Математическое моделирование процесса формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Любимова, Ольга Николаевна

• Любимова, Ольга Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Любимова, Ольга Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ СТЕКЛОМЕТАЛЛОКОМПОЗИТА.

1.1. Физическая постановка задачи.

1.2. Математическая постановка задачи.

1.2.1. Тепловая задача.

1.2.2. Деформационная задача.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ

СТЕКЛОМЕТАЛЛОКОМПОЗИТА.

2.1. Численный метод решения температурной задачи.

2.2. Физическая дискретизация деформационной задачи.

2.3. Метод решения деформационной задачи.

ГЛАВА 3. СОПОСТАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ТОЧНЫМ РЕШЕНИЕМ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ.

ГЛАВА 4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ОСТЫВАНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ

СТЕКЛОМЕТАЛЛОКОМПОЗИТА.

4.1. Первый этап температурной задачи.

4.2. Второй этап температурной задачи.

4.3. Третий этап температурной задачи.

4.4. Деформационная задача.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процесса формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита»

Способы изготовления новых композиционных материалов и построение математических моделей, позволяющих исследовать напряженно-деформированное состояние в процессе изготовления изделий из композиционных материалов, остаются актуальными задачами механики деформируемого твердого тела.

На современном этапе исследований проведенных в области материаловедения показано что стекло, и стеклокерамика по показателям удельной прочности на сжатие намного превосходят такие конструкционные металлы, как сталь, алюминиевые и титановые сплавы. Теоретическая прочность стекла по данным В.П.Пух [90],а также С.И. Сильвестровича [97] составляет от 10000 МПа до 25000 МПа. Высокая природная прочность практических стекол в отсутствии дефектов структуры подтверждена экспериментальной2, 46].

Однако известным и подтвержденным литературой фактом является и то, что эксплуатационная прочность стекла характеризуется величиной от 20 до 100 МПа, что составляет менее 1% от природной прочности стекла [11]. В первую очередь это связанно с элементарными процессами, происходящими в объеме и на поверхности практических стекол: развитием микронеоднородных областей и фазового разделения, проявлением термомеханических последействий процесса формирования, термическим разуплотнением поверхности, ростом локальных напряжений на границах микрообластей и неуравновешенными теплофизическими свойствами, образованием на поверхности активных центров абсорбции, а также возникновение гидролитических и механических повреждений [11, 18, 90, 99].

Совокупность указанных явлений приводит к зарождению и развитию в структуре стекла, особенно на поверхности разного рода раг зупрочняющих дефектов, среди которых наиболее типичными и опасными считаются микротрещины - очаги хрупкого разрушения [12, 56, 97].

Существенное повышение практической прочности является ключевой проблемой на пути использования стекла и стеклокерамики в конструкциях ответственного назначения. Исследования по этой проблеме проводились многими учеными, в том числе, такими как В.П. Пух, В.А. Бернштейн, Г.С. Пугачев, JI. Г. Байкова, Ф. Ф. Витман, JI. Г. Копчекчи, JI.A. Шитова. Основную роль в упрочнении изделий из стекла играет устранение поверхностных микротрещин. На современном этапе исследований это достигается нанесением различных защитных органических и неорганических покрытий, путем напыления или обработки растворами. Механизм упрочняющего действия защитных покрытий различного химического состава проявляется по-разному. Например, неорганические покрытия придают стеклу повышенную микротвердость и абразивоустойчивость, не слишком высокую гидрофобность и низкую протекторную защиту.

В.В. Пикулем предложен принципиально новый способ решения выше указанной проблемы [76, 81, 82]. Стеклометаллокомпозит состоит из внутреннего стеклянного слоя и наружных металлических обшивок. Сущность способа изготовления стеклометаллокомпозита заключается в том, что в пространство, ограниченное металлическими обшивками, заливают расплавленную стекломассу, которая при остывании надежно соединяется с обшивками и обжимается за счет разницы в коэффициентах температурного расширения слоев. Обжатие стеклянного слоя препятствует образованию поверхностных микродефектов, что ведет к резкому повышению статической и динамической прочности стеклянного слоя и всего композита в целом. Регулируя степень обжатия стеклянного слоя в процессе изготовления можно создавать композиционный материал со специфическими механическими свойствами. При высоком уровне обжатия стеклометаллоком-позит приобретает идеальные свойства для работы в условиях сжатия, а при низком уровне обжатия способен успешно работать не только на сжатие, но и в условиях изгиба и растяжения. Формирование композиционного материала производится при условии, что коэффициенты температурного расширения металлических обшивок превышают соответствующий коэффициент стеклянного слоя на величину, которая определяется условиями эксплуатации готового изделия.

При создании способа изготовления нового материала использовалась способность стекла надежно соединяться с металлами при определенном уровне температур стекла и металла. Спаивание зависит от температуры металлических обшивок и расплава, времени выдержки, давления, состава стекла и металла. Зависимость прилипания стекла и металла от температуры материалов и геометрии поверхности металла исследована в работах [2, 107]. Данные об изменении некоторых свойств стекла в зависимости от скорости нагрева, методики расчета плотности стекол в зависимости от температуры приведены в работах [51, 72].

При анализе, проведенном в работах [33, 76, 87, 116], было установлено, что по показателям прочности и жесткости стеклометалло-композит в 1,5-2 раза превосходит высокопрочные титановые сплавы. Из него можно изготавливать крупногабаритные конструкции различного назначения: глубоководные аппараты, резервуары для захоронения радиоактивных отходов, корпуса летательных аппаратов и ракет, конструкции космической техники, трубы, нефте и газопроводы. Показана так же и экономическая эффективность применения стекломе-таллокомпозита в глубоководной технике. В процессе изготовления стеклометаллокомпозита деформации и остаточные напряжения, вызванные остыванием композита, могут привести к разрушению изделия. Поэтому возникает необходимость в исследовании напряженно-деформируемого состояния оболочки из стеклометаллокомпозита в процессе его изготовления, и соответственно в построении математической модели, в рамках которой возможно это исследование.

В качестве объекта исследования выбрана полусферическая оболочка, вследствие повышенной прочности и жесткости полусферические оболочки находят широкое применение в технике, например, в виде оконечностей прочных корпусов глубоководных аппаратов, днищ резервуаров и т.п.

Появление и широкое внедрение в различные отрасли техники композитных материалов слоистой и волокнистой структуры вызвало необходимость в разработке новых методов расчета и проектирования оболочечных тел и конструкций, изготовляемых из этих материалов. Классическая теория, которая использовалась в прикладных методах расчета тонкостенных конструкций, не способна удовлетворительно описать напряженно-деформированное состояние композитных оболочек. За последние 50 лет предложено огромное количество различных вариантов теории трехслойных и многослойных оболочек. В работе [57] выполнен обширный обзор работ по расчету трехслойных пластин и оболочек.

В принципе любую задачу механики оболочек можно решать в трехмерной постановке, которая является более точной в сравнении с двумерной постановкой теории оболочек. Однако реализовать на практике эту возможность в требуемом объеме не удается вследствие чрезмерной сложности решения трехмерных задач. Согласно проведенным в работе [70] оценкам трудоемкости решения краевых задач, повышение размерности задачи на единицу увеличивает трудоемкость решения в 1000 раз. Многие задачи в точной постановке остаются практически неразрешимыми.

Специфические закономерности деформирования оболочечных тел являются физической предпосылкой к построению теории оболочек. Известно, что для обычных однослойных пластин и оболочек трехмерная задача теории упругости сводится к двумерной в результате введения допущений о характере распределений деформаций по толщине. Такими допущениями являются положение о сохранении прямыми нормалей к срединной поверхности и пренебрежение нормальными напряжениями, направленными перпендикулярно этой поверхности (гипотеза Кирхгофа-Лява). К каждому из наружных слоев трехслойной оболочки можно применить эти положения.

Иначе обстоит дело с внутренним слоем. Гипотеза о прямых нормалях к внутреннему слою из маложесткого материала, вообще говоря, неприменима. При исследовании общей деформации должно учитываться влияние на прогибы деформаций сдвига заполнителя.

В трехслойной конструкции имеют место также деформации растяжения (сжатия) заполнителя в поперечном направлении, которыми не всегда можно пренебрегать. Эти деформации обуславливают специфические для трехслойной конструкции местные деформации внешних слоев. Кроме того, нельзя забывать о необходимости учета самоуравновешенных сил. Об этой особенности деформирования неоднородных оболочек обычно упоминается вскользь, однако она заслуживает большего внимания. В этом можно убедиться, обратившись к статье [42], в которой показано, что зона затухания самоуравновешивающих составляющих краевых сил в слоистых оболочках в несколько раз превышает зону затухания в однородных оболочках, а при некоторых соотношениях упругих свойств и размеров оболочки влияние этого силового фактора распространяется на всю оболочку в целом. По мере увеличения числа слоев и сближения их упругих свойств влияние самоуравновешенных сил уменьшается. Это обстоятельство позволяет использовать для расчета определенного класса композитных оболочек сдвиговую теорию оболочек [13, 22,, 73, 75].

Самоуравновешенные силы оказывают существенное влияние на слоистые пластины и оболочки с небольшим числом слоев, упругие свойства которых имеют значительные различия. Применительно к трехслойным конструкциям с легким заполнителем принцип Сен-Венана не выполняется вследствие чего необходимо учитывать самоуравновешивающие составляющие краевых сил.

В связи с необходимостью учета деформаций сдвига и поперечных деформаций заполнителя решение уравнений для среднего слоя усложняется. Здесь приходится в зависимости от параметров конструкции и нагрузок прибегать к различным допущениям. Вопросам расчета трехслойных конструкций посвящено несколько тысяч публикаций. Основные подходы к построению трехслойных пластин и оболочек определились к 60-м годам 20-го века, и нашли свое отражение в обзоре [57].

В случае, когда слой заполнителя имеет весьма незначительную жесткость в направлении параллельном внешним слоям, эффективен метод, сущность которого заключается в том, что в заполнителе пренебрегают нормальными и касательными напряжениями, направленными параллельно внешним слоям. Такая расчетная схема, основанная на пренебрежении продольно направленными напряжениями в заполнителе, была предложена для трехслойных стержней A.JI. Рабиновичем [91] , а для трехслойных пластин Рейсснером [115] . Она естественным образом распространяется на трехслойные оболочки. Получающаяся при этом система уравнений не распадается на две независимые системы, как это имело место для трехслойных пластин. При потере устойчивости трехслойной оболочки имеют место две формы, одна из которых обусловлена в основном искривлением срединной поверхности оболочки, а другая — деформациями внешних слоев.

При указанных выше допущениях с учетом поперечной деформации заполнителя и изгибной жесткости внешних слоев уравнения для конечных смещений трехслойной цилиндрической оболочки с легким заполнителем получены в работе [58]. В этой же работе при дополнительном допущении о недеформируемости заполнителя в поперечном направлении, с помощью введения в систему нелинейных уравнений двух вспомогательных функций, получены уравнения для трехслойной цилиндрической оболочки. Недостаток описанного метода состоит в том, что он не позволяет учесть в заполнителе напряжения, направленные параллельно внешним слоям.

Для расчета трехслойных пластин при пренебрежении поперечными деформациями заполнителя часто пользуются приближенным методом, позволяющим учесть работу среднего слоя на продольные силы и моменты. В этом методе трехслойная пластина рассматривается как обычная однородная пластина. Специфика трехслойной конструкции учитывается тем, что в соотношениях между кривизнами и кручением, с одной стороны, и моментами и перерезывающими силами с другой (моменты и перерезывающие силы относятся ко всему сечению пластины) учитывается влияние деформаций поперечного сдвига заполнителя на прогибы.

Такая система уравнений для трехслойных пластин с ортотроп-ным заполнителем была получена в работе Лайбева и Батдорфа [112]. Однако в полученной ими системе не учтена изгибная жесткость внешних слоев. Здесь по существу к внешним слоям не применяется гипотеза Кирхгофа-Лява. При использовании уравнений из работы [112] возникает необходимость определения жесткостей изгиба, кручения и сдвига, а также коэффициентов Пуассона, относящихся ко всему сечению пластины. Для этого рекомендуется использовать экспериментальный путь установления зависимостей между моментами и кривизнами, перерезывающими силами и сдвигами. Вопрос о теоретическом определении этих параметров здесь оставляется открытым. Очевидно, что для расчетного определения этих жесткостей необходимо сделать некоторые предположения о характере распределения напряжений или смещений по толщине трехслойной пластины.

В случае легких заполнителей можно считать, что в среднем слое имеют место только равномерно распределенные по его высоте напряжения сдвига, а продольные силы и моменты воспринимаются лишь внешними слоями, в которых напряжения также равномерно распределены по толщине. Имеются ряд работ, где полученные таким образом уравнения используются при решении задач устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем [116, 117].

Обобщение уравнений работы [112] на трехслойные цилиндрические оболочки провели Штейн и Майерс в работе [118]. Трехслойная оболочка рассматривается здесь как цельная, но с учетом деформаций сдвига заполнителя. Получены статическим путем уравнения изгиба и устойчивости такой оболочки с ортотропным заполнителем. В уравнения входят жесткостные характеристики сечения оболочки, об определении которых можно повторить все выше сказанное относительно уравнений трехслойной пластины. В работе [118] записаны, в частности, уравнения для случая, когда легкий изотропный заполнитель работает только на сдвиг, а внешние слои — на продольные силы и моменты, причем напряжения в них распределены равномерно.

При исследовании общих деформаций трехслойной конструкции на основе представления о трехслойной пластине или оболочке как цельной, но с учетом деформаций сдвига заполнителя [112, 118], не учитывается изгибная жесткость внешних слоев. Учет изгибной жесткости внешних слоев может иметь существенное значение, если заполнитель очень слабо сопротивляется сдвигу. В этой схеме по существу не выполняется для внешних слоев положение о прямых нормалях. При определении жесткости здесь либо полагают изгибную жесткость равной нулю, либо задают смещения линейным образом по всей толщине трехслойной конструкции.

Еще один из способов определения напряженного состояния в трехслойных оболочках, предлагает записать уравнения трехслойной пластины, задавая линейный закон смещений только по толщине заполнителя, а к внешним слоям применить гипотезу Кирхгофа-Лява. При этом прямые линии в заполнителе, перпендикулярные к его срединной поверхности, остаются прямыми и в процессе деформации, но вследствие сдвига перпендикулярность нарушается. Нормаль, проведенная через все три слоя, в процессе деформации становится ломанной. Это положение можно назвать гипотезой прямых линий для заполнителя [57]. Такая схема позволяет учесть как деформации сдвига заполнителя, так и его работу на продольные силы, и моменты, а также изгибную жесткость внешних слоев. Из приближенных схем эта схема является, по-видимому, наиболее общей, можно приближенно учесть и поперечные деформации заполнителя. В качестве частных случаев из уравнений, полученных этим путем, можно получить уравнения для легких заполнителей и уравнения для жестких заполнителей. Гипотеза прямых линий для заполнителя использовалась Ван дер Нейтом [113], которым решены задачи устойчивости свободно опертой пластины при одностороннем и двустороннем сжатии, а также в работах [39, 59]. Большинство известных результатов по расчету и испытаниям трехслойных пластин и оболочек на прочность и устойчивость включено в сборник [1]. В работе [1] доказана возможность использования гипотезы ломаной линии для широкого класса задач трехслойных и многослойных оболочечных тел. Однако при этом не удается учесть самоуравновешенность внутренних сил по толщине пакета слоев слоистой оболочки.

В результате дискуссии по классической теории пластин [3, 23, 29,34, 35, 36, 37, 43, 45] были затронуты вопросы о физической состоятельности соотношений упругости и гипотез классической теории оболочек и пластин. Было показано, что введение обобщенной поперечной силы Кирхгофа приводит краевые условия в соответствие с би-гармоническим уравнением теории пластин, но это достигается за счет введения допущений в уравнения равновесия на краевых поверхностях пластин. Погрешность использования классической теории для расчета пластин и оболочек из реального материала определяется мерой близости реального и абстрактного материалов и погрешностью преобразования краевых условий, связанной с введением обобщенной поперечной силы Кирхгофа. Первая оценка погрешности классической теории произведена В. В. Новожиловым и P.M. Финкельштейн [74], она основана на геометрических особенностях оболочки. Х.М.

Муштари и К.З. Галимов [71] получили оценку, исходя из физических соображений. Оценка А.А. Гольденвейзера [38] получена методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости и в отличие от оценки [74] учитывает изменяемость напряженного состояния в оболочке.

Понятно, что при построении теории упругих оболочек приходится довольствоваться приближенными решениями, поскольку точное приведение трехмерных уравнений теории упругости к конечной системе двумерных уравнений невозможно в принципе. Определяющей характеристикой оболочки является относительная малость толщины в сравнении с ее тангенциальными размерами. Вследствие этого сопротивление материала оболочки в поперечных направлениях существенно слабее, чем в тангенциальных. Обобщенный закон Гука этого не учитывает [29, 35]. Более того, при построении теории оболочек в уравнения, связывающие поперечные компоненты тензора деформаций с компонентами тензора напряжений, следует вносить изменения, способные учесть повышенную податливость в поперечных направлениях. В результате приходим к выводу, что поперечные деформации слабо влияют на напряженное состояние оболочек; математическая модель упругого материала, учитывающая особенности деформирования в составе оболочки, может быть построена путем введения соответствующих изменений в те уравнения закона Гука, которые связывают поперечные компоненты тензора деформаций с компонентами тензора напряжений. [77].

Актуальность разработки метода решения трехмерных уравнений механики деформированного твердого тела, который позволит одновременно понизить размерность задачи и учесть самоуравновешенность внутренних сил и остаточные напряжения по толщине оболочки, в процессе изготовления стеклометаллокомпозита, и определила цели настоящего исследования. В.В.Пикулем предложен метод физической дискретизации трехмерных уравнений механики деформированного твердого тела с применением гипотез теории оболочек, который позволяет определить самоуравновешенность внутренних сил по толщине оболочки. В основу метода физической дискретизации трехмерных уравнений механики деформированного твердого тела положены известные факты:

- асимптотическая природа классической теории оболочек, построенной на базе гипотез Кирхгофа-Лява;

- достаточная для практики точность определения тангенциальных напряжений и перемещений срединной поверхности оболочки при использовании классической теории и теории типа Тимошенко;

- возможность точного удовлетворения силовых и геометрических краевых условий в каждой точке лицевой поверхности оболочки.

В настоящей работе на базе метода указанного выше предлагается принципиально новая математическая модель, в рамках которой возможно описать процесс формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита.

Целью настоящей работы является исследование напряженно деформированного состояния и температурного режима в процессе формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита, а также разработка метода определения деформационных и температурных полей в процессе формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Первая глава работы посвящена математическому моделированию процесса формирования трехслойной оболочки из стеклометаллоком-позита. В первом параграфе представлена физическая постановка задачи, с учетом проведенного обзора литературы и некоторых специфических свойств стекла. Во втором параграфе первой главы непосредственно записываются соотношения представляющие математическую модель процесса формирования композиционного материала состоящую фактически из двух задач тепловой и деформационной.

Вторая глава настоящей работы содержит методы решения тепловой и деформационной задач сформулированных в первой главе. В первом параграфе приведено описание метода решения многомерной нелинейной температурной задачи. Предложен устойчивый и экономичный алгоритм решения задачи по определению температурно-временного режима остывания трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита. Во втором параграфе для решения деформационной задачи используется метод физической дискретизации. Вывод уравнений оболочек- слоев производится из трехмерных уравнений механики деформируемого твердого тела на базе гипотез Кирхгофа-Лява, применительно к металлическим обшивкам, и гипотез Тимошенко, применительно к стеклянному слою. Данный метод позволяет внести коррективы в модель материала и тем самым учесть особенности его деформирования в составе оболочки.

В третьем параграфе второй главы изложен метод решения де-ормационной задачи, который предполагает использование числен-ого метода ортогональной прогонки С.К. Годунова обеспечивающего тойчивый вычислительный процесс, а также эффективность и высо-ю точность.

В третьей главе рассмотрена дискретная модель расчета напряженного состояния трехслойной сферической оболочки в зоне упругих деформаций. Представлен численный расчет, исследующий влияние относительной толщины оболочки на разницу результатов, полученных при реализации предложенного метода и аналитического решения теории упругости для шарового слоя.

В главе четвертой настоящей работы приведены результаты вычислительных расчетов проведенных на базе алгоритмов разработанных во второй главе. В качестве материала, рассматриваемого объекта исследований, принят стеклометаллокомпозит, с обшивками из высокопрочной свариваемой стали НУ-230, стеклозаполнителем композита принято техническое стекло типа ВВ.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Любимова, Ольга Николаевна

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Построена математическая модель процесса формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита.

2. Разработан метод дискретизации трехмерных уравнений механики деформируемого твердого тела на базе гипотез теории оболочек применительно к полусферическим оболочкам.

3. Решена задача об определении остаточных напряжений в процессе изготовления трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита. В результате численного расчета установлено, что остаточные напряжения в стеклянном слое на поверхности сопряжения слоев и внутри каждого слоя существенно меньше разрушающих напряжений.

4. Решена задача по определению температурно-временного режима остывания трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Любимова, Ольга Николаевна, 2004 год

1. Александров А .Я., Брюккер Л.Э., Куршин Л.М., Прусаков А.П. Расчет трехслойных панелей.- М.: 0боронгиз,1960. - 235 с.

2. Алексеенко М.П. Когезия и адгезия горячего стекла. М.: Машиностроение, 1969. — 175 с.

3. Ал футов Н.А. О некоторых парадоксах теории тонких упругих пластин // Изв. АН. МТТ. 1992. № 3. - С. 65-72.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физмат-гиз, 1961. - 384 с.

5. Амбарцумян С.А. К теории изгиба анизотропных пластинок // Изв. АН. СССР. ОТН. 1958. № 5.- С. 69-77.

6. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука,1967. 266 с.

7. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. — 288 с.

8. Андрюхина Т.С., Степанов Р. Плотность промышленных стекол. -М.: Наука, 1988. 82 с.

9. Аппен А.А. Расчет свойств силикатных стекол. — Вильнюс: Центр бюро техн. информ. и пропаганды Гос. Ком. Литов. ССР по делам ст-ва и арх-ры, 1963. — 123 с.

10. Ю.Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Решение линейной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом ортогональной прогонки С.К. Годунова // Вычислительные методы и програмирование. 2001. Т.2. - С. 41-48.

11. Байкова Л.Г., Витман Ф.Ф, Пух В.П. О контактной повреждаемости высокопрочного стекла. Механические и тепловые свойства и строение неорганических стекол: Сб. статей. М.: ВНИИЭСМ, 1972. - С. 189-194

12. Бартенев Г. М., Сандитов Д.С. Релаксационные процессы в стеклообразных системах. Новосибирск: Наука, 1986. - 235 с.

13. Бахвалов Н.С. Численные методы ( анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). — М.: Наука, 1973. — 631 с.

14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — Москва: Лаборатория базовых знаний, 2000. 624 с.

15. Безбородое М.А. Вязкость силикатных стекол. Минск: Наука и техника,1975. - 352 с.

16. Белоусов Ю.Л., Фирсов В.А., Шутов А.И. Температурная зависимость модуля упругости промышленных стекол // Стекло и керамика. -1992. № 2. С. 12-13.

17. Бернштейн В.А., Байкова Л.Г. Химическая модификация поверхности и высокопрочное состояние листового стекла. Механические и тепловые свойства и строение неорганических стекол: Сб. статей. М.: ВНИИЭСМ, 1972. - С. 217-225.

18. Бессмертный B.C., Крохин В.П. Количественные критерии оценки вязкости стекол // Стекло и керамика. — 2001. № 11. С. 1113.

19. Ботвинкин O.K., Голба Т.Е. Теплоемкость стекол при повышенной температуре. Кинетика твердения тела: Сб. статей. М.: Гиз-легпром, 1941. - С. 67-89.

20. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. - 269 с.

21. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. АН. МТТ. 1992. № 3.- С. 26-47.

22. Васильев В.В., Лурье С.А. Вариант уточненной теории изгиба балок из слоистых пластмасс // Механика полимеров-1972. № 4.-С. 674-681.

23. Васильева О.Н. Математическая модель формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита // Вологдинские чтения: материалы конф. — Владивосток: изд-во ДВГТУ,2001. С. 60-61.

24. Васильева О.Н. Нахождение поля температурных распределений в процессе формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита. Труды ДВГТУ: Сб. статей. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2002. - С. 31-40.

25. Васильева О.Н., Пикуль В.В. Исследование процесса формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита // Наука. Техника. Инновации: тез. докл. Региональной науч. конф. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001.- Ч. 3. - С. 88-89.

26. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. — М.: Наука, 1982. — 288 с.

27. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. Москва: Физико-математическая литература, 2000. - 400 с.

28. Власов В.З. Строительная механика оболочек. — И.: ОНТИ, 1936. 263 с.

29. Волков Е.А. Численные методы. Москва: Наука, 1987. - 248 с.

30. Волков Ю.Г. Диссертация: Подготовка, защита, оформление: Практическое пособие. — М.: Гадарики, 2003. — 185 с.

31. Волох К.Ю. О классической теории пластин // ПММ.- 1994. Т.58. Вып. 6.- С. 156-165.

32. Гольденвейзер A.JI. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин // Изв. АН. МТТ.-1997. № 3.- С. 134149.

33. Гольденвейзер A.JI. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана // ПММ. 1994. Т.58. Вып. 6. - С. 96-108.

34. Гольденвейзер A.JI. Замечания о статье В.В. Васильева «Об асимптотическом методе обоснования теории пластин» // Изв. АН. МТТ.- 1997. № 4.- С. 150-158.

35. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. - 512 с.

36. Григолюк Э. И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем // Известия АН СССР. ОТН. 1958. № 1. — С. 68-89.

37. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа,1979. - 280 с.

38. Гулоян Ю. Выработочные свойства стекол и условие механизированного формования стеклоизделий. М.: ВНИИЭСМ, 1975. - 80 с.

39. Гусейн-Заде М.И. Напряженное состояние погранслоя для слоистых пластинок // Тр. 7-й Всес. Конф. По теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1970. - С. 638-643.

40. Даревский В.М. О статических граничных условиях в классической теории оболочек и пластин // Изв. АН. МТТ.-1995. № 4. С. 130-133.

41. Диомидов М.Н., Дмитриев А.Н. Подводные аппараты.- JI.: Судостроение, 1966.-243 с.

42. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиции современной теории пластин // Изв. АН. МТТ. 1992. № 3. - С. 48-64.

43. Ибсен-Марведель Г. Производственно-технические пороки стекла. М.-Л.: "Гизлегпром", 1941. - 4.1. - 288 с.

44. Иебсен-Марведель Г. Варка и формовка стекла. М.-Л.: Госмаш-литиздат, 1932. - 175 с.

45. Ищатов А.И., Тодорова В.Л., Боровский А.Е. Взаимосвязь константы деформации стекла и его вязкости при температурах выше температуры стеклования // Стекло и керамика. — 1997. № 9. -С. 10-11.

46. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

47. Карножицкий В.Н. Контактный теплообмен в процессах литья. -К.: Наук думка, 1978. 300 с.

48. Касман А.Я. Определение толщины стенки полых стеклоизделий при расчетах режимов отжига // Стекло и керамика. — 1992. № 1. С. 14-15.

49. Качанов J1.M. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969. -490 с.

50. Китайгородский И.И. Высокотемпературное формование стекла. — Л.:Легкая промышленность, 1949. № 1. — 154 с.

51. Китайгородский И.И. Стекло и стекловарение, М.: Металлург-издат, 1950. - 416 с.

52. Кондрашов В.И. Влияние механического перемешивания на конвективное усреднение стекломассы // Стекло и керамика. — 2001. № 4. С. 3-5.

53. Копчекчи Л.Г., Шитова Л.А. Напряжения в стекле в вершинах трещин // Стекло и керамика. — 2001. № 8. С. 3-5.

54. Куршин Л.М. Обзор работ по расчету трехслойных пластин и оболочек. Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. — М.: Гос. Из-во лит-ры по строит-ву, архитектуре и строй, мат-м, 1962. Вып. VII. - С. 163-192.

55. Куршин Л.М. Уравнения трехслойных цилиндрических оболочек // Известия АН СССР. ОТН. 1958. № 3. - С. 34-56.

56. Куршин Л.М. Об устойчивости трехслойной пологой цилиндрической оболочки при сжатии // Известия АН СССР. ОТН. 1958. № 8.-С. 45-67.

57. Ласковенко Н.Г. Контроль стекломассы в процессе ее охлаждения в отливках: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Томск, 1991.23 с.

58. Лисенко В.Г., Кутьин В.Б., Гущин С.Н. Процессы теплообмена в стекловаренной печи с поперечным направлением пламени // Стекло и керамика. — 1997. № 6. С. 7-9.

59. Лисенко В.Г., Кутьин В.Б., Гущин С.Н., Фетисов Б.А. Оценка граничных условий для математической модели теплообмена в стекловаренной печи //Стекло и керамика. — 1996. № 3. С. 9-11.

60. Лыков А.В., Алексашенко В.А., Алексашенко А.А. Сопряженные задачи конвективного теплообмена: Уч. Пособие. Минск, Из-во БГУ, 1971.-289 с.

61. Мазурин О.В. Отжиг спаев стекла с металлом. Л.: Энергия, 1980.- 140 с.

62. Мазурин О.В., Николина Г.П., Петровская М.Л. Расчет вязкости стекол. Л.: ЛТИ, 1988. - 46 с.

63. Математическое моделирование. Под ред. Дж. Эндрюса, Р. Мак-Лоуна. Москва: из-во «Мир», 1979.- 249 с.

64. Металлические формы для стекольной промышленности: Сб. перевод статей. М.: Гизлегпром, 1957. — 95 с.

65. Минько Н.И., Евтушенко Е. Н., Михальчук И.Н. Неравновесные дефекты в стекле и их обзор в процессах кристаллизации // Стекло и керамика. 2001. № 1. - С. 12-15.

66. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов.- М.: Наука, 1966. 432 с.

67. Некрасова Е.И. Математическое моделирование теплообмена при изготовлении цилиндрических полых изделий из стекла // Стекло и керамика. — 1996. № 5. С. 6-7.

68. Немировский Ю.В., Резников А.П. Прочность элементов конструкций из композиционных материалов. — Новосибирск: Наука, 1986. 168 с.

69. Новожилов В.В., Финкелыптейн Р. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // ПММ.-1943. Т. 7. Вып. 5.- С. 331-340.

70. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. — М.: Машиностроение, 1977. 144 с.

71. Патент РФ № 2067060. Способ изготовления оболочки прочного корпуса подводного аппарата. Пикуль В.В.// Бюл. изобр. 1996. №27.

72. Пикуль В.В. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1989. - 221с.

73. Пикуль В.В. Изгиб и устойчивость неоднородных гибких пластин с произвольным соотношением упругих свойств по толщине // Строительная механика и проектирование корабля: Тр. ДВПИ. 1971. Т.76.- С. 125-138.

74. Пикуль В.В. К проблеме построения физически корректной теории оболочек // Изв. АН. МТТ. 1992. № 3. - С. 18-25.

75. Пикуль В.В. Механика деформируемого твердого тела.- Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2003. 4.1. - 263 с.

76. Пикуль В.В. Перспективы создания слоистого композита на основе стекломатериалов // Перспективные материалы. 1999. №1. - С. 34-42.

77. Пикуль В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития // Изв. АН. МТТ. 2000. № 2. - С. 153-168.

78. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.: Наука,1985. - 183 с.

79. Пикуль В.В. Теория и расчет оболочек вращения. М.: Наука, 1982.-261 с.

80. Пикуль В.В. Физические корректные модели материала упругих оболочек // Изв. АН. МТТ. 1995. № 2. - С. 103-108.

81. Пикуль В.В. Эффективность стеклометаллокомпозита // Перспективные материалы. — 2000. №6.- С. 63-65.

82. Пикуль В.В., Пикуль М.В. Математическая модель упруго-вязко-пластического оболочечного тела // Дальневосточный мат. сб. — 1996. Вып 2.-С. 146-152.

83. Попов В.В. Некоторые задачи, связанные с математическим моделированием процессов в стекловаренной печи: Автореф. дис. . канд. ф.-м. наук. JI.,1977. — 21 с.

84. Пух В.П. Прочность и разрушение стекла.- Л.: Наука, 1973.-155с.

85. Рабинович А.Л. Устойчивость обшивки с заполнителем при сжатии. Труды ЦАГИ, 1946. - № 595. - 37 с.

86. РаботновЮ.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 744 с.

87. Рубанов В.Г., Филатов А.Г. Математическая модель для расчета температурного поля и напряжений при отжиге стеклянных труб // Стекло и керамика. 1998. № 6. - С. 3-5.

88. Рубанов В.Г., Филатов А.Г. Математическая модель процесса отжига строительных стеклоблоков // Стекло и керамика. — 1998. № 7. С. 8-9.

89. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

90. Сильвестрович С.И. Механические свойства стекла // Стекольная промышленность. М.: ВНИИЭСМ, 1987. вып. 4.-81 с.

91. Сильвестрович С.И. Теоретические основы повышения эксплуатационной надежности стеклянной тары // Стекольная промышленность. М.: ВНИИЭСМ, 1987. вып. 3 . - 70 с.

92. Сильвестрович С.И., Казаковым В.Д. Термомеханическая характеристика стекла в связи с состоянием его упрочненной поверхности. Механические и тепловые свойства и строение неорганических стекол: Сб. статей. М.: ВНИИЭСМ, 1972. - С. 202-206.

93. Смирнов В.Г., Селин М.А. Вязкость стекла. М.:МХГИ, 1988. - 84 с.

94. Соколов А.А. Исследование конвекционных потоков стекломассы в ванных печах: Автореф. дис. . доктора техн. наук. М., 1952. 20 с.

95. Соломин Н.В. О замедленно-упругой деформации и низкотемпературной вязкости стекла. Механические и тепловые свойства и строение неорганических стекол: Сб. статей. М.: ВНИИЭСМ, 1972. - С. 85-90.

96. Справочник по производству стекла. М.: Госстройиздат, 1963.- 456 с.

97. Теплопередача и тепловое моделирование. — М.: Изд-во Академии Наук СССР, 1959. 419 с.

98. Технология стекла./ Под ред.И.И.Китайгородского. М.: Стройиздат, 1967. — 342 с.

99. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — СПб.: Издательство «Лань», 2002.- 736 с.

100. Шульц М.М., Мазурин О.В. Современные представления о строении стекол и их свойствах. Л.: Наука, 1988. - 198 с.

101. Шутов А.И., Белоусов Ю.Л., Тодоров В.Л. Инженерная методика расчета деформации стекла при температурах выше температуры стеклования // Стекло и керамика.-1997. № 3,- С. 10-11.

102. Шутов А.И., Лахметкин И.В. Аппроксимация зависимости модуля упругости стекла от температуры // Стекло и керамика. — 1998. № 12.-С. 6-7.

103. Эйгенсон Л.С. Термические основы формования стекла. -М.: Госстройиздат, 1959. 356 с.

104. Flugge W. The Optimum Problem of the Sandwich Plate // J. Appl. Mech. -1952. № 1. Vol.19.

105. Libove C., Batdorf S.B. General Small-Deflection Theory for Flat Sandwich Plates // Nat. Adv. Cjvv.Aero. Techn. Note. 1948. № 1526.- 89 p.

106. Neut Van der A., Die Stabilitat geschichteter Streifen (Platten) // Nat. Luchtvaarlabr. Holland. 1943. Rep. 284 (286)

107. Pikul V.V. Prospects of Creating Layered Aggregates on the Bases of Glass Materials // Journal of Advanced Materials. — 1999. — Vol. 1. P. 65-68.

108. Reissner E. Contributions to the Problem of Structural Analisysis of Sandwich-Type Plates and Shells. — Ins. Aero. Sci. Preprint 165, 1948. 142 p.

109. Seide P. Compressive Buckling of Flat Rectangular Metalite Type Sandwich Plates with Simply Supported Loaded Edges and Clamped Unloaded Edges // Nat. Adv. Comm. Aero. Techn. Note. — 1949. № 1886. 19 p.

110. Seide P. Shear Buckling of Infinitely Long Simply Supported Metalite Type Sandwich Plates // Nat. Adv. Comm. Aero. Techn. Note. 1949. № 1910. - 20 p.

111. Stein M., Mayers J. A SmallDeflection Theory for Curved Sandwich Plates // Nat. Adv. Comm. Aero. Techn. Note. — 1950. № 2017. 26 p.

112. Vasilyeva O. N., Pikul V.V. The mathematical model of formation process of hemispherical shell made of glass-metal composite material // АРМ 2002. St. Petersburg: СпбГУ, 2002. - P. 91.