Математическое моделирование многоэлементных электротехнических систем трехмерной структуры методом конечных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Сафронов, Сергей Иванович

• Сафронов, Сергей Иванович
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сафронов, Сергей Иванович

0.1 Введение.

1 Метод конечных абелевых групп в численном анализе линейных краевых задач теории гармонических потенциалов

1.1 Каноническое представление граничного интегрального уравнения линейной краевой задачи с конечной абелевой группой симметрий.

1.2 Каноническое представление граничного интегрального уравнения на основе свертки на конечных абелевых группах. Симметрия правой части граничного уравнения.

1.3 Каноническое представление граничных интегральных уравнений линейной краевой задачи с конечной абелевой группой симметрий малого порядка

1.4 Об оптимальности по числу операций,- устойчивости и погрешности вычислений численных методов, реализующих каноническое представление граничного интегрального уравнения с конечной абелевой группой симметрий

4.5 Абелевы группы восьмого порядка и задачи на многогранниках.

1.6 Конечная циклическая группа и задачи на поверхностях врашенин

2 Редукция граничных интегральных уравнений теории гармонических потенциалов к задаче с симметриями конечной группы

2.1 Метод редукции граничных интегральных уравнений к задаче с симметриями

2.2 Редукция к задаче с конечной абелевой группой симметрий в случае поверхности специального вида.

Верификация и численная реализация метода редукции на поверхностях

2.4 Метод редукции для конечных абелевых групп.

2.5 Верификация и численные примеры метода редукции для конечных абелевых групп

2.6 Метод редукции граничного интегрального уравнения к задаче с конечной неабелевой группой симметрий.

2.7 Метод редукции для конечных неабелевых групп на основе формализма преобразования Фурье

2.8 Верификация и примеры численной реализации метода редукции для конечных неабелевых групп.

Итерационные методы с конечными группами в численном анализе краевых задач теории потенциала

3.1 Конечные группы в итерационных методах численного решения краевых задач с граничной поверхностью сложной структуры.

3.2 Сходимость и верификация итерационных методов с конечными группами. Краевые задачи со сложной границей

3.3 Итерационные схемы численного решения канонических форм граничных уравнений. 1-М

3.4 Верификация итерационных схем численного решения канонических форм граничных уравнений

Численный анализ и синтез многоэлементных электронно-оптических систем сложной структуры

4.1 Электронно- лучевые приборы и их применение в научных исследованиях. Электронно- оптическая система как основная функциональная часть электронно- лучевых приборов.

4.2 Математическая модель электронно-оптической системы.

4.3 Численный анализ электростатических полей отдельных каскадов ЭОС

4.4 Численный анализ электростатических полей многоэлементных ЭОС существенно трехмерной структуры.

4.5 Библиотека прикладных программ численного анализа и синтеза много

4.6 Численный анализ реальных электронно-оптических систем. Технология синтеза ЭОС на персональных комьютерах.

4.7 Синтез ЭОС электронно- оптических преобразователей изображения

5 Математическое моделирование ТЕМ-камеры. Синтез измерительных устройств и их калибровка в стационарном электромагнитном поле

ТЕМ-камеры

5.1 Математическая модель ТЕМ-камеры и алгоритмы ее численного анализа

5.2 Численное исследование реальной конструкции ТЕМ-камеры.

5.3 Рассеяние электростатического поля ТЕМ-камеры на проводящей поверхности вращения

5.4 Рассеяние электростатического поля ТЕМ-камеры на параллелепипеде

5.5 Рассеяние электростатического поля ТЕМ- камеры системой проводящих поверхностей.

5.6 Синтез измерительных датчиков и их калибровка в стационарном электромагнитном поле ТЕМ-камеры .;

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование многоэлементных электротехнических систем трехмерной структуры методом конечных групп»

Трудно представить успешное развитие хотя бы одной области современной науки или ехники, исследования в которой обходятся без использования соответствующих радиофизических устройств; в то же время, создание сложной регистрирующей, изме-жтельной и другой аппаратуры, отвечающей требованиям практики, базируется на •овременных научных и инженерных достижениях и не осуществимо без построения ;оответствующих трехмерных математических моделей, их высокоточного численного анализа.

На примере электронно-лучевых приборов и ТЕМ-камеры Крауфорда [89], в дис-ертации рассмотрены вопросы математического моделирования, численного анализа, а ta этой основе и синтеза, многоэлементных радиофизических устройств сложной струк-уры.

1. Электрон но-лучевой прибор (ЭЛП) определяют как электровакуумный прибор, 'ействие которого основано на формировании и управлении по интенсивности и положению одним или более электронными лучами (пучками). По функциональному на-наченню ЭЛП можно разделить на четыре основные группы: приемные ЭЛП, пре-бр<иук>1Ш!»- « кгкий сигнал в изображение; передающие ЭЛП, преобразующие

•птическое ичооражение в последовательность электрических сигналов; запоминающие >. III. предназначенные для чаписц. хранения, преобразования, считывания или воспро-пведения информации: кодирующие и функциональные ЭЛП, преобразующие электрические сигналы в ».гектрические сигналы другого вида или воспроизводящие зави-имости между >гнчсн сигналами. В свою очередь, в каждой из перечисленных групп -)ЛП можно выдели: ?, основные подгруппы, например, к приемным ЭЛП относятся .шю копы. !п»мм"1й»-нные для воспроизведения телевизионного изображения; про-•кционные ЭЛП. ;1;к\ша значенные для получения изображения на внешнем экране; шдикаторные ЭЛП, предназначенные для воспроизведения информации от электри-1еских сигналов, управляющих интенсивностью электронных лучей, отклоняемых по определенному закону; осциллографические ЭЛП, предназначенные для графического зоспроизведения сигнала; знакопечатающие ЭЛП, в которых отображаемая на экране информация формируется с помощью матрицы знаков; просвечивающие ЭЛП, предназначенные для получения перемещающегося по экрану интенсивного точечного источника: фоторегистрирующие ЭЛП, предназначенные для воспроизведения изображения речня видно, что область применения ЭЛП достаточно обширна- от бытовой техники до технических устройств, используемых при изучении термоядерного синтеза и процессов, протекающих в плазме.

Важность ЭЛП для научных исследований можно проследить на примере только одного представителя вакуумных фотоэлектронных приборов.

К числу быстро развивающихся разделов электронной техники относится разработка вакуумных фотоэлектронных приборов для многообразных измерений световых сигналов в видимой, ближней ультрафиолетовой и инфракрасной областях спектра. Электровакуумные фотоэлектронные приборы- фотоэлементы, фотоэлектронные умножители и электронно- оптические преобразователи широко применяются в ядерной физике, астрономии, медицине и многих других отраслях науки и техники. Эти приборы обьединяют однотипность применяемых фотокатодов и вторичных катодов, общность технологич«-ки\ процессов и пшонлення и конструктивных элементов, все более сближающиеся об.ы. :н применения. ( -ишрых в первую очередь следует выдеппь исследования п[*>цессов. <о!цх>в«.+. .1* :.,!\« я очень слабым световым излучением, а также быстро протекающих процессов.

Исследование изображений самых ра (.¡¡г; \ < *">ы-ктов. таких как далекие звезды и биологические клетки, плазма, и кристаллы, ночной ландшафт и сам человек в настоящее время не обходится без использования < < «и вегствуюших типов электронно- оптических преобразователей изображения ООП . ч;>'днд»пяченных для преобразования спектрального диапазона, усиления ярк»- ги и «*'>;>ажения и регистрации сверхбыстрых процессов.

По преобразованию спектрального лия;:.* • ча :ЮП охватывают ближнее инфракрасное, видимое, ультрафиолетовое излуч>-ни»\ жесткое и мягкое ренгеновское излучение, нейтронное и гамма-излучение. Интенсивно ведутся работы по значительному расширению диапазона спектрального состава изображения ЭОП в длинноволновую область спектра.

В видимом диапазоне ЭОП позволяют увеличивать яркость изображения в сотни тысяч раз. Быстродействие ЭОП настолько велико, что удается с их помощью создавать устройства с временным разрешением 10 12 с, а также показана принципиальная 10~15с.

Достигнутый в настоящее время прогресс в области создания ЭОП одно- и многокамерной конструкций наряду с разработкой методов быстрого управления электронным изображением обеспечил ЭОП широкое применение в самых различных областях физики, астрономии, биологии, ренгеноструктурном анализе и т.д. Так, в результате применения ЭОП для ядерных исследований, были созданы люминесцентная и черенковская камеры, осуществлена фазировка встречных пусков с высокой точностью, проведено фотографирование широких атмосферных ливней в черенковском свете и ряд других уникальных экспериментов.

В области физики и спектроскопии плазмы практически все исследования искровых разрядов производятся с помощью ЭОП. Среди достижений в этой области следует отметить первую электронно- оптическую развертку процесса расширения канала искры в газе под давлением, фотографирование бесстолкновительных ударных волн в свете отдельных спектральных линий, лазерную диагностику плазмы высокой чувствительности и др.

В биологических исследованиях ЭОП помогли существенно сократить дозу облучения при ренгеновских исследованиях, в электронном и ультрафиолетовом микроскопах, значительно снизить время экспозиции при ренгеноструктурном анализе.

В квантовой оптике с помощью ЭОП детально исследовано явление лазерного пробоя и обнаружена генерация в ОКГ световых импульсов длительностью 10~пс.

Большой вклад в развитие ЭОП для научных исследований, особенно для регистрации быстропротекающих процессов, внесен отечественными учеными М. М. Бутсло-вым, Е. К. Завойским, Б. М. Степановым, С. Д. Фанченко и др.

Развитие ЭОП, предназначенных для научных исследований, происходит, в основном, по следующим направлениям: создание ЭОП с предельным усилением для регистрации сверхслабых процессов, создание ЭОП с затворами и системами развертки изображения для регистрации процессов длительностью Ю-9 — 10~15с, создание ЭОП для регистрации процессов, сопровождающихся ренгеновским, 7- и нейтронным излучением.

Процесс проектирования различных типов ЭЛП (в том числе и ЭОП) базируется электронно-оптической системы (ЭОС), с последующими стендовыми испытаниями макета, что, кроме соответствующих материальных затрат, требует и значительного времени: в случае сложных ЭОС изготовление макета и его испытания занимают от нескольких месяцев до года. При таком технологическом процессе возможности создания качественно новых конструкций, отвечающих растущим техническим требованиям, существенно ограничены. Кроме того следует подчеркнуть, что работы над фемтосекунд-яым ЭОП во всех странах, планирующих создание такого свербыстродействующего прибора, начались с активного математического моделирования на ПЭВМ электронно-эптических систем, использующих для формирования электронного изображения как электростатическое поле, так и статическое электромагнитное поле. Это означает, что необходимым условием создания фемтосекундных ЭОП признается построение соответствующих математических моделей ЭОС и их реализация в виде пакетов прикладных программ. Последнее справедливо и при разработке ЭОС других классов ЭЛП.

Электронно-оптические системы с электростатической фокусировкой состоят обычно из нескольких десятков электродов различной формы и размера, на которые поданы заданные потенциалы. Трудность вычисления электростатического ноля, создаваемого электродами ЭОС и предназначенного для формирования электронных пучков, обусловлена количеством электродов, их разнородностью, несопоставимостью характерного размера системы и расстояний между отдельными электродами (различия могут достигать двух- трех порядков); при этом регистрируемой информацией является размер сечения пучка электронов, что приводит к необходимости вычисления электростатического поля ЭОС с погрешностью, не превышающей доли процента. Если дополнительно к электростатическому полю для управления электронными пучками привлекается и магнитостатическое поле, то возникают соответствующие задачи магнитостатики, по сложности построения численного решения эквивалентные задачам электростатики.

Электронно- оптические системы разных классов ЭЛП, несмотря на все технологические и функциональные отличия, допускают описание в рамках единой математической модели. Последнее служит основой для разработки программ численного анализа наиболее актуальных трехмерных моделей ЭОС, позволяющих синтезировать на ПЭВМ многоэлементные системы для различных классов ЭЛП, основываясь только на конподчеркнуть, что существующее в настоящее время программное обеспечение предназначено для численного моделирования ЭОС с осевой и цилиндрической симметрией (двумерные краевые задачи), а также для решения некоторых простейших трехмерных задач, возникающих при конструировании ЭОС.

Создание программ для численного исследования математических моделей некоторых электронно-оптических систем началось в шестидесятые годы, а сложившееся к середине семидесятых состояние в этой области подробно рассмотрено в книге В. П. Ильина "Численные методы решения задач электрооптики" [46]. Основным аппаратом того времени при разработке алгоритмов численного исследования ЭОС являются методы конечных разностей, а основным объектом анализа- двумерные системы. Логическим продолжением данного направления является последняя версия программы "Simion", предназначенная для решения некоторых трехмерных (в предшествующих версиях исследовались двумерные задачи) ионных задач спектроскопии, авторами которой яв-ляютя D. A. Dahe, J. PI Delmore (Idaho National Engineering Laboratory). Отметим, что данная программа не используется для моделирования Э0<* set %л достаточно большой погрешности вычислений, обусловленной ошибками, возникающими при описании сложных и разнородных по форме электродов ЭОС.

К середине восьмидесятых годов наравне с методами конечных разностей для математического моделирования различных классов ЭОС привлекаются и методы граничных интегральных уравнений, именно, в книге того же В. П. Ильина "Численные методы решения задач электрофизики" [47] описана разработанная под его руководством программа "Эфир" численного исследования осесимметричных задач электрооптики, построенная на алгоритмах метода граничных интегральных уравнений. Метод граничных интегральных уравнений активно используется при разработке прикладного программного обеспечения для моделирования ЭОС и английской фирмой "Munro's Electron Beam Ltd", являющейся одним из ведущих мировых производителей в этой области программного обеспечения. В то же время следует подчеркнуть, что большинство пакетов прикладных программ, разработанных фирмой "Munro's Electron Beam Ltd", ориентировано на исследование двумерных моделей ЭОС, и только некоторые из них позволяют провести численный анализ простейших трехмерных задач. Такое положение вещей является типичным в этой области прикладного матобеспечения, что отмечалось и на последнем конгрессе по скоростной фотографии- "23rd International Congress on High-Speed Photography and Photonics, September 1998, Moscow, Russia

Работы над электронно- оптическими системами для фемтосекундных ЭОП, проводимые в настоящее время во многих странах мира, являются одним из многочисленных примеров актуальности построения математических моделей многоэлементных ЭОС трехмерной структуры, необходимости создания и внедрения библиотек прикладных программ численного анализа ЭОС ЭЛП, позволяющих на ПЭВМ синтезировать устройства с заданными характеристиками.

2.ТЕМ-камера Крауфорда предназначена для изучения электромагнитной совместимости приборов и систем и используется в электронной, автомобильной и авиационной промышленности, ракетостроении и т.д., и хотя образующих ее электродов всего два- корпус и внутренняя шина, камера имеет сложную, существенно трехмерную геометрию. Основное функциональное требование, предъявляемое к ТЕ М-камере, это наличие при заданных габаритах максимально возможного так называемого рабочего обьема устройства с известным и слабо меняющимся электромагнитным полем. Допустимая относительная величина изменения электромагнитного поля в рабочем обьеме определяется областью применения и режимом эксплуатации ТЕМ-камеры и варьируется от нескольких процентов до долей процента. Поэтому проектирование ТЕМ-камер изначально основывалось на предварительных расчетах, но только проведенный с высокой точностью численный анализ соответствующих трехмерных краевых задач, определяемых режимом эксплуатации ТЕМ-камеры, позволяет создать устройство, отвечающее современным техническим требованиям.

Для эффективной эксплуатации ТЕМ-камеры большой практический интерес представляет задача рассеяния электромагнитного поля ТЕМ-камеры различными системами замкнутых и незамкнутых экранов, многие из которых по сложности своей геометрии эквивалентны ЭОС, и, следовательно, при анализе полей ТЕМ-камеры и рассеяния этих полей системами экранов возникают проблемы того же порядка сложности, что и при моделировании ЭОС. Кроме того, основной регистрируемой величиной при изучении электромагнитной совместимости различных систем являются именно элекгрические токи, наведенные на этих системах электромагнитным полем ТЕМ-камеры. Измерение последних с достаточной точностью сопряжено со значительными технологическими сложностями.

Существующая технология создания эталонных измерительных устройств электромагнитного поля включает и производство генераторов калибровочных полей специального вида, что существенно повышает погрешность (до 10 процентов) измерений »талонных образцов, повышает стоимость их изготовления. Для калибровки обычных не эталонных) измерительных устройств широко применяется ТЕМ-камера, однако сочность калибровки различных датчиков в рабочем объеме ТЕМ-камеры ниже, чем три использовании специальных генераторов электромагнитных полей.

При низкочастотном возбуждении электромагнитное ноле ТЕМ-камеры является свазистатическим, что позволяет калибровать различные измерительные приборы при ¡аданных электростатических потенциалах электродов (корпус и внутренняя шина) ГЕМ-камеры. Поэтому в этом случае можно ограничиться анализом электростатического поля ТЕМ-камеры и рассеянием исходного поля различными проводящими объектами, внесенными в объем ТЕМ-камеры.

Из сказанного выше непосредственно следует, что для успешного процесса разра-хпки, создания и эксплуатации ТЕМ-камеры требуется построение соответствующих :исленных моделей: предварительные расчеты поля ТЕМ-камеры заданной формы по-;валяют оценить возможности данной конструкции и, в конечном счете, синтезировать стройство, в определенном смысле оптимально удовлетворяющее заданным характе-»истикам. при этом могут быть определены допуски при сборке реальной конструкции. * свою очередь, численный анализ рассеяния поля ТЕМ-камеры на проводящих поV ерхностях заданной формы позволяет оценить возмущения исходного поля, внесенные, >азличными техническими системами или измерительными датчиками. Кроме того, •ели численный анализ данной задачи может быть проведен с высокой точностью, то юзникает возможность калибровки с неменьшей точностью и измерительных приборов, шлоть до создания эталонного образца; "привязка" к рабочему объему ТЕМ-камеры $ этом случае не требуется. Численный анализ задач рассеяния не менее важен и при ^посредственной эксплуатации ТЕМ-камеры, например, для прогнозирования электромагнитной совместимости различных приборов и систем.

Геометрия ТЕМ-камеры такова, что задача численного моделирования электростагого поля на проводящих поверхностях, представляют собой существенно трехмерные ¡адачи, решение которых обусловлено рядом принципиальных трудностей, связанных :о сложной геометрией и разнородностью граничной поверхности, образованной элек-гродами ТЕМ-камеры и соответствующими экранами. В свою очередь, дискретизация данной граничной поверхности с приемлемой точностью приводит к необходимости по-;троения экономичных и устойчивых алгоритмов численного решения сеточных задач >чень большого размера. Поэтому известные вычислительные процедуры в данном слу-гае оказываются малоэффективны и не позволяют провести численный анализ полей ГЕМ-камеры с необходимой точностью. Из-за этого от трехмерных моделей на практике обычно отказываются и переходят к более простым и менее точным качественным двумерным моделям.

3. На примере ЭОС ЭЛП и ТЕМ-камеры выше было показано, что неотъемлемой оставляющей процесса разработки, создания, а в последнее время, и эксплуатации •азнообразных мтлгмлементных электротехнических систем, находящих применение . различных области х науки и техники, вплоть до бытовых приборов, является по-троение численных моделей, поскольку анализ последних позволяет в реальное время 1 г следовать десятки варили гов конструкции искомой системы, не прибегая при этом к озданию дорогостоящих опытных образцов, значительно расширяет границы возмож-юго поиска оптимальной конструкции системы и, в конечном итоге, позволяет синте-.ировать устройство, параметры которого близки к заданным; при таком численном кхледовании удается гакже оценить те характеристики системы, физическое измере-ше которых либо трудоемко, либо невозможно с требуемой точностью.

Моделирование *.к-*тростатических систем включает вычисление распределения 1лотности электростатических зарядов на элементах системы, возникновение которых >бусловлено либо внешним электростатическим полем, либо известными потенциалами или зарядами, поданными на элементы системы, численный анализ вторичных потей, порожденных данным распределением зарядов, определение собственных и взаимных емкностных коэффициентов элементов системы и некоторых других характеристик устройства. Математическая формулировка перечисленных проблем приводит к различным краевым задачам для уравнения Лапласа или Пуассона с образованным элементами системы множеством граничных точек, допускающих решение в рамках метода граничных интегральных уравнений; при этом следует подчеркнуть, что не существует устойчивых и экономичных, за исключением описанных ниже, методов численного решения граничных интегральных уравнений, позволяющих получить искомое решение с погрешностью, не превышающей доли процента в случае сложной, существенно трехмерной границы. Необходимость столь высокой точности расчетов обусловлена технологией создания и эксплуатации реальных многоэлементных электротехнических систем, требованиями к их рабочим характеристикам.

Потенциальные и соленоидальные поля, допускающие представление через функцию потенциала, удовлетворяющую уравнению Лапласа, возникают не только при описании физических процессов электростатики, но и магнитостатики, стационарной теплопроводности, при изучении некоторых типов движения жидкости, течений в пористой среде, диффузии и т.д. [18, 109]. Математическое моделирование указанных процессов наиболее часто основывается на методах интегральных уравнений, конечных (76| либо граничных [5, б] элементов; при этом выбор конкретного метода численного исследования в первую очередь определяется граничными условиями и допустимой погрешностью приближенного решения соответствующих краевых задач для уравнения Лапласа. Среди задач электростатики и магнитостатики особый интерес представляют задачи рассеяния первичного поля различными обектами, занимающими конечный обьем, что отвечает уравнению Лапласа или Пуассона с граничными условиями Дирихле, Неймана, Коши (условия смешанного типа), импедансного типа (условия Робина) или условию "скачка" нормальной производной потенциала [70, 72, 73], заданными на множестве граничных точек конечной меры. Отметим, что затруднение вызывает простой перечень типов реальный систем, описание которых требует численного анализа указанных краевых задач, при этом аналогичная ситуация имеет место и в случае других потенциальных и соленоидальных полей. Построение решения перечисленных задач в неограниченном пространстве с неоднородностями, занимающими конечный обьем, наиболее оптимально проводить в рамках метода интегральных уравнений, поскольку последний позволяет основной составляющей численного исследования краевой задачи сделать вычисление решения граничного уравнения, записанного на множнсте граничных точек конечной меры. С другой стороны, верификация новых методов [атематической физики общей теории потенциала проводится именно на уравнении 1апласа (Пуассона), и в этом смысле его можно рассматривать как эталонное среди инейных уравнений в частных производных.

В диссертации рассматриваются новые численные методы решения граничных ин-егральных уравнений краевых задач теории гармонических потенциалов со сложной, ущественно трехмерной границей, на основе которых проводится численное исследование некоторых классов (электронно- оптические приборы {3, 51, 84], ТЕМ- камера •Срауфорда [89] и ее применение для установления электромагнитной совместимости > аз личных изделий и т.д.) многоэлементных электротехнических систем трехмерной труктуры.

Интегральное уравнение теории гармонического потенциала было получено в 1828 •оду Грином [93], в 1870 году Нейман [104] в виде последовательных приближе-гий доказал существование решения интегральных уравнений для выпуклых областей, >днако начало собственно методу интегральных уравнених положили работы Фред-ольма [90, 91]. Известность метод интегральных уравнений получил благодаря ра-ютам В. Д. Купрадзе [54, 55], С. Г. Михлина [61], Н. И. Мусхелишвили [63], 5. И. Смирнова [71], дальнейшее развитие этого метода было продолжено в грудах (жесуона и Симма [99], Массоне [100], Гесса [96] и многих других. Теория разре-пимости интегральных уравнений потенциала на замкнутых гладких поверхностях в »временном изложении дана в монографии Д. Колтона и Р. Кресса [52]. Для незамкнутых гладких многообразий аналогичные результаты получены недавно в работах 85, 87, 88, 102, 105, 106, 110, 111]. Следует подчеркнуть, что реальные прикладные ?адачи, описание которых возможно в рамках теории потенциала, далеко выходят за границы этих двух классов поверхностей.

Первоначально интегральные уравнения рассматривались как аналитический метод ^следования граничных задач общей теории потенциала, поскольку построение реше-яий этих уравнений в явном виде было проведено только для очень простых границ, в гом числе и с использованием функции Грина [62], но появление ЭВМ второго поколения сделало возможным численное решение непосредственно интегральных уравнений. Первый успешный опыт такого решения приведен в книге JL В. Канторовича и

В. И. Крылова [50], где численное решение одномерного уравнения Фредгольма второго рода было построено методом Крылова- Боголюбова. Так же используя кусочно-постоянную аппроксимацию неизвестной функции и метод коллокации, Джесуон [97] и Симм [112] получили решения для простых двумерных задач Неймана и Дирихле для уравнения Лапласа на основе одномерных интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода. В этих же работах описана методика решения задачи Коши (смешанные граничные условия) на основе третьей формулы Грина, численные результаты приведены в [112] и опубликованы Джесуоном и Понтером [98]. Двумерные задачи электротехники с импедансными граничными условиями рассмотрены Харингтоном с соавторами [95], при этом ими предложена кусочно- линейная аппроксимация функции плотности источника. О. Ф. Антоненко [2] было получено численное решение осесимметричных задач электротехники с граничными условиями типа Дирихле; при построении вычислительной схемы использовалась кусочно- постоянная аппроксимация функции источника. Отметим, что в случае осесимметричных задач одномерные интегральные уравнения имееют более сложные ядра, чем в случае двумерных задач на плоскости. Подобный подход впоследствии использовали Маутц и Харингтон [101]. Таким шра юм. к концу Ш гых годов была показана принципиальная возможность численного анализа основных краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на основе интегральных уравнений теории гармонических потенциалов.

Параллельно с численными методами решения интегральных уравнений теории гармонических потенциалов в 60-тые годы в работах Е. Н. Васильева, В. И. Дмитриева, Е. В. Захарова, А. С. Ильинского. В. В. Кравцова, А. Г. Свешникова, Харингтона и других (см. монографии [9. 26. 18, 49, 94, 14, 64] и библиографию к ним) получают развитие методы численного решения интегральных уравнений задач акустики и электрод и нам и к и, и с этого вр**мени (начало 70-тых годов) интегральные уравнения становятся одним из ведущих методов численного анализа линейных краевых задач математической физики.

Для построения численного решения интегрального уравнения в настоящее время применяют методы: моментов (ММ) [94], граничных элементов (МГЭ) [5, 6], Галеркина (МГ) [103, 114] и некоторые другие; основу этих методов составляют идеи И. Г. Бубнова [7] и Б. Г. Галеркина [15], что подробно исследовано в монографии К. Флетчера [76]. Учитывая это и то, что при использовании простейших базисных и пробных методы приводят к эквивалентным вычислительным схемам, многие авторы достаточно свободно используют аббревиатуры (ММ), (МГЭ) и (МГ), обозначая любой из них просто процесс дискретизации интегрального уравнения.

Численный анализ краевых задач с трехмерной и существенно трехмерной границей даже в теории гармонических потенциалов сопряжен с большими трудностями: в монографиях М. А. Алексидзе [1], К. Бреббия с соавторами [5, 6], В. П. Ильина [47], И. К. Лифанова [56], И. В. Людкевича с соавторами [58] приведены численные исследования либо двумерных задач, либо трехмерных задач с простой границей, не требующей для своего описания большого числа граничных элементов. Последнее обусловлено тем, что при дискретизации интегрального уравнения возникает плотно заполненная матрица, для обращения которой одним из прямых методов требуется порядка 0(п3) арифметических операций, п- размер матрицы, при этом для матриц большого размера тг (в современной литературе это одна-две тысячи) трудно указать устойчивую процедуру их численного обращения. В то же время, численный анализ трехмерных и существенно трехмерных задач приводит к необходим«гти обращения числовых матриц размера в несколько десятков тысяч и более, и, следовательно, возникает потребность в устойчивых и экономичных алгоритмах, без потерн точтхти аппроксимации интегрального уравнения позволяющих получить решение рассматриваемых задач.

Одна из первых попыток построения экономичных методов решения интегральных уравнений теории потенциала основана на идее В. Д. Купрадзе. переформулировавшем интегральное уравнение на вспомогательную поверхность [•>>{. Численными методами, в основу которых положено данное представление, занимались М. А. Алексидзе [1], А. X. Рахматулина и И. И. Кочетов [53], некоторые другие Авторы (см. библиографию в [1]). Алгоритмы, реализующие данные методы, действительно обладают определенной экономичностью, однако сильно неустойчивы и плохо приспособлены для вычисления поля в ближней зоне (вблизи границы рассеивателя), что, собственно, и представляет интерес в задачах теории потенциала. Отметим, что в развитие идеи Купрадзе, Ю. А. Еремин и А. Г. Свешников разработали метод дискретных источников для определения электромагнитных полей в дальней зоне [27].

Продвинутость быстрых алгоритмов обращения матриц специального вида [13, 80] юслужила предпосылкой использования этих алгоритмов вычислительной алгебры для шсленного решения интегральных уравнений, именно, в работах В. И. Дмитриева и 1!. Н. Воеводиной [11], В. В. Воеводина, А. Г. Свешникова и Е. Е. Тыртышникова 12], И. И. Лифанова и Е. Е. Тыртышникова [57] к численному решению электродинамических и газодинамических задач привлекаются быстрые алгоритмы обращения теп-гацевых матриц. Определенная незавершенность этих работ объясняется, по-видимому, обособленностью методов вычислительной алгебры от конкретных задач математической физики.

Метод разделения переменных, широко применяемый для отыскания частных ре-пений линейного дифференциального уравнения, в системах координат, в которых /равнение допускает разделение переменных, часто приводит к фундаментальным результатам, и, следовательно, представлялось естественным использование этого метода при построении численного решения некоторых классов интегральных уравнений. Предполагалось, что наиболее обширный из указанных классов образуют интегральные уравнения на поверхностях вращения: в теории гармонических потенциалов этот юпрос рассматривался в [107, 108, 115], однако ранее аппарат разделения переменных трименил Е. Н. Васильев для численного решения интегральных уравнений электроди-тамики, он же долгое время занимался исследованиями в этой области [9]. На основе разделения переменных решение интегрального уравнения на поверхности вращения Зыло представлено рядом Фурье, коэффициенты которого удовлетворяют одномерным интегральным уравнениям, записанным по образующей поверхности вращения; в то же зремя сложность ядер возникающих одномерных уравнений ограничила область применения данного подхода осесимметричными задачами, при этом вопросы численного суммирования рассматриваемого ряда Фурье остались неисследованными.

В монографии У. Миллера [60] показано, что применение теоретико- группового метода, основу которого составляет гармонический анализ на группах Ли [16, 77, 92], к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, позволяет установить связь между дифференциальным уравнением, системами координат, в которых это уравнение допускает решения с разделенными переменными, и свойствами получающихся при этом специальных функций.

При другом подходе, в основе которого лежат конечные подгруппы группы движений евклидова пространства, для краевых задачам с симметриями гармонический анализ на конечных некоммутативных группах позволяет привести соответствующие им граничные уравнения к канонической форме, определяемой только симметриями задачи. Переход от граничного интегрального уравнения к его канонической форме относительно конечной группы симметрий в численной реализации приводит к оптимизации по числу операций и повышению устойчивости методов численного анализа краевых задач, при этом указанные алгоритмы в известных условиях распространяются и на задачи без симметрий.

В общем случае краевых задач с некоммутативной конечной группой симметрий Р. П. Тарасовым [74, 75, 28, 29] для граничных уравнений были введены представления в виде операторных уравнений свертки на группе симметрий краевой задачи, а в случае симметрий правой части на основе формализма индуцированных представлений определены операторные уравнения на смежных классах группы симметрий граничного оператора по подгруппе симметрий правой части и описаны их канонические формы, использующие неприводимые представления группы симметрий краевой задачи. Вычислительные алгоритмы, построенные в рамках такого подхода, в существенном расширяют класс краевых задач, допускающий численный анализ [75, 28, 29].

4. Построение высокоточных численных моделей многоэлементных электротехнических систем трехмерной структуры потребовало создания новых, оптимальных по числу операций и устойчивых методов решения граничных интегральных уравнений основных краевых задач теории гармонического потенциала со сложной, существенно трехмерной границей. Разработке таких методов и вычислительных алгоритмов, в достаточной мере отвечающим условиям оптимальности и устойчивости, посвящены первые три главы диссертации. В заключительных главах на примере конкретных представителей двух существенно отличных классов реальных электротехнических систем показано, что программы, реализующие алгоритмы первых трех глав, позволяют проводить высокоточное моделирование именно целых классов систем, что, в свою очередь, служит основой синтеза устройств с заданными характеристиками.

В первой главе диссертации рассматриваются линейные краевые задачи общего вида теории гармонических потенциалов с конечной абелевой группой симметрий, показывается, что симметриями краевой задачи обладает и ее граничное уравнение. Последнее позволяет перейти от граничного интегрального уравнения краевой задачи с симметриями к N независимым уравнениям, 14- порядок абелевой группы, каждое из которых записано по 1/ДГ части граничной поверхности- фундаментальной области конечной абелевой группы симметрий краевой задачи. Описаны два алгоритма построения канонических форм граничных интегральных уравнений краевых задач теории потенциала с конечными абелевыми группами симметрий, при этом основу первого из них составляет теория характеров и переход к каноническому базису в пространстве регулярного представления группы, второго- формализм преобразования Фурье функций на конечных группах и переход от граничного уравнения к уравнению свертки на конечной абелевой группе. Для прямых вычислительных методов обращения числовых матриц, переход от интегрального уравнения краевой задачи к N уравнениям его канонической формы относительно абелевой группы порядка ¡4, позволяет в ~ ./V2 раз сократить число операций вычисления приближенного решения граничного уравнения, при этом алгоритмы, реализующие данное представление, обладают более высокой вычислительной усточивостью и меньшей погрешностью вычислений, чем алгоритмы, не учитывающие симметрий исходной краевой задачи.

Канонические формы граничных уравнений для абелевых групп малого порядка 14, 2 < N < 8, построены в явном виде, при этом показано, что задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа и их интегральные уравнения обладают симметриями граничной поверхности. Проведен численный анализ задачи Дирихле для уравнения Лапласа на выпуклых и невыпуклых многогранниках с абелевой группой симметрий восьмого порядка, а также задачи мягкого рассеяния плоской акустической волны при произвольном падении на тело или поверхность вращения, частично экранированные соос-ной поверхностью вращения; рассматривались системы больших волновых размеров, что потребовало аппроксимации искомой граничной поверхности ~ 105 поверхностными элементами.

Методы численного анализа краевых задач общего вида теории гармонических потенциалов с конечными группами могут быть распространены на задачи без симметрий, именно, во второй главе предложен "метод редукции" граничного интегрального уравнения без симметрий к двум задачам, одна из которых описывается симметриями конечной группы, другая допускает достаточно простое решение. Для реализации этого метода граница Б краевой задачи без симметрий погружалась в 3': 3 С 3, обладающую симметриями конечной (абелевой или неабелевой) группы, и показывалось, что интегральное уравнение исходной краевой задачи в известных условиях эквивалентно интегральному уравнению на § и дополнительной задаче на § \ 5. Поскольку для обращения интегрального оператора на 3 могут быть использованы оптимальные по числу операций алгоритмы метода конечных групп, описанного выше, то в условии, что мера множества § \ 3 меньше 5, рассматриваемый метод редукции приводит к экономичной вычислительной схеме численного анализа исходной краевой задачи без симметрий. Последнее подтверждают и многочисленные примеры решения конкретных задач, именно, на основе метода редукции проведен численный анализ задач Дирихле и Неймана на поверхностях сложной формы без симметрий, допускающих погружение в поверхности вращения, в поверхности с симметриями конечных групп (абелевых и неа-белевых) восьмого порядка, в поверхности с симметриями группы Клейна и некоторые другие, при этом порядок дискретизации соответствующих граничных интегральных уравнений варьировался от нескольких тысяч до нескольких десятков тысяч.

В третьей главе показано, что область приложения метода конечных групп и метода редукции, может быть существенно расширена на основе их совместного использования с итерационными алгоритмами. Действительно, граница Б краевой задачи общего вида без симметрий, может быть представлена в виде 5 = и ¿4, таким образом, чтобы некоторые из элементов 3', границы Б либо описывались симметриями конечной группы, либо допускали погружение в элементы 3',: 3; С 5',, с симметриями, в условии численной эффективности метода редукции. Тогда, рассматривая каждый элемент Заграницы Я независимо от других, как отдельный элемент, находящийся во внешнем поле остальных элементов, можно построить итерационный процесс, каждый шаг которого сводится к решению интегрального уравнения на элементе границы Э. При формализации такого итерационного процесса оказывается, что он представляется операторным аналогом матричного метода Зейделя, при этом на каждой итерации обращается диагональная операторная матрица, элементы которой соответствуют одному участку Заграницы Б, и, следовательно, обращение указанных операторов диагональной матрицы может быть проведено независимо на основе алгоритмов метода конечных групп и метода, редукции. Такой итерационный процесс, оставляя порядок аппроксимации инобращаемых числовых матриц и к существенному уменьшению объема вычислений при решении исходного граничного уравнения.

При построении решения канонических форм граничных интегральных уравнений краевых задач с симметриями конечной группы можно использовать не только прямые численные методы обращения числовых матриц, именно, в заключительных параграфах третьей главы предложены итерационные методы решения канонических форм граничных уравнений, при этом оказалось, что структура канонических уравнений позволяет строить итерационные схемы, существенно сокращающие число операций в сравнении с прямыми методами их решения. Кроме того, указанные итерационные схемы реализуют симметрии фундаментальной области конечной группы граничной поверхности краевой задачи, что также приводит к значительному сокращению обьема вычислений (в десятки раз).

Таким образом, итерационные методы в численном анализе краевых задач теории гармонических потенциалов используются двояко: для построения алгоритмов, учитывающих локальные симметрии несимметричной в целом граничной поверхности и .тля построения экономичных схем численного решения канонических форм граничных уравнений. В третьей главе на основе итерационных алгоритмов, метода конечных групп и метода редукции, с высокой точностью проведен численный анализ ряда существенно трехмерных систем. Кроме того, на основе соответствующих итерационных схем, построено решение канонических уравнений интегрального уравнения первого рола задачи Дирихле с абелевой группой восьмого порядка, записанных по фундаментальной области с группой симметрий Клейна, при этом обьем вычислений был уменьшен в ~ 50 раз. Если учесть, что переход от граничного уравнения к его канонической форме относительно абелевой группы восьмого порядка уже привел к уменьшению обьема вычислений в ~ 64 раза, то построение решения граничного уравнения по данной схеме в ~ 3 х 103 раз экономичнее, чем его решение традиционными методами.

Метод конечных групп, включающий метод редукции и итерационную сшивку, теории гармонических потенциалов, позволяет провести численный анализ сложных технических систем, два класса которых рассмотрены в заключительных главах, при этом моделируемые системы существенно разнородны и имеют отличные области применены.

В четвертой главе рассматривается численный анализ многоэлементных электронно-»птических систем сложной структуры, в основу которого положено разработаное и >формленное в виде библиотеки прикладных программных модулей для ПЭВМ программное обеспечение, реализующее алгоритмы метода конечных групп (глава 1), метода редукции (глава 2) и итерационную сшивку (глава 3). Показывается, что эффективность численного анализа многоэлементных, существенно трехмерных конструкций шектронно-оптических систем делает связку <Конструктор-ПЭВМ> основным техно-тогическим звеном в процессе синтеза качественно новых приборов.

В первом параграфе главы дается краткая классификация электронно-лучевым приборам, характеризуется область их применения в научных исследованиях, описывается кгновная функциональная часть- электронно-оптическая ситема. Кроме того в этом >азделе отмечено, что несмотря на все технологические и функциональные отличия, «лектронно- оптические системы разных классов ЭЛП допускают описание в рамках диной математической модели.

Математическая модель электронно-оптической системы, включающая постановку •лектростатической тадачи. постановку магнитостатической задачи и методов ее реше-1ия. задачу интегрирования уравнений движения заряженных частиц в стационарном »лектромагнитном поле и методы ее решения, приведена во втором параграфе четвертой главы.

В третьем параграфе, в рамках метода конечных групп (глава 1) и метода редукции глава 2), строятся алгоритмы численного анализа электростатических полей, создаваV

•мых отдельными каскадами (электродами) электронно-оптических ситем.

На основе итерационных методов с конечными группами в четвертом параграфе {астоящей главы строятся алгоритмы численного анализа электростатических полей, создаваемых электродами электронно-оптической ситемы в целом.

В пятом параграфе приводится описание библиотеки прикладных программ численного анализа и синтеза многоэлементных электронно-оптических систем сложной структуры. По заключению экспертов Международного Научно-Технического Центра (МНТЦ), указанная библиотека программ не имеет аналогов.

Численный анализ реальной электронно-оптической ситемы хронографического электронно-оптического преобразователя проведен в шестом параграфе четвертой главы. Там же описана технология синтеза электронно-оптических систем на персональных комьютерах.

В седьмом, заключительном параграфе четвертой главы, описывается синтез конкретной электронно-оптической ситемы электронно-оптического преобразователя, показывается, что разработка современных конструкций электронно-оптических систем практически не осуществима без этапа математического моделирования.

В пятой главе диссертации в рамках метода конечных групп решается задача численного моделирования электростатического поля ТЕМ-камеры Крауфорда [89,113], а также проводится численный анализ рассеяния полей ТЕМ-камеры на системах экранов, при этом погрешность вычислений составляет порядка долей процента. Последнее позволяет с высокой точностью проводить калибровку измерительных датчиков в поле ТЕМ-камеры .

В первом параграфе пятой главы описана математическая модель ТКМ-клмеры и алгоритмы ее численного анализа, основу которых составляют канонич«ч кн<- формы граничных уравнений с группой симметрий Клейна, неабг.и'вой группой ш»чтнндцл~ того порядка, имеющей структуру прямого произведения группы квадрата восьмого порядка и группы второго порядка, а также матричный итерационный метод Зейделя с конечными группами.

Алгоритмы, описанные в первом разделе настоящей главы, были реализованы в виде отдельного программного модуля, вошедшего в БПГ1 математического моделирования ТЕМ-камеры. Краткое описание данного программного модуля приводится во втором параграфе. Там же приводятся результаты численного исследования конкретной конструкции ТЕМ-камеры, направленные на определение характеристик рабочего обьема устройства, то есть обьема, в котором вариация вектора напряженности электрического поля мала. Все исследования были проведены на основе созданного программного модуля.

В третьем параграфе описана математическая модель рассеяния электростатического поля ТЕМ-камеры на проводящей поверхности вращения, приведены разработаные в рамках метода конечных групп и итерационных алгоритмов с конечными группами илгоритмы ее численного исследования. Там же дано краткое описание программного модуля, реализующего указанные алгоритмы, проведен численный анализ рассеяния электростатического поля на цилиндре, занимающем различные объемы рабочей облас-и ТЕМ-камеры.

Математическая модель рассеяния электростатического поля ТЕМ-камеры проводящим параллелепипедом рассматривается в четвертом параграфе настоящей главы. Гам же приведены алгоритмы ее численного исследования, дано краткое описание программного модуля, реализующего указанные алгоритмы, проведен численный анализ рассеяния электростатического поля ТЕМ-камеры на квадратной пластине.

В пятом параграфе описана математическая модель рассеяния электростатическо-о поля ТЕМ-камеры системой проводящих поверхностей, приведены разработанные в замках метода конечных групп, включающего метод редукции и итерационную сшивку, шгоритмы ее численного исследования. Кроме того, описан программный модуль, реа-шзукяций указанные алгоритмы в случае системы из двух эквипотенциальных поверх-гостей, одна из которых- поверхность вращения, вторая- либо поверхность вращения, шбо параллелепипед.

В заключительном параграфе пятой главы описана существующая технология создания эталонных измерительных устройств, которая требует создания генераторов ка-габровочных полей специального вида, что существенно повышает погрешность (до 10 процентов) измерений эталонных образцов. Разработанное в §§1 — 5 настоящей главы фикладное программное обеспечение (БПП моделирования ТЕМ-камеры) позволяет гроводить калибровку измерительных датчиков в поле ТЕМ-камеры с погрешностью, че превышающей доли процента. Последнее проиллюстрировано на примере задачи ка-тибровки двухэлектродных измерительных датчиков, при этом результаты расчетов сопоставлялись с реальными измерениями, проведенными с использованием как опытных образцов, так и эталонного датчика Ростеста. По результатам испытаний, синтези-рованые и откалиброванные на базе БПП моделирования ТЕМ-камеры измерительные датчики, были аттестованы на уровне эталонного образца Ростеста.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23, 24], [30] - [45], [66, 67, 68, 86, 116], а также докладывались на IV (Харьков, 1989), V (Одесса, 1991) и VI (Харьков, 1993) Всесоюзных симпозиумах "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики", на конференции "Обратные и некоректно поставленные задачи" памяти академика А. Н. Тихонова (Москва, 1996), на XXIII Международном конгрессе "High-Speed Photography and Photonics" (Москва, 1998), [31, 34, 36, 116, 86].

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Сафронов, Сергей Иванович

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Для краевых задач с конечной абелевой группой симметрий порядка. X. Лг =

3.построены канонические формы их граничных уравнений на группе симметрий раевой задачи, показано, что переход от граничного интегрального уравнения к N не-ависимым уравнениям его канонической формы, каждое из которых записано по 1 |N ¡асти границы- фундаментальной области группы симметрий краевой задачи, в случае »елейного метода обращения матриц с числом операций 0(пгк), т- размер матрицы, юзволяет в ~ Д'*-1 раз сократить число операций вычисления приближенных) реше-{ия граничного уравнения, при этом алгоритмы, реализующие данное представление, )бладают более высокой вычислительной устойчивостью и меньшей погрешностью вы-гислений, чем алгоритмы, не учитывающие симметрий краевой задачи.

2. Для граничного интегрального уравнения краевой задачи общего вида теории гармонических потенциалов без симметрий предложен "метод редукции"этого уравнения < двум задачам, одна из которых описывается симметриями конечной группы, другая допускает достаточно простое решение. Основу метода редукции составляет погружеонечной группы, при этом было показано, что граничное интегральное уравнение исходной краевой задачи в известных условиях эквивалентно интегральному уравнению на 5 и дополнительной задаче на § \ Я. Метод редукции приводит к экономичным и устойчивым схемам численного анализа исходной краевой задачи без симметрий, что проиллюстрировано на задачах Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа со сложной, существенно трехмерной границей.

3. Область приложения метода конечных групп и метода редукции была существен-яо расширена на основе их совместного использования с итерационными алгоритмами, именно, показано, что матричные треугольные итерационные методы в сочетании с методами конечных групп и редукции позволяют реализовать локальные симметрии не симметричной в целом границы краевой задачи теории гармонических потенциалов. Такой итерационный процесс, оставляя порядок аппроксимации исходного граничного интегрального уравнения без изменений, приводит к значительному понижению размера обращаемых числовых матриц и к существенному уменьшению обьема вычислений при численном анализе трехмерных краевых ииач.

4. Предложены итерационные методы решения канонических форм граничных уравнений, показано, что структура канонических уравнений позволяет строить итерационные схемы, существенно сокращающие число операций в сравнении с прямыми методами их решения. Кроме того, предложенные итерационные схемы реализуют симметрии фундаментальной области конечной группы границы краевой задачи, что также приводит к значительному сокращению обьема вычислений.

Для численного исследования электронно-оптических систем (ЭОС) различных классов электронно-лучевых приборов (ЭЛП) и ТЕМ-камеры были разработаны две библиотеки прикладных программ, именно:

5. В рамках метода конечных групп разработан комплекс прикладных программ высокоточного численного анализа некоторых классов ЭОС ЭЛП сложной структуры, состоящих из нескольких десятков электродов различной формы и размера. Указанная библиотека программ положена в основу новой эффективной технологии синтеза ЭОС ЭЛП.

Заключение работе предложен метод конечных групп (включающий метод редукции гранично-о уравнения к задаче с симметриями и итерационную сшивку) численного анализа шнейных краевых задач теории гармонических потенциалов со сложной, существенно рехмерной границей. В рамках данного метода разработаны и реализованы на ПЭВМ •• виде комплексов прикладных программ алгоритмы численного моделирования широ-:о используемых в научных и прикладных исследованиях некоторых классов реальных шогоэлементных радиофизических гнетем сложной структуры.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Сафронов, Сергей Иванович, 1999 год

1. Алексидзе М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991.

2. Антоненко О. Ф. Численное решение задачи Дирихле для незамкнутых поверхностей вращения. В кн.: Вычислительные системы. Н.: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1964, N12, С. 39-47.

3. Баранова Л. А., Явор С. Я. Электростатические электронные линзы. М.: Наука, 1986.

4. Белоцерковский С. М., Лифанов й. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях.-М.: Наука, 1985.

5. Бреббия К., Уокер С. Применение граничных элементов в технике.-М.: Мир, 1982.

6. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов М.: Мир. 1987.

7. Бубнов И. Г. Строительная механика корабля: Ч. II.- СПБ: Типография морского министерства, 1914. 1986.1. V.

8. Васильев Е. Н. Об одной функции, встречающейся в задачах дифракции. J ЖВ-МиМФ. 1965, Т.5, N5. С. 841 850.

9. Васильев Е. Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.

10. Власов А. Г., Шапиро Ю. А. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем. Л.: Машиностроение, 1974.

11. Воеводина С. Н., Дмитриев В. И. Дифракция на конечной решетке круговых цилиндров. В кн.: Прямые и обратные задачи теории антенн. М.: Изд-во МГУ, 1976, С. 76-93.

12. Воеводин В. В., Свешников А. Г., Тыртышников Е. Е. Эффективный численный метод решения интегрального уравнения второго рода в задачах электродинамики. (| Вест. Моск. ун-та. Сер 15, Вычисл. математика и кибернетика. 1980, /V1. С. 14-26.

13. Воеводин В. В., Тыртышников Е. Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука, 1987.

14. Вычислительные методы в электродинамике. || под ред. Р. Митры. М.: Мир, 1977. N1. С. 14 26.

15. Галеркин Б. Г. Вестник инженеров, 1915, N19, с.897-908.

16. Гельфанд И. М., Наймарк М. А. Унитарные представления классических групп.-Труды Мат. ин-та им. Стеклова, т.36- 1950.

17. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, вып 1: Обобщенные'функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959.

18. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным граничным задачам математической физики.-М.: Гостехиздат, 1953.

19. Давыдов А. Г., Захаров Е. В., Пименов Ю. В. Алгоритм численного решения задачи о произвольном возбуждении идеально проводящего диска. В кн.: Методы вычислительной электродинамики. М.: йзд-во МГУ, 1981, С. 71-84.

20. Давыдов А. Г., Захаров Е. В., Пименов Ю. В. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях. || ДАН СССР. 1983, Т.269, N2. С. 329 334.

21. Демин С. К., Тарасов Р. П. Численное решение задачи рассеяния потенциального поля на системе экранов с симметрией. || ЖВМиМФ. 1989, Т.29, N9. С. 1308 -1317.

22. Демин С. К., Тарасов Р. П. Моделирование сложных электростатических систем, разбивающихся на подсистемы с конечной группой симметрий. || Мат. Моделирование. 1993, Т.5, N7. С. 113 123.

23. Демин С. К., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Численный анализ и синтез электронно- оптических систем сложной структуры.I || ЖТФ. 1998, Т.68, N2. С. 97 103.

24. Демин С. К., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Численный анализ и синтез электронно- оптических систем сложной структуры.!! || ЖТФ. 1998, Т.68, N7. С. 126- 129.

25. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода. В кн.: Вычислительные методы и програмиро-вание. М.: Изд-во МГУ, 1968, С. 49-54.

26. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987.

27. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1992.

28. Загородное И. А. Тарасов Р. П. Задача дифракции на телах с некоммутативной конечной группой симметрий и численное ее решение. || ЖВМиМФ. 1997, Т.37, N10. С. 1246 1262.

29. Загороднов И. А., Тарасов Р. П. Численное решение задач рассеяния на платоновых телах в классах функций с симметриями. || ЖВМиМФ. 1998, Т.38, N8. С. 1301 1313.

30. Захаров Е. В., Сафронов С. И. Метод численного решения нестационарных задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях. ¡| ДАН СССР. 1988, Т/298, N1. С. 68 73.

31. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. О методе численного решения трехмерных задач электростатики для систем экранов. | Тр. IV Всес. симпозиума "Метод дискретных особенностей в задачах мат. физ.", Харьков, 1989, 4.1. С. 117—119.

32. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Метод интегральных уравнений в краевых задачах с коммутативной группой симметрии конечного порядка. |j ДАН СССР. 1990, Т.314, N3. С. 589 593.

33. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Метод численного решения интегральных уравнений в краевых задачах с абелевой группой симметрий конечного порядка. || ЖВМиМФ. 1990, Т.ЗО, N11. С. 1661 1674.

34. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Абелевы группы конечного порядка в численном анализе линейных краевых задач теории потенциала. || ЖВМиМФ. 1992, Т.31, N1. С. 40 58.

35. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Конечные группы в численном анализе граничных интегральных уравнений. || Тр. VI Всес. симпозиума "Метод дискретных особенностей в задачах мат. физ.", Харьков, 1993, 4.1. С. 54 — 56.

36. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Конечные абелевы группы в итерационных методах решения краевых задач теории потенциала. |j ЖВМиМФ. 1993, Т.ЗЗ, N7. С. 1030 1042.

37. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Конечные группы в численном анализе граничных интегральных уравнений. || Дифф. урав. 1993, Т.29, N9. С. 1620 1631.

38. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Редукция к краевой задаче с конечной неабелевой группой симметрий на основе сплетающего оператора. || ЖВМиМФ. 1995, Т.35, N10. С. 1582 1591.

39. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Методы конечных абелевы группы в итерационных алгоритмах решения краевых задач с граничной поверхностьюсложной структуры. В кн.: "Численные методы в математической физике", М.:

40. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Численное решение граничных интегральных уравнений методом редукции к задаче с конечной неабелевой группой симметрий. || Дифф. урав. 1997, ТЗЗ., N9. С. 1233 1242.

41. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Итерационные методы решения граничных уравнений канонического вида в краевых задачах с симметриями. || ЖВМиМФ. 1998, Т.38, N5. С. 734 739.

42. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Граничные уравнения с разрывной группой диэдра в задачах дифракции на телах вращения. || Дифф. урав. 1999, Т.35, N10, С. 1398 1402.

43. Захаров Е. В., Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Граничные уравнения с разрывнодействующей группой диэдра в краевых задачах с симметрией вращения. || ДАН. 1999, Т.367, N6. С. 457 460.

44. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрооптики. Н.: Наука, 1974.

45. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985.1. V.

46. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

47. Ильинский А. С., Смирнов Ю. Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: Радиотехника, 1996.

48. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.-М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

49. Кельман В. М., Явор С. Я. Электронная оптика. Л.: Наука, 1968.220 . ■ V .

50. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.:

51. Кочетов И. И., Рахматулина А. X. Решение некоторых краевых задач для эллиптических уравнений с помощью интегральных уравнений 1-го рода. || ДАН СССР. 1974, Т.215, N3. С. 532 534.

52. Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории установившихся колебаний Успехи математических наук, 1953, Т.8, N3(55). С. 21 - 74.

53. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.

54. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент.-М.: ТОО "Янус", 1995.

55. Мазья В. Г. Граничные интегральные уравнения.- В кн.: Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики | 1988.-Т.27.-131-228.

56. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981.

57. Михлии С. Г. Интегральные уравнения.-М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

58. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2 т.-М.: ИЛ, 1958.

59. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.-М.: Физматгиз, 1966.

60. Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук 3. Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. К.: Наукова Думка, 1984.

61. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: На

62. Сафронов С. И. Об одном подходе к решению задачи моделирования электронно-оптических систем. Материалы первой отраслевой конференции М.У.С., Москва, 1984. С.32-35.

63. Сафронов С. И., Тарасов Р. П. Численный анализ рассеяния электростатического поля двухэлектродной камеры на проводящих поверхностях. || ЖТФ. 1999, Т.69, N6, С.

64. Серр Ж.- П. Линейные представления конечных групп. М: Мир, 1970.

65. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М: ИЛ, 1954.71| Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 5 т. Т.4.-М: Физматгиз, 1981.

66. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнети5ма. М: Гостехтеориздат, 1948.73. "Гамм И. F. Основы теории электричества. М: Наука, 1989.

67. Тарасов Р. П. Гармонический анализ на конечных группах и методы численного решения граничных уравнений в краевых задачах с неабелевой группой симмет-рий. !| ЖВМиМФ. 1992. Т.31, N9. С. 1515 1517,

68. Тарасов Р. П. Численное решение уравнений типа свертки на конечных некоммутативных группах. || ЖВМиМФ. 1993, Т.ЗЗ, N12. С. 1815 1825.

69. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988.

70. Хелгасон С. Группы и геометричемкий анализ. М.: Мир, 1987.

71. Холл М. Теория групп. М: ИЛ, 1962.

72. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М: Мир, 1989.j^UUJ ^ V j Ulii A. j II/i, ^ . VV. Jrl дЦр. JJDl^jLJJXJiC twll UJJU J. IVi X)1 О Ц-И^рС/ЪО-И UUpOWDlbCизображений.-М: Радио и Связь, 1984.

73. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ.I М: Мир, 1975.

74. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ.II М: Мир, 1975.

75. Цишанг X., Фогт Э., КолДевай Х.Д. Поверхности и разрывные группы М: Наука, 1988.

76. Шерстнев JI. Г. Электронная оптика и электронно- лучевые приборы. М.: Энергия, 1971.

77. Angell Т. S., Hsiao G. С., Krai J. Double Layer Potential on Boundaries with Corners and Edges. || Comment. Math. Unit. Carol. 1986, vol.27, p.419.

78. Badyin L., Safronov S., Tarasov R. Numerical Analysis of a Three-Dimensional Model of a Streak Electro-Optical Image Converter.|| 23rd International Congress on HighSpeed Photography and Photonics, September 1998, Moscow, Russia, C.127

79. Cos ta bel M. Boundary Integral Operators on Curved Polygons, jj Ann. Mat. Рига Appt. 1983. vol.133, p.305-326.

80. Costabel M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results. ]| SI AM J. Math. Anal., vol.19, N3, May 1988, pp.613-626.

81. Crawford M. L. Genertion of standard EM fields using ТЕМ transmission cells. j IEEE Trans. Electromfgn. Compatib. 1974, vol. 16 no. 4, pp 189-195.

82. Fredholm I. Sur une class d'équations fonctionelles, Acta Mathematica, 27, 365-390 (1903).

83. Fredholm I. Solution d'un problème fondamental de la theorie de l'élasticité, Arkiv Matematik, Astronomi och Fysic, 2, 28, 3-8 (1903).

84. Gilmore R. Lie groups , Lie algebras and some of their applications.- New-York: 1974.

85. Green G. An assay on the application of mathematical analysis to the theory of elec

86. Harrington R. F. Field computation by moment methods. || New York: Macmillan, 1968.

87. Harrington R. F., Pontoppidan K., Abrahamsen P., and Albertsen N. C. 0. Computation of Laplacian potentials an equivalent-source method, Proc.IEEE 116, 1715-1720 (1969).

88. Hess J. L., and Smith A. M. Calculation of potential flow about arbitrary bodies, Progress in Aeronautical Sciences Vol.8, Pergamon Press, London, 1967.

89. Jaswon M. A. Integral equation methods in potential theory, I. || Proc. Roy. Soc. Ser. A 275, pp 23-32. (1963)

90. Jaswon M. A., and Ponter A. R. An integral equation solution of the torsion problem.

91. Proc. Roy. Soc. Ser. A 273, pp 237-246. (1963)

92. Jaswon M. A., and Symm G. T. Integral equation methods in potential theory andelastostatics, Academic Press, London, 1977.

93. Massonnet C. E. Numerical use integral prosedures. in Stress Analysis (O. C. Zienkiewier and G. S. Holister, Eds.). Wiley, London, 1966.

94. Mautz J. R., and Harrington R. F. Computation of rotationally symmetric Laplacian potentials. | Proc. IEEE 117,850-852, 1970.

95. Morrison J. A., Lewis J. A. Charge Singularity at the Corners of a Flat Plate. || SIAM J. Math. Anal., vol.31, N31, 1976, pp.233-250.

96. Nedelec J. C. La methode des elements finis appliquée aux equations integrales de la physique. || Actes du 1-er colloque AFCET-SMF.- Paris: Ecole Polytechnique 1978, 1, p. 181-190.

97. Neumann C. Zur Theorie des logarithmischen und des Newtonschen Potentials.-Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sachsichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, 1870, Bd 22, S. 45-56, 264-321.

98. Paivarinta L., Rempel S. A. A deconvolution problem with Kernel l/|x'| on the plane.

99. Paivarinta L., Rempel S. A. Corner singularities of solutions to A— f in two dimensions. || Asymptotic Analysis, 5, 1992, pp.429-460.

100. Rizzo F. J., and Shippy D. J. A boundary integral approach to potential and elasticity problems for axisymmetric bodies with arbitrary boundary conditions, Mech. Res. Commun. 6, 99-103, 1979.

101. Shippy D. J., Rizzo F. J., and Gupta A. K. Boundary integral solution of potential problems involving axisymmetric bodies and nonsymmetric boundary conditions, in Proc. 10th South Eastern Conf. on Theoretical and Applied Mechanics, 1980.

102. Sneddon I. N. Mixed boundary value problems in potential theory.- Amsterdam: North-Holland, 1966.

103. Stephan E. P. Boundary Integral Equations for Screen Problem in ft3. || Integral Equation and Operator Theory. 1987, vol.10, pp.236-257.

104. Stephan E. P., Wendland W. L. Augmented Galerkin Procedure for the Boundary Integral Methods Applied to Two-dimensional Screen and Crack Problems, ji Applicable Analysis,. 1984, vol.18, pp. 105-128.

105. Symm G. T. Integral equation methods in potential theory, II. jj Proc. Roy. Soc. Ser. A 275, pp 33-46. (1963)113} Wan CH. Corformal mappiny analysis of modified TEM cell. | IEEE Trams. Electrom-fgn. Compatib. 1993, vol. 35 no. 1, pp 109-113.

106. Wendland W. L. Elliptic systems in the plane.- London: Pitman, 1979.

107. Wilson E. S. Structural analysis of axisymmetric solids, AIAAAJ. 3, 2269-2274, 1965.