Математическое моделирование на параллельных вычислительных архитектурах динамики элементов устройств, стабилизирующих стартовую траекторию реактивно движимых объектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Мельничук Дмитрий Вадимович

• Мельничук Дмитрий Вадимович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Мельничук Дмитрий Вадимович

ВВЕДЕНИЕ

Математические модели управляемых комбинированных динамических систем 5 Постановка задачи исследования

1 Методы моделирования управляемых КДС

1.1 Динамические модели КДС

1.2 «Быстрый» алгоритм проверки устойчивости и адаптивный алгоритм параметрического синтеза

1.3 Условия аналитичности характеристического и возмущающих квазимногочленов

1.4 Метод многих масштабов и анализ управляемых КДС со слабой нелинейностью и нестационарностью

1.5 Параметрический синтез семейства линеаризованных моделей управляемых КДС и его адаптивный вариант

1.6 Проекционный метод Галеркина

1.7 Расширенный алгоритм моделирования устойчивости

1.8 «Быстрый» алгоритм вычисления матрицы Якоби

2 Параллельные алгоритмы компьютерного моделирования управляемых КДС

2.1 Паттерн MAP-REDUCE и реализация паттерна MPI-MAP для кластерных систем

2.2 Обобщение MPI-MAP

2.3 Параллельный алгоритм параметрического синтеза

2.4 Параллельный алгоритм параметрического синтеза семейства управляемых КДС

2.5 Параллельный алгоритм моделирования влияния типовых нелинейностей и нестационарности на выходные вектор-функции КДС

2.6 Параллельный алгоритм моделирования переходных процессов

2.7 Распараллеливание «быстрого» алгоритма моделирования устойчивости

3 Моделирование, анализ и синтез системы угловой стабилизации подвижного объекта управления

3.1 Комбинированная динамическая модель нелинейной системы стабилизации

3.2 Исследование устойчивости и параметрический синтез системы стабилизации

объекта в направлении вертикали

3.3 Анализ устойчивости системы стабилизации объекта относительно продольной оси

3.4 Моделирование выходных вектор-функций нелинейной КДС на основе метода Галеркина

3.5 Области устойчивости, параметрический синтез и переходные функции системы стабилизации объекта в направлении вертикали

3.6 Области устойчивости системы стабилизации объекта относительно продольной оси

3.7 Моделирование эффективности нелинейной системы стабилизации в направлении вертикали

3.8 Параметрический синтез и переходные функции семейства линеаризованных систем стабилизации в направлении вертикали

3.9 Моделирование эффективности нелинейной нестационарной системы стабилизации в направлении вертикали

3.10 Моделирование нелинейной нестационарной системы стабилизации

относительно вертикали и продольной оси

4 Анализ устойчивости и моделирование динамики сферического гидродинамического подвеса

4.1 Нелинейная комбинированная динамическая модель сферического гидродинамического подвеса

4.2 Уравнения равновесного состояния

4.3 Исследование устойчивости

4.4 Моделирование влияния типовых нелинейностей

4.5 Качественный анализ модели равновесного сосотяния

4.6 Качественный анализ линеаризованной модели поддерживающего слоя

4.7 Алгоритмы численного моделирования переходных процессов и равновесного состояния

4.8 Алгоритмы численного интегрирования линейных краевых задач для поддерживающего слоя

4.9 Асимптотическое интегрирование линейных краевых задач для поддерживающего слоя в высокочастотной области

4.10 «Быстрые» алгоритмы численного интегрирования упрощенных линейных задач для давления в поддерживающем слое

4.11 Эффект центирования подвеса

4.12 Устойчивость подвеса на кривой подвижного равновесия

4.13 Влияние типовых нелинейностей на выходные вектор-функции подвеса 127 5 Анализ эффективности параллельных алгоритмов

5.1 Эффективность параллельных алгоритмов моделирования КДС на симметричных мультипроцессорных системах с общей памятью

5.2 Эффективность параллельных алгоритмов моделирования КДС на кластерных системах с распределенной памятью

5.3 Эффективность параллельных алгоритмов моделирования КДС на вычислительных системах с сопроцессорами-ускорителями Intel Xeon Phi

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Дополнительные формулы и алгоритмы

A.1. Псевдокод паттерна MPI-MAP

A.2. Псевдокод расширенного аналога MPI-MAP

A.3. Численная реализация линейных краевых задач

А.4. Асимптотическое интегрирование на основе ВКБ-приближения

A.5. Реализация проекционного метода Галеркина

А.6. Модельные уравнения вспомогательной линеаризованной КДС и их

дискретизация

А.7. Свойства скалярных и векторных полей в сферических координатах

А.8. Численное моделирование переходных процессов для подвеса со сжимаемой

жидкостью

А.9. Расчет матрицы Якоби для подвеса с вязкой сжимаемой жидкостью

А.10. Численное моделирование переходных процессов для подвеса с

несжимаемой жидкостью

А.11. Вычисление матрицы Якоби для упрощенной модели сферического

гидродинамического подвеса

А.12. Аналог ньютонова потенциала для уравнения Гельмгольца

А.13. Преобразование сферических координат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование на параллельных вычислительных архитектурах динамики элементов устройств, стабилизирующих стартовую траекторию реактивно движимых объектов»

ВВЕДЕНИЕ

Математические модели управляемых комбинированных

динамических систем

Современные технические системы содержат объекты управления с сосредоточенными по пространству параметрами (ОУСПП) и динамически связанные с ними через граничные поверхности объекты управления с распределенными по пространству параметрами (ОУРПП). Их математическими модели представляют собой системы связанных посредством граничных условий (ГУ) и условий связи (УС) обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных (УЧП) при соответствующих начальных условиях (НУ). В работах [1, 2] К.П. Андрейченко и Д.К. Андрейченко данный класс математических моделей назван комбинированными динамическими системами (КДС). Структурная схема КДС представлена на рис. 1.

Ранее математические модели в форме КДС эффективно использовались при моделировании ряда технических систем. Основные теоремы об устойчивости линейных и линеаризуемых КДС сформулированы и доказаны в [1, 2]. Детальное исследование устойчивости чувствительного элемента гидродинамических гироскопов и акселерометров - цилиндрического гидродинамического подвеса выполнено в работе [3], исследование устойчивости неконсервативной КДС - в [4]. Применительно к численному моделированию выходных вектор-функций линейных и линеаризованных КДС в работе [5] предложен эффективный алгоритм численного обращения одностороннего интегрального преобразования Лапласа. Моделирование областей устойчивости систем стабилизации спутников с упруго деформируемыми элементами конструкций выполнено в [6], и применительно к КДС там предложен аналог метода Э-разбиений [7]. Параметрический синтез систем стабилизации спутников с упруго деформируемыми элементами конструкций выполнен в работах [8, 9]. В общем виде алгоритм параметрического синтеза управляемых КДС развит в работах [2, 8]. Моделирование областей устойчивости и параметрический синтез гироскопических интеграторов линейных ускорений с плавающей платформой выполнено в [10], автономных систем угловой стабилизации реактивных сна-

Щ

УС

ОДУ

НУ

учп

ГУ

-КДС|

Рисунок 1 - Структурная схема КДС

рядов залпового огня - в работах [11, 12, 13, 14], быстродействующих манипуляторов с облегченными упругими звеньями - в работах [9, 15, 16, 17, 18, 19]. Параметрический синтез семейства линеаризованных моделей КДС предложен в работах [14, 13]. Численное моделирование переходных процессов в нелинейных КДС при помощи дискретизации по независимым пространственным переменным на основе проекционного метода Галеркина уравнений в частных производных, моделирующих динамику ОУРПП, и дальнейшего численного интегрирования задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (достаточно большой размерности) выполнялось в [2, 9, 19, 20, 21]. Строгое исследование методами теории КДС устойчивости периодических автоколебаний (предельных циклов) в нелинейной газореактивной системе стабилизации спутников с упруго деформируемыми элементами проведено в [22, 23].

В диссертационной работе рассмотрены две математические модели подобных технических систем: нелинейная система стабилизации подвижного объекта управления (ракеты с учетом упругих деформаций ее корпуса) [24, 25, 26] и сферический гидродинамический подвес, являющийся чувствительным элементом ряда гироскопов гидродинамического типа [27].

Аналогично [1, 2, 3, 8, 9, 6, 11, 12, 13, 14], [10, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23], в диссертационной работе рассматриваются КДС с кусочно-непрерывной входной вектор-функцией х:М—,х(^)=(ж1(^),...,жЛг1(^))т и непрерывной выходной вектор-функцией у:М—»М^ , . Здесь £ - время, а компонентами выходной вектор-функции у(Ь) являются обобщенные координаты и обобщенные скорости ОУС1111 (либо некоторое их подмножество). На рис. 1 г—(г, ,...тЛ-; )7 €ЖЛ'' -набор независимых пространственных координат, идентифицирующих индивиду-альнуюточку ОУРПП, и(г,£)=(п1(г,£),п2(г,£),...,'мЛГа(г^))т -распределенная выходная вектор-функция, характеризующая движение ОУРПП, Ь(Ь) - величины, входящие в условия связи. Например, компонентами вектора и могут быть поля перемещений и скоростей индивидуальных точек ОУРПП, а компонентами вектора Ь - силы и моменты сил, действующие со стороны ОУРПП на ОУСПП.

К элементам управляемых КДС прикладываются управляющие воздействия, зависящие от компонент выходной вектор-функции и параметров обратных связей р—(р1,...,рМр)теШмр, и обычно они действуют на ОУСПП. Аналогично [1, 2, 8, 9, 6, 11, 12, 13, 14, 10], [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23], в диссертационной работе

предполагается, что в исходной математической модели КДС от параметров обратных связей р зависят лишь обыкновенные дифференциальные уравнения (рис. 1). Влияние типовых нелинейностей и возможную нестационарность КДС с точки зрения теории автоматического управления [7, 15, 28] характеризуют параметры (|11,...,|1ЛГ|| (рис. 1). Параметр ц характеризует нелинейность, связанную

с амплитудой изменения входной вектор-функции.

Постановка задачи исследования

Актуальность темы. Системы управления подвижными объектами с деформируемыми элементами конструкции ранее рассматривались в работах многочисленных авторов, в частности, в [24, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36]. В данных работах выполнялась априорная дискретизация по независимым пространственным переменным моделирующих динамику упруго деформируемых объектов уравнений в частных производных и их замена обыкновенными дифференциальными уравнениями. В ряде случаев это приводит к «проблеме переуправления» и генерации колебаний по неучтенным формам [37]. В отдельных случаях для систем с линейными стационарными ОУСПП и ОУРПП удается найти функции Ляпунова [38, 39], однако это не позволяет детально исследовать конфигурацию областей устойчивости в пространстве параметров обратных связей. Более того, области устойчивости системы стабилизации ракет относительно вертикали характеризуются малой протяженностью в пространстве параметров обратных связей. Следовательно, аналогично [40, 41, 36, 24], актуальны задачи построения комбинированной динамической модели системы стабилизации подвижного объекта управления (ракеты с учетом деформаций ее корпуса), исследования областей устойчивости в пространстве параметров обратных связей, параметрического синтеза системы стабилизации и компьютерного моделирования влияния типовых нелинейностей и нестационарности на выходные функции КДС.

Гироскопические приборы служат основой построения систем инерциальной навигации [42]. Задачи гидродинамики и гидроупругости гироскопа с цилиндрическим подвесом гидростатического типа исследованы в [43, 27, 44, 45, 46]. Типичным примером КДС являются гидродинамические подвесы [27, 3, 47, 48], представляющие собой чувствительные элементы высокоперегрузочных гидродинамических гироскопов. Ранее при умеренных значениях колебательного числа Рейноль-дса на основе метода осреднения профиля скорости жидкости по толщине поддер-

живающего слоя [49] был сделан вывод о том, что сферический гидродинамический подвес с «легким» внутренним телом устойчив в малой окрестности центрального положения. Аналогично в [48] исследован эффект влияния переменной скорости вращения сферического гидродинамического подвеса с неполной заливкой на аксиальное центрирующее усилие. В работе [3] методами теории КДС строго показано, что цилиндрический гидродинамический подвес с «легким» внутренним телом достаточно быстро центрируется при возрастании колебательного числа Рей-нольдса, и при возрастании внешней нагрузки остается устойчив вплоть до значительных относительных эксцентриситетов. Экспериментальные данные [27] подтверждают эти эффекты для сферического гидродинамического подвеса, однако их теоретичекое объяснение требует детального компьютерного моделирования на основе теории КДС. Также, в отличие от работ [50, 51], требуется учесть угловые вибрации корпуса прибора, разность моментов инерции ротора (внутренней сферы). В измерителях угловых перемащений обычно используются маловязкие жидкости [27, 48] (фреоны), в которых скорость звука значительно меньше [52], чем в большинстве капельных жидкостей. Следовательно, аналогично [53, 54], требуется учесть малую сжимаемость вязкой жидкости в поддерживающем слое. При построении математической модели подвеса следует учитывать, что неограниченное возрастание колебательных чисел Рейнольдса приводит к существенному увеличению влияния кориолисовых сил инерции на динамику вязкой несжимаемой жидкости, вплоть до отрыва колебательного пограничного слоя в некоторых узких областях [55, 56, 57, 58, 59, 60, 61]. С другой стороны, конвективная нелинейность может дестабилизировать течение Куэтта в слоях между вращающимися сферами [62, 63, 64, 65, 66, 67, 68] лишь в случае, когда существенно отличаются их угловые скорости. Также моделирование демпфирующих свойств подвеса требует по возможности более полного учета влияния сил инерции [69, 48]. В большинстве работ, посвященных исследованию течений вязкой жидкости между сферами, по существу рассматриваются случаи концентричного расположения сфер [64, 65, 66, 67, 68, 62, 63, 55, 56, 57], [58, 59, 60, 61], однако, аналогично [3], сферический гидро-диноамический подвес может быть устойчив и при значительных относительных эксцентриситетах взаимного расположения внешней и внутренней сфер. Следовательно, актуальна задача построения комбинированной динамической модели сферического гидродинамического подвеса и моделирования его устойчивости при различных относительных эксцентриситетах, а также моделирования влияния не-линейностей на выходные функции подвеса.

Высокая вычислительная сложность задач компьютерного моделирования КДС требует применения адаптивных алгоритмов численного анализа. Как следствие, при распараллеливании вычислений требуется выполнять динамическую балансировку вычислительной нагрузки между процессорами по схеме «менеджер-исполнители» («manager-worker scheme») [70, 71, 72]. Это также необходимо, если пользователю выделяются узлы кластерной системы с различными характеристиками. Стандартные средства реализации схемы «менеджер-исполнители» имеются в основанных на многопоточности технологиях параллельного программирования [73, 74] (OpenMP, Microsoft Concurrency Runtime), но отсутствуют в современном стандарте технологии MPI [75], используемой на кластерных системах с распределенной памятью. При разработке параллельных алгоритмов часто применяется паттерн параллельной обработки данных MAP-REDUCE [74]. На первом этапе (MAP) выполняется поэлементное преобразование одной последовательности в другую. На втором этапе (REDUCE) выполняется свертка преобразованной последовательности при помощи ассоциативной операции. При моделировании КДС этап MAP является наиболее трудоемким. Требуется реализовать паттерн распараллеливания MPI-MAP с динамической балансировкой вычислительной нагрузки по схеме «менеджер-исполнители».

«Быстрый» алгоритм моделирования устойчивости КДС основан на теореме об устойчивом квазимногочлене [1, 2] и требует аналитичности характеристического и возмущающего квазимногочленов КДС правее мнимой оси и в ее окрестности. При решении конкретных задач методами асимптотического интегрирования [76] показано, что данное условие выполняется в высокочастотной области [77, 78, 3, 12], а в низкочастотной области оно проверяется численно [79, 80]. Требется развитие критерия аналитичности характеристического и возмущающего квазимногочленов КДС в высокочастотной области.

Параметрический синтез [1, 2, 10, 8, 81, 82, 15, 83], т.е. выбор значений параметров обратных связей управляемой КДС в пределах области устойчивости, обеспечивающих требуемое качество переходного процесса, основан на минимизации среднеквадратичного отклонения вещественной частотной характеристики (ВЧХ) проектируемой системы от «желаемой» ВЧХ. Это справедливо и для параметрического синтеза семейства линеаризованных моделей КДС [2, 81, 82, 14, 13]. Необходимо развить адаптивные варианты параметрического синтеза, связанные с внесением в пространство параметров оптимизации параметров «желаемой» частотной характерстики, которые будут более эффективны для случая малой протяженности

областей устойчивости в пространстве параметров обратных связей. Также требуется теоретически обосновать на основе асимптотического метода многих масштабов [76] факт стабилизации нелинейной нестационарной управляемой КДС на основе параметрического синтеза по линеаризованной модели [2, 9].

Из теории автоматического управления известно, что разомкнутая система может быть неустойчивой, а замкнутая - устойчивой, и это учитывается в критерии Найквиста [28]. Т.е. устойчивая КДС может содержать неустойчивый ОУРПП [27]. Актуально развитие частотного критерия устойчивости КДС, учитывающего данный эффект, и сравнение его трудоемкости с «быстрым» алгоритмом проверки устойчивости.

Разработке параллельных алгоритмов предшествует этап минимизации асимптотической сложности их последовательных аналогов [70, 71, 72]. Оптимизация алгоритмов компьютерного моделирования КДС требует использовать предварительное асимптотическое интегрирование соответствующих модельных краевых задач. В частности, необходимо выполнить асимптотическое интегрирование нелинейных краевых задач для моделирования равновесного состояния сферического гидродинамического подвеса и линеаризованных задач возмущенного движения в изображениях Лапласа для расчета передаточных функций поддерживающего слоя жидкости.

Численное интегрирование нелинейных краевых задач для моделирования равновесного состояния и линейных краевых задач для вычисления передаточных функций ОУРПП выполняется на основе проекционного метода Галеркина [2, 80].

На основе проекционного метода Галеркина [2, 80] численное моделирование переходных процессов в нелинейных КДС сводится к численному интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно большой размерности на основе «жестко устойчивых» адаптивных методов переменного шага и порядка [84, 85]. При этом наибольшие затраты времени связаны с вычислением матрицы Якоби правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Требуется развить «быстрый» алгоритм вычисления матрицы Якоби, основанный на применении проекционного метода Галеркина к соответствующей линеаризованной КДС.

Скалярные произведения проекционного метода Галеркина могут быть вычислены независимо, т.е. параллельно, и актуальна задача разработки паралелль-ных алгоритмов моделирования динамики и устойчивости КДС.

После исследования устойчивости сферического гидродинамического подвеса и параметрического синтеза нелинейной системы стабилизации подвижного

объекта (ракеты с учетом деформаций ее корпуса) требуется выполнить численное моделирование выходных вектор-функций в исходной нелинейной КДС для ряда безразмерных параметров, характеризующих влияние типовых нелинейностей и нестационарности, и изменяющихся с дискретным шагом в пределах заданных диапазонов. Для различных наборов параметров численное интегрирование модельных уравнений КДС может быть выполнено независимо, т.е. параллельно. С точки зрения математического моделирования КДС, (теоретически) бесконечномерное фазовое пространство объектов управления с распределенными по пространству параметрами является изолированным (рис. 1), и при реализации на кластерной системе это позволяет минимизировать обмен информацией между параллельно выполняющимися процессами.

И при выполнении параметрического синтеза, и при моделировании влияния типовых нелинейностей наиболее трудоемкие операции аналогичны этапу MAP паттерна MAP-REDUCE. Актуальна разработка параллельных алгоритмов параметрического синтеза и моделирования влияния типовых нелинейностей на выходные функции вектор-функции КДС, оптимизированных для современных высокопроизводительных параллельных вычислительных архитектур. В частности, на кластерных системах это может быть реализовано на основе паттерна MPI-MAP с «двухслойной» схемой распараллеливания вычислений.

Целью работы является построение математических моделей, анализа и оптимизации параметров системы, стабилизирующей подвижный объект (ракету) на стартовой траектории с учетом деформаций его конструкции, а также сферического гидродинамического подвеса, и применения современных парал-лельных вычислительных технологий. Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Построить математические модели в форме КДС для системы стабилизации подвижного объекта управления (ракеты с учетом деформаций ее корпу-са) и сферического гидродинамического подвеса (с полным учетом зависимости поля скоростей поддерживающего слоя от радиальной координаты).

2. Разработать программную реализацию распараллеливания вычислений с динамической балансировкой вычислительной нагрузки на кластерных системах с распределенной памятью.

3. Для математических моделей в форме КДС разработать и теоретически обосновать критерии аналитичности характеристического и возмущающего квазимногочленов как функций параметра преобразования Лапласа, а также «рас-ши-ренный» алгоритм моделирования устойчивости.

4. Обосновать возможность стабилизации нелинейной управляемой КДС на основе параметрического синтеза по линеаризованной модели и разработать адаптивные алгоритмы параметрического синтеза.

5. Для моделирования переходных процессов в нелинейных КДС обосновать и разработать «быстрый» алгоритм вычисления матрицы Якоби.

6. Для управляемых КДС разработать параллельные алгоритмы и программный комплекс моделирования устойчивости, параметрического синтеза и моделирования влияния типовых нелинейностей на выходные вектор-функции.

7. Исследовать эффективность разработанного программного комплекса на современных параллельных вычислительных системах.

Объектом исследования являются современные технические системы, содержащие динамически связанные объекты управления с сосредоточенными и распределенными по пространтсву параметрами (система стабилизации подвижным объектом управления, сферический гидродинамический подвес).

Предметом исследования являются математические модели подобных технических систем в форме КДС, методы моделирования динамики и устойчивости КДС, методы параметрического синтеза КДС, а также алгоритмы компьютерного моделирования КДС.

Методы исследования. В работе использованы методы теории интегральных преобразований, теории функций комплексной переменной, функционального анализа, качественные и численные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, оптимизации, уравнений математической физики.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задач, а также применением апробированных методов качественного и численного анализа математических моделей.

Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:

1. Построена математическая модель в форме КДС для системы стабилизации подвижного объекта управления, отличающаяся от известных учетом упругих деформаций корпуса ракеты, и математическая модель в форме КДС для сферического гидродинамического подвеса, отличающаяся от известных полным учетом зависимости поля скоростей поддерживающего слоя жидкости от радиальной координаты, а также более полным учетом инерционных свойств ротора и сил вязкого трения в поддерживающем слое, что позволяет более полно моделировать динамику и устойчивость данных систем (соответствует п. 1 паспорта специальности 05.13.18).

2. Для математических моделей в форме КДС разработаны: критерии ана-

литичности характеристического и возмущающих квазимногочленов как функ-ций параметра преобразования Лапласа, «расширенный» алгоритм моделирова-ния устойчивости, «быстрый» алгоритм вычисления матрицы Якоби, что позво-ляет существенно сократить трудоемкость алгоритмов моделирования динамики и устойчивости КДС (соответствует п. 1 паспорта специальности 05.13.18).

3. Показано, что применение в системе управления пропорционально-ин-тегрирующе-дифференцирующих (ПИД) регуляторов позволяет эффективно стабилизировать подвижный объект относительно вертикали, а использование пропорционально-дифференцирующих (ПД) регуляторов позволяет подавить вращение объекта относительно продольной оси. Для уменьшения времени переходных процессов в системе стабилизации на основе соответствующего выбора параметров обратных связей разработаны и теоретически обоснованы адаптивные алгоритмы параметрического синтеза, более эффективные для случая малой протяженности областей устойчивости в пространстве параметров обратных связей. Подтверждена вычислительным экспериментом их эффективность для стабилизации исходной нелинейной системы (соответствует п. 3 паспорта специальности 05.13.18).

4. По результатам численного и асимптотического интегрирования соответствующих нелинейных краевых задач показано быстрое центрирование сфе-ри-ческого гидродинамического подвеса с «легким» внутренним телом с ростом колебательного числа Рейнольдса. Подвес с легким внутренним телом устойчив в большом диапазоне изменения относительного эксцентриситета, и при изме-нении перегрузок на величину порядка десятка ускорений свободного падения переходит из одного равновесного состояния в другое. Подвес с «тяжелым» внутренним телом неустойчив. Показано, что при вычислении передаточных функций поддерживающего слоя переход в высокочастотной области от непосредственного численного решения соответствующих линейных краевых задач к их асимптотическому интегрированию значительно снижает трудоемкость алгоритмов моделирования устойчивости КДС (соответствует п.п. 2, 3 паспорта специальности 05.13.18).

5. По результатам компьютерного моделирования исследовано влияние параметров, характеризующих нелинейность и нестационарность системы с точки зрения теории управления, на выходные вектор-функции КДС. Показано, что наибольшее влияние на ошибки системы стабилизации оказывают нелинейность типа насыщения в системе управления и плавное изменение силы тяги ракетного двигателя (соответствует п. 3 паспорта специальности 05.13.18).

6. На основе стандартных средств технологии параллельного программи-

рования MPI разработана программная реализация распараллеливания вычислений с динамической балансировкой вычислительной нагрузки на кластерных системах с распределенной памятью (соответствует п. 4 паспорта специальности 05.13.18).

7. Для математических моделей управляемых объектов в форме КДС разработаны параллельные алгоритмы моделирования устойчивости, моделирования переходных процессов, параметрического синтеза и моделирования влияния типовых нелинейностей на выходные вектор-функции, и показано их масштабирование по числу процессоров (ядер) (соответствует п.п. 3, 4 паспорта специальности 05.13.18).

Научная и практическая значимость. Тематика работы обусловлена выполнением исследований по Международному научно-образовательному проекту Tempus-GreenCo (код проекта GREENCO-530270-Tempus-1-2012-1-UK-Tempus-JPCR), раздел «Оптимизация алгоритмов для кластерных систем» и по гранту РФФИ «Математические модели и параллельные алгоритмы компьютерного моделирования комбинированных динамических систем» (проект РФФИ 19-37-90017). Теоретическая значимость работы связана с обоснованием методов можелирова-ния динамики, устойчивости и параметрического синтеза управляемых КДС, а также с созданием и оптимизацией параллельных алгоритмов численного моделирования управляемых КДС. Предложенные методы могут быть использованы при проектировании гидродинамических гироскопов, а также систем управления подвижными объектами с деформируемыми конструкциями. Результаты диссертации используются в лекционных материалах для магистрантов направления 02.04.04 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и аспирантов направления 09.06.01 «Информатика и вычислительная техника».

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты:

1. Математические модели КДС для системы стабилизации подвижного объекта управления (ракеты с учетом деформаций ее корпуса) и сферического гидро-динамического подвеса.

2. Критерии аналитичности характеристического и возмущающих ква-зим-ногчленов, «расширенный» алгоритм моделиро-вания устойчивости КДС, «быстрый» алгоритм вычисления матрицы Якоби, и соответствующие теоремы.

3. Адаптивные алгоритмы параметрического синтеза и эффективность ста-билизации исходной нелинейной системы на их основе.

4. Результаты качественного анализа и численного моделирования устой-

чивости и нелинейной динамики сферического гидродинамического подвеса.

5. Параллельные алгоритмы моделирования устойчивости, параметрического синтеза и моделирования влияния типовых нелинейностей на выходные вектор-функции КДС.

6. Проблемно-ориентированный комплекс программ моделирования устойчивости, нелинейной динамики и параметрического синтеза управляемых КДС.

Апробация работы. Работа докладывалась на Международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (Саратов, СГУ имени Н.Г. Чернышевского, 30 июня - 3 июля 2014, 30 июня - 2 июля 2016 гг., 2-3 июля 2018 г. и 18 - 20 ноября 2021 г.), на XXI Всероссийской научно-методической конференции "Телематика'2014" (Санкт-Петербург, 2014 г.), на Международных конференциях «XVIII, XIX, XX и XXI Международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения»» (Саратов, 27 января - 3 февраля 2016 г., 29 января - 2 февраля 2018 г., 28 января - 1 февраля 2020 г., 31 января - 4 февраля 2022 г.), на IV, V и VI Международных научных конференциях «Проблемы управления, обработки и передачи информации (УОПИ-2015, У0ПИ-2017 и УОПИ-2018)» (Саратов, СГТУ имени Гагарина Ю.А., сентябрь 2015 г., сентябрь 2017 г. и декабрь 2018 г.), на Международной научной конференции «Актуальные проблемы автоматизации и управления в технических и организационных системах (АПАУ-2016)» (СГТУ имени Гагарина Ю.А., 18 - 21 октября 2016 г.), на Международной научной конференции «13rd Spring/Summer Young Researchers' Colloquium on Software Engineering (SYRCoSE 2019)» (Саратов, 29-31 мая 2019 г.), на XVIII Международной научной конференции им. А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2019)», на VII Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии в образовании» (Саратов, СГУ имени Н.Г. Чернышевского, 2015 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мельничук Дмитрий Вадимович, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андрейченко, Д.К. К теории комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2000. -№ 3. - С. 54-69.

2. Андрейченко, Д.К. Моделирование, анализ и синтез комбинированных динамических систем. Учебное пособие / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко. -Саратов: Райт-Экспо. - 2013. - 144 с.

3. Андрейченко, Д.К. К теории устойчивости цилиндрического гидродинамического подвеса / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2009. - .№1. - С. 13-26.

4. Андрейченко, Д.К. Динамическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы / . Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Т.Ю. Петрова // Прикладная математика и механика. - 2004. - Т. 68. - Вып. 5. - С. 776-783.

5. Андрейченко, Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа / Д.К. Андрейченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2000. - Т. 40. - № 7. - С. 1030-1044.

6. Андрейченко, Д.К. К теории стабилизации спутников с упругими стержнями / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Изв. РАН. Теория и системы управления. -2004. - № 6. - С. 150-163.

7. Неймарк, Ю.И. Динамические процессы и управляемые системы/ Ю.И. Неймарк // М.: Наука. - 1978. - 336 с.

8. Андрейченко, Д.К. Выбор параметров систем и динамический анализ газореактивных систем стабилизации с упругими стержнями / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2012. - № 4. - С. 101-114.

9. Комарова, М.С. Моделирование, анализ и синтез управляемых комбинированных динамических систем: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Комарова Мария Сергеевна. - Саратов. - 2012. - 167 с.

10. Андрейченко, Д.К. Динамический анализ и выбор параметров модели гироскопического интегратора линейных ускорений с плавающей платформой / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2008. -№ 4. - С. 76-89.

11. Андрейченко, Д.К. К теории автономных систем угловой стабилизации реактивных снарядов залпового огня / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2009. - № 3. - С. 141-156.

12. Андрейченко, Д.К. К устойчивости системы угловой стабилизации вращающегося упругого стержня под действием продольного ускорения / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, В.В. Кононов // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2013. - № 5. - С. 12-25.

13. Андрейченко, Д.К. Параллельный алгоритм параметрического синтеза системы угловой стабилизации вращающегося упругого стержня под действием продолного ускорения / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, В.В. Кононов // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2017. - № 2. - С. 22-37.

14. Андрейченко, Д.К. Параллельный алгоритм вычисления оптимальных параметров одноканальной системы угловой стабилизации / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, В.В. Кононов // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2013. - Т. 13. - Вып. 4. - Ч. 1. - С. 109-117.

15. Андрейченко, К.П. Динамическое моделирование манипулятора с гибкой рукой / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1996. - № 3. - С. 94-100.

16. Андрейченко, Д.К. Параметрический синтез системы управления гибким манипулятором / Д.К. Андрейченко, К.С. Сперанский // Вестник СГТУ. - 2007. - № 4.

- Вып. 1. - С. 93-99.

17. Андрейченко, Д.К. Области устойчивости и параметрический синтез плоского двухзвенного манипулятора с упругими звеньями / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, А.В. Боровский // Доклады Академии военных наук. - 2011. - № 5 (49).

- С. 14-21.

18. Андрейченко, Д.К. Параллельный алгоритм параметрического синтеза управляемых комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Компьютерные науки и информационные технологии. Материалы научной конференции. - Саратов: СГУ. - 2012.- С. 22-25.

19. Андрейченко, Д.К. Параллельный алгоритм моделирования выходных вектор-функций нелинейных комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, М.С. Комарова, А.А. Ерофтиев // Доклады Академии военных наук. -2013. - № 3 (58). - С. 15-24.

20. Андрейченко, Д.К. Устойчивость и предельные циклы системы стабилизации спутника с упругим стержнем и газореактивными двигателями с постоянным временем запаздывания / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Авиакосмическое приборостроение. - 2005. - № 2. - С. 11-17.

21. Андрейченко, Д.К. Моделирование влияния запаздывающего аргумента в

нелинейной газореактивной системе стабилизации спутника с упругим стержнем и закрепленным на его конце телом / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, В.С. Шорин, С.Г. Наумов // Вестник СГТУ. - 2005. - № 3. - С. 17-27.

22. Андрейченко, Д.К. Об устойчивости предельных циклов в системах стабилизации спутников с упругими стержнями / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Изв. РАН. Теория и системы управления 2007. - № 5. - С. - 137-149.

23. Андрейченко, Д.К. Аналог метода Хилла в задачах устойчивости периодических решений нелинейных дискретно-континуальных систем / Д.К. Андрейченко // Вестник СГТУ. - 2006. - № 2. - С. 6-15.

24. Jiali, T. Modeling and Simulation of a Flexible Inverted Pendulum System / Tang Jiali, Ren Gexue // Tshinghua Science and Technology. - 2009 - Vol. 14. - №2 S2. - Pp. 22-26.

25. Андрейченко, Д.К. Адаптивный алгоритм параметрического синтеза комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Д.В. Мельничук, М.С. Портенко // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2016. - Т. 16. - Вып. 4. - С. 465-475.

26. Melnichuk, D.V. Modeling Nonlinear Stabilization System on Clusters with Intel Xeon Phi Coprocessors / D.V. Melnichuk // Труды ИСП РАН. - 2019. - Т. 31. - Вып. 3. -С. 229-240.

27. Андрейченко, К.П. Динамика поплавковых гироскопов и акселерометров / К.П. Андрейченко. - М.: Машиностроение. - 1987. - 128 с.

28. Ким, Д.П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы / Д.П. Ким // М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2003. - 288 с.

29. Мануйлов, Ю.С. Оптимальный регулятор угловой стабилизации космического аппарата нежесткой конструкции с оцениванием параметров методом асимптотической идентификации / Ю.С. Мануйлов, В.Г. Зиновьев, Р.Р. Рахимов, С.С. Ядренников // Труды военно-космической академии имени А.Ф.Можайского. - 2014. -№ 643. - С. 120-128.

30. Souza, A.G. Design of a controller for a rigid-flexible satellite using the H-infinity method considering the parametric uncertainty / A.G. Souza, L.C.G. Souza // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2019. - Vol. 116. - Pp. 641-650.

31. Qian, Li. Fault-tolerant control and vibration suppression of flexible spacecraft: An interconnected system approach / Li Qian, Yang Hao, Zhao Dong, Jiang Bin // Chinese Journal of Aeronautics. - 2020. - Vol. 33. - Iss. 7. - Pp. 2014-2023.

32. Лавровский, Э.К. О стабилизации положения круглой мембраны / Э.К. Лавровский, А.М. Формальский // . Прикладная математика и механика. - 1997. - Т. 61.

- Вып. 3. - С. 457-465.

33. Xueyan, X. PDE model-based state-feedback control of constrained moving vehicle-mounted flexible manipulator with prescribed performance / X. Xueyan, L. Jinkun // Journal of Sound and Vibration. - 2019. - Vol. 441. - Pp. 126-151.

34. Акуленко, Л.Д. Активное гашение колебаний крупногабаритных несущих конструкций посредством перемещения внутренних масс /. Л.Д. Акуленко, Н.Н. Болотник, С.А. Кукмашев, А.А. Чернов // Изв. РАН. Теория и системы управления. -2000. - № 1. - С. 135-145.

35. Литвинов, Н.Д. Формирование математических моделей космического аппарата с учетом процесса деформации его конструкции / . Н.Д. Литвинов // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2002. - № 6. - С. 158-174.

36. Медведский, А.Л. Неустойчивые колебательные системы с гистерезисом: задачи стабилизации и управления / А.Л. Медведский, П.А. Мелешенко, . В.А. Нестеров, О.О. Решетова, М.Е. Семенов, А.М. Соловьев // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2020. - № 4. - С. 58-82.

37. Nurre, J.S. Dynamics and control of large space structures / J.S. Nurre, R.S. Ryan, H.N. Scofield, J.L. Sims // Guidance, Control, and Dynamics. - 1984. - Vol. 7. - Pp. 514-526.

38. Ma, J. PDE model-based boundary control of a spacecraft with double flexible appendages under prescribed performance / J. Ma, H. Wen, D. Jin // Advances in Space Research. - 2020. - Vol. 65. - Pp. 586-597.

39. Ataei, M.M. Boundary control design for vibration suppression and attitude control of flexible satellites with multi-section appendages / M.M. Ataei, H. Salarieh, H.N. Pishkenari, H. Jalili // Acta Astronautica. - 2020. - Vol. 173. - Pp. 22-30.

40. Ишлинский, А.Ю. Механика: идеи, задачи, приложения / А.Ю. Ишлинский // М.: Наука. - 1985. - 624 с.

41. Формальский, А.М. Управление движением неустойчивых объектов / А.М. Формальский // М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2012. - 232 с.

42. Ишлинский, А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация / А.Ю. Ишлинский // М.: Наука. - 1976. - 672 с.

43. Городецкий, О.М. О применимости квазистационарного метода для изучения динамики гироскопа с жидкостным подвесом /. О.М. Городецкий, Д.М. Климов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1982. - № 4. - С. 10-20.

44. Андрейченко, К.П. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом поплавка на вибрирующем основании / . К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевич // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1987. - № 4. - С. 44-51.

45. Анциферов, С.А. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом прибора на вибрирующем основании при несиммеиричном торцевом истечении / . С.А. Анциферов, Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2009. - №2 3. - С. 25-35.

46. Могилевич, Л.И. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости / . Л.И. Могилевич, В.С. Попов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2004. - № 5. - С. 179-190.

47. Патент на изобретение RU 2253090 C2 Гироскопический измеритель параметров движения / К.П. Андрейченко, А.Б. Смарунь, В.А. Иващенко. - № 4922259/28 заявл. от 26.03.1991 опубл. 27.05.2005, Бюлл. № 15. - 8 с.

48. Андрейченко, К.П. Моделирование аксиального гидромеханического эффекта в гироскопах со сферическим гидродинамическим подвесом / К.П. Андрейченко, А.Б. Смарунь // Проблемы машиностроения и надежности машин. -2011. - № 3. - С. 27-33.

49. Андрейченко, К.П. К теории слабонагруженного сферического гидродинамического подвеса / К.П. Андрейченко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1977. - №№ 1. - С. 17-24.

50. Андрейченко, Д.К. Моделирование устойчивости сферического гидродинамического подвеса / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, А.А. Ерофтиев // Проблемы управления, обработки и передачи информации (У0ПИ-2015): сб. тр. IV Междунар. науч. конф.: в 2 т. / под ред. А.А. Львова и М.С. Светлова. - Саратов: Райт-Экспо, 2015. - Т. 2. - С. 25-30.

51. Андрейченко, Д.К. К теории устойчивости сферического гидродинамического подвеса / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, А.А. Ерофтиев // Доклады Академии военных наук. - 2015. - № 2(66). - С. 22-39.

52. Комаров, С.Г. Экспериментальное исследование скорости звука в жидком и газообразном хладагенте R-407C / С.Г. Комаров, С.В. Станкус // Теплофизика и аэромеханика. - 2016. - Т. 23. - №№ 1. - С. 141-143.

53. Андрейченко, К.П. К устойчивости цилиндрического гидродинамического подвеса с учетом сжимаемости поддерживающего слоя / К.П. Андрейченко, В.М. Велиев // Доклады Академии военных наук. - 2013. - № 2(66). - С. 25-32.

54. Велиев, В.М. О влиянии сжимаемости на передаточные функции поддерживающего слоя жидкости в высокочастотной области / В.М. Велиев, К.П. Андрейченко // Доклады Академии военных наук. - 2015. - №2 2(66). - С. 30-36.

55. Sauret, A. Libration-induced mean flow in a spherical shell / A. Sauret, S. Le Dizes

// J. Fluid Mesh. - 2013. - Vol. 718. - Pp. 181-209.

56. Rietord, M. Axisymmetric inertial modes in a spherical shell at low Ekman numbers / M. Rietord, L. Valdettaro // J. Fluid Mech. - 2018. - Vol. 844. - Pp. 597-634.

57. Bank, A. Triadic resonances in the wide-gap spherical Couette system / A. Bank, S.A. Triana, M. Hoff J. Wicht // J. Fluid Mech. - 2018. - Vol. 843. - Pp. 211-243.

58. Sauret, A. Experimental and numerical study of mean zonal flows generated by Hbrations of a rotating spherical cavity / A. Sauret, D. Cebron, C. Morize, M. Le Bars // J. Fluid Mech. - 2010. - Vol. 662. - Pp. 260-268.

59. Noir, J. An experimental and numerical study of librationally driven flow in planetary cores and subsurface oceans / J. Noir, F. Hemmerlin, J. Wicht, S.M. Baca, S.M. Arnou // Physics of the Earth and Planetary Interiors. - 2009. - Vol. 173. - Pp. 141-152.

60. Le Dizes, S. M. Internal shear layer from liberating objects / S. Le Dizes, M. Le Bars // J. Fluid Mesh. - 2017. - Vol. 826. - Pp. 653-675.

61. Wu, K. Librational forcing of a rapidly rotating fluid-filled cube / K. Wu, B.D. Welfer, J.M. Lopez // J. Fluid Mesh. - 2018. - Vol. 842. - Pp. 469-494.

62. Зиканов, О.Ю. Численное моделирование неустойчивостей и вторичных режимов в течении Куэтта / О.Ю. Зиканов // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. -1995. - № 1. - С. 3-15.

63. Астафьева, Н.М. Устойчивость и неединственность симметричных течений во вращающихся сферических слоях / Н.М. Астафьева // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 1998. - № 1. - С. 75-86.

64. Жиленко, Д.Ю. Усиление волн при вращательных колебаниях жидкости / Д.Ю. Жиленко, О.Э. Кривоносова // Письма в ЖЭТФ. - 2016. - Т. 104. - Вып. 8. - С. 552-559.

65. Жиленко, Д.Ю. Квазидвумерная и трехмерная турбулентность во вращающихся сферических слоях жидкости / Д.Ю. Жиленко, О.Э. Кривоносова // Письма в ЖЭТФ. - 2015. - Т. 101. - Вып. 8. С. - 583-588.

66. Жиленко, Д.Ю. Переходы к хаосу в сферическом течении Куэтта, вызванные периодическим изменением скорости вращения одной из границ / Д.Ю. Жиленко, О.Э. Кривоносова // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2013. - № 4. - С. 35-45.

67. Жиленко, Д.Ю. Прямой расчет перехода к одному из двух возможных вторичных течений в широком сферическом слое под действием вращения внутренней сферы с ускорением / Д.Ю. Жиленко, О.Э. Кривоносова // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2011. - № 3. - С. 28-41.

68. Жиленко, Д.Ю. О хаотических режиамх течения во вращающемся

сферическом слое / Д.Ю. Жиленко, О.Э. Кривоносова, Н.В. Никитин // Письма в ЖТФ.

- 2008. - Т. 34. - Вып. 24. - С. 15-21.

69. Андрейченко, К.П. Исследование сдавливания тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подшипника / К.П. Андрейченко // Машиноведение. -1978 - №4. - С. 117-122.

70. Гергель, В.П. Высокопроизводительные вычисления для многопроцессорных многоядерных систем / В.П. Гергель // М.: МГУ. - 2010. - 421 с.

71. Гергель, В.П. Теория и практика параллельных вычислений / В. П. Гергель // М.: БИНОМ. - 2010. - 424 с.

72. Эндрюс, Г.Р. Основы многопоточного, параллельного и распределённого программирования / Г.Р. Эндрюс // М.: Вильямс. - 2003. - 505 с.

73. OpenMP Application Program Interface. Version 5.2 - November 2021. [Электронный ресурс] / OpenMP Architecture Rewiew Board. Электрон. дан. - 2022. Режим доступа: https://www.openmp.org/wp-content/uploads/OpenMP-API-Specification-5-2.pdf, свободный. - Загл. с экрана.

74. Concurrency Runtime [Электронный ресурс] / Microsoft. Электрон. дан. - 2018. Режим доступа: http://msdn.microsoft.com/ru-ru/library/dd504870.aspx, свободный. -Загл. с экрана.

75. MPI: A Message-Parsing Interface Standard 4.0. June 9, 2021. [Электронный ресурс] / Message Passing Interface Forum. Электрон. дан. - 2022. Режим доступа: https://www.mpi-forum.org/docs/mpi-4.0/mpi40-report.pdf, свободный. - Загл. с экрана.

76. Коул, Дж. Методы возмущений в прикладной математике / Дж. Коул // М.: Мир. - 1972. - 274 с.

77. Андрейченко, Д.К. MPI-реализация параметрического синтеза в задаче о стабилизации перевернутого маятника / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Д.В. Мельничук // Доклады Академии военных наук. - 2014. - № 3 (62). - С. 62-70.

78. Андрейченко, Д.К. Распараллеливание параметрического синтеза по схеме «Портфель задач» на основе технологии MPI / Д.К. Андрейченко, А.А. Ерофтиев, Д.В. Мельничук // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2015. - Т. 15. - Вып. 2. - С. 222-228.

79. Тыртышников, Е.Е. Методы численного анализа/ Е.Е. Тыртышников. - 2006.

- 291 с.

80. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галёркина/ К. Флетчер // М.: Мир. - 1988. - 352 с.

81. Андрейченко, Д.К. Параллельный алгоритм параметрического синтеза

комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Доклады Академии военных наук. - 2012. - № 5 (54). - С. 14-20.

82. Андрейченко, Д.К. Параметрический синтез и распараллеливание по схеме «портфель задач» на основе технологии MPI / Д.К. Андрейченко, А.А. Ерофтиев, Д.В. Мельничук // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар. науч. конф. - Саратов: Наука. - 2014. - С. 26-30.

83. Андрейченко, Д.К. Параллельный алгоритм параметрического синтеза комбинированных динамических систем с использованием наборов задач / Д.К. Андрейченко, А.А. Ерофтиев, Д.В. Мельничук // Труды XXI Всероссийской научно-методической конференции "Телематика 2014". - СПб: СПбГУ ИТМО. - 2014. - С. 172-173.

84. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи/ Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер // М.: Мир. - 1990. - 512 с.

85. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер // М. : Мир. - 1999. - 685 с.

86. Портенко, М.С. Об условиях аналитичности характеристического и возмущающих квазимногочленов в теории комбинированных динамических систем / М.С. Портенко, Д.В. Мельничук, Д.К. Андрейченко // Доклады Академии военных наук. - 2015. - №№ 2 (66). - С. 49-55.

87. Портенко, М.С. Условия аналитичности характеристического и возмущающих квазимногочленов комбинированных динамических систем / М.С. Портенко, Д.В. Мельничук, Д.К. Андрейченко // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2016. - Т. 16. - Вып. 2. - С. 208-217.

88. Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди. - М.: Радио и связь. - 1988. - 128 с.

89. Портенко, М.С. Об условиях аналитичности характеристического и возмущающих квазимногочленов комбинированных динамических систем/ М.С. Портенко, Д.В. Мельничук, Д.К. Андрейченко // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 18-й междунар. Сарат. Зимней школы. -Саратов: Научная книга. - 2016. - 360 с.

90. Люстерник, Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев // М.: Высшая школа. - 1982. - 271 с.

91. Найфэ, А.Х. Методы возмущений / А.Х. Найфэ // М.: Мир. - 1976. - 456 с.

92. Андрейченко, Д.К. Метод многих масштабов в теории комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Доклады Академии военных наук. - 2016. - №№2(70). - С.7-12.

93. Андрейченко, Д.К. Паттерн MPI-MAP и моделирование выходных вектор-функций нелинейных комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Д.В. Мельничук // Доклады Академии военных наук. - 2015. -№2(66). - С. 101-115.

94. Андрейченко, Д.К. Адаптивный алгоритм параметрического синтеза / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Портенко, Д.В. Мельничук // Компьютерные науки и информационные технологии. Материалы Междунар. науч. конф. - Саратов: Наука. - 2016. - С. 31-34.

95. Андрейченко, К.П. Адаптивные алгоритмы параметрического синтеза управляемых комбинированных динамических систем / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, М.С. Портенко, Д.В. Мельничук, Н.А. Демина // Актуальные проблемы автоматизации и управления в технических и организационных системах (АПАУ) 2016: сб. трудов Международной научной конференции. - Саратов: СГТУ. - 2016. - С. 42-49.

96. Бицадзе, А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / А.В. Бицадзе // М.: Наука. - 1969. - 240 с.

97. Ротач В.Я. Теория автоматического управления / В.Я. Ротач // М.: МЭИ. -2008 - 396 с.

98. Андрейченко, Д.К. Расширенный алгоритм моделирования устойчивости комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Д.В. Мельничук // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - 2021. - Т. 199. - С. 7-17.

99. Андрейченко, Д.К. Быстрый алгоритм вычисления матрицы Якоби при моделировании нелинейных комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, Д.В. Мельничук, А.С. Коротеев, А.А. Волгуцков // Доклады Академии военных наук. - 2016. - №№2(70). - С.78-83.

100. Андрейченко, Д.К. Быстрый алгоритм моделирования переходных процессов в нелинейных комбинированных динамических системах / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Д.В. Мельничук // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 19-й междунар. Сарат. Зимней школы. -Саратов: Научная книга. - 2018. - С. 31-34.

101. Мельничук, Д.В. Паттерн MPI-MAP и расширение функциональности технологии MPI / Д.В. Мельничук, Д.К. Андрейченко // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всерос. научно-практ. конф. - Саратов: Наука. - 2015. -С. 270-274.

102. Андрейченко, Д.К. Паттерн MPI-MAP и моделирование нелинейных

комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Д.В. Мельничук // Проблемы управления, обработки и передачи информации (УОПИ-2015): сб. тр. IV Междунар. науч. конф. - Саратов: Райт-Экспо. - 2015. - Т.2. - С. 19-26.

103. Андрейченко, Д.К. Динамическая балансировка вычислительной нагрузки для задач с большим ресурсом параллелизма / Д.К. Андрейченко, Д.В. Мельничук, А.А. Ерофтиев // Компьютерные науки и информационные технологии. Материалы Междунар. науч. конф. - Саратов: Наука. - 2016. - С. 35-38.

104. Мельничук, Д.В. Паттерн MPI-MAP и схема «менеджер-исполнители» для параметрического синтеза управляемых комбинированных динамических систем (КДС) / Д.В. Мельничук // Научные исследования студентов Саратовского государственного университета: материалы итоговой студенческой научной конференции. - Саратов: СГУ. - 2015. - С. 31-33.

105. Энергоэффективные кластерные и облачные вычисления и технологии. Практикум / Д.К. Андрейченко, И.А. Батраева, Г.Г. Наркайтис, А.А. Ерофтиев, М.С. Портенко, Д.А. Шахрай, Д.В. Мельничук, Г.М. Афанасьев - Под ред. А.Г. Федоровой и В.С. Харченко. - Харьков: Национальный аэрокосмический университет имени Н.Е. Жуковского «ХАИ». - 2016. - 199 с.

106. Andreichenko, D.K. Dynamic balancing of computing load in highly parallel problem solving / D.K. Andreichenko, D.V. Melnichuk, A.A. Eroffiev // Радюелектронш i комп'ютерш системи. - 2016. - № 5(79). - C. 179-185.

107. Шпаковский, Г.И. Программирование для многопроцессорных систем в стандарте MPI / Г.И. Шпаковский, Н.В. Серикова // Минск: БГУ. - 2002. - 323 с.

108. Кормен, Т. Алгоритмы: проектирование и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн // М.: Вильямс. - 2005. - 1296 с.

109. Мельничук, Д.В. Моделирование нелинейных комбинированных динамических систем на сопроцессорах-ускорителях Intel Xeon Phi / Д.В. Мельничук // Доклады Академии военных наук. - 2016. - №2(70). - С. 84-93.

110. Андрейченко, Д.К. Моделирование системы угловой стабилизации на кластерных системах с сопроцессорами Intel Xeon Phi / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Д.В. Мельничук // Проблемы управления, обработки и передачи информации (У0ПИ-2017): сб. тр. V Междунар. юбилейн. науч. конф. / под ред. А.А. Львова и М.С. Светлова. - Саратов: Лоди. - 2017. - С. 380-388.

111. Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер // М.: Мир. - 1967. - 630 с.

112. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский // М. : Наука.

- 1970. - 904 с.

113. Мельничук, Д.В. Уточненная математическая модель сферического гидродинамического подвеса / Д.В. Мельничук, Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы междунар. науч. конф. - Саратов: Наука. - 2018. - С. 264-268.

114. Седов, Л.И. Механика сплошной среды В 2 т. Т. 1 / Л.И. Седов // М.: Наука.

- 1976. - 536 с.

115. Андрейченко, Д.К. Эффект центрирования сферического гидродинамического подвеса / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Д.В. Мельничук // Проблемы управления, обработки и передачи информации (УОПИ-2018): сб. тр. VI Междунар. науч. конф. - Саратов: Лоди. - 2019. - С. 365-371.

116. Андрейченко, Д.К. Моделирование эффекта центрирования сферического гидродинамического подвеса / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Д.В. Мельничук // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2019): Материалы XVIII Международной конференции имени А.Ф. Терпугова (26-30 июня 2019 г.). В 2-х ч. Ч. 1. - Томск: НТЛ. - 2019. - С. 191-196.

117. Andreichenko, D.K. Modeling the Effect Of Centering of a Spherical Hydrodynamic Suspension / D.K. Andreichenko, K.P. Andreichenko, D.V. Melnicnuk // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2020. - № 52. - С. 13-21.

118. Гринспен Х. Теория вращающихся жидкостей / Х. Гринспен // Л.: Гидрометеоиздат. - 1975. - 304 с.

119. Андрейченко Д.К. Численное моделирование сферического гидродинамического подвеса / Д.К. Андрейченко,. К.П. Андрейченко, Д.В. Мельничук // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы междунар. науч. конф. - Саратов: Научная книга. - 2021. - С. 10-14.

120. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке // М.: Наука. - 1976. - 576 с.

121. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т.2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1974. - 296 с.

122. Соболев, Л.С. Уравнения математической физики / Л.С. Соболев // М.: Наука. - 1992. - 492 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Дополнительные формулы и алгоритмы

A.1. Псевдокод паттерна MPI-MAP

Для ] = :

1) Процесс 3 : запуск блокирующего приема (МР^е^) х

2) Процесс 0:

a) запуск буферизованной пересылки (МР1_ВБепй) х в процесс 3

b) запуск неблокирующего приема (МР1_1ге^) у. из процесса 3

3) Процесс 3 :

a) завершение блокирующего приема (MPI_Recv) х ;

b) запуск вычисления у:= /(ж ).

II. Для к = N + 1,7V

" W

1) Процесс 0: запуск блокирующего ожидания приема (MPI_Waitany) у , 1 < v < N из некоторого процесса j , l < j < Nw

2) Процесс j , l < j < Nw : о) завершение вычисление у = f(xv), 1 < ^ < iV ;

b) запуск буфериз. пересылки (MPl_Bsend) yv, 1< v <iV, в процесс 0;

c) запуск блокирующего приема (MPl_Recv) ^ из процесса 0; 3) Процесс 0:

а) завершение блокир. ожидания (MPI_Waitany) приема у , 1 < v < iV из некоторого процесса J , 1 < j < Nw;

b) запуск буфер, пересылки (MPl_Bsend) хк в процесс j , l < j < Nw

c) запуск неблокир. приема (MPI_Inecv) ук из процесса j , 1 < j < Nw 4) Процесс j , 1 < j < Nw :

a) завершение блокирующего приема (MPl_Recv) x ;

b) запуск вычисления величины yk = f(x )

III. N раз выполняется:

1) Процесс 0: запуск блокирующего ожидания приема (MPI_Waitany) у ,

1 < v < N из некоторого процесса j , l < j < Nw

2) Процесс j , l < j < Nw :

a) завершение вычисления у = f(x ), 1 < v < N ;

b) запуск буферизованной пересылки (MPl_Bsend) yv в процесс 0;

c) переход в режим ожидания после начала блокирующего приема входных данных (MPI_Recv);

3) Процесс 0: завершение блокирующего ожидания приема (MPI_Waitany) у ,

1 < v < N из некоторого процесса j , 1 < j < N .

A.2. Псевдокод расширенного аналога MPI-MAP

I. Инициализация 1. Qt=0

2. Для ; = :

| 1) помещаем номер процесса 3 в очередь (

3. Для всех вершин ввода (вершин-источников):

| 1) окрашиваем вершину в черный цвет

4. Для всех остальных вершин, не являющиеся вершинами-источниками:

| 1) окрашиваем вершину в белый цвет

II. Пока в графе О есть белые или серые вершины:

1. Проходим по всем черным вершинам | 1) Для текущей черной вершины находим все белые вершины, в которые | входят дуги из данной черной вершины

| | а) Если в найденную белую вершину входят дуги лишь из черных вершин, | | то окрашиваем ее в серый цвет, а ее номер помещаем в очередь (

2. Пока есть задачи в очереди ( и при этом есть свободные процессы-исполнители в очереди ( : | 1) Извлекаем номер г вершины из очереди ( | 2) Извлекаем номер 3 процесса-исполнителя из очереди ( | 3) Пересылаем процессу 3 номер вершины г и необходимые для выполнения | соответствующей операции данные х , х ,.., х

1 2 т

3. Дожидаемся, когда какой-либо процесс-исполнитель с номером з, выполняющий

операцию с номером г , перешлет обратно результат х .

1 г1

4. Окрашиваем вершину г в черный цвет и сохраняем в ней х

1 г1

5. Помещаем номер 3 процесса-исполнителя в очередь (

6. Проходим по всем черным вершинам: | 1) Если в текущей черной вершине все исходящие дуги входят лишь в черные | вершины, то окрашиваем ее в красный цвет и освобождаем | связанные с ней ресурсы

А.3. Численная реализация линейных краевых задач

При умеренных значениях комплексного параметра X численное интегрирование линейных краевых задач (3.2.6) - (3.2.8) выполнялось на основе проекционного метода Галеркина с использованием в качестве базисных функций ортогональных полиномов Чебышева 1-го рода. Аналогично [12], полагаем [77]:

и(х,\) и Тк(г) = сов(катссо8г), к = 1,2,3,... (А.3.1)

Из (А.3.1) и граничных условий при х=0 и х=1 следует

с 2 ЧГ^+4 к

> , и = о> , (—1) и, = 0; . . _

к 1 О \т / к ' --( А 3 2 )

Чтобы приближенно выполнить линейное обыкновенное дифференциальное

уравнение (3.2.6), требуем [80]

Г{(1 + X) + а [(т + 1 - х)и'(х, \)]' +\2и(х, \)} ■ J о ^ ж - _

■Т (2х - 1 )dx = - [ (б1 + Ь3х)Т (2х -1 )dx, п = О, N-, j = 1,4

«у о ^ ^

Подстановка (A.3.1) в (A.3.3) приводит к результату:

(A.3.3)

~\Ап+1,к ~ \ ^п-1\,к\Чк Апкик = _ __(А.3.4)

= - т +1 л п +1 Л(0), 0), п = о, щ j = 1,4

] п 0 ]\2 пО А п+1,0 4 \п—1\,0'' ' ' и '

А{к) = Г1 т (х)Т(к)(хШ, А{к) = 0 при к > то (А.3.5)

птп J г иЛ > тп V / ' пт г V /

При фиксированном значении индекса у уравнения (А.3.2) и (А.3.4) представляют собой систему #+5 линейных уравнений относительно коэффициентов ряда Фурье (А.3.1). После решения (А.3.2), (А.3.4) из (3.2.6), (А.3.1) находим:

= ¿Е-мт*8 -14. = -¿£ -»«»

^ М = ~ í Ел" Н)*^ " !)(*' " (А.3.6)

Р!" М = А Ел-"'^ - -1К. 1 = М

Входящий в условие (1.6.25) полином в данном случае является

определителем системы линейных уравнений (А.3.2) и (А.3.4), и не зависит от р.

А.4. Асимптотическое интегрирование на основе ВКБ-приближения

Аналитичность вспомогательных функций к —1.2:

3 = 1,2,3,4, при | X |> 1, Ие\ > -ст0, 0 < ст0 < оо гарантируется теоремой 4 (п. 1.3),

а их приближенное вычисление удобно выполнять на основе асимптотического интегрирования вспомогательных линейных краевых задач (3.7) на основе метода Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ) [76]. Аналогично [12], запишем соответсвующее линейной краевой задаче (3.7) линейное однородное дифференциальное уравнение в виде [77]:

и""(х) — к4и(х) + аЩт + 1 — х)и'(х)]' = 0

к = к(\) = [-Х2 / (1 + -tX)]1/4, а = а(Х) = а / [(1 + ^X)fc(X)]

-а — -v-v-л ~ (А.4.1)

при X -кэо, Re X > -оо и / 8 < arg к(\) < Зтх / 8 (А.4.2)

Как правило, характеризующий внутреннее трение параметр у достаточно мал: 0<ч<1. При |Х|~1/ч»1, | к(\)\~ 1 /> 1, |а(Х)|<1. При | X |—> оо, | к(Х) |—>■ оо, | а(Х) |—>■ 0. Формально при | X 1 можно полагать

| к(\) |» 1, | а(\) |= 0(1) (А.4.3)

Частные решения уравнения (A.4.1) ищем в виде

и(х) = еНх'к) (А.4.4)

С учетом пересчета параметра а, при заменах к ——к, к —> гк, к —> —гк

уравнение (А.4.1) не меняет своего вида, и функции е~Ых~к), егЫх'гк), е~1к<х~1к) также будут его частными решениями. Из (А.4.4) и (А.4.1) следует нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции ю\х, к):

_ 1 + 6ГУУ + к~\Зь"2 + 4гЛ/") + +

+а[(т +1 - ж) (ГУ2 + к V ) - к~ V } = О

(А.4.5)

Решение (А.4.5) ищем в виде асимптотического ряда

у(х,к) = Х)Г=оГЧ(ж) (А.4.6)

Подстановка (А.4.6) в (А.4.5) и последовательное интегрирование приводит к результату

у(х, к) = х + ^ак 1 [(1 + ш2 — х)2 — (1 + то2)2 ] + +к~2{-^ах-^а[(1 + т-х)3-(1 + т)3}} +

(А.4.7)

(А.4.8)

(А.4.9)

£ = £(\) = [-\2 / (1 + ^Х)]1/4, а = а(Х) = а, / [(1 + чХ)£(Х)] В качестве частных решений (А.4.1) используем

^(х, к) = е~к^~к\ и2(х, к) = еш\ 113(х, к) = ек«^(1,к)) иА(х, к) = е-гНФ,-гк)-у(1,-гк))^ ^ = ^ ^ = ^ = ^ = х

Общее решение линейного ОДУ (3.2.6) имеет вид:

и(х, к) = ^ к) ~ Ь)\-2 - 6*(а X"4 + х\~2), 3 = 1,2,3,4

Из (А.4.9) и краевых условий (3.2.6) следует система линейных уравнений относительно ^(Х), и = 1,2,3,4

Е'^тт=«'х-2х-, Еи^кт=

= +Ч++

После решения (А.4.10) из (3.2.6) находим:

= р2и)(х) =

(А.4.10)

(А.4.11)

При | X 1, ИеХ > — ст0, 0 < сг0 < оо коэффициенты и правые части линейных

уравнений (А.4.11) являются аналитическими функциями параметра X, а определитель системы линейных уравнений (А.4.10) равен ^ —2к2^0, и выражения (А.4.11) являются аналитическими функциями X. При этом

М®(\) и -Г 1/2Х, Рх(1)(Х) и -лЁч 3/4Х-5/2, М«(Х) и Х--3/2

Р2(1)(Х) « -72^-3/4Х-5/2, М<2)(Х) « 0, Р/2)(Х) « 0, М2(2)(Х) « ^-1/2Х1/2 (А.4.12)

Р(2)(Х) « -л/2^-3/4Х-3/4, М(3) (X) « —Г 1/4\~7/4, Р(3)(Х) « -^х-3/2

Mf (\) « ^1/2\-3/2, Р2(3)(Х) « -V^f3/V5/4, М|4)(\) « О Р/4)(\) » О, Mj4)(\) « -V2~f1/4\1/4, if >(Х) » 7-1/2\1/2

A.5. Реализация проекционного метода Галеркина

Пусть достаточно гладкие функции / : [0,1] —> М и д: [0.1] Е аппроксимируются отрезками рядов Фурье [9]

№ « El-Ш2^ -1), /„ = О при n > , обозначаем (/)„ = /в (А.5.1)

д(х) « — 1),дп = 0 при п> Ng, обозначаем =

71 (ж) = cos(ггarceosх), п = 0,1,2,..., х К

Линейная комбинация, произведение, результаты дифференцирования и интегрирования рядов Фурье-Чебышева снова представляет собой ряды Фурье-Чебы-шева. Аналогично [9], обозначим

(Const-f) = Const-f, (f + g) =f+g (A. 5.2)

vmax(jVpjV )

¡(х)д(х) « Е1Г * ШЛ(2х ~ 1) (А.5.3)

« Е^о1 -1)' /- (/^Шг* -1) (А.5.4)

/'/«№ - -1) (А.5.5)

Здесь Фурье-коэффициенты результирующих аппроксимаций легко вычисляются по Фурье-коэффициентам исходных аппроксимаций.

Аппроксимация (А.5.1) функции / : [0,1] —> М может быть получена на основе

интерполирования по ортогональным полиномам Чебышева 1-го рода, что аналогично выполнению дискретного косинус-преобразования Фурье.

При дискретизации нелинейной начально-краевой задачи (3.1.6)-(3.1.29), (3.1.31)-(3.1.36) по независимой пространственной переменной х полагаем

иу*) = Е!1+о4 \ ®тп<?* -!) (А-5-6)

= Т111иЛШ2х-1) (А-5-7)

№ *) = ЕГо2 % -1) (А-5-8)

Продифференцируем (А.5.6) и (А.5.7) по времени £

№*) = Е!1+04 «„ -1) > *) = Е!1+04« (*№ -1) (а.5.9)

Полагаем, что в момент времени Ь известно значение набора (3.4.2). Подстановка (А.5.6) в (3.1.34), (А.5.7) в (3.1.35) приводит к двум системам

линейных уравнений

2^п=оиу = 2/2 - аФ2(0,р32), ^ п и =-\11 сов^В )81п(^Д 3);

(—1) и = 0, > ( — 1) пи =0

п=0 4 ' Уп ' /—/п=1 4 7 2/„

л. /г, ^ \ 2

„=о\ = 2/2 -аФ2(0;Р32), =

V™ 1 . / о \ (А.5.11)

из которых по известному набору величин (3.4.2) находятся Фурье-коэффициенты и , и п = N + 1,Ы + 2,Ы + + 4:. Дифференцируя по времени (А.5.10) и

Уп ^п

(А.5.11), находим две системы линейных уравнений

У™(-1)в« =о ,ум+\-1Г1пЧ =о

/—/га=0 4 ' Уп ' /—/га=1 47 Уп

ИЧ„ = 1 А,з соФД2) С08(^1(32 3) - (32 2 8Ш(^(32 2) 8Ш(^(32 3)] /—/ 71=0 К ' 2„ ' /—/п=1 к ' к (А 5 13)

из которых по известному набору (3.4.2) находятся Фурье-коэффициенты и ,

Уп

й , п = ^ + 1,^ + 2,^ + 3,^ + 4. Далее из (3.1.6), (3.1.7), (3.1.13), (3.1.15), (3.1.17)

п

находятся величины Ц, П2, , Г20, а2, а3, а2, а3, , М'^. С использованием (А. 5.4) вычисляются коэффициенты аппроксимаций

и'(х,1) = уМ+\и') Т (2х — 1), и'(х,г) = уМ+3(и') Т (2х — 1) .

у ^ 1 ' /и=0 у У' га ' г* 1 ' /и=0 у -г7 га гау 7

После на основе (А.5.2)-(А.5.5) и интерполирования по ортогональным полиномам Чебышева 1-го рода из (3.1.25) находим

и'Ш) = У (и,)Т(2х-1),и(х,г) = У и (£)Т(2х-1)

' ' / у п=о у х' га га V / ' х^- 1 ' Z_^ в=0 х„ п

Далее из (3.1.36) вычисляется значение х2.

С использованием (А.5.4) находятся коэффициеты аппроксимаций

й'Ш) = У"+3(й') Т (2х — 1), й(х,г) = ум+\й') Т (2х — 1)

у У 1 ' /и=0 у у'п п^ ' ' г ^ 7 7 /и=0 у -г7га га^ 7

На основе (А.5.2)-(А.5.5) и интерполирования по ортогональным полиномам Чебышева 1-го рода из (3.1.25) находятся коэффициенты аппроксимаций

ж \ 7 7 /_У и=0 у Х> п га \ / ' 1 ' £_у х„ п

После этого из (3.1.36) вычисляются значения х2.

С использованием (А.5.2)-(А.5.5) и интерполирования по ортогональным полиномам Чебышева 1-го рода из (3.1.4) находим

*) = ЕГо4\к, 1 = 1,2,3

На основе (А.5.2)-(А.5.5) находим коэффициенты аппроксимаций

"(х, £) = УИ+2 (и') Т (2х -1), и"(х, г) = УМ+2 (и') Т (2х -1)

у ^ 1 ' /и=0 у У' га гау / ' г* ' ' /и=0 у а'п гау 7

й"(х, г) = ум+2 (й") т (2х -1), й"(х, г) = ум+2 (й') т (2х -1)

1 ' ¿._¿П=О У У' п пУ ' ' _^ п=О у ^'п пУ '

Далее из (3.1.28), (3.1.29), (3.1.31) находим

У"+2к.Т (2х-1), 3 = 1,2,3, М. ^У"+2М.Т (2х-1), 3 = 2,3

N+2

К, .

Из (3.1.41) находим М1, и далее при помощи (3.1.31) вычисляем Продифференцируем по времени (3.1.6), (3.1.7):

= [уидвш / +яиэД

+Ат(рр2)п1 + В([1р2)р2

\ = 7^0,2 (^Дз) " НАА.З СОФАЗ) й0* =(3 008(^(3 З81п(^(3 ), =(3

У ' ' ' ' ' 2 '

Подстановка (А.5.16) в (3.1.10)-(3.1.12) приводит к системе линейных уравнений относительно угловых ускорений Ц = (Ц )т, 302, Зо , после решения

х у 2 ' '

которой из (А.5.14) находятся угловые ускорения (Зх = (|3ПД2,[313)Г.

Подстановка (А.5.8) в (3.1.39) и (3.1.40) приводит к линейным уравнениям:

•з(

(А.5.14) (А.5.15)

(А.5.16)

= г1-^1(31)(1,0,0)?

+ ^ (к2 (1, щ (1, *) - к3 (1, Щ (1, г)) =

= а Ф1 (02, Л) + и а(П1 + П2 ) + (1,0,0)т • 3 ;

2е;

(А.5.17)

Чтобы приближенно выполнить уравнение (3.1.38), требуем

Г1 ^(г.2 + к,2)д ]Г (2ж -= ^ Г1 Ф^Г(2я -гг = «./0 «-/0

Ф1 = -ах(ш2 -К - ж) (к2 + к,2) + - к2дз + 2кД - 2к,2(5з -

3^2

"МЛ^Д + ^3^3) - (К + «Г + ^ + Ьп + Ц ^21 + Ц кд" ~

а х у г

+ ^ + ^) + 2[,си(ц - ц й') - х21(ц й[ - ц <) +

* У г _ д. а, г ® г

причем Фурье-коэффициенты Ф1 вычисляются на основе (А.5.2)-(А.5.5).

п

Подстановка (А.5.8) в (А.5.18) с учетом обозначения (см. (А.3.5))

XI

Т (х)Т (х)Т (х)ёх = 1 М(0) + ,4(0) ,) (А.5.20)

(А.5.18) (А.5.19)

приводит к линеиным уравнениям

^+2

пк 1 лА 2 т З/у л /й=0 пк '

Представим уравнения (3.1.8), (3.1.20) в виде:

(А.5.21)

= Е;::(-1УЧ жм^адо)1,+л^тя^^о^у -

1^1/

-F + oJ(l + т2)Л(мА)Ф(0, (30) + f30)]

m2w2 = ат2[Ф(0)|11(01Ру1Р/)-Ф,(0)[11Р1)]- (А.5.23)

-ЕГо2 ^^(О, Р2>2, Р2>3)г)а о, 0)г - (32 2, (32 3)г) (о, 0,(0, t), g3( о, í)f

Уравнения (A.5.17), (A.5.21), (A.5.22), (A.5.23) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений для нахождения величин

(A.5.22)

Q , п = 0,N + 2, г = (x,y,z)T, w2 = (w ,w ,w )T

n x y z

Далее из (A.5.23), (3.1.23), (A.5.15) находятся компоненты векторов

r2 = (x2,y2,z2)T, ц = (йч,й2 Дf, Э2 = (кАЛ*)т

(A.5.24)

Продифференцируем по времени (А.5.12)

Ум+\~1)пй =о, ум+\-1)п+1п2й =о

о 4 7 г/„ ' -¿—/71=1 4 7 г/„

Ег+оД = ¿>2 ~ Ф2 • (<92Ф2(°Д) / + (5Ф2(0,Э2) / <9Э2)|32

ЕГ>Ч„ = Л - Р?2 81п(^Р22)8т(^Р23) -

- ^((З23 + ^22)8т([хр23)с08([хр22) - ^(322(323 со8(^((322 - (З23))]

Для приближенного выполния уравнения в частных производных (3.1.32) требуем выполнения условий:

Г ü Т (2х — l)dx = Г Ф Т (2х — l)dx, n = 0,N

fj О У 71 fj о У 71

Ф = -(/(liB,)r)-(0,l,0f+li1á и -П (ж + ^J-u [(i + wjfi, +

(A.5.25)

1 х> ^lL

+1i uzQ1 Д + ^ + )u - йг - üj + L (Q' + p, (к, Q -

z y ! X Z У X J z

-k3Q2)) + L22(<32 - ^(кД - г.Д)) + L23(Q3 + ^(кД - Г.Д)) --^(ОД) + (К +1 - x)u')'\ ~ yNn:^y Tn(2x -1)

откуда следует:

\JV+4

У^А^й =yN+AA^ Ф , n = 0,N

ZL-/ k=O nk yk ZL-/ vk У S '

(А.5.26)

Уравнения (А.5.24), (А.5.26) представляют собой систему линейных уравнений для нахождения компонент поперечных ускорений й , п = О, N + 4.

Уп

Аналогично, продифференцируем по времени (А.5.13)

У™ (-1)4 =0, уМ+\-1У+1п2й =0

/—/тг=0 у 7 г ' / >тг=1 V 7 г

Е Е

тг=0 ЛЧ-4 ..

и

тг=0 « JV+4 9

= - а[(32 • (<92Ф3(0, Л) / <9(32)(3 + (ЗФ (О, (3 ) /

(A.5.27)

„=1 = - 2 ^2,2 COSG\í\2) " SÍn(^1f322)]

Приближенное выполнение уравнения в частных производных (3.1.33) обеспечивается на основе выполнения условий:

гг = 0,# (А.5.28)

Jq üTj2x - l)dx = Jq ФгГ (2ж - n = O

Ф = -(^ад) • (0,0,1)т - М.Д и + Ц (х + --|11[(х + + ^и а + + й\ )и + 2|11(Г21 й - Ц йх) +

/ з: " V г . х у х * у