Статистическое моделирование случайных волновых полей в слоистых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Ярощук, Игорь Олегович

• Ярощук, Игорь Олегович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ярощук, Игорь Олегович

ПРЕДИСЛОВИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ

1.1 Спектральное представление. (1). Слоистые среды. (2). Функция Грина.

1.2 Стохастические методы. (1). Современные стохастические методы. (2). Уравнения Эйнштейна-Фоккера. (3). Диффузионное приближение.

1.3 Статистическое моделирование. (1). Современные методы и подходы.

2). Основные задачи и уравнения. (3). Стохастические уравнения и интегралы. (4). Классические численные методы. (5). Схемы высокой точности. (6). Рандомизация спектрального представления. (7). Статистическое оценивание полей.

ГЛАВА 2. ФЛУКТУАЦИИ ПЛОСКИХ ВОЛН

2.1 Введение. (1). Плоские гармонические волны. (2). Поглощение плоских волн. (3). Краевые условия на дне. (4). Основные задачи и параметры.

2.2 Стохастические параметры. (1). Коэффициент отражения. (2). Метод возмущений. (3). Быстрые осцилляции. (4). Обратное рассеяние. (5). Оценки параметров.

2.3 Статистическое моделирование волн. (1). Предварительные преобразования функции Грина. (2). Основные схемы статистического моделирования. (3). Примеры моделирования обратного рассеяния.

2.4 Источник массы на дне. (1). Функция Грина. (2). Статистическая теория.

3). Статистическое моделирование.

2.5 Источник силы на поверхности. (1). Функция Грина. (2). Статистическая теория. (3). Статистическое моделирование.

2.6 Волны в неоднородных средах. (1). Постановка задачи. (2). Стохастические методы. (3). Статистическая теория. (4). Разностная схема. (5). Статистическое моделирование.

ГЛАВА 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ

3.1 Введение. (1). Постановка проблемы. (2). Локализация волн. (3). Флуктуационный волновод. (4) Вопросы моделирования.

3.2 Спектры стохастических операторов. (1). Операторы и краевые условия. (2). Однородные геоакустические модели. (3). Стохастическая задача ШЛ.

3.3 Статистическое моделирование полей. (1). Постановка задачи. (2).Стохастические интегралы. (З).Метод возмущений (4). Эволюционный метод. (5). Метод Ньютона. (6). Неоднородные среды. (7). Вычисления полей.

3.4 Поля в глубокой среде. (1). Постановка задач. (2). Стохастические параметры. (3). Спектры операторов. (4). Монополь и диполь. (5). Флуктуационный волновод.

3.5 Поля в мелком море. (1). Простейшие геоакустические модели. (2). Флуктуирующий водный слой. (3). Флуктуирующий слой осадков. (4). Заключительные замечания.

ГЛАВА 4. РАССЕЯНИЕ ВРЕМЕННЫХ ИМПУЛЬСОВ

4.1 Введение. (1). Формулировка проблемы. (2). Задачи и методы. (3). Дополнения и замечания.

4.2 Статистическое моделирование импульсов. (1). Функция Грина. (2). Пространственные и временные масштабы. (3). Схема статистического моделирования. (4) Неоднородные среды.

4.3 Обратное рассеяние. (1). Параметры и модели. (2). Результаты вычислений.

4.4 Асимптотики и корреляции. (1). Асимптотические зависимости. (2). Спектры мощности.

ГЛАВА 5. ШУМЫ ПОВЕРХНОСТИ 5.1 Введение. (1) Моделирование динамических шумов. (2) Скалярновекторное описание. (3) Цель и задачи исследований.

5.2 Спектральные тензоры. (1) Передаточная функция поверхностных источников. (2) Пространственно-временные тензоры шумов. (3) Особенности формирования шумовых полей. (4) Шумы в однородном полупространстве.

5.3 Статистическое моделирование шумов. (1) Задачи и проблемы моделирования полей. (2) Рандомизация пространственно-временного спектра.

5.4 Шумы в однородных средах. (1). Однородное полупространство. (2). Жесткое дно. (3). Жидкое дно.

5.5 Шумы в слоистых волноводах. (1). Модели источников. (2). Результаты моделирования. (3). Заключительные замечания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическое моделирование случайных волновых полей в слоистых средах»

Настоящая диссертация посвящена разработке нового современного метода решения стохастических волновых задач, который условно можно (* назвать как «статистическое моделирование флуктуирующих волновых полей». Такой подход разрабатывается автором, его учениками и совместно с коллегами уже более двух десятков лет в Тихоокеанском океанологическом институте им. Ильичева В.И в лаборатории статистического моделирования. Первая работа из нескольких десятков статей и двух монографий этого цикла была опубликована в 1982 г. [108].

Изначально метод статистического моделирования разрабатывался для решения задач, связанных с изучением статистических явлений в колебательных и волновых процессах произвольной физической природы. Если следовать общепринятой классификации, то предлагаемое направление относится к статистической радиофизике, понимаемой в широком смысле (см. статью «Радиофизика» в «ФЭС», а также монографии [10,175]).

Соответственно и большая часть работ автора была опубликована в радиофизических и математических изданиях.

Диссертация является в этом смысле «проекцией» задач и методов статистической радиофизики (в большей части - метода статистического моделирования) на волновые задачи современной гидроакустики. Точнее, ориентация работы сделана на ту часть гидроакустики, которую иногда называют скалярно-векторной гидроакустикой, подчеркивая тем самым, что в волновых задачах рассматривается не только давление звуковых полей, но и их колебательная скорость. Заметим, что деление акустики на обычную и скалярно-векторную (СВ), вообще говоря, не выдерживает критики с общефизической точки зрения. Тем не менее, имеется определенная специфика, которая оправдывает такое разделение. Прежде всего, * технические средства и методика проведения экспериментов, а также способы измерений имеют здесь свои особенности, заметно отличающиеся от традиционных [48]. С теоретической же точки зрения, уже для простейших моделей гауссовых звуковых полей, вместо традиционно исследуемого квадрата давления, мы вынуждены изучать тензор второго порядка размерности 4x4 (давление и три компоненты колебательной скорости). Такой переход от одной скалярной величины к тензору, даже в модельных статистических задачах, создает для теоретиков принципиальные проблемы и f трудности. В рамках традиционных стохастических методов задача разработки вероятностных волновых моделей СВ шумов и сигналов становится необычайно сложной. Все эти вопросы кратко обсуждаются в работе. Там же даются и некоторые исторические справки.

Можно назвать целый ряд объективных и субъективных причин, по которому «проекция» метода статистического моделирования была сделана на волновые задачи СВ гидроакустики. Отметим лишь две из них.

Во-первых. Исторически сложилось так, что научные интересы автора были связаны как с проблемами статистической радиофизики, так и гидроакустики. При этом «акустические интересы» автора были направлены именно на СВ гидроакустику. В процессе таких многолетних исследований стало ясно, что СВ звуковые поля, в некотором смысле «более случайные», нежели обычные скалярные. Соответственно и адекватное теоретическое их описание необходимо делать на языке стохастической меры. Надо отметить, что существующие в публичной научной литературе публикации на эту тему разрознены и часто не выдерживают критики. Таким образом, была поставлена стратегическая задача - разобраться в теоретических основах формирования флуктуирующих скалярно-векторных звуковых полей. В процессе же решения различных статистических волновых задач приходилось неоднократно убеждаться в эффективности и универсальности метода статистического моделирования. Это и определило выбор метода для теоретических исследований СВ звуковых полей.

Во-вторых. Ни для кого не является секретом, что конечная цель многих акустических исследований в океане - это разработка систем акустического ш мониторинга подводной обстановки. Мы не беремся обсуждать здесь сложные вопросы технических методов и средств, необходимых для решения этой проблемы. Что же касается теоретической ее части, то хорошо известно, что успех разработки систем гидроакустического мониторинга определяется физически грамотным выбором вероятностных моделей внешних помех (шумов моря) и разработкой на их основе адекватных методов статистического оценивания сигналов на фоне помех (задачи обнаружения, пеленга и т.п.). Предлагаемые в научной литературе модели акустических полей в абсолютном большинстве случаев являются скорее феноменологическими, чем статистическими волновыми, а результаты, полученные в СВ гидроакустике, еще более скромные. Поэтому говорить здесь о разработке надежных методов оптимального статистического оценивания сигналов на фоне шумов сегодня явно еще преждевременно. Однако и при наличии хороших статистических моделей сигналов и шумов разработка методов оптимального их оценивания является самостоятельной сложной математической проблемой даже для скалярных звуковых полей [94]. Если же каким-либо способом нам удастся построить адекватные модели шумов и сигналов, а затем рандомизировать эти модели (генерировать произвольное число случайных реализаций полей), тогда выполнив обычное статистическое усреднение по ансамблю реализаций флуктуирующих полей, мы сможем вычислить все необходимые функционалы, которые возникают в задачах статистического оценивания [199]. Физические и методологические аспекты такой концепции, по-видимому, впервые обсуждались в работах Ольшевского В.В. [160]. Там же была определена тактика решения задач общей концепции - разработка и использование в гидроакустике методов имитационного моделирования. У автора сегодня нет сомнений, что метод статистического моделирования как раз и может являться одним из таких методов.

Диссертационная работа не претендует на создание теоретических основ статистической СВ гидроакустики, но ее можно рассматривать как некоторый фундамент для последовательной реализации программы создания основ теории флуктуирующих скалярно-векторных звуковых полей в океане, а также дальнейшей разработки методов оптимального статистического оценивания сигналов на фоне шумов.

На протяжении всей работы, во всех главах описываются и обсуждаются вычислительные схемы статистического моделирования. Везде представлена технология вычисления случайных волновых полей. В наше время «засекреченности» каких-либо информационных технологий, это выгодно отличает представленную работу от многих современных диссертаций и монографий, ориентированных на вычислительные методы.

В диссертации приведено большое количество иллюстраций статистических вычислений, иногда, возможно, и в ущерб строгому и детальному математическому анализу результатов. Однако автор соблюдал физический подход, и следовал установке, что безукоризненная аргументация математика зачастую представляется физику или инженеру не более, а менее убедительной, чем простые и осязаемые соображения [175].

Изложенные в диссертационной работе результаты были получены в рамках ряда государственных научных программ, а также в разные годы эти работы поддерживались грантами РФФИ.

Серьезным стимулом как для проведения научных исследований, так и для завершения работы над диссертацией явилась поддержка работ грантом РФФИ № 01-07-90225. Благодаря этой поддержке стала ясна дальнейшая перспектива развития методов статистического моделирования -параллельные вычислительные схемы и методы параллельных вычислений. Оказалось, что статистические вычисления естественным образом аккумулируются в технологии параллельных вычислений, а само время вычислений при этом сокращается в десятки и даже в сотни раз относительно обычных персональных компьютеров.

Автор выражает глубокую признательность В.И. Кляцкину, с которым ему посчастливилось работать на протяжении почти десятка лет в области статистической теории волн, и без которого новый метод решения стохастических волновых задач вряд ли бы увидел свет.

Автор выражает глубокую благодарность всем сотрудникам лаборатории «статистического моделирования» (ныне: «моделирование волновых полей»), которые принимали участие, как в теоретических разработках, так и прикладных применениях метода. В особенности Гулину О.Э., Швырёву А.Н. и Попову Г.В. за плодотворное сотрудничество.

Автор признателен сотрудникам ИАПУ ДВО РАН за полезные консультации по вопросам параллельных вычислений, а также предоставленные возможности работы на суперкомпьютерах. В особенности автор признателен Бобкову В.А. и Левину В.А.

ВВЕДЕНИЕ

1. Флуктуации гидроакустических полей.

Экспериментальные наблюдения колебаний различной природы постоянно доказывают исследователям, что наиболее адекватным математическим описанием волновых процессов и полей оказывается статистическое описание. Так, в радиофизике, оптике, акустике, сейсмике и других дисциплинах, изучающих волновые движения, наряду с регулярными всегда появляются случайные колебания и волны. Статистика в волновые дисциплины приходит потому, что целый ряд объективных, не зависящих от исследователя факторов, таких как всегда существующие внешние источники поля, физические свойства каналов распространения волн, граничные условия, испытывают флуктуации, как в пространстве, так и во времени [175,54,173,4]. А часто мы просто не знаем детально, каковы условия распространения волн. Например, мы никогда не знаем в деталях, каковы свойства подстилающей поверхности при распространении радиоволн, не знаем достоверно, каковы свойства поверхности моря или отражающие свойства дна в гидроакустике и т.д. Их свойства мы можем описывать лишь с некоторой степенью достоверности, т.е. статистически. Существует также и ряд факторов, только частично зависящих от экспериментаторов, таких, как качество приборов (собственные шумы прибора и/или канала передачи информации), выбор определенного пространственного распределения измерительных датчиков (горизонтальные или вертикальные антенны, интерферометры), условия проведения экспериментов на море (например, качка исследовательского судна и его собственные шумы), которые также «зашумляют» результаты измерений, и должны учитываться при анализе данных [71,72]. Все это, в конечном итоге, приводит к тому, что все измеряемые нами волновые процессы и поля в некоторой степени случайны. Какова степень этой случайности, возможно ли выделить из этой случайности необходимость, т.е. физические законы формирования волновых движений? И каким образом можно использовать эти статистические законы, например, для прогноза изменяющихся с течением времени свойств среды, для решения задач зондирования и т.п. Эти вопросы и определяют цели, а также направления фундаментальных и прикладных исследований в статистической теории волн.

В последние полсотни лет многие исследователи активно пытаются решить эти вопросы методами теоретического познания, а, точнее, методами его наиболее мощного средства, - математическим моделированием случайных волновых полей. Основанием для этого является, во-первых, растущее накопление эмпирического материала во всех волновых дисциплинах, получаемого быстро совершенствующимися измерительными приборами и требующего все более адекватного теоретического осмысления [144]. Во-вторых, интенсивное развитие аналитических методов статистического анализа волн, в частности, теории волновых стохастических дифференциальных уравнений [104]. В-третьих, бурное развитие вычислительной техники, и. как следствие, методов первичной математической обработки случайных процессов и полей [165]. Все эти этапы сопровождаются активной публикацией научных статей и монографий.

Математически стохастические волновые задачи описываются волновыми дифференциальными или интегральными уравнениями, в которых могут быть случайны параметры, граничные условия и источники волнового поля. Условия приема также могут быть случайны и задаются в виде специальных стохастических операторов. В известных монографиях Рытова С.М. [175] и Ахманова С.А. [10] определены четыре типа таких волновых задач:

1) случайные свойства среды;

2) случайные источники поля;

3)случайные граничные или/и начальные условия;

4) случайные условия регистрации волн (статистика приемника и помех).

В монографии [175] при этом оговаривается, что раздел (4) скорее относится к «радиоматематике», нежели к радиофизике. А в монографии [10] вообще предлагается классификацию ограничить пунктами (1)-(3). Однако задачи типа (3) в [10] трактуются несколько более широко, чем в [175].

В современной статистической радиофизике условия приема также понимаются более широко, чем это было в 70-х годах [188]. Стало очевидным, что условия приема надо понимать системно, ибо органически связаны не только со статистикой приборов, но и со всеми физическими условиями формирования случайных полей, а значит с вероятностными волновыми моделями, которые априорно закладываются в процессоры обработки. В современных экспериментальных наблюдениях процесс регистрации уже неотъемлемо связан с математической обработкой сигналов и шума. Отрывать процесс регистрации сигнала приборами от математической обработки - все равно, что, изучая зрение у человека, ограничиваться изучением строения глаза, игнорирую работу мозга, в котором и возникает изображение. В этом плане, под случайными условиями приема надо понимать также - «статистическое оценивание сигналов и полей» [189]. Поэтому, а также следуя бурному росту в последние два десятка лет количества публикаций по указанной тематике в физических журналах («Акустический журнал», «Радиофизика», «J. Acoust. Soc. Am.» и др.), правильнее придерживаться начальной классификации (1)-(4), понимая раздел (4) в современном смысле.

Принципиальная математическая трудность исследования случайных полей заключается в краевом характере стохастических волновых задач. Поэтому все существующие методы решения таких задач являются приближенными уже на уровне постановок задач. Все существующие приближенные методы и подходы Кляцкин В.И. предлагает разбить на три большие группы [105]:

I) методы, которые основаны на феноменологической теории переноса излучения;

II) подходы, в которых пренебрегают эффектами обратного рассеяния и переходят к малоугловому приближению (параболическое приближение), для анализа которого затем используется диффузионное приближение;

III) подходы, в которых задачи переформулируются в терминах интегральных уравнений, а при анализе статистических характеристики которых используется приближение Бурре для уравнения Дайсона и лестничное приближение для уравнений Бете-Солпитера.

Более детально данную классификацию мы обсудим в главе 1. Здесь лишь заметим, что иногда авторами используется представление решений волновых уравнений в виде континуальных интегралов, которое соответствует, по сути, параболическому приближению и значит, попадает в пункт (II).

В современной гидроакустике под задачами типа (1) понимаются задачи о распространении волн во флуктуирующем океане [173].

Флуктуации звуковых волн в таких средах порождаются различными случайными пространственно-временными изменениями свойств водной среды. Обычно это флуктуации поля скорости звука, а также поля плотности воды [12]. В свою очередь, флуктуации стратификации водного слоя определяются различными динамическими процессами в океане, такими как внутренние гравитационные волны, течения, турбулентность и т.п. [194]. В звуковой волне, проходящей такую флуктуирующую среду, фаза и амплитуда волны тоже становятся случайными.

Задачам о распространении звуковых волн во флуктуирующих средах посвящено наибольшее количество статей и монографий, например, [173,200]. В подавляющем большинстве работ исследуется статистика фазы и амплитуды волн, потенциальная энергия, пространственно-временные функции корреляции поля. Статистический анализ часто ограничен вторыми моментами.

Все существующие приближенные методы решения задач укладываются в рамки классификации [105]. Отметим лишь, что, в силу специфики волноводного распространения звука, изложенные подходы могут применяться на уровне модового подхода [114]. Отметим также, что все математические методы исследования случайных звуковых волн в основном заимствованы из статистической радиофизики с некоторой временной задержкой. Чтобы убедиться в этом - достаточно сравнить обзоры [195] и [13], а также довольно часто цитируемые в литературе монографии [173] и [186].

Ко второму типу задач в гидроакустике уже более пятидесяти лет традиционно относят задачи о шумах океана, а последние два-три десятка лет и задачи о шумах мелкого моря.

Краткий, но довольно емкий современный обзор проблемы дан в обзоре Курьянова Б.Ф. [124]. Там же приведены основополагающие источники.

Интерес к проблеме шумов в гидроакустике обусловлен как общефизическими, так и прикладными целями. Шумы несут информацию об акустико-океанологическом климате океана, и одновременно, они создают помехи при приеме сигналов. Шумы естественного происхождения порождаются различными динамическими процессами, протекающими в водной среде, земной коре и атмосфере. Технические шумы создаются преимущественно судами. В прибрежных зонах они могут вызываться работой промышленных объектов. На характеристики шумов оказывают влияние рефракция в неоднородной среде, отражение от поверхности воды и дна, поглощение в воде и донных осадках и т.п. Поэтому в гидроакустике обычно рассматриваются задачи о механизмах генерации шумов, о глубинной зависимости шумового поля, исследуется направленность шумового поля, пространственно-временная корреляция полей и др. Иногда рассматриваются задачи о шумах в океане со случайными неоднородностями и случайной поверхностью [9]. В рамках классификации [175,10] эти задачи одновременно относятся к типам (1)-(3). Методы решения всех этих задач также соответствуют классификации [105] (l)-(lll).

К задачам типа (3) обычно относят задачи о рассеянии на поверхности случайной формы и задачи о влиянии на волновое поле поверхности со случайным импедансом (случайное граничное условие на поверхности). В статистической радиофизике и акустике задачи о рассеянии волн случайной поверхностью имеют под собой ясную физическую основу. Реальные поверхности всегда шероховатые, и могут существенно влиять на формирование волновых полей [15,222]. Как при распространении радиоволн над поверхностью земли и моря, так при распространении акустических волн в океане в присутствии морского волнения. Задачи о случайном импедансе также естественным образом возникают при распространении УКВ над поверхностью моря. Хорошо известно, что при определенных метеорологических условиях поверхность моря для радиоволн становится случайно «пятнистая», с точки зрения отражающих свойств [130,19]. Аналогичные задачи возникают при приеме и излучении УКВ, а также передачи их по антенно-фидерным устройствам [191].

Несколько иначе дело обстоит в гидроакустике. Подавляющее количество исследований посвящено рассеянию волн геометрически неоднородной поверхностью моря. Вопрос о случайном характере отражающих свойств границы воздух-вода здесь не ставится, ибо поверхность моря с хорошей точностью можно считать абсолютно отражающей. Но для исследований распространения звука на достаточно большие дистанции в условиях мелкого моря эффективным методом может быть представление морского дна как случайно-неоднородной среды [237,257]. Краевое условие при этом определяется случайным импедансом на дне моря. Физическая интерпретация вероятностного подхода заключается в том, что осадочные слои в мелком море имеют тенденцию выклиниваться и прерываться, что невозможно описать сколько-нибудь разумной детерминированной моделью [90,100].

Для решения задач о рассеянии звуковых волн случайной поверхностью используется необычайно большое количество приближений, в основном соответствующих классификации (I) - (III), но имеющих свою определенную специфику [15]. Чаще используется феноменологический подход. При этом стохастическое волновое уравнение не решается, а вместо этого рассматриваются различные локальные характеристики рассеяния и различные масштабы волнения, например, [17]. Другой подход ориентирован на решения волнового уравнения со случайными краевыми условиями. Основная цель - вычисление статистических моментов акустического поля в волноводе со статистически неровной границей [55]. При таком подходе нет нужды в локальных характеристиках однократного взаимодействия звука с поверхностью. Однако, трудности при получении замкнутых уравнений настолько велики, что для получения практически применимых результатов необходим еще ряд упрощающих предположений. Часто используется приближение Кирхгофа [15].

2. Метод статистического моделирования.

Появление первых вычислительных машин в конце 40-х, а затем постоянное совершенствование вычислительной техники, не могло не повлиять на появление новых методов и подходов к решению статистических задач во всех областях науки.

Поэтому, почти в эти же годы, появился принципиально новый математический метод - метод Монте-Карло, иногда называемый как метод статистических испытаний. Принято считать, что название и рождение метода связано с появлением в 1949 г. статьи Метрополиса Н. и Улама С. (Metropolis N. Ulam S.M.) [266]. Родоначальником метода принято также считать и Неймана Дж. (Neumann J.), который первым применил его на практике в 1951 г. [267].

На сегодняшний день понятие «метод Монте-Карло» стало настолько широким и неопределенным (см., например, [139]), что в современной научной литературе сегодня принято использовать другие названия, подчеркивая этим более специальное применение общей концепции. Последние годы широкое применение получили такие названия как «статистическое моделирование» и «имитационное моделирование».

Под термином «статистическое моделирование» в современной отечественной научной литературе принято понимать вычислительный метод, состоящий в численной реализации специально разрабатываемых стохастических моделей изучаемых явлений и систем [140].

Задачи, которые решаются методом статистического моделирования, можно условно разбить на три класса. К первому относятся задачи со стохастической природой, когда используется прямое моделирование естественной вероятностной модели. Это почти все задачи статистической физики [143]. Ко второму классу относятся детерминированные задачи, когда искусственно строится вероятностный процесс, с помощью которого дается формальное решение [79]. К третьему классу относятся задачи, которые описываются детерминистическими операторами, но в которых случайны либо коэффициенты, либо граничные условия, или правая часть (источники). Именно в этот класс формально попадают все волновые задачи статистической радиофизики (1 )-(3) [175,10].

Появление мощных средств вычислительной техники уже в 50-х годах во многих отраслях знания активно стимулировало попытки выхода за рамки классического дедуктивного подхода и экспериментальных методов, в которых зачастую присутствовало большое количество случайных неконтролируемых факторов. Именно таким промежуточным методом между аналитикой и экспериментом и стал метод статистического моделирования [201,137]. Пожалуй, уже к 80-м годам в различных модификациях имитационные методы, так или иначе, использовались почти во всех отраслях естествознания. Они нашли применение даже в медицине, традиционно «далекой» от современных математических методов [135]. А целом ряде наук, таких как теория массового обслуживания и техническая кибернетика, где натурные эксперименты либо дорогостоящие, либо вообще невозможны, а аналитические решения обычно сомнительны, методы статистического моделирования стали единственно возможным методом теоретического познания [201,202].

Отечественными и зарубежными исследователями попытки использовать метод статистического моделирования для решения стохастических волновых задач были сделаны только в середине 70-х годов [16,255]. Дальнейшее применение метода в основном было ограничено двумя направлениями: первое - это решение уже приближенных волновых уравнений (обычно - параболических) [281], второе - это проверка промежуточных аналитических выкладок [223]. Таким образом, роль метода статистического моделирования для решения волновых задач была лишь второстепенная. Основная причина такого положения дел заключалась в краевом характере исходных волновых задач. Ибо основные разработки современной вычислительной математики ограничены лишь методами решения обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений с начальными данными [39].

Переломный момент в роле метода статистического моделирования для решения стохастических волновых задач был тесно связан с применением метода погружения в теории волн, и произошел он 1982 году, когда была опубликована первая работа Кляцкина В.И и Ярощука И.О. [108].

Первой работой, посвященной применению метода погружения в теории волн, является работа Кляцкина В.И. [101]. Основная концепция, которая была выдвинута автором - это точная переформулировка волновых задач с краевыми условиями в задачи с начальными условиями. Получаемые при этом дифференциальные уравнения и назывались уравнениями погружения. В течение десятка лет после выхода первой работы Кляцкиным В.И., его коллегами и учениками были получены уравнения погружения практически для всех основных волновых задач. Эти результаты вошли в монографию [105]. Там же даны исторические и библиографические справки. Здесь мы лишь отметим, что появление самой концепции «погружение» связано с работами Амбарцумяна В.А. [7]. А сам метод погружение давно нашел свое применение в прикладной математике [99].

За последние два десятка лет, большей частью на основе уравнений погружения, методом статистического моделирования были решены целые классы стохастических волновых задач для слоистых сред. Были исследованы как вопросы применимости различных классических приближений типа (l)-(lll), так и получены новые интересные физические закономерности формирования случайных полей. Количество таких публикаций сегодня исчисляется десятками. Эти результаты вошли в монографии [216а,217], а некоторые из результатов были представлены еще в монографии [105].

Сегодня уже нет никаких сомнений, что ближайшее будущее метода статистического моделирования стохастических волновых задач не будет ограничено только уравнениями погружения. И такие публикации уже имеются. Однако сегодня можно уверенно констатировать, что метод погружения породил новый метод решения стохастических волновых задач, который будет развиваться самостоятельно и выходит за рамки классификации [105]:

IV) статистическое моделирование стохастических волновых задач.

3. Скалярно-векторное описание.

Звуковые волны в неподвижных газовых и водных средах являются единственным видом колебаний, которые, по воле случая, имеют скалярную природу. Математически это означает, что компоненты тензорной функции Грина для уравнений линейной акустики [151], описывающие «скалярно-векторное» поле давления и колебательной скорости [p;v], линейным образом, посредством операторов д/д\ и д[дХт , выражаются друг через друга

192]. Одним из важных следствий этого факта является свойство потенциальности звукового поля. Так, если звуковое поле описывается потенциалом O(t.X), то давление и колебательная скорость выражаются через него довольно простым образом [95]: p(t,x) = p|o(t,x), v(t,x) = -Ao(t,x).

Хорошо известно, что введение потенциалов (в общем случае -векторных) исключительно удобно для аналитического анализа электромагнитных, сейсмических и других видов полей. Отметим, что и для акустики движущихся сред также возможно обобщение потенциала fP(t,X) путем введения векторного «квазипотенциала». Это понятие и соответствующие формулы впервые были определены и получены Обуховым A.M. [157].

Как известно, создание приемника звукового давления в воде -гидрофона, положило начало созданию и развитию «скалярной» гидроакустики [187]. Как первые, так и большинство современных экспериментальных исследований основано на этом же методе регистрации звукового поля. На базе гидрофонов, как для прикладных, так и для научных целей в настоящее время разработано и создано подавляющая масса гидроакустических средств [29].

Теоретические исследования, в соответствии с запросами практики, традиционно были направлены на изучение полей звукового давления. Поэтому все аналитические [24], а также численные методы всегда были ориентированы на исследования скалярных волновых уравнений для p(t,X) [134]. Все статистические волновые задачи гидроакустики (1)-(4) также рассматривались исключительно в скалярном представлении.

Интенсивные попытки решения важных военно-морских задач в США и СССР, например, таких как регистрация слабых сигналов на фоне помех, на рубеже 50-х годов привели к созданию качественно нового прибора, измеряющего звуковое поле - комбинированного гидроакустического приемника [180]. Первая работа, описывающая конструкцию такого приемника, вышла в США [263]. Подробные исторические и библиографические справки, а также обсуждения различных типов приемников такого класса и их различных названий можно найти в отечественных монографиях Гордиенко В.А. с соавторами [48] и Скребнева Г.К. [180]. Принципиальное отличие комбинированных приемников от гидрофонов - это возможность одновременного измерения скалярно-векторного гидроакустического поля [p;v] в одной точке пространства.

В публичной отечественной научной литературе физические принципы таких измерений впервые были опубликованы Ржевкиным С.Н. [174], а сама концепция и методы измерения скалярно-векторного поля впервые были изложены в статье Захарова Л.Н. и Ржевкина С.Н. [85]. Новый метод измерения гидроакустических полей авторы назвали векторно-фазовым методом. Значительно позже вышла первая монография Гордиенко В.А., Ильичева В.И. и Захарова Л.Н. [48], посвященная векторно-фазовым методам. В современной научной литературе существуют и другие названия такого подхода, например, акустическая интенсиметрия [180], метод измерения акустической интенсивности [230].

В рамках фундаментальных исследований новый способ измерения позволил экспериментально изучать такие физические величины как плотность потока энергии гидроакустических полей, а также изучать такие физические явления как движение частиц жидкости в звуковом поле. Например, в экспериментах были получены такие интересные физические эффекты, как взаимодействие потоков энергии и шума, «поляризация» движения звуковых волн [92,231].

Традиционно, более активно шло применение векторно-фазовых методов для решения прикладных задач (см., например, [44]). Исследования были направлены на решения таких задач, как определения импедансных условий морского дна, изучение направленности шумовых полей, обнаружение слабых источников на фоне шума, определение пеленга и др. Этим проблемам посвящена масса публикаций.

Научные и прикладные задачи стимулировали теоретические исследования в области «скалярно-векторной» гидроакустики.

Уже в первых отечественных публикациях, посвященных векторно-фазовому методу, были сделаны попытки теоретического описания скалярно-векторного звукового поля (см., например, [85,44]). Основой теоретического описания являлось вычисление потенциала звукового поля, с последующим его дифференцированием для вычисления колебательной скорости. Аналогичный подход заключается и в вычислении колебательной скорости путем дифференцирования выражений для звукового давления, в соответствии с уравнениями линейной акустики. Ясно, что такой подход приемлем только для самых простых случаев, допускающих аналитическое выражение для звукового давления. Таких случаев относительно мало, например, однородное пространство и однородный слой водной среды с простейшими граничными условиями. Все более реалистичные случаи распространения волн, как известно, возможно исследовать только приближенными и численными методами [24,134]. Дифференцировать же приближенные, а тем более численные решения для звукового давления, как известно, является делом почти безнадежным [98]. Однако, на этапе становления теории, такие работы выполнили полезную познавательную и методическую функцию [81,80,264]. Любопытно, что и по настоящее время в литературе появляются аналогичные работы, например, [76].

Первые же попытки применения регулярных формул для оценивания поля [p;v] на практике, даже в самых простейших натурных условиях, показали необходимость рассмотрения скалярно-векторного поля как случайного [44]. Анализ многолетних экспериментальных наблюдений доказывает, что скалярно-векторные поля даже в некотором смысле «более стохастичны», чем аналогичные скалярные [62]. Соответственно и теория, претендующая на описание объективной реальности, должна быть изначально стохастической.

Поэтому вполне закономерно появление ряда публикаций, например, [73,36], посвященных случайным гидроакустическим полям в однородных и безграничных средах. Только в этом единственном случае возможно аналитически выполнить простейший статистический анализ скалярно-векторного поля. Отметим также работу [232], где в ракурсе задач архитектурной акустики наиболее полно и закончено исследована эта же статистическая модель поля. Результаты всех эти работ имеют для гидроакустики только методологическое значение.

Следуя исторической логике создания статистических теорий для различных видов волновых полей, статистическая скалярно-векторная теория также должна укладываться в рамки классификации (1)-(4). Методы же решения этих задач, в ближайшее будущее, едва ли выйдут за рамки методов (I)-(IV).

Если тем или иным способом нами вычислены статистические характеристики случайного поля давления p(t,X) (корреляционные функции или даже характеристический функционал), то, казалось бы, что формально можно вычислить и статистические характеристики скалярно-векторного поля. Например, для гармонических составляющих, корреляционный тензор колебательной скорости принял бы вид: v^XOvf (со2,Х2)> = (со,со2)"1 р-2 V2» Vf2>(pm(co1,X1)p,t КХ2)> •

Однако использовать формулы такого типа невозможно. Существует несколько причин для этого [175]. Но главная причина заключается в том, что решения для случайного скалярного поля всегда получаются приближенными методами (l)-(lll), для которых, к тому же, еще и никогда неясно, насколько «хорошо» вычислены статистические характеристики [105]. Дифференцирование же таких приближенных решений абсолютно бессмысленно. Статистическое же моделирование скалярного поля гарантирует только слабую сходимость поля, но не его производных (см.

§1.3). Очевидно поэтому, что разработка статистической теории все-таки должна базироваться на исходных уравнениях линейной акустики.

Таким образом, можно констатировать, что, как физические величины [p;v] и технический способ их регистрации [85], так и теоретические основы, пока еще находящиеся в стадии создания, выходят и принципиально должны выходить за рамки «скалярной» гидроакустики. Здесь наблюдается типичный для современной науки случай, когда разработка нового технического метода для конкретных целей (конкретно - для военно-морских) привела к зарождению нового научного направления - скалярно-векторной гидроакустики [158].

Полученные на сегодняшний день теоретические результаты в области статистической теории скалярно-векторной гидроакустики значительно более скромные, чем в традиционной статистической гидроакустике.

Прежде всего отметим, что, в соответствии с исходными целями векторно-фазового метода, большое количество публикаций посвящено вопросам оптимального приема слабых сигналов на фоне шумов. Эти задачи, формально, можно отнести к разделу (4). Одна часть этих задач направлена на решение задачи синтеза оптимальных приемных систем, а именно -протяженных антенн, состоящих из комбинированных приемников, например, [86,268]. Другая часть задач заключается в разработке различных алгоритмов для решения задач статистического оценивания статистического поля, в частности - статистическая оценка направления на локальный источник сигналов. При этом обычно рассматривается два варианта приема: одиночный приемник или антенна [162,178], а также набор приемников, случайно расположенных в водном пространстве [274,287]. Аналогичные работы имеются и у автора совместно с коллегами, например, [262,216]. Хорошо известно, что качество решения таких задач определяется адекватным выбором вероятностной волновой модели сигналов и полей [169]. Однако, общее, что объединяет все эти работы - это использование одной единственной модели сигнала в виде плоской волны. В этом случае, как известно, давление и колебательная скорость связаны через направляющие косинусы выбранной системы координат. Для описания шумов океана все авторы используют простейшие модели объемных или изотропных поверхностных шумов, еще в 60-х предложенные в известной работе [227]. Экспериментальные наблюдения звуковых полей в океане демонстрируют определенную несостоятельность таких моделей [230,276].

Значительно меньше известно работ, в которых рассматривались бы задачи о распространении волн в случайно-неоднородных средах - раздел классификации (1). Большая часть результатов основано на феноменологической теории переноса излучения, например, [70]. Известны также работы, в которой решалось стохастическое волновое уравнение в параболическом приближении [56]. Авторы, как правило, ограничиваются исследованием средней плотности потока энергии скалярно-векторного поля.

Задачи типа (2) о поверхностных шумах глубокого океана и мелкого моря в скалярно-векторном представлении рассматривались, соответственно, в работах [57] и [87]. В первой работе расчеты и анализ основаны на методе погружения и интегральном представлении полей. Во второй основой является модовый подход, однако, выполняется и учет непрерывного спектра. В работе [60] исследовались пространственно-временные характеристики шумового поля для флуктуирующего океана. Используемые авторами модели и результаты детально обсуждаются в главе 5.

Задачи типа (3) для скалярно-векторных полей в научной литературе практически не рассматривались, хотя некоторыми авторами высказывается предположение о возможном существенном влиянии морского волнения на формирование скалярно-векторного шумового поля. Известны лишь отдельные работы, где делались попытки только качественно учесть рассеяние на случайной поверхности моря, например, [93].

4. Стратегия и методы исследований.

Основная стратегическая задача представленной работы заключается в том, чтобы на простых классических примерах изучить и понять ведущие физические факторы, которые в той или иной отрезок времени, на том или ином участке пространства являются определяющими для формирования случайных волновых полей. И хотя большая часть результатов получена численно, мы руководствуемся положением - важны не цифры, а понимание.

Мы исходим также из двух установок. Во-первых, в большей части задач мы рассматриваем гидроакустические поля в скалярно-векторном представлении. Во-вторых, основная тактическая цель - на базе статистического моделирования получить точные решения (в некотором смысле) стохастических волновых задач, не используя те или иные изначальные упрощения.

Все схемы статистического моделирования, разрабатываемые и применяемые в диссертации для вычисления случайных полей, не используют здесь метод погружения, а базируются на обычном понятии импеданса акустического поля [21]. Такой подход, по-видимому, возможен, благодаря «скалярности» гидроакустических полей, а применен он здесь из-за большей физической наглядности, нежели метод погружения. С точки зрения способов переформулирования исходных краевых задач в причинные уравнения он соответствует понятию «метод уравнения Риккати». Все полученные таким способом уравнения и интегральные соотношения в большинстве случаев или совпадают с уравнениями погружения, или в некотором смысле «похожи» на них.

Отметим также один любопытный факт. В процессе решений различных стохастических задач выяснилось, что численные схемы статистического моделирования гораздо удобнее разрабатывать для исходных уравнений линейной акустики, нежели для волновых уравнений, описывающих поле давления. Таким образом, вычисление скалярно-векторных полей для статистического моделирования является делом обычным и не требующим специальных затрат.

В процессе многолетних исследований стохастических волновых задач приходилось неоднократно убеждаться, что развитие и использование мощного аппарата статистического моделирования невозможно без глубокого физического понимания свойств случайных волновых полей. Несомненно, что наиболее удобной и компактной формой этих знаний является аналитические решения стохастических задач. Аналитическое решение обладает рядом положительных качеств: оно не привязано к определенным числовым значениям параметров, позволяет находить оптимальные решения и делать достаточно общие заключения. Однако, уже в самых простейших случаях, таких как задачи об отражении и дифракции плоских гармонических волн, решение получить затруднительно. Применение тех или иных приближений на этапе постановки задачи часто приводит к дополнительным проблемам. Основные из них: отсутствие уверенности в результате и далеко не всегда ясна роль параметров.

В работе мы изначально исходим из целого ряда упрощений исходных физических условий формирования случайного гидроакустического поля. Мы предполагаем среду слоистой. Слой осадков - слоистым и жидким. Источники шума предполагаем распределенными на поверхности водного слоя, и предполагаем, что их распределение - стационарное и статистически однородное поле. Однако и в такой, еще достаточно общей постановке, задача чрезвычайно сложна, и характеризуется большим многообразием факторов. Понять роль и влияние последних на формирование случайных полей, возможно, лишь путем расчленения задачи на самые элементарные модельные задачи. Решение этих элементарных задач, выявление основных факторов, определяющих статистику полей в этих элементарных волновых статистических моделях, и является первым этапом наших исследований. Второй этап - это синтез элементарных моделей, установление их взаимосвязи и изучение более сложных статистических моделей. Следует отметить, что в зависимости от способа расчленения каждой конкретной задачи дальнейшее исследование может, вообще говоря, как упроститься, так и усложниться. Поэтому мы руководствуемся, прежде всего, стандартным физическим подходом, принятым в классической волновой теории вообще, и в традиционной теоретической гидроакустике в частности (см., например,[21]). При таком подходе сначала изучаются плоские гармонические волны, затем гармонические поля, и на последних этапах рассматриваются поля с временной зависимостью, в частности, задачи о падении временных импульсов. Соответственно, источники излучения на первом этапе предполагаются точечными и гармоническими. Специальное расположение источника излучения, например, если источник помещен на границу раздела водного слоя и слоя осадков, также уменьшает количество параметров в задаче. Отметим, что использование источников различного типа (например, источник вертикальной силы и источник массы) в некоторых случаях могут существенно изменить решение задачи.

Математические разработки автора, а также некоторые вопросы методологического и обзорного плана большей частью обсуждаются в главе 1. В приложения вынесены также некоторые специальные вопросы и полезные математические выкладки.

В главе 2 изучается отражение и распространение плоских гармонических волн в случайно-неоднородной среде (либо в водном слое, либо в слое жидких осадков). Специальные предположения, например, модель, в которой отсутствуют регулярные неоднородности среды, модель полубесконечного слоя осадков, позволяют достичь как существенного упрощения, так и выяснить основные статистические параметры задач. Большую часть результатов удается получить аналитически. Это позволяет выполнить сопоставление с результатами статистического моделирования и выявить области применимости приближенных аналитических методов.

Расчеты гармонических полей полностью основаны на результатах статистического анализа, как флуктуаций плоских волн, так и нормальных волн. Они представлены в главе 3.

Рассеяние временных импульсов ограничено исследованием обратно рассеянного поля при нормальном падении плоской волны на слой. И если первое упрощение модели не принципиально и связано лишь с ограничениями на объем материала книги, то второе упрощение позволяет существенно упростить методы и уменьшить время вычислений. Эти результаты можно найти в главе 4.

Задачи о поверхностном шуме в волноводах рассмотрены в главе 5. Модель поверхностных источников выбрана в виде стационарного и статистически однородного поля. Это значительно упрощает анализ решения, хотя и не является принципиальным ограничением для метода статистического моделирования.

В Заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Количество монографий по проблеме исследования вопросов излучения и дифракции случайных волновых полей исчисляется сотнями, а статей, пожалуй, десятками тысяч. Несомненно, что любая попытка сделать какой-либо полный обзор, обречена на провал. Поэтому обсуждение результатов, полученных другими авторами, выполняется в каждой главе отдельно.

Везде далее ради сокращения записи, если это только не будет мешать пониманию смысла уравнений и формул, при записи функций мы будем опускать зависимость от некоторых параметров. Например, Он(со,ц) и Qh обозначают одну и ту же функцию, но р(со,эе.г) и p(t,x,z) обозначают различные функции; в первом случае - это амплитуда пространственно-временного спектра давления, а во втором - это поле давления в зависимости от времени и координаты.

Большая часть обозначений, а также некоторые важные определения, которые хотя и обсуждаются в тексте, для удобства вынесены в отдельный раздел «Обозначения и определения».

Диссертация в большей своей части основана на оригинальных работах автора [62-68,108-112,166-171,205-218,238,240-244,262,277,289].

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Ярощук, Игорь Олегович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Кратко сформулируем основные результаты диссертации.

1. Развито новое научное направление статистической теории волн: статистическое моделирование случайных волновых полей.

2. Исследована проблема отражения и дифракции плоских гармонических волн в слоистых случайно-неоднородных средах.

2.1. Разработан и обоснован метод статистического моделирования процессов распространения плоских волн во флуктуирующих средах, которые могут быть в среднем неоднородными, в т.ч. и нелинейными. Вычислительные схемы представлены в виде цепных дробей, а моделирование позволяет получать слабое решение соответствующих стохастических волновых задач в точной постановке.

2.2. Выполнены оценки стохастических параметров для типовых значений флуктуаций в различных слоистых средах: глубокий океан, мелкое море и жидкие осадки. Показано, что в целом ряде физически важных случаев могут нарушаться условия применимости современных теоретических подходов (например, метода усреднения по быстрым осцилляциям). Для скользящих плоских волн указанные среды могут рассматриваться как стохастически большие рассеивающие слои.

2.3. Установлено, что в задаче об источнике массы, размещенном на границе вода - жидкое дно (задача о падении волны) результаты статистической теории и статистического моделирования совпадают, если только безразмерное волновое число велико а»1, величина же безразмерного затухания р может быть произвольной (при р»1 работает феноменологическая теория излучения).

2.4. Установлено, что в задаче об источнике вертикальной силы, размещенном на поверхности водного слоя статистическая теория, основанная на методе усреднения по быстрым осцилляциям, ограничена значениями поглощения звука в воде р>1.

2.5. Показано, что наличие в случайной среде даже малых регулярных неоднородностей может существенно ухудшить и даже свести на нет работоспособность современных статистических методов (например, метода двухмасштабных разложений).

3. Исследована проблема формирования стохастических гармонических волновых полей в слоистых флуктуирующих средах.

3.1. Разработан метод статистического моделирования спектра краевой стохастической волновой задачи, т.е. моделирование собственных значений и собственных функций.

3.2. Разработан метод статистического моделирования гармонических волновых полей локальных источников в слоистых случайно-неоднородных средах с произвольным краевым условием на дне. Метод может использоваться в двух вариантах: как с учетом только дискретного спектра (моды, в том числе «квазимоды»), так и с учетом непрерывного спектра вертикального стохастического оператора.

3.3. Аналитически (разложением в функциональные ряды) и численно исследована статистика СЗ и СФ как для самосопряженных, так и несамосопряженных краевых стохастических задач. Показано, что как полученные автором, так и все известные из литературы результаты справедливы лишь для флуктуирующих слоев небольшой стохастической толщины, т.е. когда h<1.

3.4. Установлено, что в глубоких случайных средах (стохастическая толщина: h»1) имеет место «запирания» плоских волн (локализация), что приводит к образованию стохастического дискретного спектра и «квазимод». Энергия же поля источника каналируется в такой среде, т.е. имеет место флуктуационный волновод.

3.5. Установлено, что статистические характеристики звукового поля во флуктуирующем мелком море определяются как флуктуациями СФ, так и флуктуациями СЗ. При этом роль каждого из этих факторов зависит как от модели случайной среды, так и от дистанции, на которой наблюдается поле. На малых дистанциях волновое поле является комплексным гауссовым, ибо состоит из суммы гауссовых величин. На больших же дистанциях структура поля претерпевает качественные изменения: оно становится суммой логарифмически нормальных распределений, что приводит к его заметным флуктуациям.

4. Выполнено исследование проблемы рассеяния импульсных сигналов слоем флуктуирующей слоистой среды.

4.1. Разработан метод статистического моделирования рассеяния произвольных временных импульсов слоистой средой со случайными неоднородностями. Метод основан на вычислении стохастических интегралов для образа Лапласа и последующего точного перехода к оригиналу функции Грина нестационарной задачи.

4.2. Показано, что статистические моменты обратно рассеянного импульса <R2n(t)) определяются спектральным составом падающего импульса l(t). Характерным масштабом рассеяния одной гармоники является стохастическая толщина слоя (толщина слоя, нормированная на коэффициент диффузии данной гармоники). Высокие гармоники отражаются случайной средой, а низкие гармоники высвечиваются из слоя.

4.3. Установлено, если на слой флуктуирующей среды падает видеоимпульс конечной длительности l(t)=5n(t), то отраженное поле является гауссовым, если только длительность импульса много меньше характерного времени прохода слоя (г|«Т).

4.4. Установлено, что асимптотическое поведение средней энергии обратно рассеянного поля для видеоимпульсов при больших временах наблюдения t является степенным, т.е. <R2(t)> ~ t"b. Для 5(t) импульса показатель b равен примерно 1.5, что находится в согласии с современными теоретическими исследованиями. С увеличением длительности падающего видеоимпульса г| показатель степени уменьшается и в предельном случае G(t) импульса становится 0.5.

5. В скалярно-векторном представлении исследована проблема излучения волновых полей случайными источниками, расположенными на поверхности водного слоя (шумы океана).

5.1. Разработан метод статистического моделирования скалярно-векторного поля шумов поверхности, основанный на рандомизации пространственно-временного спектра плотности распределения источников. Показано его преимущество перед современными методами и подходами.

5.2. Систематически исследована зависимость вторых статистических моментов временной спектральной амплитуды шумового поля от частоты и глубины для типовых случаев слоистых моделей глубокого океана и мелкого моря и модели поверхностных источников в виде изотропного поля с равномерной ограниченной пространственной спектральной плотностью.

5.3. Показано, что в формирование шумового поля сравнимый вклад вносят как дискретная (собственные моды), так и непрерывная части пространственного спектра области однородных волн краевой задачи. В ряде ситуаций роль непрерывного спектра может быть преобладающей.

5.4. Установлено, что объемная плотность полной звуковой энергии шумового поля не всегда пропорциональна квадрату давления, ибо величины объемных плотностей потенциальной и кинетической энергий в ряде ситуаций могут различаться.

5.5. Показано, что выбор геоакустической модели оказывает существенное влияние на энергетические характеристики шумового поля, но практически не влияет на вертикальную компоненту плотности потока акустической энергии.

В заключение этого раздела приведем некоторые соображения и замечания относительно развитых в диссертации методов статистического моделирования и статистического анализа.

Представленные в диссертации результаты теоретических исследований не претендуют на всеобъемлющую полноту. Прежде всего, они отражают взгляд автора на проблему и его научные интересы. Эта работа является итогом завершения целого этапа продолжающихся в настоящее время исследований случайных полей вообще, и флуктуирующих скалярно-векторных звуковых полей в океане, в частности.

Прежде всего, в диссертации выполнена последовательная разработка метода статистического моделирования для решения целого класса задач.

Разработка метода статистического моделирования являлась сердцевиной представленной работы.

На основе предлагаемого метода были рассмотрены наиболее интересные задачи о распространении плоских гармонических волн в случайных средах. Были определены базисные стохастические параметры и изучена их роль для формирования статистики волн. Было показано, что в зависимости от величин этих параметров, даже современные стохастические методы могут давать не совсем адекватные результаты.

Для гармонических звуковых полей было показано, что законы их формирования определяются конкурирующими факторами: средними значениями и малыми флуктуациями параметров акустико-океанологических моделей. На дальних дистанциях определяющими для формирования поля являются флуктуации параметров, при этом задачи становятся «существенно стохастическими» и обычно применяемые методы малых возмущений (см., например, [100]) здесь могут быть не применимы.

Актуальными и современными задачами акустики океана являются задачи о морской реверберации и задачи о формировании полей широкополосных источников звука. Рассмотренная в диссертации задача об обратном рассеянии временных импульсов слоем случайной среды непосредственно не относится к отмеченным задачам. Однако, в некотором смысле, она является академической и классической. Только основываясь на результатах ее решения можно как строить какую-либо статистическую волновую теорию, так и решать конкретные задачи о распространении широкополосных сигналов в случайных средах. Задача об обратном рассеянии импульсов здесь была рассмотрена в точной постановке и достаточно детально изучена. Были исследованы законы обратного рассеяния, а также были проанализированы все основные результаты, полученные различными авторами (в основном - это асимптотические решения).

Для решения задач о формировании шумов поверхности, метод статистического моделирования представлен в диссертации в несколько необычном виде - рандомизация спектрального представления. Некоторая

часть результатов, представленных здесь, может быть получена и другими стандартными методами и подходами [253]. Однако это связано лишь с фактом выбора здесь простейших моделей как источников, так и условий распространения звука. Причина такого выбора моделей заключалась только в демонстрации работоспособности метода. Предложенная методика достаточно универсальна и не зависит ни от выбора моделей поверхностных шумов, ни от акустико-океанологической обстановки. Так как все задачи решались в точной постановке, то в процессе расчетов удалось выяснить какой вклад дает непрерывная и дискретная составляющая спектра. Удалось исследовать соотношения между различными компонентами СВ шумового поля для ряда моделей среды. В частности, было показано, что в целом ряде случаев потенциальная энергия не равна кинетической энергии.

Таким образом, для задач о формировании шумовых полей в океане была разработана эффективная и универсальная методика статистического моделирования. Но это только один аргумент в пользу предложенного подхода. Была и другая причина разработки именно такого способа вычисления случайных реализаций шума, которая осталась «за кадром» диссертации. Дело в том, что такой способ моделирования является качественно новым этапом развития методов статистического моделирования. Здесь уже вычисляется не случайный процесс - значение шумового поля в одной точке пространства, а именно случайное поле в пространстве и во времени. Получаемые случайные реализации поля можно использовать не только для вычислений различных корреляций поля в пространстве и времени, но, что особенно важно, их можно использовать для дальнейших прикладных исследований. Например, их можно использовать для решения задач статистического оценивания локальных сигналов на фоне шума для произвольной конфигурации СВ приемных устройств. Таким способом довольно легко можно «проиграть» на качество приема сигнала произвольную антенну из комбинированных приемников на фоне произвольно заданного нами шума.

В диссертации не были рассмотрены такие важные задачи как рассеяние на поверхностях, а также волноводы неоднородные по трассе. Все рассмотренные задачи ограничены случаем слоистых сред. Введение неоднородностей 2-х мерных, а тем более 3-х мерных значительно усложняет теоретический анализ и делает невозможным получение каких-либо аналитических результатов. Однако схемы статистического моделирования естественным образом обобщаются и на многомерные задачи. Так как в реалистических моделях среды неоднородности плавно меняются по трассе распространения, то учет многомерных неоднородностей среды не является принципиальным для статистического моделирования, и может выполняться обычными детерминистическими способами. Например, можно применять метод поперечных сечений. Вся статистика поля содержится именно в поперечном операторе, соответствующем волновым уравнениям акустики.

К сожалению, природу никогда не удается обмануть. Всегда и везде за все приходится платить. И если мы где-то выигрываем, то всегда где-то и проигрываем. Поэтому, когда какие-либо авторы пишут о разработке нового «суперэффективного» метода, то как правило, эти авторы пока еще и не ведают в каком месте и на каком этапе появляются новые проблемы и трудности реализации этого метода. Такова уж природа всех исследователей и они не могут не восхищаться своим детищем на рождение которого потрачены годы и силы творческого труда. Будет большой удачей, если кто-то и когда-то уже сталкивался с этими проблемами и достиг успеха в их решении. Методы Монте-Карло вообще, и метод статистического моделирования в частности, как раз и относятся к этому счастливому случаю. Применяя метод статистического моделирования в статистических волновых задачах, без сомнения, мы по крупному выигрываем. Нам удается в точной постановке решать целые классы не только теоретических, но и прикладных задач. При этом в отличие от обычных стохастических методов мы ни чем не ограничены и можем вычислять любые статистические характеристики полей. Одновременно мы крупно проигрываем по сравнению с обычными дедуктивными методами, основанными на уравнениях типа ЭФ. Все статистические расчеты требуют значительно больших вычислительных ресурсов и вычислительных затрат. Однако здесь нам повезло и эту проблему решаем не мы. Стремительный рост мощностей вычислительной техники открывает все большие и большие перспективы применения методов статистического моделирования. Например, часть расчетов представленных здесь была выполнена на суперкомпьютерах с применением технологии параллельных вычислений, что сразу позволило в сотни раз уменьшить время вычислений.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Размерность величины И=Гц.

2. R - пространство действительных чисел.

3. Z - пространство комплексных чисел.

4. R" - п-мерное евклидово метрическое пространство.

5. Прямое произведение пространств и множеств, например: R™©R2.

6. dnx = dx1dx2.dxn, х = [x1;x2;.;xn]e Rn - произведение дифференциалов в многократных интегралах.

7. Вектор-столбец, составленный из скалярных величин, либо других векторов, либо их комбинаций: а,;а2] = [ь;а] = ь" V

Я, . [а=ь] = Э2 а2. Ь

8. Вектор-строка, составленная из скалярных величин, либо из строк, либо различных их комбинаций: b,a] = [b at а2], [atb] = [at а2 Ь].

9. Суммирование по «немым» индексам: м м ambm = 2>mbmI AmiB(nJ = XAmiBn,J.

10. Свертка матричной функции и векторной функции: b(t,x,z) = G(t,x,z;t0,x0,z0) 0 a(t0,x0,z0) bk(t,x,z) = Jdt0 Jd2x0 jdz0 Gkm(t,x,z;t01x0lz0)am(t0Ix0Iz0)'

11. 4-х мерное векторное поле P и его спектральная амплитуда:

P0(tx,z)" " p(t,x,z)" " p(t,x,z)" "P0(to,ae,z)" " p(co,ae,z)"

P,(t.X.Z) v,(tx,z) иДх.г) P^co.ae.z) u, (co.ae.z) p2(t,x,z) V2(t,x,z) U2(t,x,z) t P2(co,ae,z) u2 (co.ae,z)

P3(t,x,z) v3(t,x,z) w(t,x,z) P3 (co.ae.z) w(co,ae,z)

12. Набла-оператор: V = [V1(V2;.;Vn] =

Зх, ах2 ах, п .

V7 " д . д '

• VX ~ dx,' 5X2

13. Эрмитово сопряжение: AHWL-A-ICL.

14. Сетка на отрезке (a,b): {zm}^0, М - количество узлов сетки, Azm=zm-zm.1 шаг сетки, Zo=a, zM=b.

15. Тета-функция (функция Хевисайда): v [0, z^O

16. Операторы среднего и дисперсии:

17. Виды стохастической сходимости.

1) Сходимость почти наверное. Если для всех элементов вероятностного пространства {тз} кроме множества нулевой вероятности, имеет место сходимость:

2) Сходимость в среднеквадратичном: l.i.m.=4 о lim([4n-4]2) = 0.

3) Сходимость по вероятности: V8 > 0 =>limProb(|^n > 8) = 0.

4) Сходимость по распределению. Тоже - слабая сходимость: о {VT - smooth function: lim(T(4n)) = (ч^))}.

Слабая сходимость эквивалентна сходимости характеристических функционалов и многоточечных плотностей вероятностей.

18. Взаимосвязь различных пределов: сходимость почти наверное) ^(сходимость в среднеквадратичном); (сходимость в среднеквадратичном)=>(сходимость по вероятности); (сходимость по вероятности) =><слабая сходимость);

19. Стохастическая эквивалентность [34,140].

Случайные процессы ^(z) и £2(z) при zeZ называются стохастически эквивалентными, если

Vz6Z^Prob{^(z) = 42(z)}=1.

Процессы ^i(z) и - стохастически эквивалентны в широком смысле, если у них совпадают соответствующие конечномерные распределения, либо характеристические функционалы. 20. Рандомизация в широком смысле - статистическая процедура, в которой решение принимается некоторым случайным образом. Рандомизация спектра, интеграла и т.д. - статистическая процедура задания вероятностной меры на некотором множестве спектров, на множестве квадратурных формул, соответствующих интегралу, и т.д. Например, в случае рандомизации пространственно-временного спектра, разыгранное случайное поле должно иметь заданный спектр [199,78].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ярощук, Игорь Олегович, 2003 год

1. Абдуллаев С.С., Хабибуллаев П.К. Асимптотическая теория низкочастотных шумов океана с учетом импеданса// Изв. АН СССР. ФАО. 1988. Т.24. № 10. С.1066-1076.

2. Авилов К.В. Псевдодифференциальные параболические уравнения распространения звука в океане и плавно-неоднородном по горизонтали волноводе и их численное решение//Акуст.журн. 1995. Т.41. № 1. С.5-12.

3. Авилов К.В. Естественные параболические уравнения распространения сейсмоакустических волн в двумерно-неоднородном океане с твердым дном и их численные решения// В кн.: Сб. тр. школы-семинара Бреховских Л.М.-М.: ГЕОС, 2000. С.74-78.

4. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. Теория и методы. Т.1. -М.: Мир, 1983. -520с. -1983. -Т.2.-360с.

5. Акустика морских осадков/ Под ред. Хэмптона Л. -М.: Мир, 1977. -536с.

6. Акустика дна океана/ Под ред. Купермана У. и Енсена Ф. -М.: Мир, 1984. -454с.

7. Амбарцумян В.А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой// Докл. АН СССР. 1943. Т.38. № 8. С.257-260.

8. Апанасенко В.А., Крышный В.И. Подводные шумы в шельфовой зоне моря/ В кн.: Океаническая акустика. -М.: Наука, 1993. С.190-199.

9. Артельный В.В., Диденкулов И.Н., Раевский М.А. Низкочастотное шумовое поле в океане со взволнованной поверхностью//Акуст.журн. 1988. Т.34. № 6. С.972-978.

10. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. -М.: Наука, 1981. -640с.

11. Бабкин Г.И., Кляцкин В.И., Козлов В.Ф., Ярощук Е.В. Флуктуации интенсивности волны в случайно-неоднородной среде. V. Численное интегрирование уравнений переноса излучения// Изв.вузов. Радиофизика. 1981. Т.24. № 8. С.952-959.

12. Бабий В.И. Мелкомасштабная структура поля скорости звука в океане. -Л.: Гидрометеоиздат, 1983.-200с.

13. Барабаненков Ю.Н., Кравцов Ю.А., Рытов С.А., Татарский В.И. Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородных средах// УФН. 1970. Т.102. № 1. С.3-42.

14. Баронкин В.М., Попов С.Р., Симакина Е.В. Статистический анализ многомодовых и многолучевых сигналов// Океаническая акустика. -М.: Наука, 1993. -с.255-269.

15. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. -М.: Наука, 1972. -424с.

16. Белов В.Д., Рыбак С.А. О применимости уравнений переноса в одномерной задаче// Акуст.журн. 1975. Т.21. № 2. С.173-180.

17. Белоусов А.В., Копыл Е.А., Лысанов Ю.П. Об индикатрисе рассеяния низкочастотного звука поверхностью океана//Акуст.журн. 1989. Т.35. № 2. С.223-228.

18. Быков В.В Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1971. -328с.

19. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. -М.: Наука, 1973. -343с.

20. Бреховских Л.М. Звуковые волны под водой, обусловленные поверхностными волнами в океане// Изв. АН СССР. ФАО. 1966. Т.2. № 9. С.970-980.

21. Бреховских Л.М. Об излучении океаническими волнами инфразвука в атмосферу// Изв. АН СССР. ФАО. 1968. Т.4. с.444-450.

22. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. -М.: Наука, 1989. -т 416с.

23. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Излучение звука пограничным слоем океан атмосфера// Мор. приборостр. Сер. Акустика. 1972. № 1. С.47-61.

24. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. -Л.: Гидрометеоиздат, 1982.-264с.

25. Бубновский А.Ю., Шевцов Б.М. Статистические характеристики нестационарного рассеяния назад в случайно-неоднородной среде// Изв. вузов. Радиофизика. 1999. Т.42. № 12. С.1153-1163.

26. Бубновский А.Ю., Шевцов Б.М. Отражения нестационарных сигналов всредах с большими флуктуациями неоднородностей// Изв.вузов. Радиофизика. 2001. Т.44. № 10. С.847-859.

27. Бурдик B.C. Анализ гидроакустических систем. -П.: Судостроение, 1988. -392с.

28. Буров В.А., Касаткина Е.Е. Применение метода максимального правдоподобия к обработке сигналов с градиентного приемника// Акуст.журн. 1997. Т.43. № 1. С.22-25.

29. Вадов Р.А. Затухание низкочастотного звука в океане// Проблемы акустики океана. -М.: Наука, 1984. -С.31-42.

30. Вадов Р.А. Поглощение и затухание звука в океане. В кн.: Океанология. М.-.ВИНИТИ, 1975. С.179-213. (Итоги науки и техники, Т.З).32а. Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов//УФН. 1976.Т.118.№ 2.с.339-367.

31. Варакин Л.Е. Статистическая модель многолучевого распространения УКВ в городе// Радиотехника, 1989. Т.43. № 12. С.56-61.

32. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. -М.: Наука, 1975. -320с.

33. Войтишек А.В. Рандомизированная численная спектральная модель стационарной случайной функции/ Математические и имитационные модели систем. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. С.17-25.

34. Воробьев С.Д., Сизов В.И. Векторно-фазовая структура и векторно-фазовый метод описания и анализа случайных акустических полей// Акуст.журн. 1992. Т.38. № 4. С.654-660.

35. Газарян Ю.Л. Об энергетическом спектре шума в плоскослоистых волноводах//Акуст.журн. 1975. Т.23. № 3. С.382-390.

36. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. -Киев: Наук, думка, 1968. -356с.

37. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наук, думка, 1982. -611с.

38. Гельфанд И.М., Яглом A.M. О вычислении количества информации о случайной функции, содержащейся в другой такой функции// УФН. 1957. Т. 12. №1(73). С.3-52.

39. Глуховский А.Б. О статистическом моделировании метеорологических полей// Изв. АН СССР. ФАО. 1969. Т.5. № 7. С.724-729.

40. Голанд В.И. Статистические характеристики нормальных волн звукового поля в случайно-неоднородном океане//Акуст. журн. 1988. Т.34. № 6.1. С.1020-1022.

41. Голанд В.И., Кляцкин В.И. Об асимптотических методах анализа стохастической задачи Штурма-Лиувилля//Акуст. журн. 1989. Т.35. № 5. С.942-944.

42. Гончаренко Б.И., Захаров Л.Н. О методе определения акустического сопротивления грунта в пресноводных водоемах//Акуст.журн. 1974. Т.20. № 4. С.531-536.

43. Гончаров В.В. Генерация звука в океане путем взаимодействия поверхностных волн с турбулентностью// Изв. АН СССР. ФАО. 1970. Т.6. № 11. С.1189-1196.

44. Гордиенко В.А. Векторно-фазовые методы в акустике: проблемы и перспективы использования/ В кн.: Акустика океана. -М.: ГЕОС, 1998. С. 146-150.

45. Гордиенко В.А., Гончаренко Б.И., Илюшин Я.А. Особенности формирования векторно-фазовой структуры шумовых полей океана// Акуст.журн. 1993. Т.39. № 3. С.455-466.

46. Гордиенко В.А., Ильичев В.И., Захаров Л.Н. Векторно-фазовые методы в акустике. М.: Наука, 1989. -223с.

47. Гордиенко В.А., Илюшин Я.А. О флуктуациях угла пеленга сосредоточенного источника, определяемого векторным приемником в поле шумов//Акуст.журн. 1996. Т.42. № 3. С.365-370.

48. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.-М.: Наука, 1971.-590с.

49. Гредескул С А, Фрейлихер В.Д. О волноводных свойствах случайно-неоднородных сред// Изв. вузов. Радиофизика. 1988. Т.31. № 10. С.1210-1217.

50. Гредескул С.А., Фрейлихер В.Д. Квазистационарные состояния в открытых неупорядоченных системах// Изв.вузов. Радиофизика. 1990. Т.ЗЗ. № 1. С.61-64.

51. Гредескул С.А., Фрейлихер В.Д. Локализация и распространение волн в случайно-неоднородных средах// УФН. 1990. Т.160. № 2. С.239-262.

52. Гудмен Дж. Статистическая оптика. -М.: Мир, 1988. -528с.

53. Гулин Э.П. Корреляционные свойства звуковой волны при многократных отражений от неровной поверхности// Акуст.журн. 1974. Т.22. № 6. С.845-857.

54. Гулин О.Э. О векторных характеристиках в статистически-неоднородных волноводах//Акуст.журн. 1984. Т.ЗО. № 4. С.460-466.

55. Гулин О.Э. К теории акустических шумов в глубоком слоистом океане// Акуст.журн. 1985. Т.31. № 4. С.524-527.

56. Гулин О.Э. Численное моделирование низкочастотных акустических шумов в слоистом океане//Акуст.журн. 1987. Т.ЗЗ. № 1. С. 113-116.

57. Гулин О.Э. Спектры низкочастотных акустических шумов в плоскослоистом океане с импедансными свойствами дна// Акуст.журн. 1987. Т.ЗЗ. №4. С.618-623.

58. Гулин О.Э., Кляцкин В.И. К теории акустических шумов в случайно-неоднородном океане//Докл. АН СССР. 1986. Т.288. № 1. С.226-229.

59. Гулин О.Э., Швырев А.Н., Ярощук И.О. Аппаратно-программный комплекс для обработки гидроакустических сигналов, регистрируемыхкомбинированными приемниками/ В кн.: Тр. Дальрыбвтуза. -Владивосток: Дальрыбвтуз (ТУ), 1998. №11. С.26-29.

60. Гулин О.Э., Ярощук И.О. Моделирование рассеяния импульсов в слоистых случайно-неоднородных средах// Акустика океана. -М.: ГЕОС, 1998. С.243-246.

61. Гулин О.Э., Ярощук И.О. Флуктуации импульсов, рассеянных слоем случайно-неоднородной среды// Изв.вузов. Радиофизика. 1999. Т.42. № 4. С.383-393.

62. Гулин О.Э., Ярощук И.О. Статистическая задача рассеяния временных импульсов флуктуирующей средой/ В кн.: Тр.19-й Всес. конф. распр. радиоволн. Казань: КГУ, 1999. С.291-292.

63. Гулин О.Э., Ярощук И.О. Флуктуации импульсов, рассеянных слоем случайно-неоднородной среды (комментарии и дополнения)// Изв.вузов. Радиофизика. 1999. Т.43. № 11. С.1123-1126.

64. Гулин О.Э., Ярощук И.О. Моделирование корреляций и спектров в обратно рассеянном поле для нестационарной одномерной статистической задачи/ В кн.: Физическая акустика Т.1. -М.: ГЕОС, 2000. С.202-206.

65. Гулин О.Э., Ярощук И.О. Исследование корреляций рассеянного в обратном направлении поля в нестационарной статистической задаче// Акуст.журн. 2001. Т.47. № 6. С.769-774.

66. Деревягина Е.И., Кацнельсон Б.Г. Влияние случайных неоднородностей на вертикальную направленность поверхностного шума в мелком море// Акуст.журн. 1995. Т.41. № 2. С.240-244.

67. Дзюба В.П., Ильичев В.И. Реверберация в поле вектора плотности потока акустической энергии//Докл. АН СССР. 1990. Т.310. № 6. С.1462-1465.

68. Доценко С.В. Теоретические основы измерения физических полей океана. -П.: Гидрометеоиздат, 1974. -152с.

69. Доценко С.В. Случайные процессы в гидрофизических измерениях. -П.: Гидрометеоиздат, 1983. -240с.

70. Доценко С.В., Ильичев В.И. Корреляционное описание случайных акустических полей//Акуст.журн. 1987. Т.ЗЗ. № 3. С.473-479.

71. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. -М.: ИЛ, 1956. -605с.

72. Евсиков Ю.А., Чапурский В.В. Преобразование случайных процессов в радиотехнических устройствах. -М.: Высш. школа, 1977. -264с.

73. Елисеевнин В.А., Тужилкин Ю.И. Поток акустической мощности в волноводе/ В кн.: Тр. Х-сессии РАО. Физ. акуст. Т.1. -М.: ГЕОС, 2000. С.153-156.

74. Ермаков И.Н. Частотные спектры шумового поля в плоскослоистом волноводе//Акуст.журн. 1986. Т.32. № 1. С.264-267.

75. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. -М.: Наука, 1982.-296с.

76. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. -М.: Наука, 1984.-208с.

77. Жуков А.Н., Иванников А.Н., Кравченко Д.И., Павлов В.И. Особенности тонкой структуры звукового поля//Акуст.журн. 1989. Т.35. № 4. С.634-638.

78. Жуков А.Н., Иванников А.Н., Нюнин Б.Н., Тонаканов О.С. О движении частиц среды в акустических полях сложной структуры// Вестн. МГУ. Сер.З. Физ., астроном. 1985. Т.26. № 2. С.69-74.

79. Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. -М.: Наука, 1972. -558с.

80. Захаров Л.Н., Калина Л.С. Помехоустойчивость линейных комбинированных антенн в случае воздействия анизотропных шумов/ В кн. Тр. 13-й Всес. школы-семинара по стат. гидроакустике. -М.: АКИН, 1984. С.99-102.

81. Захаров Л.Н., Киршов В А, Рожин Ф.В. Пространственно-корреляционные функции компонент колебательной скорости для двух моделей звукового поля//Акуст.журн. 1972. Т.18. № 1. С.49-52.

82. Захаров Л.Н., Ржевкин С.Н. Векторно-фазовые измерения в акустических полях//Акуст.журн. 1974. Т.20. № 3. С.393-401.

83. Зеленский С.Н. О сравнительном анализе рабочих характеристик аддитивных и корреляционных антенн//Акуст.журн. 1989. Т.35. № 4. С.652-658.

84. Зеленский С.Н. Некоторые свойства поля акустических шумов в волноводе с плоскопараллельными границами//Акуст.журн. 1989. Т.35. № 1. С.55-61.

85. Зеленский С.Н. Некоторые энергетические характеристики поля шумов в плоскопараллельном волноводе// Вестн. Киев, политехи, ин-та. Электроакустика и звукотехника. 1989. Вып. 13. С.41-46.

86. Зеленский С.Н., Пасечный С.В. Характеристический функционал акустического поля в случайно-неоднородных средах//Акуст. журн. 1978. Т.24. №5. С.681-692.

87. Ивакин А.Н. Акустические статистические модели дна мелководных районов океана// Судостроительная промышленность. Сер. Акустика. 1986. № 1. С.3-10.

88. Иванов М.Ф., Швец В.Ф. Метод стохастических уравнений для расчета кинетики плазмы со столкновениями// ЖВММФ. 1980. Т.20. № 3. С.682-690.

89. Ильичев В.И. и др. Взаимодействие потоков мощности подводных окружающих шумов и локального источника//Акуст.журн. 1991. Т.37. № 1. С.99-103.

90. Ильичев В.И. и др. Анизотропные свойства подводных динамических шумов// В кн.: Океаническая акустика. -М.: Наука, 1993. С. 182-189.

91. Ильичев В.И., Калюжный А.Я., Красный J1.Г., Лапий В.Ю. Статистическая теория обнаружения сигналов. -М.: Наука, 1992. -415с.

92. Исакович М.А. Общая акустика. -М.: Наука, 1973. -496с.

93. Исакович М.А., Курьянов Б.Ф. К теории низкочастотных шумов океана// Акуст.журн. 1970. Т.16. № 1. С.62-74.

94. Кадыков И.Ф. Подводный низкочастотный акустический шум океана. -М.: Эдиториал УРСС, 1999. -152с.

95. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512с.

96. Касти Дж., Калаба Р. Методы погружения в прикладной математике. -М.: Мир, 1976. -224с.

97. Кацнельсон Б.Г., Петников В.Г. Акустика мелкого моря. -М.: Наука, 1997. -191с.

98. Кляцкин В.И. Замечание о стохастических волновых задачах// Изв.вузов. Радиофизика. 1973. Т.20. № 8. С.1165-1170.

99. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. -М.: Наука, 1975. -240с.

100. Кляцкин В.И. Флуктуации интенсивности волны внутри одномерного случайно-неоднородного слоя среды. II//Изв.вузов. Радиофизика. 1979. Т.22. № 5. С.591-597.

101. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. -336с.

102. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. -М.: Наука, 1986.-256с.

103. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. -М.: Физматлит, 2001. -528с.

104. Кляцкин В.И., Саичев А.И. Статистическая и динамическая локализация плоских волн в хаотически слоистых средах// УФН. 1992. Т.162. № 3. С.161-194.

105. Кляцкин В.И., Ярощук И.О. Численное моделирование распространения волн во флуктуирующих средах// В кн.: Тез.Ш Всесоюз. конф. по флуктуационным явлениям в физике. Вильнюс, 1982. С.26.

106. Кляцкин В.И., Ярощук И.О. Численное моделирование волн в случайных средах// В кн.: Тез. 10-й Всес. Акуст. конф. «Распространение и дифракция». М., 1993. С.104-107.

107. Кляцкин В.И., Ярощук И.О. Флуктуации интенсивности волны в одномерной случайно-неоднородной среде VI. Учет влияния границы раздела// Изв.вузов. Радиофизика. 1983. Т.26. № 9. С.1092-1099.

108. Кляцкин В.И, Ярощук И.О. Флуктуации интенсивности волны в одномерной случайно-неоднородной среде. VII. Численное моделирование распространения волн в стохастической среде// Изв.вузов. Радиофизика. 1983. Т.26. № 10. С.1241-1250.

109. Кляцкин В.И., Ярощук И.О. Флуктуации интенсивности волны в одномерной случайно-неоднородной среде. VIII. Влияние модели среды// Изв.вузов. Радиофизика. 1984. Т.27. № 11. С.1395-1402.

110. Клячкин В.И. О характеристических функционалах некоторых гидроакустических полей// Тр. 2 Всес. школы-семинара по стат. гидроакустике (СГ-2). -Новосибирск, 1971. С.61-90

111. Колер В., Папаниколау Дж.К. Распространение волн в случайно-неоднородном океане/ В кн.: Распространение волн и подводная акустика. -М.: Мир, 1980. -С.126-179.

112. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. -М.: Наука, 1968. -504с.

113. Кнут Д. Искусство программирования на ЭВМ. Т.2. Получисленные алгоритмы. -М.: Мир, 1977. -727с.

114. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость// УФН. 1989. Т.158. № 1. С.93-122.

115. Крупин В.Д. Вычисление звуковых полей в волноводах на основе метода фазовой функции// Вопр. судостроения. Акустика. 1977. Вып.9. С.3-15.

116. Курбатов М.В. О вкладе резонансных структур в формирование области локализации волн в случайно-неоднородных средах// Акуст. журн. 2000.f Т.46. №1. С. 118-120.

117. Курьянов Б.Ф. Пространственная корреляция полей, излученных случайными источниками на плоскости// Акуст.журн. 1963. Т.9. № 4. С.441-448.

118. Курьянов Б.Ф. К механизму возбуждения шумов океана турбулентным ветром/ В кн.: Тр. СахКНИИ. -Сахалин: СахКНИИ, 1975. № 34. С.40-43.

119. Курьянов Б.Ф. Подводные шумы океана/ В кн.: Акустика океана. Современное состояние. -М.: Наука, 1982. С.164-174.

120. Курьянов Б.Ф. Теория низкочастотных шумов океана: лучевой и модовый подходы. -М.:1984. 60с. -Деп. ВИНИТИ № 3569.

121. Курьянов Б.Ф. Развитие представлений о низкочастотных шумах океана за 50 лет/ В кн.: Сб. тр. школы-семинара Бреховских Л.М. -М.: ГЕОС, 1998.-С.116-124.

122. Куянова М.В., Ляшков А.С., Ярощук И.О. О статистических моделях поверхностных динамических шумов// В кн.: Акустика океана -М.: ГЕОС, 2002. С.233-236.

123. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. -М.: Наука, 1988.-432с.

124. Леонов А.И., Васенев В.Н., Гайдуков Ю.И. и др. Моделирование в радиолокации. М.: Сов. радио, 1979. -264с.

125. Лившиц Б.С., Пшеничный А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика. -М.: Связь, 1979. -224с.

126. Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем. М.:Наука, 1982. -360с.

127. Лобкова Л.М. Распространение радиоволн над морской поверхностью. -М.: Радио и связь, 1991. -256с.

128. Маккин Г. Стохастические интегралы. -М.: Мир, 1972. -184.

129. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. -М.: Сов. радио, 1978. -376с.

130. Малахов А.Н., Саичев А.И. Промежуточные уравнения теории диффузионных процессов с двухточечными граничными условиями// Изв. вузов. Радиофизика. 1979. Т.22. №5. С.577-590.

131. Мальцев Н.Е. Математическое моделирование звуковых полей в океане/ Акустика океана. Современное состояние. -М.: Наука, 1982. С.5-24.

132. Мармарелис П., Мармарелис В. Анализ физиологических систем. Метод белого шума. -М.: Мир, 1981. -480с.

133. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. -М.: Мир, 1990.-584с.

134. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. -608с.

135. Маслов В.П. Операторные методы. -М.: Наука, 1973. -544с.

136. Математическая энциклопедия/ Гл. ред. Виноградов Г.И. Т.З. -М.: СЭ, 1982. -1184 стб.

137. Математическая энциклопедия/ Гл. ред. Виноградов Г.И. Т.5. -М.: СЭ, 1984. -1248 стб.

138. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений/ Под ред. Марчука Г.И. -М.: Атомиздат, 1967. -256с.

139. Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике/ Под ред. Марчука Г.И. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. -180с.

140. Методы Монте-Карло в статистической физике/ Под ред. Биндера К. -М.: Мир, 1982.-400с.

141. Миддлтон Д., Ольшевский В.В. Современная методология экспериментальных акустико-океанологических исследований/ В кн.: Тр. 3-го сем. «Акуст. статист, модели океана». -М.: АКИН, 1981. С.76-87.

142. Мирский Г.Я. Характеристики статистической взаимосвязи и их измерения. -М.: Энергоиздат, 1982. -320с.

143. Михайлов Г.А. Численное моделирование случайного поля с заданной спектральной плотностью//Докл. АН СССР. 1978. Т.389. № 4. С.793-795.

144. Михайлов Г.А. Приближенные модели случайных процессов и полей// ЖВММФ. 1983. Т.23. № 3. С.558-566.

145. Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К. О численном моделировании диффузии примеси в стохастических полях скоростей// Изв. АН. ФАО. 1980. Т.16. № 3. С.229-235.

146. Моисеев А.А. Поле собственных шумов случайно-неоднородного океана//Акуст.журн. 1987. Т.ЗЗ. №6. С.1105-1111.

147. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. -М.: Наука, 1965. Т.1. -640с.; - 1967. -Т.2. -720с.

148. Морз Ф.М. Колебания и звук. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. -495с.

149. Морз Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. -М.: ИЛ, 1958. -Т.1. -930с.; 1960. -Т.2. -886с.

150. Найфэ А.Х. Методы возмущений. -М.: Мир, 1976. -455с.

151. Никитин Н.Н., Первачев С.В., Разевиг В.Д. Решение на ЦВМ стохастических дифференциальных уравнений следящих систем// Автоматика и телемеханика. 1975. Т.36. № 4. С.133-137.

152. Новиков Е.А. Решение некоторых уравнений с вариационными производными//УМН. 1961. Т.16. №2. С.135-141.

153. Новиков Е.А. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности//ЖЭТФ. 1964. Т.47. № 5. С.1919-1926.

154. Обухов А.М. О распространении звуковой волны в завихренном потоке// Докл. АН СССР. 1943. Т.39. № 2. С.46-48.

155. Огороднийчук Л.Д. Роль и место научных методов в развитии конкретных научных направлений (на примере радиотехнических наук)// Радиотехника и электроника. 1995. Т.40. № 3. С.456-463.

156. Окольский А.В. Численное моделирование осесимметричных волновых полей в вертикально-неоднородных средах// В кн.: Методы расчета и интерпретации сейсмических волновых полей. Новосибирск: Сиб. отд., 1991. С.44-95.

157. Ольшевский В.В. Статистические методы в гидролокации. Л.: Судостроение, 1983.-280с.

158. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. -М.: Мир, 1973.-324с.

159. Пестов К.А., Тонаканов О.С. Алгоритм определения направления на источник малогабаритной низкочастотной антенной в условиях окружающих шумов// Вест. МГУ. Сер. Физ. Астрон. 1994. Т.35. № 6. С.93-104.

160. Питовранов С.Е., Четвериков В.М. Об одном классе краевых для стохастических дифференциальных уравнений//Теорет. и мат. физика. 1980. Т.42. № 2. С.240-252.

161. Пономарев Г.А., Куликов А.Н., Тельпуховский Е.Д. Распространение УКВ в городе. -Томск: МП «Раско», 1991. -223с.

162. Подводная акустика и обработка сигналов/ Под ред. Бьерне Л. -М.: Мир, 1985.-488с.

163. Попов Г.В., Ярощук И.О. О наклонном падении плоской волны на слоистую стохастическую среду// Изв.вузов. Радиофизика. 1988. Т.31. № 10. С.1266-1267.

164. Попов Г.В., Ярощук И.О. Статистические характеристики поля точечного источника в полупространстве слоистой случайно-неоднородной среды (трехмерная задача)// В сб. VI. Шк.-сем. «Матем. методы прикл. акуст.». Одесса, 1989. С.80-83.

165. Попов Г.В., Ярощук И.О. Излучение точечного источника в слоистой случайно-неоднородной среде// Изв.вузов. Радиофизика. 1990. Т.ЗЗ. № 11. С.1232-1240.

166. Попов Г.В., Ярощук И.О. Численный анализ энергетических характеристик поля точечного источника в слоистой случайно-неоднородной среде// В сб. «Волны и дифракция» 10 Всес. симп. по дифракции и распространению волн. Винница: ВПИ, 1990. Т.2. С.160-163.

167. Попов Г.В., Ярощук И.О. О статистических характеристиках неоднородных волн// Изв.вузов. Радиофизика. 1991. Т.34. № 7. С.761-767.

168. Попов Г.В., Ярощук И.О. Исследование возможности образования флуктуационного волновода в слоистой случайно-неоднородной среде/ Препринт. Вл-к: ТОЙ ДВО РАН, 1993. -45с.

169. Распространение волн и подводная акустика/ Под ред. Келлера Дж. Б. -М.: Мир, 1980.-232с.

170. Распространение звука во флуктуирующем океане/ Под ред. Флатте С. -М.: Мир, 1982.-336с.

171. Ржевкин С.Н. Колебание тел в звуковом поле// Вест. МГУ. Сер. Физ. Астрон. 1971. № 1. С.52-61.

172. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть П.- М.: Наука, 1978. -464с.

173. Сабельфельд К.К. К обоснованию некоторых приближенных формул для вычисления винеровских континуальных интегралов.// Сб. науч. тр. «Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике». -Новосибирск, 1976. -с.91-106.

174. Саичев А.И. О статистике собственных чисел одномерной случайно-неоднородной краевой задачи// Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т.23. №2. С.183-188.

175. Симанин А.А. Оценивание координат излучателя в слоистом волноводе при помощи комбинированной вертикальной антенны//Акуст.журн. 1991. Т.37. №5. С.1040-1044.

176. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. -М.: Наука, 1983. -312с.

177. Скребнев Г.К. Комбинированные гидроакустические приемники. -СПб.: ЭЛМОР, 1997.-200с.

178. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. -М.: Наука, 1973. -312с.

179. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений/ Под ред. Холла Дж. и Уатта Дж. -М.: Мир,1979. -312с.

180. Стратонович P.J1. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. -М.: МГУ, 1966. -319с.

181. Татарский В.И. О первообразном функционале и его применению к интегрированию некоторых уравнений в функциональных производных// УМН. 1961. Т.16. № 4. С.179-186.

182. Татарский В.И. Применение методов квантовой теории поля к задаче о вырождении однородной турбулентности//ЖЭТФ. 1962. Т.42. №5. С.1386-1396.

183. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. -М.: Наука, 1969. -548с.

184. Терминологический словарь-справочник по гидроакустике/ Бальян Р.Х., Батаногов Э.В., Богородский А.В. и др. -Л.: Судостроение, 1989. -368с.

185. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. -М.: Радио и связь, 1982. -624с.

186. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. -М.: Радио и связь, 1983. -320с.

187. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. -М.: Сов. радио,1977.-488с.

188. Фальковский О.И. Техническая электродинамика. -М.: Связь, 1978. -432с.

189. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т.1. -М.: Мир,1978.-548с.

190. Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. -М.: Изд-во АН СССР, 1961. -547с.

191. Филипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. -Л.: Гидрометеоиздат,1980. -320с.

192. Флатте С.М. Распространение волн в случайно-неоднородных средах: акустика океана//ТИИЭР. 1983. Т.71. № 11. С.45-78.

193. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. -М.: Сов. радио, 1970. -520с.v

194. Фурдуев А.В. Шумы океана/ В кн.: Акустика океана. -М.: Наука, 1974. С.615-691.

195. Хасьминский Р.З. Принципы усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и для марковских процессов с малой диффузией//Теор. вероятн. и ее примен. 1963. Т.8. № 1. С.1-21.

196. Ченцов Н.Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. -М.: Наука, 1972. -289с.

197. Чернов Л.А. Волны в случайно-неоднородных средах. -М.: Наука, 1975. -172с.

198. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетики. -М.: ИЛ, 1963. -830с.т 202. Шнепс М.А. Численные методы теории телетрафика. -М.: Связь, 1974. 232с.

199. Шевцов Б.М. Обратное рассеяние волны слоистой регулярно и случайно-неоднородной среде// Изв.вузов. Радиофизика. 1989. Т.32. № 9. С.1079-1083.

200. Швырев А.Н., Ярощук И.О. Энергетические характеристики звукасосредоточенного источника и шумов океана// В кн.: Труды IV Междунар.конф. «Современные методы и средства исследования океана» (МСОИ-98). Москва. 1998. С.12-14.

201. Швырев А.Н., Ярощук И.О. Статистическое моделирование динамических шумов океана// В кн.: Тр. ИПМ ДВО РАН. Вл-к: ИПМ.1998. С.46.

202. Швырев А.Н., Ярощук И.О. Статистическое моделирование поверхностных шумов в глубоком океане//Деп. в ВИНИТИ № 1020-В99, 1999.-26с.

203. Швырев А.Н., Ярощук И.О. Статистическое моделирование как метод исследования динамических шумов океана// В кн.: Научн. тр. Дальрыбвтуза. -Вл-к: Дальрыбвтуз (ТУ), 1999. Т.12. С.28-31.

204. Швырев А.Н., Ярощук И.О. Статистическое моделирование в задаче о возбуждении полей случайными источниками на поверхности// Изв.вузов. Радиофизика. 2001. Т.44. № 4. С.353-358.

205. Швырев А.Н., Ярощук И.О. Статистические характеристики поверхностных динамических шумов в слоистом океане// В кн.: Докл. IX школы-семинара Бреховских Л.М. -М.: ГЕОС, 2002. С.262-265.

206. Ярощук И.О. Численное моделирование распространение плоскойволны в слоистой нелинейной среде со случайными неоднородностями/ Препринт. Вл-к: ТОЙ ДВО РАН, 1986. -25с.

207. Ярощук И.О. О численном моделировании одномерных стохастических задач//ЖВММФ. 1984. Т.24. № 11. С.1748-1751.

208. Ярощук И.О. Об одном методе численного моделирования волн в одномерных нелинейных средах со случайными неоднородностями// ЖВММФ. 1988. Т.28. № 5. С.760-764.

209. Ярощук И.О. О роли волнового числа в задачах о распространении волн в стохастических средах// Изв.вузов. Радиофизика. 1986. Т.29. №11.1. С. 1392-1394.

210. Ярощук И.О. Численное моделирование одномерной задачи осамовоздействии волны в стохастической нелинейной среде// Изв.вузов.

211. Радиофизика. 1988. Т.31. № 1. С.53-60.

212. Ярощук И.О., Попов Г.В. Статистическое моделирование распространения волн во флуктуирующих средах. Вл-к: Дальнаука, 2000. -156с.

213. Ярощук И.О., Янг Десен, Гулин О.Э. Моделирование случайных скалярно-векторных звуковых полей мелкого моря// В кн.: Акустика океана. -М.: ГЕОС, 2002. С.278-281.

214. Akaike Н. Information theory and an extension of the maximum likelihood principle// Proc. 2nd Intern.Symp.lnform. Theory. Budapest, 1973. P.267-281.

215. Anderson P.W. Absence of diffusion in certain random lattices// Phys. Rev. 1958. Vol.109. P.1492-1505.

216. Arase T. and Arase E.M. Deep sea ambient noise statistics// J. Acoust. Soc. Am. 1968. Vol.44. No.6. P.1679-1684.

217. Beckmann P. and Spizzichino A. The scattering electromagnetic waves from rough surface. Oxford, London, N.-Y., Paris: Pergamon Press, 1963. - 503p.

218. Burridge R., Papanicolaou G.C. and White B. Statistics for pulse reflection from a randomly layered medium// SIAM J. Appl. Math. 1987. Vol.47. No.1. P.146-168.

219. Burridge R., Papanicolaou G.C. and White B. Probing a random media with a pulse//SIAM J. Appl. Math. 1989. Vol.49. No.3. P.582-607.

220. Buckingham M.J. Infrasonic ambient noise in the ocean due to atmospheric pressure fluctuations on the surface// J. Acoust. Soc. Am. 1990. Vol.88. No.2. P.984-994.

221. Buckingham M.J. A theoretical model of ambient noise in a low-loss shallow water channel//J. Acoust. Soc. Am. 1980. Vol.67. No.4. P.1186-1192.

222. Cron B.F. and Sherman C.H. Spatial correlation function for various noise # models//J. Acoust. Soc. Am. 1962. Vol.34. No.11. P.1732-1736.

223. Cray B.A. and Nuttall A.H. Directivity factors for linear arrays of velocity sensors//J. Acoust. Soc. Am. 2001. Vol.110. No.1. P.324-331.

224. Cron B.F., Hassell B.C. and Keltonic F.J. Comparison of theoretical and experimental values of spatial correlation// J. Acoust. Soc. Am. 1965. Vol.37. No.3. P.523-529.

225. D'Spain G.L., Hodgkiss W.S. and Edmonds G.L. Energetic of the deep oceans infrasonic field// J. Acoust. Soc. Am. 1991. Vol. 89. No.3. P.1134-1158.

226. D'Spain G.L. and Hodgkiss W.S. The polarization of acoustic particle motion in the ocean//J. Acoust. Soc. Am. 1991. Vol.90. No.4. P.2300-2310.

227. Ebeling K.J. Statistical properties of random wave fields// Physical Acoustics. Principles and Methods. 1984. Vol.XVII. Academic Press, Inc. P.233-310.

228. Eckart C. The theory of noise in continuous media// J. Acoust. Soc. Am. 1953. Vol.25. No.2. P.195-199.

229. Fox G.R. Ambient noise directivity measurements// J. Acoust. Soc. Am. 1964. Vol.36. No.8. P.1537-1540.

230. Franz G.J. Splashes as sources of sound In liquids// J. Acoust. Soc. Am. 1959. Vol.31. No.6. P.1080-1096.

231. Furutsu K. On the statistical theory of electromagnetic waves in a fluctuating medium// J. Res. NBS. 1963. Vol.D67. P.303.

232. Gilbert K. Reflection of sound from a randomly layered ocean bottom// J. Acoust. Soc. Am. 1980. Vol.68. No.5. P.1454-1458.

233. Goland V.I., Klyatskin V.I. and Yaroshchuk I.O. Some aspects of wave propagation theory in layer random media//J. Lect. in Appl. Math. (AMS). 1991. Vol.27. P.477-486.

234. Greenside H.S. and Helfand E. Numerical integration of stochastic differential equations -II//The Bell Sys. Tech. J. Vol.60. No.8. P.1927-1940.

235. Gulin O.E. and Yaroshchuk I.O. Modeling of dynamic noise scattering in a layered fluctuating ocean// Proceed. Inst. Acoust. (UK). "Acoustic Oceanography". 2001. Vol.23. Pt.2. P.157-162.

236. Gulin O.E. and Yaroshchuk I.O. Backward scattered pulse field statistic modeling in the time domain in stochastic problem of volume scattering// In book: Acoustic Oceanography. Inst. Acoust. (UK). 2001. Vol.23. Pt.2. P.157-162.

237. Gulin O.E. and Yaroshchuk I.O. Fluctuation of field of sound pulse backscattered within a random medium// 2-nd Internat. Workshop Acoust. & Engineer. Tech. (IWAET'99). China. Harbin. 1999. P.34-40.

238. Gulin O.E. and Yaroshchuk I.O. On some aspects of a nonstationary problem of acoustical pulses scattering by a randomly inhomogeneous medium// Proc. Intern. Conf. Teor. & Сотр. Acoust. (ICTCA-2001). China. Beijing, 2001. P.36-45.

239. Gulin O.E. and Yaroshchuk I.O. Statistical modeling of the backscattered field in a one-dimensional non-stationary stochastic problem// J. Waves in Random Media. 2001. Vol.8. No.4. P.413-423.

240. Guzev M.A. and Popov G.V. Investigation of statistical characteristics of waves in layered media with regular and random inhomogeneities based on the invariant imbedding method// J. Waves in Random Media. 1998. Vol.8. No.2. P.193-201.

241. Ito K. Stochastic integral// Proc. Imperial Acad., Tokyo. 1944. Vol.20. P.519-524.

242. Hamilton E.L. Sound attenuation as function of depth in the sea floor// J. Acoust. Soc. Am. 1976. Vol.59. No.3. P.528-535.

243. Hamilton E.L. Geoacoustic modeling of the sea floor// J. Acoust. Soc. Am. 1980. Vol.68. No.5. P.1313-1340.

244. Hardin R.H. and Tappert F.D. Application of the split-step Fourier method to ^ the numerical solution of nonlinear and variable coefficient wave equations//

245. SI AM Rev. 1973. Vol.15. P.423.

246. Hughes B. Estimates of underwater sound (and infrasound) produced by nonlinearly interacting ocean waves//J. Acoust. Soc. Am. 1976. Vol.60. No.5. P.1032-1039.

247. Ilychev V.I. and Shchurov V.A. The properties of the vertical and horizontal power flows of the underwater ambient noise// "Nat. Phys. Sources of Und. Sound" Proc. of Inst. Acoust. Netherlands. Kluwer Acad. Publ., 1993. P.93-109.

248. Kohler W. and Papanicolaou G.C. Power reflection from a lossy in one-dimension random medium// SIAM J.Appl.Math. 1976. V.30. No.2. P.263-273.

249. Kohler W. and Papanicolaou G.C. Power statistics for wave propagation in one-dimension and comparison with transport theory. II// J. Math. Phys. 1974. Vol. 15. No.13. P.2186-2197.

250. Kohler W. Reflection from a one-dimension, totally refracting random multilayer II internal field statistics// SIAM J. Appl. Math. 1988. Vol.48. No.3. P.652-661.

251. Kohler W.E. A one-dimensional, randomly stratified model of ocean sediments//Wave motion. 1988. Vol.10. No.5. P.421-441.

252. Knudsen V.D., Alford R.S. and Emling J.W. Underwater ambient noise// J. Mar. Res. 1948. Vol.7. No.3. P.410-429.

253. Kuperman W.A. and Ingenito F. Spatial correlation of surface generated noise in a stratified ocean// J. Acoust. Soc. Am. 1980. Vol.67. No.6. P. 19881996.

254. Lighthill M.J. On sound generated aerodynamically. I. General theory// Proc. Roy. Soc. 1952. Vol.211. No.1107. P.564-587.

255. Lighthill M.J. On sound generated aerodynamically. II. Turbulence as a source of sound// Proc. Roy. Soc. 1954. Vol.222. No. 1148. P. 1-32.

256. Leontyev A.P., Lyashkov A.S. and Yaroshchuk I.O. Estimation of the signal angle of arrival in the randomly inhomogeneous ocean// Proceed. 2nd Intern. Workshop Acoust. and Engineer. Tech. (IWAET*99). -China. Harbin. 1999.1. P.56-64.

257. Leslie С., Kendall J. and Jones J. Hydrophone for measuring particle velocity// J. Acoust. Soc. Am. 1956. Vol.28. No.4. P.711-715.

258. Mann J A, III and Tichy J. Near-field Identification of vibration sources, resonant cavities, and diffraction using acoustic intensity measurements// J. Acoust. Soc. Am. 1991. Vol.90. Pt.1. No.2. P.720-729.

259. McKisik J.M, and Hamm D.P. New method for normal mode models of sound propagation in the ocean// J. Acoust. Soc. Am. 1976. Vol.59. No.2. P.294-304.

260. Metropolis N. and Ulam S.M. The Monte-Carlo method// J. Amer. Statist. Assoc. 1949. Vol.44. No.247. P.335-341.

261. Neumann J. Various techniques used in connection with random digits// NBS Appl. Math, series. 1951. No.12. P.36-38.

262. Nickles J.C., Edmonds G.L., Harriss R. and others. A vertical array of directional acoustic sensors// Proc. of Mastering the Oceans through Technology (Ocean-92). Newport. Rhode Island. Oct.26-29. 1992. P.340-345.

263. Oguz H.N. A theoretical study of low-frequency oceanic ambient noise// J.

264. Acoust. Soc. Am. 1994. Vol.95. No.4. P.1895-1912.

265. Pekeris C.L. Theory of the method of explosive sound in shallow water// Geol. Soc. Am. Mem. 1948. Vol.27. P.1-117.

266. Perrone A.J. Deep-ocean ambient noise spectra in the North-west Atlantic/ J. Acoust. Soc. Am. 1969. Vol.46. No.3. P.763-770.

267. Press H.S., Teukolsky S.A, Vetterling W.T. and Flannery B.P. Numerical recipes in Fortran. The arts of scientific computing. USA. Cambridge. University press, 1992. - 966p.

268. Roberson R.E. Random noise in attenuating fluid medium// J. Acoust. Soc. Am. 1951. Vol.23. No.3. P.353-358.

269. Roy R. and Kailath T. ESPRIT Estimation of signal parameters via rotational invariance techniques// IEEE Trans, on Acoust. Speech and Signal Processing. 1989. Vol.37. No.7. P.984-995.

270. Rudnick R.J., Anderson V.C. and Becken B.A. Directional distribution of ambient sea noise//J. Radio Electronic Eng. 1963. Vol.23. No.5. P.441-444.

271. Shchurov V.A. and Kuyanova M.V. Use of acoustic intensity measurements in underwater acoustics (modern state and prospects)// Chinese J. of Acoustics. 1999. Vol.18. No.4. P.315-326.

272. Shvyrev A.N. and Yaroshchuk I.O. Statistical modeling of ocean wind-generated noise field// Proceed. 2nd Intern. Workshop Acoust. and Engineer. Tech. (IWAET'99).-China. Harbin. 1999. P.78-87.

273. Spigler R. Numerical treatment of a boundary-value problem for a certain singular parabolic partial differential equation// J. Сотр. Phys. 1988. Vol.74. No.2. P.233-243.

274. Spigler R. Numerical simulation for certain stochastic ordinary differential equation//J. Сотр. Phys. 1988. Vol.74. No.2. P.244-262.

275. Spivack M. Accuracy of the moments from simulation of waves in random media// J. Opt.Soc.Am. 1990. Vol.7. No.4. P.790-793.

276. Spivack M. and Uscinski B.J. The split-step solution in random wave propagation//J. Сотр. Appl. Math. 1989. Vol.27. No.2. P.349-361.

277. Talham R.J. Ambient sea-noise model// J. Acoust. Soc. Am. 1964. Vol.36. No.8. P1541-1544.

278. Uscinski В.J. Numerical simulation and moments of the field from a point source in random medium//J. Modern Optics. 1989. Vol.36. No.12. P.1631-1643.

279. Wilson J.H. Very low frequency wind-generated noise produced by turbulent pressure fluctuation in the atmosphere near the ocean surface// J. Acoust. Soc. Am. 1979. Vol.66. No.5. P.1499-1507.

280. Wilson J.H. Low-frequency wind-generated noise produced by the impact of spray with the ocean's surface// J. Acoust. Soc. Am. 1980. Vol.68. No.5. P.952-956.

281. Wilson J.H. Wind-generated noise modeling// J. Acoust. Soc. Am. 1983. Vol.73. No.1. P.211-216.

282. Wong K.T. and Zoltowski M.D. Closed form underwater acoustic direction finding with arbitrarily spaced vector hydrophones at unknown locations// IEEE J. Ocean. Eng. 1997. Vol.22. No.3. P.566-575.

283. Wright D.J. The digital simulation of stochastic differential equations// Trans. IEEE. 1974. Vol. AS-19. No.1. P.75-75.

284. Yaroshchuk I.O., Yang Desen and Gulin O.E. Numerical and imitative simulation of sound signal and noise propagation in shallow sea// Proc. Intern. Conf. Teor. & Сотр. Acoust. (ICTCA-2001). China. Beijing, 2001. P.46-55.