Нелинейные квазипоперечные волны в слабоанизотропных упругих средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Свешникова, Елена Ивановна

• Свешникова, Елена Ивановна
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Свешникова, Елена Ивановна

Введение

1 Глава 1. Постановка задачи и описание среды

1.1 Дифференциальные уравнения плоских одномерных упругих волн.

1.1.1 Основные понятия модели упругого тела.

1.1.2 Уравнения для одномерных плоских волн.

1.2 Задание упругого потенциала среды.

1.2.1 Слабонелинейная изотропная среда с предварительной деформацией.

1.2.2 Уточненная модель изотропной упругой среды

1.2.3 Ортотропная и трансвельсально изотропная упругие среды с малыми деформациями.

1.2.4 Упругая среда с тригональной симметрией.

1.2.5 Упругий потенциал среды общего вида.

2 Глава 2. Волны Римана

2.1 Непрерывные движения. Волновые решения системы дифференциальных уравнений

2.1.1 Малые возмущения. Линейные волны.

2.1.2 Уравнения для волн Римана и некоторые их свойства

2.2 Волны Римана в слабонелинейной среде при малой анизотропии произвольного вида.

2.2.1 Квазипродольные волны Римана.

2.2.2 Квазипоперечные волны Римана. Характеристические скорости.

2.2.3 Интегральные кривые квазипоперечных волн Римана и эволюция возмущений.

2.2.4 Волны Римана в случае волновой изотропии

2.3 Волны Римана в среде с тригональной симметрией

2.4 Волны Римана в упругом кубическом кристалле.

2.5 Волны Римана конечной амплитуды.

3 Глава 3. Ударные волны

3.1 Общие правила описания упругих ударных волн.

3.1.1 Условия на разрыве. Ударная адиабата. Условие неубывания энтропии.

3.1.2 Условия эволюционности разрыва.

3.1.3 Структура ударной волны.

3.2 Ударные волны небольшой интенсивности в среде с малой анизотропией общего вида.

3.2.1 Квазипродольные ударные волны

3.2.2 Квазипоперечные ударные волны. Ударная адиабата

3.2.3 Условие неубывания энтропии на скачке.

3.2.4 Условия эволюционности скачка. Скорость фронта разрыва.

3.2.5 Диаграмма эволюционности. Эволюционные участки ударной адиабаты.

3.2.6 Положение участков эволюционности на ударной адиабате.

3.2.7 Представление некоторых неэволюционных разрывов двумя эволюционными, идущими с одинаковой скоростью.

3.2.8 Частные виды начальной деформации.

3.2.9 Квазипоперечные ударные волны при исчезающе малой анизотропии G/R

3.2.10 Влияние уточнения выражения для упругого потенциала на ударную адиабату.

3.2.11 Структура квазипоперечных ударных волн.

3.3 Ударные волны в среде с кубической анизотропией

3.3.1 Условия на разрыве. Ударная адиабата.

3.3.2 Условие неубывания энтропии на разрыве.

3.3.3 Условия эволюционности разрывов.

3.3.4 Исследование структуры ударных волн.

3.4 Ударные волны конечной амплитуды

3.4.1 Упругий потенциал. Условия на разрыве.

3.4.2 Ударные волны в изотропной среде

3.4.3 Ударные волны в среде с малой анизотропией

3.4.4 Ударные волны в среде с анизотропией частного вида

4 Глава 4. Построение решений автомодельных задач

4.1 Задача о внезапном изменении нагрузки на границе полупространства (Задача "о поршне").

4.1.1 Постановка задачи и схема решения.

4.1.2 Построение решения в средах с я: > 0.

4.1.3 Построение решения в средах с к < 0.

4.2 Задача о распаде произвольного начального разрыва

4.3 О неединственности решения автомодельных задач

4.3.1 Строение решений в областях неединственности

4.3.2 Достаточный признак появления неединственности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные квазипоперечные волны в слабоанизотропных упругих средах»

Диссертация посвящена изучению распространения плоских одномерных волн в слабоанизотропных упругих средах. При этом основная часть содержания и наиболее интересные результаты относятся к нелинейным волнам малой амплитуды.

Выбор волн малой амплитуды обусловлен двумя обстоятельствами. Во-первых, это общность подхода, связанная с использованием степенного разложения выражения для внутренней энергии среды по компонентам деформации и изменению энтропии. Последующее изучение зависимости поведения волн от коэффициентов разложения дает возможность получить результаты сразу для всех невырожденных моделей сред, допускающих указанное разложение.

Во-вторых, несмотря на очевидную простоту описания волн малой амплитуды, их изучение для упругих сред, близких к изотропным, содержало необходимость выработки новых подходов к подобным ситуациям и, соответственно, возможность получения новых неожиданных результатов. Дело в том, что подходы к изучению слабонелинейных волн, давно развиваемые в механике жидкости и газа, а также в нелинейной акустике, были приспособлены в основном для случая, когда изучаемые волны переносятся одним семейством характеристик. Для таких ситуаций были получены уравнения: при отсутствии диссипации и дисперсии - уравнение Хопфа, при наличии диссипации - уравнение Бюргерса, при наличии дисперсии - уравнение Кортевега-де Фриза. Решения этих уравнений хорошо изучены.

В упругой среде имеется три семейства характеристик, соответствующих трем типам волн, распространяющихся в среде в каждую сторону. Если среда изотропна, линейные волны делятся на продольные и поперечные. При этом продольные волны, распространяющиеся в любом направлении, связаны с одним семейством характеристик, а поперечные - с двумя семействами характеристик, имеющих одинаковые скорости. Когда среда обладает малой анизотропией, а волны имеют малую амплитуду, скорости характеристик, которые в изотропной среде совпадали, становятся различными, оставаясь близкими. Сами волны перестают быть чисто продольными и чисто поперечными, становясь квазипродольными и квазипоперечными. Квазипродольные волны малой амплитуды описываются упомянутыми выше уравнениями и хорошо развитыми методами и не представляют существенного интереса для дальнейшего исследования.

Поскольку скорости квазипоперечных волн близки между собой и на конечную величину отличаются от скоростей других волн, то это говорит о том, что квазипоперечные волны, относящиеся к обоим семействам характеристик с близкими скоростями, следует рассматривать совместно, и о том, что их можно рассматривать независимо от возмущений, связанных с другими семействами характеристик, если начальные и граничные условия обеспечивают малость этих возмущений.

Основным источником качественно новых свойств и нестандартного поведения нелинейных упругих волн служит присутствие анизотропии среды в плоскостях, параллельных фронту. Для нее можно ввести понятие волновой анизотропии. В диссертации всегда имеется ввиду именно волновая анизотропия. Она может быть естественным свойством материала (например, в слоистых или волокнистых средах), но может быть также вызвана предварительной деформацией среды в плоскостях, параллельных фронту. Эта деформация не меняется при прохождении плоской волны и является, таким образом, свойством фона, по которому идет волна. Главный интерес представляют волны, в которых анизотропия мала и вызывает в поведении волн эффекты того же порядка, что и нелинейность (или меньше). Именно в этом случае квазипоперечные волны имеют близкие характеристические скорости и требуют совместного рассмотрения. Очевидно, анизотропия, вызванная предварительной деформацией, может присутствовать практически во всех реальных материалах и в то же время может быть как угодно малой.

Уравнения нелинейной теории упругости представляют собой квазилинейную гиперболическую систему, однородную по порядку производных. Она обладает классом одномерных нестационарных решений, называемых простыми волнами, или волнами Римана. Наряду с непрерывными решениями для нее необходимо рассматривать также решения, содержащие сильные разрывы. В этом обнаруживается родство одномерных нелинейных задач теории упругости с аналогичными задачами из других областей механики сплошной среды, таких как газовая динамика и магнитная гидродинамика [1-3]. Диссертация содержит исследование волн Римана, разрывов и решений их содержащих.

Изучению плоских простых и ударных волн в изотропной упругой среде при отсутствии начальных деформаций или начальных деформациях специального вида, не нарушающих изотропии начального состояния, посвящены, например работы [4-10]. В монографии [4] в произвольной изотропной сжимаемой среде предполагается слабая нелинейность, что позволяет вести исследование разложением по малым деформациям. Волны разделяются на квазипродольные и квазипоперечные. Описаны волны Римана и указаны условия их опрокидывания. Одна из квазипоперечных волн в процессе движения не меняет своей формы и обладает круговой поляризацией, другая - плоскополяризованная. Описано множество состояний за ударной волной, распространяющейся по недефор-мированному состоянию, и скорости ударных волн. Вычислено изменение энтропии в ударных волнах небольшой интенсивности. Оказалось, что в квазипродольных волнах оно имеет третий порядок по амплитуде скачка, в поперечных плоскополяризованных - четвертый, а в поперечных волнах с круговой поляризацией изменение энтропии отсутствует. В зависимости от знака некоторой комбинации упругих констант ус квазипоперечные волны, распространяющиеся по изотропному начальному фону, могут быть либо только неопрокидывающимися волнами Римана (в средах с ус > 0), либо только ударными волнами (в средах с к < 0).

В работах [7-10] изучались нелинейные волны произвольной интенсивности в предварительно деформированных средах. Деформированное состояние, как начальное, так и текущее, характеризовалось двумя величинами - продольным сжатием в направлении, перпендикулярном фронту, и модулем деформации сдвига в направлениях, параллельных фронту. При подходящем выборе состояния, принимаемого за начальное, возникает изотропия в плоскости постоянной фазы волн. Поэтому оказалось, что одна из волн обладает круговой поляризацией, а две других - плоскополяризованные.

В работах [9-14] изучались нелинейные волны произвольной интенсивности в упругой среде некоторого специального вида, у которой упругий потенциал представлен суммой двух слагаемых, зависящих соответственно от первого и второго инвариантов тензора линейных деформаций. Даже в случае произвольных начальных деформаций упругий потенциал такой среды не зависит от направления вектора сдвиговых деформаций и является функцией только двух переменных - продольной деформации и модуля сдвиговых деформаций. Свойства нелинейных волн в такой среде похожи на те, которые были получены в [7-10]. В частности, одна из волн обладает круговой поляризацией.

Наличие круговой поляризации у одной из волн является следствием специального вида функции внутренней энергии. Внутренняя энергия зависит не от трех переменных, характеризующих деформацию, как это положено в общем случае, а только от двух - деформации сжатия в направлении нормали к фронту и модуля деформации сдвига. Подобным свойством обладает среда с вмороженным в нее магнитным полем в магнитной гидродинамике. Именно в магнитной гидродинамике впервые было обнаружено существование вращательной простой волны [15] и вращательного разрыва [16]. Нелинейные волны произвольной интенсивности в магнитной гидродинамике подробно описаны в [3]. Для них характерно разделение нелинейных волн на вращательные и плоскопо-ляризованные, независимость взаимодействия разрывов с плоскополяри-зованными и поперечно поляризованными возмущениями.

Зависимость упругого потенциала среды в общем случае от трех компонент деформации, которые меняются в плоских волнах, происходит в результате анизотропии начального фона: среда по-разному реагирует на сдвиги в различных направлениях, что не улавливается ни одной из моделей, описанных выше. Это снимает вырождение задачи, вызванное специальным видом симметрии в постановке задачи.

В работе [17] приведен обзор развития исследований волн в упругих средах с учетом квадратичной и кубической нелинейности. Отмечено, что волны в средах с квадратичной нелинейностью исследованы существенно больше. При изучении нелинейных, в том числе сдвиговых волн, в работах [18-20] использована пятиконстантная модель Мурнагана. Волны с кубической нелинейностью рассмотрены в [21]. Во всех этих работах среда принималась изотропной.

В [22] дано подробное обсуждение представления в общем виде условий на фронте ударных волн и фронтов фазовых переходов в сплошных средах, в том числе с учетом поверхностных источников и действия электрического и магнитного полей. Приведены для этих случаев уравнения адиабаты Гюгонию.

Во многих работах последних лет (в основном по линейным волнам, но и по нелинейным тоже) отмечается важность учета предварительных деформаций и анизотропии среды, в том числе вызванной начальными деформациями [23-26]. Наличие анизотропии среды, в том числе и вызванной произвольной начальной деформацией, приводит к тому, что уже в линеаризованной постановке обнаруживается различие в скоростях поперечных волн. Зависимость характеристических скоростей линеаризованных волн от состояния фона приведена, например, в известной монографии [23]. Монография [24] посвящена систематическому изложению теории распространения упругих волн в сжимаемых и несжимаемых материалах с начальными напряжениями. Указаны качественные и количественные эффекты влияния начальных напряжений на характер волновых процессов. Результаты получены в рамках линеаризованной теории. Распространение плоских нелинейных волн по предварительно деформированному состоянию в изотропной упругой среде при тех или иных условиях рассматривались в [27-30]. В работе [27] начальная деформация и вызванная ей анизотропия фона считается конечной, что позволило рассмотреть ударные волны очень слабой интенсивности (окрестность начального состояния на ударной адиабате). Указана возможность найти параметры состояния за скачком, скорость разрыва и изменение энтропии в виде ряда по интенсивности скачка. Показано, что условия эволюционности для изучаемых слабых волн выполняются одновременно с условиями роста энтропии.

В работах [28-30] с использованием разложений внутренней энергии среды в ряд по степеням деформации (аналогично [4]) исследовались выражения для скорости скачков при определенных специальных видах начальной деформации. Получен ряд частных результатов: найдены условия существования чисто продольных и чисто поперечных ударных волн, показано, что изменение энтропии в квазипродольных волнах имеет третий порядок и выяснен его знак, показано, что для квазипоперечных волн в третьем порядке по амплитуде скачка изменения энтропии не происходит. Эволюционность ударных волн не исследовалась. Впоследствии оказалось, что некоторые из найденных ударных волн, в частности, чисто поперечные неэволюционны.

В данной работе для изучения плоских нелинейных волн предлагается несколько моделей упругой среды. Их объединяет то, что во всех случаях у фона, по которому распространяются волны, предполагается наличие малой волновой анизотропии. Наиболее полно проведено исследование волн не слишком большой интенсивности, когда можно пользоваться разложением в ряды по степеням малой амплитуды всех интересующих характеристик движения, аналогично тому, как это было сделано в( [4]) в случае изотропной среды. Разложение ведется до первых (главных) членов, несущих нелинейность и анизотропию. Такое представление возможно для сред самого общего вида. При этом для изотропной среды с предварительными деформациями использован упругий потенциал в виде разложения по инвариантам тензора конечных деформаций с учетом большего числа членов, чем принято в модели Мурнагана, так чтобы в разложении были члены четвертого порядка по компонентам деформации. Предположение о малости начальных деформаций и анизотропных свойств позволяет провести исследование для всех возможных значений фазового пространства деформаций в пределах принятой точности. Указано, какие именно элементы предварительной деформации материала вносят вклад в волновую анизотропию фона.

Чтобы показать, как характер анизотропии разного рода влияет на поведение нелинейных волн, предложена модель упругой среды с анизотропией другого строения, а именно материал, обладающий свойствами симметрии кубического кристалла. Линейные волны в такой среде описаны в [31]

Для волн конечной (не малой) интенсивности предложено рассмотреть модель среды с изотропной нелинейностью произвольного общего вида и малой волновой анизотропией. При этом характер нелинейности может меняться при прохождении волны.

Для всех указанных сред проведено исследование нестационарных решений в виде волн Римана. Найдены характеристические скорости и указана в явном виде их зависимость как от интенсивности волн, так и от параметров анизотропии фона. Изменения деформаций при прохождении волн представлены в виде интегральных кривых в фазовом пространстве деформаций сдвига. Найдены условия опрокидывания волн Римана.

Изучение ударных волн базируется на интегральных законах сохранения массы, импульса и энергии и требовании второго закона термодинамики. Соотношения на разрыве позволяют найти множество состояний за скачком, в которые возможен ударный переход из заданного начального состояния с соблюдением законов сохранения. По аналогии с газовой динамикой это множество названо ударной адиабатой. В предполагаемом отсутствии выделения энергии на разрыве, состояния на ударной адиабате должны удовлетворять второму закону термодинамики в виде условия неубывания энтропии при переходе через фронт скачка.

Кроме того, ударные волны должны удовлетворять условиям эволю-ционности, которые представляют собой необходимые условия устойчивости фронта, т.е. условия корректности выставления граничных условий для линеаризованной задачи о взаимодействии ударной волны с малыми одномерными возмущениями. Для газовой динамики эти условия были предложены в [2], для произвольной гиперболической системы, выражающей законы сохранения в [32], а также [2], для магнитной гидродинамики в [33], а также [3].

Для всех предложенных моделей упругой среды найдена и исследована ударная адиабата квазипоперечных ударных волн. Ее проекция на фазовую плоскость двух компонент деформации сдвига представляет кривую, в виде петли с самопересечением в начальном состоянии. На ударной адиабате проведен отбор состояний, отвечающих условию неубывания энтропии, и выделены участки удовлетворяющие одновременно и требованиям эволюционности. При этом кроме эволюционных ударных волн, всегда существующих в области, примыкающей к начальному состоянию (согласно теореме Лакса), для всех моделей обнаружены ударные волны, амплитуды которых конечны и не могут быть сделаны как угодно малыми. На ударных адиабатах такие ударные волны представлены отрезками, отделенными от начального состояния конечными областями неэволюционных волн. Кроме того, оказалось, что существуют некоторые неэволюционные ударные волны, которые можно представить как две эволюционные, движущиеся с одинаковыми скоростями.

Важным критерием возможности реализации тех или иных ударных волн служит наличие у них структуры, внутри которой действуют дисси-пативные механизмы, ведущие к необратимости. Известно, что бывают случаи, когда решение автомодельных задач с использованием непрерывных волн и эволюционных (в указанном смысле) ударных волн оказывается неоднозначным [34-36]. Причиной может быть неправильное выделение реализующихся разрывов, входящих в решение. Требование существования структуры может в этих случаях дать дополнительные условия, что приведет к выделению разрывов, которые рассматриваются как реализующиеся [35-37]. В работе выполнено исследование структуры всех ударных волн с использованием диссипативного механизма на базе вязко-упругой среды Кельвина-Фойхта. Оказалось, что все ударные волны, отобранные по предыдущим правилам, обладают стационарной структурой и никаких новых реализуемых разрывов это исследование не выявило.

В работе проведено построение решения двух автомодельных задач - о действии внезапного изменения нагрузки на границе упругого полупространства (аналог задачи "о поршне"в газовой динамике) и задачи о распаде произвольного начального разрыва. В каждом случае решение состоит из последовательности неопрокидывающихся центрированных волн Римана и эволюционных ударных волн, следующих одна за другой в порядке убывания скоростей с однородными состояниями между волнами. В зависимости от начально-граничных параметров задачи последовательности могут содержать от одной до четырех различных волн.

При построении решений автомодельных задач обнаружено совершенно новое для классической нелинейной теории упругости явление. Оказалось, что при некоторых соотношениях между величинами, характеризующими начальную деформацию и анизотропию фона, имеются целые конечные области на фазовой плоскости деформаций сдвига, задающих граничные условия, для которых решение автомодельной задачи оказывается неединственным (двузначным). Наличие этого факта полностью обусловлено присутствием волновой анизотропии среды. При стремлении анизотропии к нулю размеры этих областей неединственности на фазовой плоскости остаются конечными. Однако на плоскости сектор, в котором имеющиеся решения существенно различаются, становится уже. При полном отсутствии анизотропии оба решения в указанных областях совпадают между собой. В данной работе не ставится вопрос о выборе решения, которое осуществляется в конкретных задачах. Этому посвящены работы других авторов [38-40].

Предложен некоторый достаточный признак, по которому можно судить о возможности появления неединственности для систем уравнений, выражающих законы сохранения, не проводя полного решения автомодельной задачи, только по виду свойств соотношений эволюционности.

Результаты данной работы получены аналитическими и качественными методами, и их справедливость не зависит от каких-либо дополнительных, не всегда хорошо контролируемых обстоятельств, которые всегда появляются в случаях использования численных методов.

Результаты диссертации охватывают целиком всю цепочку необходимых сведений об одномерных волнах малой амплитуды в слабоанизотропных упругих средах: построение моделей, исследование волн Римана и разрывов и, наконец, полное исследование решений классических автомодельных задач - задачи о поршне и задачи о распаде произвольного начального разрыва.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Свешникова, Елена Ивановна

Выводы

1. Построены упругие потенциалы для моделей сред, описывающих распространение одномерных плоских волн в разных ситуациях и при разных нелинейных и анизотропных свойствах среды. Отмечено, что для нелинейных волн небольшой интенсивности нелинейность у поперечных упругих волн проявляется в более высоком приближении, чем у продольных и газодинамических.

2. Для гиперболической системы квазилинейных одномерных уравнений теории упругости получены решения в виде плоских волн Римана. Найдены характеристические скорости и отмечена их зависимость от нелинейности и анизотропии, в том числе вызванной предварительной деформацией. Построены интегральные кривые быстрых и медленных квазипоперечных волн на фазовой плоскости деформаций сдвига. Они представлены двумя семействами взаимно ортогональных линий с особыми точками, положение которых определяется анизотропией среды.

3. Для движений с разрывами найдено множество состояний, в которые можно совершить переход скачком из фиксированного начального состояния с соблюдением законов сохранения (ударная адиабата). Для квазипоперечных ударных волн построена и исследована проекция ударной адиабаты на фазовую плоскость деформаций сдвига.

На ударной адиабате выделены области, отвечающие соблюдению второго закона термодинамики - принципу неубывания энтропии на разрыве, и состояния, которые одновременно с термодинамическим требованием удовлетворяют условиям эволюционности (необходимым условиям устойчивости разрыва).

Показано, что для квазипродольных ударных ударных волн требование эволюционности и термодинамическое совпадают. Для квазипоперечных ударных волн волн небольшой интенсивности условия эволюционности более строгие и целиком включают в себя термодинамическое.

4. Введено понятие ударных волн Жуге (по аналогии с газовой динамикой), у которых скорость разрыва совпадает с характеристической скоростью перед или за фронтом разрыва. Эти состояния служат границами эволюционных участков на ударной адиабате. Соотношения эволюционности делят все квазипоперечные ударные волны на быстрые и медленные.

На ударной адиабате квазипоперечных волн указано количество и расположение участков, для которых выполнены условия эволюционности (эволюционных участков). В соответствии с теорией гиперболических систем Лакса, к начальному состоянию всегда примыкают эволюционные участки быстрой и медленной ударных волн. Интенсивность скачков в эти состояния может быть сделана бесконечно малой, и в пределе они совпадают с изменениями в волах Римана. Поэтому ударная адиабата в фазовом пространстве деформаций сдвига касается в начальной точке интегральных кривых волн Римана, имея в этой точке самопересечение.

5. Обнаружено, что для всех рассмотренных моделей имеются еще эволюционные участки квазипоперечных ударных волн, не примыкающие к начальной точке. Скачки в такие состояния имеют конечную величину и не могут быть сделаны как угодно малыми. В классической теории упругости ударные волны такого типа обнаружены впервые. Показано, что причиной указанного свойства квазипоперечных ударных волн является наличие у начального состояния анизотропии в плоскости фронта.

6. Показано, что имеются квазипоперечные неэволюционные ударные волны, которые можно рассматривать как две слившиеся эволюционные быструю и медленную, идущие с одинаковыми скоростями.

7. Для волн небольшой интенсивности (как в модели с анизотропией общего вида, так и для сред с тригональной симметрией) исследована задача о структуре всех квазипоперечных разрывов. На основе модели вязкоупругой среды Кельвина-Фойхта показано, что все эволюционные разрывы обладают стационарной структурой.

8. Построено решение автомодельной задачи о действии внезапного изменения нагрузки на границе однородного упругого предварительно деформированного полупространства. Решение состоит из последовательности автомодельных (центрированных) волн Римана и эволюционных ударных волн, следующих одна за другой в порядке убывания скоростей. При заданном фиксированном начальном состоянии фазовая плоскость заданных на границе компонент сдвига разбита на области, для каждой из которых указана конструкция решения и положение границы области.

9. На фазовой плоскости, представляющей граничные деформации, обнаружены области, для которых решение автомодельной задачи оказалось неединственным (двузначным). Показано, что появление областей неединственности связано с наличием у начального состояния среды волновой анизотропии. Области неоднозначности не исчезают с уменьшением анизотропии и сохраняют конечные размеры, когда анизотропия становится как угодно малой, но отличной от нуля. При полном отсутствии анизотропии оба решения в указанной области сливаются.

Неединственность решений автомодельных задач в нелинейной теории упругости обнаружена впервые и ставит для дальнейшего вопрос о выборе реализующегося решения. В работе этот вопрос не рассматривается. Разрешить его невозможно без выхода за пределы модели упругого тела и усложнения системы гиперболических уравнений дополнительными членами. В рамках теории упругости обнаруженная неоднозначность разумными подходами неустранима.

10. Для волн небольшой интенсивности построено решение классической задачи о распаде произвольного начального разрыва. Решение состоит из последовательностей простых и эволюционных ударных волн, идущих от границы раздела в каждое полупространство. В решении также может появляться неединственность для некоторых областей условий на контакте.

11. Предложен некоторый достаточный признак, по которому можно предвидеть возможность появления неединственности, не проводя полного построения решения автомодельной задачи, а по виду диаграммы эволюционности. Указанное свойство может быть обобщено на другие гиперболические системы, полученные из законов сохранения.

Я выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю и постоянному соавтору Андрею Геннадьевичу Куликовскому за доброе внимание и помощь в работе.

Заключение

В работе рассмотрены движения с одномерными плоскими нелинейными волнами в упругой среде. Предложено несколько моделей задания упругой среды, которые позволяют выявить особенности поведения нелинейных волн разных типов и в разных ситуациях. Модели задаются своей внутренней энергией единицы объема (упругим потенциалом) в виде функции компонент тензора деформаций и энтропии. Все исследования проводятся в переменных Лагранжа. Наиболее полное и подробное изучение выполнено для нелинейных волн небольшой интенсивности, когда применим метод разложения в ряды по малым амплитудам изменения деформаций. Произвольная функция компонент деформации и энтропии разложена в ряд по степеням амплитуд волн с удержанием такого количества членов разложения, которые позволяют отследть нелинейное поведение волн и влияние анизотропии в главных членах.

Оказалось удобным изучать нелинейное поведение квазипродольных и квазипоперечных волн отдельно. Для каждой из категорий многочлен, представляющий упругий потенциал, может быть упрощен. Для обнаружения нелинейного поведения квазипродольных волн в разложении достаточно ограничиться кубическими степенями по амплитудам, т.е. следующими после линейной модели. В этом квазипродольные волны аналогичны, в частности, слабонелинейным волнам в газовой динамике. И все их свойства качественно повторяют газодинамические. Поэтому в работе им внимания не уделяется.

Квазипоперечные волны, как на это уже указывалось в [4], в следующем после линейного приближении нелинейного поведения не обнаруживают. Необходимость вести разложение упругого потенциала до четвертых по амплитудам степеней указывает на то, что в зависимости касательных напряжений от деформаций сдвига нелинейность носит кубический характер, т.е. проявляется гораздо слабее, чем в волнах сжатия, и нужны более точные методы для ее изучения.

Полученная для упругого потенциала функция содержит всего три упругих постоянных, характеризующих среду. Одна из них - модуль сдвига /х, определяющий скорости линейных поперечных волн. Вторая упругая постоянная - коэффициент нелинейности х, который имеет конечную величину и может иметь любой знак в зависимости от направления выпуклости графика касательных напряжений от деформаций сдвига. Показано, что знак и качественным образом меняет все поведение нелинейных волн. Третья упругая постоянная д характеризует анизотропию среды, а вернее начального состояния фона, по которому распространяются волны.

В работе рассматривается анизотропия начального состояния в плоскостях, параллельных фронту, и поэтому не меняющаяся при прохождении плоских волн. Такая анизотропия названа волновой и только она фигурирует во всей работе. Она может присутствовать и в изотропной среде, вызванная предварительной деформацией состояния фона. В случае исходно изотропной среды получено выражение для коэффициента анизотропии д через компоненты е\ и е2 сжатия-растяжения вдоль главных осей тензора деформации в плоскостях, параллельных фронту волн, д = -(в! — е2). Чтобы эффекты анизотропии не подавляли проявление 2 нелинейности необходимо, чтобы коэффициент д при анизотропном слагаемом в разложении был мал, порядка квадрата амплитуды, а зависимость от текущих деформаций щ, щ представлена квадратичной зависимостью. Тогда нелинейные и анизотропные члены разложения будут иметь одинаковый порядок.

Проведена оценка достаточности точности принятого разложения путем добавления следующих членов в разложение упругого потенциала. Показано, что новых качественных эффектов в поведении нелинейных волн это не обнаруживает, и модель, содержащая только с главные члены разложения вполне улавливает все особенности поведения простых и ударных волн.

Для выяснения влияния вида анизотропии среды на поведение нелинейных волн рассмотрена модель некоторого специального вида, у которой в разложении упругого потенциала не оказалось анизотропных квадратичных по амплитудам слагаемых и, следовательно, нужно было учесть следующие - кубические - члены. Примером такого случая может служить среда с тригональной симметрией упругих свойств, в которой имеется симметрия относительно поворотов на углы 27г/3. Для такой среды выписан в явном виде упругий потенциал для описания квазипоперечных волн. Он характеризуется аналогичными тремя упругими постоянными. Представляет интерес частный случай, когда носителем нелинейности и анизотропии служит один и тот же член разложения.

Для изучения волн конечной интенсивности предложена среда с упругим потенциалом в виде суммы двух слагаемых - одно из них содержит изотропную нелинейность произвольного вида, второе - волновую анизотропию. Среда предполагается несжимаемой. Наиболее интересные эффекты поведения нелинейных волн связаны с предположением, что нелинейная зависимость напряжений от деформаций может иметь точку перегиба, а это значит, что при прохождении волны может меняться характер нелинейности, что для волн небольшой интенсивности соответствовало бы изменению знака коэффициента нелинейности ус. Исследование волн небольшой амплитуды показало, что это ведет к кардинальному изменению поведения волн.

Задание в явном виде упругого потенциала замыкает систему дифференциальных уравнений теории упругости. Для всех перечисленных моделей у этой гиперболической квазилинейной системы найдены и исследованы решения в виде простых волн (волн Римана). Для квазипоперечных волн найдены явные выражения характеристических скоростей двух пар волн, движущихся ортогонально фронту в обе стороны. Указана их зависимость от свойств среды и начальных деформаций сдвига. По величине характеристических скоростей они названы быстрыми и медленными. Различие скоростей обусловлено нелинейностью и анизотропией среды. Для волн небольшой интенсивности разность скоростей быстрых и медленных волн пропорциональна второй степени амплитуд. Это ведет к тому, что две квазипоперечные волны могут взаимодействовать между собой при движении, в то время как более быстрая квазипродольная со скоростью, отличной на конечную величину, всегда уходит вперед и не участвует во взаимодействиях. Это позволило рассматривать поведение квазипоперечных волн отдельно и независимо от квазипродольной.

Изменение величин в волнах Римана представлено на фазовой плоскости компонент сдвига щ и щ в виде интегральных кривых. Приведены уравнения для этих кривых и их изображение на указанной плоскости. Интегральные кривые представлены двумя семействами взаимно ортогональных линий, соответствующих быстрым и медленным волнам. Кривые имеют особые точки, в которых характеристические скорости быстрых и медленных волн совпадают. Для волн небольшой интенсивности особых точек две для среды с анизотропией общего типа и четыре в средах с тригональной симметрией; для модели, принятой здесь для волн конечной интенсивности особых точек три пары. Существование и положение особых точек определяется анизотропией среды, в изотропной среде все они сливаются в одну в начале координат на плоскости деформаций. В средах с волновой анизотропией решение в виде волн Римана у уравнений теории упругости существуют всегда (в отличие указанного в [4] ограничения). На интегральных кривых указаны направления изменения параметров, которые ведут к опрокидыванию волн и образованию разрывов. Эти направления существенно зависят от характера нелинейности. Отмечено, что невозможны волны Римана, ведущие к перемене знака деформаций щ и

Изучение ударных волн основано на использовании соотношений на разрывах, которые получены из законов сохранения массы, импульса, энергии. При заданном фиксированном деформированном состоянии перед разрывом эти соотношения позволяют найти множество состояний, в которые можно совершить переход скачком с соблюдением законов сохранения. Это множество в фазовом пространстве компонент деформации называют ударной адиабатой. Из-за большой разницы в скоростях движения квазипродольные и квазипоперечные волны при движении не взаимодействуют, квазипродольная всегда уходит вперед, создавая за собой легко определяемый фон, по которому затем движутся квазипоперечные волны. Далее обсуждаются только ударная адиабата квазипоперечных ударных волн и особенности их поведения.

Ударная адиабата квазипоперечных ударных волн найдена и изображена в виде проекции полной адиабаты на плоскость двух деформаций сдвига щ, щ (аналогично интегральным кривым волн Римана). Вследствие отсутствия источников массы, импульса, энергии на фронте скачка, ударная адиабата всегда проходит через начальную точку, представляющую состояние перед разрывом. Форма ее определяется видом упругого потенциала. Для слабонелинейной среды с анизотропией общего вида это кривая третьего порядка в виде петли с самопересечением в начальной точке и хвостами, уходящими в бесконечность вдоль асимптот. Для среды с тригональной симметрией ударная адиабата состоит из трех ветвей, тоже уходящих хвостами в бесконечность, две ветви имеют самопересечение в начальной точке, а третья ветвь через начальную точку не проходит. Для волн конечной интенсивности ударная адиабата может содержать несколько ветвей, в том числе изолированных и не проходящих через начальную точку. Во всех случаях в начальной точке имеется ортогональное самопересечение двух ветвей. Это отражает тот факт, что изменение параметров в бесконечно слабых скачках мало отличается от соответствующих изменений в непрерывных волнах Римана, поэтому в непосредственной близости начального состояния ветви ударной адиабаты касаются интегральных кривых волн Римана быстрого и медленного семейств.

На ударной адиабате квазипоперечных волн выделены те состояния за фронтам, которые подчиняются второму закону термодинамики, т.е. скачки происходят с неубыванием энтропии. Положение этих областей существенно зависит от нелинейных свойств среды. Для волн небольшой интенсивности - от знака коэффициента нелинейности х. Для волн конечной интенсивности - от графика зависимости модуля касательных напряжений от величины деформации сдвига.

Разрывы должны удовлетворять еще соотношениям эволюционности, которые представляют собой необходимые условия устойчивости разрыва по отношению к малым одномерным возмущениям. Это есть требование корректности выставления граничных условий на фронте разрыва для возможности однозначной разрешимости линеаризованной задачи для малых отраженных возмущений. Требование эволюционности приводит к соотношениям в виде неравенств между скоростью разрыва и характеристическими скоростями перед и за фронтом. Границы в этих соотношениях представлены равенствами, где скорость разрыва совпадает с одной из характеристических скоростей (быстрой или медленной) перед или за фронтом. Такие разрывы, по аналогии с теорией детонации, названы волнами Жуге. Скорость ударной волны Жуге совпадает с какой-либо характеристической скоростью, а это значит, что к ней непосредственно сзади или спереди может примыкать волна Римана того же типа. Это делает волны Жуге очень важными в процессе построения решений в виде последовательностей волн, что использовано в этой работе.

Соотношения эволюционности делят все квазипоперечные ударные волны на быстрые и медленные. Вычислив изменение скорости разрыва вдоль ударной адиабаты, можно указать на ней участки, соответствующие быстрым и медленным эволюционным ударным волнам (можно для краткости назвать их эволюционными участками ударной адиабаты). На ударной адиабате всегда имеются эволюционные участки быстрых и медленных волн, примыкающие к начальной точке ( [32]). Этим участкам принадлежат ударные переходы, интенсивность которых может быть как угодно малой, и изменения в них почти не отличаются от соответствующих изменений в опрокидывающихся волнах Римана того же типа. Кроме того, на ударной адиабате квазипоперечных упругих волн имеются еще эволюционные отрезки, не примыкающие к начальной точке, их интенсивность не может быть сделана как угодно малой. В работе они названы ударными волнами второго типа. Такие ситуации встречались ранее в задачах газовой динамики, но в средах с очень специальными уравнениями состояния [34]. Появление таких эволюционных ударных волн в классической теории упругости обнаружено впервые. Эволюционные ударные волны второго типа имеются во всех рассмотренных моделях. Появление эволюционных ударных волн второго типа - следствие наличия у среды малой волновой анизотропии (при большой анизотропии они отсутствуют). Количество и расположение на ударной адиабате эволюционных отрезков существенно зависит от двух факторов: во-первых от нелинейных свойств среды (для слабонелинейных сред от знака коэффициента к) и во-вторых от соотношения между величиной (модулем) начальной деформации сдвига и коэффициентом анизотропии.

Одновременное выполнение термодинамического требования неубывания энтропии и условий эволюционности показало, что для волн небольшой интенсивности (слабонелинейных сред) условия эволюционности для всех перечисленных моделей оказались более сильными.

Показано, что в упругой среде с предварительной деформацией могут существовать ударные волны при любом виде нелинейности (любом знаке х), в отличие от изотропной среды без начальных деформаций [4].

Установлено, что в любых нелинейных средах в отсутствии волновой анизотропии обязательно имеются ударные волны в виде вращательного разрыва. Эти волны являются чисто поперечными, соответствующий им участок ударной адиабаты имеет вид окружности, проходящей через начальную точку. На всей этой окружности энтропия постоянна, такая же как перед фронтом, а потому в таких разрывах диссипация отсутствует. Эта часть ударной адиабаты совпадает с одной из интегральных кривых волн Римана. Эти волны являются аналогом альфвеновских волн в магнитной гидродинамике.

Для слабонелинейной среды с анизотропией общего вида на ударной адиабате указаны неэволюционные ударные волны, каждая из которых может распадаться на две эволюционные (быструю и медленную), движущиеся с одинаковой скоростью.

Условия эволюционности, используемые в работе, основаны на том, что на фронте разрыва выполнены законы сохранения, а других каких-либо дополнительных условий нет. Однако дополнительные соотношения могут возникать при исследовании структуры разрывов с использованием более сложной диссипативной модели. Дополнительные соотношения, когда они появляются, кардинально меняют всю конфигурацию эволюционных участков на ударной адиабате и по количеству и по расположению. Поэтому в работе проведено исследование для выяснения существования стационарной структуры у всех разрывов в слабонелинейных средах, как с анизотропией общего вида, так и с тригональной. В качестве диссипативного механизма в усложненных моделях, действующих внутри структуры, принималась вязкость и использовалась модель вяз-коупругой среды Кельвина-Фойхта. Показано, что в этой постановке все эволюционные разрывы обладают стационарной структурой и дополнительных соотношений из исследования структуры не появляется.

Для квазипоперечных волн построено решение автомодельной задачи о действии внезапного изменения касательной нагрузки,приложенной на границе упругого полупространства (аналог задачи "о поршне"в газовой динамике). Упругое полупространство предполагается находящимся в состоянии однородной предварительной деформацией сдвига. В начальный момент времени на его границе приложено и далее остается постоянным новое однородное напряжение, которое вызывает новую граничную деформацию. В результате от границы в область полупространства идет серия плоских волн, которые переводят начальное состояние (перед первой волной) в граничное (сзади последней волны). Для фиксированного начального состояния рассмотрены все возможные состояния на границе, которые можно представить фазовой плоскостью двух компонент граничных деформаций сдвига. Решение строится в виде последовательности эволюционных ударных волн и автомодельных (центрированных) волн Римана, которые идут одна за другой в порядке убывания скоростей. Между волнами находятся однородные состояния с постоянными параметрами. Каждая следующая волна идет по новому фону, созданному впереди идущей. Особую роль в этих последовательностях играют ударные волны Жуге, которые примыкают непосредственно к переднему или заднему фронту волны Римана того же типа без промежуточных областей постоянных параметров. В результате вся фазовая плоскость граничных состояний оказалась разбитой на области с разным составом волн в последовательностях. Решение может содержать от одной до четырех различных волн. Найдены границы областей с разными конструкциями решения.

Возможность построения полного решения автомодельной задачи служит окончательным критерием правильности отбора реализуемых разрывных решений. Решение автомодельной задачи подтвердило, что отобранных по перечисленным ранее правилам ударных волн хватает, чтобы построить решение при любых граничных условиях, и в то же время все отобранные ударные волны оказались использованными при построении решения автомодельной задачи.

При решении автомодельной задачи обнаружено, что некоторые соседние области с разными конструкциями волн в решении могут перекрываться, создавая на общей территории неединственность (двузначность) решения. Для сред с я < 0 такие области есть всегда, для сред с я > 0 - при определенных соотношениях между величиной (модулем) начальной деформации сдвига и коэффициентом анизотропии. Причиной появления неединственности служит присутствие волновой анизотропии, даже очень малой. А присутствие такой анизотропии ожидаемо практически всегда, так как показано, что может быть вызвано предварительной деформацией, причем как угодно малой. Когда анизотропия стремится к нулю, области неединственности не исчезают, сохраняют конечные размеры, и только когда анизотропия отсутствует вовсе, оба решения совпадают между собой. Неединственность решений автомодельных задач в классической теории упругости обнаружена впервые. Это явление ставит вопрос о выборе решения, которое фактически реализуется. В данной работе этот вопрос не обсуждается. Без выхода за рамки теории упругости с привлечением более сложной модели, этого сделать нельзя.

Построено решение классической автомодельной задачи о распаде произвольного начального разрыва на базе модели для волн небольшой интенсивности (с принятой степенью точности). Процесс решения состоит из двух этапов. На первом в линеаризованной постановке находятся состояния по разные стороны от контактного разрыва на границе двух сред для моментов времени t > 0. Затем для каждого из полупространств по разные стороны от контактного разрыва строятся решения задач "о поршне "с полученными на первом этапе граничными условиями. Как следствие в решении этой задачи тоже могут появляться области неединственности, что очень важно знать при использовании решения этой задачи в численных схемах.

Показано, что о возможности появления неединственности в решениях автомодельных задач можно судить, не проводя полного построения решения, по виду соотношений эволюционности ударных волн, входящих в состав решения. Неравенства эволюционности можно геометрически изобразить на некоторой диаграмме эволюционности, дающей иллюстрацию соотношений между скоростью разрыва в точках ударной адиабаты и характеристическими скоростями за и перед фронтом. Вид следа ударной адиабаты и эволюционных участков на ней позволяют указать достаточный признак того, что в решении могут появиться области неединственности. Сравнивая указание этого достаточного признака с полным решением задачи о поршне в упругой среде, видно, что неединственность возникла именно в тех областях областях, на которые указывал признак.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Свешникова, Елена Ивановна, 2008 год

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1994. т. 1,2 560 е.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

3. Куликовский А.Г. и Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.:, Физматгиз. 1962. 246 с.

4. Bland D.R. Nonlinear Dinamic Elasticity. Toronto; London; Waltham, 1969 = Бленд Д.P. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972. 183с.

5. Boa-Teh-Chu Transverse shock waves in incompressible elastic solid // J. Mech. Phys. Solids. 1967. No. 15, p. 1-14.

6. Галин Г.Я. О распространении возмущений в средах с нелинейной зависимостью напряжений от деформаций и температуры // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120. N.4. С.730-733.

7. Duvaut G. Etude de certains problems d'ondes de deformation plane en elastisite non lineare //J. Mec. 1969. v.8, No4, p 565-603.

8. Bazer, J. and Ericson, W.B. Nonlinear wave motion in magnetoelasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1974, V. 55, № 2, P. 124-192.

9. Hanyga A. Shear Waves // Polish Acad. Sci., Publications of Institute of Geophysics, Warszawa. 1975. № 98. 61 p.

10. Hanyga A. On the solution to the Riemann problem for arbitrary hyperbolic system of conservation laws // Polish Acad. Sci., Publications of Institute of Geophysics, 1976. A-l(98), Warszawa: Panstwowe wydanistwo naukowe.

11. И. Ленский Э.В. Об ударной адиабатеплоского продольно-сдвигового разрыва // Вест. МГУ. Сер. Математика, механика. 1981. № 1. С.94-96.

12. Ленский Э.В.Распространение плоских волн двухкомпонентного деформированного состояния в нелинейно-упругой сжимаемой среде // Вест. МГУ. Сер. Математика, механика. 1982. № 6. С. 101-106.

13. Ленский Э.В. Простые волны в нелинейно упругой среде // Вест. МГУ. Сер. Математика, механика. 1983. № 3. C.8Ü-86.

14. Ленский Э.В. Плоские волны сжатия-сдвига в нелинейноупругой несжимаемой среде // Известия АН СССР, МТТ.1983. Т. 18, № 6, С. 90-98.

15. Куликовский А.Г. О волнах Римана в магнитной гидродинамике // ДАН СССР. 1958. т. 121, № 6.

16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.VIII Электродинамика сплошных сред М.: Наука. 1982. 620 с.

17. Cattani С., Rushchitsky J. Cubically nonlinear elastic waves versus quadratically ones. Main wave effects // Прикл. мех. Киев. 2003. т.39 № 10, с.3-37, № 12, с. 3-45.

18. Krylovas A., Ciegis R. On the interaction on elastic waves // J/Civ/Eng/and Manag. 2003. 9, № 3, p. 218-224.

19. Минасян M.M. Распространение нелинейных квазипоперечных возмущений в упругих проводящих средах // Изв. АН Армении. Мех. 2000, 53, №4, с.30-37.

20. Рушчицкий Я.Я., Савельева Е.В. О взаимодействии поперечных кубически нелиненых плоских волн в упругом материале // Прикл. мех. 2006. 42, №6, с.61-70.

21. Enflo В.О., Hedberg С.М., Rudenko O.V. Wave motion in a medium with a cubic nonlinearity // Межд. конф. по механике "4 Поляховские чтения". С-Пет. 2006. Тезисы докладов, с.34.

22. Maugin G.A. Nonlinear waves in elastic crystals. Oxford: Oxford University Press. 1999. 313 p.

23. Гузь A.H. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Киев:, Наукова думка,1986, т. 1,2, т.1 372 е., т.2 535 с.

24. Гузь А.H. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями // Киев: A.C.K. 2004, 672 с.

25. Мартыненко М.Д., Фам Ши Винь, Нгуен Данк Вик Существование уединенных волн в нелинейной термоупругой среде с предварительными деформациями // Инж.-физ. ж. 1991. 61, №3, с.493-498, №4, с.685-689.

26. Caviglia Giacomo, Marro Angelo Reflection and transmission of transient waves in anisotropic elastic multilaers // Quart. J. Mech.and Appl. Math. 2003.56. №4, p.571-587/

27. Весоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. Киев:, Наукова думка, 1981, 216 с.

28. Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругом пространстве при конечных деформациях // ПММ. 1970. Т. 34, вып. 5.

29. Буренин A.A., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // ПММ. 1978. Т. 42, вып. 4, С. 711-717.

30. Филатов Г.Ф. О распространении продольных и поперечных ударных волн в упругой среде // ПМТФ. 1972. № 3.

31. Ж.Можен Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир. 1991. 560 с.

32. Lax, P.D. Hyperbolic systems of conservation laws. II // Communs. Pure Appl. Math. 1957. V. 10. 4. P. 537-566.

33. Ахиезер А.И., Любарский Г.Я., Половин P.B. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике // ЖЭТФ. 1958. Т.35. N.3. С.731-737.

34. Галин Г.Я. Об ударных волнах в средах с произвольным уравнением состояния // Докл. АН СССР. 1958. Т.119. N.6. С.1106-1109.

35. Галин Г.Я. К теории ударных волн // ДАН СССР. 1959. Т. 127, № 1. С.55-58.

36. Олейник O.A. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения // УМН. 1959. Т. 14. № 2(86). С. 159-164.

37. И.М.Гельфанд Некоторые задача теории квазилинейных уравнений // УМН. 1959. Т. 14. № 2(86). С. 87-158.

38. Чугайнова А.П. О формировании автомодельного решения в задаче о нелинейных волнах в упругом полупространстве // ПММ.1988. Т. 52, вып. 4. С. 692-697.

39. Чугайнова А.П. О выходе нелинейных волн на автомодельный режим в задаче о действии внезапного изменения нагрузки на границу упругого полупространства // Изв. АН СССР, МТТ.1990. Т. 25, № 3. С. 187-189.

40. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Об условиях распада нелинейной волны в вязкоупругой среде // Ж. вычисл. математики и мат.физики. 1998. Т. 38, № 2. С. 315-323.

41. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Моск. Лицей, 1998. 412 с.

42. Куликовский А.Г. и Свешникова Е.И. Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейно-упругих средах // ПММ. 1980. Т. 44, вып. 3, С. 523-534.

43. Treloar L.R. The Physics of Rubber Elasticity. Oxford: Clarendon Press, 1949 = Трелоар Л. Физика упругости каучука. М: Изд. иностр. лит., 1953. 240 с.

44. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Влияние изменения энтропии на форму ударной адиабаты квазипоперечных упругих волн / / ПММ. 2003. Т. 67. Вып.1, С. 88-98

45. А.Д.Авдеева, Е.И.Свешникова Квазипоперечные ударные волны в упругой среде с усложненным упругим потенциалом // МТТ. 2004. № 6. С.102-113.

46. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в слабоанизотропных упругих средах // ПММ. 1988. Т. 52. Вып.1, С. 410-415.

47. Birch F. Finite elastic strain of cubic crystals // Phys. Rev. 1947. V.47. N.ll. P.809-824.

48. Domanski W. Asymptotic equations for weakly nonlinear elastic waves in a cubic crystal // Intern. Ser. Numeri. Math. 1999. V.129. P.233-241.

49. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел, ч.2. М.: Наука, 1984.431 с.

50. Черных К.Ф., ЛитвиненковаЗ.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во ЛГУ. 1988.254 с.

51. Свешникова Е.И. Простые волны в нелинейно-упругой среде // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 4. С. 642-646.

52. Свешникова Е.И. Волны Римана в упругой среде с малой кубической анизотропией // ПММ. 2005. Т.69. Вып.1. С.75-83.

53. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Волны Римана в упругой среде при малой анизотропии // ПММ. 1993. т.57. вып.З. с.90-101.

54. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде // ПММ. 1982. т.46.вып.5. с.831-840.

55. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О некоторых свойствах ударной адиабаты вазипоперечных упругих волн // ПММ. 1984. т.48. вып.5. с.793-798.

56. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Ударные волны в упругих средах при исчезающее малой анизотропии Сб. Материалы Междунар. конфер "Чебышевские чтения". М.: МГУ 1996. т.2 с.405-408.

57. Куликовский А.Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами. Волны рекомбинации в магнитной гидродинамике // ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 6. С. 1125-1131.

58. Куликовский А.Г. Сильные разрывы в течениях сплошных сред и их структура // Тр. МИАН СССР. 1988. Т. 182. С. 261-291.

59. Куликовский А.Г. О возможном влиянии колебаний в структуре разрыва на множество допустимых разрывов // ДАН СССР. 1984. т. 275, № 6, 1349-1352.

60. Куликовский А.Г. О свойствах ударных адиабат в окрестности точек Жуге // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. № 2. С. 184-186.

61. Свешникова Е.И. Квазипопречные ударные волны в упругой среде при специальных видах начальной деформации //ПММ. 1983. Т. 47, вып. 4, С. 673-678.

62. Свешникова Е.И. Особенности эволюционности упругих ударных волн привырожденных начальных условиях //Труды МИАН, 1998. т. 223, с.270-275.

63. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О структуре квазипоперечных упругих ударных волн // ПММ. 1987. Т.51. Вып.6. С. 926-932.

64. Чугайнова А.П. Исследование структуры квазипоперечных ударных волн для определенного класса упругих сред // В сб.: Проблемы механики, экологии, технологии. М.: Наука. 1991.

65. Свешникова Е.И. Ударные волны в упругой среде с кубической анизотропией // ПММ. 2006. Т.70, вып.4, С.673-683.

66. Свешникова Е.И. Ударные волны в слабоанизотропном упругом несжимаемом материале // ПММ. 1994. Т.58, вып.З, С. 144-153.

67. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства // ПММ. 1985. Т. 49. вып. 2, С. 284-291.

68. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны, возникающие при изменении напряжений на границе упругого полупространства — В кн. Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллинн:, Валгус, 1985. С. 133-145.

69. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О распаде произвольного начального разрыва в упругой среде // ПММ. 1988. т.52. вып.6. с.1007-1012.

70. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О существовании и единственности автомодельных решений при наличии точек Жуге на ударной адиабате // ПММ. 1996. т.60. вып.1. с.66-71.

71. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Признак несуществования и неединственности решений автомодельных задач механики сплошной среды // ПММ. 2001. Т. 65, вып. 6. С. 971-982.

72. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И., А.П.Чугайнова О неединственности решений нелинейной теории упругости // Труды математического центра им.Лобачевского. Казанское математическое общ-во. 2002, т.16, с.6-25.

73. А.Г.Куликовский, Е.И.Свешникова, А.П.Чугайнова Некоторые проблемы нелинейной динамической теории упругости // Труды МИ-АН, 2005. т. 251, с. 173-199.

74. A.G.Kulikovskii, A.P.Chugainova, E.I.Sveshnikova Nonuniqueness of solution to nonlinear of the elasticity theory // Journal of Engineering Mathematics. Springer. 2006. Vol.55. No. 1-4. P.97-110.