Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса при сушке электромагнитным излучением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Афанасьев, Анатолий Михайлович

• Афанасьев, Анатолий Михайлович
• доктор технических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор технических наук Афанасьев, Анатолий Михайлович

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СУШКИ

И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Анализ современного состояния теории электромагнитной сушки.

1.2. Постановка задач исследования.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА И ВЛАГИ

В КАПИЛЛЯРНО-ПОРИСТОЙ СРЕДЕ.

2.1. Уравнение распространения влаги.

2.2. Формула для интенсивности фазового перехода.

2.3. Уравнение распространения тепла.

2.4. Парообмен с воздушной средой по закону Ньютона.

2.5. Парообмен по закону Дальтона.

2.6. Краевые условия тепло- и массообмена.

2.7. Концепция поверхностных источников тепла.

2.8. Начально-краевая задача для расчета полей температуры и влагосодержания.

2.9. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СУШКИ ПРИ ЗАДАННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА.

3.1. Приближенная теория сушки.

3.1.1. Одномерная модель с постоянными коэффициентами переноса тепла и влаги.

3.1.2. Асимптотическое решение начально-краевой задачи

3.1.3. Расчет основных характеристик.

3.1.4. Механические напряжения при сушке.

3.1.5. Температура мокрого термометра.

3.1.6. Конвективная сушка.

3.2. Выбор оптимального режима.

3.2.1. Постановка задачи оптимизации.

3.2.2. Вывод основного соотношения.

3.2.3. Концепция мягких и жестких режимов.

3.2.4. Напряжения массопереноса (Зу и

3.2.5. Сушка вида ИК, ВЧ, ИК+ВЧ.

3.2.6. Сушка вида СВЧ.

3.2.7. Режимы с максимально возможной интенсивностью сушки.

3.2.8. Сушка материалов с параметром^>

3.3. Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СУШКИ ПРИ ЗАДАННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА.

4.1. Переходные процессы.

4.1.1. О корректных начальных условиях в задачах электромагнитной сушки.

4.1.2. Задача о сушке пластины. Безразмерные переменные, сетка, шаблон и сеточные функции.

4.1.3. Схема Кранка-Николсона. Алгоритм для численного решения одномерной задачи в однородной среде.

4.1.4. Тестирование вычислительной программы.

4.1.5. Текущий контроль работы вычислительной программы с помощью законов сохранения.

4.1.6. Переходные процессы при сушке электромагнитным излучением.

4.1.7. Переходные процессы при сушке нагретым воздухом

4.2. Среда с переменными коэффициентами переноса тепла и влаги.

4.2.1. Одномерная модель с переменными коэффициентами тепломассопереноса.

4.2.2. Безразмерные переменные и сеточные функции.

4.2.3. Интегро-интерполяционный метод. Алгоритм для численного решения одномерной задачи в неоднородной 138 среде

4.2.4. Численный эксперимент: влияние температурных и влажностных изменений коэффициентов переноса тепла и влаги на качество сушки.

4.3. Краевые эффекты.

4.3.1. Двумерная модель с постоянными коэффициентами тепломассопереноса. Задача для прямоугольной области

4.3.2. Безразмерный вид начально-краевой задачи и сеточные функции.

4.3.3. Метод переменных направлений. Алгоритм для численного решения двумерной задачи в однородной среде.

4.3.4. Численный эксперимент: краевые эффекты при сушке образца с прямоугольным поперечным сечением.

4.3.5. Обобщение на случай переменных коэффициентов переноса тепла и влаги.

4.4. Выводы по главе 4.

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ПОГЛОЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ ПРИ ЗАДАННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ.

5.1. Плоский неоднородный слой.

5.1.1. Исходные соотношения электродинамики.

5.1.2. Плоские волны в непоглощающей части пространства

5.1.3. Фундаментальная и характеристическая матрица для плоской волны.

5.1.4. Характеристическая матрица для плоской волны в однородной среде.

5.1.5. Характеристическая матрица для плоской волны в неоднородной среде.

5.1.6. Отражательная и пропускательная способности плоского слоя.

5.1.7. Плотность тепловых потерь внутри плоского слоя

5.1.8. Уравнение энергетического баланса для плоского слоя 180 5.2. Цилиндрический неоднородный слой.

5.2.1. Цилиндрические волны в непоглощающей части пространства

5.2.2. Фундаментальная и характеристическая матрица для цилиндрической волны.

5.2.3. Характеристическая матрица для цилиндрической волны в однородной среде.

5.2.4. Характеристическая матрица для цилиндрической волны в неоднородной среде.

5.2.5. Отражательная и пропускательная способности цилиндрического слоя.

5.2.6. Плотность тепловых потерь внутри цилиндрического слоя.

5.2.7. Уравнение энергетического баланса для цилиндрического слоя.

5.2.8. Асимптотический вид электромагнитных характеристик цилиндрического слоя.

5.3. Выводы по главе 5.

ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ СОВМЕСТНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПРОЦЕС

СОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС А.

6.1. Диэлектрическая проницаемость влажного материала. Модель Дебая и формула смешения.

6.2. Алгоритм для совместного решения уравнений тепломассо-переноса и уравнений электромагнитного поля.

6.3. Численный эксперимент: электромагнитная сушка неоднородного плоского слоя.

6.4. Численный эксперимент: электромагнитное нагревание неоднородного цилиндрического слоя.

6.5. Коэффициенты отражения и пропускания неоднородного плоского слоя при большой глубине проникновения электромагнитной волны.

6.6. Выводы по главе 6.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса при сушке электромагнитным излучением»

Актуальность исследования. Одним из современных и все чаще применяемых в промышленности перспективных технологических процессов является нагревание материалов, содержащих воду, интенсивным электромагнитным излучением. Технология электромагнитного нагревания успешно применяется в пищевой промышленности [1-4], в медицине [5-9], в дорожном строительстве [10], при разработке горных пород и мерзлых грунтов [11], в горнодобывающей, нефтегазодобывающей и резиновой промышленности (см. работы обзорного характера [12, 13]). В большинстве случаев процесс нагревания электромагнитным излучением сопровождается явлением массопереноса: за счет механизмов диффузии, термодиффузии и бародиффу-зии влага постепенно перемещается к поверхности материала (частично в виде жидкости, частично в виде пара) и в конечном итоге удаляется в окружающую среду. Материалы, в которых такое движение влаги может происходить, имеют разветвленную сеть сообщающихся друг с другом капилляров и пор; их называют капиллярно-пористыми материалами. Удаление влаги из материалов и изделий указанным способом представляет собой электромагнитную сушку. Процедура сушки электромагнитными волнами, которой и будет уделяться основное внимание в настоящей работе, широко применяется для обезвоживания пищевых продуктов и сельскохозяйственного сырья [14-19], для сушки древесины и строительных материалов [20-27], она является важным элементом для целого ряда технологических процессов в химической, текстильной, полиграфической и целлюлозно-бумажной промышленности [28-30]. Еще одно направление, в котором успешно развивается технология сушки электромагнитными волнами, связано с широким использованием в промышленности таких материалов, как силикагель, алюмогель и цеолит. Эти вещества, обладающие высокой гигроскопичностью (поверхность капилляров 1 кг материала имеет общую площадь порядка 5-105 м2), находят важное применение в термодинамических циклах современных установок по созданию микроклимата в помещениях [31, 32], а также широко применяются в качестве твердых поглотителей в промышленных адсорбционных установках по осушке природного газа. На стадии регенерации поглощенная материалом влага должна быть быстро удалена, и здесь перспективным направлением является использование для этих целей интенсивного электромагнитного излучения. Общий обзор по применению сушки электромагнитными волнами можно найти в работах [33, 34].

Основное отличие электромагнитной сушки от сушки конвективной и кондуктивной, с помощью которых в настоящее время получают до 90 % сухих продуктов в пищевой промышленности, состоит в том, что тепло выделяется не на поверхности материала, а по его объему до некоторой глубины. Это позволяет уменьшить потери энергии и увеличить интенсивность сушки без опасности перегрева продукта. Кроме того, для электромагнитной технологии характерны: возможность использования любых атмосфер и вакуума; избирательность при многокомпонентной структуре материала; гибкость и высокая точность управления из-за малой инерционности процесса, возможность точного дозирования энергии, наличие нескольких каналов управления; сбережение материальных и трудовых ресурсов, повышение качества продукции и производительности труда, уменьшение вредных воздействий на окружающую среду. Наконец, следует иметь в виду, что существует целый ряд производств, реализация которых без электромагнитной технологии практически невозможна.

Использовать в полной мере преимущества электромагнитных методов нагревания и сушки можно лишь при наличии математических моделей и средств их анализа, которые дают теоретическую базу при разработке устройств данного типа и позволяют оптимизировать их работу. В настоящее время большинство моделей основано на концепциях теплофизической и электромагнитной однородности среды, линейности исходных уравнений и независимости задач для электромагнитных полей и полей тепломассопере-.носа. Такие простейшие модели могут быть проанализированы аналитическими методами, основанными на методе разделения переменных и преобразовании Лапласа, однако полученные на этом пути результаты обладают весьма ограниченной сферой применения и пригодны лишь для инженерных оценок. Требуется новый подход, основанный на уравнениях математической физики с переменными теплофизическими и электрофизическими коэффициентами и численных методах решения самосогласованных начально-краевых задач. На решение этих проблем и направлена данная работа.

Работа выполнялась в рамках международного проекта «СВЧ-десорбция», раздел «Создание новой холодильной технологии на основе взаимодействия СВЧ излучения с цеолитом» (программа Минпромнауки РФ № 700: Россия, Волгоград, ВолГУ - Deutschland, Fachhochschule Köln, 19982002 г.г.). Работа была поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований: «Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса при воздействии интенсивного электромагнитного излучения на влагосодержащие материалы капиллярно-пористой структуры» (проект 04-01-96502, 2004-2006 г.г.); «Влияние электромагнитного поля на тепломас-соперенос в многофазных анизотропных средах» (проект 07-02-96609, 20072008 г.г.); «Разработка приближенных методов учета краевых эффектов в двумерных задачах теории сушки электромагнитным излучением» (проект 09-08-97026, 2009-2010 г.г.).

Цель диссертации. Разработка комплекса модельных представлений и вычислительных алгоритмов, предназначенных для исследования процессов тепломассопереноса в материалах с капиллярно-пористой структурой, содержащих влагу и находящихся под воздействием интенсивного электромагнитного излучения, и решение на основе полученных результатов актуальной научно-технической проблемы повышения эффективности функционирования установок для нагревания и сушки электромагнитными волнами.

Основные задачи диссертации.

1. Построение трехмерной математической модели электромагнитных процессов и процессов тепломассопереноса в рабочих камерах СВЧ установок для термической обработки влажных материалов, корректно учитывающей нелинейный характер тепло- и массообмена поверхности материала с окружающей средой; теплофизическую и электромагнитную неоднородность среды; эффекты отражения и пропускания электромагнитных волн.

2. Разработка программного комплекса для расчета полей температуры и влагосодержания при заданном поле плотности источников тепла.

3. Разработка программного комплекса для расчета поля плотности электромагнитных потерь и электромагнитных коэффициентов отражения и пропускания при заданном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца.

4. Разработка программного комплекса, в котором на основе п.п. 2 и 3 (задано поле источников тепла - решается теплофизическая задача; задано поле диэлектрической проницаемости - решается электромагнитная задача) осуществляется совместное решение уравнений тепломассопереноса и уравнений электромагнитного поля в рамках общей начально-краевой задачи.

5. Проведение численных экспериментов, которые демонстрируют возможности новых расчетных алгоритмов и позволяют установить, как влияют на основные характеристики сушки — ее интенсивность, качество и энергоемкость - переходные процессы и краевые эффекты; зависимость диэлектрической проницаемости и коэффициентов тепломассопереноса от температуры и влагосодержания; зависимость электромагнитных коэффициентов отражения и пропускания от толщины слоя материала и его состояния.

Объект исследования. Тепломассоперенос и фазовые превращения в многокомпонентных средах; процессы взаимодействия электромагнитного поля с веществом.

Предмет исследования. Теория сушки электромагнитным излучением; совместно протекающие процессы тепломассопереноса и диссипации энергии электромагнитных волн в рабочих камерах СВЧ устройств для термообработки влажных материалов.

Методологическая и теоретическая основа исследования. Методологической основой исследования является математическое моделирование. Оно заключается в построении математической модели процессов, происходящих при сушке электромагнитными волнами, и дальнейшем анализе этой модели с помощью реализуемых на компьютере вычислительных алгоритмов. Теоретическую основу исследования составляют: теория распространения тепла и влаги в капиллярно-пористых материалах (уравнения А. В. Лыкова и уравнения двухфазной фильтрации); теория пограничного слоя; теория электромагнитного поля; материальные уравнения электродинамики; численные методы для дифференциальных уравнений в частных производных параболического и гиперболического типов.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных в диссертации научных результатов подтверждается:

- корректным применением фундаментальных законов соответствующих областей знаний (теории распространения тепла и влаги в капиллярно-пористых материалах, теории пограничного слоя, теории электромагнитного поля) и математического аппарата (численных методов для дифференциальных уравнений в частных производных);

- использованием при математическом моделировании лишь таких 1 приближений, которые не противоречат физике рассматриваемых явлений и являются принятыми в литературе по данному вопросу;

- согласованностью частных выводов диссертации с известными результатами теории сушки;

- проведением тестовых расчетов для начально-краевых задач с известными решениями;

- согласованностью результатов численных экспериментов с имеющимися в литературе опытными данными (расхождение не превышает 5% при расчете температуры мокрого термометра и 12% при расчете интенсивности сушки и ее энергоемкости).

Научная новизна исследования.

1. Показано, что линейные краевые условия массообмена в виде закона Ньютона, которые традиционно используются в задачах теории сушки, непригодны для описания начального периода сушки и периода постоянной скорости. Для исследования этих периодов разработаны нелинейные краевые условия третьего рода на основе закона испарения Дальтона. В модели Ньютона интенсивность испарения влаги с поверхности образца пропорциональна разности между текущим влагосодержанием на этой поверхности и равновесным влагосодержанием, а в модели Дальтона она пропорциональна перепаду парциального давления водяного пара по толщине пограничного слоя. При условиях Ньютона интенсивность сушки оказывается функцией влагосодержания на поверхности £/5, а при условиях Дальтона - функцией температуры этой поверхности Т5. Только в модели Дальтона оказывается возможным объяснить существование квазистационарных режимов тепло-массопереноса и получить правильное соотношение между интенсивностями двух видов сушки, конвективной и электромагнитной.

2. Тепловое действие электромагнитных волн с малой глубиной проникновения предложено описывать плотностью поверхностных источников тепла. В тех случаях, когда коэффициент испарения близок к единице, эта величина оказывается равной величине разрыва, который испытывает на поверхности материала плотность теплового потока. Поверхностные источники тепла входят не в уравнение теплопроводности, а в краевое условие теплообмена, что позволяет избежать сгущения сетки вблизи границы и тем самым упростить процедуру численного решения задачи. Представление об источниках тепла, распределенных по поверхности материала, играет важную роль в приближенной теории электромагнитной сушки и в задаче о выборе оптимального режима.

3. Для температуры мокрого термометра, которая в задачах электромагнитной сушки принимается за начальную температуру материала, разработан новый метод расчета. В отличие от существующих методов, он учитывает теплообмен излучением и опирается не на условие адиабатичности испарения, которое справедливо лишь при равном нулю коэффициенте фазового превращения, а на условие стационарности температурного поля. В рамках нового метода температура мокрого термометра оказывается функцией температуры, скорости и влажности воздуха за пределами пограничного слоя, поглощательной способности поверхности материала и длины образца в направлении движения воздушного потока.

4. Для частного случая — одномерной модели с постоянными коэффициентами тепломассопереноса и заданной плотностью источников тепла, которые могут распределяться в тонком поверхностном слое материала, равномерно по глубине или по экспоненте — построено аналитическое решение системы уравнений электромагнитной сушки. Решение описывает сушку от момента, когда заканчиваются переходные процессы, до момента, когда водяной пар у поверхности материала перестает быть насыщенным. По своему характеру построенное решение является квазистационарным (производные по времени от всех функций, характеризующих процесс, остаются постоянными). Концепция квазистационарных решений позволяет развить приближенную теорию электромагнитной сушки. Методами этой теории рассчитываются основные характеристики сушки и в наглядном виде представляются основные ее закономерности.

5. В рамках приближенной теории разработан алгоритм оптимизации электромагнитной сушки, позволяющий при заданной интенсивности испарения влаги с поверхности материала выбором характеристик излучения минимизировать перепады температуры и влагосодержания по глубине образца. Новый алгоритм отличается от известных в литературе тем, что он: а) использует в качестве критерия оптимальности не постоянство плотности внутренних источников тепла, а близость полей температуры и влагосодержания к однородным (задачей оптимизации считается организация режимов, близких к идеальному режиму с параметрами ДГ = 0, ДС/ = 0); б) вводит в употребление не применявшиеся ранее понятия мягких и жестких режимов режимов с сонаправленными и противоположно направленными векторами grad Т и §га<1 Ц), напряжений массопереноса по температуре и по влагосо-держанию, постоянных материала О их

6. Разработан и зарегистрирован в государственном Реестре программ для ЭВМ комплекс вычислительных программ для решения пространственно одномерных и пространственно двумерных начально-краевых задач для уравнений переноса тепла и влаги А. В. Лыкова. Численными алгоритмами учитываются нелинейный характер тепло- и массообмена поверхности материала с воздушной средой, зависимость коэффициентов тепло- и массопереноса от температуры и влагосодержания. Плотности внутренних и поверхностных источников тепла имеют в этих программах любой наперед заданный вид; выходными данными являются распределения температуры, влагосодержания, механических деформаций и плотностей потоков тепла и влаги по объему образца как функции времени.

7. Разработан численный метод расчета плотности электромагнитных потерь и коэффициентов отражения и пропускания при заданном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца. Эта задача решена в приближении, что электромагнитная неоднородность среды, вызванная изменением диэлектрической проницаемости, имеет слоистую структуру. Для плоских слоистых сред, в которых распространяются плоские электромагнитные волны, использовался метод характеристических матриц. Для цилиндрических слоистых сред, в которых распространяются цилиндрические электромагнитные волны ТЕМ типа, был разработан оригинальный численный алгоритм, являющийся распространением идей метода характеристических матриц на цилиндрическую систему координат.

8. Разработана схема численного анализа электромагнитной сушки, которая отличается от известных в литературе тем, что все дифференциальные уравнения, описывающие процесс - два уравнения параболического типа (для полей температуры и влагосодержания Т и 1Г) и два уравнения гиперболического типа (для векторов электромагнитного поля Е и Н) - рассматриваются как связанные уравнения, т.е. расчет полей Т, II, Е и Н производится с учетом га взаимного влияния. С помощью формул Дебая с температурно-зависимыми параметрами и формулы смешения Максвелла распределениям температуры и влагосодержания в каждый момент времени ставится в соответствие распределение эффективной диэлектрической проницаемости двух-компонентной смеси диэлектриков (твердой основы и воды) в тот же самый момент. Это позволяет с помощью алгоритма пункта 7 рассчитать отвечающую этому моменту плотность электромагнитных потерь. В свою очередь, при известном распределении плотности электромагнитных потерь оказывается возможным найти распределения температуры и влагосодержания в следующий близкий момент времени (это делается с помощью алгоритмов пункта 6), после чего процедура циклически повторяется.

Практическая значимость работы и реализация ее результатов.

Разработанные методы расчета позволяют оптимизировать функционирование технических устройств, в которых используется процесс электромагнитной сушки. Задачей оптимизации является повышение интенсивности и качества сушки при снижении ее энергоемкости. Алгоритмы настоящей работы позволяют решать эту задачу с учетом ряда факторов, которые раньше не принимались во внимание. Это переходные процессы и краевые эффекты; наличие отраженной и прошедшей электромагнитной волны; теплофизиче-ская и электромагнитная неоднородность среды; нелинейность краевых условий тепло- массообмена.

Созданный в результате работы над проблемой комплекс программ для ЭВМ зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (приложение 5).

Алгоритмы оптимизации процессов электромагнитного нагревания и сушки внедрены на предприятиях г. Волгограда (приложение 5).

Результаты диссертации используются на факультете физики и телекоммуникаций ВолГУ для организации учебной работы со студентами, а также для организации курсового и дипломного проектирования по специальности «Физика» (приложение 5).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на: научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного университета (1998-2008 г.г.); VII Международной конференции «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2000); I Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2001); VIII Международной конференции «Образование, экология, экономика, информатика» (Астрахань, 2003); VI Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Казань, 2007); 11 Международном семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот» (Москва— Фрязино, 2007); научном семинаре кафедры «Теоретические основы теплотехники» Казанского государственного технического университета (Казань, 2008); заседании кафедры прикладной математики Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасск, 2009).

На защиту выносятся:

1. Математическая модель совместно протекающих и взаимосвязанных процессов распространения тепла, влаги и диссипации энергии электромагнитных волн в насыщенных влагой капиллярно-пористых материалах, находящихся в состоянии тепло- и массообмена с окружающей средой и подверженных воздействию интенсивного электромагнитного излучения.

2. Приближенный метод анализа электромагнитной сушки, основанный на асимптотическом решении начально-краевой задачи.

3. Метод оптимизации электромагнитной сушки для образцов с плоской геометрией.

4. Методы численного анализа электромагнитной сушки, которые включают алгоритм для решения уравнений тепломассопереноса при заданной плотности источников тепла; алгоритм для расчета плотности электромагнитных потерь при заданном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца; алгоритм для совместного исследования процесса поглощения энергии электромагнитных волн и явлений тепломассопереноса, который учитывает обратное влияние текущих распределений температуры и влагосодержания на формирование поля плотности электромагнитных потерь.

5. Пакет вычислительных программ для расчета полей температуры, влагосодержания, механических деформаций, интенсивностей тепло- и мас-сообмена поверхности образца с окружающей средой, плотности электромагнитных потерь, коэффициентов отражения, пропускания и поглощения при заданных характеристиках материала, температуре, скорости и влажности воздуха за пределами пограничного слоя, интенсивности и частоте падающей электромагнитной волны.

6. Результаты численного исследования сушки электромагнитными волнами для различных материалов и для образцов с различной геометрией, которые позволяют судить о влиянии на сушку целого ряда трудно учитываемых факторов, а именно переходных процессов и краевых эффектов, теп-лофизической и электромагнитной неоднородности среды, нелинейности краевых условий тепло- и массообмена, эффектов отражения и пропускания электромагнитных волн.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и пяти приложений. Во введении обоснована актуальность темы исследования; сформулирована цель работы; изложена научная оригинальность разработанных методов и подходов; сказано о практическом значении работы; представлены основные положения, которые выносятся на защиту. В первой главе дается анализ современного состояния теории электромагнитной сушки и формулируются задачи диссертационного исследования. Во второй главе решаются вопросы математического моделирования процессов распространения тепла и влаги в капиллярно-пористой среде. Большое внимание здесь уделяется краевому условию массообмена на основе закона испарения Дальтона и концепции поверхностных

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Афанасьев, Анатолий Михайлович

Основные результаты, диссертационного исследования; могут быть сформулированы следующим образом.

1. Разработана математическаямодель сушки электромагнитными волнами. Она основана на следующих представлениях. а) Плотность.тепловых потерь определяется теплообменом конвекцией и теплообменом излучением^ а? интенсивность массообмена. поверхности материала . с окружающей средой зависит от перепада парциального давления водяного пара по толщине пограничного слоя (краевое условие массообмена в форме Дальтона). б) Температурное поле внутри материала5 определяется: переносом тепла за счет явления; теплопроводности; наличием внутренних источников теп-. ла, обусловленных как поглощением проникающего электромагнитного излучения, так и процессами испарения жидкости (конденсации пара); наличием поверхностных источников тепла, обусловленных как поглощением электромагнитных волн с малой глубиной проникновения; так и фазовыми превращениями, происходящими на поверхности вследствие: разрыва: плотности потока жидкой фазы. в) Перенос влаги внутри материала происходит частично в виде жидкости, частично; в виде: пара, и вызывается градиентами влагосодержания (диффузия), и температуры (термодиффузия). г) - Для нахождения функции Ж - распределения электромагнитных потерь по объему образца - используются следующие соображения. Образец находится в поле падающей электромагнитной волны, которое считается заданным. Диэлектрическая проницаемость влажной смеси в каждой точке М зависит от процентного соотношения между компонентами и рассчитывается с помощью формулы смешения; входящие в эту формулу диэлектрические проницаемости воды и твердой основы моделируются формулами Дебая с температурно-зависимыми параметрами: Таким образом, в каждый момент времени, распределениям ^температуры Т(М) и влагосодержания и{М) отвечает некоторое вполне определенное распределение диэлектрической^ проницаемости б{м), что в принципе позволяет найти векторы электромагнитного пош>Е{М)т Н{М) во всем пространстве'(внутри и вне образца) в.тот же самый момент. Этим решается задача о расчете коэффициентов - отражения, пропускания и поля плотности электромагнитных потерь ]¥(М).

Математической- моделью учитываются следующие факторы, которым мало уделяется вниманиям литературе по теории-сушки: а) нелинейность краевых условий тепло- и массообмена; б) зависимость коэффициентов переноса тепла и влаги от температуры и влагосодержания (теплофизическая неоднородность среды); в) зависимость распределения плотности электромагнитных потерь в каждый момент времени-от распределений температуры и влагосодержания в тот же самый момент (электромагнитная неоднородность среды); г) наличие эффектов отражения и пропускания электромагнитных волн.

2. Разработаны аналитические методы исследования электромагнитной сушки при заданном распределении плотности источников тепла. В этой части диссертации производится построение аналитического решения начально-краевой задачи для полей Т и и при заданном поле Ж, а затем на этой основе развивается приближенная теория сушки и решается задача о выборе оптимального режима. а) Аналитическое решение начально-краевой задачи

Такое решение удалось построить для системы частного вида, когда: а) искомые функции зависят только от одной пространственной переменной; б) коэффициенты переноса тепла и влаги являются постоянными; в) источники тепла являются распределенными в тонком поверхностном слое материала, равномерно по глубине или по экспоненте. Построенное решение имеет смысл асимптотического и формально устанавливается лишь при т—>оо; реальное время- установления не превосходит 20 % от общего времени сушки. Основными функциями, образующими решение, являются, поле температуры Т, поле влагосодержания и, интенсивности'тепло- и массообмена О и У. Поле Т оказывается стационарным, поле С/ - квазистационарным (производная ди/дг, т.е. скорость сушки, от времени не зависит), интенсивности О и У— постоянными. При заданных условиях сушки все перечисленные величины однозначно определяются единственной постоянной — установившейся температурой поверхности материала Тт, которая находится как решение уравнения энергетического баланса. В» частном случае, когда отсутствует электромагнитное излучение (сушка является конвективной), температура Т^ совпадает с температурой мокрого термометра Гм, которая играет важную роль в теории сушки. б) Приближенная теория сушки

Приближенная теория позволяет: а) представить в наглядном виде основные закономерности электромагнитной сушки; б) оценить продолжительность сушки и ее энергоемкость; в) получить удобные для инженерных оценок формулы, прежде всего для перепадов температуры и влагосодержания по глубине образца, от которых зависит качество» сушки; г) в первом приближении рассчитать механические деформации образца, вызванные неоднородностью поля влагосодержания. в) Задача о выборе оптимального режима

Исходными понятиями здесь являются интенсивность сушки эффективная интенсивность излучения ¿>Эфф, перепады температуры и влагосодержания по толщине образца АТ и А11 (они определяют качество сушки «по температуре» и качество сушки «по влагосодержанию»), интенсивность падающей волны £ и ее глубина проникновения Д. При заданных характеристики как самого материала, так и воздушного потока, которым он обтекается, величина У оказывается однозначной функцией ¿ьфф, а величины ¿ъфф, ДГи АЦ - однозначными функциями 5 и А. На этом обстоятельстве и основана идея оптимизации: варьируя 5и А так, чтобы,оставалась неизменной интенсивность сушки / (для этого следует поддерживать постоянной эффективную интенсивность излучения £Эфф), можно изменять АТ и А17, снижая эти перепады до необходимого уровня. Как показало исследование, при такого-рода вариациях любое множество режимов'с выбранной интенсивностью У=сопз1 распадается на следующие два подмножества. В* подмножестве жестких реэюимов параметры АТ и А1/ увеличиваются или уменьшаются одновременно, поэтому такие режимы заведомо не являются оптимальными. Установлено, что широко применяемая на практике конвективная сушка и сушка излучением с малой глубиной проникновения принципиально являются* жесткими; такой же для ряда материалов (например, для кварцевого песка) является и сушка электромагнитным излучением с большой глубиной проникновения (это противоречит широко распространенной точке зрения; что для достижения высокого качества электромагнитной сушки нужно всегда стремиться к равномерному распределению плотности источников тепла по объему образца). В" подмножестве мягких режимов, где и должна производиться сушка, параметры АТ и АII связаны «законом сохранения качества сушки» Д£/+<5-АГ=соп81:, так что уменьшение одного из этих перепадов- приводит к увеличению другого, и наоборот. Границам мягкого режима отвечают два специальных типа сушки, с нулевым перепадом температуры (ДГ=0) и с нулевым перепадом влагосодержания (Д£/=0). Сушку первого типа всегда можно осуществить, выбирая должным образом интенсивность и глубину проникновения электромагнитной волны, а важную для практики сушку второго типа можно организовать лишь для материалов, у которых комбинация теп-лофизических постоянных у + А/(атр05г)= % оказывается меньше единицы.

Эту комбинацию постоянных предложено ввести в теорию сушки в качестве нового параметра. Разделение режимов на мягкие и жесткие имеет следующий физический смысл: в мягком режиме потоки влаги за счет диффузии и за счет термодиффузии оба направлены к поверхности образца, а в жестком режиме их направления противоположны.

3. Разработаны численные методы исследования электромагнитной сушки при заданном распределении плотности источников тепла. Они строятся как распространение известных методов-решения уравнений параболического типа на случай двух и большего числа искомых функций. Для пространственно одномерных задач*основу метода составляет неявная.симметричная схема Кранка-Николсона с шеститочечным шаблоном, которая используется для аппроксимации второй производной по координате, и- алгоритм прогонки. В среде с переменными коэффициентами переноса схема Кранка-Николсона модифицируется по методу A.A. Самарского1 (интегро-интерполяционный метод), а в задачах с двумя пространственными переменными развитые выше алгоритмы применяются уже в рамках метода переменных направлений. Разработан метод тестирования вычислительной программы, основанный на аналитическом решении начально-краевой задачи, и метод текущего контроля работы программы, использующий законы сохранения энергии и вещества. С помощью пробных экспериментов^исследована устойчивость численной схемы. Она зависит от соотношений между шагами сетки по координатам Ах*, Ау* и по времени Ar* (безразмерные величины). Для частного случая, когда Ах*=Ау*, а областью построения решения является квадрат, максимальный шаг сетки по времени, при котором численный алгоритм еще остается устойчивым, оказывается равным Ат*тах~ Ах *2/з.

4. Разработаны численные методы расчета плотности электромагнитных потерь и коэффициентов отражения и пропускания при заданном распределении диэлектрической прониг^аемости по объему образца. Эта задача решена для случаев, когда а) плоская волна проходит сквозь плоский неоднородный слой с поглощением; б) цилиндрическая волна проходит сквозь цилиндрический неоднородный слой с поглощением. Среда, которая окружает слой и в которой происходит распространение падающей, отраженной и прошедшей электромагнитных волн, является однородной средой без поглощения, а неоднородность слоя, как плоского, так и цилиндрического, имеет слоистую- структуру (диэлектрическая1 проницаемость зависит только от одной-координаты). Алгоритму расчета в! случаях «а» и «б» имеет одинаковый-вид. Исходный неоднородный.слой разбивается на большое число слоев малой толщины, которые считаются1 однородными. Для каждого такого слоя, элемента разбиения; записывается, в матричном виде связь между векторами^. и //I на" его границах (для?этого используются известные реше-ншгуравнений Максвелла в однородной среде).- Сам элемент в этой формуле характеризуется' своей толщиной А¿4 или радиусами, ограничивающих его , цилиндрических поверхностей' г3, 1 (для-, плоского и для цилиндрического элемента соответственно), а также комплексным • показателем преломления* наполняющего его материала пх. Четыре величины, являющиеся функциями Дб/, и п3 (функциями 1 и п5), образуют квадратную матрицу второго порядка, которая называется характеристической матрицей элемента с номером 5. В'качестве следующего шага рассматривается область, состоящая из произвольного числа подряд расположенных элементов. Связь между векторами Е и Н на границах области оказывается по своей структуре такой-же, как и для одного элемента, причем' характеристическая матрица области получается перемножением характеристических матриц составляющих ее элементов. Наличие такой связи, вместе с формулами, выражающими непрерывность касательных компонент Е и Н при переходе через границы исследуемого слоя, позволяет определить электромагнитное поле как внутри самого слоя, так и в окружающем пространстве. Этим решается задача о расчете поля плотности электромагнитных потерь, коэффициентов отражения и пропускания.

5. Разработана численная схема для совместного решения уравнений Максвелла и уравнений распространения тепла и влаги. Она строится на основе алгоритма пункта 3 (при заданном распределении источников тепла решается задача о расчете полей температуры и влагосодержания) и алгоритма пункта 4 (при заданном распределении диэлектрической проницаемости рег шается задача о расчете поля плотности электромагнитных потерь, коэффициентов отражения и пропускания). Роль связующего звена между этими двумя алгоритмами выполняет формула Дебая (она определяет зависимость диэлектрической проницаемости каждого из двух компонентов« смеси, твердой основы и воды, от частоты и температуры) и формула смешения-Максвелла (исходя из формул Дебая. для-твердой основы и воды, она определяет диэлектрическую проницаемость смеси этих компонентов как функцию частоты, температуры и влагосодержания). Можно говорить, не изменяя существа проблемы, что разработанный алгоритм совместного решения двух задач, электромагнитной и теплофизической, позволяет учесть обратное влияние распределений температуры и влагосодержания в каждый момент времени на распределение плотности электромагнитных потерь в тот же самый момент, или что в рамках этого алгоритма учитывается электромагнитная неоднородность среды, вызванная зависимостью диэлектрической проницаемости материала от температуры и влагосодержания.

6. Проведены численные эксперименты, в которых изучалось влияние переходных явлений, краевых эффектов, теплофизической неоднородности среды, электромагнитной неоднородности среды, эффектов отражения и пропускания на качество электромагнитной сушки и ее энергоемкость. К числу выводов обобщающего характера, которые можно сделать по совокупности экспериментов, относятся следующие. Теплофизическая неоднородность среды оказывает заметное влияние на процесс сушки лишь для материалов с критерием Лыкова Ьи« 1; для материалов с Ьи~\ и больше расчет по схемам с постоянными и с переменными коэффициентами приводит к отличиям, которые для практики интереса уже не представляют. Электромагнитная неоднородность среды, даже при значительных перепадах температуры и влагосодержания по глубине слоя материала (ДГ-20 °С, Д£/~0,05), существенного влияния на процесс сушки не оказывает. Численные расчеты плотности электромагнитных потерь Щх) и коэффициента отражения 9Я, учитывающие неоднородность слоя, и аналогичные расчеты по формулам для однородного слоя, в которые подставляется средняя по толщине слоя диэлектрическая проницаемость, приводят к отличиям, которые не превышают 10 % во всем исследованном диапазоне частот и режимов. При этом для большой (по сравнению с толщиной слоя ) глубины проникновения электромагнитной волны зависимость величин IV и 5Я от частоты имеет сложный осциллирующий характер; с уменьшением глубины проникновения осцилляции постепенно затухают, для коэффициента отражения начинает выполняться приближение Френеля, а распределение электромагнитных потерь становится экспоненциальным. Имеющиеся для такого случая рекомендации делать оценки для глубины проникновения электромагнитной волны, полагая материал состоящим из одной только воды, большей частью приводят к неверным результатам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Афанасьев, Анатолий Михайлович, 2010 год

1. Рогов И: А., Некрутман С. В: Сверхвысокочастотный нагрев? пищевых продуктов: -М;: Агропромиздат, 1986. -35Г е.,

2. РоговИ.А.,НекрутманС.В;Сверхвысокочастотныйиинфракрасныйна-грев пищевых продуктов. -М.: Пищевая промышленность, 1976. 212 с.

3. Рогов И.А. Электрофизические методы обработки пищевых продуктов:-М:: Агропромиздат, 1988.-272 с.

4. Некрутман С.В: Аппараты СВЧ в общественном питании. М.: Экономика, 1973.- 117 с.

5. Драгун В. Л., Данилова-Третьяк С. М., Губарев С. А. Моделирование нагрева биологических тканей при УВЧ-терапии // Инженерно-физический журнал. 2005. - Т. 78. - № 1. - С. 106-112.

6. Шульман 3: П., Слепян Г. Я. Управление диссипацией СВЧтПОлей с помощью внешних полупрозрачных экранов при гипертермии // Инженерно-физический журнал. 1998: - Т. 71. - №1. - С. 120-123 .

7. Гипертермия цилиндрической биоткани микроволновым электромагнитным излучением 7 З.П. Шульман,. Г.Я; Слепян, T.JT. Попкова, А.А. Маханек // Инженерно-физический журнал. 1998. - Т. 71. - № 2. -С. 268-272.

8. Резник А.Н., Юрасова Н.В. Обнаружение контрастных образований внутри биологических сред при помощи ближнепольной СВЧ диагностики // Журнал технической физики. 2006. - Т. 76. - Вып. 1. — С. 90104.

9. Ilyinsky A. S., Slepyan G. Ya., Slepyan A. Ya. Propagation, Scattering and Dissipation of Electromagnetic Wave // IEE Electromagnetic Wave Series. Ed. P. Peregrinys, 1993, V. 36. P. 89-96.

10. Долгополob H.H. Электрофизические методы в технологии строительных материалов. М:: Стройиздат, 1971. - 240 с.

11. Коротаев Ю. П., Ширковский А. И. Добыча, транспорт и подземное хранение газа. М.: Недра, 1984. - 487 с.

12. Семенов^. С., Байбурин В. Б. СВЧ-энергия и ее применение. Особенности, оборудование, технологические процессы. Саратов: Изд. Саратовского государственного технического ун-та, 1999. - 116 с.

13. Hamid М. Basis principles of microwave power heating // Heat Transfer Engineering. 1992. - V. 13. - №4. - P. 73-84.

14. Гинзбург А. С. Основы теории и техники сушки пищевых продуктов. -М.: Пищевая промышленность, 1973. 528 с.

15. Ильясов С. Г., Красников В. В. Физические основы инфракрасного * облучения пищевых продуктов. М.: Пищевая» промышленность, 1978. -360 с.

16. Крылов А. И. Вибрационные сушилки с инфракрасными излучателями // Химическая промышленность. 2005. - №9. - С. 41-45.

17. Явчуновский В. Я. Микроволновая и комбинированная сушка: физические основы, технологии и оборудование. — Саратов: Изд. Саратовского государственного технического ун-та, 1999. — 212 с.

18. Веке J., Mujumdar A. S., Giroux М. Some fundamental attributes of com and potato drying in microwave fields // Drying Technology. 1997. - V. 15. -1. 2.-P. 539-554.

19. Laguerre J.C., Tauzin V., Grenier E. Hot air and microwave drying of onions: A comparative study // Drying Technology. 1999. - V. 17. - I. 7-8. - P. 1471-1480.

20. Акулич П. В., Милитцер К. Моделирование неизотермического влагопе-реноса и напряжений в древесине при сушке // Инженерно-физический журнал. 1998. - Т. 71. - №3. - С. 404-411.

21. Расев А. И. Сушка древесины. М.: Изд. Московского госуд. университета леса, 2000. - 228 с.

22. Романовский С. Г. Процессы термической обработки влажных материалов. М.: Энергия, 1976. - 328 с.

23. Романовский С. Г. Процессы термической обработки и сушки в электромагнитных установках. Минск: Наука и техника, 1969. - 348 с.

24. Шубин Г. С. Сушка и тепловая обработка древесины. М.: Лесная промышленность, 1990. - 336 с.

25. Bucki М., Perre P. Physical formulation and numerical modeling of high fre- . quency heating of wood // Drying Technology. 2003. - ¥. 21. - I. 7. - P. 1151-1172.

26. Koumoutsakos A., Avramidis S., Hatzikiriakos S. Radio frequency vacuum drying of wood. I. Mathematical4 model // Drying Technology. 2001. - V. 19.-I. 10.-P. 67-86.

27. Koumoutsakos A., Avramidis S., Hatzikiriakos S. Radio frequency vacuum drying of wood. II. Experimental model evaluation // Drying Technology. -2001.-V. 19.-I. 10.-P. 87-97.

28. Лыков M. В. Сушка в химической промышленности. М.: Химия, 1970. -429 с.

29. Муштаев В. И., Ульянов В. М. Сушка дисперсных материалов. М.: Химия, 1998.-352 с.

30. Сажин Б. С. Основы техники сушки. — М.: Химия, 1984. 320 с.

31. Нестеренко А. В. Основы термодинамических расчетов вентиляции и кондиционирования воздуха. М.: Высшая школа, 1971. — 460 с.

32. Röhrlich Dagmar. Kühlen mit Sonne // Energ. Spektrum. -1995. V. 10. - № 11. —S. 29-32.

33. Drying technology. Special issue on drying and dewatering in energy fields. // Drying Technology. 1999. - V. 17. -1. 3. - P. 379-633.

34. Poulin A., Dostie M., Proulx P., Kendall J. Convective heat and mass transfer and evolution of the moisture distribution in combined convection and radio frequency drying // Drying Technology. 1997. - V. 15. - I. 6-8. - P. 18931907.

35. Шимони К. Теоретическая электротехника: Пер. с нем. М.: Мир, 1964. - 773 с.

36. Баскаков С. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.:

37. Высшая школа, 1992. 416 с.

38. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. -440 с.

39. Диденко А. Н. СВЧ-энергетика: теория и практика. М.: Наука, 2003. -446 с. '

40. Архангельский Ю.С., Девяткин И.И. Сверхвысокочастотные нагревательные установки для интенсификации технологических процессов. -Саратов: Изд-во Саратовского государственного ун-та, 1983. 140 с.

41. Архангельский Ю. С. СВЧ электротермия. Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического ун-та, 1998. - 407 с.

42. Архангельский Ю.С. Установки диэлектрического нагрева. Установки СВЧ. Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического ун-та, 2008. - 343 с.

43. Архангельский Ю.С., Калганова С.Г. Измерения в СВЧ электротехнологии. Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического унта, 2008.- 151 с.

44. Архангельский Ю.С., Калганова С.Г., Яфаров Р.К. Измерения в СВЧ электротехнологических установках. Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического ун-та, 2008. — 263 с.

45. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: Пер. с нем. Г. А. Вольперта. Под ред. Л. Г. Лойцянского. М.: Наука, 1974. - 712 с.

46. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: В 2-х частях. -М.: Физматгиз, 1963. 584 е., 728 с.

47. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. 6-е изд. - М.: Наука, 1987.-840 с.

48. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.-Л.: Изд. Академии наук СССР, 1948. -727 с.

49. Зоммерфельд А. Электродинамика: Пер. с нем. М.: Изд. ин. лит., 1958. -501 с.•■;■''• ; . 242

50. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая- физика. Т. VIII. Электроди-. намика сплошных сред;- М.: Наука, 1982. -624 с.50: Ландау Л; Д;, Лифшиц Е. М*. Теоретическая1 физика. Т. II. Теорияполя; -М.: Наука, 1973;-504 с.

51. Смайт В. Электростатика и электродинамика: Пер. с англ. М.: Изд. иностранной литературы, 1954. - 604 с.

52. Стрэттон: Дж. А'. Теория; электромагнетизма: Пер. с англ; М.-Л.: Гос- -техиздат, 1948: - 540 с.

53. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — • М.: Наука, 1966. -724 с.

54. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения, математической физики:. В 2-х частях. Ч. 2: Пер: с нем. Л.-М.: ОНТИ, Главная редакция общетехнической литературы, 193 8. — 998Í с.

55. Берд Р., Стюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса: Пер. с англ. М.: Химия, 1974.-688 с.

56. Карслоу Г., Егер Д; Теплопроводность твердых тел: Пер. с. англ. — М.: Наука, 1964.-488 с.

57. Кейс В. М. Конвективный тепло- и. массообмен: Пер. с англ. М.: Энергия, 1972.-440 с.

58. Кришер G. Научные основы техники сушки: Пер. с нем. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. - 539 с.

59. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 592 с.

60. Шервуд Т., Пикфорд Р., Уилки И. Массопередача: Пер. с англ. М:: Химия, 1982. - 695 с.

61. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена: Пер. с англ. под ред. А. В. Лыкова. М.-Л.: Государственное энергетическое издательство, 1961.-680 с.

62. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2-х т.: Пер. с англ. — М.: Иностранная литература, 1958. — Т. 1. — 930 с.

63. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2-х т.: Пер. с англ. М.: Иностранная литература, 1960. - Т. 2. - 886 с.

64. Баренблатт Г. И., Ентов В'. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости игаза. М.: Недра, 1972. - 288 с.

65. Хейфец Л. И., Неймарк А. В. Многофазные процессы в пористых средах. -М.: Химия, 1982. 320 с.

66. Моделирование неизотермического тепло- и» влагопереноса в капиллярно-пористых средах при микроволновом нагреве / А. Л. Адамович, Н1 Н. Гринчик, С. П. Кундас, В. И. Терехов // Теплофизика и аэромеханика. -2004. Т. 11. - №2. - С. 257-272.

67. Моделирование процессов термовлагопереноса в капиллярно-пористых средах / С. П. Кундас, Н. Н. Гринчик, И. А. Гишкелюк, А. Л. Адамович.- Минск: Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова НАН Беларуси, 2007.-292 с.

68. Никитенко Н. И. Сопряженные и обратные задачи тепломассопереноса.- Киев: Наукова думка, 1988. 240 с.

69. Никитенко Н. И. Теория тепломассопереноса. Киев: Наукова думка, 1983.-352 с.

70. Никитенко Н. И., Снежкин Ю. Ф., Сороковая Н. Н. Динамика процессов тепломассопереноса, фазовых превращений и усадки при обезвоживании коллоидных капиллярно-пористых материалов // Промышленная теплотехника. 2003. - Т. 25. - №3. - С. 56-66.

71. Никитенко Н. И., Снежкин Ю. Ф., Сороковая Н. Н. Математическая модель и метод расчета тепломассопереноса и фазовых превращений в процессах сушки // Промышленная теплотехника. 2001. - Т. 23. - №3. -С. 65-73.

72. Никитенко Н. И., Снежкин Ю. Ф., Сороковая Н. Н. Математическое моделирование тепломассопереноса, фазовых превращений и усадки с целью оптимизации процесса сушки термолабильных материалов // Инженерно-физический журнал. 2005. — Т. 78. — №1. - С. 74-88.

73. Решетин О. Л., Орлов С. Ю. Теория переноса тепла и влаги в капиллярно-пористом теле // Журнал технической'физики. 1998. - Т. 68. - №2. -С. 140-142.

74. Шубин Г. С. Развитие некоторых аспектов теории тепломассопереноса А-. В. Лыкова // Инженерно-физический журнал. 2005. - Т. 78. - №4. — С. 102-108.

75. Гринчик Н. Н. Процессы переноса в пористых телах, электролитах и мембранах. Минск: АНК ИТМО им. А. В. Лыкова АН БССР, 1991. -251 с.

76. К проблеме неизотермического массопереноса в пористых средах / Н. Н. Гринчик, П. В. Акулич, П. С. Куц, Н. В. Павлюкевич, В. И. Терехов // Инженерно-физический журнал. 2003. - Т. 76. - №6. - С. 129-142.

77. Гринчик Н. Н., Достанко А. П. Влияние тепловых и диффузионных процессов на распространение электромагнитных волн в слоистых материалах. Минск: Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова НАН Беларуси, 2005. - 149 с.

78. Взаимодействие тепловых и электрических явлений в поляризованных средах / Н. Н. Гринчик, В. А. Жук, А. А. Хмыль, В. А. Цурко // Математическое моделирование. — 2000. Т. 12. — № 11. — С. 67-76.

79. Гринчик Н. Н., Куц П. С. Об уравнениях переноса в капиллярно-пористых средах для задач неизотермической сушки, сорбции и двухфазной фильтрации // Инженерно-физический журнал. 1985. — Т. 49. — №13.-С. 110-116.

80. Гринчик Н. Н., Ноготов Е. Ф. К проблеме корректного описания электромагнитных волн в слоистых средах с магнитными свойствами // Инженерно-физический журнал. 2002. - Т. 75. - №6. - С. 36-42.

81. Гринчик Н. Н., Ноготов Е. Ф. К проблеме моделирования взаимодействия нестационарных электрических, тепловых и диффузионных полей в слоистых средах // Инженерно-физический журнал. 2002. - Т. 75. -№3. - С. 135-141.

82. Гринчик Н. Н., Ноготов Е. Ф: Распространение и поглощение электромагнитных волн с учетом- релаксационных процессов // Инженерно-физический журнал. 2004. - Т. 77. - №2. - С. 134-141.

83. Акулич П. В., Гринчик Н. Н. Моделирование тепломассопереноса в капиллярно-пористых материалах // Инженерно-физический журнал. -1998. Т. 71'. - №2. - С. 225-232.

84. Численное моделирование неизотермического влагопереноса в биологических коллоидных пористых материалах / Струмилло Ч., Гринчик Н.Н., Куц П.С. и др. // Инженерно-физический журнал. 1994. - Т. 66. - №2. -С. 202-212.

85. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. -599 с.

86. Лыков А. В. Теория сушки. М.-Л.: Энергия, 1968. - 471 с.

87. Лыков А. В. Теоретические основы строительной теплофизики. -Минск: Наука и техника, 1961. 519 с.

88. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 535 с.

89. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория переноса энергии и вещества. -Минск: Изд. АН БССР, 1959. 330 с.

90. Лыков А. В., Берковский Б. М. Конвекция и тепловые волны. М.: Энергия, 1974.-335 с.

91. Лыков А. В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия, 1978. -480 с.

92. Лыков А. В. Некоторые проблемные вопросы теории тепломассопереноса // Инженерно-физический журнал. — 1974. — Т. 2. — №5. С. 781-793.

93. Лыков А. В. О системах дифференциальных уравнений тепломассопереноса в капиллярно-пористых телах // Инженерно-физический журнал. -1974.-Т. 2. -№1. С. 18-26.

94. Полянин А. Д. Справочник по-линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001. 576 с.

95. Полянин А. Д., Вязьмин А. В., Журов А. И., Казенин Д! А. Справочник по точным решениям>уравнений тепло- и массопереноса. — М.: Факториал, 1998.-368 с.

96. Полянин А. Д. Линейные задачи тепло- и массопереноса: Общие формулы и результаты // Теоретические основы химической технологии. -2000. Т. 34. - №6. - С. 563-574.

97. Полянин А. Д. Неполное разделение переменных в нестационарных задачах механики и математической физики // Доклады РАН. 2000. -Т. 375.-№4.-С. 476-480.

98. Полянин А. Д. Структура решений линейных нестационарных краевых задач механики и математической физики // Доклады РАН. 2000. -Т. 373.-№5.-С. 628-631.

99. Кокодий Н. Г., Холодов В. И. Тепловые процессы в капиллярно-пористых телах с внутренними и внешними источниками тепла // Инженерно-физический журнал. 2000. - Т. 73. - №6. - С. 1145-1151.

100. Huang С. L. D. Multi-phase moisture in porous media subjected to temperature gradient // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1979. - V. 22.-№8.-P. 1295-1307.

101. Pesaran Ahman A. and Mills Anhony E. Moisture transport in silicagel packed beds. I. Theoretical study // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1987. - V. 30. - №6. - P. 1037-1049.

102. Plumb O. A., Spolek G. A., Olmstead B. A. Heat and mass transfer in wood during drying // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1985. - V. 28.-№9.-P. 1669-1678.

103. Prat M. Analysis of experiments of moisture migration caused by temperature differences in unsaturated porous medium by means of two-dimensional numerical simulation // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1986.- V. 29: №7. - P. 1033-1039.

104. Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ. Т. 1. Ml: Высшая школа, 1972. 1 - 442 с.

105. Лебедев И.В. Техника и^приборы! СВЧ. Т. 2. — М.: Высшая »школа, 1972. -376 с.

106. Коломейцев В. А., Комаров В. В. Микроволновые системы с равномерным объемным нагревом. Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического университета, 1997. - 160 с.

107. Кинг Р., Смит Г. Антенны в материальных средах: В 2-х'книгах. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 824 с.

108. Машкович М. Д. Электрические свойства неорганических диэлектриков в диапазоне СВЧ. М.: Сов. радио, 1969. - 240 с.

109. Эме Ф. Диэлектрические измерения: Пер. с нем. М.: Химия, 1967. -223 с.

110. Арамян М. А. К расчету полей в слоистых структурах и вычисление интегральных параметров // Инженерно-физический журнал. 1994. - Т. 67.-№1-2.-С. 132-140.

111. Арамян М. А., Карапетян Г. К. Расчет диэлектрической проницаемости неоднородных материалов периодических структур усреднением уравнений потенциальных полей // Инженерно-физический журнал. 2001. -Т. 74. -№ 1. - С. 99-102.

112. Арамян М. А., Карапетян Г. К. Расчет усредненных параметров неоднородных сред с переменными свойствами включений // Инженерно-физический журнал. 2001. - Т. 75. - №1. - С. 92-98.

113. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н. О краевых условиях массообмена в виде законов Ньютона и Дальтона // Инженерно-физический журнал. -2007. Т. 80. - №1. - С. 27-34.

114. Афанасьев А. М., Михайлов В. К., Сипливый Б. Н. Тепломассоперенос в капиллярно-пористых материалах под воздействием инфракрасного изj 248<лучения // Биомедицинские технологии, и радиоэлектроника. 2005. -№8.-С. 70-74.t

115. Афанасьев А. М:, Сипливый Б. Н; Оптимизация процесса электромаг5 нитной' сушки капиллярно-пористых материалов' // Известия вузов.

116. Электромеханика. 2006. - №5. - С. 3-10.

117. Гамаюнов Н. И. Исследование фазового состава* переносимой влаги в процессе сушки пористых материалов // Промышленная теплотехника. -1996.--Т. 18. -№ 5. С. 88-94.

118. Гамаюнов.Н. И., Горохов М. М. Исследование механизма конвективной сушки коллоидных капиллярно-пористых- тел с помощью радиоактивных индикаторов // Промышленная теплотехника. 1987. - Т. 9. - №3. -С. 60-64.

119. Никитина JI. М. Термодинамические параметры и коэффициенты массо-переноса во влажных материалах. -М.: Энергия, 1968: 500 с.

120. Ривкин С. Л., Александров А. А. Теплофизические свойства воды и во-дяногопара. М.: Энергия, 1980. - 424 с.

121. Физические величины: Справочник / Под ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова-М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

122. Воронец Д., Козич Д. Влажный воздух. Термодинамические свойства и применение. -М.: Энергоатомиздат, 1984. — 135 с.

123. Теплотехника / В. Н. Луканин, М. Г. Шатров, Г. М. Камфер и др.; Под ред. В. Н. Луканина. 4-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2003. - 671 с.

124. Афанасьев А. М., Шашлова Л. Е. Расчет параметров конвективной сушки влажных материалов по заданным характеристикам внешней среды // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1999. - Вып. 4. - С. 147151.

125. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н., Шашлова Л. Е. Квазистационарные режимы тепло- и массопереноса при конвективной сушке капиллярно-пористых материалов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. -2006. №8-9. - С. 78-86.

126. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н., Шашлова Л. Е. Асимптотический вид полей температуры и влагосодержания< при сушке СВЧ излучением // Электродинамика и техника СВЧ1, КВЧ и оптических частот. 2007. - Т. 15.-№2 (44).-С. 129-130.

127. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н; Влияние теплового излучения на температуру мокрого термометра // Биомедицинская радиоэлектроника; -2008!-№3.-С. 44-47.

128. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н. Исследование квазистационарных режимов при сушке СВЧ излучением // Известия вузов. Электромеханика. -2008.— №3. —С. 3-9.

129. Долинский А. А., Шелиманов В. А. К вопросу расчета температуры материала в первом периоде конвективной сушки нагретым воздухом // Промышленная теплотехника. 2000. - Т. 22. - №4. - С. 40-45.

130. Долинский А. А., Иваницкий Г. К. Оптимизация процессов распылительной сушки. Киев: Наукова думка, 1984. - 240 с.

131. Тепло- и» массообмен. Теплотехнический эксперимент: Справочник / Под общей ред. В. А. Григорьева и В. М. Зорина. М.: Энергоиздат, 1982.-512 с.

132. Харин В. М., Агафонов Г. В. Теория гидро- и гигротермических процессов. Внешний влаго- и теплообмен капиллярнопористого тела с газопаровой средой // Математическое моделирование технологических систем. 1999. - №3. - С. 78-82.

133. Шпаковский Р. П. К определению температуры мокрого термометра // Теоретические основы химической технологии. 1995. - Т. 29. - №3. -С. 330-332.

134. Снежкин Ю. Ф., Хавин А. А. Оценка тепловой эффективности сушилок, работающих на материалах с различной начальной влажностью // Промышленная теплотехника. 1996. - Т. 18. - №4. - С. 30-32.

135. Снежкин Ю. Ф. Исследование адсорбционных характеристик коллоидных капиллярно-пористых материалов с целью определения режимовсушки // Промышленная теплотехника. -2000. Т. 22. - №2. - С. 65-73.

136. Минаковский В. М. Графоаналитический расчет процесса сушки // Промышленная теплотехника. 1997. - Т. 19. - №1. - С. 73-78.

137. Дашков В. А., Хасанов Т. Г. Расчет установки нагревания» для сушки изделий из токопроводящих материалов // Инженерно-физический журнал.- 1998. Т. 71. - №3. - С. 412-416.

138. Афанасьев А. М., Шашлова JI. Е. Выбор оптимального режима при^кон-вективной сушке влажных-материалов // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1999. - Вып. 4. - С. 140-146.

139. Афанасьев А. М. Численное исследование процесса конвективной сушки« при наличии внутренних источников тепла и нелинейных краевых условиях третьего рода // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. -2000.'-Вып. 5.-С. 151-160.

140. Афанасьев А. М., Непогодин В. И. СВЧ-излучение для регенерации твердых адсорбентов // Газовая промышленность. — 2001. —№12. — С. 3032.

141. Афанасьев А. М., Конягин И. А., Сипливый Б. Н. Переходные явления тепло- и массопереноса при конвективной сушке капиллярно-пористых материалов // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16. - №5. - С. 117-127.

142. Внутренние механические напряжения при сушке нагретым воздухом / А. М. Афанасьев, И. А. Конягин, В. К. Михайлов, Б. Н. Сипливый // Теоретические основы химической технологии. 2005. - Т. 39. - № 1. — С. 95-100.

143. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н. Зависимость качества сушки СВЧ излучением от глубины проникновения электромагнитной волны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2008. - Т. 11. - №1.- С. 95-99.

144. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н. Математическое моделирование сушки электромагнитными волнами с малой глубиной проникновения // Известия вузов. Электромеханика; 2008". - №5; - С. 8—

145. А.с. 1344790 СССР. Устройство для регулирования углеродного потенциала атмосферы печи / Афанасьев А.М., Гордеев^ИЖ, Непогодин:ВМ; -Заявл. 18.06.86, Опубл. 15.10:87, Бюл.№ 38.

146. Афанасьев А.М. Конвективная сушка однородной пластины. Свидетельство- О; государственной! регистрации, программы для .ЭВМ №;• 2010610237, Российская Федерация. Заявка № 2009616295 от ЮЛ 1.09, зарег! в^еестре программдая ЭВМ^1Т.01;10: :

147. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычисли тельная гидромеханика и теплообмен: В 2-х томах. Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1990; - 384 с.

148. Бахвалов Н: С., Жидков И. П., Кобельков Г. М. Численные методы. 4-е изд. - М;: Бином. Лаборатория знаний. 2005. - 636 с.

149. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука,. 1978. — 512 с.

150. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей; среды. М.: Наука, 1982. - 320 с.

151. Марчук Г. И; Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. -608 с.

152. Самарский А. А. Введение в численные методы. — М.: Наука, 1987. -288 с.

153. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах. Т. 1: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. 504 с.

154. Марчук Г. И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. - 264 с.

155. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов JI. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. - 288 с.

156. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения* сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

157. Турчак JI. И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. - 318 с.

158. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

159. Крицкий О. Л. Численный алгоритм решения двумерных анизотропных параболических уравнений // Математическое моделирование. 2004. -Т. 16. -№3. - С. 50-56.

160. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач: Пер. с англ. М.: Мир, 1972. - 418 с.

161. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. - 616 с.

162. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-416 с.

163. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физмалит, 2002. - 320 с.

164. Мартыненко О. Г., Павлюкевич Н. В. Тепло- и массоперенос в пористых средах // Инженерно-физический журнал. — 1998. Т. 71. - №1. - С. 518.

165. Павлюкевич Н. В. Введение в теорию тепло- и массопереноса в пористых средах. Минск: Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова HAH Беларуси, 2002. - 140 с.

166. Рудобашта С. П. Массоперенос в системах с твердой фазой. М.: Химия, 1980.-248 с.

167. Вязьмина Е. А., Бедриковецкий П. Г., Полянин А. Д. Новые классы точных решений нелинейных систем уравнений теории фильтрации и конвективного массопереноса // Теоретические основы химической технологии. 2007. - Т. 41. - № 5. - С. 580-588.

168. Рудобашта С. П. Математическая модель СВЧ нагрева почвы с учетом испарения влаги // Электронная обработка материалов. 1991. - №3. -С. 20-23.

169. Кей Р. Б. Введение в технологию промышленной сушки: Пер. с англ. -Минск: Наука и техника, 1983. 132 с.

170. Морозов Г. А. Микроволновые" технологии, в промышленности и сельском хозяйстве: современные достижения и новые подходы // Антенны. 1998. - №1 (40). - С. 88-96.

171. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. T. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736 с.

172. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М: Теоретическая физика. T. VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987. - 248 с.

173. Максимович В. Н., Соляр Т. Я. Уточненные формулы для определения обратного преобразования Лапласа с помощью рядов Фурье и их применение в задачах теплопроводности // Инженерно-физический журнал. — 2002. Т. 75. - №3. - С. 102-104.

174. Расчет теплового воздействия СВЧ излучения на плоские водосодержа-щие объекты слоистой структуры / A.M. Афанасьев, В.В. Подгорный, Б.Н. Сипливый, В.В. Яцышен // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1998. - Т. 1. — №2-3. - С. 83-90.

175. Математическое моделирование взаимодействия СВЧ излучения с вла-госодержащими плоскими слоистыми средами. Часть 1 / A.M. Афанасьев, В.В. Подгорный, Б.Н. Сипливый, В.В. Яцышен // Известия вузов. Электромеханика. 2001. - № 2. - С. 14-21.

176. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в< частных производных физики: Пер. с нем. А. А. Самарского и H. Н. Яненко. Под ред. А. Н. Тихонова: М.: Изд. ин. лит., 1950. - 456 с.

177. Зайцев В., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1995. 560 е.

178. Бреховских JI. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. - 343 с.

179. Каценеленбаум Б.' 3. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука, 1966.-240 с.

180. Касимов. Э. Р. Полоса, избирательного прохождения электромагнитного излучения через поглощающий слой диэлектрика // Инженерно-физический журнал. 2003. - Т. 76. - №1. - С. 110-114.

181. Фейнберг Е. JL Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. -М.: Наука, Физматлит, 1999.-496 с.

182. Яцышен В.В. Отражение плоской монохроматической волны от среды с пространственной дисперсией // Оптика и спектроскопия. 1982. - Т. 53.-С. 296-300.

183. Яцышен В.В. Электродинамика ограниченных сред с пространственной дисперсией при учете поверхностных токов (р-поляризация) // Известия вузов. Электромеханика. 1996. - № 5-6. - С. 119-124.

184. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

185. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1987. - 688 с.

186. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Пер. с нем. СПб.: Издательство «Лань», 2003. — 576 с.

187. Микроволновая термовлагометрия / Федюнин П. А., Дмитриев Д. А., Воробьев А. А., Чернышев В. Н.; Под ред. П. А. Федюнина. М.: Изд. Машиностроение-1, 2004. - 208 с.

188. Памятных Е. А., Туров Е. А. Основы электродинамики материальных сред в переменных и неоднородных полях. М.: Наука, Физматлит, 2000.-240 с.

189. Туров Е. А. Материальные уравнения электродинамики. М.: Наука, 1983.-158 с.

190. Никольский В. В., Никольская Т. И Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. - 544 с.

191. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. Пер. с англ. М.: Мир, 1988.-544 с.

192. Цой П. В. Методы расчета задач тепломассопереноса. М.: Энергоатом-издат, 1984.-414 с.

193. Samarskii A. A., Nikolaev Е. S. Numerical Methods for. Grid Equations. V. 1. Basel: Birkhauser Verlag, 1981. - 242 p.

194. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Computational Heat Transfer. V. 1. -N.Y.: Wiley, 1995.-406 p.

195. Ji Jie, Chen Yannan, Ge Xinshi, He Liqun. Zhongguo kexue jishu daxue xu-ebao // J. China Univ. Sei. and Technol. 1996. - V. 26. -1. 2. - P. 267-270.

196. Хабибуллин И. JI. Нелинейные эффекты при нагреве сред электромагнитным излучением // Инженерно-физический журнал. 2000. - Т. 73. -№4.-С. 832-838.

197. Формалев В. В., Колесник С. А., Чипашвили А. А. Численное моделирование теплопереноса в анизотропных телах с разрывными характеристиками // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16. - №5. - С. 94102.

198. Фельдман Н. Я. Особенности микроволновой сушки диэлектрических материалов // Автоматизация и современные технологии. 2000. - №8. -С. 19-23.

199. Снежкин Ю. Ф., Дабижа Н. А. Исследование адсорбционных характеристик коллоидных капиллярно-пористых материалов с целью определения режимов сушки // Промышленная теплотехника. 2000. - Т. 22. -№3. - С. 26-29.

200. Немков В. С., Демидович В. Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. Л.: Энергоатомиздат, 1988. - 280 с.

201. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров: Пер. с франц. М.: Наука, 1967. - 780 с.