Модель мелкой воды в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Спешилова Анна Владимировна

• Спешилова Анна Владимировна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Спешилова Анна Владимировна

Введение

Глава 1 Описание модели и простейшие решения. Постановка задачи о распаде разрыва

1.1. Описание модели

1.2. Стационарные решения - состояние равновесия

1.3. Условия Гюгонио

1.4. Стационарные решения - докритические, сверхкритические и разрывные решения

1.5. Стационарные решения - зональные течения

1.6 Постановка задачи о распаде разрыва на сферическом поясе

Глава 2 Уравнения мелкой воды в осесимметричном случае. Исследование сходимости численных решений к точным

2.1. Уравнения модели в осесимметричном случае

2.2. Разностная схема в осесимметричном случае

2.3. Сходимость численных решений к точным стационарным решениям

2.4. Задача о распаде разрыва в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере в осесимметричном случае

Глава 3 Численное моделирование задачи о распаде разрыва в двумерном случае. Влияние центробежного ускорения

3.1. Уравнения модели в двумерном случае

3.2. Разностная схема в двумерном случае

3.3. Описание задачи о распаде разрыва в сферическом поясе

3.4. Постановка численных расчетов для различных конфигураций

3.5. Расчет волнообразования при наличии одного «хребта» типа шеврона

3.6. Расчет волнообразования при наличии двух «хребтов» типа шеврон

3.7. Расчет волнообразования при наличии «хребта» в виде эллипсоидального кольца

3.8. Расчет устойчивости зонального течения относительно периодического возмущения границ

3.9. Расчет устойчивости зонального течения относительно одиночного возмуще-

ния границы

3.10. Расчет распада разрыва при наличии зонального течения и системы шевронов на фоне равновесного состояния

3.11. Об учете влияния центробежного ускорения на течения на сфере

Глава 4 Затухающий источник в модели мелкой воды на вращающейся сфере без учета центробежного ускорения

4.1. Уравнения модели без учета центробежного ускорения

4.2. Модель мелкой воды с переменной угловой скоростью

4.3. Звуковые характеристики

4.4. Описание решения: численный эксперимент

4.5. Численный эксперимент в случае покоящейся сферы

4.6. Численный эксперимент в случае вращающейся сферы

4.7. Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение 1 Текст программы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель мелкой воды в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере»

Актуальность темы исследования.

Изучение гидродинамики атмосферы представляет большой научный интерес, как с точки зрения фундаментальной гидродинамики, так и для приложений в метеорологии, климатологии, гидрофизике, океанологии. В качестве примера крупномасштабных движений в атмосфере Земли в [51] обнаружено, что тропические леса Амазонки в значительной мере обязаны своим плодородием тоннам пыли, ежедневно уносимой ветром через Атлантический океан из Африки. Микробиологическое исследование пыли в атмосфере на высоте 2.8 км над уровнем моря показали, что масса пыли, прибывающая в Северную Америку из-за рубежа, в основном из Азии, сопоставима с общей массой пыли, производимой на «внутреннем рынке» [89]. Наблюдения со спутников за поверхностью Земли позволяют выявить и запечатлеть распространение пыли в атмосфере Земли. Так на снимках NASA зафиксированы крупномасштабные процессы: перенос пыли из Африки в Скандинавию, массивный шторм пыли из Сахары, который пересекает Атлантический океан, достигая Южной Флориды [95, 96]. Не смотря на большое количество наблюдений за атмосферами различных планет и их изучение [83, 75, 88, 84, 57, 87, 99, 55, 27, 50, 83, 82] многие вопросы остаются открытыми, яркими из них являются: шторм на Сатурне, суперротация на Венере.

Для многих из этих явлений характерным является преимущественный перенос примесей вдоль поверхности планеты на большие расстояния с малым перемещением по вертикали.

Различным аспектам математического моделирования гидродинамики атмосферы посвящена обширная литература, обзор которой представляет самостоятельный интерес, поэтому упомянем некоторые из них [19, 17, 64, 67, 23, 6, 37, 70, 81, 10, 2, 30, 41, 98, 49, 65, 66, 53, 93, 11, 48, 91, 61, 86, 100, 56, 4, 5, 92]. В ряде работ модель гидродинамики атмосферы применяется в приближении в- или f -

плоскости, когда для описания движения используют проекцию части сферы на касательную плоскость [6, 37]. Подобное приближение правомерно для течений, происходящих в ограниченной, узкой зоне по широте, но не представляется удовлетворительным для движений, в которых как широтные, так и долготные масштабы сопоставимы между собой и достаточно протяженны. В этом случае эффект сферичности необходимо учитывать в полной мере.

В настоящей работе под идеализированной гидродинамикой атмосферы понимается движение несжимаемой среды (жидкости или газа) на поверхности сферы, вращающейся с постоянной угловой скоростью в поле силы тяжести с постоянным ускорением, направленным к центру сферы. Для математического описания гидродинамики атмосферы применяются различные модели теории мелкой воды: гиперболические модели, получаемые в первом приближении [76, 78, 12, 13, 58], различные дисперсионные модели старших приближений [44, 45], а также модели, в которых учитывается диссипативные эффекты, связанные с влиянием физической вязкости [72, 74, 73, 71, 102, 63, 59, 3]. Следует отметить, что первыми работами, посвященными изучению гидродинамики на сфере, являются исследования [9] и работа [101 ]. Приведенные модели представляют собой системы квазилинейных дифференциальных уравнений, заданные на компактном многообразии - поверхности вращающейся притягивающей сферы. Важность изучения решений квазилинейных уравнений на компактных многообразиях отмечалась в [30, 2]. Одна из наиболее распространенных гиперболических моделей мелкой воды на вращающейся сфере [26, 81] получается осреднением уравнений Эйлера по глубине. Вращение планеты в ней учитывается введением в уравнения движения горизонтальной, т.е. касательной к поверхности сферы, компоненты силы Ко-риолиса (влияние центробежной силы не учитывается).

В [47] уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере выведены в рамках длинноволнового приближения из задачи со свободной границей для уравнений Эйлера подобно плановой модели мелкой воды [43, 28]. Показано, что в безразмерных переменных горизонтальные составляющие силы Кориолиса и центробежной силы имеют одинаковый порядок малости относительно пара-

метра длинноволнового приближения. Исходя из этого в работе [46] построение непрерывных стационарных решений проводилось с учетом обеих этих сил, что, в частности, позволило получить несферические формы положения равновесия жидкости.

В настоящей работе изучаются уравнения мелкой воды в сколь угодно протяженном сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере с учетом как силы Кориолиса, так и центробежной силы [47, 46, 34]. Фактически модель рассматривается на сфере с «выколотыми полюсами». Базисная система дифференциальных законов сохранения, соответствующая эти уравнениям, используется для численного моделирования нестационарных разрывных решений.

В настоящее время для сквозного расчета разрывных решений моделей гидродинамики широко применяются разностные схемы типа TVD, повышенного порядка аппроксимации в смысле тейлоровского разложения на гладких решениях [22, 8, 79, 52, 18, 94, 68, 68, 69, 38, 80]. Вместе с тем в работах [35, 54] было показано, что все эти схемы имеют не более чем первый порядок сходимости в областях влияния нестационарных ударных (прерывных) волн, и тем самым, при сквозном расчете разрывных решений они не являются схемами повышенной точности. Более того, как показано в [35] разностная схема первого порядка со специально подобранными искусственными вязкостями обеспечивает более высокий порядок сходимости по сравнению с TVD схемами в области влияния нестационарной ударной волны сразу за её фронтом.

Исходя из этого в настоящей работе для расчета прерывных волн на сферическом поясе используется схема первого порядка, являющаяся аналогом схемы, рассмотренной в работе [35], где исследованы ее устойчивость и монотонность. Для устойчивости численного алгоритма по аналогии с [85] использована неявная аппроксимация силы Кориолиса.

Целью диссертации является математическое моделирование крупномасштабных волновых движений жидкости и газа в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие

задачи:

- аналитическое и численное исследование решений уравнений мелкой воды, описывающих волны в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере;

- построение и исследование точных стационарных и нестационарных, в том числе разрывных, решений уравнений мелкой воды в сферическом поясе;

- построение разностной схемы для численного решения этой системы;

- разработка программы с целью изучения волновых движений на сфере, поиска и описания общих свойств и закономерностей;

- аналитическое и численное исследование решений уравнений мелкой воды, описывающих затухающие движения газа.

Методы исследования: для решения поставленных задач использовались методы аналитического и численного моделирования. Научная новизна.

Впервые исследуется модель мелкой воды в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере с учетом центробежного ускорения. Существенным отличием расчетов по такой модели от расчетов по имеющимся моделям является наличие состояний равновесия отличных от сферического (твердотельное вращение, зональное течение, и их сопряжение через контактный разрыв).

Впервые сформулирована задача о распаде разрыва в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере, как задача Коши с разрывными начальными данными. Подробно рассмотрены начальные данные, представляющие собой состояния равновесия с различными глубинами, которые граничат друг с другом через сильный разрыв; и состояние равновесия, которое граничит с зональным течением через контактный разрыв. Такие начальные данные определяют затем развитие волновых движений на сферическом поясе.

Для численного моделирования данной задачи предложена новая консервативная разностная схема, аппроксимирующая дивергентную форму записи уравнений мелкой воды в сферическом поясе, полученную из интегральных законов сохранения. Данная схема построена методом расщепления по физическим про-

цессам. Она является условно устойчивой по Куранту и допускает явную реализацию без прогонок и итераций по нелинейности.

Впервые проведены численные расчеты задачи Коши с разрывными начальными данными следующего типа:

для геометрических конфигураций с различными глубинами:

- «хребет» типа шеврон ^-образный многоугольник),

- два разнонаправленных и произвольно расположенных «хребта» типа шеврон,

- «хребет» типа эллипсоидального кольца,

для геометрических конфигураций с различными скоростями (зональным течением):

- зональное течение с локальным возмущением на границе,

- зональное течение с периодическим возмущением на обоих границах,

- система идентичных шевронов, в каждом из которых задано зональное течение.

Создана программа для численного решения рассматриваемых задач.

Найдены и описаны общие свойства распространения волн при распаде разрывов в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере не зависящие от конкретной геометрии начальных разрывов: начальная геометрическая конфигурация водяных «хребтов» воспроизводится в области пояса антиподальной исходной, а затем в начальной позиции. Такая картина повторяется, затухая по величине и асимптотически выходя на состояние равновесия - волны размываются, поглощенные общим потоком. Зональное течение на фоне состояния равновесия оказывается устойчивым относительно возмущения границы контактного разрыва - как одиночного, так и периодического волнообразного. При этом возмущение границы порождает систему вихрей, интенсивных вначале и затухающих со временем.

Впервые исследованы инвариантные решения типа простых волн, описывающие затухающие движения газа из кольцевого источника — параллели — по

поверхности сферы в сток такого же вида. Доказано существование двух типов движения — сверх- и докритического. Исследована структура звуковых характеристик на данном решении.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Сформулирована и рассчитана задача о распаде разрыва в сферическом поясе, обобщающая классическую задачу в газовой динамике. Приведенные расчеты задач о распаде разрыва в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере имеют наглядную физическую интерпретацию. Образования в виде шевронов наблюдаются на снимках со спутников поверхности Земли и других планет (как облаков в атмосфере, так и течений в океане). Повышение уровня жидкости в виде эллипсоидального кольца моделирует распространение волн при падении метеорита или другого крупного объекта в океан. Система идентичных шевронов, в каждом из которых задано зональное течение визуально похожа на цепочки вихрей в атмосферах газовых планет гигантов. Таким образом имеет место качественное совпадение расчетов с природными явлениями. Основные положения, выносимые на защиту.

1. Сформулирована задача о распаде разрыва для гиперболической системы уравнений мелкой воды в протяженном сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере, как задача о развитии волнового движения на сферическом поясе из начальных данных, порожденных равновесными решениями для различных геометрических конфигураций, отличающихся глубиной (высотой) и скоростью.

2. Для численного решения системы дифференциальных уравнений мелкой воды в сферическом поясе построена консервативная разностная схема первого порядка, допускающая явную реализацию, без итераций и прогонок по нелинейности.

3. Численно исследована устойчивость осесимметричных стационарных решений, как непрерывных, так и разрывных, системы дифференциальных уравнений мелкой воды.

4. Задача о распаде разрыва для уравнений мелкой воды в протяженном сферическом поясе решена численно

для геометрических конфигураций с различными глубинами:

- «хребет» типа шеврон,

- два разнонаправленных и произвольно расположенных «хребта» типа шеврон,

- «хребет» типа эллипсоидального кольца,

для геометрических конфигураций с различными скоростями (зональным течением):

- зональное течение с локальным возмущением на границе,

- зональное течение с периодическим возмущением на обоих границах,

- система идентичных шевронов, в каждом из которых задано зональное течение.

5. Найдены и описаны общие свойства и закономерности волновых движений возникающих в этих конфигурациях: фокусировка (кумуляция) волн, воспроизведение волны в антиподальной и начальной позициях на сфере, устойчивость зональных течений относительно возмущения границы.

Апробация результатов:

- на семинаре под руководством академика Л.В. Овсянникова и д.ф.-м.н. А.П. Чупахина в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,

- на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В.В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,

- на семинаре под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. А.В. Фурси-кова в Институте вычислительной математики РАН,

- на семинаре под руководством академика Ю.И. Шокина и проф. В.М. Кове-ни в Институте вычислительных технологий СО РАН,

- на семинаре под руководством д.ф.-м.н. Г.В. Демиденко в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН,:

- на семинаре под руководством академика РАН, профессора Б.Г. Михайлен-ко в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,

а также на следующих научных конференциях:

- Международная научная студенческая конференция (Новосибирск, 2005, 2006),

- Междунароная конференция "Лаврентьевские чтения" (Новосибирск, 2005),

- Всероссийской конференции «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», посвященной 50-летию ИГиЛ (Новосибирск, 2007),

- Международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2007, Москва, 2009),

- Международная конференция МЕТОДЫ АЭРОФИЗИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ (1СМАК) (Новосибирск, 2007, 2010),

- VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007),

- Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвящённая 100-летию со дня рождения И.Н. Ве-куа (Новосибирск, 2007),

- Всероссийская конференция «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение» приуроченная к 90-летию академика Л. В. Овсянникова (Новосибирск, 2009),

- Всероссийская конференция молодых ученых ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ: ТЕОРИЯ, ЭКСПЕРИМЕНТ И НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ (Новосибирск, 2005, 2009, 2010, 2012),

- Международная школа-семинар МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АЭРОДИНАМИКИ (Евпатория, Украина, 2010, 2011),

- Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2011),

- Всероссийская конференция посвященная 80-летию академика С.К. Годунова МАТЕМАТИКА В ПРИЛОЖЕНИЯХ (Новосибирск, 2009),

- Всероссийская конференция «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» (Новосибирск, 2012),

- Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013),

- Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске» (Новосибирск, 2013),

- Международная конференция «Турбулентность и волновые процессы», посвященная 100-летию со дня рождения академика М.Д. Миллионщикова (Москва, 2013),

- Всероссийская научная школа молодых ученых "МЕХАНИКА НЕОДНОРОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ В ПОЛЯХ ВНЕШНИХ СИЛ" (Москва, 2010, 2014).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах [14, 16, 15, 36] в рецензируемых изданиях из списка ВАК. Работы выполнены в соавторстве с А.П. Чупахиным, В.В. Остапенко и А.А. Черевко. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. А.П. Чупахину за осуществление научного руководства, научные беседы и вдохновение, научному консультанту д.ф.-м.н. В.В. Остапенко за ценные советы и поддержку, а также коллеге А.А. Черевко за полезные обсуждения результатов.

13

Глава 1

Описание модели и простейшие решения. Постановка задачи о распаде разрыва

1.1. Описание модели

Рассматриваются движения идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности р и глубины h на поверхности сферы радиуса r, причем h « r. На жидкость действует сила тяжести, создающая постоянное ускорение g = const, направленное к центру сферы. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью w = (0,0, Q0), Q0 - компонента угловой скорости, направленная вдоль оси Oz. В рамках длинноволнового приближения, предполагающего малость глубины жидкости по сравнению с радиусом сферы [47], давление в жидкости на глубине % определяется по гидростатическому закону

Р = pg%. (1.1)

Скорость жидкости v = (и, V), осредненная по глубине, лежит в плоскости касательной к сфере (рис.1).

Рис. 1. Общая схема движения жидкости на сфере относительно декартовой и связанной с ней сферической систем координат исправить обозначения Дифференциальные уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере с учетом силы Кориолиса и центробежной силы имеют вид [47]:

Dv = V 1ctg6 + r0V cose +1 r02 h sin в cos в - /0 he,

DV = -vVctge - r0ucose - /0(sine)hp, (1.2)

Dh + (sine)-1 h(Vp + (vsine)e) = 0,

где D = д1 + vde + (sin в)~xVdp - полная производная вдоль поверхности сферы, t - время, v, V - меридиональная и долготная компоненты вектора скорости v, 0<в<ж - дополнение к широте, 0<р<2ж- долгота, Г) = R-1 - параметр, обратный к числу Россби R = V0 ¡2r Q0, /0 = FV0/2r Q0, /0 = F "2 - параметр обратный к квадрату числа Фруда F = V0/^JgH0 , H0 - характерная глубина слоя по вертикали, v0, V0 - характерные широтная и долготная компоненты скорости.

Уравнения (1.2) записаны в неинерциальной, вращающейся со сферой с угловой скоростью Q 0, системе координат.

Параметр мелкой воды 8 = Н0 /г предполагается малым по сравнению с г0 и /0. Для крупномасштабных движений в атмосфере Земли параметры г0 и /0 имеют один порядок малости (см таблицу 1), так что эффекты вращения и гравитации оказывают сопоставимое влияние на движение жидкости на поверхности или газа в атмосфере планеты.

Таблица 1

Параметр Обозначение Значения для Земли

«0 = ^ 2гО 0 число Россби Г0 = «01 ~ 94

^ = Л- кн0 число Фруда /0 = ^ -2~102 = 100

г радиус сферы 6,4*106м

н 0 характерный вертикальный масштаб 103м (для циклонов и антициклонов)

V, масштаб горизонтальной скорости 10 м/сек (для циклонов и антициклонов)

" 0 угловая скорость вращения 7,3*10-5сек-1

характерное время 106сек (для циклонов и антициклонов)

Как и в случае «плоской» мелкой воды, имеет место газодинамическая аналогия: система (1.2) без учета центробежного ускорения совпадает с уравнениями динамики политропного газа с показателем адиабаты у = 2 для специальных движений, которые могут быть названы сферическими

Поскольку система уравнений мелкой воды (1.2) записана в недивергентной форме, то на ее основе можно строить гладкие решения [46]. В то же время данная система, подобно классической системе уравнений мелкой воды на плоскости [43, 22] является гиперболической и, поэтому, допускает разрывные решения. Для

корректного описания таких разрывов в соответствии с общей теорией гиперболических систем [77] ее необходимо сформулировать как полную систему законов сохранения с выпуклым расширением [7, 60].

Перейдем от уравнений (1.2) к системе, записанной в форме интегральных законов сохранения.

Рассмотрим на поверхности сферы односвязную область £ с кусочно-гладкой границей д£. Предполагается, что в точках излома границы ее компоненты пересекаются под ненулевым углом (рис. 2). В этой области интегральные

законы сохранения массы жидкости и её полного импульса имеют вид:

* 2 ( Л

| hds\tt2 + | | цпС1 Ш = 0,

£

* 2^

I ц с^2 + | | (ц(™ ) + ^^ п)С1 + | hFds

л

2

сСг = 0,

(1.3)

(1.4)

У

£ гх Чс>£ " £

где ц = hv - полный импульс, п - единичный вектор внешней нормали к границе , касательный к сфере, ds - элемент площади на сфере, - дифференциал длины дуги, Р = + р, где

- сила Кориолиса,

= 2w х V,

Р = w х (w х х),

(1.5)

(1.6)

- центробежная сила, х - радиус-вектор.

Рис. 2. Элементарная ячейка интегрирования S = S^bcd в сферической системе координат и связанные с ней базисные вектора a1, b1 локальной декартовой системы координат в плоскости, касающейся сферы в точке A Предполагая, что ось вращения проходит через центр сферы, рассмотрим декартову систему координат Oxyz , начало которой O лежит в центре сферы так,

что ось Oz совпадает с осью вращения. В этой системе скользящий вектор w (угловая скорость вращения сферы) имеет координаты

w = (0,0, Q 0), (1.7)

где Q0 - угловая скорость вращения. В сферических координатах (в, р) , связанных с декартовыми координатами ( x, y, z) соотношениями

x = r sinecosp, y = r sinesin р, z = r cose, (1.8)

законы сохранения (1.3) и (1.4) можно представить в следующей дифференциальной форме [34].

(rh sin в)г + (qsin в)в + Qp= 0, (1.9)

(rq s^X + ((vq + gh- а^тв)в + (Vq + b)p + rhF sinв = 0, (1.10)

где использованы обозначения

д/Мр) /• J/(t,e,р) r J/(t,в,р) f dt ' 3 в ев '3р др '

q = qa, Q = qb, v = va, V = vb, (111)

a = а(в, р) и b = Ь(в,р) - единичные вектора, касательные соответственно к меридиану р = const и параллели в = const, проходящим через точку s = s^, р) на сфере. Покомпонентная форма записи закона сохранения полного импульса (1.10) имеет вид:

gh2 gh2 (rq sin^t + ((qv + ^тв)в+ (qV), -(QV + =

= W(Wh sin2 в cos в + Q sin 2в),

18 Ж 2

(^ Бт6>)г + ^^тО)0 + (ду + ^ \ + qV соьв = (1.13)

где W = 00г . Дифференциальные уравнения (1.9), (1.12) и (1.13) образуют замкнутую систему для нахождения функций h, д и Q, на сфере с «выколотыми полюсами» (Оф 0,л/2).

Поскольку сила Кориолиса (1.5) и центробежная сила (1.6) представляют собой распределенные источниковые члены, не вносящие вклада в условия Гюгонио на сильном разрыве, система (1.9), (1.10), подобно классическим уравнениям мелкой воды, допускает разрывные решения с ударными волнами и контактными разрывами [39].

1.2. Стационарные решения - состояние равновесия

Рассмотрим стационарные движения мелкой воды на вращающейся сфере [47], описывающиеся следующей системой уравнений, которая получается из системы (1.9), (1.12) и (1.13):

(q sin 6%+ Qv= 0, (1.14)

gh2 gh2 ((qu + Y)srn6)e+ (qV)v-(QV + Y)cos6 =

= W (Wh sin2 6cos6 + Q sin26), gh 2

(Qusin6)6 + (QV + )v + qV cos6 = -Wq sin26. (1.16)

Важной особенностью системы (1.14)-(1.16) является наличие состояний равновесия твердотельно вращающейся жидкости [47] (v = V = 0), в которых глубина задается формулой (рис. 3)

h(0) = , y, 0) = h0 + y sin2 0, (1.17)

где h0 - произвольная положительная величина, y = r02 / 8f0. Заметим, что используемая система координат является неинерциальной, так что данное состояние равновесия отвечает твердотельному вращению сферы покрытой слоем жидкости.

L

ГА

) )

/

Рис. 3. Распределение глубины жидкости на сфере при состоянии равновесия

1.3. Условия Гюгонио

Рассмотрим уравнений мелкой воды на сфере в осесимметричном случае, не зависящие от угловой координаты р. В этом случае система уравнений (1.9), (1.12) и (1.13) примет следующий вид:

(rhsiп6)t + (д 8т6% = 0,

(rq sin 0) t + (qusin 0)0 +

V 2 У0

sin 0 = f,

(1.18)

(119)

(г0 + (Qusiп0)в = Г, (1.20)

где источниковые члены в правых частях уравнений (1.19) и (1.20) определяются по формулам

f = Q¥ + W2hsin2 6cos6, F = -qy, щ = Vcos6 + Wsin26,

(1.21)

D[h] = [q], D[q] = [qu + gh2/2], D[q] = [Qu]. (1.22)

Из законов сохранения (1.18)-(1.20) получаются следующие соотношения которым удовлетворяют параметры точного решения на линии его разрыва 6 = 6(t). В (1.22) квадратными скобками обозначен скачок функции на линии разрыва [h] = h2 - hx, D = r6t - скорость распространения ударной волны. Эти соотношения совпадают с классическими условиями Гюгонио для одномерных уравнений теории мелкой воды над горизонтальным дном [22].

Используя векторную недивергентную форму записи системы (1-18)-(1.20)

(1.23)

u t + = f,

где

u

( h л u h 0 Л

1 1

u , A = - g u 0 , f = -

r r

V ; l0 0 u ;

- qctg6 V2 ctg6 + f - uVctg 6 + f2

f = W cos6(W sin 6—2 V ), f2 = 2Wucos6, можно получить запись этой системы в инвариантах Римана:

( w ) t + ( w )б = - ((V2 + uc)ctg6 + f ), r r

(w2)t +^(W2)6 = -((V2 +uc)ctg6 + f), r r

V + 4 = -uVctg6). r r

В (1.26)-(1.28)

(1.24)

(1.25)

(1.26)

(1.27)

(1.28)

(1.29)

\=и — с, ^=и + с,

- первые два собственных значения матрицы А,

wl = и — 2с, =и + 2с, (1-30)

- соответствующие им инварианты Римана, с = - скорость распространения малых возмущений в мелкой воде.

В модели мелкой воды на разрывных решениях происходит потеря энергии [39, 43, 22]. Физически это соответствует образованию течений более мелких масштабов (брызго- и пенообразование), по сравнению с выбранной моделью мелкой воды.

Поскольку уравнения мелкой воды на сфере (1.26)-(1.28) являются неоднородными, то, даже, при отсутствии вращения (П0 = 0 ^ / = / = 0) и при V = 0, они, в отличие от классических уравнений теории мелкой воды на плоскости [43, 22], не допускают точных решений в виде центрированных волн. Оказывается, для уравнений мелкой воды на сфере можно построить стационарные точные решения, в том числе и разрывные с устойчивыми стоячими скачками, на которых выполнены условия Гюгонио (1.22).

1.4. Стационарные решения - докритические, серхкритические и разрывные

решения

Кроме данного состояния равновесия (1.17), приведем точные частные решения уравнений мелкой воды на сферическом поясе, не зависящие от угловой координаты Такие решения были описаны в [46]. В этом случае система базисных законов сохранения массы и полного импульса (1.14)-(1.16) имеет вид:

(д ътв)в = 0,

(дивт 6)6 +

С 7 2 Л 2

8111 в — QV СОВв = / 8111 в,

(1.31)

4 /6

^ивтв)6 + qV соъв = —Ь/1 Бтв, где / = Жсовв(ЖсоБв- IV), /2 = 2Жисов.

Для этих стационарных решений системы (1.14)- (1.16) компоненты скорости представлены следующими формулами [46]:

и =

до

V =

к

+ —sin 0.

(1.32)

h sin 0 sin 0 2

Глубина жидкости h в (1.31) определяется из алгебраического кубического уравнения

h3-ah2 +р = 0,

где

a =

2fo

V

2 Л

< -

sin20

Р =

до

2fo sin20

2bo + Vo ro-

(1.33)

(1.34)

Стационарные решения (1.32) существуют, если дискриминант уравнения (1.33) отрицателен. В этом случае кубическое уравнение (1.33) имеет три различных действительных корня, два из которых являются положительными, а один - отрицательным. Большему положительному корню соответствует докритическое стационарное течение, а меньшему - сверхкритическое стационарное решение, которые описываются формулами (1.32) для различных значений корней (1.33).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Спешилова Анна Владимировна, 2016 год

- - -

V - V V

V V ■------- V

........ 18 *

а (1=0) б (1=0,04) в (1=0.18)

г (1=0,44) д (1=1,16) е (1=100)

Рис. 18. Профиль глубины и компоненты скорости жидкости в задаче о разрушении плотины в разные моменты времени: а ^ = 0), б ^ = 0.04), в ^ = 0.18),

г 0 = 0.44), д 0 = 1.16), е 0 = 100) Поскольку на устойчивых прерывных волнах происходит потеря полной энергии, то с течением времени они постепенно затухают и течение асимптотически выходит на состояние покоя (1.17) (рис. 18е).

42 Глава 3

Численное моделирование задачи о распаде разрыва в двумерном случае.

Влияние центробежного ускорения

3.1. Уравнения модели в двумерном случае

В настоящей главе изучаются уравнения мелкой воды в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере:

(rh sin 6)t + (q sin в)в + Qv= 0, (3.1)

sh2 sh2

(rqsin 6), + ((qu + ^)sin6)e + (qV), - (QV + ^)cos6 =

= W(Wh sin2 6 cos 6 + Q sin 26),

(rQ sine), + (Qusin6)6 + (QV + + qV cos6 = -Wq sin26. (3.3)

В уравнениях (3.1)-(3.3) учтены горизонтальные составляющие силы Ко-риолиса Fk (1.5) и центробежной силы Fc (1.6) [46, 47, 34]. Система (3.1)-(3.3) используется для численного моделирования нестационарных разрывных решений. Детально изучаются задачи о волновых течениях, возникающих в результате распада разрывов начального уровня жидкости в форме «хребтов»; об устойчивости относительно возмущения границы зонального течения на фоне равновесного состояния; демонстрируется влияние центробежного ускорения на развитие волновой конфигурации.

3.2. Разностная схема в двумерном случае

В настоящее время для сквозного расчета разрывных решений широкое распространение получили разностные схемы типа TVD, повышенного порядка аппроксимации в смысле тейлоровского разложения на гладких решениях [22]. Однако в работах [35, 54, 85] было показано, что все эти схемы имеют не более чем первый порядок сходимости в областях влияния нестационарных ударных (прерывных) волн, и тем самым при сквозном расчете разрывных решений не являются схемами повышенной точности. Более того, как показано в [35] разностная схема первого порядка со специально подобранными искусственными вязко-стями обеспечивает более высокий порядок сходимости по сравнению с TVD схемами в области влияния нестационарной ударной волны сразу за её фронтом. Поэтому в настоящей работе для расчета прерывных волн на сферическом поясе используется схема первого порядка, являющаяся аналогом схемы, рассмотренной в работе [35], где исследованы ее устойчивость и монотонность. Отметим также, что для устойчивости численного алгоритма [85] необходимо применять неявную аппроксимацию силы Кориолиса, которая представляет собой распределенный источниковый член. Дадим подробное описание используемой разностной схемы.

Численное решение системы (3.1) - (3.3) строится в сферической области

П = {(в,^):в* <в<л-в*, 0 <ф< 2л-}, (3.4)

где в* = л/ 50, которая получается при «вырезании» из сферы двух круговых областей с центрами в полюсах.

Параллель в = л/ 50 соответствует 86°4' северной широты, а самая северная точка России—окрестности мыса Флигели, Земля Франца-Иосифа, Архангельская область, находится на 81°50'35" с. ш. [20]. Ширина сферического пояса (3.4) в наших расчетах составляет 172°8'.

В области (3.4) задаются начальные значения глубины к0(в,р) , скорости V0(в,р) и условие непротекания и(1,,в*,р) = и($,ж-в,р) = 0 на границах. Данную начально-краевую задачу будем решать конечно-разностным методом на равномерной прямоугольной сетке. Для этого расчетная область (3.4) разбивается на конечное число одинаковых прямоугольных ячеек (рис. 19) со сторонами \ = (ж-2в)/2N = 12ж/25N по оси в и Л2 = 2ж/М по оси р.

Рис. 19. Фрагмент сетки На рис. 19 сетка на сферическом поясе изображена в виде прямоугольной области.

Значения расхода д и скорости V вычисляются в узлах сетки, т.е. в точках с координатами

в, = ¿А1, р] = jА2, г = - N, N, ] = 0М, (3.5)

а значения глубины к - в центрах ячеек, т.е. в точках с координатами

1

1

ва = аАв, рр = рЛ2, а = г + -, р = ] + -, г = -N, N -1, j = 0, М -1. (3.6)

2

2

Для значений вычисляемых функций /(?,в,р) в целых (3.5) и полуцелых (3.6) узлах сетки введем сокращенные обозначения

/и = /(*п , в , Pj X !а,р = / (*п ,ва,(р )

(3.7)

где ^ - п-ый временной слой разностной схемы. С учетом периодичности по

переменной р функций (3.7) имеем = /"м.

Численный алгоритм строится путем разностной аппроксимации системы уравнений (3.1)-(3.3). Закон сохранения массы (3.1) аппроксимируем явной разностной схемой

г б1п 6

К+Р - К,р , (чЪ^р вм+1 - дв1п61) (в,;+1 - ву = 0

А1

■ + ■

(3.8)

где / = - М, N -1, у = 0, М -1; тп - шаг по времени на п-ом временном слое

п-1

к=0

При записи схемы (3.8) использованы дополнительные сокращенные обозначения

гп . гп

Д у + Д у+1

ГП гп

гп _ ^] +1У гп

•} а , у г\ , ,р

(3.9)

2 ,р 2 После вычисления по схеме (3.8) глубины к п+1 в центрах ячеек (3.6), уравнения для импульса (3.2)-(3.3) решаются методом расщепления по физическим процессам. Сначала из разностных уравнений

г б1п 6

С+1 - у , (д^)Г+1,у БШ 61 +1 - (д и)»-1 в1п 61 -1

2А

2\п+1 п„2\п +1

■ +

+

(дУУиу +1 - (дУУиу-1 ^ (к2) па+) - (к^7

2А-

(3.10)

2

А1

Ж2к"+1вт2 61 0080. + « у )1,

02/;+1 - в1 у . (б^+1, у 81П 6,+1 - (б^БН! 6.-!

г Б1П 6

+

+

Г- 2А16

(бК)7 у+1 - (дК)? у-1 (к2Гр - (к2)Г+1

+

(3.11)

2А

+ g

р

2А

= (< у )2,

где / = - N +1, N +1, У = 0, М -1, находятся предварительные значения расходов

~п и в" во внутренних узлах сетки (3.6). В правую часть разностных уравнений

п

т

(3.10), (3.11) по аналогии с [39, 40] введены искусственные вязкости, вычисляемые по формулам:

(< j )i = C

f n n n n ^

, - ,n qi+1,j ~ qi,j | - n qi,j ~ qi-1,j \"\aj -1--\" \a-1, j

V

Ai

Ai

+

nn

nn

+

+ C

+

\"\T

n qi,j+1 qi,j I - in qi,j qi,j-1

A

-\v\b -1

A

+

\ q \

n "+j "

aj

A1

-\q \

n

a 1 j

1,j

A1

+

\ q \ in

n i +1 i

A

-\ q \n p-1

""j "-1 A,

(3.12)

К )2 = C

i"!

n

a j

Qt+1,j Qu i- m Qi,j Qi-1,j

--\ " \a-1, j" ' '

V

A1

A1

+

+

Qn Qn Qn Qn \ " \i,P -Д--\ " \i,P-1 '

V

2

A

2

У

+

+ C,

+

Г V+^-V" Vj -V" ^

\q\a,7 i,j -\q\ai,j г-1,j

V

A1

A1

+

У

V" . - V.

\q\ip ',j+1. i,j-\q\n,p-1 A

. , - v Vn. - Vn- ,

n ■ 1,J +1 'i^^ I -j in 1,J i,J-1

A

(3.13)

где Q, C2 = const.

После определения величин ~" и Q", окончательные значения расходов qn+1 и Qn+1 во внутренних узлах сетки находятся из системы уравнений:

qn+1 - ~n+1

r sin 6 —-^ - (у" cos 6 + W sin 26 )QT+1 = 0,

T

/ЛН+1 n+1

Qij - Qi

r sin 6

+ Vj cos 6 + W sin 26 )qj = 0,

(3.14)

которую, после введения обозначения a"

т

п (ЦП

r sin 6

(Vnj cos 6 + W sin 26 ), можно

переписать в следующем виде

P

P

<

Т

n

дп+1 -ап вп+1 = Чп■,

^г, у

0п + 1 , „п „п + 1 2 п г,у + аг, /Чг.,- = вп / •

г, , У

п дп+1 г, Удг, у

(3.15)

Решая систему (3.15), получим окончательные значения компонент расхода

(3.16)

2 п п лп лп п 2 п

п+1_ д,г,/ + а1,ув1,у пп+1_ впу - аиуЧг,у д1,У 1 , г ,.п \2 , вг, у

,у

1+а у )2

1+а у )• ■ ■ ^ у.

на п+1 временном слое.

На границе расчетной области ставятся разностные условия непротекания

у = дпМ у = 0 . Для вычисления расхода в+1 в граничных узлах г = - N, N ис-

, у , у

пользуются разностные уравнения

е^! у - в-

N ,у

1

+ ■

(вК)-

ПN,у +1 - (вК)-

г б1п6

- N

(в У)- N +1, у 81п6_ N +1

N ,у-1

2А,

+ g■

(к 2 Г +1 -(к

V N+1/2, р V

А1

2 )п +1

N+1/2, р-1

+

2А

(3.17)

+ (№_N,у )2 5

в1+1 - вп, у

1

г б1п6

N

(вУN-1,у -1 . (вк)N,у+1 -(вк)N,у-1

V

А1

+

N, у -

Ш, у -

2А-

+

+ g

(к2Г -(к2Г

V ^-1/2, р V Ы-1/2, р-1

2А

2

+ К,у )2 5

в которых искусственная вязкость вычисляется по формуле

«у )2 = С

IУI

п

г ,р

+ С

|дЩ

п

г ,р

V

V" - V

А,

I у I р

вг, у+1 , у | - п , у вг , у-1

р-

А

+

. . 1 V ■ Кп. - К.п.

г,у +1 г,у | - п г,у г,у-1

А

—I ч I р

2

А

г = - N, N.

(3.18)

(3.19)

После вычисления расходов дп+1 и в п+1 во всех узлах (3.5) разностной сетке, во внутренних узлах, для которых г = - N +1, N -1, скорости ип+1 и Vп+1 находят-

ся по формулам

п +1 х-ли +1

ип+1 = ^ Vй+1 = (3 20)

и1,] г п+1 ' Ч} г п+1 ' (3-20)

к+ К+

лп + ип_ + нп + нп_

где кп] = -ар-^^—-а-1,^-1, а в граничных узлах, для которых

г = - N, N скорость Уп+1 определяется по формулам

еп+1 /-уа +1

. . _ - N,/ уп+1 _ ,/

-N,/ = , п +1 ' ^,/ = , п+1 '

- N+1/2, / "N-1/2,/

Лп + Лп ьп + лп

оняцрттай ^п _ П-N+1/2,р + Л-N+1/2,р-1 ,п _ %-1/2,р + -1/2,р-1 значений Л-N+1/2,/ =---, %+1/2,/ =---•

Шаг по времени гп выбирается из условия устойчивости Куранта [35] по формуле

Лг тт( , Д2 )

тах(

а,Р

-—п

УаР

+ ^ )

^ (3.21)

ар.

где 0 <Л< 1 - коэффициент запаса. При записи формулы (3.21) для значений скоростей используются сокращения

V п.. + V ^ . + V+ V п

V пар = 1 г+1' ^ ^1+1 г+1' 1+1 • (3.22)

Предложенная схема с учетом искусственных вязкостей, в которых коэффициенты С1 и С2 выбираются по результатам тестовых расчетов, имеет первый порядок аппроксимации, является условной устойчивой и при ее реализации отсутствуют прогонки и итерации по нелинейности.

На основе данной разностной схемы и описанного алгоритма создана программа для вычисления и визуализации искомых величин (Приложение 1).

3.3. Описание задачи о распаде разрыва в сферическом поясе

В дальнейшем расчетная область на сферическом поясе изображается в виде прямоугольника, ограниченного сверху и снизу параллелями 6 = 6N, 6 = 6S. Длина горизонтальной стороны прямоугольника, вдоль которой откладывается долгота р, равна 2 л. Поскольку область при таком изображении разрезается по меридиану, то левый и правый края прямоугольника при рассмотрении движения нужно отождествить. Такая схема изображения течения проста и наглядна. Она используется в дальнейшем для иллюстраций расчетов всех конкретных примеров.

Задача о распаде разрыва в сферическом поясе состоит в описании сложного движения среды, возникающего из простых начальных данных, граничащих через поверхности разрыва. Роль таких начальных данных играют состояния , равновесия описанные в главе 1 п.1.2. и п.1.5.

Пусть в начальный момент времени сферическая область (3.4) покрыта группами областей S,•••,£и или S и £, в каждой из которых определено свое точное решение (рис. 4(а, б)). Область S = 6 <6 <6, 0<р<2л} представляет собой сферический пояс, в котором задано состояние равновесия

г2

h = h1(6) = h + — sin26. (3.23)

8f0

Для задачи о распаде разрыва первого типа внутри области Si островами расположены области S2,...,£и типа шевронов или колец, в каждой из которых задано

свое равновесное состояние с распределением глубины h = h (6) = h + г02 sin2 б/8f, так, что h = h¡ (6), при 6 е St (рис. 4а). Будем называть области S2,..., Sw «хребтами» различной геометрии. Как правило, глубина жидкости в них больше, чем в области S , так что они возвышаются над равновесным состоянием S, что объясняет введение термина «хребет».

Для задачи о распаде разрыва второго типа внутри области 51, в которой задано равновесное состояние (3.23), расположена область £ (рис. 4б), в которой задано зональное течение, так что глубина в ней определяется формулой

Г \2

V0 + -0 1

к = к(6) = к + V-б1п2 6.

(3.24)

2/0

Задача, в которой начальные условия задаются в разных областях сопряжением стационарных точных решений, отвечающих различным глубинам, описывает формирование, распространение и трансформацию со временем волновых структур на сферическом поясе, возникающих в результате разрушения «водяных хребтов» формы 51, г > 2 на фоне равновесного состояния 51. Далее будет приведено несколько конкретных примеров с расчетами «хребтов» различной геометрии. В этом процессе независимо от геометрии «хребтов» выделяются общие тенденции развития таких волновых структур. Распространение волн происходит с повторением основных этапов. На первом из них волны распространяются по всем направлениям и в результате этого в области диаметрально-противоположной начальному расположению «хребта» (антиподальной части сферического пояса) происходит образование нового «хребта», по форме подобного исходному, но меньшего по размерам и с размытыми границами.

Второй этап завершается образованием «хребта», расположенного там же где и исходный, но еще меньшего по размерам и с еще более размытыми границами.

Существенным отличием расчетов по нашей модели, учитывающей центробежное ускорение, от расчетов по модели его не учитывающей, является более неравномерная скорость распространения возмущений по широте. Возмущения вблизи экватора распространяются быстрее по сравнению с аналогичными возмущениями вблизи полюсов.

Поскольку в модели мелкой воды при движениях с образованием разрывов происходит потеря полной энергии [43], то с течением времени возмущения га-

сятся в результате взаимодействия волн и движение асимптотически приходит к равновесному состоянию (твердотельное вращение).

Во второй задаче о распаде разрыва на сферическом поясе в качестве начальных условий используется сопряжение через контактный разрыв состояния равновесия ^ и зонального течения £. Показано, что при возмущении границы контактного разрыва образуются вихревые структуры различных масштабов. Зональное течение является устойчивым относительно таких возмущений, оно сохраняет свой вид на протяжении длительного времени, хотя его скорость уменьшается и оно несколько «расползается» к полюсам.

3.4. Постановка численных расчетов для различных конфигураций

Рассчитывались следующие задачи о распаде разрыва первого типа (3.23), (3.24): на состоянии равновесия задается один или два хребта типа шеврон или хребет в виде эллипсоидального кольца.

В разделах 3.5-3.7 изложены результаты численного моделирования задач о распаде разрыва первого типа в результате обрушения водяных «хребтов» ,

различной геометрии, а именно: один шеврон £2, два шеврона £2, , произвольно расположенных и ориентированных относительно друг друга, эллипсоидальное кольцо £2.

В разделах 3.8-3.10 изложены результаты численного моделирования задач второго типа, о распаде контактного разрыва при сопряжении состояния равновесия и зонального течения с возмущениями на границах, а именно: зональное течение с периодическим возмущением границ, зональное течение с локальным возмущением на одной границе, зональное течение в системе шевронов.

Расчеты проводились по описанной выше схеме в сферическом поясе (3.4). Глубина жидкости задается формулой (3.23) в области ^, при этом h = 0.5, а в областях шевронов или кольца , : h2 = h = 0.6, а в области зонального течения £ формулой (3.24) при h = 0.5.

В расчетах задавались следующие значения параметров задачи: радиус сферы r = 30, ускорение свободного падения g = 1, угловая скорость вращения

сферы w = 0.01, в (3.16) коэффициенты С = С2 = 1, коэффициент запаса в

условии устойчивости (3.17) Л = 0.5.

На рис. 20-25 показан профиль глубины слоя жидкости для нескольких последовательных моментов времени. Для наглядности масштаб рисунков по вертикали увеличен в 3-4 раза. На рисунках расчетная область (3.3) покрытая жидкостью в состоянии равновесия (3.23) изображается выпуклой поверхностью, а хребты различных конфигураций или зональные течения - «надстройками» на ней. Вдоль оси Ox откладывается широта 0 <6 <л, по оси Oy - долгота 0 < р < 2л, по вертикальной оси Oz - глубина жидкости. Насыщенность заливки отвечает глубине слоя, меняясь от светлого к темному при увеличении глубины. Темные линии на рисунках - линии тока.

3.5. Расчет волнообразования при наличии одного «хребта» типа шеврона

На рис. 20 показан профиль глубины слоя жидкости в проекции на плоскость (6,ф) в пять последовательных моментов времени.

На рис. 20 на фоне равновесного состояния расположен «водяной хребет» в форме шеврона, симметрично относительно экватора. Важной особенностью распада разрыва для такого «хребта» (рис. 20а) является возникающий при этом ку-

мулятивный эффект, фокусировка волны. Он возникает в момент времени 1=10 при столкновении сторон шеврона, при этом высота волны становится больше, чем высота «хребта» в начальный момент времени Лтах (в, р,10) = 0.655 > Лтах (в, (р,0) = 0.645 (рис. 20б). Дальнейшее развитие волнового процесса сопровождается образованием вихрей различных масштабов. Эти вихри визуализируются линиями тока на рис. 20в. На рис. 20г показана волна, образовавшаяся в области, антиподальной по отношению к начальному положению хребта в момент времени 1=120.

Форма «хребта» выбрана в виде шеврона, поскольку возмущения такого типа наблюдаются на снимках со спутников поверхности океанов на Земле и других планетах [88].

Поскольку в волновых движениях с образованием разрывов происходит потеря полной энергии [32], то с течением времени возмущения гасятся, и движение асимптотически приходит к равновесному состоянию (твердотельное вращение) (рис. 20д).

а(1=0) б(1=10)

д^=5000)

Рис. 20. Глубина жидкости и линии тока в задаче о распространении волн от «хребта» типа шеврон в разные моменты времени: а(=0), б(1=10), в(1=50),

г(1=120), д (1=5000)

3.6. Расчет волнообразования при наличии двух «хребтов» типа шеврон

На рис. 21 показан профиль глубины слоя жидкости в проекции на плоскость (6, р) в четыре последовательных момента времени.

В начальный момент времени на фоне равновесного состояния на сфере имеются два различных хребта типа шеврон, произвольно расположенных и ориентированных друг относительно друга (рис. 21а). В этом случае при расчете сохраняется общая картина распространения волн на сфере, описанная при наличии одного шеврона.

в(1=120) г(1=225)

Рис. 21. Глубина жидкости и линии тока в задаче о распространении волн от

двух «хребтов» типа в разные моменты времени

При этом в движении возникает новый эффект, состоящий в образовании системы

вихрей при сложном процессе взаимодействия волн от двух шевронов (рис. 21б).

Однако эффект воспроизведения начальной конфигурации шевронов в антипо-

дальной и исходной позициях сохраняется. Повторение конфигурации в антипо-

дальной позиции на сфере иллюстрируется на рис. 21в при t=120, и в исходной

позиции при 1=225 (рис. 21г). Порождаемая при этом вихревая структура отчетливо видна на рис. 21б (при 1=50).

3.7. Расчет волнообразования при наличии «хребта» в виде эллипсоидального

кольца

Одним из интересных случаев распространения возмущений - является волнообразование при наличии «хребта» в форме эллипсоидального кольца (рис. 22а).

Формулировка задачи остается прежней: на фоне равновесного состояния, симметрично относительно экватора расположено эллипсоидальное кольцо, в котором жидкость также находится в состоянии равновесия, но имеет большую глубину. На рис. 22 показано распространение волн при распаде разрыва такой конфигурации в шесть последовательных моментов времени. В этом случае при 1=7 наблюдается кумуляция волн в двух фокусах эллипса (рис. 22б).Затем «хребет» такого вида распадается на две части - наружное кольцо, напоминающее по форме первоначальный «хребет», но с большими полуосями, и вторую волну, порожденную фокусировкой и расположенную внутри первого кольца.

Как и во всех предыдущих примерах, с течением времени в антиподальной области (рис. 22в) происходит объединение этих волн и образование эллипсоидального кольца подобного начальному. На следующем этапе происходит фокусировка образовавшейся волны и порождение нового эллипсоидального кольца (рис. 22д).

а(1=0) б(1=7)

в(1=45) г(1=90)

д(1=120) е(1=250)

Рис. 22. Глубина жидкости и линии тока в задаче о распространении волн от

«хребта» в виде эллипсоидального кольца в разные моменты времени: а(1=0),

б(1=7), в(1=45), г(1=90), д(1=120), е(1=250)

Цикл завершается формированием эллипсоидального «хребта» расположенного в том же месте сферического пояса, что и исходный, но с еще более размытыми границами. Процесс повторяется с постепенным затуханием волн и выходом на равновесное состояние.

3.8. Расчет устойчивости зонального течения относительно периодического

возмущения границ

На рис. 23-25 изображены результаты численного моделирования задачи о распаде разрыва второго типа. Моделируется распространении возмущений на контактном разрыве между состоянием равновесия 5 и зональным течением £. Расчеты проводились по описанной выше схеме (3.8), (3.10), (3.11) в сферическом поясе (3.4). Глубина и скорость в областях 5 и £ согласно (1.17) и (1.39) задаются следующим образом

к = к1(6) =

к1 + -^т2 6, 6 е 5,

8/> Г0, 6 е 5,

, К(6) = Г/ 6 ^ (3.25)

(К + гп /2)2 2 11, 6 е £,

к + ^о—^^т2 6, 6 е £ 1

2 2/0

где к1 = к = 0.5, V» = 1, г0 = 6, /0 = 100 .

В начальный момент времени жидкость в области 51 находится в состоянии равновесия, область £ занята зональным течением, на границах имеется контактный разрыв. Задается периодическое возмущение границы (рис. 23 а) и рассчитывается динамика такого образования. Это задача об устойчивости контактного разрыва.

<

На рис. 23-25 в разные моменты времени показаны профиль глубины слоя жидкости с линиями тока (а) и долготная компонента скорости V (б).

На рис. 23а показано образование вихрей вдоль границы областей и расширение области Е, занятой зональным течением в стороны полюсов. По прошествии некоторого количества времени (1=200) возмущения на границах затухают, вихри исчезают (рис. 24а). В итоге качественно сохраняется начальная картина: зональное течение (рис. 24б) на фоне равновесного состояния. Скорость зонального течения уменьшается.

а б

Рис. 23. Глубина жидкости с линиями тока (а) и долготная компонента скорости V

(б) в задаче о распространении волн от зонального течения с периодическим возмущением границ (1=0)

а

б

Рис. 24. Глубина жидкости c линиями тока (а) и долготная компонента скорости V (б) в задаче о распространении волн от зонального течения с периодическим возмущением границ (1=10)

а б

Рис. 25. Глубина жидкости с линиями тока (а) и долготная компонента скорости V (б) в задаче о распространении волн от зонального течения с периодическим возмущением границ (1=200)

3.9. Расчет устойчивости зонального течения относительно одиночного

возмущения границы

Приведем результаты расчета устойчивости контактного разрыва между зональным течением и локальным возмущением границы.

На рис. 26 показан профиль глубины слоя жидкости в четыре последовательных момента времени. В начальный момент времени жидкость на сфере в области ^ находится в состоянии равновесия. В поясе Ъ с границами (0.45 я, 0.55ж) задано зональное течение. Геометрический элемент возмущения

течения задается прямоугольным выступом на одной из границ, в котором также задано зональное течение Ъ (рис. 26а). Задаются такие же начальные данные (3.25), что и в предыдущем примере.

Как и в уже описанном случае, зональное течение является устойчивым относительно такого возмущения: оно «расплывается» относительно начальной области (рис. 26г) и замедляется. Возмущение, присутствующее в начальный момент времени, порождает вихрь, возмущающий течение локально (рис. 26(б-в)) и затухающий со временем.

в(1=100) г(1=1500)

Рис. 26. Глубина жидкости и линии тока в задаче о распространении волн от зонального течения - кольца на экваторе с одним возмущением в разные моменты

времени: а(1=0), б(1=10), в(1=100), г(1=1500)

3.10. Расчет распада разрыва при наличии зонального течения и системы шевронов на фоне равновесного состояния

На рис. 27 показан профиль глубины слоя жидкости в четыре последовательных момента времени.

В начальный момент времени на фоне равновесного состояния имеются десять одинаковых шевронов, расположенных в сферическом поясе с границами (0.2л, 0.4ж) и равноудаленных друг от друга (рис. 27а). В каждом шевроне задано

зональное течение (3.24).

Распространение волн при таких начальных данных сопровождается образованием системы вихрей различных масштабов (рис. 27б), которые взаимодействуя друг с другом порождают еще большее количество более мелких вихрей (рис. 27в). Со временем все вихри угасают и на фоне равновесного состояния остается зональное течение (рис. 27г). В итоге начальная система шевронов порождает зональное течение на фоне исходного равновесного состояния.

а(1=0)

б(1=60)

в(1=150) г^=1000)