Математическое моделирование магнитного поля в присутствии идеально проводящих поверхностей с краем методом интегральных уравнений первого рода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Науменко, Ян Александрович

• Науменко, Ян Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Науменко, Ян Александрович

Введение.

Глава 1. Математическая модель.

1.1 Обобщенная постановка.

1.2. Исследование уравнения.

1.3. Случай «вмороженных потоков».

Выводы по главе 1.

Глава 2. Численная реализация.

2.1. Численный метод.

2.2. Особенности реализации.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Программный пакет, примеры его практического применения.

3.1. Краткое описание пакета.

3.2. Контрольные задачи.

3.3. Примеры практического применения.

Выводы по главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование магнитного поля в присутствии идеально проводящих поверхностей с краем методом интегральных уравнений первого рода»

Существует обширный класс задач, в которых необходимо математическое моделирование и расчет стационарных и квазистационарных магнитных полей в присутствии идеально проводящих тел. В настоящее время устройства на основе сверхпроводящих элементов находят все более широкое применение в технике, особенно в связи со значительными успехами в проблеме получения высокотемпературных сверхпроводников. Более того, имеется значительный круг задач моделирования технических устройств, в которых некоторые элементы хотя и не являются сверхпроводниками, но, тем не менее, могут считаться таковыми в технических приближениях.

Задачи, связанные с численными расчетами магнитных полей в присутствии массивных идеальных проводников достаточно хорошо изучены. Для их численного моделирования применимы известные интегральные уравнения типа Фредгольма второго рода (исследование таких уравнений на ляпуновских поверхностях в классах Гельдера и в классах квадратично-суммируемых функций сделано в [1, 2], на кусочно-гладких липшицевых поверхностях и контурах в классах функций с энергетической метрикой - в [3]). Возможно и применение обычного метода конечных элементов (МКЭ). Хотя применение МКЭ для внешних краевых задач (к которым, как правило, сводится моделирование рассматриваемого класса устройств) и затруднено, тем не менее эти трудности являются преодолимыми.

Значительно большие трудности вызывает моделирование магнитного поля в присутствии тонкослойных идеальных проводников (пленок) с краем (случай тонких замкнутых оболочек также охватывается работой [3]). Их толщина обычно столь мала по сравнению с остальными геометрическими размерами, что естественно считать их бесконечно тонкими, то есть сверхпроводящими поверхностями. Более того, попытка учитывать при моделировании их толщину приводит к численно неустойчивым задачам. К указанной задаче сводится обширный класс технических проблем, например, моделирование устройств на основе сверхпроводящих пленок, моделирование крейсерского режима движения высокоскоростного наземного транспорта, проектирование экранов для защиты персонала и высокочувствительного оборудования и т.д. Имеется достаточно много работ, в которых предприняты попытки построить модель описываемой задачи, хотя бы и в частных случаях. Укажем лишь некоторые из них. Для простых цилиндрических оболочек в работе [4] предложен метод аналитического решения. В работе [5] рассмотрен вариант, когда формулировка задачи допускает плоскопараллельное приближение. Трехмерная модель для источников поля и тонкослойного проводника специальных геометрических форм получена в [6]. Более общие результаты, полученные для задачи экранирования персонала, имеются в [7], однако, применимость использованной математической модели достаточно спорна. Более того, сами авторы работы [7] отмечают значительную численную погрешность получаемого решения (порядка 40% по невязке свободного члена).

Основной трудностью численного моделирования магнитного поля в присутствии идеально-проводящих поверхностей произвольной формы с краем является то, что известные интегральные уравнения второго рода теряют смысл на разомкнутых поверхностях. Попытки же использования МКЭ для таких задач приводят к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) колоссальной размерности, являющимся к тому же плохо обусловленными.

В данной диссертационной работе предлагается математическая модель на основе векторного интегрального уравнения типа Фредгольма первого рода для поверхностных токов. Классическая теория указывает на численную неустойчивость таких уравнений [8]. Однако имеются многочисленные примеры применения интегральных уравнений первого рода к задаче расчета электростатических емкостей систем проводников [9]. Отмечено, что ожидаемая численная неустойчивость не наблюдается, что было принято истолковывать проявлением так называемой саморегуляризации. До появления работы [30], удовлетворительной теории, объясняющей обнаруженную экспериментально численную устойчивость скалярных интегральных уравнений электростатики первого рода не было. Напротив, попыток применения векторных интегральных уравнений первого рода к расчетам магнитных полей в литературе почти не имеется. В упоминавшейся работе [6] для расчета магнитного поля в присутствии идеального проводника специальной формы применяется скалярное интегральное уравнение первого рода с весьма сложным ядром. К сожалению, в статье [6] отсутствует какое-либо обоснование применимости используемой математической модели и лишь отмечается численная устойчивость уравнения, выявленная в процессе численных экспериментов. Такое отсутствие интереса в литературе связано, видимо, с тем, что от векторной постановки задачи ожидается высокая вычислительная размерность. Однако, в настоящей работе показано, что при применении базисных полей специального вида вычислительная размерность модели не возрастает по сравнению со скалярными постановками (например в виде интегро-дифференциального уравнения первого рода для функции потока), и при этом имеет по сравнению со скалярными постановками ряд преимуществ. Теоретические вопросы существования и единственности решений интегральных уравнений первого рода различных специальных типов можно найти, например, в [10-18]. Однако вопрос корректности таких уравнений ни в одной из указанных работ практически не затрагивается.

В главе первой настоящей работы рассматриваются теоретические аспекты математической модели в виде интегрального уравнения для поверхностных токов. Для указанного уравнения строится вариационное обобщение и показывается, что при подходящем выборе пары гильбертовых пространств, в которых действует оператор уравнения, интегральное уравнение первого рода разрешимо единственным образом и притом устойчиво. Здесь же отмечается, что теория остается справедливой и для замкнутых поверхностей, причем простой вид ядра уравнения первого рода делает его привлекательной альтернативой для численной реализации по сравнению с интегральными уравнениями первого рода.

Во второй главе предлагается и обосновывается численный метод решения уравнения и различные методы его эффективизации.

В третьей главе описывается созданный на основе построенной теории программный пакет, приводятся результаты многочисленных контрольных расчетов. Также в этой главе рассмотрены примеры моделирования реальных технических задач с использованием созданного программного пакета.

В приложении приводится краткое описание использовавшихся в первой главе гильбертовых пространств.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [19-30]. Она была апробирована на следующих конференциях:

1. Конференция студентов и аспирантов ЮРГТУ(НПИ) 2002, 2003, 2004 и 2005 годов.

2. «48. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2003 г., г. Ильменау, Германия.

3. «4th European Congress of Mathematics» («4-й Европейский математический конгресс»), 27.06-2.07.2004, г. Стокгольм, Швеция.

4. Всероссийская научно-практическая конференция «Транспорт-2004», г. Ростов-на-Дону, 25-27 мая 2004 г.

5. Выездная сессия секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН. Альтернативные естественновозобно-вяющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов, г. Ессентуки, 12-15 апреля 2005 г.

6. Первая ежегодная научная конференция базовых кафедр Южного научного центра РАН, г. Ростов-на-Дону, 1-21 апреля 2005 г.

По основным результатам диссертационной работы был сделан доклад на семинаре по математической физике Вычислительного центра РАН (г. Москва), который заслужил похвальную оценку.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Науменко, Ян Александрович

Выводы по главе 3

1. Создан эффективный программный пакет для численного решения интегрального уравнения на плоских и криволинейных поверхностях с отверстиями и без них. Правильность работы программного продукта проконтролирована на нескольких различных тестовых задачах. В процессе аналитического решения одной из контрольных задач проанализирована асимптотика плотности поверхностных токов при приближении к прямолинейной границе.

2. При помощи созданного пакета исследована техническая задача расчета силовых параметров электродинамического подвеса ВСНТ при прохождении над разрывом рельса в крейсерском режиме движения.

3. Также проанализирован вопрос боковой устойчивости вертикально расположенной над рельсом движущейся токовой рамки. Выявлено, что в случае рельса конечной ширины положение вертикальной рамки устойчиво при не слишком больших боковых отклонениях.

64

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе выполненных в диссертационной работе исследований векторного интегрального уравнения первого рода для плотности поверхностных токов в идеальном проводнике можно сделать следующие выводы:

1. Интегральное уравнение

471 S rNM М- Мс условиями diver = 0 на S, crv = 0 на/, jCdl = Ot, i = l,m, U является корректным в естественной для задач энергетики и электротехники паре векторных функциональных пространств (здесь А°{м) - потенциал невозмущенного магнитного поля внешних (заданных) источников; /л - магнитная проницаемость; <т - плотность поверхностных токов; гш - расстояние между точками N, М; С - некоторое поле, такое что rotn С = 0; оператор Р5 обнуляет компоненту поля, определенного на S, ортогональную поверхности S; / - край поверхности S, v - единичный вектор внешней нормали к /, лежащий в касательной к S плоскости; Ф/ - заданный магнитный поток через отверстие i в поверхности S; Ц - граница отверстия i\ m - число отверстий). Все полученные результаты остаются в силе и для замкнутых поверхностей. Однако и в этом случае, в силу простой формы ядра интегрального уравнения первого рода оно является привлекательной для численной реализации альтернативой известным интегральным уравнениям второго рода.

2. На основе ортогональных разложений Вейля [37] векторного пространства L2 для части плоскости, разложений Фридрихса [38] для римановых поверхностей с краем и триангуляции поверхности-носителя построен базис из кусочно-постоянных соленоидальных векторных полей. Согласно теории аппроксимации пространств Соболева W\ полученный базис является полным в пространстве £г в смысле сходимости аппроксимативной последовательности Ритца (пространство £г введено в главе 1). Использование указанного базиса обеспечивает размерность СЛАУ, совпадающую с таковой для скалярной постановки задачи, т.е. использование векторного уравнения не приводит к увеличению вычислительной сложности.

3. Четырехкратные интегралы с особенностями, вычисление которых необходимо при нахождении элементов основной матрицы СЛАУ, приводятся к однократным с помощью аналитического интегрирования. При этом получаемая подынтегральная функция особенностей не имеет. На основе полученной формулы и шеститочечной квадратуры Гаусса построена численно-эффективная высокоточная процедура вычисления элементов матрицы СЛАУ. Для скалярного произведения базисных полей, диаметр носителя которых много меньше расстояния между их геометрическими центрами получена приближенная асимптотическая формула. Опираясь на метод поиска в графе в ширину, построен эффективный критерий применимости асимптотической формулы, применение которого не требует выполнения вычислений с плавающей точкой. Скалярное произведение базисных полей быстро стремится к нулю при росте расстояния между геометрическими центрами носителей, поэтому на основании описанного выше критерия получена эмпирическая зависимость, указывающая, когда можно положить значение скалярного произведения равным нулю без потери точности численного решения. Предложенный в работе итерационный алгоритм численного решения СЛАУ на основе метода Гаусса-Зейделя сходится.

4. Создан эффективный программный пакет для численного решения ин-» тегрального уравнения на плоских и криволинейных поверхностях с отверстиями и без них. Правильность работы программного продукта проконтролирована на нескольких различных тестовых задачах. В процессе аналитического решения одной из контрольных задач проанализирована асимптотика плотности поверхностных токов при приближении к прямолинейной границе.

5. Созданный программный пакет пригоден для анализа реальных технических задач. С его помощью исследована техническая задача расчета силовых параметров электродинамического подвеса высокоскоростного наземного транспорта (ВСНТ) при прохождении над разрывом рельса в крейсерском режиме движения. Также проанализирован вопрос боковой устойчивости вертикально расположенной над рельсом движущейся токовой рамки. Выявлено, что в случае рельса конечной ширины положение вертикальной рамки устойчиво при небольших боковых отклонениях.

Круг применения практических результатов диссертационной работы не ограничивается моделированием электродинамического подвеса ВСНТ. На основе созданного программного пакета можно моделировать широкий класс устройств, содержащих в себе идеально-проводящие элементы (идеальная проводимость может быть и некоторым допустимым инженерным приближением, как это, например, имеет место в расчетах экранов для защиты персонала и чувствительного оборудования от переменного магнитного поля).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Науменко, Ян Александрович, 2005 год

1. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехтеориздат, 1953.

2. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма I рода // Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во МГУ, 1968. -Вып. 10. -С. 49-54.

3. Астахов В. И. Поверхностные потенциалы и операторы теории потенциала в пространствах Дирихле // Известия вузов. Электромеханика. 2000, №2.-С. 3-18.

4. Ковбасенко Ю. П. Расчет вихревых токов в тонкостенных оболочках // Электричество. 1992, №14. С. 45-47.

5. Некрасов Н. Н., Смирнов С. А. К расчету вихревых токов в тонкой пластине // Электричество. 1998, №10. С. 61-65.

6. Михайлов В. М. Функции Грина и интегральные уравнения плоскомеридиональных полей устройств с длинными цилиндрами // Электричество. 1991,№10.-С. 38-42.

7. Рудаков М. Л. Расчет незамкнутых электромагнитных экранов методом интегральных уравнений // Изв. Академии наук. Энергетика. 2000, №3. -С. 53-61.

8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1974. -224 с.

9. Кадников С. Н., Полумисков М. А. Сравнительный численный анализ эффективности интегральных уравнений первого рода и сингулярных интегральных уравнений при решении электростатических задач для тонких оболочек // Электричество. 1989, №1. С. 66-70.

10. Agarwal Ravi P., O'Regan Donal Fredholm and Volterra integral equations with integrable singularities // Hokkaido Math. J. 2004. 33, #2. P. 443-456.

11. Abdou M.A., Salama F.A. Integral equations and contact problem // Appl. Math, and Comput., 2004. 149, #3. P. 735-746.

12. Dobner H.-J. A method for estimating the solution of integral equations encountered in potential theory // Appl. Math, and Comput., 2000. 109, #2-3. P. 199-204.

13. Zhao Xinquan The steepest descent solution for Fredholm integral equation // Acta Math. Sci., 2000. 20. P. 658-662.

14. Li Yunzhang, Dai Xinrong A note on continous refinement equations // Chin. J. Eng. Math., 2000. 17, #2. P. 48-52.

15. Natroshvili David, Arens Tilo, Chandler-Wilbe Simon Uniqueness, existence, and integral equation formulations for interface scattering problems // Mem. Differ. Equat. and Math. Phys. 2003, 30. P. 105-146.

16. Валеева P.T., Габдулхаев Б.Г. Об обращении многомерных сингулярных интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Математика 2003, №Ю.-С. 13-25.

17. Денисов A.M. Существование и единственность решения систем интегральных уравнений первого рода // Дифф. ур-я 2003. 39, №9. С. 12011208,1294.

18. Jin Jian-Ming On wavelet function solutions for first kind integral equations // J. Northw. Norm. Univ. Nabur Sci., 2000. 36, #4. P. 1-6.

19. Науменко Я. А., Астахов В.И. Численное решение интегрального уравнения первого рода для плотности тока // Материалы 51-й науч. техн. конф. студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ). - Новочеркасск: УПЦ "На-бла" ЮРГТУ (НПИ), 2003. - С. 173-175

20. Науменко Я. А., Астахов В.И. Численный метод решения интегрального уравнения первого рода для плотности тока // Известия вузов. СевероКавказский регион. Технические науки. 2002, Спец. выпуск. С. 106-107.

21. Науменко Я. А., Астахов В.И. Некоторые вычислительные аспекты решения векторного интегрального уравнения первого рода // Материалы 52-й науч. техн. конф. студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ). - Новочеркасск: УПЦ "Набла" ЮРГТУ (НПИ), 2003. - С. 110-111.

22. Науменко Я. А., Астахов В.И. Математическое моделирование магнитного поля в присутствии идеально-проводящей пластины с краем // Известия вузов. Электромеханика, 2003. №5. С. 11-16.

23. Науменко Я. А., Астахов В.И. Ускорение формирования матрицы Грама энергетического пространства интегрального оператора // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки, 2004, Спец. выпуск. С. 116-117.

24. Науменко Я. А. Ускорение сходимости итерационного процесса решения СЛАУ специального вида // Южно-Российский государственный технический университет (НПИ). Новочеркасск. Редакция журнала Изв. вузов. Электромеханика. 2004. - С. 40-42.

25. Науменко Я. А., Астахов В.И. Моделирование крейсерского режима движения электродинамического подвеса методом интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Электромеханика. 2005. - №1. - С. 3-4.

26. Тозони О. В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975.

27. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

28. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1965.

29. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

30. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

31. Ладыженская О. А., Солонников В. А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики вязкой жидкости // Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. 59 (1960). С. 115-173.

32. Weyl. Н. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math. Journal, 7 (1940). P. 411-444.

33. Friedrichs К. O. Differential forms on Riemannian manifolds // Comm. on Pure and Appl. Math., 1955, Vol. VIII. P. 551-590.39