Адаптивные расчетные сетки для моделирования электрофизических процессов в полупроводниковых структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Гурин, Александр Васильевич

• Гурин, Александр Васильевич
• кандидат технических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гурин, Александр Васильевич

Введение

Глава 1. Методы решения фундаментальной системы уравнений полупроводника и способы построения расчетных сеток

1.1. Методы численного решения фундаментальной системы уравнений полупроводника

1.2. Методы построения расчетных сеток

Глава 2. Моделирование одномерной полупроводниковой структуры

2.1. Постановка задачи

2.2. Модели электрофизических параметров

2.3. Безразмерная постановка задачи

2.4. Преобразование уравнений

2.5. Конечно-разностная аппроксимация уравнений пр 7 полупроводникового прибора

2.6. Конечно-разностное представление выражений для Е, Jn

2.7. Моделирование равновесного состояния одномерных полупроводниковых структур

2.8. Конечно - разностная аппроксимация уравнений равновесного состояния

2.9. Моделирование полупроводникового прибора совместно с другими проводящими элементами

Глава 3. Методы построения адаптирующихся к решению расчетных расчетных сеток на основе прогонки

3.1. Предварительные сведения

3.2. Построение расчетной сетки с квазиравномерным шагом

3.3. Пример остроения расчетной сетки с квазиравномерным шагом для решения модельной сингулярно-возмущенной задачи

3.4. Построение расчетной сетки с кусочно-равномерным шагом

3.5. Пример построения расчетной сетки с кусочно - равномерным шагом для модельной сингулярно-возмущенной задачи

3.6. Построение адаптирующейся расчетной сетки с кусочно - равномерным шагом при решении системы нелинейных уравнений в частных производных

3.7. Некоторые вопросы уменьшения погрешности решения на сетке с кусочно-равномерным шагом

3.8. Определение порядка сходимости полученной разностной схемы

Глава 4. Результаты построения расчетных сеток и численного моделирования полупроводниковых структур

4.1. Построение расчетной сетки с кусочно-равномерным шагом и расчет равновесного состояния полупроводниковой диодной структуры

4.2. Построение расчетной сетки с квазиравномерным шагом для расчета равновесного состояния полупроводниковой структуры

4.3. Построение расчетной сетки с кусочно-постоянным шагом и решение стационарной системы уравнений р, п, J полупроводниковой диодной структуры

4.4. Расчет вольтамперных характеристик полупроводниковых структур 128 Заключение 137 Библиографический список использованной литературы 139 Приложение 1. Программа для построения расчетной сетки с кусочно-равномерным шагом и расчета равновесного состояния полупроводниковой структуры 146 Приложение 2. Программа расчета ВАХ полупроводниковой структуры с построением расчетной сетки с кусочно-равномерным шагом

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивные расчетные сетки для моделирования электрофизических процессов в полупроводниковых структурах»

Проблеме численного моделирования электрофизических процессов в полупроводниковых приборах посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных авторов. Это связано с быстрым развитием микроэлектроники, появлением и широким распространением новых видов полупроводниковых приборов. Прогресс в этой области, как и во многих других областях науки и техники, в значительной степени определяется уровнем математического моделирования и вычислительного эксперимента [48].

Математические модели полупроводниковых приборов в зависимости от системы исходных параметров подразделяются на электрические, технологические и физико-топологические. Каждая из разновидностей моделей находит свою область применения. Для расчета электронных схем целесообразно использовать электрические модели, в которых исходными являются электрические параметры. Физико-математические модели технологии, применяемые в системах управления технологическим процессом, используют в качестве исходных данных параметры технологических операций. [3 ^.Физико-топологическая модель позволяет получить выходные электрические характеристики прибора в зависимости от параметров его физической структуры и топологии.

Наиболее полно разработаны электрические модели полупроводниковых приборов [13]. Интенсивно ведутся работы по созданию достаточно точных и универсальных технологических моделей и физико-топологических.

Для любой полупроводниковой структуры физико-топологическая модель описывается трехмерной системой уравнений переноса тока, непрерывности и Пуассона. Решение трехмерной задачи довольно громоздко и связано со значительными математическими трудностями [48], [36]. Ее обычно корректно упрощают и сводят к одномерным или к двумерным задачам. Это оказывается возможным, когда глубины залегания р-п переходов значительно меньше размеров диффузионных областей в плоскости кристалла и в результате можно пренебречь краевыми эффектами у границ р-п переходов [36].

Двухмерные процессы обусловлены специфическими особенностями топологии полупроводниковой структуры. В результате кроме переноса носителей заряда в глубь диффузионной структуры будет наблюдаться и их диффузионное и дрейфовое растекание в поперечном направлении. Этот эффект будет тем значительнее, чем больше сопротивление соответствующего слоя. Кроме того, при наличии рабочих областей с микронными размерами необходимо учитывать двухмерные эффекты.

Одномерные процессы связаны с переносом носителей заряда в глубь диффузионной структуры, когда ток течет в направлении от эмиттера к коллектору или от анода к катоду. В этом случае можно пренебречь продольными эффектами и перейти к одномерной модели исходной задачи, которая описывает перенос носителей заряда вглубь структуры. Расчет по такой модели позволяет связать электрические характеристики полупроводниковой структуры, например вольт - амперную характеристику прибора с параметрами профиля результирующей концентрации легирующих примесей и электрофизическими свойствами материала [48], [6].

Особенностью рассматриваемой системы уравнений, при исходных данных, соответствующим реальным приборам, является наличие больших неод-нородностей концентраций заряда: для областей п-типа концентрация электронов значительно больше концентрации дырок и наоборот, для областей р-типа концентрация дырок много больше концентрации электронов, причем различия могут достигать двадцати и более порядков. Как правило, плотность объемного заряда, алгебраически складывающаяся из концентраций электронов, дырок и результирующей концентрации доноров и акцепторов намного меньше величины арифметической суммы концентраций электронов и дырок, и небольшие отклонения от нейтральности приводят к огромным градиентам электрического потенциала [48], [22]. Задача осложняется для малых плотностей токов, протекающих по структуре.

Это означает, что уравнения переноса зарядов в некоторых расчетных подобластях имеют очень малые меняющие знак коэффициенты при старших производных. Причем малый параметр при старшей производной входит в дивергентную часть и зависит от временной и пространственной переменной. В этом случае дифференциальные уравнения становятся сингулярно возмущенными [59]. Данная ситуация характеризуется наличием пограничных слоев, в окрестности которых решение резко меняется. Поэтому необходимо использовать специальные приемы для обеспечения численной устойчивости и необходимой точности решения. Кроме того, сильная нелинейность уравнений ставит проблему построения надежно сходящихся итерационных алгоритмов [48].

Имеющийся опыт показывает, что для многих практически важных режимов алгоритмы расчета не учитывающие эти особенности не дают сходящегося решения. А осуществить механический перенос численных алгоритмов разработанных для решения подобных задач оказывается невозможным [48].

Исследованиями в этом направлении начали заниматься с середины шестидесятых годов, однако анализ имеющихся публикаций показывает, что данную задачу нельзя считать решенной в необходимом объеме. Причиной этому является, в частности отсутствие надежной и обоснованной математической теории решения сильно нелинейных дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами и правыми частями [59]. Ее решение позволит инженерам - разработчикам интегральных схем провести анализ изменения вольтам-перных характеристик в зависимости от профиля результирующей концентрации легирующих примесей и электрофизических параметров полупроводниковых структур. Кроме того, разработанный инструмент можно использовать для решения прикладных задач в областях тепло- и массообмена, при изучении динамики несжимаемой вязкой жидкости и др.

Многочисленные варианты решения такого класса задач разными авторами (Х.К. Гуммель, А. Де Мари, Д.Л. Шарфеттер, Ю.Р. Носов, К.О., Б.Я. Мар-тузан, Б.С. Польский, Е.И. Пертушенко, Н.Х. Эркенов и др.) показали, что точность расчета во многом зависит от выбранных переменных, относительно которых решается преобразованная система уравнений и метода построения расчетных сеток адаптируемых к особенностям поведению решения.

Так, в результате использования монотонных схем А.А.Самарского [45] для преобразованных относительно носителей заряда и плотности тока основных уравнений удается моделировать прямую ветвь вольтамперных характеристик диодных и тиристорных структур для больших плотностей тока [59].

Поэтому, разработка методов построения таких сеток является одной из актуальных проблем связанных с решением дифференциальных уравнений [7]. Такой вопрос возникает при численном исследовании самых различных задач математической физики. Это, прежде всего задачи с негладкими решениями, с пограничными слоями и т.п. [7]. Особенно много таких работ выполнено при решении задач газовой динамики, гидродинамики, диффузии [19].

Первые работы по построению сеток указанного типа появились в шестидесятых годах. Затем в семидесятых - восьмидесятых годах происходило бурное развитие этих идей, которое продолжается в настоящее время. Проблема построения таких сеток и их оптимизация отражена в ряде работ известных авторов (Н.С. Бахвалов, П.Н. Вабищевич, A.A. Самарский, Г.И. Шишкин и др.). Используемые алгоритмы построения расчетной сетки варьируются от очень простых, где используется построенная до расчета сетка с кусочно-равномерным шагом, до достаточно сложных, основанных на минимизации интегральных критериев, характеризующих ошибку решения. Находят применение и составные сетки, получаемые при декомпозиции сложных областей.

Такое многообразие подходов к построению расчетной сетки вызвано тем, что обычные сеточные аппроксимации, не учитывающие характер решения, могут давать большие погрешности, приводящие не только к количественным, но и качественным неточностям.

Общий эвристический принцип адаптации заключается в уменьшении шага сетки в областях наибольшего изменения интересующих характеристик и в его увеличении там, где эти изменения незначительны. При этом выделяется локальный критерий адаптации, по которому осуществляется изменение шага. Наиболее адекватным критерием адаптации представляется оценка локальной погрешности какой-то компоненты решения [24]. Эту компоненту называют ключевой переменной и во всех методах построения адаптирующихся к поведению решения расчетных сеток динамически связанных с решением, стоит проблема ее выбора [19].

Накоплен большой объем исследований специальных разностных схем для решения различных классов сигулярно возмущенных краевых задач, также основанных на построении расчетный сетки. Здесь необходимо отметить работы Шишкина Г.И. разработавшего многие теоретические вопросы решения таких задач [53].

Таким образом, важная практическая и теоретическая значимость задач, недостаточная разработанность теории их решения, явились причиной выбора проблемы исследования: построение динамически адаптирующихся к особенностям поведения решения расчетных сеток для численного моделирования электрофизических процессов в полупроводниковых структурах.

Целью диссертационной работы является разработка математического и программного обеспечения для моделирования электрофизических процессов в полупроводниковых приборах на основе фундаментальной системы уравнений (ФСУ) с использованием динамически адаптирующихся к особенностям поведения решения расчетных сеток.

Поставленная цель и сформулированные проблемы потребовали решения следующих задач: разработку метода построения динамически адаптирующейся к поведению решения расчетной сетки для одномерного нестационарного нелинейного уравнения параболического типа; разработку алгоритма построения динамически адаптирующейся к поведению решения расчетной сетки для системы нелинейных параболических уравнений; построение алгоритма численного решения ФСУ полупроводника; создание комплекса программ, обеспечивающих возможность компьютерного моделирования электрофизических процессов в полупроводниковых приборах.

Научная новизна работы заключается: в формулировке системы уравнений полупроводникового прибора относительно плотности тока и концентраций дырок и электронов; в разработке метода построения динамически адаптирующейся к поведению решения расчетной сетки для одномерного нестационарного нелинейного уравнения параболического типа на основе метода прогонки[18], который благодаря высокой программной технологичности, широко применяется для решения как одномерных, так и многомерных нелинейных задач математической физики; в разработке алгоритма построения динамически адаптирующейся к поведению решения расчетной сетки для решения системы нелинейных параболических уравнений; в разработке специального подхода решения нелинейных дифференциальных уравнений и их систем, обладающих перечисленными выше особенностями, расширяющем возможность численного решения практически важных задач.

Практическая значимость и реализация результатов работы состоит в создании числено-программного инструмента анализа электрофизических процессов и вольтамперных характеристик полупроводниковых приборов в зависимости от профиля результирующей концентрации легирующих примесей и электрофизических параметров полупроводникового материала, который может быть использован на стадии их проектирования.

Полученную модификацию численных методов можно использовать при разработке теоретических основ решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с предельно сложными особенностями: разрывные коэффициенты и правые части, динамически изменяющие пространственное положение точек разрыва и большие диапазоны изменения значений решения (1010ч-10"6) на узком отрезке пространственной переменной.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гурин, Александр Васильевич

Заключение

В диссертационной работе получены следующие теоретические и практические результаты:

1. Получена система дифференциальных уравнений относительно плотности тока и концентраций дырок и электронов описывающая электрофизические процессы в полупроводниковых структурах.

2. Предложены методы построения динамически адаптирующихся к поведению решения расчетных сеток для одномерного нестационарного нелинейного уравнения параболического типа.

3. Метод построения динамически адаптирующейся к поведению решения расчетной сетки с кусочно-равномерным шагом развит для системы нелинейных параболических уравнений. Причем построенная сетка адаптируется к особенностям поведения решения всех неизвестных переменных системы уравнений (имеется возможность адаптировать сетку к любой из этих переменных или их группе).

4. Предложенная методика позволяет эффективно решать системы дифференциальных уравнений в частных производных описывающие процессы в полупроводниковых структурах.

5. Полученные уравнения и предложенный метод построения расчетной сетки позволили выполнить численное моделирование электрофизических процессов в полупроводниковых структурах и анализировать 8 - образную характеристику тиристорных структур.

6. Разработанный комплекс программ позволил в интерактивном режиме, на основе многовариантного анализа, выполнить проектирование вольтамиер-ной характеристики полупроводникового прибора за счет выбора профиля результирующей концентрации легирующих примесей и электрофизических параметров полупроводникового материала

138

7. Предложенные методы построения динамически адаптирующихся к поведению решения расчетных сеток могут быть использованы для численного решения задач с подобными особенностями. Они могут быть основой исследования теоретических основ решения дифференциальных уравнений с предельно сложными особенностями, такими как разрывные коэффициенты и правые части, динамически изменяющие свое пространственное положение, большие диапазоны изменения значений решения (Ю10-ИО"6) на узком отрезке пространственной переменной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гурин, Александр Васильевич, 2002 год

1. Андреев В.Б., Кряквина С.А. О функции источника сеточного оператора Лапласа.//ЖВМиМФ. - 1972. - Т. 12,- №2. - С.364-373.

2. Андреев В.Б., Савин И.А. О равномерной по малому параметру сходимости монотонной схемы A.A. Самарского и ее модификации.//ЖВМиМФ. 1995. - Т.35. - №5. - С.739-753.

3. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя.//ЖВМиМФ. 1969. - Т.9. - №4. С.841-859.

4. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 235с.

5. Березин Б.И., Петухова Н.Ю. Использование асимптотических разложений для построения численных алгоритмов решения сингулярно возмущенных краевых задач.//Фундаментальная и прикладная математика. 1996. - Т.2. -№4. С.1187-1194.

6. Блихер А. Физика тиристоров: Пер. с англ./Под ред. Грехова И. В. Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. - 264 с.

7. Вабищевич П.Н. Адаптивные сетки составного типа в задачах математической физики.//ЖВМиМФ. 1989. - Т.29. - №6. - С.902-914.

8. Вабищевич П.Н. Разностные схемы декомпозиции расчетной области при решении нестационарных задач.//ЖВМиМФ. 1989. - т.29. - №12. - с.1822-1829.

9. Вабищевич П.Н. Численное решение задач с особенностями на локально сгущающихся сетках.//Математическое моделирование. 1995. - Т.7. - №1. С.61-68.

10. Вабищевич П.Н. Численное решение эллиптических краевых задач на составных сетках.//Математическое моделирование. 1991. - Т.З. - №8. -С.112-123.

11. П.Вабищевич П.Н., Чуданов В.В., Чурбанов А.Г. Численное моделирование свободно конвективных течений в сложных областях.//Математическое моделирование. 1996. - Т.8. - №1. - С.103-118.

12. Вабищевич П.П. Адаптивные сетки составного типа в задачах математической физики.//ЖВМиМФ. 1989. - Т.29. - №6. - С.902-914.

13. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем: Пер. с англ. -М.: Радио и связь, 1988. 560 с.

14. Гарицын А.Г. Разработка и исследование функционально-интегрированных элементов памяти с отрицательным сопротивлением для СБИС ЗУ: Авто-реф. дис. канд. техн. наук. Таганрог, 1981. - 29с.

15. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный принцип получения уравнений магнитной гидродинамики в смешанных эйлерово -лагранжевых переменных.//ЖВМиМФ. 1981. - Т.21. - №2. - С.409-422.

16. Турин A.B. Метод построения адаптирующихся сеток для решения задач микроэлектроники. IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Сб. научн. Трудов. Т.2. - 4.1. -Кисловодск 2000. - С.46-48.

17. Турин A.B., Эркенов Н.Х. Адаптирующиеся сетки для решения краевых задач. Материалы второй международной научно-практической конференции "Математическое моделирование в образовании, науке и производстве". -Тирасполь. 2001. С. 100-102.

18. Турин A.B., Эркенов Н.Х. Построение адаптирующейся расчетной сетки при решении краевой задачи методом прогонки. Препринт 140Т. РАН. CAO. Нижний Архыз. - 2001. - 12 С.

19. Демирчан К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. Учебное пособие для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. -М.: «Высшая школа», 1988. 335 с.

20. Дулин В.Н. Электронные приборы. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: «Энергия», 1977. 424 с.

21. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985.- 336 с.

22. Калашников С.Г. Электричество. Учебное пособие. -М: Наука, 1985. 576с.

23. Круглякова Л.В., Неледова A.B., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики (обзор). //Математическое моделирование,-1998,- Т. 10. №3. -С.93-109.

24. Мартузан Б.Я. Польский Б.С. Метод расчета одномерных полупроводниковых структур. Известия академии наук Латвийской ССР. Серия физических и технических наук. 1976. - №4. - С.61-69.

25. Мартузан Б.Я. Польский Б.С. Численное моделирование одномерной биполярной транзисторной структуры. Известия академии наук Латвийской ССР. Серия физических и технических наук. 1976. - №5. - С.75-81.

26. Мартынов Я.Б. Специальный вид граничных условий для системы уравнений низкотемпературной полупроводниковой плазмы.// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. - Т.39. - №2. - С.309-314.

27. Матус П.П. К вопросу построения разностных схем для многомерных параболических уравнений на адаптивно-временных сетках.//Дифференциаль-ные уравнения. 1991. - Т.27. - №11. - С.1961-1971.

28. ЗО.Матус П.П. О разностных схемах на составных сетках для гиперболических уравнений.//ЖВМиМФ. 1994, - Т.34. - №6. - С.870-885.

29. I .Меняйленко В.В., МорозВ.А., Руденко A.A. Задачи и средства математического моделирования технологии кремниевых интегральных схем.//Математическое моделирование. 1992. - Т.4. - №6. - С. 13-26.

30. Мнацаканов Т.Т., Поморцева Л.И., Юрков С.Н. Полуэмпирическая модель подвижности носителей заряда в карбиде кремния для анализа ее зависимости от температуры и легирования.//Физика и техника полупроводников. -2001,- Т.35. №4. - С. 12-15.

31. Мнацаканов Т.Т., Юрков С.Н., Кюрегян A.C., Поморцева Л.И., Тандоев А.Г. Развитие работ в области моделирования мощных полупроводниковых при-боров.//Электричество. 2001. - №9. - С.62-67.

32. Накахаси К., Дейуэрт Дж.С. Автоматический метод построения адаптирующихся сеток и его применение в задачах обтекания профиля./УАэро-космическая техника. 1987. - №12. - С.10-18.

33. Носов Ю.Р., Петросянц К.О. Расчет с помощью ЭЦВМ электрических характеристик одномерных полупроводниковых структур. Электронная техника. Сер.2. Полупроводниковые структуры. 1973. -выпуск 4(76). - С.3-16.

34. Носов Ю.Р., Петросянц К.О., Шилин В.А. Математические модели элементов интегральной электроники. М.: «Сов. Радио», 1976. 304 с.

35. Парферов В.П. Выбор длительности шага при численном интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уравнений.//Электронная техника. Микроэлектроника. 1970. - Вып.4. С.3-10.

36. Першин И.В., Титов В.А., Шишкин Г.И. Экспериментальное определение порядка равномерной сходимости специальных разностных схем.//Математическое моделирование.-1995.-Т.7. №6.- С.85-94.

37. Петрушенко Е.И., Шнередко П.И. Алгоритм расчета равновесного электрического поля в одномерных электронно-дырочных переходах. //Математическое моделирование и теория электрических цепей. 1974. - Вып. 12. -С.93-101.

38. Петрушенко Е.И., Эркенов Н.Х. Алгоритм расчета одномерной биполярной транзисторной структуры методом матрично-скалярных прогонок. Анализ и машинное проектирование электронных цепей. Сб. науч. тр. Киев: «Наукова думка», 1980. С. 176-202.

39. Петрушенко Е.И., Эркенов Н.Х. К расчету переходных процессов в диодах итерационным методом матрично-скалярных прогонок.//Электроника и моделирование. 1977. - №16. - С. 14-20.

40. Петрушенко Е.И., Эркенов НХ. О численном анализе нестационарных процессов в одномерных электронно-дырочных переходах. Докл. АН УССР, Сер.А. 1978. - №4 - С.356-359.

41. Пирогов A.B. Использование численного моделирования для изучения работы полупроводниковых приборов. ЭНИТ-2000. Электронная конференция. http://enit.ulsu.ru/d/045.html

42. Самарский A.A. О монотонных разностных схемах для эллиптических и параболических уравнений в случае несамосопряженного эллиптического оп-реатора.//ЖВМиМФ. 1965. - Т.5. - №3. - С.548-551.

43. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука, 1989.- 616 с.

44. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задач математической физики на нерегулярных сетках.//Математическое моделирование. 2001. - Т.13. - №2. - С.5-16.

45. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980

46. Самарский A.A., Четвертушкин Б.Н. Микроэлектроника как новый объект исследований в прикладной математике.//Вест. Моск. Ун-та, Сер. 15, Вы-числ. математика и кибернетика. 1986. - №3. С.9-20.

47. Тихонов А.Н., Горбунов А.Д. Оценки погрешности методов Рунге-Кутта и выбор оптимальных сеток.//ЖВМиМФ. 1964. - Т.4. - №2. - С.232-242.

48. Хэчтел Г.Д., Джой P.C., Кули Дж.С. Новая программа одномерного анализа для моделирования плоскостных полупроводниковых приборов. В кн. Автоматизация в проектировании. М.: Мир, 1972 - С. 122-135.

49. Шишкин Г.И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых задач с параболическим пограничным слоем пограничным слоем.//ЖВМ иМФ. 1989 - Т.29. - №7. - С.963-977.

50. Шишкин Г.И. Повышение точности решений разностных схем для параболических уравнений с малым параметром при старшей производной.// ЖВМиМФ.-1984. Т.24. - №6. - С.864-875.

51. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных краевых задач для систем эллиптических и параболических уравнений.//ЖВМиМФ. 1995. - Т.35. - №4. - С.542-564.

52. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных краевых задач в невыпуклой области с кусочно-гладкой границей.// Математическое моделирование. 1999. - Т. 11. - №11. - С.75-88.

53. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных краевых задач на локально переизмельчаемых сетках. Уравнения реакции-диффузии.// Математическое моделирование. 1999. - Т.П. - №12. - С.87-104.

54. Эркенов Н.Х., Гурин A.B. Автоматическое построение сетки для расчета полупроводниковых структур.//Техшчна електродинамка. Тематичный ви-пуск. "Проблеми сучасно! електротехн1ки".-Ч.8.-Ки1В-2000.-С.19-22.

55. Эркенов Н.Х., Гурин A.B. Адаптирующаяся сетка для расчета равновесного электрического поля в р-п переходах. Электромеханика 2000.-№4.-С.19-22.

56. Эркенов Н.Х., Гурин A.B. Моделирование S характеристики тиристора. Фракталы в науке, производстве и обществе. Сб. трудов научно-практической конф., посвященной 275-летию РАН. Черкесск, Нижний Ар-хыз. 1999. -С.143-148.

57. Arandjelovic V. General iterative scheme for one-dimensional calculations of steady-state electrical properties of transistors.// International journal of electronics. 1969. - V.27. - №5. - P.459-479.

58. De Mari A. An accurate numerical one-dimensional solution of the p-n junction under arbitrary transient conditions.// Solid-State Electronics.-1968.-V.l 1,-P.l021-1053.

59. De Mari A. An accurate numerical steady state solution of the p-n junc-tion.//Solid-State Electronics. 1968. V. 11. - P.33-58.

60. Gokhale B.V. Numerical solutions for a one-dimensional silicon n-p-n transis-tor.//IEEE Trans/ Electron Devices. 1970. - V.ED-17. Aug. - P.594-602.

61. Gummel H.K. A self consistent scheme for one-dimensional steady state transistor calculations.//IEEE Trans. Electron Devices.-1964.-V.ED-1 l.Oct.- P.455-465.

62. Hopfel R.A., Shah J., Wolff P.A., Gossard A.C. Negative absolute mobility of electrons in n-doped GaAs quantum wells.//Appl. Phys. Lett.-1986.-V.49.- №10.

63. Hopfel R.A., Shah J., Wolff P.A., Gossard A.C. Negative absolute mobility of electrons in p-doped GaAs quantum wells.//Phys. Rev. Lett.-1986.- V.56.- №25.

64. Levinshtein M.E., Mnatsakanov T.T., Ivanov P.A. et. al. Paradoxes of carrier lifetime measurements in high-voltage SiC diodes.//IEEE Trans. Electron Devices. 2001. V.48. - №8.

65. Martynov Y.B., Tager A.S. Isothermal electric breakdown in MESFET's and MODFET's.//19th Workshop on Compound Semiconductor Devices and Integrated Circuits. Stockholm, Sweden. -1995. -May 21-24.

66. Scharfetter D.L. and Gummel H.K. Large signal analysis of a silicon read diode oscillator.//IEEE Trans. Electron Devices. 1969. - V. ED-16, Jan. - P.64-77.