Исследование пластических течений несжимаемых и дилатирующих материалов в сходящихся каналах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Андрей Сергеевич

• Кузнецов, Андрей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Андрей Сергеевич

Введение.

I. Проблемы математического моделирования процессов пластического течения материалов, обладающих внутренним трением, сцеплением и дилатансией

I.I. Основные модели пластического деформирования гранулированных сред.

1.2. Постановки и методы решения задач пластического течения несжимаемых и дилатирующих материалов.

2. Пластическое течение несжимаемой среды в сходящихся каналах с прямолинейными стенками.

2.1. Задача-о плоском течении в сходящемся канале

2.1.1. Постановка задачи. Система уравнений и граничные условия для напряжений в режиме несвободного истечения.

2.1.2. Результаты расчетов.3?

2.2. Задача об осесимметричном течении в коническом канале.

2.2.1. Постановка задачи. Система уравнений для напряжении и скоростей.^°

2.2.2. Граничные условия

2.2.3. Результаты расчетов

3. Пластическое течение несжимаемой среды в сходящихся каналах с криволинейными стенками.

3.1. Постановка задачи. Различные формы записи системы уравнений плоского течения . . ^

3.2. Граничные условия. Соотношения на разрывах.

3.3. Численный метод.5S

3.3.1. Разностная схема.

3.3.2. Результаты расчетов.

4. Течение дилатиругащего материала в сходящихся каналах с прямолинейными стенками

4.1. Плоское течение дилатирующей среды при наличии застойных зон.

4.1.1. Постановка задачи. Система уравнений и граничные условия. с

4.1.2. Результаты расчетов.

4.2. Течение дилатирующего материала в коническом канале

4.2.1. Постановка задачи. Система уравнений

4.2.2. Уравнения характеристик и граничные условия. Результаты расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование пластических течений несжимаемых и дилатирующих материалов в сходящихся каналах»

Твердые дисперсные материалы, обладающие внутренним трением и дилатансией, рассматриваются как пластические тела, удовлетворяющие в процессе течения критерию текучести, зависящему от нормальных напряжений [l-3] ♦

Пластическое течение таких материалов в каналах является составной частью многих технологических процессов в энергетике, химической технологии, горном деле, сельском хозяйстве и в других областях.

Различные промышленные устройства (дозаторы, химические реакторы, бункера, силосы и т.д.), в которых имеет место пластическое течение дисперсного материала, широко применяются во многих областях техники. Составной частью большинства таких устройств являются сходящиеся каналы.

Характерной чертой процессов пластического течения материалов, обладающих внутренним трением и дилатансией, является локализация пластических деформаций в узких зонах в полосы скольжения [4-7], а также неустойчивость процесса пластического деформирования. Так, например, экспериментальные исследования с сыпучими материалами показывают, что локализация пластических деформаций при движении в сходящихся каналах оказывает решающее влияние на кинематику течения и распределение напряжений [8-Ilj . Кроме того, существует мнение, что дилатансионные изменения объема, сопутствующие процессу локализации, являются одной из причин появления пиковых нагрузок на стенки канала [12]. Этим объясняются имеющие место крупные повреждения промышленных сооружений для хранения и переработки зерна как в нашей стране [id], так и за рубежом [iV].

Исследование пластических течений дисперсных материалов в сходящихся каналах имеет важное значение в связи с проблемой выпуска руды из камер, движения горной породы в рудоспуске. Практика показывает, что эксплуатация рудоспусков сопряжена с рядом трудностей. Основная из них - ликвидация зависаний транспортируемой массы. Очевидно, что правильный выбор технологии выпуска определяет величину количественных и качественных потерь полезного ископаемого.

В энергетике и химической технологии особую важность представляет собой проблема дозирования дисперсных материалов. Именно здесь предъявляются наиболее жесткие требования по точности и равномерности подачи. Так, например, допустимые колебания расхода порошка в системе ввода сухой ионизирующейся присадки в МГД-кон-тур ограничены величиной порядка

2-3$ [15]. Основным узлом оригинального устройства [1б], предназначенного для точного дозирования мелкодисперсных порошкообразных материалов, является конический канал, в котором происходит сходящееся пластическое течение.

Очевидно, что решение указанного круга задач невозможно без детального исследования процессов движения дисперсных материалов в сходящихся каналах. При этом особую важность представляет проблема математического моделирования пластических течений со сложной кинематической структурой и с разрывами напряжений.

Эта проблема связана как с созданием адекватной реалогичес-кой модели зернистой среды, состоящей из множества малоподатливых частиц, которая деформируется, главным образом, из-за их относительных перемещений с проскальзываниями, так и с разработкой эффективных методов расчета плоских, осесимметричных и произвольных пространственных течений в каналах со сложной геометрией границ.

Указанная проблема чрезвычайно сложна. Постановка и решение практически важных задач пластического течения материалов, обладающих внутренним трением, сцеплением и дилатансией, представляет существенные математические трудности. При этом окончательный успех во многом зависит от адекватности принятой реологической модели.

Для решения задач пластического течения дисперсных материалов использовались различные реологические модели. В работе [i] дается аналитический обзор предлагавшихся моделей пластического деформирования гранулированных сред: коаксиальные и некоаксиальные модели несжимаемых сред, модели с ассоциированным законом течения и ряд других. Особое внимание уделяется теоретическим построениям, согласно которым предельное состояние зернистой среды характеризуется условием Кулона, а закон течения - далатансионным условием. Утверждается, что инкрементальная модель упруго-пластического дилатирующего материала [.17-181 обладает достаточной общностью и при разумном подборе, на основе данных опыта, замыкающих функций упрочнения может включать в себя многие частные модели. Отметим, что при JL=4iibS (А - скорость дилатансии; S -угол внутреннего трения) она переходит в модель с ассоциированным законом течения [l9-2l], а при-Л- = 0 - в коаксиальную модель несжимаемой среды [22-23]. Преимущество данной феноменологической модели состоит в том, что в ее основу положены коэффициенты, независимо измеряемые в ходе опытов,- угол внутреннего трения § и скорость дилатансии -А.

Окончательный выбор в пользу той или иной модели может быть сделан путем сопоставления решений основных задач с результатами специально поставленных опытов. В этом отношении особо важны автомодельные решения полной системы, которые при своей относительной простоте отражают основные свойства исходных уравнений, характерные для принятой модели.

В задачах течения сыпучих материалов примерами автомодельных решений являются радиальные поля напряжений и скоростей. Эти частные решения, соответствующие предположению о радиальности линий тока, имеют, вместе с тем, важное практическое значение. С помощью расчетов и экспериментальных наблюдений показано, что радиальные поля напряжений близко аппроксимируют физические поля в окрестноети стока, возникающие в областях деформирования сыпучего материала при течении в сходящихся каналах с прямолинейными стенками при плоской деформации и осевой симметрии. В работе [24] даны примеры численных расчетов радиальных полей напряжений для случая плоской деформации. Полученные результаты применяются для исследования движения сыпучих материалов в бункерах массового истечения, т.е. когда отсутствуют застойные зоны. Однако важный вопрос о формировании застойных зон в режиме несвободного истечения [25] не рассматривался. Отметим, что для нахождения положения застойных зон в рамках модели жесткопластического тела необходимо построение статически допустимых полей напряжений в жестких областях ,.[2б]. При этом возникает вопрос с краевыми условиями для напряжений на границе расчетной области, содержащей участки, контактирующие с недеформируемым материалом. Для нахождения застойных зон в задачах течения альтернативный подход связан с переходом к модели упруго-пластического материала.

Радиальные поля при осесимметричном пластическом течении несжимаемого материала, удовлетворяющего критерию текучести Кулона-Мора, рассматривались в работах [24,27]. Известно, что в общем случае задача пластического течения при осесимметричной деформации не является статически определимой [28]. Для замыкания системы уравнений напряженного состояния обычно используется гипотеза Хаара-Кармана о реализации так называемого полного пластического равновесия [29]. В этом частном случае задачи предельного равновесия оказываются статически определимыми и позволяют найти распределение напряжений в массиве £зо]. Отметим, что гипотеза Хаа-ра-Кармана применялась и при решении задач развитого пластического течения сыпучих материалов в конических каналах [24,27]. В этих работах определяющие уравнения в явном виде не использовались. Поля скоростей находились в результате решения уравнений несжимаемости и коаксиальности тензоров напряжений и скоростей пластической деформации. Однако ряд полученных результатов может быть подвергнут критике. Так, например, в работе [24] делается вывод о разрывности функции "4х , определяющей ориентацию главных осей тензора напряжений в меридианной плоскости, и равенстве нулю среднего нормального напряжения на оси симметрии. В задачах с известными элементами кинематики течения (радиальность линий тока) альтернативный подход, приводящий к статически определимой задаче, основан на анализе системы определяющих уравнений [3l] .

Как уже отмечалось, большой практический интерес представляют задачи пластического течения в сходящихся каналах с криволинейными стенками. Отметим, что в силу квазилинейности исходной системы уравнений плоского течения эффективное применение аналитических методов решения краевых задач оказывается весьма затруднительным, поэтому использованию численных методов уделяется заслуженное внимание.

Применение метода характеристик для численного решения задач плоского течения со сложной кинематической структурой и с разрывами напряжений сопряжено с известными трудностями при реализации этого метода на ЭВМ из-за сложной логики расчета особенностей и построения фронта расчета [32]• Численные методы решения задач такого класса можно строить, основываясь на конечно-разностных аппроксимациях соответствующих законов сохранения. Такой подход является единообразным, поскольку сами дифференциальные уравнения и соотношения на разрывах являются следствием законов сохранения.

В рамках модели жестко-пластического дилатирующего материала автомодельные решения уравнений плоского и осесимметричного течения в предположении радиальности линий тока представляет интерес в связи с задачей о начальной стадии истечения сыпучих материалов из каналов с прямолинейными стенками. В диссертационной работе показано, что в режиме несвободного истечения положение застойных зон зависит как от свойств самих дисперсных частиц, так и от начальной плотности сыпучего материала.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование пластических течений несжимаемых и дилатирующих материалов в сходящихся каналах различных типов при плоской деформации и осевой симметрии. Исследование проводится в рамках инкрементальной модели жестко-пластического дилатирующего материала и ее частного варианта - коаксиальной модели несжимаемой среды.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников и приложений.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кузнецов, Андрей Сергеевич

Основные выводы диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. В рамках жестко-пластической модели коаксиальной несжимаемой среды решены задачи стационарного пластического течения дисперсного материала, удовлетворяющего критерию текучести Кулона-Мора, в сходящихся каналах с прямолинейными стенками при плоской деформации и осевой симметрии. В задаче осесимметричного течения неизвестное кольцевое напряжение находилось из определяющих уравнений. Сформулированы граничные условия для напряжений. Построены статически допустимые поля напряжений в жестких зонах. Найдено положение границы, отделяющей область движения от застойной зоны.

2. Дана постановка смешанной задачи и исследована корректность граничных условий при плоском пластическом течении несжимаемого материала в сходящихся каналах с криволинейными стенками.

3. Построено разрывное решение модельной задачи о плоском пластическом течении несжимаемого материала в окрестности стенки с изломом образующей, в котором линия разрыва среднего нормального напряжения совпадает с линией тангенциального разрыва скорости.

4. Разработан конечно-разностный метод расчета плоских пластических течений дисперсных материалов, удовлетворяющих критерию текучести Кулона-Мора. Метод пригоден для исследования течений со сложной кинематической структурой и с разрывами напряжений.

5. С помощью разработанного метода получено численное решение задачи стационарного пластического течения несжимаемого дисперсного материала в сходящемся канале с криволинейными стенками, в том числе с изломом образующей. Показано, что в последнем случае кинематика течения имеет блочную структуру с системой тангенциальных разрывов. Такой картине течения соответствует немонотонный харак

- 91 « тер падения давления в сходящейся части канала, б. В рамках модели жестко-пластического дилатирующего материала, учитывающей изотропное упрочнение, построены автомодельные решения уравнений плоского и осесимметричного стационарного течения, соответствующие предположению радиальности линий тока. Найдено положение застойных зон. Проведено сравнение с расчетами по модели несжимаемой среды и с экспериментальными данными. Показано, что учет эффекта дилатансии позволяет получить количественное совпадение результатов расчетов с данными опытов. mm ^^ И

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Андрей Сергеевич, 1984 год

1. Николаевский В.Н. Механические свойства грунтов и теория пластичности.- В кн.: Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1972.- 86 с.

2. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды.- М.: Физматгиз, 1960.243 с.

3. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды.- М.: Изд. МГУ, 1971 247 с.

4. Николаевский В.Н. Современные проблемы механики грунтов.- Определяющие законы механики грунтов: Сб. статей. М.: Мир, 1975, с. 210-229.

5. Райе Дж.Р. Локализация пластической деформации.- В кн.: Теоретическая и прикладная механика. Труды Х1У междунар. конгресса 1UTAM. М.: Мир, 1979, с. 439-4ТЕ.

6. RucLtbic-^i .7."Ц/Г /lcceJ.fl. Conditions fit the tocai^aiiotv de-fotma-tiofi ifv%£Sz$LtLt/e JUota-nt пг<*±гъ1<г£я>.-Joutna1. A/6, p. 37/-3M.

7. Никитин JI.В., Рыжак Е.И. Закономерности разрушения горной породы с внутренним трением и дилатансией.- Изв. АН СССР. Физика земли, 1977, № 5, с. 22-37.

8. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О несимметрии пластического течения в сходящемся канале.- ФТПРПИ, 1977„ № 3, с. 3-9.

9. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. Несимметрия пластического течения в сходящихся осесимметричных каналах,- ДАН

10. СССР, 1979, т. 246, № 3, с. 572-574.

11. X 0. На-ъсИар. М. F.j fki'ty M.G-. Stv-c&ses иг mafetiatejiou/Lna in слп/Г-e^Ujg Яор/хЪ section*. Powcl-ei lec&tiotyy.,- 93

12. LeeJ.j Couritb S.C.} Tempdeton, A-tv eoepetLfne-thtaS tu.<^ of the jzimwatLcs of фЕош thtoufyA hopp^oi. ~pLa.it&. of the

13. Society of RAeotygj Mfy v. /<£ p. 2If 63.

14. Стажевский С.Б. Деформирование сыпучих материалов в сходящихся осесимметричных каналах.- ФТПРПИ, 1981, № 3, с. 15-25.

15. Болтянский Е.З., Иванов Б.М., Карев В.И. Эксплуатационная надежность элеваторов.- М.: Колос, 1976,- 239 с.

16. Таймер. Аварии железобетонных силосов зерновых элеваторов.-Конструирование и технология машиностроения, 1969, № 2, т.91, с. 181-198.

17. Магнито-гидродинамическое преобразование энергии. Физико-технические аспекты. Под ред. В.А.Кириллина и А.Е.Шейндлина.-М.: Наука, 1983.- 367 с.

18. Алексеев Ю.И., Королев B.JI., Кузнецов А.С., Петров В.Б. Дозирующее устройство порошковогазовой смеси. Положительное решение по заявке }Ь 237586 5/II от 10.СВ.77.

19. Николаевский В.Н. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды.- Прикладная математика и механика, 1971, т. 35, вып.-6, с. 1070-1082.

20. Николаевский В.Н., Сырников Н.М., Шефтер Г.М. Динамика упруго-пластических дилатирующих сред.- В кн.: Успехи механики деформируемых сред.- М.: Наука, 1975, с. 397-413.

21. Новожилов В.В. 0 пластическом разрыхлении.- Прикладная математика и механика, 1965, т. 29, вып. 4, с. 681-689.

22. Лчис&еь Э. С. f Ptage*. Ж Soil fmctian-icz олсб plodit аъа^Ц 01 limit ctesif*.- (luQtbytfy of Afffod ГПоЛешШ}1. V. p. JS?-i65.

23. SAieict Я.Т. O+i Coulomb 6>*r of falute in. ^oiE.oftAe .7ltellies ^W Posies of So V.4; p. 10-16.

24. Ишлинский А.Ю. 0 плоском течении песка.- Украинский математи- 94 ческий журнал, 1954, т. 6, № 4, с. 430-441.

25. Николаевский В.Н. К формулировке определяющих уравнений для плоского течения кулоновой сплошной среды.- Прикладная математика и механика, 1968, т. 32, вып. 5, с. 939-941.

26. Зб-fuie А Ж Steady gravity flour of juctiotiag -coAc&ivz.5olid*> i-ft co*tv-£>tg.ifup cAasi-ne/k. 3outfia£ of Appli-ed7HecA*<iic4y 19Ml;p. 5-42.

27. Дженике Э.В. Складирование и выпуск сыпучих материалов.- М.: Мир, 1968.- 164 с.

28. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1979.- 744 с.

29. Ncjuye-ft TV., Btefiatfi £Л &tavibp f£oz<r qfдхапиСаЪ fnaieUaSs eofUco£ Яерргьз. ~ о/ Applied7П-ел1а/ас$; №9, V. 46, p. S2S-53S.

30. Седов JI.И. Механика сплошной среды.- М.: Наука, 1976, т. 2.576 с.

31. Ишлинский А.Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля.- Прикладная математика и механика, 1944, т. 8, вып. 3, с. 201-224.

32. Березанцев В.Г. Осесимметричная задача теории предельного равновесия сыпучей среды.- М.: ГИТТЛ, 1952.- 120 с.

33. Соколовский В.В. Плоское и осесимметричное равновесие пластической массы между жесткими стенками.- Прикладная математика и механика, 1950, т. 14„ вып. I , о. 75-92.

34. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.- М.: Наука, 1968.592 с.

35. Coulofrti) С. A. E$>8,qL Zi/t ин-е QppEicatioft cft-s ttgies. des fnoxim^s et mini-mis о cpftfyu-c*, pto&i-e/n-es de stpiitpu-e belziife QQte-kitectuU.- 171 em. Acad. ЖтггЫ SayaadSj 1776, V.^p. J^J

36. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости,- В кн.: Теория пластичности.- М.: Изд. ин. лит., 1948, с. 11-19.

37. Гениев Г.А. Вопросы динамики сыпучей среды.- М.: Госстройиз-дат, 1958.- 122 с.

38. CJoUeiifv de Jong, СГАе cJouSie stick-tip, foee 'wtoU-f^, itioc/e£ fot cfta-fiufab. амемИсб.- S-aotzcA^ifue, l9?i, V. 2 i 3ы2} p. 155-1ВЪ.37». R-ascoe. K.H. ify^iuence of zitaitis -la, so-l£ mediafzlct. -fedttcAfufyue, i9?0,~V.20, 123

39. Николаевский B.H. Об одном обобщении предельного условия Кулона для идеально сыпучих сплошных сред.- Прикладная механика, 1969, т. 5, вып. 3, с. 124-127.

40. Т71о*ъс/£Fe-tszastc/ez Luyue. 3-и££у dev<£of>eef p£os.itc$£ot*r of gbQfwfaft mate*ia£s.- G-eotecAttire,v. 20} v^p.m-m.

41. Дидух Б.М., Иоселевич В.A. 0 построении теории пластического упрочнения грунта.- Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № 2, с. 155-158.

42. LjSietSoutae A./V. ^Leie/ctr^ а-пс/

43. Чй-w $OfLc( ift tbi.t>xia£ Com^iesiion.- Con а с/. fceotecAjtLcad

44. УоиШа£, Ш6, -V. 3, Mb, p. 2-5.

45. DtescAeb A y BoJon^JilcW. Oft t-fu с*ь#£иелсе о/ tit-ess fetl upoti tb tncc&ftica £fwf-tttLtS ojf^.tQ-bx^-t maie^'of. ~ Alcliuruttt ItLzpnUtU Lqc(oz^} U, SS/-36S.

46. Прагер В, Введение в механику сплошных сред.- М.: Изд. ин.лит., 1963.- 311 с.

47. ReuwU*. О. Oft Uc ЖЫалф of media aofnposeJ а/ Ufictjba*tcc£es U contact.- Щр*zc**,54. 20, 469-Ш.

48. Николаевский B.H. Деформации геоматериалов и пористых сред,-Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1982, № 2, с. 96-109.

49. Николаевский В.Н., Сырников Н.М. О плоском предельном течении сыпучей дидатирующей среды.- Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № 2, с. 159-166.

50. Хилл Р. Математическая теория пластичности.- М.: ГИТТЛ, 1956.- 407 с.

51. SiuEdH.T. Piastic ftourLH, cofiv&z^fi^ Cotula?£сАллъеЕ.-Уоии-из£ ffa ШсАоте* PAcfltis cfSo&Js, 4955,v. 3J p. 246 -258.

52. ЗоАа-nioft Sit<$s Qfict mbcittf t Mefebr of £u££ JW/^/ of Арр&Ы V?€cAanicsj1. V.zdj p. W-506.

53. Savage В. Charity fi%nr of co&eUottUs.* &о£с</ lH, a co&y-et^ifz^, Jftte't^tiofi^i Cfpt/tftaS of 777-ecA*nica£ Sciences, 1967-, "K S, f. 651-653.53. Bieftneft C. PeatceJ.C.huro -dimefi&tPfiai A^jpez*.- Joi/tSui^ of Aff&d1. V. 45j >*/,/>. 4Z-50.

54. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел.- М.: Мир, 1969, т. 2.- 863 с.

55. Шапиро Г.С. 0 предельном равновесии сыпучего клина и разрывном решении статики сыпучей среды.- Прикладная математика и механика, 1952, т. 16, вып. 2, с. 253-254.

56. А/еМг iюлъ /У, Же tAeot*ti£e£piecftctioft of rttesidcihuSutcom Ltv Aofptts, Tiq/LS. I-fozt CAefnicQ^-E##ltieM; Л/£уp. 2S9-2VS.

57. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики.- М.: Наука, 1980.- 352 с.

58. Головизнин В.П., Менде Н.П., Жмакин А.И., Фурсенко А.А., Комиссарук В.А. 0 распространении ударных волн в плоских и осесимметричных каналах.- Л.: 1981.- 49 с. (Препринт / ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР: & 709).

59. Качанов Л.М. Основы теории пластичности.- М.: Наука, 1969.420 с.

60. Дунин С.З., Сироткин В.К. Расширение газовой полости в хрупкой породе с учетом дилатансионных свойств грунта.- Журнал Прикладной механики и технической физики, 1977, № 4, с. I06-109.

61. Гольдин А.Л., Прокопович B.C. Определение несущей способности оснований сооружений с использованием неассоциированного закона течения грунтов.- Изв. Всес. н.-и. ин-та гидротехники, 1980, т. 137, с. 3-7.

62. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных пород.-М.: Недра, 1979.- 301 с.

63. Кузнецов А.С. Плоское течение сыпучей дилатирующей среды при наличии застойных зон.- Докл. АН СССР, 1982, т. 266, № 6,с. I3I0-I3I4.

64. Курант Р. Уравнения с частными производными.- М.: Мир, 1964.830 с.- 98

65. Bwurfv R.L.J RLeAatJ*. х 0. Ki tit fna ties qf the <f-£o-ur cfappo-urc/^tz and RAeeiofCw Actaj IS в 5'J v.1. MS; p. 155-185-.

66. Ковеня B.M., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики.- Новосибирск: Наука, 1981.- 304 с.

67. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре.-Матем. сб., новая серия, 1936, т. I, вып. 4, с. 511-530.

68. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел.- М.: Изд. ин. лит., 1956.- 398 с.

69. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах.-М.: Мир, 1964.- 308 с.

70. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности.- М.: Наука, 1966.231 с.

71. Русанов В.В. 0 решении систем разностных уравнений.- Докл. АН СССР, I96E, т. 136, № I, с. 33-35.

72. Пакте fi.W. З&г $t'Less. dUatattey. ч-е&г&еп- fat static ejuliiiliu-frL of aft $ pa ttteles itc contact.

73. Rt^al Seciebp, 1962, ~V. 2B$^ л/4 33SJ p. 5QQ-S2 Z.

74. Уе-ЫАг Astorage, asic/-fliZiTojf Bullet;и of th VMixi*^ Uta/L, /W, -12 6зо so в w1. Фиг. Ч1. Фиг. 61. Фиг. 7