Численное исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности сдвиговых трещин и отверстий в геоматериалах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Устюжанова, Алла Владимировна

• Устюжанова, Алла Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Устюжанова, Алла Владимировна

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СДВИГОВЫХ РАЗРЫВОВ В УПРУГО-

ПЛАСТИЧЕСКОМ МАТЕРИАЛЕ

1.1. Общая постановка задачи

1.2. Упруго-пластическая модель

1.3. Условия на разрывах

ГЛАВА 2. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

О НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ В УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ С ОТВЕРСТИЯМИ И СДВИГОВЫМИ ТРЕЩИНАМИ

2.1. Метод численного решения

2.2. Симплекс-элементы

2.3. Граничные условия

2.4. Построение упруго-пластической матрицы

ГЛАВА 3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

3.1. Содержание основного программного комплекса

3.2. Алгоритм построения сеток

3.3. Алгоритм численного решения упруго-пластических задач

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

4.1. Тестовая задача о напряженно-деформированном состоянии упруго-пластического материала в кольце

4.2. Тестовая задача об однородном напряженно-деформированном состоянии упруго-пластического материала

4.3. Задачи о напряженно-деформированном состоянии вблизи систем круговых отверстий и сдвиговых трещин

4.4. Задачи о напряженно-деформированном состоянии в окрестности отверстий, моделирующих сечения горных

выработок

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности сдвиговых трещин и отверстий в геоматериалах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Математическое моделирование деформационных процессов в геоматериалах в условиях развития процессов трещинообразования, разломо-образования и разрушения приобретает в настоящее время все большую актуальность и находит применение как в чисто научных, так и в прикладных задачах.

Разрывные нарушения и неоднородности в геоматериалах (горных породах, грунтах, сыпучих средах) проявляются на различных масштабных уровнях. Это могут быть как особенности структуры и текстуры геоматериалов, так и нарушения сдвигового типа в земной коре.

Анализ деформационных процессов в окрестности протяженных горных выработок, скважин, туннелей, а также исследование взаимного влияния пор и сдвиговых микротрещин на микроуровне при деформировании геоматериалов имеют важное значение для изучения механизмов разрушения и обеспечения надежности и безопасности сооружений.

В связи с этим большой теоретический и практический интерес представляет математическое моделирование напряженно-деформированного состояния вблизи систем отверстий и сдвиговых разрывов в плоском случае.

Степень научной разработанности проблемы.

Существуют различные подходы к моделированию поведения геоматериалов при деформировании.

Концепция Садовского об иерархическом блочном строении земной коры [73] используется в различных теоретических и экспериментальных исследованиях деформационных процессов в земной коре. С учетом неоднородного и блочно-иерархического строения горных массивов етро-

ятся количественные теории и геомеханические модели деформирования, в частности, в работах Садовского, Родионова, Сизова [74], Адушкина, Родионова [1], Кочаряна, Спивака [36].

Результаты экспериментальных и теоретических исследований процессов деформирования геоматериалов в условиях нарушений сплошности и локализации деформаций представлены в монографии Ревуженко [68].

В работах [69], [70] Ревуженко, Стажевским, Шемякиным показано на приборе простого сдвига, что при сдвигах, больших критического, происходит переход к новому режиму деформирования: область разбивается сеткой линий скольжения на отдельные блоки и дальнейшее деформирование сопровождается смещениями, относительными проскальзываниями и поворотами отдельных блоков. Был обнаружен также режим несимметричного течения в суживающемся радиальном канале, сопровождающийся сильной локализацией сдвиговых деформаций.

В монографии Николаевского [50] приводятся математические модели деформирования и разрушения горных пород. Рассматриваются эффекты трещиноватости, дилатансии, расслоения земной коры, независимой кинематики блоков и тектонических процессов.

В работе Палмера, Райса [58] соотношения для деформации континуума заменяются соотношениями между усилиями и относительным перемещением поверхностей зоны локализации деформаций.

В работе Кукуджанова [37] приводится обзор современного состояния по связанным моделям упругопластичности и поврежденности. Рассмотрена связь поврежденности, разупрочнения и реологической неустойчивости неупругих материалов.

Аннин в работе [3] исследует выбор параметров трансверсально-изотропной упругой модели для описания линейного деформирования

геоматериалов и аналитические и численные методы решения соответствующих динамических уравнений.

В работе Гольдштейна [23] описаны механизмы разрушения при сжатии. Отмечается, что в процессах деформирования и разрушения тел с трещинами особую роль играет история нагружения, а также эффекты проскальзывания и сцепления контактирующих участков трещины. Наличие концентраторов напряжений (неоднородностей) оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние материала.

Basista, Gross [95] на основе теории внутренних переменных Рай-са используют переход от микродеформирования к макродеформированию для построения двумерной микромеханической модели повреждений хрупкого материала при деформации сжатием. Выбрана модель сдвиговой трещины как базисный диссипативный механизм.

В работах Панина с соавторами [59, 60, 61] исследуется механизм пластической деформации на различных масштабных уровнях. Вводятся пространственные структурные элементы деформации, для которых допускается как трансляция, так и поворот. Нагруженное деформируемое твердое тело рассматривается как многоуровневая самоорганизующаяся система.

В работе Ивлева, Ершова [33] для задач теории идеальной пластичности и теории малых упруго-пластических деформаций применяется метод возмущений, основанный на введении некоторого малого параметра.

Исследованиям процессов деформирования в упруго-пластических средах посвящены также работы [32], [34], [62].

В монографии Соболева, Пономарева [81] изучены стадии подготовки макроразрывов и обобщены данные лабораторных и натурных на-

блюдений за изменениями физических полей, предшествующих землетрясениям.

В работе Гольдштейна, Осипенко [25] исследуется формирование структур хрупкого и квазихрупкого разрушения материалов (сред) с учетом их структуры при сложном нагружении, в частности, в условиях многоосного сжатия.

Ребецкий [66], Осокина [56], Ребецкий, Лементуева, Дьяур, Михайлова [67] исследуют закономерности полей напряжений и деформаций для региональных тектонических структур земной коры и литосферы на основе численного и аналитического моделирования.

Работа Осокиной [54] посвящена исследованию трехмерного поля напряжений около сдвигового тектонического разрыва. Автор предлагает разделение слоя с разрывом на области с различными типами локального поля (с различной ориентацией осей напряжений).

В работе [55] (Осокина, Яковлев, Войтенко) авторы предлагают и развивают комплексный подход к описанию тектонического разрыва как трещины конечной длины и ширины. Обоснованием данного подхода является математическое моделирование локального поля напряжений, возникающего в окрестности разрыва после смещения берегов с трением, на основе аналитического решения упругой задачи.

Обзор контактных алгоритмов представлен в работе Бураго, Кукуд-жанова [5]. Моделирование контактного и фрикционного взаимодействия шероховатых поверхностей на разных масштабных уровнях рассматривается в работе Горячевой, Маховской [26].

В работе [49] (Назарова, Ельцов, Назаров, Эпов) методами механики деформируемого твердого тела описываются протекающие в породном массиве при ведении горных работ процессы необратимого деформиро-

вания и разрушения геосред.

В монографии Курлени, Миренкова [39] излагаются методы расчета напряженно-деформированного состояния элементов подземных сооружений, базирующиеся на теории упругости и теории интегральных уравнений.

В работе [21] Вонг, Капустянский, Николаевский, Шляпоберский исследуют эффекты локализации деформаций в призабойной зоне скважины в рамках модели на основе неассоциированного закона пластического течения с проявлениями упрочнения и дилатансии.

Дерюгин [27] использует метод элементов релаксации для исследования взаимодействия мезо- и макрополос локализованной деформации в поликристаллах.

Larsson, Runesson, Axelsson [106, 107] рассматривают упруго-пластический материал Мора-Кулона с внутренним трением, неассоци-ированный закон пластичности. Поле перемещений непрерывно за исключением некоторых поверхностей. Для регуляризации вводится узкая полоса, содержащая поверхность разрыва. Формулируется критерий локализации.

Svedberg, Runesson [115] в рамках градиентно регуляризационной пластичности, связанной с повреждениями вводят градиенты более высокого порядка, учитывающие повреждения материала. Schaeffer, Shearer [110] исследуют влияние неоднородности материала на формирование полос сдвига в сыпучей среде.

В [109] (Lin, Amadei, Jung, Dwyer) предполагается возможность раскалывания системы блоков на малые подблоки, при условии Мора-Кулона рассматривается устойчивость откосов и подземных выработок.

Chau, Wang [97] исследуют сингулярные поля напряжений в ок-

рестности вершины сдвиговой трещины с учетом трения Кулона между контактными поверхностями с использованием метода граничных элементов.

Математическим вопросам теории трещин посвящена монография Морозова [46].

Для численного решения задач геомеханики наиболее широко используется метод конечных элементов [29], [31], [51], [52], [75], [83], [91].

В монографии Васидзу [20] излагается с единых позиций построение вариационных принципов в теории упругости и пластичности и описываются их приложения к конкретный задачам. Наряду с классическими вариационными принципами приведены модификации этих принципов, образующие основу построения метода конечных элементов.

В работах Rice с соавторами [112], [117], [118], [119], [120] численно моделируется распространение сдвиговых разрывов в геоматериалах.

Напряженно-деформированное состояние массива горных пород в рамках метода конечных элементов с помощью метода начальных напряжений исследуется Серяковым в работах [40], [77], [78].

Математическое моделирование коллизии плит, при которой одна плита погружается в мантии под другую, проводится в работе Полянского, Коробейникова, Свердловой, Бабичева, Ревердатто [63].

При моделировании локализации пластических деформаций в узких областях с большими градиентами скоростей или перемещений при помощи метода конечных элементов часто используется измельчение сетки конечных элементов [103] (Jun, Im), [98] (Chen, Liu), [111] (Schweiger, Karstunen, Pande) и элементы высоких порядков точности. На линиях локализации также рассматриваются разрывные поля скоростей или перемещений.

Для описания разрывов при определении скоростей или перемещений внутри элементов, по которым проходит линия локализации, используется функция Хевисайда [105] (Larsson J., Larsson R.). Важно отметить, что обычно рассматриваются единичные линии локализации.

Requeiro, Borja [116] описывают конечноэлементный анализ локализации деформаций с использованием сильных разрывов для пластического материала Друкера-Прагера.

В работе [108] (Leroy, Ortiz) предлагается модифицированный конечный элемент, при построении которого используются полиномы, позволяющие описывать переход через полосу сдвига, и исследуется разупрочнение материала после возникновения полос сдвига.

Специальные контактные элементы [102] (Goodman, Taylor, Brkke) используются в работе [101] (Gen-hua, Goodman) для расчета напряженно-деформированного состояния скальных массивов. Предполагается,что массивы состоят из блоков произвольной формы, отделенных друг от друга податливыми элементами. В [113] (Shyman, Bird, Martin) рассматривается специальный элемент, проскальзывание подчиняется закону Кулона с неассоциированным законом течения.

De Borst в работе [99] рассматривает численный подход к задачам ветвления в пластичности грунтов на основе модели с деформационным упрочнением, в работе [96] рассматривает задачи о локализации пластических деформаций и об образовании полос скольжения.

Komori в [104] для численного моделирования локализации деформаций использует метод разделения узлов.

В работе [114] (Sluys, Berends) в рамках метода конечных элементов локализация рассматривается в виде трещин продольного и поперечного сдвига. Вводится функция разрыва градиента.

Вагс^, РгоиЬе! [93, 94] при помощи конечных элементов моделируют распространение полосы сдвига в специальном случае материала с критерием текучести Мизеса при сжатии в условиях плоской деформации.

В [30] рассмотрены плоские и осесимметричные упруго-пластические контактные задачи с помощью метода конечных элементов, но без учета истории нагружения.

В статье Оловянного [53] говорится о разработанной на основе метода конечных элементов программе моделирования геомеханических процессов в трещиноватых массивах горных пород. Но при этом конкретные трещины не рассматривались, задача моделирования заключалась в оценке степени ослаблений прочности пород вокруг выработок и их ориентаций.

Вычислительной механике разрушения посвящены, в частности, монография [22] и монография Сиратори, Миеси, Мацуситы [79].

Андреевым, Гольдштейном, Житниковым в работе [2] рассматриваются задачи о равновесии трещин различной геометрии в условиях, когда на их поверхностях образуются области раскрытия, скольжения и сцепления.

Слепян в работе [80] рассматривает статику, медленный рост и динамику трещин в упругих и упруго-пластических телах, а также в средах со структурой. Большое внимание автор уделяет обсуждению критериев роста трещин, связи между критериями на микро- и макроуровнях.

Исследованию напряженно-деформированного состояния вблизи отверстий посвящено большое количество работ.

В рамках классических моделей аналитические решения представлены в монографиях Тимошенко [84], Надаи [48], Качанова [35], Савина [71], Соколовского [82].

В монографии Саврука [72] с помощью метода сингулярных граничных интегральных уравнений, разработанного Мусхелишвили [47], рассматривается задача о бесконечной плоскости с равномерно размещенными краевыми радиальными трещинами.

Лавриковым, Ревуженко [42, 43] получено решение задачи о деформировании материала с блочной структурой вокруг выработки.

Са1уЫп [100] рассматривает упругую область с наклоненной внутрь трещиной и круговым отверстием под действием сжимающих нагрузок. Сдвиг вдоль трещины обусловлен перераспределением напряжений с выполнением критерия Мора-Кулона. Используется метод сингулярных уравнений.

В работе Остросаблина [57] получены точные решения плоских задач теории упругости и пластичности с неизвестной границей о распределении напряжений около круговых отверстий для различных условий пластичности.

В [44] Мирсалимовым изучены неодномерные упруго-пластические задачи, сложность которых заключается в том, что форма и размеры пластической области заранее неизвестны и определяются в ходе решения. В частности, приводятся аналитические решения для упруго-пластической плоскости с двумя отверстиями, а также численные результаты.

В статье Мокрякова [45] исследована задача о взаимодействии двух близко расположенных одинаковых отверстий в условиях двухосного на-гружения на бесконечности с помощью численного метода, основанного на представлении функции скачка смещений в виде суммы мультиполей.

Таким образом, задачи о напряженно-деформированном состоянии в упруго-пластическом материале с системой отверстий и трещин являются актуальными и существует потребность в их численном исследовании.

В настоящей работе представлены результаты численного исследования деформирования ослабленной отверстиями плоской упруго-пластической области в условиях возможности возникновения и развития в окрестности отверстий трещин сдвига. Разработанный алгоритм, основанный на методе конечных элементов, позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние материала вблизи отверстий и прогнозировать появление и распространение трещин.

Цели диссертационной работы:

1. Математическое моделирование деформирования геоматериалов в плоском случае в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа вблизи систем отверстий.

2. Численное исследование совместного деформирования систем отверстий и сдвиговых трещин в упругих и упруго-пластических материалах.

Задачи исследования:

1. Математическое моделирование сдвиговых трещин в упруго-пластическом материале вблизи систем отверстий.

2. Разработка и реализация в виде программного модуля алгоритма построения стандартных сеток и сеток с двойными узлами для областей с отверстиями различной формы и сдвиговыми трещинами, представленными в виде разрезов.

3. Разработка программного модуля, реализующего метод конечных элементов для решения упруго-пластических задач.

4. Апробация построенных алгоритмов и программ численного счета на тестовых задачах.

5. Получение численных решений краевых задач о деформировании областей с системами круговых отверстий и системами отверстий, моделирующих сечения горных выработок.

Объектом исследования являются деформационные процессы в геоматериалах в условиях развития сдвиговых разрывных нарушений.

Предметом исследования является математическое моделирование напряженно-деформированного состояния вблизи отверстий и сдвиговых трещин в упругих и упруго-пластических материалах.

Для решения поставленных задач используются методы теории упругости и пластичности, уравнений математической физики, функционального анализа, методы вычислительной математики. Алгоритм численного решения построен на основе метода конечных элементов.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем.

Представлено численное исследование деформирования упруго-пластических материалов в условиях развития сдвиговых разрывов в окрестности отверстий в плоском случае.

Впервые на основе использования конечно-элементных сеток с двойными узлами рассмотрены эффекты локализации сдвигов на системах разрезов в окрестности отверстий.

Разработаны новые программные модули для построения проблемно-ориентированных конечно-элементных сеток и решения упруго-пластических задач для областей с системами отверстий различной формы и сдвиговыми трещинами. Получены решения новых краевых задач.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическое моделирование сдвиговых разрывов в упруго-пластическом материале вблизи систем отверстий.

2. Численные алгоритмы и программные модули для построения конечно-элементных сеток с двойными узлами и решения упруго-пластических задач в областях с отверстиями различной формы и произвольным числом разрезов.

3. Численные решения краевых задач о деформировании плоских упругих и упруго-пластических областей с системами круговых отверстий и отверстий, моделирующих сечения горных выработок, в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа.

Научная и практическая значимость. Представленные в диссертации результаты имеют теоретическое и практическое значение в области математического моделирования деформационных процессов и могут быть использованы в практических задачах повышения надежности сооружений, взаимодействующих с геоматериалами.

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обеспечена корректным использованием методов механики сплошных сред, проведением тестовых расчетов и согласованием с известными ранее теоретическими и экспериментальными результатами.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 120 наименований. Полный объем диссертации вместе с иллюстрациями составляет 120 страниц. Общее количество иллюстраций - 47.

В главе 1 рассматривается общая постановка задачи о деформировании плоской упруго-пластической области, ослабленной отверстиями, в условиях возникновения и развития разрывов сдвигового типа, имеющих вид сдвиговых трещин с соприкасающимися берегами, вдоль которых возможно скольжение.

В главе 2 представлен метод численного решения задач о

напряженно-деформированном состоянии в упруго-пластической области с отверстиями и сдвиговыми трещинами

Для численного решения задач применяется метод конечных элементов. Расчетная область разбивается на треугольные конечные элементы с линейными функциями формы.

Первоначальное разбиение области согласуется с данными о расположении возможных разрывных нарушений. Сетка конечных элементов строится так, чтобы линии ее семейств проходили по сдвиговым трещинам. В процессе реализации алгоритма решения геометрия сетки может корректироваться.

Особенностью сетки конечных элементов является то, что все ее узлы имеют два номера в глобальной нумерации, то есть являются двойными. Это сделано для того, чтобы существовала возможность исследования произвольных систем разрывов. Каждая расчетная точка области может в процессе деформирования разделиться на два узла, приращения перемещений в которых могут быть различными.

Для построения матрицы жесткости в основной системе конечных элементов при численном решении задач деформирования упруго-пластических материалов строится упруго-пластическая матрица.

Глава 3 посвящена программной реализации алгоритма численного решения. Для численного моделирования сдвиговых трещин в плоской области с отверстиями используется разработанный О.П. Бушмано-вой программный комплекс, реализующий метод конечных элементов на проблемно-ориентированных сетках с двойными узлами [8].

Алгоритмы построения стандартных сеток и проблемно-ориентированных сеток с двойными узлами для областей с системами отверстий различной формы и сдвиговыми трещинами, разработанные в

диссертации, реализованы в виде дополнительных модулей к основному пакету программ.

Алгоритм получения сетки позволяет учитывать форму, размеры и расположение отверстий и разрезов. В качестве основных форм отверстий были рассмотрены: круг (задаются центр и радиус); арка, состоящая из полукруга и прямоугольника (задаются центр и радиус полукруга, высота прямоугольника); прямоугольник со сглаженными углами (задаются центры и радиусы сглаживающих окружностей, размеры прямоугольника) .

Программно реализована в диссертации и численная процедура, включающая итерационный процесс нахождения пластических областей в упруго-пластических материалах, с учетом модификации матрицы жесткости на основе построения упруго-пластической матрицы.

Приведены примеры сеток, построенных для прямоугольных областей с различными вариантами форм, размеров и расположения отверстий.

В главе 4 получены численные решения краевых задач для плоских областей, ослабленных системами отверстий и трещин различной формы.

В условиях сжатия рассматривалась прямоугольная область с прямолинейными трещинами вблизи систем из двух, трех, четырех и восьми круговых отверстий, а также из прямоугольного и круговых отверстий, и из отверстий арочного типа.

На внешней границе области, в частности, задавались нормальные перемещения, обеспечивающие сжатие, и нулевые касательные напряжения. Границы отверстий предполагались свободными от напряжений.

Все величины в задачах считались безразмерными. В качестве характерного линейного размера был выбран горизонтальный размер прямо-

угольника, в качестве характерного напряжения - 10~2Е.

Рассмотрены как упругое поведение материала вне разрезов, так и упруго-пластическое. Кроме того, проводилось сравнение напряженно-деформированного состояния в окрестности отверстий при отсутствии трещин с напряженно-деформированным состоянием в случае развития и распространения сдвиговых разрывов.

Построены изолинии функции текучести, а также максимального касательного напряжения.

Поля напряжений отражают изменение размеров и расположения пластических областей при развитии сдвиговых трещин в окрестности отверстий. Показано, что локализация сдвигов на трещинах приводит к уменьшению размеров пластических областей в окрестности отверстий.

Полученные в ходе численного решения кинематические картины деформирования качественно повторяют соответствующие картины, наблюдаемые в экспериментах.

Численное моделирование на основе разработанных алгоритмов и комплекса программ позволяет провести подробный анализ напряженно-деформированного состояния в исследуемой области, на основе которого возможно прогнозирование появления областей пластического поведения или хрупкого разрушения материала при различных условиях нагруже-ния.

Результаты диссертации опубликованы в работах [10]—[19], [85]—[90].

Кроме того, результаты по теме диссертации докладывались и обсуждались на:

- VII Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2528 мая, 2009 г.);

- двенадцатой региональной конференции по математике «МАК-2009» (Барнаул, июнь, 2009 г.);

- тринадцатой региональной конференции по математике «МАК-2010» (Барнаул, июнь, 2010 г.);

- международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 30 мая-4 июня, 2011 г.);

- четырнадцатой региональной конференции по математике «МАК-2011» (Барнаул, июнь, 2011 г.);

- XXII Всероссийской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Барнаул, 4-7 июля, 2011 г.);

- международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 8-11 ноября, 2011 г.).

Результаты, представленные в диссертации, можно использовать при исследовании процессов деформирования в условиях локализации сдвигов в инженерных задачах обеспечения устойчивости и надежности сооружений.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Устюжанова, Алла Владимировна

Основные результаты диссертационной работы:

1. Выполнено математическое моделирование деформирования геоматериалов в плоском случае в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа вблизи систем отверстий.

2. Разработаны и реализованы в виде программных модулей алгоритмы построения стандартных сеток и проблемно-ориентированных сеток с двойными узлами для областей с системами отверстий различной формы и сдвиговыми трещинами.

3. Разработан программный модуль, реализующий метод конечных элементов для решения упруго-пластических задач в условиях развития сдвиговых трещин.

4. Построены численные решения конкретных краевых задач о деформировании упругих и упруго-пластических областей с различным числом, расположением и формой отверстий и трещин. Построенные поля напряжений отражают изменение размеров и расположения пластических областей при развитии сдвиговых трещин в окрестности отверстий.

5. Получены численные решения задач о деформировании упруго-пластических материалов в окрестности отверстий, моделирующих три сближенных выработки различного сечения и выработки с сечениями арочного типа, в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа. Показано, что локализация сдвигов на трещинах приводит к уменьшению размеров пластических областей в окрестности отверстий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации представлено численное исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности системы отверстий и трещин в упруго-пластическом материале.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Устюжанова, Алла Владимировна, 2012 год

Литература

[1] Адушкин В.В., Родионов В.Н. Геомеханика блочных сред // Проблемы нелинейной геомеханики. - СПб.: ВНИМИ, 1998. - С. 3-10.

[2] Андреев A.B., Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В. Равновесие криволинейных разрезов с учетом образования областей налегания, скольжения и сцепления берегов трещины // Изв. АН СССР. МТТ. - 2000. - № 3. - С. 137-148.

[3] Аннин Б.Д. Трансверсально-изотропная упругая модель геоматериалов // Сибирский журнал индустриальной матемематики. -2009. - Т. 12, №3(39). - С. 5-14.

[4] Борисов A.A. Механика горных пород и массивов. - М.: Недра, 1980. - 360 с.

[5] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 1. - С. 44-85.

[6] Бушманова О.П., Ревуженко А.Ф. О пластическом деформировании в условиях локализации сдвигов на дискретной системе линий // Физическая мезомеханика. - 2002. - Т. 5, № 3. - С. 9-16.

[7] Бушманова О.П., Ревуженко А.Ф. Напряженное состояние породного массива вокруг выработки в условиях локализации сдвигов // ФТПРПИ. - 2002. - № 2. - С. 18-26.

[8] Бушманова О.П. Моделирование локализации сдвигов // ПМТФ. -2003. - №6. - С. 164-169.

[9] Бушманова О.П., Бушманов С.Б. Численное моделирование процесса деформирования материала в сходящемся канале в условиях возникновения линий локализации // ФТПРПИ. - 2009. - №4. -С. 33-38.

[10] Бушманова О.П., Бушманов С.Б., Устюжанова A.B. Математическое моделирование локализации сдвигов в породном массиве // Известия АлтГУ. - Барнаул: АлтГУ, 2009. - №1(61). - С. 30-33.

[11] Бушманова О.П., Устюжанова A.B. Численное исследование локализации сдвигов в упруго-пластических средах // Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии: тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых 25-28 мая 2009 г. - Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. -С. 34-36.

[12] Бушманова О.П., Устюжанова A.B. Численное моделирование сдвиговых трещин в окрестности отверстий // МАК-2009: материалы двенадцатой региональной конференции по математике (июнь 2009 г.). - Барнаул: АлтГУ, 2009. - С. 49.

[13] Бушманова О.П., Бушманов С.Б., Устюжанова A.B. Математическое моделирование локализации пластических сдвигов в окрестности круглого отверстия // Известия АлтГУ - Барнаул: АлтГУ, 2010. - №1(65). - С. 18-21.

[14] Бушманова О.П., Устюжанова A.B. О численном моделировании трещин сдвига вблизи отверстий // Математическое моделирование и краевые задачи: труды седьмой Всероссийской научной кон-

ференции с международным участием. Ч. 1. - Самара: СамГТУ, 2010. - С. 81-83.

[15] Бушманова О.П., Устюжанова A.B. О математическом моделировании сдвиговых трещин вблизи отверстий // Известия АлтГУ. -Барнаул: АлтГУ, 2010. - №1/2(65). - С. 20-23.

[16] Бушманова О.П., Устюжанова A.B. Численное исследование напряженного состояния в окрестности системы горных выработок // Известия АлтГУ. - Барнаул: АлтГУ, 2011. - №1(69). - С. 9-12.

[17] Бушманова О.П., Бушманов С.Б., Устюжанова A.B. Численное моделирование сдвиговых трещин вблизи отверстий // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: труды Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Янен-ко (Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г.). - Номер. гос. регистр. 0321101160, ФГУП НТЦ "Информрегистр". -Новосибирск. - 2011. - http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/40191/46128/bush_abs.pdf

[18] Бушманова О.П., Бушманов С.Б., Устюжанова A.B. Численное моделирование сдвиговых трещин вблизи отверстий // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: тезисы докладов Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г.). - Новосибирск: Академгородок, 2011. - С. 37.

[19] Бушманова О.П., Устюжанова A.B. Численное исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности системы

отверстий и сдвиговых трещин // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: тезисы докладов XXII Всероссийской конференции, Барнаул, 4-7 июля 2011 г./Под ред. В.М. Фомина. - Новосибирск: Нонпарель, 2011. - С. 20-21.

[20] Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М.: Мир, 1987. - 542 с.

[21] Вонг Г.К., Капустянский С.М., Николаевский В.Н., Шляпоберский Я.В. Упругопластический расчет поврежденности призабойной зоны скважины // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. - 2002. - № 1. - С. 121-135.

[22] Вычислительные методы в механике разрушения. Пер. с англ./ Под. ред. С. Атлури. - М.: Мир, 1990. - 392 с.

[23] Гольдштейн Р.В. Разрушение при сжатии // Успехи механики. -2003. - Т. 2. - № 2. - С. 3-20.

[24] Гольдштейн Р.В., Кулинич Ю. В., Осипенко Н.М. Разрушение горных пород вблизи отверстия при сжатии. - Препринт ИПМех РАН №778. - Москва. - 2005. - 36 с.

[25] Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. О модели разрушения структурированной среды в условиях сжатия // Изв. РАН. МТТ. - 2010. -№ 6. - С. 86-97.

[26] Горячева И.Г., Маховская Ю.Ю. Моделирование трения на разных масштабных уровнях // Изв. РАН МТТ. - 2010. - № 3. - С. 117-127.

[27] Дерюгин Е.Е. Метод элементов релаксации. - Новосибирск: Наука, 1998. - 252 с.

[28] Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Определяющие законы механики грунтов. - М.: Мир, 1975. - С. 166-177.

[29] Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. - Харьков: Изд-во «Основа» при Харьковском ун-те, 1991. - 272 с.

[30] Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н. и др. - Киев: Наук, думка, 1989. - 232 с.

[31] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 543 с.

[32] Ивлев Д.Д. Механика пластических сред: в 2 т. Т. 1. Теория идеальной пластичности. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 448 с.

[33] Ивлев Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопла-стического тела. - М.: Наука, 1978. - 208 с.

[34] Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003. - 704 с.

[35] Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. -420 с.

[36] Кочарян Г.Г., Спивак A.A. Динамика деформирования блочных массивов горных пород. - М.: Академпресс, 2003. - 423 с.

[37] Кукуджанов В.Н. Связанные модели упругопластичности и повре-жденности и их интегрирование // Изв. РАН. МТТ. - 2006. - № 6. -С. 103-135.

[38] Курленя М.В., Еременко A.A., Цинкер Л.М., Шрепп Б.В. Технологические проблемы разработки железорудных месторожлений Сибири. - Новосибирск: Наука, 2002. - 240 с.

[39] Курленя М.В., Миренков В.Е. Методы расчета подземных сооружений. - Новосибирск: Наука, 1986. - 232 с.

[40] Курленя М.В., Серяков В.М., Еременко A.A. Техногенные геомеханические поля напряжений. - Новосибирск: Наука, 2005. - 264 с.

[41] Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. - М.: Мир, 1987. - 327 с.

[42] Лавриков C.B., Ревуженко А.Ф. Об устойчивости деформирования блочного массива вокруг выработки // ФТПРПИ. - 1991. - № 1. -С. 37-43.

[43] Лавриков C.B., Ревуженко А.Ф. О деформировании блочной среды вокруг выработки // ФТПРПИ. - 1990. - № 6. - С. 7-15.

[44] Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. - М.: Наука, 1987. - 256 с.

[45] Мокряков В.В. Применение метода мультиполей для решения задачи о двух близко расположенных отверстиях // Изв. РАН. МТТ. -2007. - №5. - С. 129-145.

[46] Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. - М.: Наука, 1984. - 256 с.

[47] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 511 с.

[48] Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. - М.: Мир, 1969. - 863 с.

[49] Назарова JI.А., Ельцов И.Н., Назаров Л.А., Эпов М.И. Нелинейные процессы эволюции геомеханических полей природных и техногенных объектов // Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского. - 2011. - № 4(2). - С. 505-507.

[50] Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. - М.: Недра, 1996. - 447 с.

[51] Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - 304 с.

[52] Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976. - 464 с.

[53] Оловянный А.Г. Математическое моделирование процессов деформирования и разрушения в трещиноватых массивах горных пород // Записки горного института. Т. 185. Современные проблемы геомеханики и горного производства и инновационные технологии в горном деле. С.-Петербург, 2010. - С. 95-98.

[54] Осокина Д.Н. Поле напряжений, разрушение и механизмы деформирования геосреды в зоне разрыва (математическое моделирование) // Тектонофизика сегодня. - М.: Изд-во ОИФЗ РАН, 2002. -С. 129-172.

[55] Осокина Д.Н., Яковлев Ф.Л., Войтенко В.Н. Изучение тектонического разрыва как объекта, объединяющего мегатрещину, ее поля (напряжений, деформаций), и вторичные структуры (тектонофизи-ческий анализ) // Проблемы тектонофизики. К 40-летию создания М.В. Гзовским лабаратории тектонофизики в ИФЗ РАН. - М.: Изд-во ИФЗ РАН, 2008. - С. 89-102.

[56] Осокина Д. Н. Скалывающие кулоновы напряжения и области различного деструктивного поведения массива в окрестностях разрыва // Сборник трудов ИФЗ РАН. Исследования в области геофизики. 2004. М.: Изд-во ОИФЗ РАН. - С. 351-359.

[57] Остросаблин Н.И. Плоское упруго-пластическое распределение напряжений около круговых отверстий,- Новосибирск: Наука, 1984. -ИЗ с.

[58] Палмер А., Райе Дж. Рост поверхностей скольжения при постепенном оползании переуплотненной глины // Сб. пер. Механика. -1974. - № 6(148). - С. 104-125.

[59] Панин В.Е. Современные проблемы пластичности и прочности твердых тел // Известия вузов. - 1998. - № 1. - С. 7-34.

[60] Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин А.Г. Структурные уровни деформации твердых тел // Известия вузов. Физика. -1982. - Т. 25. - № 6. - С. 5-27.

[61] Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Елисеева М.К, Гриняев Ю.В. Движение зерен как целого при пластической деформации поликристаллов // Поверхность. Физ., химия, мех. - 1983. - № 5. - С. 138-141.

[62] Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. - М.: Наука, 1985. - 504 с.

[63[ Полянский О.П., Коробейников С.Н., Свердлова В.Г., Бабичев A.B., Ревердатто В.В. Влияние реологии коры на характер субдукции плит по результатам математического моделирования // ДАН. 2010. - Т. 430, № 4. - С. 518-522.

[64] Райе Дж.Р. Локализация пластической деформации // Теоретическая и прикладная механика / Труды III Международного конгресса IUTAM. - М.: Мир, 1979. - С. 439-471.

[65] Разрушение. Т. 7. - М.: Мир, 1976. - 634 с.

[66] Ребецкий Ю.Л. Дилатансия, поровое давление флюида и новые данные о прочности горных массивов в естественном залегании // В книге: Флюиды и геодинамика. - М.: Наука, 2006. - С. 120-146.

[67] Ребецкий Ю.Л, Лементуева P.A., Дьяур Н.И, Михайлова A.B. Со-подчиненность микроструктурных деформаций и хрупкого макроразрушения // Доклады РАН. - М.: Наука, 2005. - Т. 403, №2. -С. 253-257.

[68] Ревуженко А.Ф. Механика сыпучей среды. - Новосибирск: ЗАО ИПП «ОФСЕТ», 2003. - 373 с.

[69] Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин E.H. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах // ФТПРПИ. - 1974. - № 3. - С. 130-133.

[70] Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин E.H. Несимметрия пластического течения в сходящихся осесимметричных каналах // Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 246, № 3. - С. 572-574.

[71] Савин Г.Н. Распределение напряжений около отвестий. - Киев: Наук. думка, 1968. - 891 с.

[72] Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. -Киев: Наук, думка, 1981. - 323 с.

[73] Садовский М.А. О распределении размеров твердых отдельностей // ДАН. - 1983. - Т. 269, №1. - С. 69-72.

[74] Садовский М.А., Родионов В.Н., Сизов И.А. Критерии подобия и дезинтеграции медленно деформируемых твердых тел // ДАН. -1995. - Т. 341, № 5.

[75] Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. - 392 с.

[76] Седов Л.И. Механика сплошной среды: в 2-х т. - М.: Наука, 1973. Т. 1. - 536 с. Т. 2. - 584 с.

[77] Серяков В.М. К расчету напряженно-деформированного состояния массива горных пород над выработанным пространством // ФТПРПИ. - 2009. - № 5. - С. 13-21.

[78] Серяков В.М. Об одном способе учета реологических свойств горных пород при расчете напряженно-деформированного состояния в зоне подработки // ФТПРПИ. - 2010. - № 6. - С. 18-25.

[79] Сиратори М., Миеси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения: пер. с японск. - М.: Мир, 1986. - 334 с.

[80] Слепян Л.И. Механика трещин. - Ленинград: Судостроение, 1990. -296 с.

[81] Соболев Г.А., Пономарев A.B. Физика землетрясений и предвестники. - М: Наука, 2003. - 279 с.

[82] Соколовский В.В. Теория пластичности. - М.: Высшая школа, 1969. - 608 с.

[83] Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977. - 349 с.

[84] Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1975. - 576 с.

[85] Устюжанова A.B. Применение метода конечных элементов к задаче об упругой области с отверстиями // МАК-2010: материалы тринадцатой региональной конференции по математике (июнь 2010 г.). -Барнаул: АлтГУ, 2010. - С. 53-54.

[86] Устюжанова A.B. Численное моделирование деформирования упругого материала в окрестности системы отверстий // Ломоносовские чтения на Алтае: сборник научных статей межрегиональной школы-семинара, Барнаул, 4-8 октября, 2010 г. Ч. 1. - Барнаул: АлтГПА, 2010. - С. 256-259.

[87] Устюжанова A.B. Численное исследование влияния сдвиговых трещин на напряженное состояние вблизи отверстий //XI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: тезисы докладов. Красноярск, 26-27 октября 2010 г. - Красноярск: ЗАО РИЦ «Прайс-курьер», 2010. - С. 40.

[88] Устюжанова A.B. Численное моделирование сдвиговых разрывов в породном массиве // Электронный сборник тезисов Пятой Сибирской конференции молодых ученых по наукам о Земле, 29 ноября-2 декабря 2010 г. Новосибирск. Электронный ресурс: http: / / sibconf.igm.nsc.ru

[89] Устюжанова A.B. Применение метода конечных элементов к задаче о деформировании упруго-пластической области с отверстиями // МАК: материалы четырнадцатой региональной конференции по математике (июнь 2011 г). - Барнаул: АлтГУ, 2011. - С. 39-40.

[90] Устюжанова A.B. Численное исследование напряженно-деформированного состояния вблизи систем круговых отверстий

в упругой среде // Ломоносовские чтения на Алтае: сборник научных статей международной школы-семинара, Барнаул, 8-11 ноября, 2011 г. Ч. 1. - Барнаул: АлтГПА, 2011. - С. 263-266.

[91] Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. - М.: Недра, 1987. - 221 с.

[92] Хилл Р. Математическая теория пластичности. - М.: ГИТТЛ, 1956. - 408 с.

[93] Bardet J.P. A note on the finite element simulatio of strain localization // Proc. Int. Conf. Numer. Meth. Eng., Theory and Appl: Swansea, July 6-10, 1987. NUMETA'87. - V. 2. - Dodrecht ets., 1987. - P. c21/l-c21/8.

[94] Bardet J.P., Proubet J. Shear-Band Analysis in Idealized Granular Material // Journal of Engineering Mechanics. - 1992. - V. 118. No. 2. - P. 397-415.

[95] Basista M., Gross D. The sliding crack model of brittle deformation: an internal variable approach // Int. J. Solids and Struct. - 1998. - V. 35. No. 5-6. - P. 487-509.

[96] Borst Rene de. Some recent issues in computational failure mechanics // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2001. - V. 52. No. 1-2. - P. 63-95.

[97] Chau K.T., Wang J.B. Singularity analysis and boundary integral equation method for frictional crack problems in two-dimensional elasticity // Int. J. Fract. - 1998. - V. 90. No. 3. - P. 251-274.

[98] Chen J.S., Liu W. K. Meshfree Particle Methods // Computational Mechanics. - 2000. - V. 25. - P. 91-101.

[99] De Borst R. Numerical methods for bifurcation analysis in geomechanics // Ing. Arc. - 1989. - V. 59. No. 2. - P. 60-174.

[100] Galybin A.N. Propagation of a shear crack in a compressed plane with a circular hole // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. - 1998. -V. 22. No. 3. - P. 175-196.

[101] Gen-hua Shi, Goodman Richard E. Discontinuous deformation analysis

- a new method for computing stress-strain and sliding of block systems // Key Quest Rock Mech. Proc. 29-th US Symp., Minneapols, 13-15 June, 1988. - Rotterdam: Brookfield. 1988. - P. 381-393.

[102] Goodman R.D., Taylor R.L., Brkke T.L. A model for the mechanics of jointed rock //J. Amer. Soc. Civ. Engrs., Soil Mech. Found. - 1968. Div. 94. - P. 637-659.

[103] Jun S., Im S. Multiple-scale meshfree adaptivity for the simulation of adiabatic shear band formation // Computational Mechanics. - 2000.

- V. 25. - P. 257-266.

[104] Komori K. Simulation of shearing by node separation method // Computers and Structures. - 2001. - V. 79. - P. 197-207.

[105] Larsson J., Larsson R. Computational strategy for capturing localization in undraind soil // Computational Mechanics. - 1999. -V. 24. - P. 293-303.

[106] Larsson R., Runesson K., Axelsson K. Localization properties of a frictional material model based on regularized strong discontinuity // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. - 1996. - V. 20. No. 11. -P. 771-783.

[107] Larsson R.,Runesson K., Sture S. Localization in hyperelasto-plastic porous solids subjected to undrained conditions // Int. J. Solids Struct.

- 1998. - V. 35. - R 4239-4255.

[108] Leroy Y., Ortiz M. Finite element analisis of strain localization in frictional materials // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. -1989. - V. 13. - P. 53-74.

[109] Lin C., Amadei B., Jung J., Dwyer J. Extensions of discontinuous deformation analysis for joited rock masses // Int. J. Rock. Mech. and Mining Sci. and Geomech. - 1996. - V. 33. No. 7. - P. 671-694.

[110] Schaeffer D.G., Shearer M. The influence of material non-uniformity preciding shear-band formation in an model for granular flow // Eur. J. Appl. Math. - 1997. - V. 8. No. 5. - P. 457-483.

[111] Schweiger H.F., Karstunen M., Pande G.N. Modelling strain localization in soils using multilaminate model and homogenisation technique // Proc. Int. Symp. Deformation and Progressive Failure in Geomechanics. - Pergamon, 1997. - P. 97-102.

[112] Segall P., Rubin A.M., Bradley A.M. and Rice J.R. Dilatant strengthening as a mechanism for slow slip events / / Journal of Geophysical Research - Solid Earth, 115, B12305, doi: 10.1029/2010JB007449, 37 pages, 2010.

[113] Shyman M.F., Bird W.W., Martin J.B. A simple formulation of a dilatant joint element governed by Coulomb friction // Eng. Comput.

- 1991. - V. 8. No. 3. - P. 21-229.

[114] Sluys L.J., Berends A.H. Discontinuous failure analysis for mode-I and mode-II localization problems // Int. J. Solids Struct. - 1998. - V. 35.

- P. 4257-4274.

[115] Svedberg T., Runesson K. Gradient-regularized plasticity coupled to damage - formulation and numerical algorithm // 9th Nord. Semin. Comput. Mech., Lyngly, Oct.25-26, 1996. - Lyngly, 1996. - P. 95-96.

[116] Requeiro R.A., Borja R.I. A finite element model of loclized deformation in frictional materials tacing a strong discontinuity approach // Finite Elements in Analysis and Design. - 1999. - V. 33. No. 4. - P. 283-315.

[117] Templeton E.L. and Rice J.R. Off-fault plasticity and earthquake rupture dynamics, 1. Dry materials or neglect of fluid pressure changes // Journal of Geophysical Research - Solid Earth, 113, B09306, doi: 10.1029/2007JB005529, 19 pages, 2008.

[118] Viesca R.C., Templeton E.L. and Rice J.R. Off-fault plasticity and earthquake rupture dynamics, 2. Effects of fluid saturation // Journal of Geophysical Research - Solid Earth, 113, B09307, doi:10.1029/2007JB005530, 13 pages, 2008.

[119] Templeton E.L., Baudet A., Bhat H.S., Dmowska R., Rice J.R., Rosakis A.J. and Rousseau C.E. Finite element simulations of dynamic shear rupture experiments and dynamic path selection along kinked and branched faults // Journal of Geophysical Research - Solid Earth, 114, B08304, doi: 10.1029/2008JB006174, 17 pages, 2009.

[120] Viesca R.C. and Rice J.R. Modeling slope instability as shear rupture propagation in a saturated porous medium / in Submarine Mass Movements and Their Consequences (Proc. 4th Int'l. Symp., Austin, Texas, 8-11 November 2009), eds. D.C. Mosher, R.C. Shipp, L. Moscardelli, J.D. Chaytor, C.D.P. Baxter, H. J. Lee, and R. Urgeles, Advances in Natural and Technological Hazards Research, Vol. 28, Springer-Verlag New York, 2010. P. 215-225.