Математическое моделирование предельных режимов электроэнергетических систем для целей диспетчерского управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Крюков, Евгений Андреевич

• Крюков, Евгений Андреевич
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Крюков, Евгений Андреевич

Введение.

АНАЛИЗ МЕТОДОВ! ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ режимов;.

Математические .модели предельных: режимов энергосистем. •»^ ^ Фрактальный!характер- областей устойчивости- энергосис тем;.

КЗ» Методы определения предельных режимов-.

1.4 Уравнения предельных режимов^.

Анализ траекторий - утяжеления при определении предельных режимов сложных энергосистем. ^ Аппроксимация! допустимых; областей управления? для? сложных электроэнергетических систем.

УЧЕТ ПРОДОЛЬНОЙ И ПОПЕРЕЧНОЙ НЕСИММЕТРИИ

ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ.

2.1 Использование метода симметричных составляющих.

Моделирование элементов ЭЭС решетчатыми схемами замещения.

Применение фазных координат при расчетах предельных режимов электрических систем;. ^ Уравнения предельных: режимов, учитывающие продольную и поперечную несимметрию.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ В ЭНЕРГОСИТЕМАХ С ЛИНИЯМИ НОВЫХ ТИПОВ ^.

I . Предельные режимы в энергосистемах, с компактными

2 2 Предельные режимы энергосистем с трехцеиными ли

I ' ниями

5 ^ з Предельные режимы в энергосистемах с управляемыми самокомпенсирующимися ЛЭШ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование предельных режимов электроэнергетических систем для целей диспетчерского управления»

Проблема математического моделирования: предельных по статической ^апериодической устойчивости (САУ) режимов весьма актуальна при проектировании и эксплуатации электроэнергетических систем (ЭЭС) и систем электроснабжения железных дорог. Результаты расчетов; предельных, режимов имеют как самостоятельное значение, так и являются составной ! частью других электротехнических задач, связанных с обеспечением требуемого уровня надежности и: экономичности функционирования ЭЭС [1. 13*. 18; 22.24, 26, 28;.43, 45, 55, 56.59, 65, 66, 73, 76.87, 91.93, 94, 99.101, 105:.110, 113.116, 119;.121, 127.129, 133.139, 1421.168].

В 'настоящее время; актуальность вопросов, связанных с определением 5 предельных режимов ? и построением; областей С АУ в * пространстве регулируемых параметров, существенно- возросла. Это вызвано широким внедрением: в электроэнергетику современных средств вычислительной техники, созданием информационно-вычислительных систем для ; решения задач диспетчерского и противоаварийного управления. Появились и новые задачи; обусловленные, например, необходимостью учета продольной и поперечной • несимметрии при определении предельных режимов и запасов устойчивости.

Существующие методы определения- предельных режимов ориентированы на симметричное представление трехфазных электрических сетей, в то время; как в; практике эксплуатации ЭЭС может иметь место значительная ноиеречная и продольная несимметрия. Она может вызываться несимметричными тяговыми нагрузками, нетранспонированными воздушными линиями электропередачи, (ЛЭП), достаточно продолжительной; работой ЭЭС при обрыве одной или двух фаз ЛЭП [54, 67, 68. .71].

Настоящая диссертационная работа посвящена решению проблемы математического моделирования предельных режимов электроэнергетических систем ^ с учетом продольной и поперечной несимметрии в электрической сети. Цель работы; состоит в создании математических моделей; методов и алгоритмов определения предельных режимов, позволяющих учитывать многократную продольную и поперечную несимметрию.

Для достижения указанной цели в работе решены следующие научно-технические задачи:

•проведен: анализ методов определения пределов статической; апериодической устойчивости; сложных электроэнергетических систем и спо собов математического моделирования несимметричных режимов;

•разработана методика определения предельных по устойчивости режимов энергосистем, учитывающей продольную и поперечную несимметрию в электрической сети;

•созданы методы и алгоритмы определения предельных режимов для энергосистем, имеющих в своем составе линии электропередачи новых типов;

•разработана методика аппроксимации границы области допустимых режимов для сложной ЭЭС;

•создана математическая модель предельных режимов, основанная на использовании модифицированных уравнений предельных режимов, записанных в фазных координатах узловых напряжений;

•разработано программное: обеспечение, реализующее предложенные методики определения предельных режимов.

Методы исследования рассмотренных в диссертации» задач разработаны на основе:анализа математических моделей; сложных электрических систем с применением аппарата линейной алгебры, теории функций многих переменных, численных методов решения систем; нелинейных уравнений большой размерности;

Проверка эффективности: предложенных методов? и алгоритмов» основывалась на; вычислительных, экспериментах, проводимых на базе * специально разработанных программ для ЭВМ применительно к реальным и эквивалентным^ схемам электроэнергетических системам. В; качестве основного инструмента; для проведения? вычислительных экспериментов ■ использовался разработанный в ИрГУПС сертифицированный комплекс программ ЕЬО\УЗ, который был модернизирован и адаптирован в рамках диссертационной работы для' расчетов- предельных режимов? ЭЭС и систем электроснабжения железных дорог.

Научная; новизна;заключается в том, что;в диссертационной работе впервые получены, составляют предмет научной новизны и* выносятся^ на защиту следующие результаты:

1. Метод оценки близости выбранного направления утяжеления к наиболее опасному, отвечающему кратчайшему расстоянию в пространстве регулируемых: параметров от точки исследуемого режима до предельной гиперповерхности;

2. Методика определения предельных по- устойчивости режимов энергосистем, учитывающая продольную и поперечную, несимметрию в электрической сети, основанная; на использовании фазных координат узловых напряжений и моделей элементов ЭЭС, реализованных в виде решетчатых схем замещения.

3.-. Методы и алгоритмы определения предельных режимов для энергосистем, имеющих в своем составе линии электропередачи новых типов: компактные, трехцепные, управляемые самокомпенсирующиеся.

4. Методика аппроксимации границы области: допустимых режимов для сложной ЭЭС.

5. Математическая модель предельных режимов, основанная на использовании модифицированных уравнений предельных режимов, записанных в фазных координатах узловых напряжений.

Практическая ценность полученных научных результатов состоит в решении актуальных научно-технических задач, связанных с созданием автоматизированных комплексов диспетчерского управления энергосистемами и системами электроснабжения железных дорог.

Эти результаты позволят повысить скорость принятия решений, точность оперативного управления, снизить ущерб при отключении генераторов и нагрузок при проведении режимных ограничений потребителей, полнее использовать резервы энергосистем по пропускной способности.

Во введении: обосновывается актуальность исследований, направленных на создание эффективных и надежных алгоритмов определения предельных по статической устойчивости и передаваемой мощности режимов с учетом продольной и поперечной несимметрии в электрической сети. Сформулированы цель и основные задачи исследований, определена научная и практическая ценность работы. Приведено краткое содержание работы.

В первой главе проанализированы широко применяемые методы расчета предельных режимов, основанные на дискретном (пошаговом) утяжелении, положительным качеством которых является простота алгоритма и легкость учета ограничений-неравенств, накладываемых как на регулируемые, так и на нерегулируемые параметры режима [11, 75, 81]. Недостатки указанных методов состоят в необходимости расчета серий промежуточных режимов, которые, как правило, не интересуют расчетчика, а также в существенных вычислительных трудностях, связанных с тем, что в точке решения матрица Якоби уравнений установившегося режима (УУР) вырождена [74].

Для повышения эффективности расчетов были разработаны методы непрерывного утяжеления [74, 82, 84], не требующие расчета промежуточных режимов и основанные на применении высоконадежных вычислительных процедур решения УУР [14. 17, 63, 130, 131]. Однако, несмотря на существенное повышение эффективности расчетов, применение методов непрерывного утяжеления не снимает вычислительных трудностей, связанных с решением вырожденных систем нелинейных уравнений. Кроме того, эти методы не применимы в общем случае, при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности.

Наиболее эффективно задача определения пределов устойчивости может быть решена на основе уравнений предельных режимов (УПР), которые могут быть представлены в двух видах, отличающихся способом нормирования собственных ветров матрицы Якоби уравнений установившегося режима [80].

В работе показано, что наиболее рациональной является форма записи УГГР, использующая задание длины собственных векторов. Форма записи УПР, основанная на закреплении одной из компонент этих векторов, является менее эффективной, так как возможно вырождение матрицы Якоби; УПР в ограниченном числе особых точек предельной гиперповерхности.

В этой же главе предложен метод оценки близости направления утяжеления к критическому, отвечающему кратчайшему расстоянию от точки исследуемого режима в пространстве регулируемых параметров до предельной гиперповерхности [60]: Метод основан на вычислении угла между направлением утяжеления и собственным вектором транспонированной матрицы Якоби УУР, который совпадает с направлением нормали к предельной гиперповерхности. Большая» величина- угла; свидетельствует,, как правило, о том, что направление утяжеления не соответствует наиболее «опасной» траектории;

На основе анализа математических моделей простых схем ЭЭС показан фрактальный- характер области устойчивости; Фрактальный! характер областей устойчивости может быть объяснен тем, что при использовании полярных координат узловых напряжений якобиан УУР является периодической функцией независимых переменных X. Таким образом, в полярных координатах области устойчивости ЭЭС имею фрактальную структуру и< при их изучении и анализе можно использовать методы и алгоритмы теории фракталов [89, 155^

При управлении режимами ЭЭС весьма актуальной является» задача определения в пространстве регулируемых параметров границы области, отвечающей нормированному значению запаса статической апериодической устойчивости; [105]. В работе предложена методика кусочно-линейной и нелинейной^ аппроксимации- границы области допустимых режимов для сложной ЭЭС [61, 62. 95]:

Во второй главе1 предложены методы определения предельных режимов ЭЭС с учетом продольной и поперечной; несимметрии в электрической сети. Задача определения! предельных режимов и построения: областей устойчивости в пространстве регулируемых параметров при наличии продольной и поперечной несимметрии может быть решена на основе использования фазных координат узловых напряжений [19, 67, 72]. При их применении электрическая сеть может описываться трехлинейной схемой [19] или представляться в виде компаунд-сети [88]. В первом случае каждый трехфазный элемент задается тремя сопротивлениями с электромагнитными связями или соответствующими схемами замещения. Число узлов расчетной схемы по отношению к однолинейной; сети при этом утраивается. Во втором случае трехфазная сеть рассматривается как однолинейная, в которой каждая ветвь представляется матрицей размерности 3x3, а токи и напряжения - векторами размерности 3. Первый способ позволяет рассматривать любые многофазные элементы, например, линии электропередачи (ЛЭП) с тросами. При втором способе учет таких элементов существенно затрудняется.

Проведенный теоретический анализ показал, что для расчета слож-нонесимметричных режимов ЭЭС, вызванных тяговыми нагрузками; и неравенством продольных параметров, наиболее приемлемым является первый способ представления электрической сети в фазных координатах [67, 167, 168]. При этом элементы системы замещаются решетчатыми схемами, что позволяет использовать хорошо разработанные алгоритмы расчета режимов ЭЭС.

На основе модифицированного в рамках диссертационной работы программного комплекса FLOW3 [67] были проведены многочисленные расчеты предельных режимов реальных и эквивалентных схем ЭЭС с учетом продольной и поперечной несимметрии; Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том; что при несимметричном утяжелении пределы передаваемой мощности существенно уменьшаются. Этот факт необходимо учитывать при планировании перспективных режимов работы ЭЭС, питающих мощные электротяговые нагрузки.

На основе фазных координат может быть предложена новая форма записи уравнений предельных режимов, учитывающая продольную и поперечную несимметрию. Предложенная математическая модель открывает новое направление в исследовании предельных режимов сложных электроэнергетических систем [71]. В частности, на ее основе могут определяться предельные режимы при продольной несимметрии в ЭЭС, которая возникает при обрыве одной или двух фаз на линиях электропередачи высокого и сверхвысокого напряжений. Кроме того, могут анализироваться предельные режимы при многократной поперечной несимметрии, что весьма актуально для энергосистем, питающих мощные тяговые подстанции переменного тока.

В третьей главе предложены методы определения предельных режимов в энергосистемах с воздушными линиями электропередачи новых типов[ 170]: компактных (KBJI), трехцепных (ТВЛ), управляемых самокомпенсирующихся (УСВЛ).

Повышение передаваемых мощностей в электроэнергетических системах приводит к необходимости разработки новых типов ЛЭП с нетрадиционным расположением проводов. В частности, предлагаются ЛЭП с линейным и концентрическим расположением проводов, обладающие повышенной пропускной способностью [170]. Анализ предельных режимов сиссистем с такими линиями осложняется из-за возникновения несимметрии и существенного взаимного электромагнитного влияния проводов.

Для анализа приняты три типа линий следующего вида:

• компактная воздушная линия (KBJI) с плоским расположением проводов;

• KBJI с концентрическим расположением проводов.

Решение задачи расчета режимов электрических систем, имеющих в своем составе ЛЭП с нетрадиционным расположением проводов, наиболее эффективно может быть проведено в фазных координатах. При этом используются решетчатые схемы замещения с RLC-элементами, что позволяет получать эффективные модели многопроводных ЛЭП и трансформаторов.

На основе проведенных исследований показано, что наличие KB Л существенно увеличивает пределы передаваемых мощностей и, соответственно, расширяет области устойчивости. КВЛ с плоским расположением проводов вносит заметную несимметрию, а линия с концентрическим расположением характеризуется еще большой несимметрией, приводящей к циркуляции потоков мощности при холостом ходе и дополнительным потерям в линии [69].

Для повышения передаваемых мощностей в электроэнергетических системах предлагается использование трехцепных линий электропередачи с разными напряжениями цепей [169], что должно повышать пропускную способность комбинированной линии по сравнению с разнесенными ЛЭП. Анализ предельных режимов систем с такими линиями осложняется из-за значительной несимметрии, возникающей вследствие сильного взаимного электромагнитного влияния проводов. В главе представлены результаты сопоставительного анализа предельных режимов в простой ЭЭС с трех-цепными линиями и с разнесенными традиционными ЛЭП. Показано, что трехцепная воздушная линия с расположением проводов по типу ACBcba-ВАС характеризуется более высокой симметрией параметров и пропускной способностью по сравнению с одноцепными линиями. Предельные режимы трехцепных линий с разным расположением проводов отличаются друг от друга на 13%. При расположении проводов трехцепной ЛЭП по типу ABCabcABC предельные режимы практически совпадают с таковыми для разнесенных линий.

Для количественной проверки пропускной способности управляемых линий электропередачи [170] выполнены расчеты предельных режимов для эквивалентной схемы ЭЭС. Области устойчивости построены при углах между напряжениями цепей 0, 90, 180. Показано, что наличие УСВЛ позволяет повысить пределы устойчивости ЭЭС.

В заключении приведены основные выводы по работе и отмечается, что на основе проведенных исследований решена актуальная проблема математического моделирования предельных режимов ЭЭС с учетом многократной продольной и поперечной несимметрии.

При работе над диссертацией автор пользовался научными консультациями канд. техн. наук, доцента Закарюкина В.П.

1. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ

РЕЖИМОВ

1.1. Математические модели предельных режимов энергосистем

Положение равновесия автономной; системы дифференциальных уравнений х-. Л 1.Л1

1.1) является асимптотически; устойчивым по Ляпунову, если устойчива линеаризованная система (система первого приближения): с1х: 1 к«1 дхъ

Ах,; 1 = 1.П,

1.2) к '|*к=*кО где Ахк = хк - хк0; хк0 - координаты точки равновесия, удовлетворяющие уравнениям х1о>х2о,-,хп0)=0; Г=Т.п.

Процедура линеаризации выполняется на основе разложения функций \У;(х,,х2,.,хп)Д = 1.п в ряд Тэйлора wXxpX2,.,xJ=Wi(xl0,X20,.,xJ+¿^aW к=1

Ч^к У|х=х0

Ахк +

1 п п 2! к=1

Г Л

АхкАх] + . и отбрасывания нелинейных членов.

Устойчивость решения уравнений (1.2) имеет место, если отрицательны действительные части всех корней характеристического уравнения

В(р) = ёе(^-рЕ

V дХ 0,

1.3) где - матрица Якоби от \\^(Х), вычисленная в точке равновесия ¿5х д\У ах

СДУ, дх, дхп дх{ дхп

E = diagl - единичная матрица порядка п. Положение равновесия будет неустойчивым, если уравнение (1.2) имеет хотя бы один корень с положительной действительной частью. Если таких корней нет, но среди корней есть чисто мнимые, то по системе первого приближения нельзя судить об устойчивости. В этом случае требуются дополнительные исследования.

Применительно к установившимся режимам электрических систем устойчивость по Ляпунову, носит название статической устойчивости, которую по характеру нарушения обычно разделяют на апериодическую и колебательную. Первый вид неустойчивости связывают с появлением действительных положительных корней, второй— с появлением комплексных корней с положительной вещественной частью (рис. 1.1). Практические методы определения апериодической и колебательной устойчивости различаются между собой. Ниже рассматриваются только методы и критерии определения апериодического нарушения устойчивости.

Для того, чтобы характеристическое уравнение (1.3), которое можно представить в следующем развернутом виде относительно символа р:

Е(р) = рп + ап,рпЧ +. + а0 = 0 (1.4) не имело вещественных положительных корней рк, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты (1.4) были больше нуля. Однако, если определять предел устойчивости в процессе утяжеления исходного устойчивого режима, то нет необходимости следить за знаками всех коэффициентов, так как первым изменит знак на отрицательный свободный член ха

Рис. 1.1. Характер нарушения устойчивости: а) -расположение корней на комплексной плоскости; б) - зависимость X = Х^)

Действительно, из (1.3) и (1.4) следует, что а0 = (-1)"<1е<|| (1.3) а0 =0 ПРИ Рк=0

Поэтому при изменении значения вещественного корня с отрицательного на положительный неизбежно изменение знака а0. На контроле знака свободного члена характеристического уравнения основаны все методы определения предельных по устойчивости режимов.

Уравнения установившегося режима ЭЭС в общем виде могут быть представлены так

Р(Х,У) = 0, (1.5) где Г = ]т - п-мерная вектор-функция, отвечающая уравнениям баланса мощностей или токов в узлах сети; У = [у,у2.ут ]Т - заданный вектор регулируемых параметров (независимых переменных); Х = [х,х2.хп]т- искомый вектор нерегулируемых параметров (зависимых переменных).

В качестве регулируемых параметров обычно используются активные и реактивные мощности генераторов и нагрузок, а также зафиксированные в отдельных узлах сети модули напряжений. Зависимыми переменными считаются действительные и мнимые составляющие или модули и фазы узловых напряжений. Также в состав вектора зависимых переменных X может входить значение частоты в энергосистеме.

На основании изложенного режимами, предельными по статической апериодической устойчивости, считаются режимы, в которых выполняются уравнения (1.5) и условие дУ/ ег-= 0. (1.5а)

ЭХ ^ 7

Правые части дифференциальных уравнений (1.1) есть по существу функции невязок уравнений установившихся режимов, так как они обращаются в ноль в точках равновесия. Соответственно, матрица ^^ в уравнении (1.3) - это матрица Якоби уравнений режима. Однако матрица Яко-ЭР би —, полученная из уравнений установившихся режимов (1.5) может не ЭХ

Э\у ^ „ совпадать с . Это связано с двумя причинами. Первая состоит в том, что уравнения установившихся режимов могут быть записаны в различных формах: в виде баланса мощностей, токов и т.д., в общем случае не совпадающих с формой записи дифференциальных уравнений. Второе различие связано с тем, что "поведение" генераторов и нагрузок при утяжелении режима и при малых возмущениях режима может быть различным. Так, например, при малых возмущениях режима напряжение на шинах генератора может изменяться вследствие того, что регулятор возбуждения имеет конечную величину коэффициента усиления по отклонению напряжения. При расчетах же режимов модуль напряжения на шинах генератора, как правило, принимают заданным. При этом предполагается, что при изменениях режима осуществляется дополнительная корректировка возбуждения генератора, обеспечивающая неизменность напряжения генератора.

3\У д¥

Вследствие возможного отличия матриц и наряду с предельными по устойчивости режимами вводится понятие режимов, предельных по существованию (передаваемой мощности). Такими считаются режимы, в которых выполняются уравнения (1.5) и условие д¥ = 0. (1.5б) ах 4 '

Сказанное можно пояснить на основе упрощенных уравнений установившегося режима генератора без учета активных сопротивлений статора и различия сопротивлений хй и хч по продольной и поперечной осям рис. 1.2). Последнее упрощение касается гидрогенераторов, так как для турбогенераторов хч = хй. При описании автоматического регулятора возбуждения (АРВ) учитывается только канал регулирования по отклонению напряжения. о—' 1 1 1

X. = X

1 я и

Рис. 1.2. Схема замещения При указанных допущениях уравнения, описывающие установившийся режим работы генератора, могут быть представлены в следующем виде:

Еаи . Л Рг = этЭ; х. и2 Е и 0г =--ч—3—соб0; х х„ ч я Е о = -к0(и - ио),

1.6) где 0 - внутренний угол между ЭДС Еч и напряжением шин; ки - коэффициент усиления АРВ.

Первое уравнение отражает равенство механической Рг и электромагнитной мощности генератора в установившемся режиме. Второе -уравнение баланса реактивной мощности. Третье уравнение относится к АРВ, осуществляющему регулирование ЭДС возбуждения Еч относительно величины Еч0, заданной в некотором исходном режиме из условия и = ио, где ио напряжение уставки регулятора.

Для составления матрицы Якоби, соответствующей свободному члену характеристического уравнения, можно воспользоваться уравнениями (1.6). При этом все производные, за исключением производных от реактивных мощностей генератора, найдутся прямым дифференцированием.

Так как активная мощность генератора, выдаваемая в сеть, равна механической мощности и, следовательно, не зависит от напряжения на шинах, то = 0. Производную можно получить из уравнений (1.6), записав их в приращениях: и Е Е и sin 0dE +—1 sin 0dU + cos 0d0 = 0; x„

U 2U E E U dQr = —cos0dE dU + -icos0dU--sin0d0;

Xq ХЧ Xo dE =-kudU,

1.7)

E U EqU . л

Обозначив; через N = —-— cos 0 и учитывая, что Рг = —— sin 0, можх„ х„ но получить

U Еп sin0dEq + —sinGdU + NdQ = 0; хл x„ q q

Т Т ^ Т Т Е dQr =—cosGdE---dU.+ -^cosGdU - Prd0; x„ x. хл dE=-kudU,

1.8)

Выразив dQ из первого уравнения

Usin0Е d0 =--dEa--— sin 0dU

Nxq 4 Nxq и подставив во второе, можно получить U

2U dQr =—cosGdE—-dU+^cosQdU+P,

Х„ X х„ q q q

Nx„ 4 Nx

После преобразований можно записать IT P^lJsinH f dQr = rU Л PrUsin0^ -cos0 4 vxq

Nx dEq + я /

2U E PrEq . V cos 0 4---smQ dU,

V хч хя

Nx, или dQr = v

4Eq+NEq, dE + q

2U N Pr2 —+ v xq U UN dU.

Обозначив через хя

Рг +

2г +

И' X

Я / можно записать 4 В2

215

Vми аи.

1.9)

С помощью третьего уравнения в (1.8) можно исключить из (1.9) приращения АЕЧ и после несложных преобразований прийти к следующему выражению для с1С)г

В2 211 В2

Vми хя

ЫЕ, аи или сК}г = Так как

В'

211 Ви чни ХЧ

Их, сШ. аи то искомая производная равна

В2 2и Ви

Ш ЖГ Хч Ыхч

1.10)

С помощью (1.9) можно оценить влияние регулирования возбуждения на величину ^^ . Для этого необходимо найти эквивалентное сопротивление х адг . при котором производная —- без учета регулирования эи возбуждения совпадает с полученной при учете регулирования. Исходя из этого, можно записать

В2 211 Ви, В2 2И

Ш хч Кхч

Ш х„ и наити, что хч = ч

1 + 1+ ки

1.11)

2Ы 2соб8

Из (1.11) видно, что регулирование возбуждения эквивалентно уменьшению сопротивления генератора. Зависимость хч=х (ки) приведена на рис.1.3. Так как значения ки достигают нескольких десятков единиц, то влияние регулирования на величину эквивалентного сопротивления очень сильное.

0.2

0.15

0.1

0.05 =4

10

20

30

40

Рис.1.3. Зависимость хч = х^кц)

В качестве примера можно рассмотреть режимы генератора, работающего через линию на шины бесконечной мощности (рис. 1.4). v ч ч ч

Рис. 1.4. Генератор, работающий на шины бесконечной мощности

Угловую характеристику мощности можно представить в виде:

Р= BqU2 sin(e + 5,2), xq + xI2 где х|2 - сопротивление линии; 0 - внутренний угол генератора; 612 - угол вектора напряжения генератора относительно напряжения U2 шин бесконечной мощности.

При отсутствии АРВ, т.е. при Eq = const, предел устойчивости на

7U ступает в точке максимума угловой характеристики, когда 812 + 0 = —. При этом величина угла на линии достигает некоторой величины 512 Для оценки влияния сопротивления генератора на величину предала устойчивости, следует реактивную мощность Q у приемного конца линии выразить двумя способами:

-СО8(0 + 512) х„ + х12 хч + х12 о иА я

С> =—1—— СОБО, и,2 х,

1.12) е+б12 =

12 12

Из последнего выражения следует, что в предельном режиме при п и2х

СОБО,., = —7-3-С. и^х. + х,)

1.13)

Из полученной формулы можно сделать вывод о том, что предельный угол на линии тем больше, чем меньше отношение сопротивления генератора к суммарному сопротивлению генератора и линии (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Зависимость 5]2 ч\+х>2;

Поэтому регулирование возбуждения генератора приводит к увеличению предела устойчивости: при значениях кц, равных десяткам единиц, эквивалентное сопротивление генератора мало по отношению к сопротивлению линии и в этой случае предел устойчивости и предел передаваемой

71 мощности, который достигается при 5|2 = —, практически совпадают. Таким образом, только при отсутствии регулирования возбуждения или малых коэффициентах усиления предел устойчивости наступает заметно раньше предела передаваемой мощности.

Для получения зависимости =ф(ки) можно записать уравнения, аналогичные (1.12), для активной мощности Е и.

Р = д 2 Хд +Х.2 зт(0 + 8П);

42

1.13)

После преобразований можно пол учить, что

81П012 =7-3-г-.

ХЧ + Х12 ДЛ

Из (1.13) и (1.14) следует, что Е х,

1.14)

2 = д 12 и,хч

Подставив в последнюю формулу выражение для эквивалентного сопротивления (1.11) можно записать

Ечх12

§,2 =

Зависимость 8™ = ф(кп) представлена на рис.1.6.

90 80 70 60

50 0 10 20 30 40 50

Рис. 1.6. Зависимость 8^ = ф(ки)

Сделанные выводы относительно влияния регулирования на устойчивость и взаимосвязи пределов устойчивости и передаваемой мощности (существования режима) справедливы и для сложных энергосистем.

Другим фактором, приводящим к различию предельных по устойчивости и передаваемой мощности режимов, является возможное различие в поведении нагрузки при утяжелении режима и его малых возмущениях. При сильных изменениях напряжений в узлах нагрузок производят регулировку коэффициентов трансформации понизительных трансформаторов для обеспечения номинального напряжения на шинах электроприемников. При этом оказывается, что, несмотря на снижение напряжения на высокой стороне, мощность нагрузки остается неизменной (рис. 1.7а). В отличие от этого, при неконтролируемых малых возмущениях режима коэффициенты трансформации остаются постоянными и мощность нагрузки изменяется с напряжением в соответствии со статическими характеристиками вида (1.76).

Этим и определяется неодинаковое влияние нагрузки на предел устойчивости и предел существования. Если учесть, что наибольшие снижения напряжения касаются приемной части энергосистемы и что при снижении напряжения мощность нагрузки падает, то, как правило, при этом "облегчаются" условия по устойчивости по сравнению с условиями существования режима. Из-за этого предел существования режима может наступать раньше предела по устойчивости.

Точки пространства 7 = ХЦ1У, в которых выполняются уравнения (1.1) и условие (1.5а), образуют в пространстве У дискриминантную гиперповерхность Ь>у (рис. 1.8а)1. Точки пространства Z = XUY, в которых выполняются уравнения (1.1) и условие (1.56) образуют в пространстве У дискриминантную гиперповерхность Ь^/ (рис. 1.9). а) б)

Рис. 1.7. Статические характеристики нагрузки: а) -при отсутствии РПН; б) - при наличии РПН

1 В пространстве X область устойчивости имеет фрактальный характер (рис. 1.86).

Рн.СЭн.о.е.

Рно-Сно р„ = рн(и) н и,о.е.

Ph.QH.0 6.

Рщ)' Оно

У/. ■ \ и,о.е. и„-ди ин + ди

Рис. 1.8. Фрагменты областей устойчивости для трехузловой модели ЭЭС: а) -пространство \ = [Р, Р2 ^; Р,, Р2 - активные мощности генераторов электростанций; б)-пространство X = [б, 62Р^; 5,,52 - угловые сдвиги векторов напряжений узлов 1 и 2 по относительно базисного узла 3 и, = 1 = сопэ! и з — 1= сопэ!

Рис. 1.9. Фрагменты областей существования для трехузловой модели ЭЭС: а)-схема ЭЭС; б) -область существования

1.2. Фрактальный характер областей устойчивости энергосистем

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в научный обиход. Термин образован от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Он был предложено Б. Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался [155]. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"

Фракталы можно разделить на три типа:

• геометрические;

• алгебраические;

• стохастические.

Геометрические фракталы в двухмерном случае получают с помощью некоторой ломаной линии, называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на генератор в соответствующем масштабе. В результате многократного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Алгебраические фракталы получают с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Следует отметить, что с помощью примитивных алгоритмов можно порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом меняются какие-либо его параметры.

Область устойчивости (существования режима) ЭЭС в пространстве нерегулируемых параметров X имеет ярко выраженный фрактальный характер. Данное свойство можно показать на примере схем ЭЭС простой структуры (рис. 1.10).

Уравнения установившегося режима в полярных координатах узловых напряжений могут быть записаны в следующем виде: к=0 к=1 где X = [б152.5п]т; а;к = аи = у!к =4ё>1+ъ1; = Я к к

К?к + Х?к

Ъ.=

Полагая для простоты, что х23 = х12 = 1 и и1 = и2 = и3=1, для схемы, приведенной на рис. 1.1 Оа, можно записать

А(51»8г) = Р1 - и1игУ12 ^п(51 - §2) = Р1- з1п(51 ~ 5г); б!,52) = Р2 - и^у^ Бт(52 -б^-и2и3у23зт52 = Р! -зт(82 -81)-зт52.

Матрица Якоби последней системы может быть представлена так д¥ дх

Э5,

58, 35? дГ2 Щ д8{ дЪ2 соз(51 -82); где = — соб(5| -52); = соб^ -52); —= соб^ -52);

55

35!

81

Эд.

Тогда, после несложных преобразований для якобиана, можно записать следующее выражение: с1е1:-^- = 003(61 -б^соэбо . ЭХ V 1 27 2

1.15)

Функция (1.15) протабулирована с помощью лицензированного программного пакета МАТНСАБ 11. Результаты расчетов представлены на рис. 1.11. Из рисунков ясно виден фрактальный самоподобный характер области устойчивости (существования режима) в пространстве параметров . г iT

Рис. 1.11. Области устойчивости для схемы ЭЭС, приведенной па рис. 1.10а Для схемы ЭЭС, представленной на рис. 1.10 б, при условии, что х23=х12=х13=1 и Uj=U2~U^=l, могут быть записаны следующие уравнеfi(§i'S2) = pi -sin(5, -52)-sin5]; 1 f2 (5j, 52) = P2 + sin(8j - §2) - sin 52.J

Матрица Якоби этой системы может быть представлена так: df,

5f 55, d8? ах df2 df2 d8x db2 гДе —1 = -cos(5! - 52)- eos; L = cosfo - 52); —= cos(5, - 5

70 j ¿70 2 5o¡ - — cos(5j -52)-cos82. db2

Якобиан может быть записан в виде 5F det — = cos(8, - 62 )(cos8j + cosS2) + cos5j cos82. ЭХ

Результаты расчетов, выполненные с помощью пакета MATHCAD 11, представлены на рис. 1.12. Из рисунков также ясно виден фрактальный самоподобный характер области устойчивости (существования режима) в пространстве параметров X = [8j 52]Т.

Рис. 1.12. Области устойчивости для схемы ЭЭС, приведенной на рис. 1.106

Фрактальный характер областей устойчивости может быть объяснен тем, что при использовании полярных координат узловых напряжений якобиан УУР является периодической функцией независимых переменных X (рис. 1.13) .

5 10

5 -10 det—-Ь ЗХ Д 1 §2 = COnst

Sl9 Град

500 1000 1500 2000 а)

5 -10

5 -10

500

1000 det"" V ЗХ Л 1 = const =

VySj.rpafl

1500

2000 б) dF

Рис. 1.13. Периодический характер функции det-= f(S, ,S2)

ЭХ

Таким образом, области устойчивости ЭЭС имеют в полярных координатах фрактальную структуру и при их изучении и анализе можно использовать методы и алгоритмы теории фракталов.

1.3. Методы определения предельных режимов

Широко применяемые методы определения предельных режимов [11, 81], можно назвать методами дискретного утяжеления, включают следующие этапы:

1. Рассчитывается некоторый заведомо устойчивый режим.

2. Для этого режима вычисляется значение свободного члена х J дх или какого-либо практического критерия устойчивости j. 5W detл =5Х

- л ,ÖW где Му - минор, полученный из det- вычеркиванием i-ои строки и j-ro дХ столбца.

3. Производится изменение регулируемых параметров Y (рис. 1.14) в соответствии с выбранным законом утяжеления

Y= Y(T), где Т - скалярный параметр, и рассчитываются новые режимы. Обычно траектория Y(T) в пространстве Y принимается линейной (рис. 1.15), Y(T)= Y0 + TAY, где Y0 соответствует исходному режиму, а AY определяет направление утяжеления в пространстве Y. Утяжеление продолжается до тех пор, пока на k-том шаге

Yk = Y0 + TkAY, не произойдет изменение знака aQ или Т| ^ (рис. 1.16) или пока решение уравнений F(X,Yk) = 0 не перестанет существовать (рис. 1.17).

Расчет последовательно утяжеляемых режимов требует больших затрат времени ЭВМ, но он необходим потому, что детерминантные уравнения (1.5а) или (1.56) представить в развернутом виде практически невозможно.

Для сокращения вычислений и повышения точности поиска параметров Хпр применяют дробление шага утяжеления. Это делается следующим образом. Начальный шаг выбирается достаточно большим, а после первого пересечения происходит деление первоначального шага утяжеления пополам. Такой процесс дробления завершается после того, как длина шага утяжеления будет меньше заданной точности 8 поиска параметров V

1 пр

Повышение эффективности расчетов может быть достигнуто также путем использования предложенных в работах [9, И] специально организованных вычислительных процессов решения УУР, сходящихся только к статически устойчивым режимам. При этом отпадает необходимость определения на каждом шаге утяжеления значения ао или

Л ц

Конкретная реализация рассматриваемых методов зависит от форм записи УУР [10, 130], применяемых численных методов [64, 122] и используемых критериев статической устойчивости [65].

Преимущества методов дискретного утяжеления состоит в простоте реализации и возможности изменения параметров утяжеления на любом шаге процесса. Это позволяет учитывать действия противоаварийной автоматики [12] и технические эксплуатационные ограничения.

К недостаткам данных методов можно отнести значительную трудоемкость, связанную с необходимостью расчета большого числа промежуточных режимов, которые, как правило, не интересуют расчетчика.

У,

У р /

1Пр \ А \ аа — \ 5Х = 0 ую у) уз» У)пр

Рис. 1.14. Произвольная траектория утяжеления режима

Рис. 1.16. Изменение знака а0е процессе утяже ления режима ния

Рис. 1.17. Выход режима за пределы области существования в процессе утяжеления

Кроме того, существенные трудности возникают при совпадении пределов передаваемой мощности и устойчивости, или при определении режимов, предельных по существованию. В этом случае матрица Якоби д¥

УУР ^ ^ становится вырожденной в точке решения ХГф, которая соответствует предельному режиму. При этом возникает необходимость решения плохо обусловленных систем линейных уравнении (СЛУ).

Для >повышения эффективности расчетов предельных режимов были разработаны методы непрерывного утяжеления [73; 84], не требующие применения многошаговых вычислительных процедур, связанных с расчетом; серии промежуточных режимов.* Эти методы основаны на свойстве особо надежных методов численного решения уравнений установившегося режима, заключающемся в том, что если по ходу вычислений встречаются точки, в которых аАо, эх: то благодаря искусственному ограничению шага, итерационный процесс "зависает" вблизи этих точек. Поэтому, если задать величину утяжеления настолько большой, чтобы она соответствовала несуществующему режиму, то в конечном итоге будет достигнута одна из точек предельной поверхности (о чем можно судить, например, по резко убывающей величине шага).

В основе способа непрерывного утяжеления, описанного в работе [73]; лежит метод В.А. Матвеева, итерационная формула которого имеет вид: д¥

Х™=Х"-К

Р(ХИ) (1.17) Область применения указанных методов ограничивается условием совпадения пределов устойчивости и передаваемой мощности. где А,к - корректирующий коэффициент, определяемый по выражению: к|1/ВкприВк>1 I 1 при Вк < 1

Вк =

2тах

К (X (к) } шах

Г! (х(к) )

I X -¿Дх(к) Лх(к) о (j) эх ¡ах

Второй сомножитель для Вк представляет собой максимальный по модулю элемент вектора, полученного в результате умножения матрицы вторых производных вектор-функции К(Х) на компоненты вектора поправок АХ, найденные на к-й итерации. Доказано, что если не происходит вырождения матрицы Якоби УУР, то итерационная процедура (1.17) обеспечивает сходимость вычислительного процесса для любых существующих режимов, а при расчете несуществующих режимов процесс вычислений сходиться к точке предельной гиперповерхности, где якобиан системы УУР равен нулю.

Суть способа непрерывного утяжеления можно проиллюстрировать на примере расчета предельного режима в направлении

АУ= [0 0. .0 А у , 0. .0 ]т .

Начальная величина параметра Т выбирается таким образом, чтобы выйти за пределы области устойчивости (существования решения). После первой итерации вследствие неучета нелинейных членов разложения функции Р(Х,У) в ряд Тейлора кроме невязки Т А у 1 по утяжеляемому параметру появляются невязки по другим координатам. По этой причине на второй итерации направление утяжеления несколько изменяется, осуществляется переход в следующую точку, где также имеет место отклонение от выбранной траектории У(Т).

При достижении предельной поверхности (ЬР) из-за наличия результирующих невязок по параметрам, не являющимся утяжеляемыми, полученная точка не будет лежать на заданной траектории утяжеления. Поэтому появляется необходимость в уточнении решения. При этом вычислительный процесс, на каждой итерации которого невязка по утяжеляемому параметру полагается нулевой, проходит вблизи предельной поверхности, где матрица плохо обусловлена.

Можно обойтись без процесса уточнения одним из следующих способов. Первый способ основан на дополнительной балансировке неутяже-ляемых параметров на каждой итерации при выходе их за пределы допустимых значений. Другой способ связан с дополнительным, по сравнению с выбранным, уменьшением шага. Этим обеспечивается требуемая степень соответствия результирующей точки вычислительного процесса и искомой предельной точке. Однако обе рассмотренные модификации приводят к нежелательному увеличению количества итераций. Общей причиной указанных осложнений является линеаризация УУР при использовании итерационной процедуры (1.17). Указанный недостаток можно устранить с помощью применения вычислительных методов [63], которые позволяют увеличить шаг в выбранном направлении при обеспечении заданной точности по неутяжеляемым параметрам.

Эти методы основаны на дополнительном учете старших членов разложения в ряд Тейлора вектор-функции

X = Ф(¥), обратной к F(X).*

В результате разложения X представляется в виде X = Хо + AXi(AF)+ AX2(AF2 )+. + AXk(AFr)+. где AXk(AFr)- векторы поправок, зависящие от произведений компонент вектора

AF = F(X) - F(Xo) Предполагается , что УУР представимы в виде Y-F(X). с суммой степеней, равной г. В точке решения Хр следует принять ДР = -Р(Х0)

Поправки ДХГ вычисляются по рекуррентным выражениям: сШ

ДХ|к) =

ДХ<к) =

ДХ{3к) = ах

Х(к) )

-I

Р(Х(к)); ах а£ ах

Х(к) ) (Х(к) )

-I в« ; В(3к); где к - номер итерации; ДХ(/> - вектор г-х поправок; г=1.3. Компоненты векторов входящих в выражения для второй и третьей поправок, вычисляются по следующим формулам:

Ь(2к) = [ДХ^'Р Г[к)ДХ[к); Ь(3к) = [ЛХ^ГГ^АХ^; где Г|к) - матрица Гессе от функции £(Х), вычисленная в точке Х<к>.

Первая поправка совпадает с определенной по методу Ньютона и соответствует линейной аппроксимации X от ДР. Вторые и последующие поправки соответствуют аппроксимации X полиномами более высокой степени, что и объясняет ускорение итерационного процесса при увеличении числа учитываемых поправок.

В представленном виде рассматриваемый метод вследствие плохой сходимости ряда

Х(к) = х0 + х ЛХГ при начальных приближениях, выбранных "вдали" от решения, не обеспечивает большей надежности расчета "тяжелых" режимов, чем метод Ньютона. Повышение надежности метода связано с улучшением сходимости указанного ряда, и с этой целью производится ввод корректирующих коэффициентов, заключающийся в следующем. Вместо поиска точки решения -Хр, в которой Р(Хр)=0, определяется промежуточная точка X* со значением функции невязок в (1.6а) показывает, что ввод корректирующих коэффициентов приводит к изменению поправок в аг раз, где г - номер поправки. Таким образом

Подбором а всегда можно обеспечить сходимость ряда и, найдя промежуточную точку X*, перейти к поиску решения Хр или следующей промежуточной точки, если ряд недостаточно хорошо сходится. В результате или будет получено решение, или процесс поиска "зависнет" над некоторой предельной точкой Хпр, если решение отсутствует. Последнее проявляется в том, что коэффициенты а, обеспечивающие сходимость промежуточных рядов, начинают стремиться к нулю, а последовательность промежуточных точек - к точке Хпр, в которой якобиан УУР обращается в нуль.

В работе [84] показано, что надежная сходимость ряда обеспечивается при выборе а по условию

Р(х*)=(1-а)г(х0),

Подстановка

АР = к(х*) - Р(Х0) = -аЖ(Х0)

Х' = Х0+5>ГАХГ. где 0 < Р < 1 - коэффициент, обеспечивающий заданную скорость сходимости ряда; лх!1 = Шдхн'1 1

2 I 2

АХ'Р"||={|:[ДХ'РГ1

1=1 ■ Г5 р»

- нормы векторов первой и старшей поправок.

Очередное приближение вектора зависимых переменных вычисляется следующим образом:

Х(П = х(к) + у !агдх;к). г-1 г!

Благодаря учету старших нелинейных членов разложения функции решения X =Ф(У) в ряд Тейлора удается обеспечить такой ход итерационного процесса, при котором невязки по параметрам, не входящим в число утяжеляемых, всегда остаются в пределах допустимых значений.

Для дополнительного уменьшения отклонений от заданного направления АУ, вызванных ограничением числа вычисляемых членов ряда, используется аппроксимация зависимости якобиана с!е1 ^^ от переменной

Т, определяющей величину утяжеления. Изменяясь по ходу итерационного процесса, прогнозируемая величина будет стремиться к предельному значению утяжеляемого параметра. Это обеспечивает компенсацию всех невязок по мере приближения к предельному режиму.

Для реализации алгоритмов непрерывного утяжеления могут также использоваться эффективные методы второго порядка, описанные в работе [16], и усовершенствованные методы последовательных интервалов, учитывающие нелинейные члены разложения вектор-функции К(Х) в ряд Тэйлора.

Достоинство методов непрерывного утяжеления состоит в существенном сокращении вычислительных затрат по сравнению с методами дискретного утяжеления. Недостатки их заключаются в неприменимости при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности, а также в необходимости решения плохо обусловленных систем линейных уравнений при подходе к решению.

При использовании методов как дискретного, так и непрерывного утяжеления возникают существенные трудности, связанные с вырожденностью УУР в точке решения. Избежать указанных затруднений можно на основе методики, предложенной в работах [80] и основанной на использовании уравнений предельных режимов (УПР), эквивалентных системам (1.5) и (1.5а) или (1.5) и (1.56).

Эти уравнения могут быть представлены в четырех формах:

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Крюков, Евгений Андреевич

7. Основные результаты диссертационной ^ работы в < виде программного обеспечения для; ЭВМ; рекомендаций и практических разработок переданы в филиал «Восточно-Сибирская^ железная'дорога» ОАО РЖД и в ГУ «Агентство по энергосбережению - республики Бурятия» при Правительстве РБ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие результаты.

1. Предложен метод оценки близости выбранного направления утяжеления к наиболее опасному, отвечающему кратчайшему расстоянию в пространстве регулируемых параметров от точки исследуемого режима до предельной гиперповерхности.

2. На основе фазных координат узловых напряжений и моделей элементов ЭЭС, реализованных в виде решетчатых схем замещения, предложена методика определения предельных по устойчивости режимов энергосистем, учитывающая продольную и поперечную несимметрию в электрической сети.

3; Предложены математические модели ЛЭП новых типов и специальных фазовращательных трансформаторов, на основе которых разработана методика моделирования ? предельных режимов! для; энергосистем; имеющих в своем составе компактные, трехцепные, управляемые самокомпенсирующиеся линии электропередачи;

4. Разработана методика аппроксимации границы области допустимых режимов-для сложной ЭЭС.

5. Предложена новая математическая; модель предельных режимов; основанная на использовании; модифицированных уравнений предельных режимов, записанных в фазных координатах узловых напряжений.

6. На основе: полученных научных результатов возможно решение актуальных научно-технических задач, связанных с созданием; автоматизированных: комплексов« диспетчерского управления энергосистемами и системами электроснабжения железных дорог.

Эти результаты позволят повысить скорость принятия решений, точность оперативного управления, снизить ущерб при проведении? режимных ограничений? потребителей, полнее использовать резервы энергосистем по пропускной способности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Крюков, Евгений Андреевич, 2005 год

1. Лбраменкова H.A., Воропай Н.И., Заславская Т. Б. Структурный анализ электроэнергетических систем (в задачах моделирования и синтеза). Новосибирск: Наука, 1990.

2. Лбраменкова H.A., Заславская Т. В. Критерии оценки главных свойств энергосистемы при анализе устойчивости // Методы исследования устойчивости сложных электрических систем и их использование. А/.; Энергоатомиздат, 1985.

3. Автоматизация управления энергосистемами / Под редакцией Совалова С.А. М.: Энергия, 1979.

4. Автоматизированная система оперативно-диспетчерского управления электроэнергетическими системами / Под редакцией Розанова М.Н., Семенова В.А. Новосибирск: Наука, 1986.

5. Азарьев Д.И., Веников В.А., Литкенс И.В. и др. Основные положения по определению устойчивости энергетических систем // Электричество. 1963. ЛЫ1.

6. Арзамасцев Д.А., Красникова Т.Я., Рудницкий М.П. Аппроксимация областей устойчивости сложных электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1984. Ж>2.

7. Архипцев Ю.Ф., Головицын В.И., Гремяков A.A. и др. Применение вычислительных методов в энергетике. А/.: Энергия, 1980.

8. Баринов ВЛ. Определение запаса апериодической статической устойчивости сложных электрических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1973. №1.

9. Баринов /?.Л.Исслсдование статической устойчивости электроэнергетических систем методом последовательных приближений //Электричество. 1980. N°12.

10. Баринов ВЛ:, МамикоянцЛ.Г., Строев В.А. Развитие математических методов для решения задач управления режимами работы и развития энергосистем // Электричество, 2005. №3. С. 8-22.

11. Баринов R.A., Совалов С.А. Режимы энергосистем: Методы анализа и управления. М.: Энергоатомиздат, 1990.

12. Баркан Я.Д., Орехова Л.А. Автоматизация энергосистем. А/.: Высшая школа, 1981.

13. Бартоломей П.И. Решение уравнений установившегося режима электрической системы методом квадратичного программирования // Применение математических методов и вычислительной техники в энергосистемах. Свердловск: УПИ.1982.

14. Бартоломей П.И., Окуловский С.К., Авраменко A.B., Ярославцев АЛ. Повышение эффективности метода Ньютона при расчетах установившихся режимов больших электрических систем // Электричество. 1982. j\°8.

15. Бартоломей П.И. Методы аппроксимации и решения установившегося режима электрической системы// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1985. №1.

16. Бартоломей П.И. О методах второго порядка решения уравнений установившегося режима электрической системы // Применение математических методов и вычислительной техники в энергосистемах. Свердловск: УПИ, 1986.

17. Батюк И.И., Ершевич В.И. и др. Управление режимами ЕЭС СССР и требования по обеспечению ее надежности, устойчивости и живучести // Проблема обеспечения надежности работы энергосистем. //.: Энергия, 1981.

18. Берман А. П. Расчет несимметричных режимов электрических систем с использованием фазных координат//Электричество, №12, 1985. С. 6-12.

19. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М.: Высшая школа, 1978. - 528 с.

20. Богданов В.А. Формирование модели установившегося режима // Электричество. 1981. №12.

21. Богомолова И.А. Разработка метода приближенной оценки областей устойчивости для решения задач противоаварийной автоматики // Противоаварийное управление и регулирование энергосистемами. Л.: Энергоатомиздат, 1982.

22. Богомолова И.А., Дианова И.МОпределение статической устойчивости для централизованной противоаварийной автоматики с ЭВМ ограниченного быстродействия// Способы повышения устойчивости и надежности объединенных энергосистем. Л.: Энергоатомиздат, 1983.

23. Богомолова И.А., ЛевитЛ.М., СадовскийЮД. Оценка статической устойчивости в алгоритмах противоаварийного управления сложных энергосистем // Противоаварийное управление и регулирование энергосистем. Л.: Энергоатомиздат, 1982.

24. Брамеллер А., Ашшн Р., Хэмэн Я. Слабозаполненные матрицы. Анализ электроэнергетических систем. М.: Энергия, 1979.

25. Бушуев В.В., Поляк А.О., Пустоеитов В.П. Использование доминирующих корней для оценки запаса статической устойчивости // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1973. Мб. Вып. 2.

26. Вайнштейн Л.М., Мельников НЛ. О возможности замены схем со взаимной индукцией эквивалентными без взаимной индукции // Электричество, 1965, №5. -С. 16-18.

27. Васин В.П. Расчеты режимов электрических систем. Проблемы существования решения. М.: Московский энергетический ин-т, 1981.

28. Васин В.П. Аналитическое решение для границы области существования режима трехмашинной электрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1982. №2.

29. Васин В.П. Граница области существования режима трехмашинной электрической системы II Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1982. №2.

30. Васин В.П. Методы глобального анализа режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1990. №5.

31. Васин В.П. Многообразие особых точек на поверхности предельных режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. №>1.

32. Васин В.П. Области существования режима четырехмашинной ЭЭС // Оптимизация режимов электроэнергетических систем. М: МЭИ, 1986. Ж>96.

33. Васин В.П. Структура множества установившихся режимов электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1981. №4.

34. Васин В.П., Кишкин Ю.В., Чертова Г.Н. Определение узлов электрической сети, опасных по условию существования режима сложной электроэнергетической системы// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1990. №2.

35. Васин В.П., Кондакова В.Г. Траектория утяжеления режимов ЭЭС и их построение в виде конечных рядов по степеням параметра утяжеления. //Моделирование электроэнергетических систем. Каунас, 1991.

36. Васин В.П., Федорова Т.Д. Метод Ь-функций построения областей существования режимов электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. №1.

37. Васин В.И., Чупахин В.Д: Упрощенный метод исследования предельных режимов ЭЭС с помощью метода L-функций // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1989. Л1'5.

38. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. Л/: Высшая школа, 1985.

39. Веников В.А., Строев В.А., Виноградов A.A., Идельчик В.И. Расчет запаса статической устойчивости электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1984. ХеЗ.

40. Веников В.А., Строев В.А., Идельчик В.И. и др. К определению предельных по апериодической устойчивости режимов электрических систем по якобиану уравнений установившихся режимов // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1973.т.

41. Виноградов A.A., Идельчик В.И., Новиков A.C. Ввод в область существования решения уравнений установившегося режима при расчетах установившихся, допустимых и оптимальных режимов электрических систем. Иркутск, политехи, ин-т, 1975.

42. Войтов О.Н. Методы и алгоритмы повышения эффективности расчета задачи определения допустимых режимов ЭЭС // Информационное обеспечение диспетчерского управления в энергосистеме. Новосибирск, 1995.

43. Войтов О.Н.', Воропай Н.И., Гамм A3 и др. Анализ неоднородностей электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1999. 256 с.

44. Воропай Н.И. Упрощение математических моделей динамики электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1981.

45. Гамм А.З. Статические методы оценивания состояния электроэнергетических систем. М.: Наука, 1976.

46. Гамм А.З. Вероятностные модели режимов электроэнергетических систем. Новосибирск, Наука, 1992.

47. Гамм А.З. Методы расчета нормальных режимов электроэнергетических систем на ЭВМ. Иркутск: Изд. Иркутск, политехи, ин-та, 1972.

48. Гамм A3., Герасимов JI.H., Голуб И.И. и др. Оценивание состояния в электроэнергетике. М: Наука, 1983.

49. Гамм А.З., Голуб И.И. Наблюдаемость электроэнергетических систем. М.: Наука, 1990.

50. Гамм А.З., Голуб И.И. Обнаружение слабых мест в электроэнергетической системе //Изв. РАН. Энергетика. 1992. №3.

51. Гамм А.З., Крумм ЛЛ. Шер НА. Два алгоритма расчета стационарного режима электрической системы с разбивкой на подсистемы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1966. №1.

52. Герман ЛЛ. Матричные методы расчета системы тягового электроснабжения. М: РОСГУПС, 1998. - 36 с.

53. Горев A.A. Избранные труды по вопросам устойчивости электрических систем. М.-Л.: Госэнергоиздат, i960.

54. Горев A.A. Предельные режимы дальней электропередачи, определяемые из ее установившегося режима// Тр. ЛПИ. 1958. №195.

55. Горнштейн В.М., Мирошниченко Б.П., Пономарев A.B. и др. Методы оптимизации режимов энергосистем. М.: Энергоиздат, 1981.

56. Горушкин В.И., Латышева Т.С. Исследование статической устойчивости энергосистемы с помощью уравнений установившихся режимов // Электричество. 1969. jYl'5.

57. Горюнов Ю.П., Ножин Л.Э., Щербачев О.В. Программа расчетов на ЦВМ режимов сложных электрических систем, предельных но сползанию //Доклады на II Всесоюзном научно-техническом совещании по устойчивости и надежности энергосистем СССР. Л/.: Энергия, 1969.

58. Дойников А.Н., Крюков A.B., Крюков Е.А. Анализ траекторий утяжеления при определении предельных режимов сложных энергосистем // Информационные технологии контроля и управления на транспорте. Вып. 11. Иркутск, ИрИИТ. -2004.-С. 11-18.

59. Дойников А.Н., Крюков A.B., Крюков ЕЛ. Построение и аппроксимация областей управления для сложных электроэнергетических систем // Математические и информационные технологии в энергетике, экономике, экологии. 4.2. Иркутск: ПСЭМСО РАН, 2003. - С.47-53.

60. Дойников А.Н., Крюков Е.А. Область допустимых режимов для сложной электроэнергетической системы // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке. Хабаровск: ДВГУПС, 2004.-С. 241-244.

61. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.:Мир, 1988.

62. Жданов П.С. Вопросы устойчивости электрических систем. М: Энергия,1979.

63. Жуков Л.А., Стратан И.П. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем //Методы расчетов. XI.: Энергия. 1979.

64. Закарюкин В.П., Крюков A.B. Сложнонесимметричньте режимы электрических систем. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та. 2005. —273 с.

65. Закарюкин В.П., Крюков A.B., Крюков Е.А. Математические модели предельных режимов электрических систем, учитывающие продольную и поперечную несимметрию // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2004. -№4. Иркутск: ИрГУПС. - С. 73-78.

66. Закарюкин В.П., Крюков A.B., Крюков Е.А. Предельные режимы в энергосистемах с линиями новых типов // Научно-техническое сотрудничество стран АТР в XXI веке. Хабаровск: ДВГУПС, 2005. - T. 1.-С. 170-174.

67. Закарюкин В.П., Крюков A.B., Крюков Е.А. Предельные режимы в энергосистемах с линиями повышенной пропускной способности // Ресурсосберегающие технологии на железнодорожном транспорте. Красноярск: Изд-во «Гротеск», 2005. - Т. 1.-С. 116-121.

68. Закарюкин В.П., Крюков A.B., Крюков Е.А. Учет продольной и поперечной несимметрии при определении предельных режимов энергосистем // Энергетика: экология, надежность, безопасность. Томск: ТПУ. -- 2004. - С. 154-157.

69. Заславская Т. Б. Алгоритмы расчета в фазных координатах сети большого объема //Тр. СибНИИЭ, 1972, вып. 23.

70. Идельчик В.И. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем. М.: Энергоатомиздат, 1988.

71. Идельчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем. М.: Энергия, 1977.

72. Идельчик В.И., Тарасов В.И., Строев В.А. О связи статической устойчивости и сходимости итерационного процесса при расчете установившеюся режима электрической системы //Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1972. ЛЬ6.

73. Калюжный А.Х., Соколов Ю.В., Грей A.A. Моделирование и управление в энергетических системах. Л/.: Энергоатомиздат, 1981.

74. Качанова H.A. Электротехнический расчет сложных энергосистем на ЦВМ. Киев: Техника, 1966.

75. Конторович A.M., Крюков A.B. Определение режимов сложных энергосистем методом непрерывного утяжеления // Тр. ЛПИ. 1981. №380.

76. Конторович A.M., Крюков A.B. Уравнения предельных режимов и их использование для решения задач управления энергосистемами // Методы исследования устойчивости сложных электрических и их использование. Энергоатомиздат, 1985.

77. Конторович А.М., Крюков A.B. Использование уравнений предельных режимов в задачах управления энергосистемами // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. №3.

78. Конторович A.M., Крюков A.B. Предельные режимы энергосистем (основы теории и методы расчетов). Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1985.

79. Конторович A.M., Крюков A.B., Макаров Ю.В. и др. Методы расчета на ЭВМ запасов устойчивости сложных энергосистем. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1988.

80. Конторович A.M., Крюков A.B., Сактоев В.Е., Хулукшинов Р.Г. Определение допустимых по условиям устойчивости режимов сложных энергосистем. Л.: ЛПИ, 1988. Цеп. в Информэнерго. №2864-эн88.

81. Конторович A.M., Макаров Ю.В, Тараканов A.A. Совершенствование методов непрерывного утяжеления для определения предельных режимов электрических систем // Тр. ЛПИ. 1982. №385.

82. Конторович A.M., Макаров Ю.В., Хулукшинов Р.Г. Методика оперативного определения запасов устойчивости в критическом направлении утяжеления // Моделирование электроэнергетических систем: Тез. докл. Всес. научн. техн. конф. Рига, 1987.

83. Коробчук К.В. Методика расчета с помощью ЦВМ статического предела мощности сложных энергосистем // Анализ режима электроэнергетических систем при помощи вычислительных машин. Киев: Ин-т электродинамики АН УССР. 1968.

84. Кощеев Л.А. Автоматическое противоаварийное управление а электроэнергетических системах. Л.: Энергоатомиздат, 1990.

85. Крон /V Тензорный анализ сетей. М: Советское радио, 1978.

86. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. -352 с.

87. Крумм ЛЛ. Методы приведенного градиента при управлении электроэнергетическими системами. Л/. : Высшая школа, ¡985.

88. Крюков A.B. Выбор управляющих воздействий противоаварийной автоматики И Изв. ВУЗов. Энергетика, 1991. №11.

89. Крюков A.B., Макаров Ю.В. Определение предельного режима энергосистемы в критическом направлении утяжеления. Улан-Удэ: Вост.-Сиб. технол. ин-т., 1992. Деп. в Информэнерго. №3330-эн92.

90. Крюков A.B. Выбор управляющих воздействий противоаварийной автоматики энергосистем. // Изв ВУЗов. Энергетика. 1991. №11.

91. Крюков A.B. Математические модели предельных и допустимых режимов сложных энергосистем. Изд. Вост.-Сиб. технол. ин-та, 1992.

92. Крюков A.B., Крюков ЕЛ. Построение и аппроксимация областей устойчивости сложных энергосистем // Информационные технологии контроля и управления на транспорте. Вып. 10. Иркутск, ИрИИТ. - 2002. - С. 36-44.

93. Крюков A.B., Крюков ЕЛ. Электробалансы предприятий железнодорожного транспорта: методическое пособие. Иркутск: ИрГУПС, 2004. -41 с.

94. Крюков A.B., Крюков ЕЛ., Константиненко И.С. Специализированные графические средства для систем автоматизации проектирования электротехнического профиля // Сб. науч. тр. Вост.-Сиб. гос. технол. ун-та. Сер.: Техн. науки. Вып. 2. -Улан-Удэ, 1995.

95. Крюков A.B., Крюков ЕЛ., Константиненко И.С. Специализированные графические средства для систем автоматизации учебного проектирования // Высшее образование в Бурятии: История, современность, перспективы. Улан-Удэ, 1996.

96. Крюков A.B., Крюков ЕЛ., Намогуруев Б.Б. Учет ограничений-неравенств при решении уравнений предельных режимов сложных энергосистем // Автоматизированные системы контроля и управления на транспорте. Вып. 4. -ИрИИТ: Иркутск, 1998. С. 66-73.

97. Крюков A.B., Макаров Ю.В. Методы экспресс-расчетов установившихся режимов электрических систем .Изд. Вост.-Сиб. технол. ин-та, 1990.

98. Крюков A.B., Макаров Ю.В., Сенько В.В. Запас статической апериодической устойчивости при многокоординатных утяжелениях энергосистемы. Улан-Удэ: Вост.-Сиб. технол. ин-т, 1992. Деп.в Информэнерго. ЛЬ3331-эн92.

99. Крюков ЕЛ., Степанов А.Д. Построение трехмерных диаграмм температурных полей // Материалы международной конференции 29-31 марта 2004 г. Иркутск: ИрГУПС, 2004. С. 192-196.

100. Крюков ЕЛ., Крюкова М.С. База данных по энергосбережению // Тр. Братского гос. техн. ун-та. Том /.- Братск: БрГТУ, 2002. С. 47-49.

101. Крюкова М.С., Крюков ЕЛ. Формализация вопросно-ответных отношений в системах искусственного интеллекта // Транспортные проблемы Сибирского региона. Сб. научн. тр. мол. учен. — Иркутск: ИрИИТ, 2001. С. 71-79.

102. Крючков И.В. Аппроксимация области существования режима трехмашин-ной электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1983. Ш.

103. Куликов ЮЛ. Переходные процессы в электрических системах. М. : Мир, 2003. - 283 с.

104. Ю7.Левинштейн МЛ., ЩербачевО.В. Методика расчета статической устойчивости сложных электрических систем с помощью эквивалентных регулирующих эффектов станций и нагрузок. // Изв. ВУЗов СССР. Энергетика. Ж'8.

105. Левинштейн М.Л., Щербачев О.В. Методика расчетов статической устойчивости сложных электрических системах с помощью эквивалентных регулирующих эффектов станций и нагрузок И Изв. ВУЗов Энергетика. 1962. Л1>8.

106. JIunec A.B., Окуловский С.К. Расчеты установившихся режимов электрических систем на ЦВМ. Свердловск: УИИ, 1986.

107. Лисеев М.С., Почечуев C.B. Расчет установившегося режима по мощности в ветвях // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1984. №3.

108. Ш.Лосев С. Б., Чернин А.Б. Вычисление электрических величин в несимметричных режимах электрических систем. М.: Энергоатомиздат, 1983.

109. Лосев С.Б. Об использовании фазных координат при расчете сложнонесим-метричных режимов //Электричество, 1979, М> I. С. 15-23.

110. Лукашов Э.С. Введение в теорию электрических систем. Новосибирск: Наука, 1981.

111. Мапусов В.Э., Моисеев С.М., Толстихина JI.B. Метол определения критического направления утяжеления режима работы электрической системы. Новосибирск: НЭТИ, 1988. Деп. в Информэнерго. jM'2761-эн.

112. Манусов Н.Э., Толстихина Л.Р. . Метод определения запаса статической устойчивости электрических систем с учетом фактора неопределенности. // Вопросы устойчивости и надежности энергосистем СССР М.: МВТ АН, 1990.

113. Маркович И.Н., Баринов В.А. О критерии статической устойчивости, базирующемся на сходимости итерационного процесса установления исследуемого режима // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1970. №5.

114. Мельников Н. А. Матричный метод анализа электрических цепей. М.: Энергия, 1972.

115. Мо Синчень, Диллон У. Э. Моделирование электроэнергетических систем //ТИИЭР, 1974, т. 65, № 7.

116. Мурашко H.A., Охорзин ЮЛ., Крумм ЛЛ. и др. Анализ и управление установившимися состояниями электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1987.

117. Невельский В.Л., Бабина Н.В. Упрощенный метод определения предельных по устойчивости режимов объединенных энергосистем // Противоаварийное управление и регулирование энергосистем. JI.: Энергоатомиздат, 1982.

118. Ножин Л.Э. Исследование статической устойчивости установившихся и самоустанавливающихся режимов электрических систем с помощью ЦВМ: Автореф. дис. канд. техн. наук. Л., 1970.

119. Ортега Д., Рейнбольдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

120. Паламарчук С.И. Сходимость линеаризованного разделенного алгоритма расчета потокораспределения // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1983. N°2.

121. Пелисье Р. Энергетические системы. М.: Высшая школа, 1982.

122. Портной М.Г., Рабинович P.C. Управление энергосистемами для обеспечения устойчивости. М.: Энергия, 1973.

123. Применение ЭВМ для автоматизации технологических процессов в энергетике / Под ред. В.А. Семенова. М.: Энергоатомиздат, 1983.

124. Руденко Ю.Н., Ушаков Е.И. Об определении запасов статической устойчивости электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1975, №10.

125. Рудницкий М.П., Красникова Т.Я. Аппроксимация областей статической устойчивости и вопросы управления режимами электроэнергетических систем // Управление режимами и развитием электроэнергетических систем в условиях АСУ. Новосибирск. НЭТИ, 1980.

126. Совалов С.А. Режимы единой энергосистемы. М.: Энергоиздат,1983.

127. Стотт Б. Обзор методов расчета потокораспределения // ТИИЭР, 1974, т.62, Х°7.

128. Тарасов ВЛ. Нелинейные методы минимизации для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 2001. 214 с.

129. Управление мощными энергообъединениями / Под редакцией Совалова СЛ. М.: Энергоатомиздат, 1984.

130. Ушаков Е.И. Расчет апериодической устойчивости сложных электрических систем с учетом статических характеристик нагрузок II Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1974.

131. Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических систем. Новосибирск: Наука, 1988. -273 с.

132. Фазьшов Х.Ф. Методы режимных расчетов электрических систем. Ташкент: Наука, 1964.

133. Цукерник Л.В. Основные положения анализа статической устойчивости сложных энергосистем при помощи вычислительных машин // Проблемы технической электродинамики. Киев: Наукова думка, 1972. Вып. 36.

134. Цукерник JI.В., Коробчук К.В. Некоторые вопросы методики анализа статической устойчивости сложных энергосистем // Доклады на III Всесоюзном научно-техническом совещании по устойчивости и надежности энергосистем СССР. Л.: Энергия, 1973. , • . '

135. Чебан В.М., Ландман А.К., Фишов А.Г. Управление режимами электроэнергетических систем в аварийных ситуациях. М.: Высшая школа, 1990.

136. Чернин А. Б., Лосев С. Б. Основы вычисления электрических величин для релейной защиты при сложных повреждениях в электрических системах. М.: Энергия, 1971.

137. Электрические системы / Под редакцией Веникова В.А. М.: Высшая школа, 1982.

138. Abe S., Hamada N., Tsono A., Okuda К. Load flow convergense in the vicinity of a voltage stability limit// IEEE Trans. 1978. Vol. PAS-97. Ш.

139. Alvarado EX. Determination of external system topology arrors / IEEE Trans, on PAS. 1981. №12.

140. Birt K.A., Graffy J. J., McDonald J.D., El-Abiad A.H. Three phase load flow program //IEEE Trans, on PAS, 1976, vol. 95, No. I.

141. Brameller A., PandeyB. E. General fault analysis phase frame of reference // Proc. Inst. Elec. Eng., 1974, vol. 121 No. 5.

142. Brian Stott. Review of load-flow calculation methods // Proceedings of the IEEE. 1974. Vol. 62. Ne 7.

143. Chandrashekhar K. S. Cut set stability criterion for power system using a structure preserving model // International journal of Electrical Power & Energy System. V.8. Ns3.

144. Decmann S., Pizzolante A., Stott В., et al. Studies on power system load flow equivalents / IEEE Trans, on PAS. 1980. Ns6.

145. Dopazo J.F., Irisarri D., Sasson A.M. Real-time external system equivalent for on line contingency analysis // IEEE Trans, on PAS. 1979. N°3.

146. Iwamoto S., Tamuro Y. A fast load flow method relating nonlinearity // IEEE Trans. 1978. V. PAS-97. N»5. .

147. Kimbark EJV. Power system stability. N. Y.: Wiley. Vol. 1-3. 1956.

148. Krukov A.V., Senko V.V. Stochastic approach of the power systems ready state stability limits estimation // Proc. 9-th. International Power System Conference. Vol. 1. St.-Peterburg. 1994.

149. Kryukov E.A., Stepanov A.D. The construction of 3D temperature field diagrams // Abstracts of the International conference 29-31 march 2004, Irkutsk: ISTU. P. 16.

150. Laughton M. A. Analysis of unbalanced polyphase networks by the method of phase-coordinates. Part 1 //Proc. Inst Elec. Eng., 1968, vol. 115, No. 8.

151. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, San Francisco.1982.

152. Marks G.E. A method of combining high-speed contingency load-flow analysis with stochastic probability methods to calculate a quantitative measure of overall power system reliability / IEEE Winter Power Meeting. New York. 1978. Jan.

153. Monticelli A., Decmann S., Garsia A., Stott B. Real-time external equivalents for static security analysis // IEEE Trans, on PAS. 1979. №2.

154. Roy L., Rao N. Z). Exact calculation of simultaneous faults involving open conductors and line-to-ground short circuit on inherently unbalanced power systems // IEEE Trans, on PAS 1982, vol. 101, No. 8.

155. Sachder M.S., Medicherla T.K.R. A second order load flow technique // IEEE Trans. 1967. V. PAS-96. № 1.

156. Sasson A., Vilorin F., Aboytes F. Optimal load flow solution using the Hessian matrix // IEEE Trans. PAS-92. 1973. № 1.

157. Stott В., Alsae O. Fast decoupled load flow // IEEE Trans. 1974. Vol. PAS-93. №3.

158. Tavora C. J., Smith O.J.M. Equilibrium analysis of power system // IEEE Trans. 1972. V. PAS-91. M> 3.

159. Tavora C. J., Smith O.J.M. Characterization equilibrium analysis in power system // IEEE Trans. 1972. V. PAS-91. № 3.

160. Tavora C. J., Smith O.J.M. Stability analysis of power system // IEEE Trans. 1972. V. PAS-91. № 5.

161. Tinney W.E., Hart C.E. Power flow solution by Newton's method // IEEE Trans. 1971. Vol. PAS-90. Mt 5.

162. IVu F.F. Theoretical study of convergence of the fast decoupled load flow // IEEE Trans. 1977. Vol. PAS-96. №1.

163. Zakarukin V.P., Kryukov E.A. Construction of power system stability area on the base of phase coordinates // Abstracts of the International conference 29-31 march 2004, Irkutsk: ISTU. P. 72.

164. Пятков A.B. Нормальные и аварийные режимы работы трехцепных самокомпенсирующихся воздушных линий (TCBJI) 2x750/330 кВ // Линии электропередачи повышенной пропускной способности. — Кишинев: Штиинца, 1982. — С. 78-85.

165. Новые средства передачи электроэнергии в энергосистемах / Александров Г.Н., Евдокунин Г.А., Лисочкина Т. А. и др. -Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1987. 232 с.

166. Вагнер К.Ф., Эванс Р.Д. Метод симметричных составляющих и его применение к расчету аварийных токов. М. -Л.: ОНТИ, 1933. -183 с.