Импульсное деформирование и контактное взаимодействие упругопластических элементов осесимметричных конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Зефиров, Сергей Вениаминович

• Зефиров, Сергей Вениаминович
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Зефиров, Сергей Вениаминович

ВВЕДЕНИЕ.

I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ

РАБОТЫ.

1.1. Математические модели однослойных оболочек.

1.2. Математические модели многослойных оболочек и оболочек с заполнителем. II

1.3. Методы и результаты решения задач динамического деформирования многослойных пластин и оболочек

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Импульсное деформирование и контактное взаимодействие упругопластических элементов осесимметричных конструкций»

В последние годы в различных областях техники широкое применение находят многослойные конструкции, составленные из пластин и оболочек. Среди разнообразных видов многослойных пластин и оболочек можно, исходя из общих признаков строения пакета, выделить следующие, наиболее широко используемые типы: а) тонкостенные многослойные пластины и оболочки, слои которых выполнены из высокопрочных материалов (металлов и их сплавов); б) трехслойные пластины и оболочки, состоящие из двух относительно тонких внешних несущих слоев из высокопрочных материалов и легкого, податливого заполнителя, обеспечивающего их совместную работу, толщина которого значительно больше толщины несущих слоев.

Многослойные конструкции обладают при малом весе высокой удельной прочностью и жесткостью, хорошими демпфирующими и виб-ропоглощающими характеристиками, звуко- и теплоизоляционными свойствами.

В ряде случаев такие конструкции подвергаются интенсивным динамическим воздействиям, которые могут вызвать немалые формоизменения ее элементов, упругопластические деформации, расслоение многослойного пакета. В связи с этим в настоящее время актуальными являются вопросы, связанные с разработкой и обоснованием методов расчета процессов нестационарного упругопластичес-кого деформирования многослойных конструкций при контактном взаимодействии их элементов.

Поскольку возможности аналитических методов весьма ограничены, достаточно полное решение нестационарных задач динамики многослойных конструкций возможно лишь на современных ЭВМ с использованием численных методов.

Настоящая работа посвящена:

- разработке методики численного решения двумерных (плоских и осесимметричных) нестационарных задач динамического деформирования конструкций, состоящих из набора тонкостенных и массивных элементов, с учетом упругопластического деформирования, больших формоизменений и контактного взаимодействия элементов конструкции;

- программной реализации методики- в виде построенного по модульному принципу пакета прикладных программ для ЭВМ типа БЭСМ-б, ориентированного на решение широкого класса задач нестационарной динамики многослойных конструкций;

- исследованию процессов динамического деформирования многослойных упругопластических конструкций при импульсных и ударных воздействиях с учетом контактного взаимодействия элементов пакета.

I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ЦШ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ.

1.1« Математические модели однослойных оболочек.

Большой вклад в становление и развитие теории оболочек внесли работы советских ученых Н.А.Алумяэ, С.А.Амбарцумяна, В.В.Болотина, В.З.Власова, А.С.Вольмира, И.И.Воровича, К.З.Га-лимова, А.Л.Гольденвейзера, В.М.Даревского, А.Ю.Ишлинского, Н.А.Кильчевского, А.И.Лурье, Х.М.Муштари, У.К.Нигула, В.В.Новожилова, О.Д.Онинашвили, П.М.Огибалова, Г.И.Петрашеня, С.П.Тимошенко, а также зарубежных - Е.Грина, Кармана, В.Койтера, Р.Минд-лина, И.Мирского, Г.Моргана, П.Нагди, Е.Рейса, Г.Рейснера, Э.Рейснера и других.

Основным вопросом теории оболочек является создание метода, позволяющего приближенно привести трехмерную динамическую задачу теории упругости к двумерной задаче, после решения которой можно приближенно восстановить поля перемещений, деформаций и напряжений в оболочке. В зависимости от решения основного вопроса можно выделить два направления в теории оболочек /53/: а) классические теории оболочек; б) неклассические теории оболочек.

Классическая теория оболочек базируется на априорных предположениях относительно характера напряженного и деформированного состояния оболочки, позволяющих получить двумерную краевую задачу, эквивалентную трехмерной. Примерами таких теорий являются безмоментная теория, теория Кирхгофа-Лява, теория Флюгге, теория типа Тимошенко, теория Рейснера-Нагди. Наибольшее распространение получили теории Кирхгофа-Лява и Тимошенко.

В работах В.В.Новожилова, Р.М.$инкелынтейна1 /78/ и

Х.М.Муштари /71/ произведена оценка погрешности, вносимой в уравнения теории оболочек гипотезами Кирхгофа-Лява, при решении задач статики и показано, что классическая теория вносит в решение неустранимые погрешности порядка к,/^ . В силу этого теория Кирхгофа-Лява позволяет успешно решать задачи равновесия достаточно .тонких оболочек. Она позволяет также без существенных погрешностей решать задачи стационарной динамики, в том числе и нелинейные. Г.И.Петрашень /85/ установил, что определение частот свободных колебаний оболочек ограничено некоторым пределом, за которым попытка определить эти частоты приводит к существенным погрешностям. Эта оценка для рассмотренных им задач эластодинамики имеет вид 1 где Ы - частота, 1г - толщина, с^ - скорость распространения поперечных упругих волн.

В задачах нестационарной динамики применение уравнений Кирхгофа-Лява затрудняется тем, что они являются параболическими, вследствие чего их решение не имеет волнового характера и, следовательно, не описывает переходных волновых процессов, возникающих при изгибных деформациях оболочек /100/.

Расширение возможностей теории Кирхгофа-Лява связано с внесением корректив, которые опираются на сдвиговую модель, В 1921 году С.П.Тимошенко /114/ получил дифференциальное уравнение гиперболического типа, описывающее поперечные колебания стержня с учетом влияния инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Сдвиговая модель Тимошенко была распространена Я.С. Уфляндом /105/, а затем Р.Миндлиным /112/ на нестационарную динамику пластин. В дальнейшем большой вклад в развитие корректированной классической теории внесли работы Н.А.Алумяэ ' /3/, АЛ.Айнолы /I/, Н.П.Галина /34/, У.К.Нигула /2/, Г.И.Пет-рашеня /85/, Н.З.Якушева /110/ и др. В работах В.В.Новожилова, Л.И.Слепяна /77/ и У.К.Нигула /73/ показано, что теория типа Тимошенко имеет более широкую область применимости, чем теория Кирхгофа-Лява. Кроме этого установлено существование областей, где справедливы лишь уравнения трехмерной динамической теории упругости. В исследованиях У.К.Нигула и Г.И.Петрашеня показано, что классические теории могут давать большие погрешности в задачах динамики оболочек при локальных динамических воздействиях, а также при коротких импульсных нагружениях.

Для описания нестационарного деформирования пластин и оболочек при локальных воздействиях, коротких импульсных нагружениях применяются неклассические теории. Неклассические теории оболочек строятся на различных способах упрощения непосредственно трехмерных динамических уравнений теории упругости. В рамках этих теорий учитываются волновые эффекты по толщине оболочек.

Анализ работ, посвященных исследованию нестационарных задач теории оболочек, показывает, что классические расчетные модели динамического поведения оболочек имеют достаточно широкую область применимости причем наибольшее распространение при решении нестационарных динамических задач нашла теория типа Тимошенко.

В рамках рассмотренных теорий, как классических, так и неклассических, наряду с линейными вариантами в настоящее время успешно развивается геометрически нелинейная теория оболочек. Ее появление и развитие обусловлено самой природой тонкостенных элементов конструкций, в которых под действием интенсивных нагрузок могут возникать значительные перемещения и деформации.

Большой вклад в развитие нелинейной теории оболочек внесли работы И.Г.Бубнова, В.З.Власова, А.С.Вольмира, К.З.Галимова, Х.М.Муштари, В.В.Новожилова /31-33, 72, 75/.

Существует два подхода, на основе которых строится решение задач динамического деформирования оболочек в геометрически нелинейной постановке.

В первом подходе /33, 34, 72/ уравнения теории оболочек записываются в криволинейной системе координат,.связанной с не-деформированной срединной поверхностью оболочки. Принимается квадратичный вариант нелинейной теории упругости /75/. Уравнения имеют довольно сложную структуру и являются нелинейными относительно перемещений и углов поворота.

Второй подход, ориентированный на применение ЭВМ, был развит в работах /8, 117/. В этом подходе уравнения движения формируются в смешанной форме (усилия - перемещения) в деформируемой лагранжевой системе координат. В пределах каждого временного шага используются геометрически линейные соотношения между, скоростями.перемещений-и деформаций, записанные в метрике текущего состояния. Конфигурация оболочки пересчитывается на каждом шаге по времени, за счет чего большие перемещения и деформации оболочки получаются естественным путем.

В практике инженерных расчетов тонкостенных конструкций на импульсные воздействия существенным является вопрос учета упру-гопластической работы материала. Разнообразные свойства, проявляемые материалами в пластической области, нелинейность и необратимость деформационных процессов представляют значительные трудности при математическом моделировании упругопластической работы материала. В настоящее время существует ряд различных математических теорий пластичности. Наиболее распространенными среди них являются деформационные теории пластичности и дифференциальные теории (теории течения).

Эти теории, как правило, основаны на гипотезах и предпосылках феноменологического характера, отражающих специфику процесса пластического деформирования. Для простых лучевых или близких к ним путей нагружения наиболее разработанной и экспериментально обоснованной является деформационная теория пластичности и ее различные модификации /49/. Для произвольных путей нагружения в настоящее время лишь общая теория пластичности А.А.Ильюшина устанавливает связь между тензорами напряжений и деформаций, а его метод СН-ЭВМ указывает пути решения краевой задачи теории пластичности. Однако, эта методика недостаточно разработана и не может широко использоваться при решении прикладных задач /50/.

В последнее время при решении задач динамики упругопласти-ческих сред нашли широкое применение теории течения /51, 52, 76/. Теория течения с комбинированным упрочнением /56/ удовлетворительно описывает-траектории малой-кривизны и достаточно полно учитывает основные эффекты деформации металлов (упрочнение, разгрузка, влияние скорости деформации.и температуры на предел текучести, эффект Баушингера). Для малоупрочняющихся материалов предпочтительна теория течения с линейным,кинематическим упрочнением, которая.отличается простотой и экономичностью при реализации на ЭВМ /8/.

1.2". Математические модели многослойных оболочек и оболочек с заполнителем.

В настоящее время в различных областях техники широкое применение находят многослойные оболочечные конструкции. Разнообразие типов и условий работы многослойных конструкций обуславливает различие подходов к решению задач их прочности и приводит к значительному разнообразию в выборе расчетных схем. К настоящему времени построены различные варианты теории многослойных пластин и оболочек.

Наиболее разработанной является теория трехслойных пластин и оболочек. Существенный вклад в ее развитие был внесен А.Я.Александровым, С.А.Амбарцумяном, К.З.Галимовым, Э.И.Григолюком, М.А.Колтуновым, В.И.Королевым, Л.М.Куршиным, Х.М.Муштари, А.П.Прусаковым, А.Б.Саченковым. и др.

Вопросы общей теории многослойных пластин и оболочек разрабатывались С.А.Амбарцумяном /5,6/, А.Н.Андреевым и Ю.В.Немиров-ским /7/, В.В.Болотиным и Ю.Н.Новичковым /28/, Э.И.Григолюком и П.П.Чулковым /41/» Я.М.Григоренко /42/, С.Г.Лехницким /60/, П.М.Огибаловым и М.А.Колтуновым /81/, А.П.Прусаковым /89/, А.О.Рассказовым /90/, А.Ф.Рябовым /97/, А.Г.Терегуловым /102/, Л.П.Хорошуном /108/.

Основной проблемой при построении теории многослойных оболочек является создание метода приближенного приведения трехмерной динамической задачи теории упругости для слоистой неоднородной среды к двумерной задаче. Среди них можно выделить следующие два основных метода построения теории многослойных пластин и оболочек: метод гипотез и метод континуализации.

Под методом континуализации объединяется целая группа подходов, которые используют замену неоднородного слоистого материала оболочки некоторой квазиоднородной средой, обладающей усложненными свойствами. В простейшей форме такая замена может быть осуществлена на уровне физических соотношений /27, 107/. В.В.Болотиным в работе /26/ был предложен "принцип размазыванияУ сущность которого заключается в том, что дискретная система большого числн кинематических параметров, описывающих состояние каждого слоя, заменяется непрерывными функциями поперечной координаты, Эта замена производится или в определяющих дифференциальных уравнениях, или при составлении минимизирующего функционала ("энергетическая континуализация"). В результате задача сводится к уравнениям для некоторой однородной оболочки, энергетически эквивалентной исходной слоистой оболочке. Отметим, что применение методов континуализации приводит к системам разрешающих уравнений, порядок которых не зависит от числа слоев оболочки.

Другим методом приведения является метод гипотез. Сущность этого метода заключается в использовании некоторых допущений -гипотез о характере напряженно-деформированного состояния пакета слоев. Конкретный вид этих гипотез выбирается в зависимости от геометрических и механических параметров слоев, характера действующих нагрузок и вида краевых условий. Следуя классификации /39/ многочисленные работы, использующие метод гипотез для построения теорий многослойных оболочек, можно разделить на два направления.

В работах первого направления при построении теории используются гипотезы для всего пакета слоев в целом. Порядок получаемых при этом уравнений не зависит от числа слоев.

Впервые подобные построения для упругих анизотропных оболочек были осуществлены С.А.Амбарцумяном /V. Из работ, посвященных развитию этого направления, следует отметить /6, 7, 8993, 97, 101. юг/.

В большинстве работ, особенно ранних, для слоев пакета в целом принималась гипотеза Кирхгофа-Лява. Такой подход к построению теории является корректным только для задач статики тонких изотропных и слабоанизотропных оболочек, у которых жесткости слоев одного порядка (расчетные схемы слоев эквивалентны) /39/.

Для задач нестационарной динамики тонких многослойных оболочек целесообразным является применение гипотезы плоских сечений (модель Тимошенко) для слоев пакета в целом, т.к. модель Кирхгофа-Лява не описывает переходных волновых процессов, возникающих при изгибных деформациях оболочек /100/. - Второе направление метода гипотез связано с работами, в которых используются кинематические гипотезы для каждого отдельного слоя. Порядок получающейся при этом системы,разрешающих уравнений зависит от числа слоев пакета оболочки. . При построении теории многослойных оболочек, состоящих из чередующихся жестких (несущих) и мягких (заполнителей) слоев, применяются различные кинематические гипотезы: а) гипотеза прямой линии;. б) гипотеза ломаной линии; , в) комбинированные гипотезы.

Гипотеза (а) равносильна допущению о линейном распределении, касательных и постоянстве нормальных перемещений по толщине слоя. Впервые в отечественной литературе, по-видимому, эта гипотеза была принята для заполнителя трехслойной оболочки в /38/.

Гипотеза (б) для касательных перемещений при постоянстве нормальных была использована в работах /12, 40, 41, 109/. Гипотеза (б) как для касательных, так и для нормальных перемещений слоев применялась в /61/ для построения линейной теории, в /13, 29, 83/ - для построения геометрически нелинейных теорий.

В работе /25/ В.В.Болотиным была предложена теория многослойных , плит, основанная на комбинированных кинематических ги~ потезах. Дальнейшее развитие и обобщение этот подход получил в работах /70, 74/. Теория строится в предположении о непрерывности смещений на границе между слоями и достаточно общих посылках о характере работы каждого слоя.

В ряде случаев многослойные конструкции подвергаются интенсивным динамическим воздействиям, которые могут вызвать немалые формоизменения, упругопластическое деформирование и расслоение пакета. В рамках рассмотренных подходов (метод континуализации и метод гипотез) учет расслоения многослойных пластин и оболочек наталкивается на принципиальные трудности, связанные с необходимостью перестройки расчетной схемы.деформирования слоев.

Один из возможных подходов к решению задач нестационарного деформирования многослойных оболочек с учетом расслоения, абляции рассмотрел в работе /46, 115/. Между слоями пакета оболочек вводится клеевое.связующее, которое выделяется в отдельный расчетный слой. Напряжения поперечного сдвига и обжатия в клеевых слоях учитываются на основе гипотезы о линейном,распределении нормальных и касательных перемещений по толщине. После.разрушения связующего, определяемого нарушением.условий прочности, взаимодействие слоев сводится к нормальному давлению их друг на друга. Данный подход позволяет приближенно,описать эффекты абляции слоев и их последующее взаимодействие.

Другой, более общий подход,, заключается, в раздельном описании деформирования слоев (элементов конструкции). Тонкостейные несущие элементы многослойных конструкций рассматриваются в рамках одной из теорий оболочек (Кирхгофа-Лява, Тимошенко), более массивные слои (заполнитель) -в рамках линейной теории упругости или механики сплошных сред. Совместное решение задачи о взаимодействии элементов конструкции осуществляется исходя из самых разнообразных условий на поверхностях контакта. В зависимости от характера взаимодействия элементов рассматриваются следующие группы условий контакта: а) жесткое сцепление; б) непроникании по нормали и тангенциальное скольжение без трения; в) непроникание по нормали с учетом трения при тангенциальном скольжении.

Из работ, посвященных развитию этого .направления, следует отметить /9, 48, 54, 62-65, 69,; 86-88, ИЗ/.

В работах /43-45, 48/ рассматривается динамическое деформирование упругих цилиндрических оболочек с полым упругим заполнителем под-действием импульса внутреннего давления, либо, при продольном ударе. Продольный удар моделировался резким изменением поверхностных нагрузок на.одном из торцов цилиндра. Поведение цилиндрических оболочек описывается в рамках модели Кирхгофа-Лява.(в /45/ - Тимошенко), заполнителя - динамическими уравнениями линейной теории упругости. Оболочки жестко соединены с заполнителем. В /44, 48/ вводится условие прочности склейки оболочки с заполнителем, при нарушении которого допускается взаимное проскальзывание или отрыв оболочки от заполнителя без повторного вступления в контакт, .

Исследованию процессов деформации в цилиндрических оболочках с заполнителем при осевых ударных нагрузках (перегрузках) посвящены работы /54, 62, 63/. Для цилиндрических оболочек применяется геометрически нелинейная теория оболочек типа Тимошенко, заполнителя - геометрически линейные'соотношения механики сплошных сред. Заполнитель и оболочка жестко склеены между собой. Как для оболочек, так и для заполнителя принимаются физически нелинейные соотношения в рамках деформационной теории. В/62, 63/ предлагаются упрощенные модели для деформирования заполнителя: I) квазистатическая; 2) одномерная динамическая, описывающая волновой характер передачи деформаций в осевом направлении. Проводится сравнительный анализ моделей заполнителя и рекомендуется использовать одномерную динамическую модель для проведения расчетов напряженно-деформированного состояния оболочек вращения при осевом ударном нагружении, когда не требуется большая точность в определении деталей состояния заполнителя.

В работах /86-88/ исследуется действие осесимметричных и неосесимметричных подвижных нагрузок на бесконечно длинные трехслойные цилиндрические оболочки. Для заполнителя используются динамические уравнения линейной теории упругости, а для упругих тонких несущих слоев - геометрически нелинейные уравнения Кирхгофа-Лява. Исследуется жесткий и скользящие контакты между несущими слоями и заполнителем, влияние толщины и жесткости заполнителя на прогибы несущих слоев.

Подход, развитый в /II,.14/, основан на геометрически нелинейных уравнениях теории оболочек типа Тимошенка для описания нестационарного деформирования тонкостенных элементов и соотношениях механики сплошных сред для массивных тел. Упругопласти-ческое поведение материала описывается в рамках теории течения с линейным кинематическим упрочнением. В отличие от вышеперечисленного, в рамках этого подхода моделируются задачи нестационарного деформирования многослойных подкрепленных и ветвящихся тонкостенных конструкций, сплошных кусочно-однородных сред и массивных тел, тонкостенных конструкций при взаимодействии с окружающими и заполняющими средами, а также задачи контактного взаимодействия деформируемых элементов упругопластических конструкций при значительных формоизменениях и взаимных смещениях контактных границ.

1.3. Методы и результаты решения задач динамического деформирования многослойных пластин и оболочек.

Методы решения задач взаимодействия тонкостенных конструкций с окружающими и заполняющими средами тесно связаны с используемыми моделями для описания поведения оболочек и заполнителя.

К настоящему времени наиболее изученными являются вопросы собственных и вынужденных стационарных колебаний слоистых пластин и оболочек.

Значительный практический интерес представляет рассмотрение нестационарных процессов в многослойных конструкциях при импульсных и ударных воздействиях. Аналитические методы интегрирования к настоящему времени разработаны лишь для решения линейных задач пластин и оболочек простой конфигурации при ограничениях на вид внешних воздействий.

Решение нелинейных нестационарных задач этими методами наталкивается на непреодолимые трудности. В связи с этим широкое распространение (особенно при решении прикладных задач) получили различные численные методы интегрирования.

Описание конкретных численных методов и обстоятельные обзоры по численным методам интегрирования приведены в монографиях и статьях /23, 58, 68, 94/. Среди существующих в настоящее время численных методов интегрирования систем гиперболических уравнений наиболее распространенными являются метод характеристик, метод конечных разностей (МНР) и метод конечных элементов (МКЭ).

Идея метода характеристик подробно изложена в /95/ и состоит в выделении в процессе решения фронтовых разрывов. Эта процедура позволяет с высокой степенью точности решить задачу о распространении упругих волн в однородных средах» Подобный подход к задачам о распространении волн в многослойных оболочках, крайне затруднен, т.к. фронт волны, обладающий меньшей скорос- . тыо, движется в возмущенной среде. Аналогичные трудности возникают при рассмотрении отраженных волн.

Более универсальными методами решения нелинейных задач являются МКР.и.МКЭ /8/.

МКР основан на аппроксимации непрерывного континуума множеством дискретных точек. Дифференциальные операторы исходной системы уравнений, моделирующей поведение континуума, заменяются в каждой точке дискретного множества отношением конечных разностей. Существует большое количество способов.такой замены,„которое обсулавливает разнообразие схем МКР /35/. Степень близости дифференциальных операторов и аппроксимирующих их конечно-разностных отношений оценивается разложением исходных функций в ряды Тейлора в окрестности точки дискретного множества.и определяет точность построения МКР. Одной.из наиболее популярных схем . МКР является схема "крест", предложенная впервые в работе /59/. Достоинством схемы "крест" является-ее простота и высокая алго-ритмичность по сравнению с другими явными схемами сквозного счета. Недостатки схемы "крест" связаны с меньшей точностью в районе фронтов, а также с трудностью аппроксимации граничных условий.

В настоящее время интенсивно развивается метод конечных элементов /79, 82/. Основным достоинством МКЭ является то, что здесь осуществляется непосредственный переход к дискретной модели, минуя стадию формулировки краевой задачи для системы дифференциальных уравнений. В МКЭ непрерывный континуум покрывается сеткой конечных элементов произвольной формы и размеров без ограничений на свободу их размещения, что особенно важно в задачах со сложной геометрией. Неизвестные поля в каждом элементе выражаются при помощи несложных базисных аналитических зависимостей с точностью до нескольких констант, которые определяются из вариационных принципов или условий кинематической совместности.

Следует заметить, что последовательное применение идей МКЭ к решению нестационарных упругопластических задач приводит к созданию алгоритмичных, но все же трудоемких методов.

Промежуточное положение между МКР и МКЭ занимают вариационно-разностные методы (ВРМ). ВРМ сочетают в себе простоту в реализации, присущую МКР, и алгоритмичность конечно-элементного подхода, и являются» по существу, простейшим вариантом реализации МКЭ.

При численном интегрировании во времени применяются явные и неявные схемы. Явные схемы решения просты в реализации и, как отмечается в /90/, лучше всего приспособлены для анализа нелинейных задач нестационарного деформирования. В частности, при быстропротекающих процессах нестационарного контактного взаимодействия тонкостенных конструкций с заполняющими и окружающими средами явные методы решения (интегрирование уравнений движения во времени) являются наиболее предпочтительными.

В заключение приведем результаты ряда работ, посвященных изучению переходных процессов в многослойных пластинах и оболочках, нестационарному контактному взаимодействию как тонкостенных элементов так и массивных тел, непосредственно примыкающих по тематике к данной работе.

В работах /37, 106/ рассмотрен процесс осессимметричного выпучивания двухслойных цилиндрических оболочек при продольном ударе. Геометрически нелинейные уравнения движения двухслойной оболочки вращения были получены на основе гипотезы ломаной для касательных перемещений при постоянстве прогиба по толщине пакета. Для.описания упругопластического поведения материала в /106/ использовалась деформационная теория пластичности. Численное решение осуществлялось по явной конечно-разностной схеме. .

-Задача об осе симметричных нелинейных колебаниях двухслойных упругих полусферических оболочек под действием импульса внешнего давления треугольной формы рассмотрена в /24/. Определяющие соотношения основаны на гипотезах Кирхгофа-Лява. Полученная система нелинейных уравнений решалась методом квазилинеаризации, с применением неявной схемы.

В работе /84/ исследуются процессы, возникающие при импульсном нагружении сосудов давления в форме многослойных сварных оболочечных конструкций. Взаимодействие слоев осуществлялось лишь, при наличии поверхностных сжимающих напряжений, таким образом учитывалось расслоение многослойного пакета. Используется феноменологическая модель-многоелоя, в которой контактные напряжения, возникающие между слоями за счет снятия технологических погрешностей, зависят только от взаимного смещения граничащих поверхностей слоев.

Среди экспериментальных работ, посвященных исследованию прочности многослойных тонкостенных цилиндрических сосудов можно отметить работу /21/. В ней приведены экспериментальные данные по исследованию прочности однослойных и многослойных цилиндрических сосудов, заполненных нормальной воздушной атмосферой, при внутреннем динамическом нагружении испульсами с характерной длительностью порядка 0,5 и 100 мкс.

В работе /113/ рассматривается плоская задача о поведении упругой цилиндрической оболочки, жестко скрепленной со сплошным заполнителем, под действием импульсной нагрузки, произвольным образом распределенной по окружности. Основные уравнения, описывающие динамическое поведение, представлены в виде динамических уравнений линейной теории упругости для заполнителя и классических, уравнении-теории тонких оболочек для цилиндрической оболочки. Решение отыскивается с помощью преобразования Лапласа. Отмечается,.что влияние распространения волны в заполнителе на движение оболочки изменяется в широком диапазоне и зависит от механических свойств заполнителя.

В работах /64, 65/ предлагается численный метод анализа переходных волновых процессов в упругопластических оболочках вращения с упругим заполнителем. Поведение оболочек описывается геометрически нелинейной теорией типа Тимошенко, заполнителя соотношениями механики сплошных сред. Между несущими слоями используются условия скользящего контакта с учетом и без учета трения. Учитывается возможность возникновения областей отрыва заполнителя от внутренней поверхности оболочки и восстановления контакта. Для решения уравнений,.описывающих поведение системы,, применяется МНР и явная схема "крест" интегрирования во времени.

Для реализации в конечных разностях сложного взаимодействия заполнителя с обочкой применяется метод отражений, предложенный в работе М.Л.Уилкинса /104/. Реакция заполнителя учитывается с запаздыванием.на временной шаг. Делается вывод, что учет трения между заполнителем и оболочкой важен лишь.для описании напряженно-деформированного состояния заполнителя.

Вопросам нестационарного деформирования оболочек при контактном взаимодействии посвящены работы /66, III/.

В /66/ на примере сферической оболочки исследуется влияние расслоений на вид переходного процесса. Сферическая оболочка с расслоением рассматривается как система трех оболочек, одна из. которых соответствует нерасслоившемуся пакету, а две другие мо-. делируют слои пакета по обе стороны от места расслоения. Поведение оболочек описывается моделью Тимошенко . Трение между оболочками не учитывается. Численное решение описывается на схеме -С.К.Годунова. Показано,.что наличие расслоений не только существенно влияет на количественные характеристики переходного процесса, но и качественно меняет его вид.

В работе /III/.дается решение задачи о контактном деформировании двух бесконечно длинных, цилиндрических оболочек при воздействии несимметричного нестационарного нагружения. Поведение оболочек описывается теорией типа Тимошенко в геометрически и физически линейной постановке. Не учитывается поступательное движение системы оболочек. Решение осуществляется методом рядов Фурье. Контактные давления аппроксимируются ступенчатыми функциями угловой и временной.координаты, что позволяет, исходя из условия непроникания по нормали и свободного.проскальзывания, свести задачу их определения.к решению системы алгебраических уравнений. При отрыве для определения контактных давлений организуется итерационной процесс.

В работе /98/ предлагается численная методика и алгоритм определения зоны контакта и контактных усилий при решении двумерных (плоская и осесимметричная деформация) задач соударения упругопластических тел, а в /30/ на основе предложенной методики решалась задача о соударении деформируемого цилиндрического стержня с круглой жестко защемленной по контуру пластиной. Контакт считается идеальным, т.е. динамическое трение в зонах контакта отсутствует. Численное решение осуществляется конечно-разностным методом с явной схемой интегрирования во времени на независимых разностных сетках. В зоне контакта точные краевые условия заменяются на приближенные посредством введения функции "штрафа".Давления в зоне контакта пропорциональны глубине перекрытия областей и контактной жесткости. Контактная жесткость заранее неизвестна.и существенно нелинейным.образом зависит от глубины перекрытия. Распределенные контактные давления заменяются статически эквивалентной.системой узловых сил. Как отмечают авторы принятый способ регуляризации граничных.условий в зоне контакта приемлендля решения прикладных задач соударения при средних скоростях.

1.4. Основные выводы.

Из приведенного выше анализа работ, посвященных математичес ким моделям, методам и результатам.решения задач нестационарного деформирования многослойных конструкций можно сделать следующие выводы: . . .

I.Достаточно хорошо разработан ряд геометрически нелинейных моделей деформирования многослойных пластин и оболочек.

2. Недостаточно разработаны методы и алгоритма решения нестационарных задач динамики составных многослойных конструкций в геометрически и физически нелинейных постановках с учетом эффектов. расслоения и контактного взаимодействия элементов конструкции.

3. Для решения нелинейных задач динамического деформирования многослойных конструкций эффективно применяются современные численные методы, в частности вариационно-разностный метод, сочетающий в себе высокую алгоритмичность и простоту в реализации.

Недостаточно исследованы процессы импульсного деформирования тонкостенных многослойных конструкций и конструкций с заполнителем при контактном взаимодействии их элементов с учетом больших.формоизменений и взаимных перемещений контактных поверхностей.

1,5. Цели и задачи диссертационной работы.

Предлагаемая диссертационная работа-посвящена:.

- разработке алгоритмов численного решения .двумерных . плоских и о сесимметричных) нестационарных задач динамического деформирования-многослойных конструкций, состоящих из.тонкостенных и массивных элементов, с учетом упругопластического.деформирования, больших формоизменений и контактного взаимодействия элементов конструкции;

- реализации алгоритмов в виде пакета прикладных программ, построенного по модульному принципу и ориентированного на решение широкого класса задач нестационарной динамики многослойных конструкций;

- исследованию процессов деформирования многослойных упругопластических конструкций при импульсных и ударных воздействиях с учетом контактного взаимодействия элементов пакета.

1.6. Структура работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Зефиров, Сергей Вениаминович

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Разработана методика численного решения двумерных нестационарных задач (плоских и осесимметричных) динамического деформирования конструкций, состоящих из набора тонкостенных и массивных элементов, позволяющая учесть упругопластическое деформирование, большие формоизменения (деформации) и контактное взаимодействие элементов конструкции.

2. Разработаны алгоритмы и пакет программ на языке АЛГОЛ-ГДР для ЭВМ БЭСМ-6, реализующий данную методику и позволяющий решать следующие классы нестационарных задач динамики:

- многослойных.подкрепленных и ветвящихся тонкостенных конструкций в рамках теории оболочек типа Тимощенко;

- сплошных кусочно-однородных сред и массивных тел (заполнителя) сложной геометрии;

- тонкостенных конструкций при взаимодействии с окружающими и заполняющими средами;

- контактного взаимодействия деформируемых элементов упругоплас-тических конструкций на согласованных и несогласованных разностных сетках.

Достоверность численной методики подтверждена путем сравнения с теоретическими и экспериментальными' результатами других авторов.

3. На основе разработанной методики решен ряд прикладных задач:

- рассмотрена свободная раздача и контактное взаимодействие составной двухслойной упругопластической цилиндрической оболочки под действием импульса внутреннего давления; проведено сравнение результатов численного решения с экспериментальными данными и оценены границы применимости численного решения на согласованных разностных сетках;

- исследовано выпучивание упругопластических соосных цилиндрических оболочек с заполнителем и без заполнителя при продольном ударе грузом конечной массы; показано, что критические скорости удара для соосных и трехслойных цилиндрических оболочек определяются критической скоростью удара для отдельной, более толстой оболочки; введение заполнителя приводит к изменению характерной картины волнообразования для более тонкого несущего слоя и значительному уменьшению прогибов на закрити-ческой ветви деформирования;

- изучено импульсное деформирование соосных цилиндрических оболочек в условиях плоской деформации с различными схемами внутреннего подкрепления (стрингеры, пенопластовый заполнитель); выявлено, что использование заполнителя приводит к заметному уменьшению величины деформаций, более однородному их распределению, поэтому применение трехслойных конструкций с мягким связующим по сравнению с дискретно подкрепленными является более рациональным;

- рассмотрено выпучивание биметаллической упругопластической цилиндрической оболочки при продольном ударе грузом конечной массы; показано, что расположение слоев по толщине двухслойной оболочки несущественно сказывается на ее выпучивании при ударе.

4. Разработанная методика, пакет прикладных программ и результаты проведенных расчетов внедрены в практику ряда предприятий в соответствии с планом НИР по хоздоговорной тематике. Имеется акт внедрения результатов диссертационной работы в народное хозяйство с экономическим эффектом 150,0 тыс.рублей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Зефиров, Сергей Вениаминович, 1984 год

1. Айнола Л,Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек. -Изв. АН ,§ССР. Сер.физ.-мат. и техн.наук, 1965, 14, № 3, с.337-344. . .

2. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. Изв. АН ЭССР. Сер.физ.-мат. и техн. наук,1965, 14, Н, с.3-63.

3. Алумяэ H.A. О применимости метода расчления напряженного состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой цилиндрической оболочки. Изв. АН ЭССР, сер.физ.мат. и техн.наук, 1961, т.10, №3, с.171-181.

4. Амбарцумян С.А,.К общей теории анизотропных оболочек.-ПММ,1958, т.22, вып.2, с.227-237. .

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: 'ёизматгиз,1968, 26б е. . . , -.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.:1. Наука, 1974, 448 с. .

7. Андреев-А.Н., Немировский Ю,В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек. Изв. АН СССР. МТТ, 1977, №5, с. 87,96. .

8. Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики тонкостенных конст- . рукций при.импульсных воздействиях. В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика.деформируемых систем. Горький: Изд-во ГГУ, 1981, с.57-66.

9. Горький: Изд-во ГГУ, 1984, с.32-36.

10. Баженов В.Г.,, Ломунов В,К. Исследование упругопластического выпучивания оболочек вращения при ударном нагружении. В сб.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. - Горький: Изд-во.ГГУ, 1975, вып.2, с.44-50.

11. Баженов В.Г., Ломунов В.К. Экспериментально-теоретическое исследование упругопластического выпучивания цилиндрических оболочек при осевом ударе. Прикладная механика, 1983,т.19, №6,.с.63-69. .

12. Баженов В.Г. , Ломунов В.К.» Петров М.В., Угодчиков А.Г., Исследование больших вязкопластических деформаций.цилиндрических оболочек с применением магнитно-импульсного способанагружения. Машиноведение, №5, 1983, с.73-80.

13. Изд-во ГГУ,.1984, с.37-44. . .

14. Баженов В.Г., Шинкаренко А.П. Вариационно-разностный метод решения двумерных задач динамики упругопластических оболо«. чек. В сб.: Прикладные проблемы прочности и пластичности.- Горький: Изд-во ГГУ, 1976, вып.З, с.61-69,

15. Березин И,С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, i960, т.2, 620 с.

16. Бермус И.М., Срубщик Л.С. Упругая двухслойная полусферическая оболочка под действием импульсной нагрузки. В сб.: Расчет пластин и оболочек. - Ростов н/Д: Рост.инж.-строит, ин-т, 1980, с.23-29.

17. Болотин В,В. К теории слоистых плит. Изв. АН СССР. ОТН, Механика и машиностроение, 1963, № 3, с.65-72.

18. Болотин В.В. О изгибе плит, состоящих из большого числа слоев. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1964, № I,с.61-66,

19. Болотин В.В, Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов. В кн.: Расчеты на прочность.- М.: Машиностроение, вып.12, 1966, с.3-31.

20. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций . М.: Машиностроение, i960, 375 с,

21. Буяков И.А. Об учете деформации в направлении нормали в нелинейной теории типа Тимошенко многослойных оболочек. -Мех.композитн.материалов, 1980, №2, с.358-359.

22. Вилкова Г Д., Садырин А.И. К методике решения задач соударения упругопластических тел, В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем. - Горький: Изд-во ГГУ, 1981, сЛ19.

23. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.-Л., 1949, 784 с.

24. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. -М.: Наука, 1972, 432 с.

25. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек, -Казань: Изд-во КГУ, 1975, 325 с.

26. Галин М.П. Распространение упругопластических волн изгиба и сдвига при осесимметричной деформации оболочек. Инж. сб., 1961, т. 31, с.131-170.

27. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973, 400 с.

28. Гордикнко Б.А. О машинном решении задач ударного выпучивания упругих систем методом конечных разностей. Изв. АН СССР. МТТ, 1970, № 3, с.143-148.

29. Гордиенко Б.А. Уравнения динамики слоистых оболочек. В сб.: Тр.симпозиума "Нелинейные и тепловые эффекты при переходных волновых процессах", Горький-Таллин, 1973, с.11-18.

30. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем. Изв. АН СССР. ОТН, 1957, № I, с.77-84.

31. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек. Прикл.механика, 1972, т. 8, № б, с.З-17.

32. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения тонких упругих слоистых анизотропных пологих оболочек с жестким заполнителем. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 5, с.68-80.

33. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения пологих многослойных оболочек регулярного строения. « Изв. АН СССР, МТТ, 1967, К I, с.163-169.

34. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973, 228 с.

35. Гулин Б.В. Динамическое поведение полого упругого цилиндра, обтянутого оболочкой. В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек. « Казань: Изд-во КГУ, 1972, вып. 7, с.329-346.

36. Гулин Б.В. Учет возможности отклеивания заполнителя в задачах о переходных процессах деформации в цилиндрической оболочке с упругим заполнителем. В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек. « Казань; Изд-во КГУ, 1972, вып. 7, с.346-350.

37. Гулин Б.В., Яруллин С.С, Распространение упругих волн в цилиндрической оболочке с заполнителем. В сб.: Вопросы вычисл. и прикл. математики, Ташкент, 1980, с.62-69.

38. Журавлев Е.А. Упругопластическое осесимметричное деформирование многослойных пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Автореферат на соискание уч.степени канд.техн.наук» Горький, 1983 , 18 с.

39. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Е.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1977, 331 с.

40. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948, 376 с.

41. Ильюшин A.A., Ленский B.C. Модель и алгоритм. В сб.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. - Горький: Изд-во ГГУ, 1975, вып.I, с.3-18.

42. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением, Укр.матем.журнал, 1954, № 6, с.314-325.

43. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения. ПММ, 1958, т. 22, № I,с.79-89.

44. Кильчевский H.A. Теория нестационарных динамических процессов в оболочках. Прикладная механика, 1968, т. 4, вып.З, с.1-18.

45. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964.

46. Крысанов Ю.А., Новиков С.А. Исследование динамического сжатияпенополистирола. Проблемы прочности, 1977, № 8, с.115-117.

47. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого тела. В сб.: Пробл,динамики упругопластических сред. - М.: Мир, 1975, с. 39-84.

48. Курант Р., Фридрихе, Леви Г. О разностных уравнениях математической физики. Успехи математических наук, 1940, вып. 8, с.112-125.

49. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. -М.: Физматгиз, 1967, 463 с.

50. Либреску Л, К уточненной линейной теории упругих анизотропных многослойных оболочек. 4.1. Механика полимеров, 1975, № 6, с.1038-1050.

51. Люкшин Б.А.,. Потейко В,Г. Динамика цилиндрической оболочки с легким заполнителем. Прикл,механика, 1977, т. 13, № I, с.П£-120.

52. Люкшин Б.А., Потейко В.Г. Анализ некоторых моделей численного решения задач динамики оболочек вращения с заполнителем.- Прикл.механика, 1981, т. 17, № 9, с.52-56.

53. Максимов В«Ф., Киселев А.Б, Численное моделирование сложного взаимодействия упругопластической оболочки вращения с упругим заполнителем. Вестн.Моск.ун-та. Сер.1. Математика, Механика, 1982, № I, с.63-68.

54. Максимов В,Ф,, Киселев А.Б. К численному моделированию сложного взаимодействия оболочки вращения с заполнителем с учетом трения. Вестн.Моск.ун-та. Сер.1. Математика. Механика, 1984, № 2, с.85-89.

55. Малышев А.П. Переходные процессы в оболочке с расслоениями.- Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 6, с.101-105.

56. Мальцев А.А«, Мальцев В.П., Мяченков В.И. Динамика осесим-метричных оболочечных конструкций. В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Механика деформируемых систем. - Горький: Изд-во ГГУ, 1979.

57. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977, 456 с.

58. Мастиновский Ю.В., Нагорный Ю.И. Цилиндрическая оболочкас заполнителем под действием ударной нагрузки. В сб.'Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа, 1980, с.43-47.

59. Москаленко В.Н., Новичков Ю.Н. Изгиб толстых многослойных оболочек. Изв. АН СССР, МТТ, 1968, № 3, с.149-153.

60. Муштари Х.М. Об области применимости приближенной теории оболочек Кирхгофа-Лява. ПММ, 1947, т. II, № 5, с.517-520.

61. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигиздат, 1957.

62. Нигул У.К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям. ПММ, 1969, 33, вып. 2,с.308-322.

63. Новичков Ю.Н. О различных моделях описания деформирования многослойных конструкций. В сб.: Механика материалов и конструкций. Тр. МЭИ. « М., 1980, вып. 459, с.40-47.

64. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958, 370 с.

65. Новожилов В,В. О сложном нагружении и переспективах феноменологического подхода к исследованию микронапряжений . -ПММ, 1964, т. 28, № 3, с.393-400.

66. Новожилов В.В., Слепян Л,И. О принципе Сен-Венана в динамике стержней. ПММ, 1965, т. 29, № 2, с.261-281.

67. Новожилов В.В., Финкельштейн Р.М. О погрешности гипотез Кирхгофа-Лява в теории оболочек. ПММ, 1943, т. 7, № 5, с.331-340.

68. Норри Д., Де Фриз 1. ^ведение в метод конечных элементов,-М.: Мир, 1981, 304 с.

69. Нох В.Ф. Совместный эйлеро-лагранжёвый метод для нестационарных задач. В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М., 1967, с. 128-184.

70. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969, 695 с.

71. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, Х976 , 464 с.

72. Паймушин В.Н., Демидов В.Г. Об одном варианте, соотношений теории среднего изгиба многослойных оболочек сложной геометрии. В сб.: Статика и динамика оболочек. Тр. семинара КФТИ, Казань, 1977, вып. 8, с.53-60.

73. Паничкин В.И. Нестационарное деформирование многослойного корпуса сосуда давления, Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1984, вып. 1(38), с.80-87.

74. Петрашень* Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем. В сб.: Исследования по упругости и пластичности, - Ленинград: ЛГУ, 1966,. вып. 5, с,3-33.

75. Пожуев В.И, Реакция цилиндрической оболочки с заполнителем на действие неосе симметричной подвижной нагрузки. Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 6, с.106-112.

76. Пожуев В.И. Реакция трехслойной цилиндрической оболочки на действие подвижной нагрузки, Прикл.механика, 1980, т. 16,1. I, с.32-39,

77. Пожуев В.И. Влияние скорости движения волны давления на реакцию трехслойной цилиндрической оболочки. Прикл.механика, 1983, т. 19, № 12, с.59-64.

78. Прусаков А.П. Конечные прогибы многослойных пологих оболочек. Изв.АН СССР, МТТ, 1971, № 3, с.119-123.

79. Рассказов А.О. К теории многослойных ортотропных пологих оболочек, Прикл,механика, 1976, т. 12, № II, с.50-56.

80. Рассказов А.О,, Соколовская И,И., Шульга H.A. Уравнения равновесия многослойных пологих оболочек и пластин. Прикл. механика, 1980, т. 16, № 5, с.45-50.

81. Рассказов А.О., Соколовская И,И., Шульга H.A. Сравнительный анализ некоторых вариантов сдвиговых моделей в задачах равновесия и колебаний многослойных пластин. Прикл.механика, 1983, т. 19, № 7, с.84-90.

82. Рассказов А.О., Шульга H.A. Уравнения колебаний пологих слоистых ортотропных оболочек с учетом эффектов поперечного сдвига и обжатия. Сопротивление материалов и расчет сооружений, 1978, вып. 33, с.32-35.

83. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972, 418 с.

84. Рождественский Е.Л., Яненко Н.И. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: "Наука", 1978, 688 с,

85. Романенков И.Г. Физико-механические свойства пенистых пластмасс. М., 1970, 127 с.

86. Рябов А.Ф. Основные уравнения теории многослойных оболочек с учетом деформации поперечного сдвига. В сб.: Сопротивление материалов и расчет сооружений, Киев: Будивельник,1965, вып. 3, с.17-27.

87. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, т. I, 1983, 528 с.

88. Слепян Л.И, Нестационарные упругие волны. Л.: "Судостроение", 1972, 374 с.

89. Соколовская И.И. Развитие подхода Рейсснера при построении прикладной теории многослойных ортотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Прикл.механика, 1980, № 3, с.38-44.

90. Терегулов А,Г. К теории многослойных анизотропных оболочек. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, Казань: Изд-во КГУ, 1970, вып. 6-7, с.762-767.

91. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов, т. 2, М., 1965, 480 с,

92. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений.-В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М., 1967, с.212-263.105. уфлянд Я.С, Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ, 1948, т. 12, вып. 3, с.287« 300.

93. Фельдштейн В.А. Исследование упругопластических деформаций двухслойной оболочки при динамическом нагружении, Изв. АН СССР. МТТ, 1973, № 3, с.155-161.

94. Якушев Н.З, Колебания цилиндрической оболочки средней толщины. В сб\: Исследования по теории пластин и оболочек.-Казань, Казанский ун-т, 1965, № 3, с.173-180.

95. Washizu. K. Variational methods in elasticiti and plasticity. Oxford: Pergamon Press, 1968.

96. Witmer E.A., Balmer H.A., Leech. J.?/.» Pian T.H. Largedynamic deformation of "beams, rings, plates and shells. -AIAA J., 1963, v. I, No. 8, pp. 1848—1857•