы граничных элементов: Пер. с английского. М.: Мир, 1987. 524 с.

4. Ткаченко Jl. М. Пакет программ MULTIC для расчёта магнитных полей произвольной конфигурации. Протвино, 1998. 48 с. Препринт ИФВЭ 98-28.

5. Newman М. J., Trowbridge С. W., Turner L. R. GFUN: an interactive program as an aid to magnet design // Proceedings of the Fourth International Conference on Magnet Technology. Brookhaven, USA: 1972. Pp. 617-622.

6. Wanser S., Krahenbiihl L., Micolas A. Computation of 3D induction hardening problems by combined finite and boundary element methods // IEEE Trans. Magn. 1994. Vol. 30, no. 5. Pp. 3320-3323.

7. Fetzer J., Kurz S., Lehner G. Compairison between different formulations for the solution of 3D nonlinear magnetostatic problems using BEM-FEM coupling // IEEE Trans. Magn. 1996. Vol. 32, no. 3. Pp. 663-666.

8. Buchau A., Rucker W. M., Rain O. et al. Comparison Between Different Approaches for fast and efficient 3D BEM computations // IEEE Trans. Magn. 2003. Vol. 39, no. 3. Pp. 1107-1110.

9. Сысоева С. Развитие концепции математического и расчетного моделирования датчиков положения/скорости // Компоненты и технологии. 2007. № 12. С. 72-80.

10. Rogier F. Mathematical and numerical study of a magnetostatic promblem around a thin shield // SIAM. J. Numer. Anal. 1993. Vol. 30, no. 2. Pp. 454477.

11. Descloux J., Flueck M., Romerio M. V. A problem of magnrtostatics related to thin plates // Model. Math. Anal. Numer. 1998. Vol. 32, no. 7. Pp. 859876.

12. Chadebec O., Coulomb J. L., Leconte V. et al. Modeling of static magnetic anomaly created by iron plates // IEEE Trans. Magn. 2000. Vol. 36, no. 4. Pp. 667-671.

13. Krahenbiihl L., Muller D. Thin layers in electrical engineering. Example of shell models in analysing eddy-currents by boundary and finite element methods // IEEE Trans. Magn. 1993. Vol. 29, no. 2. Pp. 1450-1455.

14. Краснов И. П. Расчётные методы судового магнетизма и электротехники. JL: Судостроение, 1986. 216 с.

15. Bamps N., Delince F., Genon A. et al. Comparison of various methods for the modeling of thin magnetic plates // J. Appl. Phys. 1991, — April. Vol. 69, no. 8. Pp. 5047-5049.

16. Nicolet A. Boundary elements and singular integrals in 3D magnetostatics // Eng. Anal. Bound. Elem. 1994. Vol. 13, no. 2. Pp. 193-200.

17. Цырлин Jl. Э. Избранные задачи расчёта электрических и магнитных полей. М.: «Сов. радио», 1977. 320 с.

18. Цейтлин Л. А. Об определении магнитных и электрических полей тонких слоёв и оболочек // ЖТФ. 1958. Т. 28, № 6. С. 1326-1329.

19. Раевский В. Я. Некоторые свойства операторов теории потенциала и их применение к исследованию основного уравнения электро- и магнитостатики // Теор. и мат. физ. 1994. Т. 100, № 3. С. 323-331.

20. Friedman М. J. Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation. 1 // SIAM. J. Appl. Math. 1980. Vol. 39, no. 1. Pp. 14-20.

21. Friedman M. J. Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation. 2 // SIAM. J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18, no. 4. Pp. 644-653.

22. Friedman M. J. Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation. 3 // SIAM. J. Math. Anal. 1981. Vol. 12, no. 4. Pp. 536-540.

23. Kettunen L., Forsman K., Levine D., Gropp W. Volume integral equations in non-linear 3-D magnetostatics // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1995. Vol. 38, no. 16. Pp. 2655-2675.

24. Астахов В. И., Кочубей Т. В., Шапошников К. С. Метод ортогональных проекций в задачах расчёта стационарных магнитных полей // Труды Южного научного центра Российской академии наук. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2007. Т. 2. С. 51-72.

25. Астахов В. И., Кочубей Т. В., Шапошников К. С. О дуальности некоторых задач для электромагнитного поля в присутствии пластин с отверстиями и идеальными свойствами // Изв. вузов. Электромеханика. 2007. № 4. С. 38-44.

26. Астахов В. И., Кочубей Т. В., Шапошников К. С. О дуальности некоторых задач теории потенциала для магнитного поля // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008. С. 325-331.

27. Шапошников К. С. Метод расчёта стационарного магнитного поля в присутствии поверхностей с краем и бесконечной магнитной проницаемостью // Труды Воронежской зимней математической школы С. Г. Крей-на. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 314-318.

28. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: Пер. с английского. М.: Мир, 1985. 590 с.

29. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. 3-е изд. JL: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. Т. 1. 536 с.

30. Шапиро Д. Н. Основы теории электромагнитного экранирования. Л.: «Энергия», 1975. 112 с.

31. Астахов В. И. О допустимости идеализации границ поляризуемых тел и некоторых энергетических соотношениях для стационарного магнитного и электростатического полей // Изв. вузов. Электромеханика. 2000. № 1. С. 3-14.

32. Шимони К. Теоретическая электротехника: Пер. с нем. М.: Мир, 1964. 773 с.

33. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

34. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. Т. 5. 655 с.

35. Weyl Н. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math. J. 1940. Vol. 7, no. 1. Pp. 411-444.

36. Ладыженская О. А. О связи задачи Стокса и разложений пространств Щ и w21 // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, № 4. С. 119-133.

37. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

38. Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966. 252 с.

39. Астахов В. И. О вариационном методе расчёта магнитных полей // Изв. вузов. Электромеханика. 2003. № 2. С. 3-17.

40. Horn R. A., Johnson С. R. Matrix analysis. Cambridge university press, 1990. 561 pp.

41. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1999. 296 с.

42. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. 7-е изд. М.: Наука, 2004. 798 с.

43. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. М.: Наука, 1965. 424 с.

44. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). М.: Наука, 1975. 303 с.

45. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 с.

46. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 508 с.

47. Астахов В. И. Уравнения первого рода в задачах расчёта статических и стационарных полей. Часть 1 // Изв. вузов. Электромеханика. 2005. № 3. С. 3-14.

48. Астахов В. И. Уравнения первого рода в задачах расчёта статических и стационарных полей. Часть 2 // Изв. вузов. Электромеханика. 2005. № 4. С. 3-16.

49. Михлин С. Г., Смолицкий X. Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. 384 с.

50. Скворцов А. В. Триангуляция Делоне и её применение. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. 128 с.

51. Науменко Я. А., Астахов В. И. Математическое моделирование магнитного поля в присутствии идеально проводящей пластины // Изв. вузов. Электромеханика. 2003. № 5. С. 11-16.

52. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.

53. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973. 228 с.

54. Naumenko J. Operator equations for eddy currents on singular carrier // Matrix methods: theory, algorithms, applications. Moscow: World Scientific Publ., 2008. Pp. 546-556.

55. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. 720 с.

56. Науменко Я. А. Математическое моделирование магнитного поля в присутствии идеально-проводящих поверхностей с краем методом интегральных уравнений первого рода: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Новочеркасск, 2005. 77 с.

57. Кнут Д. Э. Искусство программирования. 2-е изд. М.: «Вильяме», 2007. Т. 3. Сортировка и поиск. 824 с.

58. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 288 с.

59. Вишневский А. М., Лаповок А. Я. Алгоритм расчёта поля намагничения тонких пластин и оболочек // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. № 4. С. 44-50.

60. Краснов И. П. Интегральное уравнение магнитостатики и его применение для случая, когда магнетик представляет собой тонкую пластину или оболочку // ЖТФ. 1977. Т. 47, № 7. С. 1414-1424.

61. Краснов И. П. О решении магнитостатических задач для тонких замкнутых оболочек // ЖТФ. 1972. Т. 42, № 8. С. 1545-1549.

62. Краснов И. П. О решении задач магнитостатики тонких пластин или оболочек в плоском и осесимметричном случаях // ЖТФ. 1982. Т. 52, № 5. С. 833-839.

63. Monk P. Finite element methods for Maxwell's equations. Oxford: Calderon Press, 2003. 450 pp.

64. Соболев С. JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 3-е изд. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 336 с.

65. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. 2-е изд. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. 512 с.

66. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: «Высш. школа», 1977. 431 с.

67. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 572 с.

68. Bhatia R. Positive definite matrices. Princeton and Oxford: Princeton University Press, 2007. 254 pp.

69. Johnson C. R. Positive definite matrices // Amer. Math. Monthly. 1970. Vol. 77, no. 3. Pp. 259-264.

70. Barker V. A., Blackford L. S., Dongarra J. et al. LAPACK95 user's guide. SIAM: Software, Environment and Tools. Philadelphia, USA: SIAM, 2001. 258 pp.

71. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехтеориздат, 1953. 415 с.

72. Cullity В. D., Graham С. D. Introduction to magnetic materials. 2nd edition. Wiley-IEEE Press, 2008. 544 pp.

73. Fitzpatrick R. Magnetic shielding. URL: http://farside.ph.utexas.edu/teach-ing/jkl/lectures/node52.html 2002.-May. Дата обращения: 01.03.2010.

74. Magnetic field shielding materials. URL: http://www.lessemf.com/mag-shld.html. Дата обращения: 01.03.2010.

75. Стеблев Ю. И. Расчёт магнитных экранов сложной конструкции // Электричество. 1979. № 12. С. 28-32.

76. Никитин В. В. О расчёте коэффициента экранирования многослойных ферромагнитных экранов // Изв. вузов. Электромеханика. 2003. № 6. С. 3-5.

77. Diaz J. I., Herrero M. A., Linan A., Vazquez J. L. Free boundary problems: theory and applications. Taylor & Francis, 1995. 232 pp.

78. Fliick M., Hofer Т., Picasso M. et al. Scientific computing for aluminium production // Int. J. Numer. Anal. Mod. 2009. Vol. 6, no. 3. Pp. 489-504.

79. Blitz J. Electrical and magnetic methods of non-destructive testing. 2nd edition. London: Chapman & Hall, 1997. Vol. 5. 261 pp.

80. Lesnak M., Pistora J. Magnetic minidefectoscope for nondestructive inspection of ferromagnetic bodies //J. Elec. Eng. 2004. Vol. 55, no. 10. Pp. 70-72.

81. Shull P. J. Nondestructive evaluation: theory, techniques, and applications. New York: Marcel Dekker, 2001. 841 pp.

82. Zawada K. Magnetic NDT of steel wire ropes // NDT.net. 1999. Vol. 4, no. 8.

83. Kruusing A. Optimizing magetization orientation of permanent magnets for maximal gradient force //J. Mag. Mag. Mat. 2001. Vol. 234. Pp. 545-555.

84. Преображенский А. А., Бишард E. Г. Магнитные материалы и элементы. 3-е изд. М.: Высш. шк., 1986. 352 с.

85. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье: Пер. с английского. М.: ОГИЗ, 1948. 479 с.

86. Korenev В. G. Bessel functions and their applications. London: Taylor & Francis, 2002. 276 c.