Математическое моделирование процессов с дисперсией, диссипацией и фазовыми переходами в сложных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Шаргатов Владимир Анатольевич

• Шаргатов Владимир Анатольевич
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Шаргатов Владимир Анатольевич

Введение

Глава 1. Разрывы со стационарной структурой,

представляющие решения обобщенного уравнения

Кортевега - де Вриза - Бюргерса

1.1 Обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса. Множество решений в виде бегущей волны

1.2 Специальная функция нелинейности. Аналитическое

решение задачи о структуре

1.3 Варианты решений задачи о стационарной структуре в зависимости от параметров дисперсии и диссипации

1.4 Заключение

1.5 Приложение к главе

Глава 2. Устойчивость разрывов со стационарной структурой

2.1 Линеаризованные уравнения и алгоритм вычисления функции Эванса

2.2 Линейная устойчивость структуры классических разрывов

2.3 Линейная устойчивость структуры особых разрывов

2.4 Заключение

Глава 3. Задача о распаде произвольного разрыва для

обобщенного уравнения Хопфа

3.1 Формулировка задачи о распаде произвольного разрыва

3.2 Численный метод решения обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза - Бюргерса

3.3 Взаимодействие структур особых разрывов с возмущениями

3.4 Разрывы со структурой, периодически зависящей от времени

3.5 Построение решения задачи о распаде произвольного разрыва. Единственность решения

3.6 Заключение

Глава 4. Устойчивость разрывных решений в

нелинейноупругих средах. Нелинейные волны с близкими характеристическими скоростями

4.1 Устойчивость разрывов со структурой

4.2 Устойчивость особых разрывов

4.3 Заключение

Глава 5. Численный метод решения уравнений,

описывающих эволюцию многосвязной границы

водонасыщенной области с поверхностями

фазового перехода

5.1 Основные уравнения

5.2 Метод численного решения уравнений фильтрации

5.3 Метод расчета движения поверхности фазового перехода

5.4 Сопоставление с аналитическим решением

5.5 Оценка условий применимости стационарного уравнения диффузии для расчета скорости поверхности фазового перехода

5.6 Заключение

Глава 6. Динамика и устойчивость фильтрационных

течений с поверхностями фазового перехода

6.1 Устойчивость стационарных фронтов фазового перехода относительно локализованных возмущений

6.2 Критерий для параметров локализованных возмущений, приводящих к катастрофической перестройке спектрально устойчивого стационарного решения

6.3 Устойчивость и динамика фронта фазового перехода,

распространяющегося в пористой среде в виде бегущей волны

6.4 Устойчивость и динамика движущегося плоского фронта фазового перехода

6.4.1 Аналитическое решение задачи о движении поверхности фазового перехода в одномерном случае

6.4.2 Дестабилизация плоской поверхности вертикально движущегося фронта бесконечно малыми гармоническими возмущениями

6.4.3 Эволюция локализованных конечных возмущений движущегося фронта

6.4.4 Обсуждение результатов и заключение

6.5 Устойчивость стационарных фронтов фазового перехода по отношению к локализованным конечным возмущениям верхней или нижней границы низкопроницаемого слоя

6.5.1 Оценка порогового значения амплитуды возмущения, приводящего к исчезновению стационарного решения

6.5.2 Результаты численного моделирования при возмущении нижней или верхней плоских границ низкопроницаемого слоя

6.5.3 Заключение

6.6 Исследование устойчивости замкнутой области, насыщенной воздухом (пузыря), в

горизонталыюпротяженном слое пористой среды

6.7 Заключение

Глава 7. Устойчивость фильтрационных течений в

пористой среде с изменяющимся капиллярным давлением

7.1 Устойчивость фильтрационных течений с поверхностями фазового перехода в пористой среде с изменяющимся капиллярным давлением

7.1.1 Постановка задачи

7.1.2 Основное течение

7.1.3 Дестабилизация вертикальных течений. Линейный

анализ

7.2 Фрагментация фильтрационного течения в среде с градиентом капиллярного давления

7.2.1 Постановка задачи

7.2.2 Эволюция тонкого прямоугольника

7.2.3 Деформация круглой водонасыщенной области

7.2.4 Объединение прямоугольников

7.2.5 Объединение двух круговых областей

7.2.6 Обсуждение результатов

7.3 Заключение

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов с дисперсией, диссипацией и фазовыми переходами в сложных средах»

Введение

Распространение нелинейных волн в сплошных средах может приводить к образованию узких зон с высокими значениями градиентов основных параметров течения. Вне таких узких зон параметры течения существенно изменяются только на крупных масштабах. Появление высокоградиентных зон является свойством решения, которое заложено в самих уравнениях и не связано с существованием высокоградиентных зон в начальный момент. Высокоградиентные зоны возникают, например, в ударных волнах и при фазовых переходах. Если математическая модель описывает течение как на мелких (внутри высокоградиентной зоны), так и на крупных масштабах, то решение является непрерывным. В большинстве практически значимых случаев численное многомасштабное и многомерное моделирование течений, включающих в себя ударные волны или фазовые переходы, требует высокопроизводительных вычислительных систем, которые в настоящее время не существуют и вряд ли появятся в ближайшем будущем.

Система уравнений детализированной модели называется полной системой уравнений, а решение в виде бегущей волны, описывающее изменение в узкой зоне, - структурой разрыва (см. [57; 90]). Детализированным моделям среды, учитывающим физические механизмы, которые обеспечивают непрерывное и сильное изменение параметров течения в узких зонах, соответствуют упрощенные уравнения. При изучении течений с ударными волнами такими упрощенными уравнениями являются нелинейные гиперболические уравнения, которые возникают как предельный случай, если масштаб узкой зоны ударного перехода становится много меньше масштаба существенного изменения параметров среды вне этой узкой зоны. Гиперболическим уравнениям соответствуют интегральные уравнения, которые могут иметь кусочно-непрерывные (обобщенные [22]) решения. Поверхность, на которой происходит разрыв, является упрощенным (приближенным) представлением узкой зоны ударного перехода.

На разрывах выполняются соотношения, следующие из законов сохранения. При использовании всех разрывов, для которых выполняются

законы сохранения, может возникать неединственность решений гиперболической системы, как было отмечено в работах [19; 25; 30; 76]. В [22] для признания того, что тот или иной разрыв может быть использован для построения решения гиперболической системы и его следует включить в гиперболическую модель, было предложено использовать требование, чтобы такому разрыву соответствовала некоторая структура разрыва (решение детализированной модели) в виде бегущей волны. Как показали дальнейшие исследования, это условие в общем случае не является ни необходимым, ни достаточным. Однако условие существования структуры у используемых разрывов позволяет в ряде случаев отбросить некоторое множество разрывов, а оставшихся разрывов часто оказывается достаточно, чтобы построить решение упрощенной системы единственным образом.

Если упрощенная модель описывается гиперболическим уравнением, то не обязательно, что всякому обобщенному решению для этой модели соответствует решение полной системы уравнений. Класс решений, для которых такое соответствие всегда имеет место, найден, например, для уравнения Хопфа со сложной нелинейностью [76], а также для вязкого газа (см. [84]).

Для системы двух гиперболических уравнений газодинамического типа в случае, если давление зависит только от удельного объема и первая производная этой зависимости отрицательна, а вторая положительна, в [69; 71] доказано существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных данных обобщенного решения задачи Коши. В работе [70] того же автора (Ляпидевского В.Ю.) аналогичный результат получен для системы уравнений, описывающей одномерное движение идеального изотермического газа в плоском, цилиндрическом и сферическом случае.

Упрощенная модель обеспечивает высокую точность при решении многих задач механики сплошных сред, если заранее известно, какие именно разрывы допускаются полной моделью и могут быть включены в обобщенное решение.

С момента выхода работы [22], положившей начало систематическому выяснению понятия обобщенного решения квазилинейных гиперболиче-

ских систем, принято в первую очередь изучать решения детализированной модели, которой соответствует уравнение Хопфа со сложной нелинейностью. Если полная модель включает в себя только диссипативные члены и ее упрощением является уравнение Хопфа с функцией потока, удовлетворяющей найденному в [76] условию, то все разрывы, для которых существует решение в виде бегущей волны, являются допустимыми. Эти разрывы устойчивы и обеспечивают единственность обобщенного решения задачи Коши.

В [57] было показано, что если полная модель, упрощением которой является уравнение Хопфа со сложной нелинейностью, содержит не только диссипативные, но и дисперсионные члены, то множество разрывов, которым в рамках полной модели соответствует структура разрыва (решение в виде бегущей волны), принципиально отличается от аналогичного множества для случая, когда присутствуют только диссипативные члены. Принципиальное отличие состоит в том, что в общем случае обобщенное решение гиперболической задачи не удается единственным образом построить с помощью разрывов, имеющих структуру. Примеры неединственности решений автомодельных задач для обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса (КдВБ), приведены в [58]. Установленная в [57; 58] неединственность решений является следствием существования нескольких особых разрывов (эволюционных разрывов, обладающих структурой, для которых не выполняются условия Лакса [173]). Если для заданных параметров перед разрывом существует только один особый разрыв и существование структуры разрыва выбирается в качестве дополнительного условия, то неединственность для примеров, рассмотренных в [57; 58], не возникает.

Спустя 11 лет после выхода работы [57], имевшей принципиальное значение для анализа поведения решений нелинейных гиперболических уравнений, авторами [163] для обобщенного уравнения КдВБ с кубической функцией потока было найдено аналитическое решение для особого разрыва. Кубическая функция потока имеет только одну точку перегиба, и согласно [57; 58] в этом случае при фиксированных параметрах перед разрывом может существовать только один особый разрыв со структурой. Структура этого особого разрыва появилась как часть непрерывного реше-

ыия, полученного в [163] численно, что подтвердило допустимость разрыва. Обобщение и детальное исследование задачи Коши для такой функции потока было сделано в [175]. В продолжение работы [163] было выполнено экспериментальное исследование [108; 118], где изучалось движение тонкой пленки на наклонной поверхности. Движение пленки возникало под действием конкурирующих факторов: силы тяжести и теплового градиента поверхностного натяжения. Модель процесса включала в себя уравнение, упрощенная гиперболическая модель которого имела вид обобщенного уравнения Хопфа с функцией потока в виде полинома с кубическим и квадратичным членами. Эта модель предсказала появление допустимого особого разрыва, который наблюдался в эксперименте. Аналитическое решение для структуры особого разрыва при наличии дисперсии и диссипации было получено и исследовано в [152] для кусочно-линейной функции потока, состоящей из трех частей. Такая функция потока также допускает существование только одного особого разрыва.

Структуры разрывов без диссипации, но с наличием дисперсионных членов исследовались в рамках общей теории разрывов [38; 39]. Новые типы бездиссипативных разрывов были выявлены в [8 12], там же приведена наиболее полная известная автору классификация таких разрывов. При этом в [10] отмечено, что отправной точкой для выполнения этих исследований послужила работа [50].

Актуальный обзор работ, посвященных структурам разрывов для уравнения Хопфа, дополненного диссипативными и/или дисперсионными членами, сделан в [137] и содержит 99 ссылок. Функции потока, приводящие к появлению нескольких особых разрывов и множественной неединственности решения задачи Римана, в этих работах не рассматриваются.

В [53; 90; 191] было показано, что разрывам в уравнении Хопфа со сложной нелинейностью, могут соответствовать не решения в виде бегущей волны, а нестационарные периодические решения. Эти решения также имеют узкую высокоградиентную область. Изменение профиля параметров высокоградиентной области и ее скорости носит периодический характер. Этот период мал по сравнению с характерным временем изменения параметров течения на больших масштабах. Средняя скорость распространения

узкой высокоградиентной зоны постоянна и с хорошей точностью соответствует той скорости разрыва, которая для упрощенной гиперболической системы может быть получена из закона сохранения. Выполненные в [53] исследования указывают на необходимость включения в число допустимых разрывов гиперболической модели таких разрывов несмотря на то, что они не являются решением обобщенного уравнения КдВБ в виде бегущей вол-

Численное решение полной задачи (уравнения с диссипативными и дисперсионными членами), показало, что некоторые решения в виде бегущей волны могут быть неустойчивы [53]. В [47] указано на необходимость исследовать устойчивость структур разрывов и исследовать проблему, связанную с определением допустимых разрывов и включения их в гиперболическую модель. Такое исследование выполнено в данной работе и во всех исследованных случаях это привело к устранению неединственности.

Современная фундаментальная и прикладная наука ставит задачи исследования волновых процессов в средах, ударные адиабаты которых не являются выпуклыми и могут иметь две и более точки перегиба. Такие ударные адиабаты для металлов обнаружены и исследованы, например, в работах [181; 182]. Проблемы, вызванные наличием точек перегиба на ударной адиабате и связанные с неединственностью представления автомодельных решений и их устойчивостью, исследовались в серии работ [3;41 43;67].

Неединственность решений задачи о распаде разрыва для гиперболической модели при численном расчете приводит к тому, что решение начинает зависеть от того, какая разностная схема используется. В работе [153] тестовая задача распада разрыва для невыпуклого уравнения состояния использована для сравнения схем высокого порядка аппроксимации и показано, что имеется два предельных решения - вязкое и дисперсионное.

Примеры неединственности решений задач газовой динамики при использовании невыпуклого баротропного уравнения состояния приведены в [13; 16 18]. Обобщение результатов, полученных Куликовским А.Г. в работе [58] для уравнения Хопфа со сложной нелинейностью, на гиперболическую модель газовой динамики было выполнено в работах [14; 15], что позволило получить условия допустимости ударных волн разрежения в случае

и

уравнения состояния с невыпуклой изэнтропой, когда структура разрыва определяется дисперсией при отсутствии диссипации.

Вопросы структурной неустойчивости ударных волн в ионизированных газах исследовались в [141] в случае, когда одной из основных причин неустойчивости является взаимодействие потока за ударной волной со стенками канала. Там же выполнен обширный и актуальный обзор работ по этой проблеме.

Метод, основанный на использовании функции Эванса [138], часто применяется для исследования устойчивости неоднородных решений, являющихся бегущими волнами. Обычно этот метод требует существенной адаптации к каждому ранее не рассматривавшемуся типу задач. Еще до появления этого метода были разработаны другие подходы к исследованию устойчивости сложных неоднородных течений с разрывами (например, детонации в круглой трубе), в том числе в цилиндрических координатах (см. [77 79]).

Разрывные решения естественным образом возникают не только при рассмотрении систем уравнений гиперболического типа, но и при решении задача связанных с существованием подвижных границ, в частности, поверхностей фазового перехода и контактных поверхностей в пористых средах. Специфическая трудность решения задачи о движении поверхности фазового перехода, состоит в том, что граничные условия на этой поверхности напрямую не зависят от кривизны границы, а только от производных по нормали к поверхности от параметров, являющихся решением параболического уравнения и эллиптического уравнения.

В первый раз неустойчивость, которая возникает, если тяжелая жидкость расположена над легкой, была описана в 1883 году Рэлеем [196]. Переход к неустойчивости на поверхности жидкость-пар часто имеет место в геотермальных системах [111; 162;217;219;231]. Теорию устойчивости фильтрационных течений можно классифицировать как часть классической теории гидродинамической устойчивости [200]. К тому же, в некоторых случаях задачи фильтрации допускают обобщения, которые делают их достаточно сложными. Так, например, происходит в случае химического взаимодействия потока с матрицей проницаемой пористой среды. Тео-

рия устойчивости фильтрационных течений имеет многочисленные приложения в нефтедобывающей и химической промышленности, в разработке нетрадиционных и возобновляемых источников энергии, экологии и т.д. [136;200;229;230]. Наиболее известными и востребованными в промышленности являются задачи устойчивости: фронта вытеснения нефти из пласта, фильтрационного горения, течений с фазовыми переходами и химическими реакциями в геотермальных резервуарах и месторождениях углеводородов, движения грунтовых вод, затвердевания, плавления и испарения компонент в пористой среде и т.д. Остановимся детально на проблемах, непосредственно связанных с задачами, рассмотренными в диссертации.

Для промышленного использования такого источника возобновляемой энергии, как геотермальные системы, требуется эффективная передача глубинного тепла Земли к поверхности. Наиболее действенным механизмом является конвективный перенос тепловой энергии [146; 228]. Однако натурные исследования показали, что в некоторых случаях (Лардерелло в Италии, Гейзеры в Калифорнии, США, Матсукава в Японии) термодинамические условия соответствуют существованию воды над паром и не возникает конвективного переноса, хотя в классической гидродинамике физическая конфигурация, где более тяжелая жидкость находится над более легкой, является неустойчивой. Были сделаны попытки объяснить это явление [195; 203]. Впервые математическое описание устойчивости границы раздела вода-пар, когда слой воды располагается над слоем пара, было представлено в работе [203] и найдено критическое значение проницаемости, равное 0.04 миллидарси. Однако полученный результат не дал исчерпывающего объяснения, поскольку для большинства геотермальных систем с устойчивым расположением воды на паром проницаемость значительно выше. Новая математическую модель явления, которая учитывает фильтрацию воды и пара с движением фаз на границе вода-пар для невозмущенного состояния, была предложена в [89; 220], тогда как в работе [203] предполагается неподвижность фаз в базовом состоянии. Было показано, что наличие невозмущенного течения повышает устойчивость рассматриваемой конфигурации и увеличивает критическое значение проницаемости

на два порядка. Тем самым дано исчерпывающее объяснение существования геотермальных систем с расположением слоя воды над слоем пара.

В [32; 34; 35; ЗТ; Т5; 221; 222] проведено детальное исследование характера возникновения неустойчивости для обобщенной модели. Проанализированы возможные переходы к неустойчивости вертикального течения, когда дестабилизируется бесконечно длинное возмущение (с нулевым волновым числом), возмущение с конечным волновым числом и возмущение с бесконечным волновым числом. Отметим, что в работе [203] описан только переход к неустойчивости, когда первым дестабилизируется волновое возмущение с конечным волновым числом. Для случая дестабилизации возмущения с нулевым волновым числом, эволюция узкой полосы слабонелинейных волн вблизи порога неустойчивости описывается вещественным диффузионным уравнением Колмогорова-Петровского-Писку нова (КПП) с невырожденной квадратичной нелинейностью в случае общего положения [220; 221]. В работах [37; 222] показано, что переход к неустойчивости в этом случае сопровождается бифуркацией типа точки поворота, когда при значении параметров, соответствующему порогу неустойчивости, происходит слияние двух корней трансцендентного уравнения, определяющего положение поверхности фазового перехода. В закритическом режиме эта поверхность исчезает, в докритическом - имеют место две различных поверхности фазового перехода, находящиеся вблизи друг друга в малой окрестности (в пространстве физических параметров) порога неустойчиво-

В [75] показано, что теряющее устойчивость возмущение с бесконечным волновым числом при учете сжимаемости пара переходит в волну с конечным волновым числом. В работах [34;35] анализируется устойчивость фронта фазового перехода в геотермальной системе при учете конвективного потока тепла. Эти результаты получили развитие в работах других исследователей [170; 171]. Так, в работе [170] построены бифуркационные диаграммы плоских фронтов фазового перехода и анализируется их спектральная устойчивость. Следует также отметить исследования механизмов неустойчивости фронтов, не связанных с воздействием гравитационных сил [135; 140].

Подходы к исследованию разрывных решений для фильтрационных течений с фазовыми переходами обсуждались и были сформулированы в работах [72], [54] и [55]. Подробный литературный обзор на эту тему можно найти в [5] и [6], там же представлены результаты большого цикла работа автора (Афанасьева A.A.) по нестационарным задачам совместной фильтрации воды и пара с учетом тепловых эффектов и фазовых переходов, включая исследование устойчивости таких переходов и решение задачи о распаде произвольного разрыва. Уравнение диффузии для смеси воздуха с парами воды при наличии фронта испарения является частным случаем задачи стефановского типа, которая исследована в [80; 81; 83].

Функционирование таких природно-технологических систем как шахты, карьеры, автомобильные и железнодорожные тоннели и другие подземные сооружения, которые контактируют с природным массивом, сопровождается нестационарным тепломассообменом между сооружением и окружающими горными породами [4]. Искусственная вентиляция сооружения позволяет поддерживать определенный микроклимат, необходимый для эксплуатации. Вентиляция сопровождается испарением с кровли сооружения, а вода из водоносных горизонтов, расположенных над горными выработками, двигается вниз под действием гравитационных сил или давления в водоносном горизонте. В зависимости от условий, вода может поступать в подземные сооружения, как в жидком, так и в парообразном состоянии. В последнем случае в породах образуется область, насыщенная смесью пара и воздуха и расположенная ниже водонасыщенной области. Возникающая при этом поверхность испарения, разделяющая эти две области, может быть как устойчивой, так и неустойчивой. В работе [33] , была предложена математическая модель процесса и методом нормальных мод была решена задача об устойчивости вертикального течения с испарением на поверхности раздела.

Случаи локализованных конечных возмущений основного течения, которые требуют использования численных методов и наряду с изучением физических эффектов позволяют определить границы применимости результатов работы [33] для случая локализованных возмущений с конечной амплитудой, послужили для данной работы отправной точкой в исследо-

вании устойчивости поверхности фазового перехода и разработки методов численного моделирования.

Актуальность темы диссертации. В настоящее время актуально исследование моделей, описывающих сложные физические процессы, протекающие в различного рода сплошных средах (упруго-пластические, сыпучие среды, разреженные газы, среды с протекающими реакциями, и т.д.). Для многих сред такого рода в терминах уравнений с частными производными построены модели, описывающие их свойства. Однако эти уравнения часто настолько сложны, что исследование их возможно только при помощи численного моделирования. Поэтому актуально развитие теории уравнений в частных производных, позволяющей доказать корректность поставленных задач, а также свести исходные задачи к более простым, для которых возможно получить аналитические результаты. Эта редукция может быть проведена на основе различных принципов и служит необходимым промежуточным шагом для анализа полных моделей, поскольку позволяет сделать выводы о фундаментальных свойствах решения полной задачи.

Разрывы (ударные волны и фронты фазовых превращений) хорошо изучены в сравнительно просто описываемых средах, таких как газ, жидкость, и в некоторых простейших вариантах упругих сред. В то же время практические потребности делают актуальной проблему изучения сильных разрывов, их формирования и распространения в существенно более сложных системах, таких как упругопластические среды, сыпучие среды, жидкие кристаллы и многие другие. Еще одной важной проблемой является исследование устойчивости решений.

В широком классе численных методов, являющихся развитием метода Годунова, используется решение задачи о распаде разрыва. Эта задача во многих случаях решается для редуцированной системы уравнений, например, в акустическом приближении. Решение может иметь множественную неединственность, если ударная адиабата имеет две или более точки перегиба. Вопрос об устранении этой неединственности требует выхода за рамки гиперболических уравнений и использования усложненных уравнений с целью изучения структуры разрывов и их устойчивости. Проблема

исследования устойчивости в случаях, представляющих практический интерес, как правило, связана с решением очень сложных систем уравнений. В связи с этим, на первом этапе, важную роль приобретает развитие и применение асимптотических методов и изучение решений редуцированных систем уравнений, которые могут упростить разработку численных методов решения и обеспечить их верификацию.

Актуальность рассматриваемой проблемы в части исследования устойчивости поверхностей фазового перехода обусловлена наличием природных и техногенных процессов, математическое описание которых основано на теории фильтрации, приводящих к формулировкам задач об устойчивости течений в пористых средах. Вопрос об устойчивости в таких процессах является фундаментальным: от него зависит возможность реализации того или иного процесса. В частности, устойчивостью фронта вытеснения определяются возможность и эффективность нефтедобычи; неустойчивость в геотермальных системах приводит к формированию конвективного переноса энергии и повышению эффективности извлечения тепла Земли; засоление почв, грунтов и горных пород возникает из-за устойчивости слоя более соленой и тяжелой жидкости над слоем менее соленой и более легкой и т.д.

Исследование устойчивости помимо важности для приложений представляет интерес с методической точки зрения, поскольку более простое уравнение импульсов (по сравнению с классической гидродинамикой) позволяет получить точные решения и исследовать нелинейную стадию развития возмущений аналитическими методами.

Исследование перечисленных проблем потребовало усовершенствования и развития методов изучения многомасштабных процессов в сплошных средах, в которых содержатся нелинейные волны, в том числе фронты резкого изменения параметров, анализа стационарных и нестационарных течений сплошной среды, содержащих новые типы разрывов, выявления общих закономерностей этих течений, включая проблемы существования и единственности решений, а также влияния процессов внутри структуры разрывов на решение в целом, исследования общих вопросов устойчивости течений в пористой среде при наличии фазового перехода.

Ключевые результаты диссертации опубликованы в журналах, для которых актуальность работы является необходимым условием публикации. Это ведущие российские журналы - «Доклады Академии наук», «Механика жидкости и газа», «Журнал вычислительной математики и математической физики», «Труды Математического института имени В.А. Стеклова», «Журнал экспериментальной и теоретической физики», а также зарубежные журналы категории Q1 («Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation», «Applied Mathematics and Computation», «International Journal of Heat and Mass Transfer», «Mathematics and Mechanics of Solids», «Eur. Phys. J. Plus», «Acta Mechanica»).

Об актуальности темы свидетельствует также то, что все представленные в диссертации результаты были получены при выполнении проектов, поддержанных грантами РФФИ и РИФ, а именно: проект РИФ № 20-11-20141 «Эволюционные задачи механики»; проект РФФИ 20-01-00071 А «Длинные нелинейные волны, разрывы и их структура в упругих и упру-гопластических средах»; проект РФФИ 18-29-10020 «Динамика течения жидкости по податливым упругим трубам: приложение к биологическим системам»; проект РФФИ 17-01-00180. «Динамика и устойчивость течений со спонтанно излучающими ударными волнами»; проект РИФ 16-11-10195 «Устойчивость фильтрационных течений»; проект РИФ 16-19-00188 «Математические модели и методы обеспечения комплексной промышленной безопасности при транспортировке углеводородов трубопроводным транспортом»; проект РФФИ 14-01-00466 А. «Динамика и устойчивость течений с поверхностями раздела»; проект РФФИ 14-03-00420 А. «Модель и метод расчета состава химически неравновесной смеси продуктов горения и взрыва для ускорения многомерных газодинамических расчетов реагирующих потоков»; проект РФФИ 13-01-12047 офи-м. «Создание математического обеспечения и алгоритмов для расчета многомасштабных динамических процессов в природных системах».

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Шаргатов Владимир Анатольевич, 2021 год

Список литературы

1. Алимов М.М. Нестационарное движение пузыря в лотке Хеле-Шоу // Изв. РАН. МЖГ. - 2016. - Т. 51, № 2. - С. 129-141.

2. Алимов М.М. Точное решение задачи Маскета-Лейбензона для растущего эллиптического пузыря // Изв. РАН. МЖГ. — 2016. — Т. 51, ..V" 5. - С. 660-671.

3. Анисимов С.И., Конюхов A.B., Лихачев А.П. О гидродинамической устойчивости плоских ударных волн в средах с произвольным уравнением состояния // Вестник Нижегородского университет,а им. И.И. Лобачевского. - 2011. - № 4-3. - С. 631-633.

4. Арене В.Ж., Дмитриев А.П., Дядъкин Ю.Д. Теплофизические аспекты освоения ресурсов недр. — Л.: Недра, 1988. — 334 с.

5. Афанасьев A.A. Постановка и решение нестационарных задач совместной фильтрации воды и пара с учётом тепловых эффектов и фазовых переходов : дис. кандидата физ.-мат. наук: 01.02.05. — М., 2008.

_ 154 с.

6. Афанасьев A.A. Термогидродинамическое исследование фильтрации бинарной смеси в широком диапазоне давлений и температур : дис. д-ра. физ.-мат. наук: 01.02.05. — М., 2008. — 293 с.

_ 2011. - Т. 75, № 2. - С. 271-302.

7. Бахвалов И.С., Эглит М.Э. Эффективные уравнения с дисперсией для распространения волн в периодических средах // Доклады, РАН. _ 2000. - Т. 370, № 1. — С. 1-4.

8. Бахолдин И. Б. Структуры эволюционных скачков в обратимых системах // ПММ. - 1999. - Т. 65, № 1. - С. 52-62.

9. Бахолдин, И.Б. Скачки, описываемые обобщенными уравнениями Кортевега-де Вриза // Изв. РАН. МЖГ. - 1999. С. 95-109.

10. Бахолдин И. Б. Бездиссипативные разрывы в механике сплошной среды. — М: Физматлит, 2004. — 318 с.

11. Бахолдин И. Б. Стационарные и нестационарные структуры разрывов для моделей, описываемых обобщенным уравнением Кортевега-Бюргерса // //Л/Л/. - 2011. - Т. 75, № 2. - С. 271-302.

12. Бахолдин И. Б. Теория и классификация обратимых структур разрывов в моделях гидродинамического типа // ПММ. — 2014. — Т. 78, ..V« 6. - С. 833-852.

13. Бондаренко Ю.А., Софронов Б.Н., Копышев В.П., Хрусталев В.В. Влияние вязкости, дисперсии и кинетики фазовых переходов на параметры ударных волн разрежения // Труды, РФЯЦ-ВНИИЭФ. — 2005. _ т. 9. - С. 6-29.

14. Бондаренко Ю.А., Софронов В.Н., Дудник Ю.Е. Влияние вязкости и дисперсии на параметры ударных волн разрежения для невыпуклого уравнения состояния общего вида // Вопросы атом,ной науки, и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов _ 2013. Л" 1. С. 3-17.

15. Бондаренко Ю.А., Софронов В.Н., Дудник Ю.Е. Влияние вязкости и дисперсии на параметры ударных волн разрежения для невыпуклого уравнения состояния общего вида // Труды, РФЯЦ-ВНИИЭФ. — 2015. _ т. 20. - С. 56-69.

16. Бондаренко Ю.А., Софронов В.И., Копышев В.П., Хрусталев В.В. Неединственность ударных волн разрежения: влияние вязкости и дисперсии // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. — 2003. — № 4. — С. 3-12.

17. Бондаренко Ю.А., Софронов В.И., Копышев В.П., Хрусталев В.В. Неединственность ударных волн разрежения: роль межфазной кинетики // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. — 2004. Л'° 1. С. 28-46.

18. Бондаренко Ю.А. Влияние вязкости и дисперсии на допустимость скачков разрежения, возникающих на фронте энерговыделения, бегущего с заданной массовой скорость // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. - 2009. - № 2. - С. 3-20.

19. Введенская И. Д. Пример неединственности обобщенного решения квазилинейной системы уравнений // Докл. АН СССР. — 1961. — Т. 136, № 3. - С. 532-533.

20. Вукалович М.П. Термодинамические свойства воды и водяного пара. — М: Машгиз, 1955.

21. Гвоздовская Н.И., Куликовский А.Г. Квазипоперечные ударные волны в упругих средах с внутренней структурой // Прикл. механ. и техн. физ. - 1999. - Т. 40, № 2. - С. 174-180.

22. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // УМЕ. - 1959. - Т. 14, № 2. - С. 87-158.

23. Годунов С.К., Роменский Е.И.. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. — 2 изд. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — С. 267.

24. Годунов С.К. О неединственности "размазывания" разрывов в решениях квазилинейных систем // Докл. АН СССР. — 1961. — Т. 136, Л" 2. - С. 272 273.

25. Годунов С. К. О понятии обобщенного решения // Докл. АН СССР. — i960. - Т. 134, № 6. - С. 1279-1282.

26. Горкунов C.B., Ильичев А.Т., Шаргатов В.А. Критическая эволюция конечных возмущений поверхности испарения воды в пористых средах // Изв. РАН. МЖГ. - 2020. - С. 61-69.

27. Губин С.А., Кривошеее A.B., Шаргатов В.А. О существовании стационарного фронта испарения воды в горизонтально-протяженной низ-

копроницаемой области // Изв. РАН. МЖГ. — 2015. — № 2. — С. 70 80.

28. Губернов В. В. Исследование диффузионно-тепловой устойчивости волн горения в моделях перемешанного пламени с двухступенчатым цепным механизмом реакции: дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.04.02. — М.,

2013. - 298 с.

29. Гюнтер И.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. — М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит, 1953. — 376 с.

30. Дъячемко В.Ф. О задаче Коши для квазилинейных систем // Докл. АН СССР. - 1961. - Т. 136, № 1. — С. 16-17.

31. Иткулова Ю.А., Абрамова O.A., Гумеров H.A., Ахатов И.Ш. Моделирование динамики пузырьков в трехмерных потенциальных течениях на гетерогенных вычислительных системах быстрым методом мул ы'и полей и методом граничных элементов // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии —

2014. - Т. 15, № 2. - С. 239-257.

32. Ильичев А.Т., Цыпкин P.P. Слабонелинейная теория неустойчивости длинноволновых возмущений // Доклады, РАН. — 2007. — Т. 416, № 2. - С. 192-194.

33. Ильичев А. Т., Цыпкин, P.P. Неустойчивость Релея-Тейлора поверхности раздела в несмачиваемой пористой среде // Изв. РАН. МЖГ. — 2007. - № 1. - С. 96-104.

34. Ильичев А. Т., Цыпкин, Г.Г . Влияние конвективного переноса энергии на устойчивость слоя воды над слоем пара в геотермальных системах // Доклады, РАН. - 2011. - Т. 437, № 4. - С. 480-484.

35. Ильичев А. Т., Цыпкин, P.P.. Устойчивость поверхности фазового перехода вода-пар в геотермальных системах // Изв. РАН. МЖГ. — 2012. - № 4. - С. 82-92.

36. Ильичев А.Т., Чугайнова А.П. Теория спектральной устойчивости гетероклинических решений уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса с произвольным потенциалом // Тр. МИАН. — 2016. — Т. 50, № 295.

- С. 163-173.

37. Ильичев А.Т., Цыпкин Г.Г. Неустойчивости однородных фильтрационных течений с фазовым переходом // ЖЭТФ. — 2008. — № 134. — С. 815-830.

38. Кадомцев Б.Б., Петпвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // Докл. АН СССР. — 1970.

- Т. 192, № 4. - С. 753-756.

39. Кадомцев Б.Б., Карим,ан В.И. Нелинейные волны // УФН. — 1971.

- Т. 103, № 2. - С. 193-231.

40. Колмогоров А.И., Петровский И.Г., Пискунов И.С. Исследование уравнений диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ. Математика и механика. — 1937. Т. 1. Л'° 6. С. 1-26.

41. Конюхов А.В, Лихачев А.П., Фортов В.Е. и др. Устойчивость и неоднозначное представление ударноволнового разрыва в термодинамически неидеальных средах // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2009. — Т. 90, Л'° 1. С. 28-34.

42. Конюхов А.В, Лихачев А.П., Опарин A.M. и др. Численное исследование неустойчивости ударных волн в термодинамически неидеальных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики _ 2004. - Т. 125, № 4. - С. 927-937.

43. Конюхов А.В, Лихачев А.П., Фортов В.Е. и др. О нейтральной устойчивости ударной волны в реальных средах // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики — 2009. — Т. 90, Л" 1. - С. 21-27.

44. Крутицкий П.А. Смешанная задача для уравнения Лапласа в трехмерной многосвязной области // Дифференц. уравнения. — 199. — Т. 35, № 9. - С. 1179-1186.

45. Крутицкий П.А. Метод граничных интегральных уравнений в смешанной задаче для уравнения Лапласа с произвольным разбиением границы // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 1. — С. 73-82.

46. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И., Чугайнова А.П. Математические методы изучения разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений // Лекц. курсы НОЦ. — 2010. — Т. 16. — С. 3-120.

47. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — 2 изд. — М: Физматлит, 2012. — 656 с.

48. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П., Шаргатов В.А. Единственность автомодельных решений задачи о распаде произвольного разрыва уравнения Хопфа со сложной нелинейностью // Журнал, вычислительной математики и математической физики — 2016. — Т. 56, Л" 7. - С. 1363-1370.

49. Куликовский, А.Г., Чугайнова А.П. Автомодельные асимптотики, описывающие нелинейные волны в упругих средах с дисперсией и диссипацией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2010. — Т. 50, № 12. - С. 2261-2274.

50. Куликовский, А.Г., Реутов В.А. Распространение нелинейных волн над полубесконечными подводными впадинами и хребтами // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1980. - С. 53-61.

51. Куликовский, А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде // Прикладная математика и механика. — 1982. Т. 46. № 5. - С. 831-840.

52. Куликовский А.Г. Чугайнова А.П. Моделирование влияния мелкомасштабных дисперсионных процессов в сплошной среде на формирование крупномасштабных явлений // Журнал, вычислительной математики и математической физики. — 2004. — Т. 44, № 6. — С. 11191126.

53. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Классические и неклассические разрывы в решениях уравнений нелинейной теории упругости // УМН. - 2008. - Т. 63, № 2. - С. 85-172.

54. Куликовский, А.Г. О фронтах испарения и конденсации в пористых средах // Изв. РАН. МЖГ. - 2002. - № 5. - С. 85-92.

55. Куликовский, А.Г. О фазовых переходах при фильтрации в теплопроводном скелете // Изв. РАН. МЖГ. — 2004. — № 3. — С. 85-90.

56. Куликовский, А.Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами: Волны рекомбинации // Прикладная математика и механика. — 1968. — Т. 32, № 6. — С. 1125-1131.

57. Куликовский, А.Г. О возможном влиянии колебаний в структуре разрыва на множество допустимых разрывов // Докл. АН СССР. — 1984. - Т. 275, № 6. - С. 268-303.

58. Куликовский, А.Г. Сильные разрывы в течениях сплошных сред и их структура // Тр. МИ АН СССР. - 1988. - Т. 182, № 6. - С. 261-291.

59. Куликовский, А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. — М: Моск. Лицей, 1998. — 412 с.

60. Куликовский, А.Г., Чугайнова Л.Я.. О стационарной структуре ударных волн в упругих средах и диэлектриках // Журнал, экспериментальной и теоретической физики. — 2010. — Т. 137, № 4. — С. 973-985.

61. Куликовский, А.Г. Об уравнениях, описывающих распространение нелинейных квазипоперечных волн в слабоанизотропном упругом те-

ле // Прикладная математика и механика. — 1986. — Т. 50, № 4. — С. 597-604.

62. Куликовский А.Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами: Волны рекомбинации // Прикладная математика и механика. — 1968. — Т. 32, № 6. — С. 1125-1131.

63. Куликовский А.Г., Ильичев А. Т., Чугайнова А.П., Шаргатов В.А. Об устойчивости структуры нейтрально устойчивой ударной волны в газе и о спонтанном излучении возмущений. // ЖЭТФ. — 2020. — Т. 158, № 3. - С. 544-560.

64. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. — М: Наука, 1986. — С. 736.

65. Левин В.А., Марков В.В., Журавская Т.А., Осинкин С.Ф. Нелинейные волновые процессы при инициировании и распространении газовой детонации // Тр. МИАН. — 2005. — Т. 251. — С. 200-214.

66. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. — М.: Янус, 2005. — 521 с.

67. Лихачев А.П.. Механизм возникновения ячеистой структуры ударной волны в области ее неоднозначного представления // Теплофизика высоких температур. — 2012. — Т. 50, № 4. — С. 544-549.

68. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. — Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния РАН, 2000. — 419 с.

69. Ляпидевский В.Ю. О непрерывной зависимости от начальных условий обобщенных решений системы уравнений газовой динамики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1974. — Т. 14, № 4. — С. 982-991.

70. Ляпидевский В.Ю. Смешанная задача для неоднородной квазилинейной гиперболической системы уравнений // Матем. сб. — 1983. — Т. 120, № 2. - С. 207-215.

71. Ляпидевский В.Ю. О единственности обобщенного решения системы уравнений газовой динамики // Докл. АН СССР. — 1974. — Т. 215, № 3. - С. 535-538.

72. Максимов А.М., Цыпкин Г.Г. К постановке задач с движущимися границами фазовых переходов в гидротермальных пластах // ПМТФ. — 1991. _ до 5_ _ С 347 300.

73. Никольский Д.Н. Эволюция границы раздела различных жидкостей в неоднородных слоях // Ж. вычисл. машем, и машем, физ. — 2010.

- Т. 50, № 7. - С. 1269-1275.

74. Никольский Д.Н. Математическое моделирование процесса эволюции границы раздела различных жидкостей в кусочно-неоднородных слоях сложной геологической структуры // Ж. вычисл. машем, и машем. физ. - 2013. - Т. 53, № 6. - С. 1041-1048.

75. Одинцова В.Е. Переход к неустойчивости поверхности раздела фаз в пористой среде в изотермическом приближении // Нзв. РАН. МЖГ. _ 2009. Л'" 1. С. 123-133.

76. Олейник О. А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения // УМН. — 1959. — Т. 14, Л" 2. - С. 165-170.

77. Пухначев В.В. Об устойчивости детонации Чепмена-Жуге // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 149, № 4. - С. 798-801.

78. Пухначе в В. В. Об устойчивости детонации Чепмена-Жуге / / ПМТФ. _ 1963. Л" 6. С. 66-73.

79. Пухначе в В.В. Об устойчивости детонации Чепмена-Жуге : дис. кандидата. физ.-мат. наук: 01.00.00. — Новосибирск, 1963. — 83 с.

80. Пухначе в В. В. Возникновение особенности в решении задачи стефа-новского типа // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т. 16, № 3.

- С. 492-500.

81. Пухначев В. В. Многомерная автомодельная задача Стефана в линеаризованной постановке // Дифференциальные уравнения. — 1985. — Т. 21, № 9. - С. 1641-1642.

82. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 200. _ 560 с.

83. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. — Рига: Звайгзне, 1967. — 457 с.

84. Рождественский Б.Л. Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — 2 изд. — М: Наука, 1978. _ с. 687.

85. Свешникова Е.И. Простые волны в нелинейно упругой среде // Прикладная математика и механика. — 1982. — Т. 46, № 4. — С. 642-646.

86. Седов Л.П., Коробейников В.П., Марков В.В. Теория распространения взрывных волн // Тр. МИАН СССР. — 1986. — Т. 175. — С. 178-216.

87. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 2. — М: Наука, 1994. — 558 с.

88. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Том 2. - М.: Мир, 1991. - 552 с.

89. Цыпкин P.P., Ильичев А.Т. Устойчивость стационарного фронта фазовых переходов вода-пар в гидротермальных системах // Доклады, РАН. - 2001. - Т. 378. - С. 197-200.

90. Чугайнова А. П. Классические и неклассические разрывы и их структуры в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией: дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04. — М., 2007. — 193 с.

91. Чугайнова А.П. Особые разрывы в нелинейноупругих средах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2017. — Т. 57, № 6. — С. 1023-1032.

92. Чугайнова А.П. Асимптотическое поведение нелинейных волн в упругих средах с дисперсией и диссипацией // Теоретическая и математическая физика. - 2006. - Т. 147, № 2. - С. 240-256.

93. Чугайнова А.П. Автомодельные асимптотики волновых задач и структуры неклассических разрывов в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией // Прикладная математика и механика. — 2007. - Т. 71, № 5. - С. 775-787.

94. Чугайнова А.П. Нестационарные решения обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса // Тр. МИАН. — 2013. — Т. 281. — С. 215-223.

95. Уизем, Дж.Б. Линейные и нелинейные волны. — М: Мир, 1977. — 622 с.

96. Ablowitz M.J. Nonlinear Dispersive Waves. Asymptotic Analysis and Solitons. — Cambridge: Cambridge University Press, 2011.

97. Ablowitz M.J Zeppetella A . Explicit solutions of Fishers equation for a special wave speed // Bull Math Biol. - 1979. - Vol. 41. — P. 835-840.

98. Alexander J., Gardner R., Jones С. K. R.T. A topological invariant arising in the stability analysis of the travelling waves // J. Reine Angew. Math. - 1990. - Vol. 410. - P. 167-212.

99. Alexander J., Jones С. K. R.T. Existence and stability of asymptotic oscillatory triple pulses // Z. Angew. Math. Phys. — 1993. — Vol. 44. — P. 189-200.

100. Alexander J., Jones С. K. R.T. Existence and stability of asymptotic oscillatory double pulses // J. Reine Angew. Math. — 1994. — Vol. 446. _ p. 49 79.

101. Alexander J.C., Sachs R. Linear instability of solitary waves of a Boussinesq-type equation: A computer asisted computation // Nonlinear World. - 1995. - Vol. 2, no. 4. - P. 471-507.

102. Allen L.A., Bridges T.J. Numerical exterior algebra and the compound matrix method // Numerische Mathematik. — 2002. — Vol. 92. — P. 197-232.

103. Amar M.B, Hakim V., Mashaal M., Couder Y. Self-dilating viscous fingers in wedge-shaped Hele-Shaw cells // Phys. Fluids A. — 1991. — Vol. 3. — P. 2039-2042.

104. Anderson W. Wettability literature survey-part 2: Wettability Measurement. //J. Pet. Tech. - 1986. - Vol. 38. - P. 1246-1261.

105. Balmforth N.J., Craster R.V., Malham S. J.A. Unsteady fronts in an autocatalytic systems // Proc. R. Soc. Lond. A. — 1999. — Vol. 455. — p. 1401-1433.

106. Bear J. Dynamics of fluids in porous media. — New York: Dover Publications, 1988. — 764 pp.

107. Berestycki J., Brunei E., Derrida B. A new approach to computing the asymptotics of the position of Fisher-KPP fronts // http://arxiv.org/abs/1802. 032622018.

108. Bertozzi A.L. Munch A., Shearer M. Undercompressive shocks in thin film flows // Physica D. - 1999. - Vol. 134, no. 2. - P. 431-464.

109. Bertozzi AL, Munch A, Shearer M, Zumbrun K. Stability of compressive and undercompressive thin film travelling waves // European Journal of Applied Mathematics. - 2001. - Vol. 12, no. 3. - P. 253-291.

110. Bland D.R. Nonlinear Dinamic Elasticity. — Toronto: Blaisdell, Waltham, Mass., 1969. - 93 c.

111. Bodvarsson G., Pruess. K., Lippmann M.. Modeling of geothermal systems // J. Pet.Technol. - 1986. - Vol. 38, no. 9. - P. 1007-1021.

112. Bona J.L., Schonbeck M.E. Travelling wave solutions to the Korteweg -de Vries-Burgers equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. — 1985. — Vol. 101 A. - P. 207 - 226.

113. Bramson M. Convergence of solutions of the Kolmogorov equation to traveling waves. — R.I.: American Mathematical Society Providence, 1983.

114. Brebbia C.A., Telles J.C.F., Wrobel W.C.. Boundary Element Techniques: Theory and Applications in Engineering. — Berlin: Springer-Verlag, 1984. - 27-122 pp.

115. Brevdo L. Global and absolute instabilities of spatially developing open flows and media with algebraically decaying tails // Proc R Soc Lond. — 2003. - Vol. A-459. - P. 1403-1425.

116. Bridges T.J., Derks G. The symplectic evans matrix, and the instability of solitary waves and fronts with symmetry // Arch. Rat. Mech. Anal. — 2001. - Vol. 156. - P. 1-87.

117. Brunei E. Some aspects of the fisher-KPP equation and the branching Brownian motion. Thesis of HDR Dissertation . — Sorbonne Universiries, 2016.

118. Buckingham R., Shearer M.. Bertozzi A. Thin film traveling waves and the Navier slip condition // SI AM J. APPL. MATH. - 2003. - Vol. 63, no. 2. - P. 722-744.

119. Caldwell J. Solutions of potential problems using the reduction to Fredholm integral equations // Journal of Applied Physics. — 1980. — Vol. 119_ _ P 5583-5587.

120. Chugainova A.P., IlTchev A.T., Kulikovskii A.G., Shargatov V.A. Problem of arbitrary discontinuity disintegration for the generalized Hopf equation: Selection conditions for a unique solution // IMA Journal of Applied Mathematics (Institute of Mathematics and Its Applications). — 2017. - Vol. 82, no. 3. - P. 496-525.

121. Chugainova A.P., Shargatov V.A. Stability of nonstationary solutions of the generalized KdV-Burgers equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2015. — Vol. 55, no. 2. — P. 251-263.

122. Chugainova A.P., Shargatov V.A. Stability of discontinuity structures described by a generalized KdV-Burgers equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2016. — Vol. 56, no. 2. — P. 263-277.

123. Chugainova A.P., Shargatov V.A. Traveling waves and undercompressive shocks in solutions of the generalized Korteweg-de Vries-Burgers equation with a time-dependent dissipation coefficient distribution. // Eur. Phys. J. Plus. - 2020. - Vol. 135. - P. 1-18.

124. Chugainova A.P., IVichev A.T., Shargatov V.A. Stability of shock wave structures in nonlinear elastic media // Mathematics and Mechanics of Solids. - 2019. - Vol. 24, no. 11. - P. 3456-3471.

125. Chugainova A.P., Shargatov V.A. Analytical description of the structure of special discontinuities described by a generalized KdV-Burgers equation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, - 2019. - Vol. 66. - P. 129-146.

126. Chugainova A.P., Shargatov V.A. Study of nonstationary solutions of a generalized Korteweg-de Vries-Burgers equation // AIP Conf. Proc. — 2019. - Vol. 2164, no. 050002. - P. 1-8.

127. Constanda C. On the solution of the dirichlet problem for the two-dimensional laplace equation // Proceedings of the american mathematical society. - 1993. - Vol. 119, no. 3. - P. 877-884.

128. Constantin P., Dupont T.F., Goldstein R.E., Kadanoff L.P., Shelley M.. , Zhou S.M. Droplet breakup in a model of the Hele-Shaw cell // Phys. lire. E. - 1993. - Vol. 47. - P. 4169-4181.

129. Congy T., El G.A., Hoefer M.A., Shearer M. Dispersive Riemann problem for the Benjamin-Bona-Mahony equation // arXiv:012.14 579vl. — 2020.

130. Cristini V., Lowengrub J. Three-dimensional crystal growth. II: nonlinear simulation and control of the Mullins-Sekerka instability // J. Cryst. Growth. - 2004. - Vol. 266. - P. 552-567.

131. Dallaston M.C., McCue S.W. Buble extiction in hele-Shaw flow with surface tension and kinetic undercooling régularisation // Nonlinearity. _ 2013. - Vol. 26. - P. 1639-1665.

132. Dallaston M.C., McCue S.W. An accurate numerical scheme for the contraction of a bubble in a Hele-Shaw cell // ANZIAM Journal. — 2013. _ Vol. 54. _ p. 309-326.

133. Davey A. On the removal of the singularities from the riccati method // J. Comp. Phys. - 1979. - Vol. 30. - P. 137-144.

134. Dupont T.F., Goldstein R.E., Kadanoff L.P., Zhou S.M. Finite-time singularity formation in Hele-Shaw systems // Phys. Rev. E. — 1993. _ Vol. 47. - P. 4182-4196.

135. Eastwood J.E., Spanos T.J.T. Stability of a stationary steam-water front in a porous medium // Transport Porous Media,. — 1994. — Vol. 14. — P. 1-21.

136. Egorov A.G., Dautov R.Z., Neiher J.L., Sheshukov A. Y. Stability analysis of gravity-driven infiltration flow // Wat. Resour. Res. — 2003. — Vol. 39, no. 9. - P. SBH121-SBH1214.

137. El G.A., Hoefer M.A., Shearer M. Dispersive and diffusive-dispersive shock waves for non-convex conservation laws / / SI AM Review. — 2015. _ Vol. 59. - P. 3-61.

138. Evans J. W. Nerve axon equations: Iii stability of the nerve impulses // Indiana Univ. Math. J. - 1972. - Vol. 22. - P. 577-593.

139. Evans J. W. Nerve axon equations: Iv the stable and unstable impulse // Indiana Univ. Math. J. - 1975. - Vol. 24. - P. 1169-1190.

140. Fitzgerald S.D., Woods A. W. Stability of a stationary steam-water front in a porous medium // Nature. — 1994. — Vol. 367. — P. 450-453.

141. Fomin V.M., Yakovlev V.I. Primary cause and mechanisms of structural instability of strong shock waves in gases. // Shock Waves. — 2019. — Vol. 29. - P. 365-379.

142. Gardner R. Stability of travelling wave solutions of diffusive predator-prey systems // Tran. Amer. Math. Soc. - 1991. - Vol. 327. - P. 465-524.

143. Gardner R.A., Zumbrun K. The gap lemma and geometric criteria for instability of viscous shock profiles // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1998. — Vol. 51. — P. 797-855.

144. Goldstein R.E., Pesci A. I., Shelley M.. Instabilities and singularities in Hele-Shaw flow // Physics of fluids. - 1998. - Vol. 10. - P. 2701-2723.

145. Grad H., Hu P.N. Unified shock profile in a plasma // Phys. Fluids. — 1967. _ Vol. 10. _ p. 2596.

146. Grant M.A. Geothermal reservoir modeling // Geothermics. — 1983. — Vol. 12, no. 4. - P. 251-263.

147. Gubernov V.V., Kolobov A.V., Polezhaev A.A., Sidhu H.S. Stability of combustion waves in the Zeldovich-Linan model // Combustion and Flame. - 2012. - Vol. 159, no. 3. - P. 1185-1196.

148. Gubernov V., Mercer G., Sidhu H., Weber R.. Evans function stability of combustion waves // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 2003. — Vol. 63 _ P 1259-1275.

149. Gvozdovskaya N.I., A.G. Kulikovskii. Investigation of electromagnetic shock-wave structure in anisotropic ferromagnets with easy axis // Wave Motion, - 1999. - Vol. 29, no. 1. - P. 23-34.

150. Haugen A., Ferno M.A., Mason G. et a,I. Capillary pressure and relative permeability estimated from a single spontaneous imbibition test // J. Petrol. Sci. Eng. - 2014. - Vol. 115. - P. 66-77.

151. Hayes B., Shearer M. Undercompressive shocks and Riemann problems for scalar conservation laws with nonconvex fluxes // Proc. Roy. Soc. — 1999. _ v0i. A129. - P. 733 - 754.

152. Hayes B., Shearer M. A nonconvex scalar conservation law with a trilinear flux // Quart. A'ppl. Math. - 2001. - Vol. 59, no. 4. - P. 615-635.

153. Heuze 0., Jaouen S., Jourdren H. Dissipative issue of high-order shock capturing schemes with nonconvex equation of state // J. of Computational Phys. - 2009. - Vol. 228, no. 3. - P. 833-860.

154. Homsy G.M. Viscous fingering in porous media // Ann. Rev. Fluid Mech. _ 1987. _ Vol. 19. - P. 271-311.

155. Huang Z., Sidhu H.S., Towers I.N., Jovanoski Z., Guhernov V. V. Stability analysis of combustion waves for competitive exothermic reactions using Evans function // Applied mathematical modelling. — 2018. — Vol. 54. — P. 347-360.

156. Humpherys J., Zumbrun K. Efficient numerical stability analysis of detonation waves in ZND // Quarterly of Applied Mathematics. — 2012. _ Vol. 70. - P. 685-703.

157. Iglauer S., Ferno M.A., Shearing P., Blunt M.J. Comparison of residual oil cluster size distribution, morphology and saturation in oil-wet and water-wet sandstone // J. Colloid and Interface Science. — 2012. — Vol. 375. - P. 187-192.

158. IVIchev A.T Chugainova A.P. Spectral stability theory of heteroclinic solutions to the Korteweg-de Vries-Burgers equation with an arbitrary potential // Proc. Steklov Inst. Math. - 2016. - Vol. 295. - P. 148-157.

159. IVichev A.T., Chugainova A.P., Shargatov V.A. Spectral stability of special discontinuities // Doklady Mathematics. — 2015. — Vol. 91, no. 3. - P. 347-351.

160. Il'ichev A.T., Shargatov V.A. Dynamics of water evaporation fronts // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2013. — Vol. 53, no. 9. - P. 1350-1370.

161. Il'ichev A.T., Tsypkin C.C., Pritchard D., C.N. Richardson Instability of the salinity profile during the evaporation of saline groundwater // J. Fluid Mech. - 2008. - Vol. 614. - P. 87-104.

162. Ingebritsen S. E., Sorey M. L. Vapor-dominated zones within hydrothermal systems: evolution and natural state // J. Geophys. Res. _ 1988. _ v0i. 93. _ p. 13635-13655.

163. Jacobs D., McKinney B., Shearer M. Travelling wave solutions of the modified Korteweg-de Vries-Burgers equation // Journ. Diff. Equations. _ 1995. _ Vol. 116. - P. 448-467.

164. Johnson R.S. A non-linear equation incorporating damping and dispersion //J. Fluid Mech. - 1970. - Vol. 42. - P. 49-60.

165. Jonkhout C .J .H. Traveling wave solutions of reaction-diffusion equations in population dynamics. Bachelor thesis. — Mathematical Institute, University of Leiden, 2016.

166. Juanes R., MacMinn C.W. and. Szulczewski M.L The Footprint of the C02 Plume during carbon dioxide storage in saline aquifers: storage efficiency for capillary trapping at the basin scale // Transp. Porous Media. - 2010. - Vol. 82. - P. 19-30.

167. Kapitula T. Existence and stability of singular heteroclinic orbits for the ginzburg-landau equation // Nonlinearity. — 1996. — Vol. 9. — P. 669-685.

168. Kapitula T. Stability criterion for bright solitary waves of the perturbed cubic-quintic schreodinger equations // Physica D. — 1998. — Vol. 116. - P. 95-120.

169. Kapitula T., Sandstede B. Stability of bright solitary wave solutions to perturbed nonlinear schreodinger equations // Physica D. — 1998. — Vol. 124. - P. 58-103.

170. Khan Z., Pritchard D. Liquid-vapour fronts in porous media: multiplicity and stability of front positions // Int. J. Heat and Mass Transfer. — 2013. _ Vol. 61. - P. 1-17.

171. Khan Z., Pritchard D. Anomaly of spontaneous transition to instability of liquid-vapour front in a porous medium // Int. J. Heat and Mass Transfer. _ 2015. - Vol. 84. - P. 448-455.

172. Kudryashov N.A. On exact solutions of families of Fisher equations // Theor. Math. Phys. - 1993. - Vol. 94. - P. 211-218.

173. Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws // Comm. Pure Appl. Math. - 1957. - Vol. 10. - P. 537-566.

174. LeFloch P.G.and Shearer M. Nonclassical Riemann solvers with nucleation // Proc. Roy. Soc. - 2004. - Vol. A134. - P. 961-984.

175. LeFloch P.G.. Hyperbolic systems of conservation laws: The theory of classical and nonclassical shock waves, Lectures in Mathematics. — ETH Zurich: Birkhauser, 2002.

176. Lee H.G., Lowengrub J.S., Goodman J. Modeling pinchoff and reconnection in a Hele-Shaw cell. II. Analysis and simulation in the nonlinear regime // Physics of fluids. — 2002. — Vol. 14. — P. 514-545.

177. Lee H.G., Lowengrub J.S., J. Goodman. Modeling pinchoff and reconnection in a Hele-Shaw cell. I. The models and their calibration // Physics of fluids. - 2002. - Vol. 14. - P. 492-513.

178. Li S., Lowengrub J.S., H. Leo P. A rescaling scheme with application to the long-time simulation of viscous fingering in a Hele-Shaw cell // J. Com/put. Phys. - 2007. - Vol. 225, no. 1. - P. 554-567.

179. Lide D.R. CRC Handbook of Chemistry and Physics 2001-2002. - FL: CRC Press, Boca Raton, 2002.

180. Lippoth F., Prokert G. Well-Posedness for a Moving Boundary Model of an Evaporation Front in a Porous Medium // Journal of Mathematical Fluid Mechanics. - 2019. - Vol. 21, no. 3. - P. 1-40.

181. Lomonosov I. V. Multi-phase equation of state for aluminum // Laser and Particle Beams. — 2007. — Vol. 25, no. 04. —

182. Lomonosov I. V., Tahir N.A. Theoretical investigation of shock wave stability in metals // Applied Physics Letters. — 2008. — Vol. 92, no. 10. - P. 101905.

183. Mantoglou A., A. Papantoniou M. Optimal design of pumping networks in coastal aquifers using sharp interface models // J. Hydrology. — 2008. _ v0i. 36i. _ p. 52-63.

184. McLean J. W., Saffman P.G. Stability of bubbles in a Hele-Shaw cell // Physics of Fluids. - 1987. - Vol. 30, no. 9. - P. 2624-2635.

185. Meng Q., Liu H., Wang J. A critical review on fundamental mechanisms of spontaneous imbibition and the impact of boundary condition, fluid viscosity and wettability // Adv. Geo-energ. Res. — 2017. — Vol. 1. — P. 1-17.

186. Morrow N.R. Wettability and its effect on oil recovery // Petroleum Technology. - 1990. - Vol. 42. - P. 1476-1484.

187. Ng B.S., Reid W.H. An initial value method for eigenvalue problems using compound matrices // J. Comp. Phys. — 1979. — Vol. 30. — P. 125-136.

188. Ng B.S., Reid W.H. The compound matrix method for ordinary differential equations //J. Comp. Phys. - 1985. - Vol. 58. - P. 209-228.

189. Nicodemus R., Grossmann S., M. Holthaus. Variational bound on energy dissipation in plane couette flow // Phys. Rev. E. — 1997. — Vol. 56. — P. 6774-6786.

190. Pego R.L., Weinstein M.I. Eigenvalues, and instabilities of solitary waves // Phil Trans. R. Soc. Lond. - 1992. - Vol. A340. - P. 47-94.

191. Pego R L Smereka P Weinstein M I. Oscillatory instability of traveling waves for a KdV-Burgers equation // J. Physica D. — 1993. — Vol. 67. - P. 961-984.

192. Pelinovsky D.E., Kivshar Y.S., V. Afanasjev V. Internal modes of envelope solitons // Physica D. - 1998. - Vol. 116. - P. 121-142.

193. Pelinovsky D.E., Sheel A. Stability analysis of stationary light transmission in nonlinear photonic structures // J. Nonlin. Sci. — 2003. _ v0i. 13. _ p. 347-396.

194. Pye K., Dickson J.A.D., Schavon N., Coleman M.L., Cox M. Formation of siderite-Mg-calcite-i-iron sulphide concretions in intertidal marsh and sandflat sediments, north Norfolk, England // Sedimentology. — 1990. — Vol. 31. - P. 325-343.

195. Ramesh P.S., Torrance K.E. Stability of boiling in porous media // Int. J. Heat and mass transfer. — 1990. — Vol. 33, no. 9. — P. 1895-1908.

196. Rayleigh L. Investigation of the character of the equilibrium of an incompressible heavy fluid of variable density // Proc. London Math. Soc. _ 1883. _ Vol. 14. - P. 170-177.

197. Rodriguez-Navarro C., Doehne E. Salt weathering: influence of evaporation rate, supersaturation and crystallization pattern // Earth Surf. Process. - 1999. - Vol. 24. - P. 191-209.

198. Ruderman M.. Talipova T., Pelinovskii E. Dispersive and diffusive-dispersive shock waves for non-convex conservation laws // J. Plasma Physics. - 2008. - Vol. 74. - P. 639-656.

199. Saffman P. G. Exact solutons for the growth of fingers from a flat interface between two fluids in a porous medium or Hele-Shaw cell // Quart. Journ. Mech. and Applied Math. - 1959. - Vol. 12. - P. 146-150.

200. Saffman P.G., Taylor G.I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. Roy.Soc. - 1958. - Vol. A-245. no. 1242. - P. 312-329.

201. Salvucci G.D., D. Entekhabi Hillslope and climatic controls on hydrologic fluxes // Water Resour. Res. - 1995. - Vol. 31. - P. 1725-1739.

202. Sandstede B. Stability of travelling waves // Handbook of dynamical systems II / / Ed. by B. Fiedler. — North-Holland: Elsevier, 2002. — P. 983-1055.

203. Schubert G., Straus J.M. Gravitational stability of water over steam in vapor-dominated geothermal system // J. Geoph. Res. — 1980. — Vol. 85, no B11 _ p 6505-6512.

204. Shargatov V.A., IVichev A.T. Dynamics of Perturbations under Diffusion in a Porous Medium. // Proc. Steklov Inst. Math. — 2020. — Vol. 310. — P. 291-303.

205. Shargatov V.A., IVichev A.T., Fu Y.B. Characterization and dynamical stability of fully nonlinear strain solitary waves in a fluid-filled hyperelastic membrane tube. // Acta Mech. - 2020. - Vol. 231. - P. 4095-4110.

206. Shargatov V.A., IVichev A.T., Tsypkin G.G. Dynamics and stability of moving fronts of water evaporation in a porous medium // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2015. — Vol. 83. — P. 552-561.

207. Shargatov V.A. Instability of a liquid-vapor phase transition front in inhomogeneous wettable porous media // Fluid Dynamics. — 2017. — Vol. 52, no. 1. -

208. Shargatov V.A. Dynamics and Stability of Air Bubbles in a Porous Medium // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2018. - Vol. 58, no. 7. - Pp. 1172-1187.

209. Shargatov V.A., Gorkunov S.V., IVichev A.T. Dynamics of front-like water evaporation phase transition interfaces // Communications in

Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2019. — Vol. 67. — P. 223-236.

210. Shargatov V.A., Gorkunov S.V., IVichev A.T. Stability of finite perturbations of the phase transition interface for one problem of water evaporation in a porous medium // Applied Mathematics and Computation. - 2020. - Vol. 378. - P. 125208-125224.

211. Shargatov V.A., Tsypkin G.G., Bogdanova Yu.A. Filtration-Flow Fragmentation in Medium with Capillary-Pressure Gradient // Doklady Physics. - 2018. - Vol. 63, no. 5. - P. 199-202.

212. Shargatov V.A., Chugainova A.P., Gorkunov S.V., Sumskoi S.I. Flow Structure behind a Shock Wave in a Channel with Periodically Arranged Obstacles // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2018. - Vol. 300, no. 1. - P. 206-218.

213. Sharpies J. J., Sidhu H.S., Mcintosh A.C., Brindley J., V.Gubernov V. Analysis of combustion waves arising in the presence of a competitive endothermic reaction // IMA journal of applied mathematics. — 2012. — Vol. 77. - P. 18-31.

214. Shokri N., Salvucci G.D. Evaporati on from porous media in the presence of a water table // J. Vadose Zone. - 2011. - Vol. 10. - P. 1309-1318.

215. Shi L., Cui L., Park N., P.S. Huyakorn. Applicability of a sharp-interface model for estimating steady-state salinity at pumping wells-validation against sand tank experiments //J. Contaminant Hydrology. — 2011. _ Vol. 124. - P. 35-42.

216. Straughn B., Walker D.W. Two very accurate and efficient methods for computing eigenvalues and eigenfunctions in porous convection problems // J. Comp. Phys. - 1996. - Vol. 127. - P. 128-141.

217. Straus. One-dimensional model of vapor-dominated geothermal systems // J. Geophys. Res. - 1981. - Vol. 86. - P. 9433-9438.

218. Temían D. Stability of planar wave solutions to a combustion model // SI AM J. Math. Anal. - 1990. - Vol. 21. - P. 1139-1171.

219. Truesdell A.H., White D.E. Production of super-heated steam from vapordominated geothermal reservoirs // Geothermics. — 1973. — Vol. 2.

- P. 154-173.

220. Tsypkin G., IVichev A. Gravitational stability of the interface in water over steam geothermal reservoirs // Transp. Porous Media. — 2004. — Vol. 55, no. 2. - P. 183-199.

221. Tsypkin G., IVichev A. Transition to instability of the interface in geothermal systems // Eur. J. Mech. B Fluids. — 2005. — Vol. 24, no. 4. - P. 491-501.

222. Tsypkin G., IVichev A. Catastrophic transition to instability of evaporation front in a porous medium // Eur. J. Mech. B Fluids. — 2008.

- Vol. 27, no. 6. - P. 665-677.

223. Tsypkin G.G., Woods A.W. Vapour extraction from a water saturated geothermal reservoir // Journal of Fluid Mechanics. — 2004. — Vol. 506.

- P. 315-330.

224. Tsypkin G.G., Shargatov V.A. Influence of capillary pressure gradient on connectivity of flow through a porous medium // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2018. - Vol. 127. - P. 1053-1063.

225. Vasconcelos G.L. Multiple bubbles and fingers in a Hele-Shaw channel: complete set of steady solutions // J. Fluid Mech. — 2015. — Vol. 780.

- P. 299-326.

226. Varlamov Yu.D., Predtechensky M.R., Ulyankin S.N., Meshcheryakov Yu.P. Microdroplet absorption by two-layer porous media // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. — 2007.

_ yol. 48. _ p. 101-108.

227. Watanabe S. Ion acoustic soliton in plasma with negative ion // J. Phys. Soc. Japan. - 1984. - Vol. 53. - P. 950-956.

228. White D.E., Muffler L.J.P., Truesdell A.H. Vapor-dominated hydrothermal systems compared with hot water systems // Econ. Geol - 1971. - Vol. 66. - P. 75-97.

229. Wooding R.A., Tyler S. W., White /.. Convection in groundwater below an evaporating salt lake. 1. Onset of instability // Wat. Resour. Res. — 1997. - Vol. 33, no. 6. - P. 1199-1217.

230. Wooding R.A. Rayleigh instability of a thermal boundary layer in flow through a porous Medium // J. Fluid Mech. — 1960. — Vol. 9. — P. 183-192.

231. Young R.M. Phase transitions in one-dimensional steady state hydrothermal flows // J. Geophys. Res. — 1996. — Vol. 101. — P. 18011-18022.