Математическое моделирование параболических задач со слабой сингулярностью плотности источников на свободной границе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Ислентьев, Олег Викторович

• Ислентьев, Олег Викторович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ислентьев, Олег Викторович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Физико-математическое моделирование течения разреженного газа по

поглощающим каналам

1.2. Методы математического моделирования задачи Стефана

1.3. Возможности современных мультифизических пакетов по моделированию задач

типа Стефана

1.4. Выводы 19 Глава 2. Моделирование одномерной задачи массопереноса

2.1. Разработка численного алгоритма решения диффузионной задачи

со свободной границей и поглощением

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Построение динамической сетки

2.1.3. Построение разностной схемы и формулировка алгоритма решения задачи

2.1.4. Разностная схема для фиксированного шага по времени или координате

2.2. Исследование сходимости и устойчивости алгоритма динамического построения

сетки в задаче с подвижной границей

2.3. Об условиях сходимости схемы с динамическим построением сетки на

сингулярном источнике

2.4. Сходимость разностной схемы для граничных условий второго и третьего рода

в начальной точке

2.5. Численная модель для течения газа в смешанном и пуазейлевском режимах 53 Глава 3. Моделирование сопряженной одномерной задачи тепломассопереноса

3.1. Формулировка математической модели 5

3.2. Построение разностной схемы методом баланса для уравнения теплопроводности с движущимся слабосингулярным источником

3.3. Разработка алгоритма решения сопряженной задачи

3.4. Исследование влияния параметров модели на решение задачи

3.5. Качественное исследование сопряженной модели 77 Глава 4. Математическая модель двумерного диффузионно-подобного течения

с сингулярным поглощением

4.1. Моделирование на основе разностной схемы

4.1.1. Постановка задачи

4.1.2. Построение сетки

4.1.3. Дискретизация задачи

4.1.4. Алгоритм решения задачи на шаблоне «крест»

4.2. Моделирование в мультифизических пакетах

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Преобразование модели по методу выделения особенности

4.2.3. Общий алгоритм решения задачи 112 Глава 5. Комплекс программ для моделирования течения газа по плоским технологическим

зазорам с поглощающими стенками

5.1. Структура комплекса программ

5.2. Типы данных и входные переменные

5.3. Блок физических параметров

5.4. Блок геометрических параметров 13

5.5. Блок параметров решателя

5.6. Постпроцессор 144 Основные результаты и выводы 148 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование параболических задач со слабой сингулярностью плотности источников на свободной границе»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Разработка технологических процессов производства современных конструкций аэрокосмической техники требует эффективного компьютерного моделирования диффузионно-подобного массопереноса газа в узких каналах в условиях поглощения газа стенками канала. Существенной особенностью такого процесса является образование в средней части канала зоны, практически не содержащей поглощенного газа (вакуумированная зона).

Использование аналитических методов для решения интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, описывающих распределение концентрации газа в такой задаче, обычно невозможно в силу существенной нелинейности задачи. Поэтому актуально построение численных математических моделей, адекватно отражающих указанные процессы. Однако существующие численные методы разработаны и реализованы в современных системах мультифизического анализа (ANSYS, NISA, COMSOL Multyphysics и др.) для регулярных условий при заданном движении границ. Задачи же, содержащие сингулярности и самосогласованно движущиеся границы, требуют индивидуального подхода. При этом в задачах, контролируемых диффузионными процессами, то есть описываемых параболическими уравнениями, возникающие при моделировании сингулярности обычно интегрируемы (слабые). Поэтому необходима разработка численных математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, адекватным образом учитывающих специфику массопереноса в рассматриваемых системах.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных НИР: Б5/07 «Моделирование топохимических и магнитомеханических процессов в многосвязных системах» (2007-2008 гг., № госрегистрации 01200707633), Б14/09 «Физико-математическое моделирование и исследование перспективных материалов, конструкций на основе титановых сплавов для

авиационной и космической техники» (2009-2010 гг., № госрегистрации 01200952212), проводимых по заданию Федерального агентства по образованию в рамках тематического плана «Фундаментальные исследования», Б14/11 «Физико-математическое моделирование процесса изменения состава и давления газовой фазы в контактных зазорах при высокотемпературной обработке титановых изделий аэрокосмической техники» (2011 г., № госрегистрации 01201155436), проводимой по заданию Минобрнауки в рамках тематического плана «Фундаментальные исследования», а также ГБ 2007.13, ГБ2010.13 «Математическое моделирование физических процессов в конденсированных средах и операторные уравнения». Диссертационная работа соответствует одному из основных научных направлений Воронежского государственного технического университета - «Наукоемкие технологии в машиностроении, авиастроении и ракетно-космической технике».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка численных математических моделей, учитывающих слабую сингулярность плотности источников на самосогласованно движущейся границе, их алгоритмизация и программная реализация, а также исследование свойств построенных моделей.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать численную одномерную модель для параболической задачи, имеющей слабую особенность на свободной границе. Провести ее алгоритмизацию и исследование сходимости и устойчивости.

2. Разработать одномерную модель для двух сопряженных параболических задач с положительной обратной связью, осуществить ее параметризацию, дискретизацию и алгоритмизацию решения.

3. На основе базовых уравнений массопереноса сформулировать математическую модель в виде двухмерной параболической задачи, для которой разработать эффективные алгоритмы динамического построения сетки и решения дискретизированных уравнений.

4. На основе полученных моделей и алгоритмов разработать комплекс программ для расчета течения газа по плоским поглощающим технологическим зазорам.

Методы исследования. При выполнении работы использованы основные положения теории тепломассопереноса, методы математической физики, метод конечных разностей, методы составления и исследования разностных схем, методы объектно-ориентированного программирования.

Тематика работы соответствует паспорту специальности по: п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»,

п. 3 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»,

п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента».

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

для одномерной параболической задачи со слабой сингулярностью стоков на свободной границе построена численная модель, учитывающая сингулярность решения по методу выделения особенности и отличающаяся динамическим построением сетки, позволяющим учесть как подвижность границы, так и наследственность задачи;

для модели с выделением особенности установлены условия разрешимости разностной схемы, необходимые для компьютерной реализации разработанных алгоритмов;

сформулирована и дискретизирована двухпараметрическая модель из двух параболических задач для задачи сопряженного одномерного тепломассопереноса, отличающаяся положительной обратной связью

уравнений, приводящей к немонотонному решению для движения границы, установлены качественные условия реализации этого решения;

разработана параболическая математическая модель двухмерного диффузионно-подобного массопереноса газа в поглощающих плоских каналах и получены условия дискретизации модели на сетке, топологически эквивалентной прямоугольной, что позволяет использовать стандартные алгоритмы решения двумерных параболических задач.

Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса программ, учитывающего специфику массопереноса в поглощающих каналах и позволяющего проводить эффективное компьютерное моделирование процессов проникновения и торможения газового потока с целью создания перспективных материалов и конструкций на основе титановых сплавов для авиационной и космической техники. Данный комплекс программ может найти применение при решении других задач теплофизики.

Реализация и внедрение результатов работы. Комплекс программ внедрен в учебный процесс подготовки студентов специальности «Техническая физика» Воронежского государственного технического университета и использован при проведении научно-тематических исследований процесса диффузионной сварки титановых изделий для авиастроения и ракетно-космической техники.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: IV, V, VI, VII, VIII Международных семинарах «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011); V Международном семинаре «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2007); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011), IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011)» (Воронеж, 2011), Всероссийской

конференции с элементами научной школы для молодежи «Математическое моделирование в технике и технологии» (Воронеж, 2011), научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного технического университета (2007-2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит: в [1, 2, 4, 5, 9, 10] - компоненты математического и алгоритмического обеспечения исследуемых моделей; в [12] - компьютерная реализация вычислительных схем, в [3, 6, 7, 8, 11] - проведение расчетов и численных исследований моделей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, изложена на 159 страницах и содержит 49 рисунков и 8 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ислентьев, Олег Викторович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для одномерной параболической задачи массопереноса с поглощением, характеризующимся слабой сингулярностью на подвижной границе, разработана численная модель, учитывающая сингулярность по методу выделения особенности и подвижность границы на основе динамического построения сетки. Сформулирован алгоритм решения полученной нелинейной модели.

2. В рамках численного исследования модели установлена линейная сходимость в чебышевской норме по величине динамически выбираемого шага сетки. Исследованием сходимости численно-аналитической модели, полученной выделением особенности, в окрестности особой точки, установлено существование минимальной величины шага, до которой существует решение построенной разностной схемы.

3. С учетом сопутствующего теплопереноса сформулирована двупараметрическая математическая модель из системы двух параболических одномерных задач с нелинейной положительной обратной связью. На основе метода баланса построена разностная схема для задачи сопутствующего теплопереноса. Разработан итерационный алгоритм решения построенной разностной схемы сопряженной задачи переноса, использующий динамически подстраиваемую сетку на новом временном слое для уравнения теплопередачи.

4. Качественным численным исследованием двухпараметрической модели проанализирована степень влияния параметров на решение модели и установлена область значений параметров, в которой происходит торможение границы раздела зон решения вследствие активизации положительной обратной связи.

5. Сформулирована математическая модель двухмерного диффузионно-подобного массопереноса газа в плоских каналах в условиях его поглощения на стенках со скоростью, имеющей слабую особенность на фронте газового потока. Выполнена дискретизация модели в рамках метода баланса на непрямоугольной неравномерной сетке с динамическим выбором шага и выделением особенности на фронте потока. Найдены условия и разработан алгоритм сведения численной модели к сетке, топологически эквивалентной прямоугольной, что позволяет использовать стандартные алгоритмы решения двумерных параболических задач.

6. С использованием метода выделения особенности двумерная модель преобразована к виду, допускающему ее решение на основе регулярных алгоритмов в задаче с подвижной границей в рамках конечноэлементных пакетов прикладных программ.

7. Разработан комплекс программ, реализующий полученные численные модели на основе разработанных алгоритмов их решения для задачи течения газа по поглощающим плоским технологическим зазорам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ислентьев, Олег Викторович, 2012 год

Литература

1. Абрамов, A.A. О переносе условия ограниченности для некоторых систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений / А.А.Абрамов // ЖВМ и МФ. 1961. Т.1, №4. С. 733-737.

2. Абрамов, A.A. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А.А.Абрамов, К.Балла, Н.Б.Конюхова // Сообщ. по вычислит, матем. М: ВЦ АН СССР, 1981.

3. Агошков, В.И., Методы решения задач математической физики / В.И. Агошков, П.Б.Дубовский, В.П.Шутяев. - М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

4. Албу, A.B. О выборе функционала и разностной схемы при решении задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла / A.B.Албу, В.И.Зубов // ЖВМ и МФ. 2011. Т.51, №1. С. 24-38.

5. Андреев, В.Б. О сходимости модифицированной монотонной схемы Самарского для сингулярно возмущенного уравнения / В.Б.Андреев // ЖВМ и МФ. 1998. Т.38, №8. С. 1266-1278.

6. Басов, К. А. ANS YS в примерах и задачах / К.А.Басов. - М.: КомпьютерПресс, 2002. - 224 с.

7. Батаронов, И.Л. Закономерности тепломассопереноса в щелевых каналах с топохимическими экзотермическими реакциями / И.Л. Батаронов, О.В. Ислентьев, В.Р. Петренко, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI Междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2009. - Ч. 1. - С. 223-230.

8. Батаронов, И.Л. Исследование влияния теплового эффекта превращения на кинетику массопереноса в одномерном канале / И.Л. Батаронов, О.В. Ислентьев, A.B. Шиманский // Физико-математическое моделирование систем: материалы V Междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2008. -Ч.З.-С. 102-107.

9. Батаронов, И.Л. Исследование сходимости и устойчивости алгоритма динамического построения сетки в задаче с подвижной границей / И.Л. Батаронов, О.В.Ислентьев // Физико-математическое моделирование систем: материалы V Междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2008. -Ч.З.-С. 108-113.

10. Батаронов, И.Л. Математическое моделирование тепломассопереноса в одномерном поглощающем канале / И.Л.Батаронов, О.В.Ислентьев,

В.Р.Петренко, В.В.Пешков, В.Ф.Селиванов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВГУ, 2011. - С. 38-39.

11. Батаронов, И.Л. Моделирование двумерных течений с сингулярным поглощением методом выделения особенности / И.Л.Батаронов, О.В.Ис-лентьев, В.Р.Петренко, В.В.Пешков, В.Ф.Селиванов // Системы управления и информационные технологии. 2009. № 4(38). С. 4-8.

12. Батаронов, И.Л. Моделирование тепломассопереноса в щелевых каналах с топохимическими экзотермическими реакциями / И.Л. Батаронов, О.В. Ислентьев, В.Р.Петренко, В.Ф.Селиванов, Д.Н.Балбеков // Вестник ВГТУ. 2011. Т. 7, № 2. С. 4-6.

13. Батаронов, И.Л. Разработка численного алгоритма решения диффузионной задачи Стефана с поглощением / И.Л.Батаронов, О.В.Ислентьев,

A.В.Шиманский // Физико-математическое моделирование систем: материалы IV Междунар. семинара. - Воронеж, 2007. - Ч. 2. - С. 102-110.

14. Батаронов, И.Л. Физико-математическое моделирование течения газа по технологическим зазорам переменного сечения при диффузионной сварке / И.Л.Батаронов, В.Р.Петренко, В.В.Пешков, А.В.Кравцов // Вестник ВГТУ. 2006. Т.2, № 8. С. 5-11.

15. Батурин, О.В. Расчет течений жидкостей и газов с помощью универсального программного комплекса Fluent / О.В.Батурин, Н.В.Батурин,

B.Н. Матвеев-Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм, ун-та, 2009 - 151 с.

16. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р.Беллман, К.Кук. - М.: Мир, 1967. - 548 с.

17. Бесплохотный, Г.П. Диффузионная модель газопереноса в системе разветвленных каналов с поглощением / Г.П.Бесплохотный, В.Р.Петренко, И.Л.Батаронов, В.В.Пешков // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах: матер. III междунар. семинара - Воронеж: ВГТУ, 2004. - С.161-164.

18. Бондарь, A.B. Диффузионная сварка титана и его сплавов / А.В.Бондарь, В.В.Пешков, Л.С.Киреев, В.В.Шурупов. - Воронеж: Изд. ВГУ, 1998. -256 с.

19. Бондарь, A.B. Физико-химия схватывания титана со стальной оснасткой при диффузионной сварке / А.В.Бондарь, Ю.П.Камышников, В.В.Пешков, С.Н.Федоров, В.В.Шурупов. - Воронеж: ВГТУ, 1999. - 186 с.

151

20. Будак, Б.М. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае / Б.М.Будак, Н.Л.Гольдман, А.Т.Егорова,

A.Б.Успенский // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1967. Вып. 8. С. 103-120.

21. Будак, Б.М. Разностный метод с выпрямлением фронтов для решения задач типа Стефана / Б.М.Будак, А.Б.Успенский // ЖВМ и МФ. 1969. Т. 9, №6. С. 1299-1315.

22. Будак, Б.М. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана / Б.М.Будак, Е.Н.Соловьева, А.Б.Успенский // ЖВМ и МФ. 1965. Т.5, № 5. С. 828-840.

23. Будак, Б.М. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана / Б.М. Будак, Ф.П. Васильев, А.Б. Успенский // Численные методы в газовой динамике. Т. 4. - Изд-во МГУ, 1965.

24. Быков, В.И. Моделирование критических явлений в химической кинетике /В.И.Быков. - М.: Наука, 1988. - 264 с.

25. Вабищевич, H.H. Численные методы решения задач со свободной границей / H.H. Вабищевич. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 164 с.

26. Вабищевич, H.H. Численное решение сопряженных задач тепло- и мас-сопереноса с учетом фазового перехода / Н.Н.Вабищевич, О.П.Илиев // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, №7. С. 1127-1132.

27. Вайнберг, A.M. Применение метода квазилинеаризации для численного решения задачи Стефана и некоторых нелинейных уравнений теплопроводности / A.M. Вайнберг, В.И. Мукосей // Тр. конф. «Математические проблемы химии». Новосибирск, 1973. Ч. 1. С.140-151.

28. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей / А.О.Гельфонд. - М.: Наука, 1967.-376 с.

29. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г.Дюво, Ж.-Л.Лионе. - М.: Наука, 1980.-386 с.

30. Егоров, В.И. Применение ЭВМ для решения задач теплопроводности /

B.И.Егоров. - СПб: СПб ГУ ИТМО, 2006. - 77 с.

31. Журавлев, В.М. Точные решения уравнения нелинейной диффузии в двумерном координатном пространстве / В.М Журавлев // Теор. и матем. физика. 2000. Т. 124, № 2. С.265-278.

32. Задорин, А.И. Редукция трехточечной разностной схемы на бесконечном интервале к системе с конечным числом узлов / А.И.Задорин, А.В Чеканов // Сиб. журн. выч. математики / СО РАН. 2002. Т.5, №2. С. 149-161.

33. Зельдович, Я.Б. Математическая теория горения и взрыва / Я.Б.Зельдович, Г.И.Баренблатт, В.Б.Либрович, Г.М.Махвиладзе. - М.: Наука, 1980.-480 с.

34. Ислентьев, О.В. Алгоритм решения задачи двухмерного массопереноса с сингулярным поглощением на подвижной границе / О.В.Ислентьев, И.Л. Батаронов // Физико-математическое моделирование систем: материалы IV Междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2007. - Ч. 2. - С. 174-176.

35. Ислентьев, О.В. Комплекс программ для моделирования течения газа по плоским технологическим зазорам с поглощающими стенками / О.В .Ислентьев, И.Л.Батаронов // Физико-математическое моделирование систем: материалы VIII Междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2012. -Ч. З.-С. 3-23.

36. Ислентьев, О.В. Математическая модель двумерного диффузионно-подобного течения с сингулярным поглощением / О.В.Ислентьев, И.Л. Батаронов // Вестник ВГТУ. 2007. Т. 3, № 8. С. 62-66.

37. Ислентьев, О.В. Об условиях сходимости схемы с динамическим построением сетки на сингулярном источнике / О.В .Ислентьев, И.Л.Батаронов // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI Междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2010. -Ч. 4. - С. 150-156.

38. Ислентьев, О.В. Построение разностной схемы методом баланса для уравнения теплопроводности с движущимся сингулярным источником // О.В .Ислентьев, И.Л.Батаронов, В.В.Пешков, В.Ф.Селиванов // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI Междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2010. - Ч. 3. - С 93-99.

39. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н.Калиткин. - М.: Наука, 1978. -512 с.

40. Карчевский, М.М. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко. - Казань: Изд-во Каз. гос. ун-та, 1976. - 192 с.

41. Киреев, Л.С. Физико-химия процесса получения пористо-компактных материалов на основе титана / Л.С.Киреев, В.В.Пешков, В.Ф.Селиванов; под ред. акад. Б.Е.Патона.-Киев: Изд. ИЭС им. Е.О.Патона, 2003.-318 с.

42. Китаева, E.B. Численное отыскание ограниченных на всей оси решений дискретных сингулярно возмущенных уравнений и критических режимов горения / Е.В.Китаева, В.А.Соболев // ЖВМ и МФ. 2005. Т. 45, № 1. с. 56-87.

43. Королева О.Н. Математическое моделирование лазерного плавления и испарения многослойных материалов / О.Н. Королева, В.И. Мажукин // ЖВМ и МФ. 2006. Т. 46, № 5. С. 910-924.

44. Кунин, С. Вычислительная физика / С.Кунин. - М.: Мир, 1992. - 518 с.

45. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. - М.: Наука, 1986.-736 с.

46. Лионе, Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.Л. Лионе. - М.: Мир, 1972. - 587 с.

47. Лифшиц, Е.М. Физическая кинетика / Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. -М.: Наука, 1979.-527 с.

48. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. - М.: Наука, 1973. - 848 с.

49. Лыков, A.B. Теория сушки / А.В Лыков. - М.: Энергия, 1968. - 472 с.

50. Лыков, A.B. Теория теплопроводности / А.В Лыков. - М.: Высшая школа, 1997.-599 с.

51. Ляшко, А.Д. Разностные схемы для нелинейных нестационарных задач / А.Д.Ляшко, Е.М.Федотов. - Казань: Изд-во Каз. гос. ун-та, 2008. - 199 с.

52. Мажукин, В.И. Двумерная многофронтовая задача Стефана с явным выделением границ / В.И.Мажуйкин, М.М.Чуйко // Тр. 4 Минского Меж-дунар форума по тепло- и массообмену- Минск, 2000. Т.5. С. 487^193.

53. Мазо, М. А. Подвижность флюида в щелевидной микропоре: модель решеточного газа и молекулярно-динамическое моделирование / М.А.Мазо, А.Б.Рабинович, Ю.К.Товбин // Журнал физической химии. 2003. Т.77, №11. С.2053-2059.

54. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране / Д. Мак-Кракен, У.Дорн. - М.: Мир, 1977. - 584 с.

55. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И.Марчук. - М.: Наука, 1977.-456 с.

56. Маслов, В.П. Математическое моделирование процессов тепломассопе-реноса. / В.П. Маслов, В.Г. Данилов, К.А Волосов. - М.: Наука, 1987. -352 с.

57. Мейрманов, A.M. Задача Стефана / А.М.Мейрманов. - Новосибирск: Наука, СО РАН, 1986. - 238 с.

58. Милн, В.Э. Численное решение дифференциальных уравнений / В.Э. Милн. - М.: ИЛ, 1955. - 290 с.

59. Овчарова, A.C. Метод решения двухмерной многофронтовой задачи Стефана // А.С.Овчарова // ПМТФ. 1995. Т.36, №4. С. 110-119.

60. Овчарова, A.C. Численное решение стационарной задачи Стефана в области со свободной границей / А.С.Овчарова // Вычислительные технологии. 1999. ТА, №1. С. 88-99.

61. Ортега, Д. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Д.Ортега, В.Рейнболдт. - М.: Мир, 1975. -558 с.

62. Патанкар, C.B. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах / С.В.Патанкар. - М.: Изд. МЭИ, 2003.-312 с.

63. Петренко, В.Р. Сварка титана со сталью / В.Р.Петренко, Л.С.Киреев, В.В.Пешков. - Воронеж: ВГТУ, 2004. - 174 с.

64. Петренко, В.Р. Физико-химия и металловедение диффузионной сварки титановых тонкостенных оболочковых конструкций / В.Р.Петренко,

A.В.Пешков, И.Л.Батаронов, В.Ф.Селиванов, А.Б.Булков. - Воронеж: ВГТУ, 2009. - 300 с.

65. Пешков, В.В. Физико-математическая модель изменения давления газа в трактах охлаждения титановых теплообменников при нагреве /

B.В.Пешков, И.Л.Батаронов, В.Р.Петренко, Д.Н.Балбеков // Вестник ВГТУ. 2009. Т. 5, № 5. С. 4-6.

66. Рихтмайер, Р. Разностные методы решения краевых задач / Р. Рихтмай-ер, К.Мортон. - М.: Мир, 1972. - 418 с.

67. Рогов, Б.В. О сходимости компактных разностных схем / Б.В.Рогов, М.Н.Михайловская // Математическое моделирование. 2008. Т.20, № 1.

C.99-116.

68. Рогов, Б.В. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса / Б.В.Рогов, М.Н.Михайловская // Математическое моделирование. 2011. Т. 23, № 6. С. 98-110.

69. Рогов, Б.В. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса / Б.В.Рогов, М.Н.Михайловская // ДАН. 2011. Т. 436, №5. С. 600-605.

70. Рубинштейн, Л.И. Проблема Стефана / Л.И. Рубинштейн. - Рига: Звайг-зне, 1967.-457 с.

71. Рубцов, H.A. Численное моделирование однофазной задачи Стефана в слое с прозрачными и полупрозрачными границами / Н.А.Рубцов, С.Д.Слепцов, Н.А.Саввинова // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47, №3. С. 84-91.

72. Рудых, Г.А. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) / Г.А.Рудых, Э.И.Семенов // ЖВМ и МФ. 1998. Т. 38, № 6. - С.971-977.

73. Рудых, Г.А. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии / Г.А.Рудых, Э.И.Семенов // Матем. заметки. 2000. Т.67, вып. 2. С. 250-256.

74. Самарский, A.A. Аддитивные схемы для задач математической физики / А.А.Самарский, П.Н.Вабищевич. - М.: Наука, 2001. - 319 с.

75. Самарский, A.A. Вычислительная теплопередача / А.А.Самарский, П.Н. Вабищевич. - Москва: Эдиториал УРСС, 2003. - 784 с.

76. Самарский, A.A. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А.А.Самарский, А.П.Михайлов. - М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

77. Самарский, A.A. Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики / А.А.Самарский. - Москва: Наука, 1987. - 277 с.

78. Самарский, A.A. Разностные методы для эллиптических уравнений / А.А.Самарский, В.Б.Андреев. -М.: Наука, 1976. - 352 с.

79. Самарский, A.A. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями / A.A. Самарский, Р.Д.Лазаров, В.Л.Макаров. - М.: Высшая школа, 1987. - 296 с.

80. Самарский, A.A. Решение задач тепломассообмена с помощью метода динамической адаптации / А.А.Самарский, В.И.Мажукин // Тр. 4 Минского Междунар форума по тепло- и массообмену. 2000. Т.З. С. 42-52.

81. Самарский, A.A. Устойчивость разностных схем / А.А.Самарский, А.В.Гулин. - М.: Наука, 1973. - 416 с.

82. Самарский, A.A. Численные методы / А.А.Самарский, А.В.Гулин. - М.: Наука, 1989.-432 с.

83. Самарский, A.A. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана / А.А.Самарский, Б.Д.Моисеенко // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, №5. С. 816-827.

84. Селиванов, В.Ф. Механизм изменения давления в поровых каналах при диффузионной сварке пористых материалов / В.Ф.Селиванов, И.Л.Бата-ронов // Прогрессивные технологии в сварочном производстве. - Воронеж: ВГТУ, 1998. - С. 4-10.

85. Семенов, H.H. О некоторых проблемах химической кинетики реакционной способности / Н.Н.Семенов. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 418 с.

86. Смитлз, К.Дж. Металлы: справочник / К.Дж.Смитлз. - М.: Металлургия, 1980.-447 с.

87. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин. - М.: Наука, 1974. - 224 с.

88. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, A.A. Самарский // М.: Физматлит, 2001. - 724 с.

89. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач / А.Н.Тихонов, A.B.Гончарский, В.В.Степанов, А.Г.Ягола. - М.: Наука, 1990.-230 с.

90. Тодес, О.М. Теория теплового взрыва / О.М.Тодес, П.В.Мелентьев // Журнал физической химии. 1939. Т. 13, вып. 7. С. 52-58.

91. Федотов, Е.М. Разностные схемы для нелинейных нестационарных краевых задач: дис. ... докт.физ.-мат.наук: 01.01.07 / Федотов Евгений Михайлович. - Казань, 1998. - 249 с.

92. Физическая энциклопедия: в 5 т. / Под ред. А.М.Прохорова. - М.: Советская энциклопедия, 1988-1999.

93. Франк-Каменецкий, Д.А. Диффузия и теплоотдача в химической кинетике / Д.А.Франк-Каменецкий. - М.: Наука, 1967. - 492 с.

94. Фридман, А. Вариационные принципы и задачи со свободной границей / А.Фридман. - М.: Наука, 1989. - 536 с.

95. Чеблакова Е.А. Моделирование конвекции в областях со свободными границами / Е.А. Чеблакова // Вычислительные технологии. 2000. Т.5, № 6. С. 87-98.

96. Черепанов, Р. О. Решение задач о точечных тепловых воздействиях вариационно-разностным методом / Р.О.Черепанов, О.Н.Бежин // Наука и образование XXI века, 2001. - С. 91-93.

97. Чернов, И.А. Сходимость разностной схемы для модели термодинамики морского льда / И.А. Чернов // Тр. Карельского НЦ РАН. 2010. №3. С. 87-92.

98. Шишкин, Г.И. Сеточная аппроксимация метода аддитивного выделения особенностей для сингулярно возмущенного уравнения параболического типа / Г.И.Шишкин // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34, № 5. С. 720-738.

99. Alexeenko, Alina A. Reconsideration of low Reynolds number flow-through constriction microchannels using the DSMC method / Alina A.Alexeenko, Sergey F.Gimelshein, Deborah A.Levin // J. Microelectromech. Syst. 2005. V.14, N 4. P.847-856.

100. Babushok, V.I. Critical Condition for the Thermal Explosion with Reactant Consumption / V.I.Babushok, V.M.Goldstein, V.A.Sobolev // Combust. Sci. and Tech. 1990. V. 70. P. 81-89.

101.COMSOL: papers & presentations [Электронный ресурс]: архив более 1800 полностью документированных проектов моделирования, представленных пользователями COMSOL. - [S.I.]: COMSOL, 1998-2012. -Режим доступа: http://www.comsol.co.in/papers/, свободный. - Загл. с экрана. - Яз. англ.

102. FLUENT 6.3. Documentation [Электронный ресурс]: полный комплект документации к программному комплексу. - [S.I.]: Fluent inc., 2011. -Режим доступа: http://www.twirox.com/files/hydro/fluidmech/, свободный. - Загл. с экрана. - Яз. рус.

103. Gorelov, G.N. Mathematical modelling of critical phenomena in thermal explosion theory / G.N.Gorelov, V.A.Sobolev // Combust. Flame. 1991. V. 87. P. 203-210.

104. Gutierrez, Gustavo. Numerical simulation of non-linear heat conduction subjected to a laser source: the effects of variable thermal properties / Gustavo Gutierrez, Tien-Chen Jen // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2000. V. 43, N 12. P. 2177-2192.

105. Jamet, P. Numerical computation of the free boundary for the twodimensional Stefan problem by spacetime finite elements / P.Jamet, R.Bonnerot // J. Сотр. Phys. 1977. V. 25. P. 163-181.

106. Kim, H. Y. Chemical deposition of substance from gas phase in non-isothermal channels / H.C.Kim, V.V.Levdansky, V.G.Leitsina, J.Smolik // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2000. V. 43. N 20. P. 3877-3882.

107. Kireev L.S. Joining Titanium to steel / L.S.Kireev, V.V.Peshkov // Welding and Surfacing reviews. 1998. V.l 1, Pt. 2. P. 1-127.

108. Lynch, D.R. Unified approach to simulation of deforming elements with application to phase change problem / D.R.Lynch // J. Comp. Phys. 1982. V. 47, N 3. P. 387—411.

109. Markvoort, A. J. Molecular dynamics study of the influence of wall-gas interactions on heat flow in nanochannels / A.J.Markvoort, P.A.J.Hilbers, S.V.Nedea // Phys. Rev. E. 2005. V.71, N 6. P. 066702/1-066702/9.

110. Meyer, G.H. Multidimensional Stefan problems / G.H.Meyer // SIAM J. Numer. Anal. 1973. V. 10, N 3. P. 552-558.

111. Naris, S. Gaseous mixture flow between two parallel plates in the whole range of thegas rarefaction / S.Naris, D.Valougeorgis, D.Kalempa, F.Sharipov // Physica. A. 2004. V. 336, N 3-4. P. 294-318.

112. Rogers, I.S.W. The alterning phase truncation method for numerical solution of a Stefan problem / I.S.W.Rogers, A.E.Berger, M.Ciment // SIAM J. Numer. Anal. 1979. V. 16, N 4. P. 569-587.

113. Siewert, C. E.Model equations in rarefied gas dynamics: Viscous-slip and thermal-slip coefficients / C.E.Siewert, Felix Sharipov // Phys. Fluids. 2002. V. 14, N12. P. 4123-4129.

114. Takata, Shigeru. Kinetic theory analysis of the two-surface problem of a vapor-vapor mixture in the continuum limit / Shigeru Takata // Phys. Fluids. 2004. V. 16, N 7. P. 2182-2198.

115. Wang, Moran. Nonideal gas flow and heat transfer in micro- and nanochannels using the direct simulation Monte Carlo method / Moran Wang, Zhixin Li // Phys. Rev. E. 2003. V. 68, N 4. P. 046704(6).

116. White, R.E. A numerical solution of the enthalpy formulation of the Stefan problem / R.E.White // SIAM J. Numer. Anal. 1982. V. 19, N 6. P. 1158— 1172.

117. Xie, Shusen. Second-order Fractional steps difference scheme for two dimensional equations of heat conduction with three-temperature / Shusen Xie, Heng Xue, Gongchun Li // Qingdao haiyang daxue xuebao. Ziran kexue ban. 2002. V. 32, N 3. P.495-500.