Математическое моделирование распространения волн в средах с резкими неоднородностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Шерстнева, Людмила Владимировна

• Шерстнева, Людмила Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шерстнева, Людмила Владимировна

Введение

Глава 1. Исследование дисперсионных кривых для акустических волн в слоистых средах.

1.1. Введение.

1.2. Модовое представление волнового поля.

1.3. Общие свойства дисперсионных кривых.

1.4. Алгоритм численного моделирования.

1.5. Результаты численного моделирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование распространения волн в средах с резкими неоднородностями»

2.2. Поверхностные волны в вертикально неоднородной среде.58

2.3. Медленные модыволн.Лявав модеяиРЕМгО.6.6

2.4. Дисперсионные кривые для волнРэлея.72

2.5. Заключение.76

Глава 3. Решение волнового уравнения методом континуального интеграла 85

3.1. Введение.&5

3.2. Приближение функции Грина для гиперболической системы.86

3.3. Алгоритм численного моделирования.94

3.4. Заключение

Заключение.102

Литература.1Q7

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Один го старейших разделов механики сплошных: сред — волновые и колебательные движения жидкости и газа не теряет своей актуальности со временем, привлекая внимание большого количества отечественных и зарубежных авторов. Во многих природных явлениях наблюдаются процессы, которые описываются волновым уравнением» их исследование необходимо для решения различных задач* например, связанных с про-гшзированием природных катастроф. Тонной решение волнового уравнения удается получить только в отдельных простейших случаях Поэтому при моделировании волновых полей применяются различные приближенные методы[2]. Метод нормальных волн [72], дающий достаточно хорошее приближение на больших расстояниях от источника, плохо описывает поле вблизи этих источников, так как не учитывает вклад непрерывного спектра. Методам обычно используемые для расчета ближнего поля либо весьма приближенные (лучевой [41}, [59], параболическое уравнение [45})? либо весьма трудоемкие, например, различные модификации методов непосредственной численной оценки интегралов, представляющих вклад в поле мод непрерывного спектра [22], В то же время, в ряде задач, например, при моделировании распространения мощных гидроакустических импульсов, возникающих в результате взрыва, представляет значительный интерес структура волнового поля как на малых и средних, так и на больших расстояниях от источника. В диссертаций предложен метод решения волнового уравнения, основанный на конструкции континуального интеграла, позволяющий получить решение как для ближнего и среднего поля, так и на достаточно больших расстояниях от источника.

При моделировании распространения волн немаловажное значение имеет структура дисперсионных кривых акустических волн, так как наличие экстремумов групповой скорости привода- к появлению волны Эйри, что значительно затрудняет идентификацию источника звука. В диссертации получены формулы, показывающие, что появление таких экстремумов связано с наличием в среде резких нсоднородностей.

В [54] предложена теория возбуждения волн цунами сейсмоакустиче-сшми волнами. Эта теория основывается на том, что часть энергии, освобождающейся в очаге землетрясения, преобразуется в энергию упругих волн, распределенную по различным типам мод. В тех случаях, когда некоторые из мод имеют групповые скорости, близкие к скорости длинных поверхностных гравитационных волн (цунами), они могут генерировать эти волны вследствие нелинейной перекачки энергии мод в волну цунами. В диссертации показано, что благодаря наличию отчетливо выраженного волноводного характера распространения волн в системе океан-Земля, в ней имеют место медленные волны. Именно низкоскоростные моды могут быть ответственны за процесс генерации длинных поверхностных волн

Целью работы является разработка методов математического и численного моделирования распространения волн в слоистых средах; применение этих методов для исследование тонкой структуры дисперсионных кривых для звуковых и некоторых типов упругих волн при наличии в среде резких неоднородностей; разработка эффективного алгоритма и написание пакета программ для численного решения волнового уравнения в слоисто-непрерывных средах.

Научная новизна В работе

1) установлены общие свойства д исперсионных кривых для звуковых волн.

2) получены асимптотические формулы, показывающие, что появление экстремумов групповой скорости не является следствием аппроксимации, а определяется свойствами среды, а именно, наличием резких неоднородностей,

3) проведено исследование дисперсионных кривых для ряда модельных профилей скорости звука, проведены теоретические исследования, подтверждающие результаты численного моделирования;

4) для сейсмоакустических волн для модели строения земной коры РЕМ-О обнаружены медленные моды, необходимые для механизма генерации волн цунами;

5) на основе метода континуального интеграла разработан и апробирован эффективный алгоритм решения задачи Коши для волнового уравнения в слоисто-неоднородных средах.

Практическая значимость работы. В диссертации предложены методы математического моделирования распространения волн в слоистых средах, на базе этих методов разработаны и реализованы эффективные алгоритмы.

Программы численного расчета дисперсионных кривых в неподвижной слоистой среде, могут быть использованы при решении широкого класса задач, связанных с распространением вода в различных средах. Полученные в результате численного моделирования результаты^ подтвержденные теоретически, а именно, появление особенностей дисперсионных кривых, в. значительной мере влияющих на структуру поля, зависяпщх от наличия в среде резких неоднородностей, могут быть использованы в задачах, связанных с обнаружением источника звуковых волн и определения его характеристик.

Существование медденныхмод для волн Лява и Рэлея подтверждают выполнение условий необходимых для генерация волн цунами, связанной с трансформацией энергии упругих волн при землетрясении, именно низкоскоростные моды могут быть ответственны за процесс нелинейной генерации длинных поверхностных волн.

Наконец, метод решения волнового уравнения с помощью континуального интеграла позволяет получить эффективный алгоритм, позволяющий рассчитывать волновые шля на различных расстояниях от источника, не прибегая к аппроксимации скорости звука

Основные шложешя. вътаошмъте на защиту:

В диссертации рассмотрена тонкая структура дисперсионных кривых: 1} установлены общие свойства дисперсионных кривых, а именно;, а) значения фазовых и групповых скоростей близки к скорости звука на бесконечности в окрестности критической частоты и приближаются к минимальному значению скорости звука с ростом частоты, б) получено неравенство, характеризующее замедление волн в среде;

2) получены асимптотические формулы для групповой скорости как функции частоты, показывающие существование экстремумов в случае скачков градиента скорости звука,

3) проведено численное исследование дисперсионных кривых для различных гидрологических ситуации; результаты численного моделирования подтверждают, что при наличии больших вариации градиента скорости звука возникают характерные особенности в поведении групповой скорости волн, а именно, локальные экстремумы, ж нули, производных, эти особенности отсутствуют при вычислении в приближении ВКБ;

4) для модели строения Земли РЕМ-0 и двухслойной модели Земля-литосфера для волн Лява и Рэлея проведены численные расчеты по отысканию медленных мод, необходимых для механизма генерации волн цунами: а) результаты численного моделирования для волн Лява показали, что минимум групповой скорости близок к теоретически достигаемому и составляет 0,25 от минимальной скорости распростр анения звука в океане. б) дшг .волн Рэлея проведен расчет оценки замедления для различных наборов параметре® двухслойной модели океан-литосфера, мшшмалыше значения групповой скорости близки но величине к половине от сШЙ;

5) разработан и реализован эффективный алгоритм решения задачи Козни для волнового уравнения в слоисто-тпрерывной среде, основанный на конструкции. континуального интеграла: а) получены формулы для вычисления приближенной функции Грина для гишрбодической системы,

Ф) рассмотрены особенности применения данного алгоритма для численного моделирования решения задачи Коши, в) цроведено численное моделирование, подтверждающее эффективность метода. г) подготовлен пакет программ для расчета распространения мощных гидроакустических импульсов в слоисто-непрерывной среде.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Шерстнева, Людмила Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена развитию математических и численных методов моделирования волн в слоистых средах с резкими неоднородностя-ми. В результате численного моделирования и теоретических исследований показано, что существование особенностей дисперсионных кривых определяется особенностями среды. Разработанные на основе предложенных методов программы могут быть использованы для решения широкого класса задач, связанных с распространением различных типов волн.

В ходе работы получены следующие основные результаты и выводы:

1. Аналитически доказано, что фазовая скорость v/(®) и групповая скорость удовлетворяют следующим неравенствам v,(<0) и предельным соотношениям

У1(Ф?+0) = №1(Ф?р+0) = СЮ, v,(oo) = r/(oo) = cmin, где ст = с(оо),

Cmm =ШПС(г), z ф*р - критическая частота /-ой моды, то есть А^о^+О)=/ = - 0) +1.

2. Получены асимптотические формулы для групповой скорости как функции частоты, показывающие существование экстремумов в случае резких изменений градиента скорости звука. Если n\z)^c~2(z) = < иг2 - pxz, 0 < z < h и,2 pxh - p 2(z - h\ h < z < H pxh - p 2 ( Я - Л), z > Я,

Pj, Pi > 0 то wr1 = it2 +

Зя2(1 - l)g/°(©))' где

Ai,2( 0) я

1 + cos( &((&)jrjsKO,®)!72 ^ 6

- функция Эйри

Sj(z,co) =

C«2(z)-vr2)

3. Проведено численное моделирование дисперсионных кривых для различных профилей скорости звука. а) В соответствии с результатами первой главы на графике групповой скорости для полярного профиля видно большое количество локальных экстремумов и точек перегиба. Число их примерно равно номеру моды. б) Колебания групповой скорости имеют синусоидальный характер, они вызваны наличием в профиле скорости звука больших вариации градиента в) Значения фазовых и групповых скоростей близки к С^ в окрестности критической частоты и приближаются к с^ с ростом а> г) Следует отметить, что в то время как фазовые скорости, вычисленные в приближении ВКБ, практически совпадают (относительная погрешность не превышает 10"5), с кривыми групповых скоростей дело обстоит иначе: относительная погрешность достигает десятков процентов, и, что более важно, у кривых групповых скоростей в приближении В КБ отсутствуют упоминавшиеся ранее характерные особенности. д) Для того, чтобы подтвердить, что особенности дисперсионных кривых возникают при наличии больших вариаций градиента профиля скорости звука, в качестве профиля скорости звука рассматривался профиль Манка c(z)= c.il + sie-"1 -ij -1)), где при расчетах принималось 5.7 * 10 -3; г] = 2(z — zI В zi - положение экстремума.

В этом случае в профиле нет больших вариаций градиента и, несмотря на кусочно-линейную аппроксимацию профиля, как видно на рисунке групповые скорости не имеют экстремумов. е) Кроме того, для существования экстремумов групповой скорости необходимо, чтобы градиент скорости звука в интервале, в котором наблюдается резкое изменение градиента, был неотрицательным.

Результаты численного моделирования дисперсионных кривых для «южного» профиля, в котором градиент скорости звука хотя и имеет большие вариации изменения, но является отрицательным в соответствующих интервалах, показывают, что и в этом случае отсутствуют характерные особенности групповой скорости.

Таким образом, численное моделирование дисперсионных кривых для акустических волн в средах с резкими неоднородностями, подтвержденное теоретическими исследованиями, позволяет сделать вывод, что наличие таких особенностей как экстремумы групповой скорости, определяется свойствами среды, а именно, наличием резких неоднородностей. 4. Проведены численные расчеты для модели строения Земли РЕМ-0 и двухслойной модели Земля-литосфера для некоторых типов упругих волн по отыеканию медленных мод, необходимых для механизма генерации волн цунами.

Так же как и для нормальных акустических волн, фазовые и групповые скорости в этом случае обладают рядом особенностей. а) При наличии больших вариаций градиента скорости в непрерывном профиле или скачков ее абсолютной величины групповая скорость имеет локальные экстремумы. б) При этом форма осцилляций определяется тем, имеется в рассматриваемом профиле скачки абсолютной величины или резкие изменения градиента. в) Минимальные значения групповой скорости для первых десяти мод примерно равны 0,27 км/сек, то есть составляют 0,25 от минимальной скорости распространения продольных волн в среде.

В первой главе было получено основное неравенство, характеризующее замедление волн в среде, справедливое как для звуковых волн, так и для волн Лява в среде с произвольным законом зависимости параметров от глубины, из которого в рассматриваемом здесь случае можно получить оценку нижней границы для минимума групповой скорости волн Лява W > ОД 5 км / с. г) В случае волн Рэлея численный анализ дисперсионных кривых проводился на основе двухслойной модели океан-литосфера. В этом случае также существуют медленные волны, минимальные значения групповых скоростей лежат в интервале от 0,75 до 0,95 км/с и, таким образом, они близки по величине к половине от с. Результаты численного моделирования для волн Лява показали, что минимум групповой скорости близок к теоретически достигаемому.

5. Разработан и реализован эффективный алгоритм решения задачи Коши для волнового уравнения в слоисто-непрерывной среде, основанный на конструкции континуального интеграла, получены формулы для вычисления приближенной функции Грина для гиперболической системы

Рассмотрены особенности применения данного алгоритма для численного моделирования решения задачи Коши.

6. Проведено численное моделирование, подтверждающее эффективность метода континуального интеграла для решения волнового уравнения.

7. Подготовлен пакет программ, реализующих предложенный метод, для произвольного гладкого профиля скорости звука.

Таким образом, использование метода решения волнового уравнения, основанного на конструкции континуального интеграла, позволяет значительно повысить эффективность моделирования мощных гидроакустических импульсов, возникающих в результате взрыва.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук М.А. Антонцу и доктору физико-математических наук, профессору Н.С. Петрухину за постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шерстнева, Людмила Владимировна, 2004 год

1. Авилов К.В., Мальцев Н.Е. К вычислению звуковых полей в океане методом параболического уравнения. // Акустический журнал.-1981.-Т. 27.№3.-е.335-340.

2. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. / Под ред. Г.И. Марчука М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.-320 с.

3. Антонец М.А. О представлении решения волнового уравнения в виде континуального интеграла. II Доклады АН СССР. -1988.- Т. 298, -с. 11-13.

4. Антонец М.А. Задача с начальными данными для псевдодифференциальных операторов. // Проблемы математического анализа. 1998,- Вып. 18, -с. 3-42.

5. Антонец М.А., Шерешевский И.А., Шерстнева Л.В., Тонкая структура дисперсионных кривых для волн в слоистой среде. Горький, 1986.- 32с. (Препринт НИРФИ 215).

6. Антонец М.А., Шерстнева Л.В., Сейсмические "медленные" нормальные волны. // сб. Колебания и волны в жидкости и газе.- Горький, 1988.- с. 2023.

7. Антонец М.А., Фридман В.Е., Шерстнева Л.В. Медленные волны Лява в придонных слоях. Тез. Докл. Всесоюзного совещания Математические основы, методы и аппаратурные средства прогноза. Обнинск, 1988.-с.13.

8. Antonets М.А, Fridman V.E, Sherstneva L.V. The seismic modes inducing the existation of tsunami waves. Abstracts of International tsunami symposium.- Novosibirsk, USSR, 1989.- p. 34.

9. Антонец M.A., А., Шерстнева Л.В., Метод численного решения задачи Коти для волнового уравнения в неоднородной среде.Тез. докл.

10. Всесоюзной конференции Проблемы комплексной автоматизации гидрофизических исследований.- Севастополь, 1989. с. 96-98.

11. Антонец М.А., Шерешевский И.А., Шерстнева JI.B., Тонкая структура дисперсионных кривых для волн в слоистой среде. // Известия вузов. Радиофизика.-1990.- Т.ЗЗ, №1. -с.65-69.

12. Антонец М.А., Фридман В.Е., Шерстнева JI.B. О медленных сейсмических волнах, вызывающих цунами. // Вулканология и сейсмология. В. 3., 1993.-с. 53-57.

13. Antonets М.А, Fridman V.E, Sherstneva L.V. On slow seismic waves which initiate Tsunami. Advaness in nonlinear acoustics. H. Hobaek ed. World Scientific, 1993. -p. 687-691.

14. Antonets M.A, Sherstneva L.V. An approximation for Cayley transform and operator exponent based on parametrix. Abstracts of papers International seminar "Day on diffraction'94". Saint Petersburg, 1994.- p.4-5.

15. Антонец М.А, Шерстнева JIB. Исследование дисперсионных кривых для волн в слоистой среде. // Известия АЙН им. А.М.Прохорова. Прикладная математика и механика. -2004. — тб. -с. 78-83.

16. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. Теория и методы: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. - Т. 1,2. - 880 с.

17. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968.-749 с.

18. Бабич В.М., Крауклис П.В., Молотков Л.А. Динамические задачи геоакустики. //Акуст. Журн,- 1984. Т. 30, №5. - с. 693-695.

19. Бархатов А.Н. Моделирование распространения звука в море. Л.: Гидрометеоиздат, 1968.- 127 с.

20. Березин. Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: МГУ, 1983. -393 с.

21. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. 2-е изд. М.: Наука, 1973. -343 с.

22. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. -416 с.

23. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. -М.: Наука, 1982.-336 с.

24. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана.- Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 264 с.

25. Будлдырев B.C., Буслаев B.C. Распространение звука в океане. -М.: 1984.- 44 с. (Препринт № 45 (417) Ин-та радиотехники и электроники Ан СССР).

26. Булдырев B.C., Буслаев B.C. Асимптотические методы в задачах распространения звука в океанических волноводах и их численная реализация. // Зап. Науч. Семин. ЛОМИ АН СССР. Т. 117. Л.: Наука, 1981.-с. 37-77.

27. Булдырев B.C., Буслаев B.C. Качественная структура акустического поля в океане. М. 1984, - 55 с. (Препринт № 44 (416) Ин-та радиотехники и электроники АН СССР).

28. Булдырев B.C., Буслаев B.C. Применение аналитических и численых методов в задачах распространения звука в океане. // Акустические волны в океане. -М.: 1987. с. 24-34.

29. Буслаев B.C. Континуальные интегралы и асимптотика решений параболических уравнений щщ-»о . Приложения к дифракции. Проблемы математической физики, JI., ЛГУ, 1967, с. 85-107.

30. Вдовичева Н.К., Шерешевский И.А. Применение принципа предельной амплитуды для расчета полей в слоистой среде. II Изв. Вузов. Радиофизика. 1989. - Т. 32, № Ю. - с 1265-1274.

31. Вагин А.В., Мальцев Н.Е. Расчеты низкочастотных звуковых полей в слоистом океане. II Вопросы судостроения, сер. Акустика. 1977. - вып. 9.-с. 61-81.

32. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — 3-е изд. — М.: Наука, 1976.-528 с.

33. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и произведений.- М.: Физматгиз, 1963. -1100 с.

34. Грошев В .Я., Кравцов Ю.А. О границах применимости асимптотических выражений в методе эталонных функций. II Изв. Вузов. Радиофизика. -1968.-Т. И №12.-с. 1812.

35. Губанов А. Волны Рэлея на границе твердого тела и жидкости. // ЖЭТФ.- 1945. Т. 15 № 9. - с. 497-502.

36. Де Санто Дж. А. Теоретические методы в акустике океана. II Акустика океана. Под. ред Дж. Де Санто / Пер. с англ. -М.: Мир, 1982. с. 16-90.

37. Ди Наполи Ф.Р., Девенпорт Р.Л. Численные методы подводного распространения звука. // Акустика океана. Под. ред Дж. Де Санто / Пер. с англ. -М.: Мир, 1982.-е. 91-176.

38. Жарков В.И. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука, 1983. -321 с.

39. Иванников Д.А., Кашаев С.М., Шерстнева Л.В. Моделирование линейных систем. Учебно-методическое пособие / НГТУ, Н.Новгород, 2001. -16 с.1.l

40. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 376 с.

41. Клещев А.А., Клюкин И.И. Основы гидроакустики. JL: Судостроение, 1987.

42. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. -М.: Наука, 1980.-304 с.

43. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. 4-е изд. - М.: Наука, 1987. -248 е.

44. Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны. М.: Наука, 1973. -176 с.

45. Леонтович М., Фок В. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности Земли по методу параболического уравнения. ЖЭТФ, 16, №7, 557,1946.

46. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации; Пер. с англ. -М.: Мир, 1980. 608 с.

47. Малышев Р.В. Алгоритм вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций. // Совместный научн. Сборник объединенного ин-та ядерных исследований (г. Дубна СССР) и центр. Ин-та физич. исслед.(г. Будапешт. Венгрия). Будапешт, 1974. с. 43-55.

48. Мальцев Н.Е. Математическое моделирование звуковых полей в океане. // Акустика океана. Современное состояние. — М.: Наука, 1982. — с. 5-24.

49. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.М.: Наука, 1976. — 296 с.

50. Маслов В.П., Шшпмарев И.А. О произведении гипоэллиптичеких операторов. Современные проблемы математики. М.:1977, Т. 8, с. 137-197.

51. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. - 201 с.

52. Найфэ А. Методы возмущений. Пер. с англ. М.: Мир, 1976. - 456 с.53.0комелькова И.А., Шерешевский И.А. Расчет нормальных волн в слоистой среде. Горький, 1989. - 36 с. (Препринт ИПФ АН СССР № 235).

53. Пелиновский Е.Н., Поплавский А.А., Фридман В.Е. Резонансные механизмы возбуждения волн цунами. // 2-й всесоюзный съезд океанологов. Тез. Докладов. В. 1, Сер. Фих.-хим. Севастополь, 1982. - с. 50-51.

54. Распространение волн и подводная акустика. // Под ред. Дж.Б. Келлер. -М.: Мир, 1980.-229 с.

55. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2 -М.: Мир, 1978.-395 с.

56. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т.1. — М.: Мир, 1982.-486 с.

57. Справочник по специальным функциям. // под ред. М. Абрамовича, И. Стиган.//Пер. с англ. -М.: Наука, 1979. 832 с.

58. Сташкевич А.П. Акустика моря. JT.: Судостроение, 1987.

59. Тапперт Ф.Д. Метод параболического уравнения. // Распространение волн и подводная акустика: Пер. с англ. -М.; Мир, 1980. с. 180-226.

60. Толстой И., Клей К.С. Акустика океана.//Пер. с англ. М.:Мир, 1969. -301 с.

61. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. - 352 с.

62. ФреманН., ФреманП.У. ВКБ-приближение.//Пер. с англ. -М.: Мир, 1967. -168 с.

63. ХеммингР.В. Численные методы. -М.: Наука, 1968. -400 с.

64. Эрдейи А. Асимптотические разложения.//Пер. с англ. М,: Физматгиз, 1962.-127 с.

65. Явор М.И., Григорьева Н.С Влияние на акустическое поле крупномасштабного течения, качественно меняющего волноводный характер распространения звука в океане. // Акуст. Журн. 1986. - Т. 32 №6. - с. 772-777.

66. Fujiwara D.A. A construction of the fundamental solution for the Shredinger equation. //J. Anal. Math. 1979, v.35.-p.41-96.

67. Kato T. On the existence of solutonof the helinm wave equation. // Trans. Amer. Math. Soc., 1951, v. 706, p. 212-219.

68. Kumano-go H. Fundamental solution for a hyperbolic system with diagonal principal part. // Comm. In Part. Different. Equat. 1979. -4(9). - p. 959-1015.

69. Pekeris C.L. Theory of propagation of explosive sound in shallow water. Geol.1. Soc. Amer. Mem., 27, 1948

70. Weder R/ Spectral and scattering theory in perturbed stratified fluids. // J. Math, pures and Appl. 1985. - v. 64. - p. 149-173.

71. Wilcox C.H. Sound propagation in stratified fluids. // Appl. Math. Sciences. V. 50. New York: Springer-Verlag, 1984. - 200p.

72. Wilcox C.H. Wave operators and asimptotic solution of wave propagation problems of classical physics. Arch. Rat. Mech. Anal., 1966, v. 22, p. 37-78.