Математическое моделирование в проблемах промышленной безопасности и экологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Кулешов, Андрей Александрович

• Кулешов, Андрей Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кулешов, Андрей Александрович

Введение.

Глава 1. Математическое моделирование техногенных аварий с распространением тяжелых газов и разлитием жидкостей.

§1. Математическая модель распространения облаков тяжелых газов над орографически неоднородной поверхностью.

§2. Алгоритм и методы численного решения задачи.

§3. Математическое моделирование аварии 03.06.89 под Уфой

§4. Математическое моделирование разлитий нефти.

Глава 2. Математическое моделирование лесных пожаров.

§1. Двумерная двухфазная модель лесных пожаров

§2. Двумерная трехфазная модель лесных пожаров

§3. Двухъярусная модель лесных пожаров.

§4. Алгоритм и методы численного решения задачи.

§5. Результаты математического моделирования лесных пожаров по двухфазной, трехфазной и двухъярусной моделям

Глава 3. Математическое моделирование некоторых задач экологии, описываемых двумерными моделями механики твердого упругого тела

§1. Математическая постановка задачи

§2. Разностная аппроксимация задачи.

§3. Устойчивость разностной схемы.

§4. Сходимость решения разностной задачи к обобщенному решению дифференциальной задачи.

§5. Моделирование колебаний ледяного покрова под действием техногенных динамических нагрузок.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование в проблемах промышленной безопасности и экологии»

Целью работы является разработка математических моделей и численных методов, позволяющих построить эффективную численную реализацию и провести численное моделирование рассматриваемых задач промышленной безопасности и экологии. Работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена математическому моделированию техногенных аварий с распространением тяжелых газов и разлитием опасных жидкостей, описываемых моделями гидрогазодинамики, в которых среда полагается термически однородной. Вторая глава посвящена математическому моделированию лесных пожаров, которые описываются многофазными моделями с газовой, твердой и дисперсной фазами, при этом среда является химически реагирующей и многотемпературной. В третьей главе рассматриваются задачи экологии, описываемые моделями механики твердого упругого тела с нестационарным уравнением колебаний тонких упругих пластин с приложениями к задаче о колебаниях ледяного покрова под действием техногенных динамических нагрузок. Таким образом, рассматриваются нестационарные постановки задач экологии и промышленной безопасности для разных сплошных сред с различными физико-химическими свойствами. В соответствии с принятой в математическом моделировании задач экологии и промышленной безопасности традицией разделения моделей на локальные (до нескольких десятков километров), мезомасштабные (сотни километров) и глобальные (тысячи километров) все рассматриваемые модели относятся к локальным моделям приповерхностного слоя. Рассматриваемые модели — это модели оперативной оценки развития ситуации, с помощью которых можно на персональных ЭВМ рассчитать динамику рассматриваемых процессов и оценить их последствия. Исходя из этих требований, математические модели всех рассматриваемых задач построены на основе единого подхода, основанного на фундаментальных законах рассматриваемых процессов и позволяющего построить эффективную численную реализацию. Для рассматриваемых задач также характерен единый подход к построению алгоритмов и методов численного решения - задачи решаются конечно-разностными методами с применением алгоритмов расщепления, как по физическим процессам, так и по пространственным переменным.

Среди актуальных сегодня задач промышленной безопасности важное значение имеют задачи, связанные с обеспечением безопасности населения и защиты окружающей среды в случае аварий на объектах хранения и транспортировки сжиженных горючих и токсических газов, а также аварий на нефтепроводах.

По данным [1] в России действует более трех тысяч промышленных объектов, на которых находится около 700 тыс. тонн химически опасных веществ, таких как хлор (около 35% от общего количества), аммиак (около 50%) и другие. Не меньшую опасность представляют и объекты (резервуары, трубопроводы) со сжиженными горючими газами, прежде всего нефтяными (пропан, бутан и их смеси). Особую опасность представляет то обстоятельство, что промышленные объекты со сжиженными горючими и токсическими газами часто расположены в непосредственной близости или на самой территории населенных пунктов. Так, более 70% предприятий химической промышленности расположены в крупных городах с населением свыше 100 тысяч человек. Пути транспортировки сжиженных газов автомобильными или железнодорожными цистернами также проходят по территории населенных пунктов. Следовательно, техногенные аварии на подобных объектах затронут население прилегающих территорий и могут нанести большой ущерб.

Примеров таких крупных аварий в мировой практике достаточно много (см. [2]). Приведем примеры двух подобных аварий, произошедших на территории СССР во второй половине прошлого века:

-10 января 1966г. в г. Горький в результате аварии из железнодорожной цистерны на сортировочной станции вылилось 23 тонны хлора, что привело к поражению более 2000 человек;

- 3 июня 1989 г. под Уфой (м.Аша) в результате разрыва трубопровода вытекло до 10 тыс. тонн пропан-бутановой смеси. Образовалось облако топливо-воздушной смеси, которое растеклось по пересеченной местности и затем воспламенилось. Зона поражения у в результате взрыва составила 2.5 км . В попавших в зону поражения двух проходивших по железной дороге поездах пострадало 623 человека, погибло 575 человек.

В качестве опасных веществ в работе рассматриваются горючие и токсические газы, хранящиеся в сжиженном состоянии при повышенном давлении и при температуре окружающей среды. Эти вещества имеют критическую температуру выше, а точку кипения ниже температуры окружающей среды. При разгерметизации (разрушении) резервуара или трубопровода сжиженный газ практически мгновенно испаряется из разлития и образует облако газовоздушной смеси. В работе рассматриваются так называемые тяжелые газы, истинная плотность которых при атмосферном давлении в несколько раз выше плотности воздуха, поэтому облако газа не поднимается вверх, а распространяется над подстилающей поверхностью под действием гравитационных сил и ветра. Это достаточно широкий класс опасных газов, к которым относятся все горючие нефтяные газы - пропан, бутан и их смеси, и самый широко используемый в промышленном производстве токсический газ - хлор. В силу невозможности проведения натурных экспериментов с взрывоопасными и токсическими газами в условиях реальных промышленных объектов единственным инструментом для исследования процесса распространения облаков тяжелых газов является метод математического моделирования. На основе математического моделирования можно прогнозировать динамику вероятных аварий на объектах хранения и транспортировки сжиженных горючих и токсических газов, проводить оценку их последствий, а также проводить реконструкцию событий и анализ уже произошедших аварий.

Работы по математическому моделированию в задаче распространения облаков тяжелых газов велись за рубежом, начиная с 60-х годов прошлого века. Как правило, создавались упрощенные математические модели, основанные на эмпирических данных (см. обзоры [3,4].) Например, широко использовались гауссовы модели, в которых концентрация газа в облаке рассчитывается по алгебраической формуле с экспоненциальным уменьшением по мере удаления от источника выброса. Или, например, модели "DENZ" [5] и "CRUNCH" [6], в которых радиус расширения облака рассчитывался из решения простейшего обыкновенного дифференциального уравнения. Будучи важной научной поддержкой инженерных оценок риска, такие модели описывают поведение интегральных параметров физических явлений, они основаны на интерполяции данных ограниченного числа экспериментов, не учитывающих всех условий реальных промышленных объектов и окружающего пространства, и поэтому не могут дать адекватную картину рассматриваемого явления. Другим направлением в математическом моделировании рассматриваемого процесса стало создание осесимметричных моделей [3,4]. Эти модели, хотя и были построены на основе законов сохранения механики сплошной среды, не могли учесть рельефа подстилающей поверхности и наличия застройки, а потому плохо описывали развитие рассматриваемых аварий в условиях реальных объектов.

В §1 главы 1 разработана двумерная математическая модель распространения облаков тяжелых газов. Созданная автором в конце 80-х годов в Институте атомной энергии (ИАЭ) им. И.В.Курчатова [135,136] эта модель явилась первой двумерной моделью, в которой система уравнений рассматриваемого процесса была построена на основе законов сохранения газовой динамики и которая учитывала все основные физические явления рассматриваемого процесса: гравитационное растекание, турбулентность, трение о подстилающую поверхность и препятствия, разбавление газа в облаке окружающим воздухом, а также учитывала наличие ветра. Система уравнений рассматриваемой двумерной модели была построена методом осреднения трехмерных уравнений газовой динамики по высоте течения при физически обоснованных предположениях о характере течения. Проинтегрировав осредненные по Рейнольдсу трехмерные уравнения по высоте от поверхности рельефа zo(x,y) до неизвестной свободной верхней границы облака H(x,y,t') и решая затем двумерную задачу, мы получаем, по сути, трехмерную картину течения с учетом неоднородного рельефа местности, наличия препятствий, промышленной и жилой застройки. Построенная модель является важным обобщением известной модели течения несжимаемой жидкости в приближении теории мелкой воды [7] на случай газодинамических течений с переменными по (х,у) плотностью и массовыми концентрациями компонентов газовой среды. По этим параметрам можно судить о достижении предельно допустимых концентраций (ПДК) в облаке и оценивать вероятность токсического поражения персонала промышленных объектов и населения прилегающих жилых районов. При распространении облаков горючих газов, пользуясь рассчитанными в рассматриваемой модели параметрами, можно на основе инженерных методик [8] или на основе математического моделирования процесса сгорания облака провести оценку поражающих факторов при сгорании облака и оценить возможный ущерб от таких аварий.

В §2 главы 1 разработаны алгоритм и численные методы решения рассматриваемой задачи. Алгоритм численного решения задачи основан на известном методе расщепления по физическим процессам. Все отдельные подсистемы решались разностным методом на прямоугольных сетках.

Был создан программный комплекс для численного моделирования распространения облаков тяжелых газов. Первый вариант программного комплекса был создан автором в 1989-1990 гг. в ИАЭ им И.В.Курчатова в операционной среде UNIX для ЭВМ НР-1000. Программный комплекс был тестирован путем сравнений результатов расчетов с результатами натурных экспериментов по распространению фреона, проведенных на острове Торни (Великобритания) в 1982-1984гг. [96-98]. С помощью этого программного комплекса была промоделирована стадия гравитационного растекания облака пропан-бутановой смеси по пересеченной местности при упомянутой выше аварии 03.06.89 под Уфой, и результаты моделирования [135] совпали с данными, собранными экспертами по расследованию аварии. Результаты моделирования аварии под Уфой представлены в §3 главы 1. Впоследствии в 90-х годах на основе разработанной автором модели и метода расщепления Н.П.Савенковой и С.В.Филипповой при участии автора был создан программный комплекс для IBM-PC совместимых компьютеров в программной среде PASKAL [144-146], который затем в 2003 году был внедрен у заказчика — в Федеральном агентстве правительственной связи и информации.

В настоящее время с появлением современных суперкомпьютеров с параллельными вычислениями стало возможным моделировать рассматриваемый процесс на основе трехмерных математических моделей, однако такое моделирование может быть осуществлено на базе научно-исследовательских центров, оснащенных суперкомпьютерной техникой. В то же время для экспертных систем прогнозирования динамики таких аварий и оценки их последствий в центрах управления и реагирования при чрезвычайных ситуациях а также в исследовательских подразделениях промышленных объединений и концернов, по-прежнему используются программные пакеты для персональных ЭВМ, созданные на основе более простых для численной реализации математических моделей, либо инженерных методик (см. [1]). Подтверждением актуальности такого подхода к математическому моделированию рассматриваемого процесса сегодня является широкое распространение в развитых странах коммерческих пакетов EFFECTS (фирмы TNO) и WHAZAN (Technica Ltd).

Другой актуальной особенно для России задачей промышленной безопасности является задача борьбы с разлитиями нефти из магистральных трубопроводов. По результатам математического моделирования процесса разлития нефти может быть определено необходимое количество сил и средств ликвидации разлива. На основе сведения модели распространения тяжелых газов к упомянутой выше модели мелкой воды и соответствующей модификации программного комплекса было проведено математическое моделирование разлитой нефти по орографически неоднородной поверхности, результаты которого представлены в §4 главы 1.

Основные результаты по первой главе опубликованы в работах [135,136,143-149].

Одной из чрезвычайно важных задач экологии является задача сохранения лесных покровов Земли, как регуляторов необходимых для жизни балансных соотношений газов и влаги в атмосфере Земли. Наряду с вырубкой лесов наиболее сильный ущерб лесным массивам наносят пожары. Кроме того, при пожарах происходит уменьшение количества кислорода в атмосфере и выброс газообразных продуктов горения, прежде всего углекислого газа, что также влияет на газовый баланс в атмосфере Земли. Как отмечено в [9], согласно имеющимся оценкам около 30% тропосферного озона, окиси углерода и углекислого газа, содержащихся в атмосфере, обусловлено вкладом лесных пожаров, а связанные с лесными пожарами выбросы аэрозоля в атмосферу могут оказывать существенное влияние на микрофизические и оптические характеристики облачного покрова и, следовательно, на климат.

В России, в силу обширности территорий, покрытых лесом, и недостатка средств по ликвидации пожаров, проблема борьбы с пожарами стоит особенно остро. В пожароопасный сезон на территории страны ежедневно возникают сотни очагов лесных пожаров. В настоящее время в России и за рубежом интенсивно ведутся аэрокосмические исследования лесных пожаров и их влияния на окружающую среду [9-12]. В агентстве МЧС России по мониторингу и прогнозированию чрезвычайных ситуаций эта работа ведётся с помощью геоинформационной системы (ГИС) [1]. Однако, для определения эффективных сценариев реагирования недостаточно мониторинга чрезвычайной ситуации, а требуется прогноз её дальнейшего развития. Такой прогноз можно дать с помощью метода математического моделирования чрезвычайной ситуации, в рассматриваемом случае - математического моделирования лесных пожаров.

В области математического моделирования лесных пожаров к настоящему времени существуют различные подходы к описанию этого сложного явления. Одним из направлений является разработка вероятностно-статистических моделей [13-18], использующих, как правило, аппарат клеточных автоматов. Однако, в таких моделях не учитываются основные физико-химические процессы, происходящие во фронте пожара. В рамках этих моделей также нельзя адекватно описать как процесс выгорания лесных горючих материалов с учетом их неоднородного распределения на местности, так и влияние переменных внешних факторов, например, ветра. Без учета этих факторов правильно описать динамику распространения лесных пожаров практически невозможно. Существует также класс эмпирических моделей расчета распространения фронта пожара [19-25], которым присущи те же недостатки. В рамках двумерных (х^-моделей рассчитывается распространение лесных пожаров по заданному направлению [26,36,49], что также не может дать правильную картину распространения реального лесного пожара на местности. Широко представлен класс моделей, в рамках которых изучаются отдельные явления, происходящие в зоне лесного пожара и в атмосфере над пожаром [27-32,36-39]. Например, явления поднятия термиков и образования конвективных колонок моделируются на основе двумерных осесимметричных моделей [27-30,36-39]. В работах последнего времени [31,32] на основе трехмерных моделей численно получены трехмерные когерентные вихревые структуры в атмосфере над лесным пожаром. В работах [33-35] рассматривается трехмерная однофазная газодинамическая модель лесных пожаров без учета химических реакций, в которой восходящие потоки тепловой энергии аппроксимируются аналитической формулой, а перенос излучения не учитывается.

Фундаментальный вклад в развитие математических моделей лесных пожаров внесен А.М.Гришиным и его учениками [36-52]. Им разработана наиболее полная трехмерная модель лесных пожаров, в которой лес является девятиярусной (по высоте) многофазной (8 фаз) реакционно-способной средой, газовая фаза которой описывается системой трехмерных уравнений газовой динамики. Однако, расчет реального лесного пожара продолжительностью несколько часов, а тем более суток, по этой трехмерной модели, даже с использованием суперкомпьютеров, на сегодняшний день представляется трудноразрешимой задачей.

В настоящей работе в главе 2 построены относительно простые для численной реализации двумерные математические модели, назначение которых — описать динамику реальных лесных пожаров для экспертной оценки развития ситуации и выработки управленческих решений по тушению пожаров, а также для оценки ущерба от пожаров. В то же время эти модели отражают основные физические законы сохранения вещества, импульса и энергии, учитывают неоднородное распределение запасов лесных горючих материалов на местности и наиболее существенные для динамики пожара физические явления, происходящие в зоне пожара. В §1 главы 2 построена двумерная двухфазная модель лесных пожаров. При построении этой модели, как и в модели распространения тяжелых газов, был использован метод осреднения исходных трехмерных уравнений газовой динамики по высоте слоя лесных горючих материалов, в котором параметры среды, например, истинная плотность и влагосодержание лесных горючих материалов, сила ветра и другие, предполагались постоянными. В модели рассматривается многокомпонентная газовая фаза, состоящая из горючих газов, негорючих газов, дисперсной сажи и окислителя, многокомпонентная твердая фаза, состоящая из лесных горючих материалов и твердых продуктов разложения лесных горючих материалов в результате химических реакций. Модель учитывает конвективный перенос и турбулентное трение, теплопроводность и перенос энергии излучения в газовой фазе, межфазное трение, межфазный массо-и теплообмен и обмен лучистой энергией, а также изменение объемных долей фаз и тепловыделение за счет химических реакций в газовой и твердой фазах. Кроме того, модель учитывает неоднородность распределения запасов лесных горючих материалов по площади. Однако, построенная одноярусная модель не учитывает процессов, происходящих над этим слоем лесных горючих материалов и под ним.

Из наблюдений известно, что в реальных лесных пожарах существует механизм распространения пожара с помощью крупных горящих частиц, которые переносятся ветром над пологом леса и, опускаясь, служат причиной образования новых очагов огня перед фронтом пожара. Для учета механизма распространения пожара горящими частицами в §2 главы 2 была построена трехфазная модель лесных пожаров, в которой горящие частицы, переносимые по ветру над слоем лесных горючих материалов, рассматриваются как отдельная фаза со скоростью и температурой, отличными от газовой фазы.

Также из наблюдений за реальными лесными пожарами известно, что верховой пожар (пожар в кронах деревьев) может самостоятельно распространяться лишь при наличии достаточно сильного ветра. При отсутствии ветра такой пожар затухает. Пожары же в нижних ярусах леса более устойчивы и могут распространяться и при отсутствии ветра. Часто наблюдается явление совместного распространения верхового и низового пожаров. При этом фронт низового пожара обгоняет фронт верхового и затем поджигает верхний слой лесных горючих материалов. Для описания этого процесса в §3 главы 2 построена двухъярусная модель лесных пожаров.

Таким образом, для моделирования процесса распространения реальных лесных пожаров автором впервые разработан комплекс относительно простых для численной реализации двумерных математических моделей, построенных на основе законов сохранения механики многофазных реагирующих сред и учитывающих неоднородность распределения лесных горючих материалов по площади, наличие препятствий для распространения огня и основные физико-химические явления, происходящие в рассматриваемом процессе.

Разработан алгоритм численного решения задачи (см. §4 гл. 2), построенный по тому же принципу, что и алгоритм численного решения задачи о распространении облаков тяжелых газов, о котором сказано выше. Создан программный комплекс и проведено численное моделирование процесса распространения лесных пожаров по двумерной двухфазной, двумерной трехфазной и двухъярусной моделям лесных пожаров в условиях неоднородного распределения запасов лесных горючих материалов по площади и наличия препятствий для распространения огня, таких как, дороги, просеки, реки, поляны и т.д. Результаты моделирования представлены в §5 главы 2. Было также проведено численное исследование чувствительности моделей по параметрам. В частности, исследовано влияние на распространение лесных пожаров таких параметров, как влагосодержание, количество дисперсной сажи, скорость ветра. Также исследовано влияние на распространение лесных пожаров отдельных физических процессов -конвективного переноса, межфазного теплообмена, межфазного обмена лучистой энергии и т.д. Программный комплекс, построенный по двумерной двухфазной модели в 2003 году, был внедрен у заказчика — в Федеральном агентстве правительственной связи и информации. Основные результаты по второй главе опубликованы в работах [136-138, 149-154,158].

Рассмотренные в третьей главе диссертации задачи экологии, описываемые двумерным нестационарным уравнением поперечных колебаний тонких упругих пластин, представляют большой интерес как с точки зрения развития теоретических основ математического моделирования в таких задачах (разработки численных методов и их обоснования), так и с точки зрения практических приложений. С прикладной точки зрения представляет интерес задача о распространении изгибно-гравитационных волн в ледяном покрове под воздействием внешнего давления. Такие задачи возникают, когда требуется оценить прочность ледяного покрова при воздействии на него движущегося поля давления, например, при движении по льду автотранспорта или при выборе на льду взлетно-посадочных полос для самолетов [53-57]. Также представляет практический интерес задача об определении возможности всплытия подводного аппарата на поверхность моря из под ледяного покрова [58]. Интерес представляет также задача о деформации ледяного покрова под воздействием сферической волны давления, распространяющейся в воде под ледяным покровом. Применима она также к задаче геоэкологии о поперечных колебаниях океанических литосферных плит, в которой тонкую, по сравнению с континентальной, океаническую литосферу, состоящую из относительно однородной породы (базальта), можно рассматривать в приближении тонкой упругой пластины [59,157,158].

Некоторые из перечисленных выше задач ранее решались аналитически. Так в [53] рассмотрено одномерное уравнение колебаний, а перемещение по льду плоского фронта давления задается в правой части уравнения ô-функцией вида Pè(x-\t), где Р — постоянная сила, действующая на поверхность ледяного покрова. Для этого случая получены критические значения скорости движения нагрузки, при которых частота колебаний ледяного покрова под действием нагрузки совпадает с частотой собственных колебаний льда на поверхности воды и в системе возникает резонанс, а прогиб пластины под действием нагрузки, а, следовательно, и внутренние напряжения в пластине неограниченно возрастают и происходит ее разрушение. Тот же подход для решения двумерного уравнения содержится в [54,55]. В работе [56] решалась стационарная задача о прогибах ледяной поверхности под действием сосредоточенной нагрузки. Полученное аналитически решение в виде интеграла затем аппроксимировалось квадратурной формулой и рассчитывалось численно. В работе [58] рассмотрена задача о деформации ледяного покрова выдвигающимся из воды вертикальным цилиндром. Уравнение колебаний пластин рассматривалось в осесимметричном случае, сосредоточенная сила задавалась также в виде б-функции и было получено аналитическое решение.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что численные методы решения таких задач практически не применялись. Если говорить о применении численных методов к решению двумерного уравнения поперечных колебаний тонких упругих пластин, то, например, в строительной механике в основном применялись методы конечных элементов, разностные же методы разработаны лишь для стационарной задачи [60,61], при этом рассматривались краевые задачи первого и второго рода для прямоугольных областей.

В §1 главы 3 приводится математическая постановка рассматриваемых экологических задач.

В §2 главы 3 разработан новый разностный метод решения поставленной задачи. С помощью замены переменных вместо исходного дифференциального уравнения, имеющего второй порядок по времени, рассматривается система уравнений с производными первого порядка по времени, для которой строится разностная схема. Двумерная область с криволинейным контуром, в которой рассматриваются исходная краевая задача, аппроксимируется ступенчатой областью, состоящей из прямоугольных ячеек, и рассматривается сетка с узлами в центрах этих ячеек. Разностная аппроксимация полученной системы уравнений строится балансным методом [62] с помощью интегрирования каждого из уравнений системы по площади ячеек. В результате получается неявная двухслойная разностная схема. Полученная разностная схема значительно проще для численной реализации, чем громоздкая трехслойная разностная схема, которая получилась бы при непосредственной разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения. Для решения системы разностных уравнений применялся метод расщепления по пространственным переменным.

Был создан программный комплекс на языке С++ , Эффективность разработанного численного метода была проверена путем сравнения результатов расчета с точным решением задачи о цилиндрическом изгибе прямоугольной пластины постоянной толщины под действием гармонической силы, заданной в виде плоской волны давления. Результаты расчетов показали высокое быстродействие алгоритма и хорошую точность.

В рассматриваемой задаче все коэффициенты в уравнении являются либо бесконечно дифференцируемыми функциями (толщина и цилиндрическая жесткость пластины), либо постоянными, однако, правая часть уравнения, описывающая действие сил на поверхности пластины, а также изгибающий момент и перерезывающая сила на контуре пластины могут быть разрывными функциями. В силу этого, решения исходной задачи рассматриваются как обобщенные решения из соответствующих функциональных пространств. В §3 главы 3 приведены условия гладкости входных данных, обеспечивающие, как следует из [63], существование и единственность обобщенного решения исходной дифференциальной задачи из класса

Одной из самых трудных задач при обосновании численных методов решения задач математической физики является доказательство устойчивости построенных аппроксимаций и их сходимости к обобщенному решению исходной краевой задачи с оценкой скорости сходимости. Устойчивости разностных схем для эллиптических уравнений четвертого порядка по граничным условиям первого рода посвящены работы В.Б.Андреева [64,65]. Отметим также близкие работы Ю.И.Мокина, Р.ДЛазарова [66] и Л.С.Франка [67]. Среди работ в этой области следует отметить работы А.А.Злотника [6870], в которых доказывается сходимость метода конечных элементов к обобщенному решению краевых задач и работы других авторов [71,72]. Отметим также работы, в которых доказывается сходимость метода Галеркина к обобщенным решениям для различных задач [73-81]. Что же касается конечно-разностного метода для уравнений четвертого порядка по пространственным переменным, то вопрос о сходимости разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной краевой задачи исследован лишь для стационарного бигармонического уравнения с однородными краевыми условиями [61].

В §3 главы 3 доказана теорема об устойчивости решения разностной задачи по входным данным.

В §4 главы 3 доказана теорема о сходимости разностных аппроксимаций, к обобщенному решению исходной краевой задачи для уравнения колебания тонких упругих пластин с оценкой скорости сходимости. Доказательство основано на методике разработанной автором при доказательстве сходимости разностных аппроксимаций третьей краевой задачи для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами [140]. Эта методика, в свою очередь, основана на работах А.А.Самарского и его учеников [82-84], результаты которых были позже опубликованы в монографии [61].

В §5 главы 3 рассмотрены приложения задачи о колебаниях тонких упругих пластин к некоторым задачам экологии. С помощью созданного программного комплекса было проведено численное моделирование процесса распространения колебаний в ледяном покрове под действием динамических нагрузок, моделирующих движение одного и нескольких объектов по ледяной поверхности. При одновременном движении нескольких объектов друг за другом, в зависимости от расстояний между ними, наблюдалось либо гашение волн, либо их наложение с увеличением амплитуды. Проведено численное моделирование процесса распространения колебаний в ледяном покрове под действием динамической нагрузки, моделирующей всплытие подводного аппарата из-под ледяного покрова. Вычисляя компоненты тензора напряжений по закону Гука через изгибающие моменты, рассчитываемые в программе, можно численно исследовать прочность ледяного покрова при воздействии на него различных динамических техногенных нагрузок. Основные результаты по третьей главе опубликованы в работах [139-142,155-157].

Результаты работы по теме диссертации опубликованы в 24-х работах [135-158].

Автор глубоко благодарен В.Ф.Тишкину, Б.Н.Четверушкину и своему учителю Ф.П.Васильеву за постоянное внимание и поддержку в работе, а также Р.Н.Кузьмину за поддержку, оригинальные идеи и обсуждения физических моделей и приложений рассматриваемых задач.

Автор искренне благодарен А.А.Амосову, М.М.Потапову, В.Г.Звереву, А.П.Михайлову за обсуждения отдельных вопросов по теме диссертации, способствовавшие улучшению работы, а также Г.Г.Малинецкому за поддержку в работе.

Автор благодарен Н.П.Савенковой и С.В.Филипповой за плодотворную совместную работу на протяжении ряда лет.

Автор глубоко благодарен Е.Е.Мышецкой за совместную работу по созданию программного комплекса для моделирования лесных пожаров и проведение расчетов.

Автор благодарен Ал.А.Кулешову и В.В.Мымрину за совместную работу по созданию программного комплекса и проведению расчетов в задаче о колебаниях тонких упругих пластин.

Автор искренне благодарен Т.Г.Ермаковой и Е.Е.Мышецкой за большую помощь в подготовке текста диссертации и публикаций.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кулешов, Андрей Александрович

Основные результаты измерений представлены (см.[96-98]) на графиках изменения во времени концентрации примеси в различных точках площадки. Звуковые анемометры использовались для контроля динамического состояния возмущенной атмосферы. Экспериментальные данные [98] по вертикальному распределению концентрации примеси во фронте облака подтверждают гипотезу о высокой степени перемешивания газа в облаке и, следовательно, предположение о слабом изменении значений параметров течения в вертикальном направлении, сформулированное в п. 1.3 §1, соответствует реальности.

Г 'Г I ГI I Г1 I г 1

200 250

Рис. 1.2.1. Численный эксперимент по распространению облака фреона: а)1 = 0с, Ь) Юс , с)г=100с, (1) г = 200с о о;

1П1ПГ1П11| п I г г 11ЧПТ111П г 17

50 100 150 200 т1>г1 пи

Эо

Рис. 1.2.2. Сравнение результатов численного (—) и натурного (— —) экспериментов при г = 200с

На рис. 1.2.1 изображены результаты численного эксперимента [135] по распространению облака фреона по ровной поверхности соответствующие натурному эксперименту. При сравнении результатов численных экспериментов с натурными (см. рис. 1.2.2) было получено хорошее совпадение (порядка 5%) по скорости распространения облака и несколько худшее совпадение (порядка 12%) по концентрации газа в облаке, что объясняется погрешностью полуэмпирической формулы для разбавления облака окружающим воздухом.

С помощью созданного программного комплекса были также проведены тестовые расчеты по обтеканию облаком тяжелого газа препятствий различной формы и высоты (см.[135]), затеканию во впадины, распространению по наклонной поверхности, распространению при наличии и при отсутствии ветра.

3.3. Моделирование аварии под Уфой 03.06.1989г.

Как отмечено во введении, авария под Уфой (м. Аша, Башкирия, СССР) 03.06.1989г. была связана с разрывом трубопровода, истечением 5000-10000 тонн пропан-бутаной смеси, образованием облака и его распространением по пересеченной местности с последующим воспламенением.

Впервые численное моделирование аварии под Уфой по модели (1.30)-(1.34) было проведено в 1990 году на ЭВМ НР-1000. Была промоделирована стадия гравитационного растекания облака. На рис. 1.3 представлен рельеф местности и граница зоны поражения, определенные экспертами в результате расследования аварии.

Рис.1.3. Авария 03.06.1989 под Уфой (Башкирия). Рельеф местности (масштаб по высоте увеличен) и граница зоны поражения, определенные в результате расследования аварии.

На рис. 1.4 представлены результаты численного моделирования процесса распространения облака тяжелых углеводородов (до его воспламенения) при аварии под

Источник

Уфой. Численное моделирование [135,136] показало, что зона поражения, определенная по вываленному лесу, заполнилась за 30 минут (см. рис. 1.4). Контуры на рис. 1.4 определены по концентрации С = 0.08, соответствующей стехиометрическому составу смеси.

Рис.1.4. Результаты математического моделирования аварии 03.06.1989 под Уфой.

Граница облака. Время 20, 30,40 мин.

Высота облака над рельефом по результатам расчетов составила до 25 м. Пользуясь полученными в результате вычислительных экспериментов данными по. конфигурации и параметрам газа в облаке, можно в дальнейшем на основе математического моделирования процесса сгорания облака или с помощью инженерных методик [8] провести оценку поражающих факторов при сгорании облака.

Результаты численного моделирования аварии под Уфой, полученные автором в 2002 году [136], с использованием модификации программного комплекса, созданного для моделирования лесных пожаров, практически совпали с результатами моделирования [135], хотя время расчета уменьшилось на порядок за счет применения современных РС.

С помощью разработанной модели и созданного программного комплекса возможно также моделирование токсических аварий с распространением тяжелых газов таких, например, как хлор.

Следует отметить, что в 90-х годах, на основе разработанных в [135] модели и метода расщепления Н.П.Савенковой и С.В.Филипповой при участии автора был создан программный комплекс для IBM-PC совместимых компьютеров в программной среде PASKAL, и авария под Уфой была промоделирована повторно с использованием начальных данных работы [135]. Результаты моделирования [144] совпали с результатами [135].

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА

§4. Математическое моделирование разлитии нефти.

4.1. Актуальность задачи математического моделирования разлитий нефти.

Как было отмечено во введении, задача борьбы с разлитиями нефти из магистральных трубопроводов является чрезвычайно актуальной. Протяженность магистральных нефтепроводов не территории России на 2000 г. составляла около 50 тыс. км [99]. Анализ динамики старения нефтепроводов системе АК «Транснефть» за 1995 -2000 гт. (см. таблицу 1.1) говорит о неуклонном старении нефтепроводов. Так, свыше 30 лет эксплуатируется 25% (12,4 тыс.км) общей протяженности магистральных нефтепроводов, от 20 до 30 лет - 29% (13.3 тыс. км), отЮ до 20 лет - 33.9% (15.6 тыс. км), до 10 лет - всего 11.8% (5.8 тыс. км). К 2000 году доля нефтепроводов возрастом более 20 лет составила 73%, а более 30 лет - 41%.

Заключение

В заключение работы сформулируем кратко основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Разработана двумерная математическая модель распространения облаков тяжелых газов над орографически неоднородной поверхностью с учетом ветра. Создан программный комплекс для ЭВМ HP-1000 в операционной среде UNIX и проведено численное моделирование реальной аварии на трубопроводе с распространением облака тяжелого газа на местности с неоднородным рельефом.

2. Создан комплекс двумерных многофазных математических моделей процесса распространения лесных пожаров и проведено численное моделирование процесса распространения лесных пожаров в условиях неоднородного распределения запасов лесных горючих материалов по площади и наличия препятствий для распространения огня.

3. Разработан новый разностный метод решения нестационарной задачи о поперечных колебаниях тонких упругих изотропных пластин переменной толщины. Проведено численное моделирование в задачах о колебаниях ледяного покрова под действием техногенных динамических нагрузок.

4. Доказана сходимость построенных разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной краевой задачи о поперечных колебаниях тонких упругих пластин и получена оценка скорости сходимости.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кулешов, Андрей Александрович, 2005 год

1. Шахраманьян М.А. Новые информационные технологии в задачах обеспечения национальной безопасности России. М.: ФЦ ВНИИ ГОЧС, 2003.- 398с.

2. Маршалл В. Основные опасности химических производств. М.: Мир, 1989. — 672с.

3. Havens J.F. Mathematical modelling of heavy gas dispersion // An overview. 5th International Sumposium on Loss Prevention and Safety Promotion in the Process Industries, 1986, pp.32.1-32.27.

4. Colenbrander G.W., Puttock J.S. Dense gas dispersion behaviour: experimental observations and model developments // 4th International Sumposium on Loss Prevention and Safety Promotion in the Process Industries, 1983, pp.F66-F75.

5. Kaiser G.D., Walker B.C. Releases of anhydrous ammonia from pressurized containers // The importance of denser than - air mixtures. Almospheric Environment, 1978, pp.2289-2300.

6. Jagger S.F. Development of CRUNCH: a dispersion model for continuous releases of denser than -air vapour into the atmosphere // Rapport HSE/SLD/PD 010 WP 10 -UKAEA-SRD, Juin, 1981.

7. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. М.: Иностр. лит., 1959.

8. Методика оценки последствий аварий на пожаро-взрывоопасных объектах. М.: Изд-во МЧС, 1994.-41с.

9. Кондратьев К .Я., Григорьев Ал.А. Лесные пожары как компонент природной экодинамики // Оптика атмосферы и океана, 2004, т. 17, №4, с.279-292.

10. Исаев А.С., Коровин Г.Н. Крупномасштабные изменения бореальных лесов Евразии и методы их оценки по аэрокосмической информации // Лесоведение, 2003, №2, с.3-9.

11. Кондратьев К .Я., Крапивин В.Ф. Моделирование глобального круговорота углерода. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -336с.

12. Sukhinin A.I., French N.H., Kasischke E.S. et al. AVHRR-based mapping of fires in Russia: new products for fire management and carbon cycle studies // Remote Sensing of Environment, 2004, v.93, pp.546-564.

13. Воробьев О.Ю., Валендик Э.Н. Вероятностное множественное моделирование. Новосибирск: Наука СО, 1978 159с.

14. Clar S., Drossel В., Schwabl F. Forest fires and other examples of self-organized criticality // J.Phys.: Cond. Mat. 1996. v.8. p.6803.

15. Drosel В., Schwabl F. Self-organization in forest fire model // Fractals. 1993. v.l, N4. pp. 1022-1029.

16. Drossel В., Clar S., Schwabl F. Crossover from percolation to self-organized criticality// Phys. Rev. E. 1994. v.50, N4. pp.R2399-R2402.

17. Bak P., Chen K., Tang C. A forest-fire model and same thoughts on turbulence // Physics Letters A. 1990. v.147, N5-6. pp.297-300.

18. Катков B.JI. Моделирование распространения низового лесного пожара // Материалы 4-й международной конференции «Лесные и степные пожары: возникновение, распространение, тушение и экологические последствия». Томск: Изд-во Томск, ун-та, 2001. 260с.

19. Конев Э.В. Физические основы горения растительных материалов. Новосибирск: Наука СО, 1977.-239с.

20. Доррер Г.А. Математические модели динамики лесных пожаров. М.: Лесн. пром., 1979.- 161с.

21. Доррер Г.А. Модель распространения криволинейных фронтов лесного пожара // Физика горения и взрыва, 1984, №1, с. 11-19.

22. Доррер Г.А. Описание динамики лесных пожаров как управляемых динамических систем // В кн.: Механика реагирующих сред и ее приложения. Новосибирск: Наука СО, 1989, с.22-32.

23. Курбатский Н.П., Телицын Г.П. Современная теория распространения лесных низовых пожаров// Современные исследования типологии и пирологии леса. Архангельск: АИЛХ, 1976, с.90-96.

24. Rothermel R.C. A mathematical model for fire spread predictions in wildlang fires // Ogden: USDA Forest Service Res. Paper, 1972. INT-115.-40 p.

25. Cheney N.P., Gould J.S., Catchpole W.R. Prediction of fire spread in grasslands // Int. J. Wildland Fire, 1998, v.8, №1, pp.1-13.

26. Porterie В., Loraud J.C., Morvan D., Larini M. A numerical study of plumes in cross-flow conditions// Int. J. Wildland Fire, 1999, v.9, №2, pp. 101-108.

27. Гостинцев Ю.А., Махвиладзе Г.М., Мелихов О.И. Вынос аэрозольных частиц в стратосферу горячим термином // Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, №6, с.146-152.

28. Гостинцев Ю.А., Копылов Н.П., Рыжов A.M., Хасанов И.Р. Численное моделирование конвективных движений над большими пожарами при различных атмосферных условиях // Физика горения и взрыва, 1991, №6, с. 10-17.

29. Музафаров И.Ф., Утюжников С.В. Численное моделирование конвективных колонок над большим пожаром в атмосфере // ТВТ, 1995, т.ЗЗ, №4, с.594-612.

30. Linn R., Winterkamp J., Colman J.J., Edminster C., Bailey J.D. Modeling interactions between fire and atmosphere in discrete element fuel beds // Int. J. Wildland Fire, 2005, v.14, №1, pp.37-48.

31. Cunningham P, Goodrick S.L., Hussaini M.Y., Linn R.R. Coherent vertical structures in numerical simulations of buoyant plumes from wildland fires // Int. J. Wildland Fire, 2005, v.14, №1, pp.61-75.

32. Clark T.L., Jenkins M.A., Coen J.L., Packham D.R. A coupled atmosphere-fire model: role of the convective froude number and dynamic fingering at the fireline // Int. J. Wildland Fire, 1996, v.6, №4, pp. 177-190.

33. Clark T.L., Coen J.L., Latham D. Description of a coupled atmosphere-fire model // Int. J.Wildland Fire, 2004, v.13, №1, pp.49-63.

34. Coen J.L. Simulation of thr Big Elk Fire using coupled atmosphere-fire modeling // Int. J.Wildland Fire, 2005, v.14, №1, pp.49-59.

35. Гришин A.M. Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы с ними. Новосибирск: Наука СО, 1992. 404с.

36. Гришин A.M. Математические модели лесных пожаров. Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та, 1981. -277с.

37. Гришин A.M., Фомин А.А. Численное исследование тепло- и массопереноса в приземном слое атмосферы над очагом крупного лесного пожара // Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1985, с. 108-113.

38. Гришин A.M., Алексеев Н.А., Брабандер О.П., Зальмеж В.Ф. Распространение в приземном слое атмосферы термиков, возникающих при лесных пожарах // Теплофизика лесных пожаров. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1984, с. 76-85.

39. Гришин A.M. О стационарном распространении фронта верхового лесного пожара//ДАН СССР, 1984, т.279, №3, с. 550-554.

40. Гришин A.M. Общая математическая модель лесных пожаров и её приложение // Физика горения и взрыва, 1996, т.32, № 5, с.34-54.

41. Гришин A.M. Общая математическая модель лесных пожаров и ее приложения для охраны и защиты лесов // Сопряженные задачи механики и экологии. Избранные докл. межд. конф. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 2000, с.89-137.

42. Гришин A.M. Прогноз и моделирование лесных пожаров // Материалы 4-ой конференции «Лесные и степные пожары: возникновение, распространение, тушение и экологические последствия». Томск: Изд-во Томск, ун-та, 2001.

43. Гришин A.M., Грузин А.Д. Конвективный тепломассоперенос и закономерности распространения горящих частиц в приземном слое атмосферы при верховых лесных пожарах // ДАН СССР, 1983, т. 253, с.549-553.

44. Гришин A.M., Грузин А.Д., Зверев В.Г. Тепломассообмен и распространение горящих частиц в приземном слое атмосферы при верховых лесных пожарах // Физика горения и взрыва, 1981, т. 17, № 4, с. 78-84.

45. Гришин A.M., Грузин А.Д., Зверев В.Г. Математическая теория верховых лесных пожаров. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1984, с.38-75.

46. Гришин A.M., Грузин А.Д., Зверев В.Г. Исследование структуры и пределов распространения фронта верхового лесного пожара // Физика горения и взрыва, 1985, №1, с.11-21.

47. Гришин A.M., Голованов А.Н., Катаева Ю.Л., Лобода Е.Л. Постановка и решение задачи о сушке слоя лесных горючих материалов // Физика горения и взрыва, 2001, т.37, №1, с.65-76.

48. Гришин A.M., Грузин А.Д., Грузина Э.Э. Аэродинамика и тепломассообмен фронта лесного пожара с приземным слоем атмосферы // ПМТФ, 1984, №6, с.91-96.

49. Гришин A.M., Зверев В.Г., Грузин А.Д. Математическое моделирование процесса распространения верховых лесных пожаров // ДАН СССР, 1983, т.269, №4, с.822-826.

50. Гришин A.M., Перминов В.А. Математическое моделирование зажигания крон деревьев // Физика горения и взрыва, 1998, т.34, №4, с. 13-22.

51. Зверев В.Г. Математическое моделирование аэродинамики и тепломассопереноса при распространении вершинных пожаров. Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та, 1985,-222с.

52. Хейсин Д.Е. Динамика ледяного покрова. JL: Гидрометеоиздат, 1967. 216с.

53. Schulkes R.M.S.M., Sneyd A.D. Time-dependent response of floating ice to a steadily moving load // J.Fluid Mech., 1988, v.l86, pp.25-46.

54. Miles J., Sneyd A.D. The response of a floating ice sheet to an accelerating line load // J. of Fluid Mechanics, 2003, v.497, pp.435-439.

55. Milinazzo F., Shinbrot M., Evans N.W. A mathematical analysis of the steady response of floating ice to the uniform motion of a rectangular load // J.Fluid Mech., 1995, v.287, pp.173-197.

56. Рйгйи E., Dias F. Nonlinear effects in the response of a floating ice plate to a moving load // J. of Fluid Mechanics, 2002, v.460, pp.281-305.

57. Dempsey J.P., Zhao Z.G. Elastohydrodynamic response of ab ice sheet to forced subsurface uplift // J. Mech. Phys. Solids, 1993, v.41, №3, pp.487-506.

58. Тёркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика. М.: Мир, 1985, т.1. 369с.

59. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.-352с.

60. Самарский А.А., Назаров Р.Д., Макаров B.J1. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987. -296с

61. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. -616с.

62. Lions J.L., Magenes Е. Non-homogeneous boundary value problems and applications. v.2. Springer-Verlag, 1972. 242p.

63. Андреев В.Б. Устойчивость разностных схем для эллиптических уравнений по граничным условиям Дирихле // ЖВМ и МФ, 1972, т.12, №3, с.598-611.

64. Андреев В.Б. Устойчивость разностных схем для эллиптических уравнений четвертого порядка в прямоугольнике по граничным условиям первого рода // Сб. работ НИВЦ МГУ "Вычислительные методы и программирование". М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977, с.116-166.

65. Франк J1.C. Коэрцитивные краевые задачи для разностных операторов // ДАН СССР, 1970, т. 192, №1, с.42-45.

66. Мокин Ю.И., Лазаров Р.Д. Устойчивость эллиптических разностных схем в метриках Lp>h // Сб. "Исследования по теории разностных схем для эллиптических и параболических уравнений". М.: Изд-во Моек ун-та, 1973.

67. Злотник А.А.Оценка скорости сходимости проекционно-сеточных методов для гиперболических уравнений второго порядка // Сб. Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991, вып.8, с.116-167.

68. Злотник A.A. О скорости сходимости в Ж2'л вариационно-разностного методадля эллиптических уравнений // ДАН СССР, 1983, т.271, №4, с.784-788.

69. Злотник A.A., Киреева О.И. Проекционно-сеточные методы для задачи о динамических колебаниях неоднородного стержня в случае негладких данных // Матем. заметки, 1996, т.60, вып.1, с.138-143.

70. Geveci Т. On the convergence of Galerkin approximation schemes for second-order hyperbolic equations in energy and negative norms // Math, of Comput., 1984, v.42, №166, pp.393-415.

71. Kok В., Geveci Т. On the convergence of Galerkin approximation schemes for second-order hyperbolic equations with dissipation // Math, of Comput., 1985, v.44, №170, pp.379-390.

72. Железовский C.E., Ляшко А.Д. Оценки погрешности метода Галеркина для квазилинейных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения, 2001, т.37, №7, с.941-949.

73. Железовский С.Е., Букесова H.H. Оценки погрешности проекционного метода для абстрактного квазилинейного гиперболического уравнения // Изв. вузов. Математика, 1999, №5, с.94-96.

74. Железовский С.Е. Метод Бубнова-Галеркина для абстрактной квазилинейной задачи о стационарном действии // Дифференц. уравнения, 1995, т.31, №7, с.1222-1231.

75. Железовский С.Е. О существовании и единственности решения и о скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для одной квазилинейной эволюционной задачи в гильбертовом пространстве // Изв. вузов. Математика, 1998, №10, с.37-45.

76. Зарубин А.Г. Исследование проекционной процедуры Галеркина-Петрова методом дробных степеней//ДАН СССР, 1987, т.297, №4, с.780-784.78,79,80,8184,85,86,87,88,89,90.

77. Смагин В.В. Оценки погрешности полудискретных приближений по Галеркину для параболических уравнений с краевым условием типа Неймана // Изв. вузов. Математика, 1996, №3, с.50-57.

78. Смагин В.В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнений // Матем. сборник, 1997, т.188, №3, с.143-160.

79. Карчевский М.М., Ляшко А.Д., Темирбаев М.Р. Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений четвертого порядка // Дифференц. уравнения, 1999, т.35, №2, с.232-237.

80. Лазаров Р.Д., Макаров В.Л., Самарский A.A. Применение точных разностных схем для построения и исследования разностных схем на обобщенных решениях // Матем. сборник, 1982, т.117, №4, с.469-480.

81. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736с. Доброчеев О.В., Мотулевич В.П. Общие закономерности турбулентного трения // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1988, №12.

82. Сеидов Д.Г. Синергетика океанских процессов. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. -288с.

83. Доброчеев О.В. Турбулентная вязкость в неоднородных потоках // Теплоэнергетика, 1989, №7, с. 12-15.

84. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды // Сб. Методы расчета турбулентных течений. М.: Мир, 1984. 464с.

85. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.-608с.

86. Зеленцов В.Б., Рындина Н.Ч., Тишкин В.Ф. Применение квазимонотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации к нестационарной задачео трещине продольного сдвига. М.: Ин-т матем. моделирования РАН, 1993, Препринт № 20. -18с.

87. Lerat A., Peyret R. Sur l'origine des oscillations apparaissant dans les profils de choc calcules par des method es aux difference // C.R. Acad. Sci. Paris, 1973, ser.A, v.276, № 10, pp.759-762.

88. Lerat A., Peyret R. Sur le choix de schémas aux differences du second ordre fournissant des profils de choc sans oscillation // C.R. Acad Sci. Paris, 1973, ser. A, v.277, № 9, pp.363-366.

89. Lerat A., Peyret R. The problem of spurious oscillations in the numerical solution of the equations of gas dynamics // Lecture Notes in Physics, 1974, v.35, pp.251-256.

90. Lerat A., Peyret R. Properties dispersives et dissipatives d'une classe de schémas aux differences pour les systèmes hyperboliques non lineares // Rich.Rerosp., 1975, № 2, pp.61-79.

91. Davies M.E., Singh S. Thorney Island its geography and meteorology // Journal of Hazardous Materials, 1985, №11, pp. 91-124.

92. Cotaas Y. Heavy gas dispersion and environmental conditions as revealed by the Thorney Island experiments // Journal of Hazardous Materials, 1985, №11, pp.399-408.

93. Nussey C., Davies M.E., Marcer A. The effects of averaging time on the statistical properties of sensor records // Journal of Hazardous Materials, 1985, №11, pp.125—153.

94. Рябов Н.И. Пожаровзрывоопасность процесса испарения нефти с открытой поверхности в атмосферу при проведении ремонтных работ на магистральных нефтепроводах. Диссертация канд. тех. наук. М., 2000.

95. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкости в природных пластах. М.: Наука, 1984. 207с.

96. Конев Э.В. Физические основы горения растительных материалов. Новосибирск: Наука СО, 1977.-239с.

97. Курбатский Н.П. Исследование количества и свойств лесных горючих материалов // Вопросы лесной пирологии. Красноярск: ИЛ и Д СО АН СССР, с.3-58.

98. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М.: Наука, 1987. 464с.

99. Coy Ш. Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир, 1971. 536с.

100. Дейч М.Е., Филиппов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энергия, 1968. -423с.

101. Померанцев В.В. Основы практической теории горения. JL: Энергоатомиздат, 1986.-309с.

102. Дубов A.C., Быкова Л.П., Марунич C.B. Турбулентность в растительном покрове. JL: Гидрометеоиздат, 1978. 182с.

103. Гришин A.M., Синицын С.П., Акимова И.В. Сравнительный анализ термокинетических постоянных сушки и пиролиза лесных горючих материалов // Физика горения и взрыва, 1991, №6, с. 17-24.

104. Щетинков Е.С. Физика горения газов. М.: Наука, 1965. 739с.

105. Барский Г.А., Зельдович Я.Б. Журнал физической химии, 1951, т.25, с.523-547.

106. Цуханова O.A. Кинетика и распространение пламени // Сб. докладов на семинаре по горению. Изд-во АН СССР, 1959, с.3-18.

107. Roberts A.F. The heat of reaction during the pyrolysis of wood combustion // Ibid. 1977, v.29, pp.311-324.

108. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М.: Наука, 1985. 304с.

109. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматгиз, 1963. 632с.

110. Алексеев В.Я. О спектральной яркости некоторых объектов лесной аэрофотосъемки. Методы дешифрования лесов по аэроснимкам. М.: Изд-во АН СССР, 1963.- 160с.

111. СвейнФ., Дейвис 111. (ред.) Дистанционное зондирование: Количественный подход. М.: Мир, 1983. 320с.

112. Вайнштейн П.В. Радиационный фронт пламени в смеси газов с твердыми частицами//ПМТФ, 1973, №3, с.83-92.

113. Павлов A.B. Энергообмен в ландшафтной сфере Земли. Новосибирск: Наука СО, 1984.-256с.

114. Byram G.M. Combustion of forest fuels // Forest Fire Control and Use. Mc.Graw-Hill, 1959, №4, p.89.

115. Валендик Э.Н. Борьба с крупными лесными пожарами. Новосибирск: Наук СО, 1990. 193с.

116. Tarifa C.S., Notario P.P. Moreno F.G. On the flight path and life time of burning particles of wood // 10th Int. Symposium on Combustion. Pittsburg, 1965, p.1021-1037.

117. Валендик Э.Н., Матвеев П.М., Сафронов M.A. Крупные лесные пожары. М.: Наука, 1979. 198с.

118. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматлит, 1963.-636с.

119. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968.-559с.

120. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М. Наука, 1987. -248с.

121. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1958.-385с.

122. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем М.: Наука, 1973. -416с.

123. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536с.

124. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. -408с.

125. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М: Изд-во Моск. ун-та, 1999. 238с.

126. Марченко А.В. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом // ПММ, 1988, т.52, вып.2, с.230-234.

127. Марченко А.В., Шрира В.И. К теории двумерных нелинейных волн в жидкости под ледяным покровом // Изв. АН СССР, МЖГ, 1991, №4, с.125-133.

128. Марченко А.В. О гамильтоновом подходе к исследованию потенциальных движений идеальной жидкости//ПММ, 1995, т.59, вып.1, с.102-108.

129. Смирнов В.Н. Колебания ледяного покрова, вызываемые внутренними волнами в Арктике//ДАН СССР, 1972, т.206, №5, с.1106.

130. Dobrocheev O.V., Kuleshov А.А., Lelakin A.L. A two dimensional model of heavy gas cloud dispersion under industrial accidents. Preprint IAE 1991. M.: 1991, №5339/1.-16p.

131. Кулешов A.A. Математическое моделирование в задачах промышленной безопасности и экологии // Информационные технологии и вычислительные системы, 2003, №4, с.56-70.

132. Кулешов A.A. Математические модели лесных пожаров // Матем. моделирование, 2002, т.14, №11, с.33-42.

133. Кулешов A.A., Мышецкая Е.Е. Математическое моделирование лесных пожаров с применением многофазных моделей // Матем. моделирование, 2005, т.17, №1, с.34-42.

134. Кулешов A.A. Разностная аппроксимация и регуляризация одной задачи оптимального управления процессом, описываемым эллиптическим уравнением //ДАНСССР, 1983,Т.269, №4, с.809-813.

135. Кулешов A.A. О разностной аппроксимации задачи поперечных колебаний тонких упругих пластин // ЖВМ и МФ, 2005, т.45, №4, с.718-740.

136. Кулешов A.A. О численном методе решения задачи поперечных колебаний тонких упругих пластин//Матем. моделирование, 2005, т.17, №4, с.10-26.

137. Кулешов A.A. Разностный метод решения задачи о поперечных колебаниях тонких упругих пластин // Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Модели механики сплошной среды. Казань: Казанск. мат. об-во, 2004, т.28, с.129-136.

138. Доброчеев О.В., Кулешов A.A., Савенкова Н.П., Филиппова C.B. Двумерная модель рассеяния тяжелых газов на орографически неоднородной поверхности земли // Матем. моделирование, 1996, т.8, №5, с.91-105.

139. Кузьмин Р.Н., Кулешов A.A., Савенкова Н.П., Филиппова C.B. Моделирование аварий на промышленном объекте с истечением тяжелых газов и жидкостей // Матем. моделирование, 1998, т. 10, №8, с.33-42.

140. Кузьмин Р.Н., Кулешов A.A., Савенкова Н.П., Филиппова C.B. Моделирование аварий с истечением тяжелых газов и жидкостей на промышленном объекте в условиях орографической неоднородности // Физическая экология, 1998, №2, с.39-45.

141. Кулешов A.A., Тишкин В.Ф. Математическая модель лесных пожаров // Сб. трудов Всероссийской конференции «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности». Ростов-на Дону: Изд-во Ростовск. ун-та,2000, с. 137-142.

142. Кулешов A.A., Мышецкая Е.Е., Тишкин В.Ф. Математическое моделирование лесных пожаров по двухфазной модели // Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Модели механики сплошной среды. Казань: Казанск. мат. общ-во, 2002, т. 16, с. 56-64.

143. Махутов H.A., Воробьев Ю.Л., Кулешов А.А, Малинецкий Г.Г. (ред.) и др. Стратегия управления риском. М.: УРСС, 2005. 350с.