Математическое моделирование предельного состояния сыпучих сред с микроструктурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Фролова Оксана Александровна

• Фролова Оксана Александровна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Фролова Оксана Александровна

Введение

Глава I. Основные положения и общие уравнения математической модели предельного состояния микроструктурной связной сыпучей среды

1.1. Основные положения, определяющие модель связных сыпучих материалов с микроструктурой

1.2. Скорость деформации связной сыпучей среды с микроструктурой

1.3. Тензор деформации связного сыпучего материала с учетом характерного размера микроструктуры

1.4. Условия пластического течения связного сыпучего материала

1.5. Ассоциированный закон пластического течения связной сыпучей среды с микроструктурой

1.6. Основные балансовые соотношения

Основные выводы по первой главе

Глава II. Математическая модель осесимметричного предель-

••1 и и

ного напряженно-деформированного состояния связной сыпучей среды с микроструктурой под действием силы тяжести

2.1. Основные соотношения для математической модели

2.2. Тензор скоростей деформаций связной сыпучей среды с учетом микроструктуры

2.3. Модель предельного напряженного состояния связного сыпучего материала в нулевом приближении внешнего разложения

2.4. Модель предельного напряженного состояния связного сыпучего материала в первом приближении внутреннего разложения

2.5. Предельное напряжённое состояние связного сыпучего материала с учетом микроструктуры материала

2.6. Построение математической модели поля скоростей перемещений

Основные выводы по второй главе

Глава III. Численно-аналитическое нахождение поля скоростей перемещений

3.1. Численное нахождение поля скоростей перемещений

3.2. Комплекс программ для расчета предельного напряженно-деформированного состояния цилиндрической области

Основные выводы по третьей главе

Глава IV. Математическое моделирование предельного напряжённо-деформированного состояния связных сыпучих сред с микроструктурой в осесимметричных задачах

4.1. Модель предельного напряжённого состояния полупространства

4.2. Поле скоростей перемещений для предельного напряжённого состояния полупространства

4.3. Модель осесимметричного предельного напряжённого состояния сжимаемого сыпучего материала с цилиндрической полостью, находящегося в состоянии плоской деформации

4.4. Модель предельного напряжённо-деформированного состояния сыпучего материала в конической области

Основные выводы по четвертой главе

Заключение

Список литературы

Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование предельного состояния сыпучих сред с микроструктурой»

ВВЕДЕНИЕ

В условиях современного развития науки и техники всё большее значение приобретают сыпучее материалы. Различные исследования сыпучих материалов изучают свойства реальных сыпучих сред: грунтов, песков, горных пород, различных порошковых материалов, материалов в виде гранул, другими словами материалы внешних слоёв Земли, и материалы, которые нашли своё применение в различных технологических процессах, сельском хозяйстве и других областях. Исследование таких материалов необходимо для понимания различных процессов, происходящих в естественных условиях. К таким процессам можно отнести: обрушение различных горных пород, движение песков, оползни, образование трещин в земной коре. Также исследование сыпучих материалов помогает при проведении различных строительных работ, обработке почв, хранении сыпучих материалов и в промышленном производстве.

Изучением сыпучих материалов занимались различные учёные, в числе которых были: Ш. О. Кулон, Ж. В. Понселе, А. Навье, У. Д. Ренкин, Ж. В. Буссинеск, А. Ж. Сен-Венан, К. А. Винклер, Фламан, а так же другие инженеры и физики.

Связные сыпучие материалы довольно сложные вещества. При изучении таких материалов вводится различные упрощения, применяются упрощенные модели. Для таких моделей сыпучие материалы представляются в виде сплошной среды с различными приближениями, что позволяет использовать дифференциальное и интегральное исчисление, также используются модели идеальной или вязкой жидкости и другие.

Применение той или иной модели основан на цели с которой проводится исследование. При проведении исследований устойчивости оснований и откосов материал может быть представлен моделью недеформируемого тела. Массивы сыпучих материалов могут быть представлены моделью системы контактирующих твёрдых или упругих тел. Часто сыпучие среды

представляются моделями сплошной среды, что соответствует гипотезе о сплошном распределении материала в пространстве и дает возможность уйти от дискретного строения рассматриваемой среды. Некоторые сыпучие среды рассматриваются как дискретные (например, несвязанные грунты).

При исследовании связных сыпучих материалов рассматривается напряжённо-деформированное состояние реальных сред, обладающих свойствами дилатансии и внутренним трением. Кулон предположил, что малое изменении объёмных и поверхностных сил приведет к потере равновесия. Им также была проделана работа по определению влияния трения и сцепления для отдельных задач статистики [34, 43, 142]. Кулоном были сформулированы аксиомы о предельном равновесии сыпучих материалов основанных на сухом трении. Согласно этой теории разрушение сухой среды получается путём смещения частиц по отдельным площадкам, таким образом разрушения происходят под воздействием сдвиговых напряжений.

Если на шероховатую поверхность поместить тело и двигать его силой Г, то вначале смещения будут малы, а при достижении критической нагрузки, станут неопределенными. Предельное сопротивление сдвига можно найти из закона Амонта-Кулона [42, 117]

\т \ = а tg ф + С,

где ф - угол внутреннего трения, а - сжимающее напряжение, С -сцепление.

Сыпучая среда характеризуется тремя состояниями:

1. \т\ < а tg ф + С - допредельное;

2. \т\ = а tg ф + С - предельное;

3. \т\ > аtgф + С - запредельное (течение).

В допредельном состоянии предполагается что напряжения а и деформации е связаны линейно, и связь эта подобна закону Гука

а = Ее.

Это даёт возможность при исследованиях использовать законы теории упругости [6, 87, 142].

В запредельном состоянии сыпучий материал напоминает по свойствам модель вязкой жидкости [85], в этом случае, движение описывается с использованием уравнений вязкопластической или вязкосыпучей жидкости [44, 77, 104].

Теории предельного равновесия основана на гипотезе о том, что напряжения в каждой точке удовлетворяют условию прочности.

Одними из первых были решены некоторые задачи предельного равновесия сыпучей среды за подпорными стенками в случаи плоской деформации (работа Кулона, Ренкена, И. П. Прокофьева, Н. И. Безухова и других).

Первые исследования предельного сопротивления сыпучего материала в основаниях сооружений были проведены русским ученым В. И. Курдюмо-вым в 1889 году. В результате опытов Курдюмов показал, что нарушение равновесия несвязанных грунтов в основании происходит в форме скольжения грунта по криволинейным поверхностям. Позднее С. И. Белзецкий (1914 год) и Н. М. Герсеванов (1923 год) дали формулы для определения предельной нагрузки, распределенной по полосе, в предположении плоских поверхностей скольжения.

Важнейшим моментом в развитии теорий сыпучих материалов являются исследования К. Терцаги [122]. До этого момента в теории давления на грунт предполагалось, что нарушение равновесия для моделей сыпучих материалов идентично сдвигу среды по плоскости скольжения и сопротивление сдвигу для различных сред можно точно определить давлением на плоскость скольжения, а также коэффициентом внутреннего трения. Опыты проведенные Терцаги показали, что необходимо разделять виды внутреннего трения (сопротивление трения сдвигу частиц в пространстве и сопротивление относительному движению), коэффициент внутреннего трения отличается от коэффициента трения на плоскости.

Влияние различных параметров на внутреннее трения изучалось различными авторами, которые с применением различных подходов [9, 43, 44, 71, 84, 89, 99, 101, 122]. При проведении различных экспериментов, по определению коэффициента внутреннего трения, чаще всего применяются две методики: коэффициент внутреннего трения определяется или по напряжениям или по углу естественного откоса [8, 9, 11, 27, 29, 34, 43, 46, 80, 82, 99, 101, 122, 160, 161, 176, 182]. Коэффициент внутреннего трения не постоянная величина, это показано в работах Ревуженко и Бобрякова, а зависит от упаковки частиц среды.

Теория Кулона получила продолжение в работах В.В. Соколовского. Он первым дал общий строгий метод решения задач предельного равновесия сыпучей среды [115]. Соколовский рассмотрел в общем виде дифференциальные уравнения предельного равновесия для плоской задачи и показал, что линии скольжения являются характеристиками решений этих уравнений, дал общий аналитический метод получения приблизительных решений и построения линий скольжения. В дальнейшем Соколовский развил методы теории предельного равновесия сыпучей среды для применения их к решению плоской задачи предельного равновесия среды при нелинейной зависимости от нормального давления.

При изучении предельного равновесия, рассматривается элементарная площадка сыпучего материала на которой приложены касательные (тп) и нормальные напряжения (ап). В этом случае предельное состояние соответствует условию пластичности Кулона-Мизеса [15, 16, 54, 55, 57, 58, 59, 115, 116]

\тп\ = ап tg ф + к, (1)

где к -сцепление.

Равенство (1) выполняется на плоскостях, называемых площадками скольжения. В теориях пластичности и предельного равновесия характеристики совпадают на плоскости для линий скольжения и полей напряже-

ний. Ряд краевых задач: расчёт несущей способности откосов и оснований; предельное равновесие сыпучего материала; давление сыпучей среды на подпорные стенки; равновесие весового клина - были численно решены Соколовским.

Одна из главных проблем изучения сыпучих сред состоит в корректной формулировке математической модели [91, 93]. При проведении экспериментов по деформированию сыпучих материалов происходит взаимное проскальзывание частиц с последующим разрушением [115]. Всё это приводит к появлению большого числа моделей и новым прочностным характеристикам. Если осуществить сдвиг при постоянном гидростатическом давлении на сыпучий материал, то его объём будет меняться. Реологические свойства песка характеризующиеся явлением дилатансия, которые были открыты Рейнольдсом и исследованы различными авторами [17, 23, 27, 60, 67, 76, 80, 89, 93, 99, 101, 119, 162, 168, 171, 173, 174, 178, 179].

Математические модели статики используются при описании напряжённого состояния сыпучей среды в докритической области. Превышение критической нагрузки приводит к необратимым объёмным деформациям сжатия и как следствие к уплотнению среды. Ассоциированный закон течения при условии пластичности Кулона-Мизеса даёт только объёмное расширение материала [12, 15, 17, 57, 59, 91, 93, 96, 115, 141, 153, 155, 160].

Прагер и Друкер в своей работе [153] при исследовании реологических уравнений, которые описывают сыпучие материалы, использовали ассоциированный закон пластического течения, применительно к условию пластичности Кулона. Такой подход послужил толчком к развитию пластической модели сыпучих материалов. Они предположили, что ассоциированный закон течения приводит к дилатансионному эффекту, скорость дилатансии соответствует коэффициенту внутреннего трения. Шилд в своём исследовании [178] показал, что в теории, основу которой заложили Друкер и Пра-гер, на характеристиках поля скоростей скачок нормальной составляющей

соответствует касательной составляющей скорости, то есть зона скачка при переходе должна непрерывно увеличиваться при малой ширине, что соответствует дилатансии.

Шилд, В. Н. Николаевский, А. Дрешер, Ж. Де Йоселен, де Йонг и другие [93, 150, 152, 153, 174, 178] скорость дилатансии описывают неас-социированным законом течения, при таком подходе сложность состоит в нахождении линий разрыва.

При построении математической модели сыпучей среды важное значение отводится заданию поверхностей текучести и эквипотенциалей в пространстве напряжений. Наилучшим образом согласуются экспериментальные данные с поверхностью текучести Кулона-Мизеса и поверхностями эллиптического и гиперболического типа [1, 15, 26, 28, 34, 43, 46, 47, 49, 50, 53, 57, 59, 93, 104, 115, 142, 167, 177, 178]. Однако при решении некоторых задач авторами [3, 23, 37, 43, 155] применяются и некоторые другие виды поверхности текучести, которые позволяют выявить определенные закономерности происходящие в сыпучих средах.

В работах Быковцева и Ивлева дается классификация поверхностей разрыва скоростей, напряжений, скоростей деформаций и характеристических поверхностей [15, 16, 54, 55, 58]. Исследования проведенные для сыпучих материалов в рамках теории упрочняющегося тела показали эллиптичность уравнений описывающих модель, а это в свою очередь говорит о том, что уравнения не имеют действительных характеристик. При применении критерия текучести отличного от критерия Треска следует, что в случае модели идеально упругопластического тела дифференциальные уравнения, которые описывают пространственное состояние эллиптичны. В работах [3, 16, 23] Г. И. Быковцевым и Н. Д. Вервейко решена задача о замыкании условия пластичности Кулона-Мизеса в пространстве главных напряжений. Решение показало, что условие пластичности имеет вид замкнутого кругового конуса.

В целом ряде работ представлены экспериментальные данные, проведенные для сыпучих материалов различного вида, которые показывают, что условие пластичности в плоскости (I,р) является замкнутым [3, 15, 16, 17, 23, 44, 93, 155, 168].

Современные подходы при изучении сыпучих материалов часто предлагают замкнутые поверхности в качестве условия пластичности, описываемые функцией

Ф(11*, 12(а),12[а], Ь* , а) = 0, (г = 1, 2, . . . , N)

где ai - константы, позволяющие аппроксимировать точки пространства (II*, 12(а), 12[а], 13*), в которых происходит пластическое течение, квадратные скобки показывают антисимметричную часть тензора напряжений, круглые - симметричную.

Ассоциированный закон пластического течения показывает, что тензор скоростей деформации ортогонален замкнутому условию пластичности, что может применяться при решении задачи о нахождении значений скоростей объёмной е и сдвиговой 7 деформаций.

В работах [91, 93, 150, 153] при использовании математической модели Друкера-Прагера или Кулона-Мора приводится описание мгновенной

е

скорости дилатансии О = — с помощью неассоциированного закона пла-

7

стического течения.

Ряд исследователей среди которых можно выдилить А. Ф. Ревуженко и А. П. Бобряков в своих работах используют в качестве модели сплошную упругопластическую среду с изолированными полосами сдвига [8, 11, 18, 80, 82, 98, 99, 101, 177, 182] . Коше, Мн^оИ, Ревуженко и другие получили критерии, на основе которых происходит формирование полосы сдвига в упругопластических средах.

Часто при описании сыпучих сред используются дискретные модели [10, 19, 32, 79, 94, 103, 109, 121, 145, 147, 157, 165, 169, 177]. Сыпучий ма-

териал предполагается состоящим из множества частиц различной формы. Важной особенностью таких моделей является то, что при нагружении отдельные частицы в большей степени смещаются относительно друг друга, чем деформируются. Относительные смещения таких элементов подразделяются на три вида: скольжение по поверхности контакта, взаимный поворот, расхождение элементов.

При исследовании сыпучего материала в виде дискретной среды, в отличии от сплошной, заметно отличается воздействие на окружающие элементы, так смещение частиц приводит к снижению напряженного состояния внутри рассматриваемых представительных элементов.

Исследование поведения сыпучих материалов с учётом микроструктуры материала (геометрии и ориентации частиц, контактного взаимодействия) описывается в работах [19, 23, 32, 62, 63, 66, 155, 175].

Модели, учитывающие неупругие характеристики взаимодействующих элементов, показаны в трудах Роу, Джонсона, Никитина [42, 90, 174]. Учет данных характеристик приводит к возникновению момента сил трения и, как следствие, к несимметричному распределению нагрузки в зонах контакта частиц.

Структурная теория упругопластического деформирования зернистого материала, состоящего из зерен с различными свойствами приводится в работе [60], но их деформация в большей степени происходит за счёт микроразрывов сплошности. Для таких материалов используют гипотезу о сплошности на микроуровне и модели сплошных сред.

Математические модели водогазонасыщенных пористых сред используются при решении задач о заполненности пор сыпучего материала жидкостью или газом [29, 34, 43, 62, 66, 80, 91, 93, 118, 122, 142, 154, 155], при этом широко используется теория микрополярных материалов с упруго-пластичным скелетом, насыщенным вязкой жидкостью. В работе Эйлера, для задачи о ширине полосы сдвига, говорится о том, что нормализация

произойдёт, если к теории пористых насыщенных сред применить свойства вязкости и микрополярное вращение частиц [155].

Сыпучие среды описывают модели: вязкая жидкость [85], ньютоновская жидкость [77, 181], поток твёрдых и жидких частиц [180] для материалов в запредельном состоянии. При описании математической модели движения сыпучей среды используются уравнения вязкоупругой модели Кельвина-Фойгта, Максвела [6], вязкопластической или вязкосыпучей среды [44, 52, 72, 77, 78, 104].

В работе [164] предложена модель для песка в терминологии рациональной механики и названа бародези.

В теории, основанной на предельном равновесии сыпучего материла, применяется метод характеристик [34, 43, 56, 115, 142].

Математические модели сыпучих материалов применяется в следующих задачах: образования сводов, давление сыпучих сред на стены различных хранилищ, истечение сыпучих материалов из различных бункеров [2, 13, 31, 36, 39, 40, 48, 51, 69, 74, 75, 77, 84, 85, 86, 106, 110, 111, 120, 123, 124, 159, 163, 172]. В данных моделях применяется предположение о случайности основных параметров. Одним из наиболее важных параметров в этих моделях является коэффициент трения сыпучей среды о стенки бункеров.

В работах [19, 83, 87, 105, 155, 165] приводятся различные методы для исследования математических моделий пористых, упругих и упругопласти-ческих материалов.

В работе [33] применяется упругопластическая и нелинейновязкая модель Хиблера для соотношений между внутренними напряжениями и деформациями ледяного покрова. В работе [179] морской лёд представляется, как сыпучая среда с эффектом дилатансии.

Результаты решения осесимметричных задач сыпучих сред представляют большой практический интерес. Для случая предельного равновесия вертикальных склонов статически допустимые поля скоростей представле-

ны в работе [151]. В [4] показано течение сыпучего материала в радиальном и коническом канале. В [117, 148, 166] рассматривается прессование сыпучих материалов в цилиндрах. Различные задачи деформации и устойчивости скважин и выработок в грунтах и горных породах рассмотрены в работах [7, 38, 65, 68, 88, 158, 170]. В [74] исследуется распределение напряжений в бункере. В [2] рассматривается задача об образовании свода в хранилище. Результаты решения осесимметричных задач сыпучих материалов даны в работах [24, 35, 45, 64, 70, 92, 149] и ряде других.

Актуальность темы. Математические модели сыпучих сред, описывающее процессы течения и деформирования горных пород, грунтов, зерна, различных порошков и гранул, находят широкое применение в строительстве, сельском хозяйстве и на производстве. Данные материалы обладают различными свойствами, среди которых можно выделить сыпучесть, связность, дискретность занимаемого пространства. Модели, описывающее связные сыпучие материалы, применяются для расчёта давления на стенки бункеров и других ёмкостей, анализа движения сыпучих материалов в различных каналах и истечении из ёмкостей, расчётов устойчивости горных выработок и расчётов технологических устройств, работающих с сыпучими материалами.

Для описания сыпучих материалов разработаны различные методы и модели (Кулон Ш.О., Ehlers W., Терцаги К., Соколовский В.В., Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И., Шемякин Е.И., Ревуженко А.Ф., Rowe P.W., Moritoki Hitoshi, Радаев Ю.Н., Вервейко Н.Д. и др.). При решении широкого класса задач по течению и деформированию реальных сыпучих материалов используются классические модели: течения идеальной жидкости, вязкой жидкости Навье-Стокса, упругого деформирования Гука, пластического течения Мизеса, конечных дискретных элементов. Решая задачи устойчивости оснований и откосов, среда может быть представлена моделью неде-формированного тела, в следствии чего элементы сыпучей среды можно

моделировать системой твердых или упругих тел. Часто сыпучие среды представляют моделью сплошной среды в силу гипотезы о сплошном распределении материала в пространстве. Однако при решении практических задач используемые различные допущения и модели не всегда полностью соответствуют реальным физическим процессам, что приводит к большим погрешностям.

Выбор математической модели, описывающей течение и деформирование сыпучих материалов, остаётся одной из важнейших проблем. Одним из проблемных вопросов при построении модели сыпучих материалов является соотношение характерных размеров представительных элементов сыпучих массивов и характерных размеров самих явлений течения и деформирования сыпучих сред. В классических моделях сыпучих сред неявно предполагается, что характерный размер микроструктуры гораздо меньше характерного размера рассматриваемого материала. Для некоторых явлений течения и деформирования сыпучих материалов влияние параметра микроструктуры является существенным, и исследование математических моделей, отражающих эти явления, является востребованным практикой.

Актуальность диссертации обусловлена необходимостью исследования моделей, учитывающих влияние характерного размера микроструктуры на явления течения и деформирования сыпучих материалов.

Цели и задачи. Модификация математической модели предельного состояния связной сыпучей среды, учитывающая влияния характерного размера микроструктуры, проведение качественного анализа и численная реализация с помощью программного комплекса ряда осесимметричных задач.

Цель работы достигается, решением следующих задач:

1. Построение математической модели, учитывающей влияние микроструктуры сыпучего материала на предельное напряжённо-деформированное состояние и поле скоростей перемещений связных

сыпучих материалов в осесимметричных задачах.

2. Разработка эффективных приближенных аналитических и численных методов исследования предельного состояния связных сыпучих материалов для осесимметричной задачи.

3. Разработка и реализация в виде программного комплекса алгоритма нахождения скоростей перемещений осесимметричной задачи.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- математическая модель, учитывающая характеристики связного сыпучего материала за счет параметров микроструктуры;

- численный метод, основанный на комбинации приближенного аналитического метода возмущений и методов типа пристрелки и Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений третьего порядка с граничными условиями, отличающийся возможностью учета влияния микроструктуры на скорость перемещений осесимметричной задачи связных сыпучих материалов;

- программный комплекс, включающий модули для реализации приближенных и численных методов решения осесимметричной задачи для цилиндрической области с различными условиями на внутренней и внешней границе.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки). Область исследования соответствует п.1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, п. 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей, п. 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в возможности развития подхода, учитывающего влияния параметров микроструктуры при построении математических моделей связных сыпучих материалов.

Разработанный численный метод, реализованный в программном комплексе, может быть применён для определения напряжений и скоростей перемещений в осесимметричных задачах с различными параметрами сыпучих материалов. Полученные результаты расчётов предельного напряженно-деформированного состояния могут быть применены в строительстве, промышленности, горнорудном деле и сельском хозяйстве для решения задач устойчивости оснований и фундаментов на сыпучих материалах, а так же течение сыпучих материалов из ёмкостей различных форм.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались основные положения теории математического моделирования, методы математической физики, численные методы, методы решения уравнений в частных производных, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы объектно-ориентированного программирования.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель предельного состояния связного сыпучего материала, учитывающая влияние микроструктуры на предельное напряженно-деформированное состояние.

2. Совместное применение приближенного аналитического метода возмущения и численных методов типа пристрелки и Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений третьего порядка с граничными условиями при исследовании предельного состояния связных сыпучих материалов с учетом микроструктуры.

3. Программный комплекс для численного решения осесимметричных задач с различными граничными условиями для цилиндрической области.

Степень достоверности. Достоверность выполненных расчётов обу-

словлена корректной формулировкой математической модели предельного состояния сыпучих материалов с микроструктурой, точной математической постановкой задачи, корректным применением аппарата вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений в частных производных и программного обеспечения построения численных решений.

Представленные результаты вычислительного эксперимента по расчету напряжений осесимметричного состояния под действием поверхностного нагружения показывают, что напряженное состояние распространяется в слое конечной глубины, что согласуется с результатами натурных экспериментов, проведенных Г.И. Покровским, И.С. Федоровым и другими для реальных сыпучих материалов.

Точность вычислительного эксперимента подтверждена сравнительным анализом численных расчетов с точными решениями для частных случаев.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: семинарах проводимых кафедрой механики и компьютерного моделирования ВГУ (2010 - 2020 гг.); научных сессиях факультета ПММ ВГУ (2010 - 2019 гг.); международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механи-ки"(Воронеж, ВГУ, 2010 - 2019 гг.); международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики"(Тула, 2014 г.); международной научно-практической конференции "Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения (Воронеж, ВГЛТУ, 2015 г.); четвёртой научно-практической конференции "Молодёжные чтения, посвященные памяти Ю.А. Гагарина (Воронеж, ВУНЦ ВВС "ВВА 2017 - 2019 гг.).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 научных трудах, 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК РФ, 1 в издании, индексируемом в базах Web of Science и Scopus,

1 свидетельство о регистрации программы для ЭВМ. Представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фролова Оксана Александровна, 2020 год

материала

Предположим, что сыпучий материал достиг пластического состояния, при выполнении условия пластичности, тогда напряженное и моментное состояния удовлетворяют условиям пластичности

Фа(а,т) = 0, а = 1, 2.

Процесс пластического течения сыпучего материала рассматриваем при проскальзывании и вращении частиц одновременно, то есть величина Ф1 = 0 - при пластическом проскальзывании, а величина Ф2 = 0 - при вращении частиц среды.

Случай Ф1 < 0 и Ф2 < 0 соответствует жёсткому состоянию сыпучего материала.

При условиях Ф1 = 0, и Ф2 < 0 происходит пластическое течение сыпучей среды без вращения частиц, причем моментные напряжения и антисимметричные компоненты тензора напряжения равны нулю, а микроструктурная теория связного сыпучего материала соответствует классической теории пластичности.

При условиях Ф1 < 0 и Ф2 = 0 отсутствует пластическое проскальзывание частиц сыпучего материала при пластическом вращении, что может быть осуществлено при воздействии моментных напряжений.

Напряженное состояние, которое соответствует проскальзыванию частиц пластически деформируемой связной сыпучей среды с микроструктурой, в пространстве полных напряжений удовлетворяет условию пластичности Мизеса-Шлейхера [15, 17, 56, 119]

Ф1 = I? - (Y + aha)2 = 0, (1.19)

1

—( 2

ний, У - сцепление, а - коэффициент внутреннего трения. При этом для

где I22 = -, штрих показывает девиаторную часть тензора напряже-

симметричной и антисимметричной частей тензора напряжений

I? = 122.) + 4]. (1.20)

Условие пластического течения, которое соответствует относительному вращению представительных элементов, в пространстве напряжений имеет вид [17]

Ф2 = а1(Дт - М02) + 122.] - = 0' (1.21)

где / - коэффициент трения качения, а1 - коэффициент, определяющий вклад моментных напряжений в поворот микрочастиц, М0 - предельный момент пластичности при вращении частиц.

В случае, когда моментные напряжения мало влияют на вращение

(«1 ~ 0), условие пластичности (1.21) примет вид

Из (1.22) имеем

Ф2 = - f2II = 0.

г/2 _ г2 г2 J2[a] — f J1,•

(1.22)

Первое условие пластичности, после исключения антисимметричных компонент, примет вид

Ф — Ф1 — 1 ^^(j) - (Y + all,)2 + — 0,

(1.23)

Из последнего условия вытекает ограничение на область существования условия пластичности на оси I1a

2

(Y + ah,)2 - f21"2а > 0, f2 < , f < (« + £) .

Представленное ограничение используется для описания множества условий пластичности в плоскости If2(a), h, •

Рис. 1.5. Изображение условий пластичности: 1 - условие пластичности Мизеса-Шлейхера, 2 - / > а замкнутое условие пластичности

Условия пластичности, которые изображены на рис. 1.5, представляют собой семейства: гипербол при а > / , парабол при а = / или эллипсов при а < /. Для случая / ~ 0, условие пластичности (1.23) преобразуется в

условие пластичности Мизеса-Шлейхера, которое при а ~ 0 преобразуется в условие пластичности Мизеса. Для случая / > а условие пластичности (1.23) является замкнутым.

1.5. Ассоциированный закон пластического течения связной сыпучей среды с микроструктурой

В работах [15, 56] представлены принцип максимума и ассоциированный закон течения для идеально пластического материала, напряженное состояние которого определяется симметричным тензором напряжений. В работе [17] показан ассоциированный закон течения сыпучей среды с несимметричными тензорами напряжений и скоростей деформации.

Пусть О скорость диссипации механической энергии в единице объёма пластически деформируемой связной сыпучей среды с микроструктурой. В случае, когда жёсткопластический материала подвергается воздействие пластической деформации, работа напряжений и моментов полностью преобразуется в теплоту, следовательно скорость диссипации механической энергии равна мощности усилий и моментов

° = агз £гз + тгз ^гы^щз, (1.24)

где тгз - тензор моментных напряжений.

Определим связь между напряжениями, моментами и скоростями деформаций. Для этого применим принцип максимума скорости диссипации механической энергии, который состоит в следующем: скорость диссипации механической энергии в единице объёма в момент пластического деформирования принимает наибольшое значение для напряжённого и моментного состояния среди всех состояний, допускаемых заданными условиями пластичности.

Учтём связи между напряжениями и моментами в виде условий пластичности

Ф1^(гз), ^[гз]) = 0, Ф2(^(гз), ^],тгз) = 0.

Построим функцию

О1 = О - Лрф - ЛР2Ф2, (1.25)

где Лр1, Лр2 - неопределенные множители Лагранжа.

В последнем выражении изменяются компоненты напряжений, тогда экстремум величины О1 будет достигаться при условии [54, 55]

дО1 =0, О =0.

Из (1.25) следует

дагз дтгз

= ^ д ф1 + Л дф2

£(гз) = Лр1^--Лр2 о-,

д°(гз) д°(гз)

д Ф1 д Ф2

£[гз] = Лр1о--+ Лр2о-, (1.26)

д^[гз] д^[гз]

л дФ2

^гк/£[к/],з = Лр2

дтгз

Скорость диссипации, при пластическом деформировании, не может быть отрицательной и в случае когда напряжённое состояние соответствует условию текучести, то

д Ф

Лр/ > 0, если Ф/(агз) = 0, д^= 0 (1 = 1, 2).

Если напряжённое состояние при пластическом деформировании не достигнет предела текучести, то приращения пластической деформации отсутствуют

Лр/ = 0, если Ф/(агз) < 0 (I = 1, 2) Аналогично при разгрузке

дФ

Лр/ = 0, если Ф/(агз) = 0, '-йагз < 0 (I = 1, 2).

д&гз

Выражения (1.26) задают ассоциированный закон пластического течения сыпучего материала обладающего микроструктурой.

Для случая когда условия пластичности являются замкнутыми Ф1 = 0, Ф2 = 0, задачу о условном максимуме диссипативной функции

будем исследовать в пространстве симметричной части тензора напряжений при выполнении второго условия пластичности

д Ф

£(гз) = д^' (1'27)

ии(з)

Следовательно ассоциированный закон пластического течения представляет собой соотношение: вектор скорости симметричной части пластической деформации ) перпендикулярен к поверхности текучести Ф1 в пространстве симметричной части тензора напряжений. Также будет и для антисимметричной части скорости пластического деформирования сыпучего материала.

1.6. Основные балансовые соотношения

Основными балансовым соотношениям рассматриваемого сыпучего материла будут:

- уравнение сохранения массы

^ + (ри ь = 0, (1.28)

где рс - плотность среды.

дрс

Для случая стационарного движения = 0 уравнение (1.28) примет

вид

(ри), к = 0; (1.29)

- уравнение движения в напряжениях

и

йг

рс= + 9г, (1.30)

где д - массовые силы.

В случае когда скорости перемещения малы и массовые силы отсутствуют, получим уравнения равновесия

^ = 0. (1.31)

- уравнения момента количества движения

р(1кгфк - 1г) = тзг,з + Егзк°зк, (1.32)

где 1г - массовые моменты, 1кг - тензор инерции макрочастиц, тзг - тензор моментных напряжений.

Система уравнений (1.28), (1.30) и (1.32) является незамкнутой. Дополняя данную систему уравнений условиями пластичности (1.19), (1.21) и ассоциированным законом (1.26), получим замкнутую систему уравнений.

Основные выводы по первой главе

В первой главе описывается математическая модель предельного напряжённо-деформированного состояния связной сыпучей среды с микроструктурой, для которой на элементарной площадке имеются напряжения, моментные напряжения, при этом тензор напряжения считается несимметричным. Представленная математическая модель напряжённо-деформированного состояния связной сыпучей среды допускает связанные со сдвигами объёмные деформации сжатия и расширения.

Получены выражения для тензора деформации связной сыпучей среды, учитывающие характерный размер микроструктуры.

Приводятся условия пластического течения, соответствующие взаимному проскальзыванию частиц сыпучего материала и относительному вращению частиц. Условие пластичности для описываемой математической модели является замкнутым и представляет собой семейство эллипсов.

ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СВЯЗНОЙ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ С МИКРОСТРУКТУРОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

2.1. Основные соотношения для математической модели

Рассмотрим математическую модель связной сыпучей среды в цилиндрической системе координат г, 0, г, для которой нагрузки и смещения имеют осевую симметрию, то есть напряжения и поле деформаций будут осесимметричными, следовательно смещения и компоненты напряжений не будут зависеть от полярного угла 0.

Компоненты тензора напряжений, тензора скоростей деформации и компоненты скорости перемещения вдоль осей г, 0, г в осесимметричном состоянии имеют вид [15, 116] (рис. 2.1)

Рис. 2.1. Схематическое изображение элемента среды с напряжениями

ат-т = Огг (г, г), а ее = а ее (г, г), = (г, г), агг = агг(г, г), аге = аег = 0.

с _ зпг с _ иг с _ диг £гг = -gг, £ее = ^ £гг = ~дz,

с = 1/ U + д£Л

£rz 2\ dz + dr

£<гв = £dz = 0

Ur = Ur (r, z ), Ue = 0, Uz = U (r,z).

Дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях имеют вид [15, 116]

darr , darz . f iT Ч arr — авв n --1--ô--1--^ (lia ),z +--= 0,

dr dz V2 r

dUrz , d^zz f it \ , °rz f T

"dT + — yi(/la )r + v — Ila =

(2.1)

где y = PcgL - сила тяжести слоя.

Компоненты тензора напряжений должны удовлетворять условию пластичности, которое согласно (1.23) имеет вид [17, 127]

ф = ^r2r + *2в + *2z + 2^r2z — 1 II — (Y + aha )2 + fila = 0. (2.2)

Уравнения (2.1) и (2.2) образуют систему уравнений для нахождения напряжений и является незамкнутой, так как имеется система трёх уравнений для нахождения четырёх напряжений arr, авв, azz, arz ■ Для замыкания системы уравнений в напряжениях используется ассоциированный закон пластического течения [15]

д Ф

Tij

где Л - неопределенный множитель Лагранжа.

Sjj = (2.3)

daij

2.2. Тензор скоростей деформаций связной сыпучей среды с

учетом микроструктуры

Рассмотрим модель связной сыпучей среды в цилиндрической системе координат. Тензор скорости деформации с учётом характерного размера Н имеет вид

ъ = 4 + тгд4 • (2-4)

Н2 6

Продифференцируем компоненты тензора , используя оператор Лапласа в цилиндрических координатах, получим

д3иг 1 д2иг д 3и

£ =--1----1--,

гг дг3 г дг2 дгдг2'

1 д2иг 1 диг 1 1 д 2иг £* =__-___- +__и +___-

ее г дг^2 г2 дг г3 г дг2 '

(2.5)

д3 и, 1 д 2иг д 3иг

£ гг = + "Т^Т" + '

дг2дг г дгдг дг3

г = 1( д3и- 1 ви ди ди 1 ди д3ил

гг 2 \ дг2дг г дгдг дг3 дг3 г дг2 дгдг2 у Компоненты тензора скорости деформации (2.4) с учётом (2.5) примут вид [128, 137]

= ди- . Н2 (1 д2и- . д3и- , д3и- ) £ -- =

Н2 /1 ди д3^ д3ил

дг 6 \г дг2 дг3 дг2дг)

(1 д 2иг 1 ди- 1 и 1 д2иЛ

V г дг2 г2 дг г3 г дг2 I '

и- Н2 (1 д2и- 1 ди- 1 1 д2и,

£ее =--Ь — —^---—Ь и- +---^

г 6 \ г (дг2 г2 дг г3 г дг2

= ди, д3и, 1 (26)

гг дг 6 дг3 дг2дг г дгдг

-г 2 дг дг

Н2 / д3и- 1 д2^ 1 ди д3ил

12 V дг2дг г дгдг дг3 дг3 г дг2 дгдг2 /

При Н ^ 0 тензор е^ переходит в тензор скоростей деформации Ко-ши, что соответствует классической модели [15, 58].

Для случая малых Н внешнее разложение тензора скоростей деформации получается при Н ^ 0, так что тензор скоростей деформации будет равен е-.

Для того чтобы учесть влияния микроструктуры при малых Н рассмотрим внутренние разложение тензора скорости деформации путем увеличения координаты г таким образом, чтобы новая координата р опреде-

г

лялась в виде: р = —т, другими словами малым величинам г ставятся в

Н2

соответствие большие величины р.

= 1 диг Н2 гг Н2 др 6

(

1 1 д2иг 1 д 3иг 1 д3иг

+

+

Н6 р др2 Н6 др3 Н2 дрдг2

1 диг

+

1

(

1 д2иг д3иг , 4 + + Н4

Н2 др 6Н4 \ р др2 др

д 3иг

дрдг2

= !_ и Н2

Н2 р 6

(

1 1 д2иг 1 1 д2иг +

11 диг +1 иг =

Н6 р др2 Н2 р дг2 Н6 р2 др Н6 р3

)

1

= 1 иг = Н2 р + 6Н4

(

1 д2и Н4 д2и 1 диг и

+

р др2 р дг2 р2 др

г ^ г

+ 7

,

е 7.7. -

ди7 Н2

+ тт

дг ' 6 ( дг3 + Н4 др2дг + Н4 рдрдг)

д3иг + 1 д3и7.

1 1 д2иг \

диг 1

7 +

дг 6Н4

(

,6д3и. 2 д3и

Н ——— + Н

дг3

2» иг + Н2 1

р дрдг

др2дг

= 1 / диг 1 диг

еГ7 ~ I ^ +

)

Н2 + Т^

^ 1 д3иг + 1 1 д2иг +

2 \ дг Н2 др

д3иг 1 1 д2и7 1 д3и7 1 д3и. +----7 +---- +----

3 Н6 р др2 Н2 дрдг2 Н6 др3 = 1 = 2

дг3

12 VН4 др2дг Н4 рдрдг

)=

1

(

'диг и

дг Н2 др

)

+

Н

д 3и

+Н

,1 д2иг

,6 д 3и 1 д 2их

12Н4 \ др2дг рдрдг дг3 р др

+ Н4

д3и7, + д3и

дрдг2 др

)

2

При Н ^ 0 в координатах р, ^ для первого приближения компоненты тензора скорости деформации имеют вид [137]

Л д 2и(1) д 3иг(1Л I р др2 др3 I

м, = 1 Ц) + иР\ (27)

= ^р др2 р2 ар + р^ ' (2)

£(1) = о £(1) = 1Л + ^

2

12 \ р др2 др3 I

2.3. Модель предельного напряженного состояния связного сыпучего материала в нулевом приближении внешнего

разложения

Разложим компоненты напряжений в ряд Тейлора, получим

а<< — а« + Н2аЦ) + о(Н4),

а ее — + Н2а^} + о(Н4), Огг = а® + + о(Н4), От г = а(0) + Н2а(1) + о(Н4),

где о(Н4) - величина четвертого порядка малости.

Рассмотрим напряженное состояние в нулевом приближении. Продифференцируем условие пластичности (2.2) по напряжениям

д Ф а тт — 2а(?) -

д Ф давв = 2а(0) = 2авв - 2в1>«

д Ф дагг = 2а ( 0) = 2а - 2в1Ц>

д Ф датг = 4а<0) — 4атг ,

(2.8)

где в — 3 + а - I2-

Уравнение (2.3) с учётом тензора скорости деформации Коши и (2.8) примет вид [127]

за

(0)

дг

— 2А

а<< - вС - аУ

(0)

и<

(0)

— 2А

г

да

(0)

дг

— 2А

а(°) - - «У'

аго - в^ - аУ

(2.9)

1 2

да

(0)

+

да

(0)

)

— 4Аа(0).

дг дг

Выразим из второго уравнения (2.9) 2А, получим

2А —

а

(0)

1

г

а

(0)

ее

- в^ - аУ'

Исключим А из уравнений (2.9), получим

да,

(0)

а

(0) а(0^ - - аУ

дг

г

а

(0)

ее

- в^ - аУ'

да;

(0)

а

(0)

ай} - - аУ

дг

г

а

(0) - в](0) - аУ

(2.10)

дЦ^

дг

+

да^

дг

а

ее

(°) 4а(0)

г ао - вл(°> - аУ'

Система (2.10) является переопределенной для скоростей перемещений а(° и а(°\ и одно из уравнений (2.10) может быть использовано для замыкания системы уравнений (2.1), (2.2). Исследование уравнений (2.10) вдоль характеристик показало, что последнее уравнение после интегрирования системы (2.10) можно использовать как замыкающее для напряжений. Анализ уравнения показал, что

аре - вС - аУ

а<°> - вЛ(°> - аУ

Последнее возможно только в случаи, когда

а(0) = ^ атт = авв ,

(2.11)

что и будет являться недостающим уравнением для замыкания системы уравнений (2.1), (2.2) в напряжениях.

Выражение (2.11) соответствует модели о гипотезе гидравлического распределения напряжений в сыпучем материале.

Уравнения равновесия и условие пластичности с учётом (2.11) примут

вид

даТТ да(0

дг

+

Т7 + /

дг + /2

(«О 7 = 0-

(2.12)

да?) . да77

дг

+

дг

(т(0)

/2 V1*

а{0) + аТ7

Т г

г

1 № = "7,

л/2

Ф = 2 а.

(0)

+а

а0))2 + 2 (а(0)х2

) -

- 2аУ1(*) - У2

= 0. (2.13)

Решая систему уравнений (2.12) и (2.13) в безразмерном виде, получим

[128]

а (0) = а (0) = 1 г атт = гвв =2а

а7° = а.0 - г,

х(0) =

Т7

/2Ъ

± аУ-2Ъг2 + 2Ъг70г + 2/2 - Ъа^ - 3

,

(2.14)

а70 7г 2 2 1

где а.0 = у, г = у, Ъ = 2}' - а - 3, а.0

начальное давление.

Анализ напряженного состояния при заданном значении начального давления показал в нулевом приближении, что аТ0) = авв возрастают, а аТг убывает в направлении оси г; а?) в области пластического течения вначале происходит возрастание, а затем убывание вдоль оси г; по направлению оси г напряжения не изменяются (рис. 2.2).

2

2

Рис. 2.2. Компоненты тензора напряжений в нулевом приближении

При отсутствие внешнего давления (-г0 = 0) условие пластичности (2.13) позволяет найти условие пластического течения сыпучей среды в нулевом приближении

-^ ■

/2(6/2 - 1)

При ^ < \ --- пластическое течение сыпучей среды отсутству-

V 9Ь

ет, и среда ведет себя, как жёсткое целое. Из условия (2.15) следует, что с увеличением сцепления и уменьшением удельного веса среды, область жёсткого поведения увеличивается.

При условии того, что внешнее давление не равно нулю (-г0 = 0), условие пластического течения имеет вид

3 2 Л 2 6/2 - 1

2 -2 - 2^0 • - + -22о --3^

Решая относительно га, получим

2а.0 -

га

/

2(6/2 - 1) Ъ

Л

- 2а.0

3

(

2аг0 +

га

/