Разработка эффективного численного метода моделирования волновых электромагнитных полей сложных радиоэлектронных устройств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Тихонов, Роман Игоревич

• Тихонов, Роман Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тихонов, Роман Игоревич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И ПАРАМЕТРОВ МИКРОВОЛНОВЫХ УСТРОЙСТВ.

1.1 Электродинамические системы современных устройств.

1.2 Математическая формулировка краевой задачи электродинамики.

1.3 Основные численные методы расчета волновых электромагнитных полей.

1.3.1 Метод конечных разностей.

1.3.2 Метод конечных элементов.

1.3.3 Метод моментов (ММ).

1.4 Методы решения матричных уравнений.

1.4.1 Прямой метод.

1.4.2 Итерационные методы.

1.5 Обоснование выбора метода и основные задачи работы.

ГЛАВА 2.АЛГОРИТМ МЕТОДА ВЕКТОРНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1 Разбиение расчетной области на конечные элементы. Векторные базисные функции конечного элемента.

2.2 Вычисление элементов локальных матриц.

2.3 Вычисление элементов вектора правой части.

2.4 Аппроксимация граничных условий.

2.4.1 Поверхность раздела двух диэлектриков.

2.4.2 Электрическая стенка.

2.4.3 Магнитная стенка.

2.4.4 Импедансная поверхность.

2.4.5 Порт (возбуждающая поверхность).

2.4.6 Абсорбционные граничные условия.

2.5 Построение глобальной матрицы.

2.6 Вычисление поля и параметров электродинамической системы.

2.6.1 Вычисление электромагнитного поля.

2.6.2 Вычисление энергии поля и поглощаемой мощности.

2.6.3 Вычисление коэффициента отражения.

2.6.4 Расчет поля в дальней зоне излучения.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ СЕТКИ.

3.1 Особенности конфигурации и процесса конструирования современных устройств мобильной связи.

3.2 Двухуровневый метод построения конечно-элементной сетки.

3.3 Результаты работы двухуровневого метода генерации.

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

4.1 Итерационные методы.

4.1.1 Анализ обусловленности системы уравнений.

4.1.2 Улучшение обусловленности за счет использования уравнений для векторного и скалярного потенциалов.

4.1.3 Улучшение обусловленности с помощью метода графов.

4.1.4 Улучшение обусловленности за счет использования иерархических систем базисных функций.

4.2 Прямые методы.

ГЛАВА 5. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ И РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ.

5.1 Краткое описание программы.

5.2 Результаты верификации и моделирования.

5.2.1 Цилиндрический резонатор.

5.2.2 Волноводно-щелевой мост.

5.2.3 Элементарный электрический диполь.

5.2.4 Двухдиапазонная антенна.

5.2.5 Резонаторная печатная антенна.

5.2.6 Модель нагревательной камеры микроволновой печи с нагрузкой

5.2.7 Микроволновая печь.

5.2.8 Телефон LG СТ810 в свободном пространстве.

5.2.9 Телефон LGCT810 с фантомом.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка эффективного численного метода моделирования волновых электромагнитных полей сложных радиоэлектронных устройств»

Основными объектами изучения в современных микроволновых устройствах и системах являются высокочастотные электромагнитные поля (ЭМП). Экспериментальное исследование этих полей связано с серьезными трудностями и требует больших материальных и временных затрат. В связи с этим все большее значение приобретает математическое моделирование. Корректные и эффективные модели позволяют наглядно представить и лучше понять сущность процессов, происходящих в приборах и устройствах, осуществить их оптимальное проектирование.

Начало интенсивной разработки численных методов расчета электродинамических систем (ЭДС) относится к 60-м годам прошлого века, когда появились первые программы расчета полей различных типов волн в волноводах произвольного поперечного сечения. В этих программах использовались двухмерные модели ЭМП.

В начале и середине 70-х годов происходило быстрое совершенствование двухмерных программ моделирования полей, появились первые коммерческие программы моделирования.

Стремительное развитие вычислительной техники и быстрый прогресс в области вычислительной математики привели к появлению в начале 80-х годов трехмерных программ расчета ЭМП. Этот качественный скачок позволил проводить анализ реальных ЭДС без существенного упрощения их геометрических моделей. И хотя первые программы не позволяли анализировать достаточно сложные системы, а их надежность и точность были далеки от идеала, они продемонстрировали возможности математического моделирования резко сократить затраты на проектирование новых изделий и дали толчок дальнейшему развитию техники численного моделирования.

С тех пор и до настоящего времени методы математического моделирования развивались все более быстрыми темпами. Были разработаны новые методы численного решения дифференциальных и интегральных уравнений, больших систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), методы построения адаптивных сеток, методы быстрого частотного сканирования, вычисления интегральных параметров систем и их параметрической оптимизации. В результате сформировалось новое научное направление - вычислительная электродинамика, в становление и развитие которой внесли вклад десятки ученых многих стран мира.

В настоящее время прикладные программы анализа и оптимизации ЭДС, печатных плат и интегральных схем стали рабочим инструментом каждого разработчика микроволновой электронной аппаратуры. На рынке имеется целый ряд программных продуктов, обладающих широкими функциональными возможностями и удобным пользовательским интерфейсом. Их использование позволяет резко сократить объем экспериментальной отработки сложных изделий, повысить качество и сократить сроки проектирования, лучше понять физику процессов, происходящих в приборах и устройствах. В тоже время эффективное использование этих продуктов невозможно без ясного понимания существа численного метода, реализованного в программе, его преимуществ и недостатков.

Несмотря на обилие коммерческих программ моделирования электродинамических систем, при анализе конкретных конструкций часто возникают проблемы нехватки вычислительных ресурсов, неадекватного представления моделей, отсутствия возможности вычисления тех или иных параметров системы. Немаловажное значение имеет и стоимость лицензий, достигающая десятков и даже сотен тысяч долларов в год.

Таким образом, разработка новых методов и программных средств электродинамического моделирования микроволновых устройств и систем, в частности, современных сотовых телефонов не потеряла своего значения и по-прежнему является актуальной научной проблемой. Эти средства должны обеспечивать полное электродинамическое моделирование электромагнитного поля в ближней зоне и в зоне излучения телефона с учетом его реальной конструкции, а также влияния головы и других частей тела пользователя. Программа должна также обеспечивать расчет удельной поглощаемой мощности в теле пользователя.

Разработка алгоритмов решения этой проблемы, их реализация в виде компьютерного кода, тестирование и применение программы для расчета конкретных устройств и составили цель настоящей работы. Научная новизна диссертационной работы

1. Проведено сравнение алгоритмов решения краевых задач электродинамики методом векторных конечных элементов (МВКЭ), основанных на уравнениях для напряженности электрического поля и для потенциалов, а также на методе графов. Показано, что хотя использование уравнения для потенциалов и метода графов обеспечивают более быструю сходимость итерационных методов решения матричных уравнений, при использовании прямых методов решения предпочтительнее использование уравнения относительно напряженности электрического поля.

2. Предложен и реализован метод двухступенчатой генерации конечно-элементной сетки, использующий на первом этапе разбиение на параллелепипеды, а на втором - на тетраэдры. Метод нечувствителен к ошибкам геометрической модели, возникающим на стадии конструирования системы, и позволяет в несколько раз сократить время построения сетки.

3. Разработан алгоритм использования иерархической системы базисных функций и реализован многоуровневый решатель на основе метода Шварца.

Практическая ценность настоящей диссертации

1. На основе описанных принципов разработана программа моделирования электромагнитного поля и параметров электродинамических систем «Radio Frequency Simulator» (далее по тексту RFS), не уступающая по точности и скорости решения лучшим известным коммерческим программам.

2. Программа RFS используется в «LG Electronics Inc.» в процессе разработки новых моделей сотовых телефонов.

3. Учебный вариант программы используется в учебном процессе кафедр радиотехнической электроники и физической электроники и технологии СПбГЭТУ «ЛЭТИ» для подготовки магистров по образовательной программе «Микроволновая и телекоммуникационная электроника», а также в дисциплине "Численные методы прикладной электроники и электродинамики" для аспирантов специальностей 01.04.03 — Радиофизика, 05.27.01 — Твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и наноэлектро-ника на квантовых эффектах, 05.27.02 - Вакуумная и плазменная электроника, 05.27.06 - Технология и оборудование для производства полупроводников, материалов и приборов электронной техники, 05.09.10 - Электротехнология.

Защищаемые положения

1. Выбранный метод векторных конечных элементов и алгоритм его реализации, основанные на использовании уравнения второго порядка относительно напряженности электрического поля, позволяют обеспечить наиболее точную аппроксимацию граничных условий математических моделей микроволновых устройств, быстрое вычисление матричных элементов и построить СЛАУ с размерностью более миллиона, имеющую приемлемую обусловленность глобальной матрицы.

2. Предложенный метод двухступенчатой генерации конечно-элементной сетки обеспечивает эффективное её построение для реальных моделей микроволповых устройств за приемлемое время даже при наличии ошибок в импортированной геометрической модели. При этом число конечных элементов сетки может превышать миллион.

3. Предложенная реализация многоуровневого решателя на основе метода Шварца и иерархических систем векторных базисных функций позволяет обеспечить практически постоянную скорость сходимости для задач различной размерности. При этом сокращается время анализа сложных микроволновых устройств и уменьшается погрешность получаемых результатов.

4. Совокупность методических и алгоритмических решений, реализованная в разработанной программе, позволяет с высокой точностью рассчитывать электромагнитное поле, параметры рассеяния, диаграмму направленности и другие характеристики сложных микроволновых устройств.

Апробация результатов

По результатам диссертационной работы были сделаны доклады на следующих российских и международных конференциях:

1. Международная научно-техническая конференция, посвященная 110-летию изобретения радио и 75-летию СГТУ. Саратов, Россия. 2005.

2. 8-th international workshop on finite elements for microwave engineering. Stellenbosch, South Africa, 2006.

3. 7-я международная научно-технической конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, Россия, 2006.

4. Научно-технический семинар "Современные проблемы техники и электроники СВЧ", Санкт-Петербург, 2006.

5. 40-th annual international microwave power symposium IMPI, Boston, USA, 2006

6. 18-я международная конференция "СВЧ техника и телекоммуникационные технологии", Севастополь, Украина, 2008

7. 9-th international workshop on finite elements for microwave engineering, Bonn, Germany, 2008.

8. 8-я международная конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, Россия, 2008.

9. Научно-технический семинар "Инновационные разработки в СВЧ технике и электронике", Санкт-Петербург, 2008.

По материалам диссертации опубликовано 13 работ. В списке литературы данные работы перечисляются под номерами [67] - [79].

Структура диссертации:

Во введении сформулирована цель работы, ее основные результаты и научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе формулируется краевая задача электродинамики и рассматриваются современные численные методы ее решения. Обосновывается выбор метода векторных конечных элементов для решения краевой задачи и формулируются основные задачи диссертационной работы.

Вторая глава посвящена изложению метода векторных конечных элементов. Рассмотрены возможные формы конечных элементов, различные системы базисных функций, алгоритмы построения локальных матриц, их ассемблирования в глобальную матрицу с учетом граничных условий, алгоритмы построения вектора правой части.

Третья глава посвящена описанию методов построения конечно-элементных сеток. Рассмотрены часто встречающиеся проблемы, связанные с формой расчетной области и заполняющей ее средой. На ряде примеров показано, что прямое построение тетраэдральной сетки для областей сложной формы, имеющих ошибки геометрической модели, практически невозможно. Описан предложенный способ двухуровневого построения сетки и показаны его преимущества.

В четвертой главе рассмотрены итерационные и прямые методы решения СЛАУ больших размерностей. Проведен анализ обусловленности систем, порождаемых ВМКЭ, и рассматриваются методы улучшения сходимости -потенциальная формулировка задачи, методы, основанные на теории графов. Показано, что использование прямых методов позволяет избежать большинства трудностей, связанных со сходимостью итерационных методов и при использовании современной вычислительной техники позволяет эффективно решать реальные достаточно сложные задачи. Описан многоуровневый решатель, основанный на использовании метода Шварца.

В пятой главе приведено краткое описание вычислительной программы RFS, в которой реализованы описанные в предыдущих главах алгоритмы, приводятся данные по ее верификации путем сравнения расчетных данных с результатами аналитического расчета, с расчетами по другим коммерческим программам, а также с результатами эксперимента. На основании сравнения делается вывод о том, что разработанная программа не уступает по точности и требованиям к вычислительным ресурсам лучшим известным коммерческим программам, а в некоторых отношениях и превосходит их. В диссертации приведен целый ряд результатов расчета характеристик реальных микроволновых устройств - волноводных многоплюсников, клистронных резонаторов, микрополосковых устройств, различных антенн, в том числе, антенн сотовых телефонов, нагревательных камер микроволновых печей. Рассчитаны диаграммы направленности антенн, их входное сопротивление, удельная мощность поглощения в голове пользователя телефоном.

В Заключении приводится перечень основных результатов работы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Тихонов, Роман Игоревич

Выводы

Исследованы различные способы решения СЛАУ с большими комплексными разреженными матрицами.

Показано что использование формулировки для векторного и скалярного потенциала, а также метода графа не дают существенных преимуществ по сравнению с прямым методом решения.

Многоуровневый решатель обеспечивает максимальную эффективность решения, по сравнению с другими методами, однако для решения практических задач он требует высоко качества аппроксимации поля функциями низшего порядка для обеспечения сходимости, что делает его не применимым для моделирования сложных микроволновых устройств.

Прямой метод решения обеспечивает высокую эффективность, по сравнению с итерационными методами и не требует переформулировки исходного уравнения для улучшения сходимости.

ГЛАВА 5. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ И РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ.

5.1 Краткое описание программы.

Программа RFS состоит из модуля графического пользовательского интерфейса (ГПИ), позволяющего строить, импортировать и редактировать геометрические модели устройств. Модуль позволяет создавать геометрические примитивы (линии, поверхности и тела правильной формы) заданных размеров, булевы операции над примитивами, операции перемещения, дупликации, вытягивания и отражения. Особенностью интерфейса является возможность легкого создания коаксиальных и полосковых линий передачи из полилиний. Кроме того, имеется возможность встраивания в электродинамическую систему сосредоточенных элементов, которые представляются в виде параллельного соединения емкости, индуктивности и активного сопротивления [67], [72]. Можно устанавливать степень прозрачности объектов, делать их видимыми или невидимыми, менять ориентацию объектов, вводить локальные системы координат.

Модуль ГПИ позволяет присваивать объектам материалы их встроенной библиотеки или добавлять в нее новые материалы, позволяет окрашивать объекты в различные цвета. Имеется возможность получать сечения модели заданными плоскостями, в том числе не параллельными координатным плоскостям.

Второй модуль содержит генераторы сетки, причем пользователь имеет возможность выбирать между различными генераторами. Возможно создание локальной сетки с заданными параметрами в сфере определенного радиуса или в выделенных объектах. Имеется также возможность построения адаптивной сетки.

Затем начинает работу модуль вычисления матричных элементов и формирования глобальной матрицы, после чего начинается наиболее затратный во времени процесс решения СЛАУ. При этом пользователь может выбирать место расположения процессора - локальное, т. е. на том же компьютере, на котором создавалась модель, или удаленное - на рабочей станции, к которой имеется доступ. Результаты решения СЛАУ передаются обратно в локальный компьютер.

Часто электромагнитное поле и параметры системы требуется вычислить в широком диапазоне частот с большим количеством шагов по частоте. Если на каждой частоте выполнять описанные выше действия, время счета может увеличиться в десятки и даже сотни раз. Поэтому в разработанной программе используется специальный алгоритм быстрого частотного сканирования [74], позволяющий производить полное решение только на центральной частоте, а поле и параметры на всех других частотах вычислять, используя асимптотическое разложение решения.

Программа может работать в одном из нескольких режимов: расчет собственных частот и полей резонаторов неявным методом Арнольди с рестартом [64] (в этом случае задается число видов колебаний) или расчет поля и параметров вынужденных колебаний на одной частоте, в диапазоне частот с заданным шагом по частоте. Кроме того, возможен параметрический анализ при изменении одного или нескольких параметров системы с заданным шагом и параметрическая оптимизация с использованием генетического алгоритма [65].

На заключительном этапе активируется графический пользовательский интерфейс, который позволяет вычислить необходимые характеристики и параметры устройства и представить их в виде таблиц, графиков и диаграмм

5.2 Результаты верификации и моделирования

Верификация программы проводилась путем сравнения результатов моделирования с результатами аналитических расчетов, данными, полученными с помощью других программ моделирования и с результатами экспериментов. При этом выбирались системы, особенности устройства которых позволяли наиболее объективно и полно оценить возможности программы и погрешности расчета.

5.2.1 Цилиндрический резонатор

В качестве первого примера для верификации был выбран расчет собственных частот в цилиндрическом резонаторе с однородным изотропным заполнением, так как аналитические значения этих частот известны с большой точностью.

Заключение

В результате выполнения диссертационной работы были решены следующие задачи:

• Разработан алгоритм дискретизации уравнений электродинамики методом ВКЭ с использованием базисных функций различного порядка. Выведены формулы для матричных элементов. Выведены соотношения позволяющие учитывать граничные условия типа электрической и магнитной стенок, возбуждение и условий на границе реального метала. Выведены формулы для учета абсорбционных граничных условий первого и второго порядка. Разработан эффективный алгоритм построения глобальной матрицы с количеством неизвестных превышающих 1,000,000.

• Разработан эффективный двухуровневый метод построения конечно элементных сеток. Метод основан на предварительном разбиении расчетной области на параллелепипеды и последующем построении тетраэдальной сетки. При этом электрически важные объекты учитываются без искажения поверхности. Метод не чувствителен к ошибкам геометрии, возникающих на этапе проектирования геометрической модели и позволяет получать сетки высокого качества с количеством элементов больше миллиона. Общее время генерации сетки не превышает 1 часа.

• Проведено исследование и сравнение различных итерационных методов решения СЛАУ. Показано что вследствие плохой обусловленности глобальной матрицы эти методы не гарантируют сходимости итерационного процесса. Также исследованы прямые методы решения. Показано, что использование современных прямых методов решения для векторных конечных элементов более эффективно и позволяет решать системы с количеством неизвестных более 1,000,000.

Исследована обусловленность глобальной матрицы и предложены методы ее улучшения, основанные на использовании исходного уравнения, записанного в терминах векторного и скалярного потенциала. Исследован метод улучшения обусловленности на базе метода графов путем построения покрывающего дерева и замены соответствующих роторных базисных функций градиентными. Показано, что хотя эти методы и улучшают обусловленность системы, тем не менее, не дают существенного сокращения времени решения.

Разработан и реализован алгоритм многоуровневого решателя, использующий базисные функции различного порядка. Показана, что использование этого метода обеспечивает высокую скорость сходимости итерационного процесса. Особенностью данного метода является практически постоянное количество итераций на сетках разного размера. В тоже время эффективное применение этого метода требует высокого качества решения на базисных функциях низшего порядка.

Разработана программа моделирования сложных микроволновых систем, обладающая развитым графическим интерфейсом, эффективным решателем и наглядным модулем визуализации результатов. По точности и скорости работы программа не уступает лучшим коммерческим пакетам.

Рассчитано большое количество сложных микроволновых систем. Показано хорошее совпадение с экспериментальными и аналитическими данными, а также с результатами полученными с помощью известных коммерческих программ. Результаты этих расчетов были использованы при проектировании реальных микроволновых устройств. Таким образов все поставленные в диссертации цели были достигнуты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тихонов, Роман Игоревич, 2009 год

1. Chu L. J., Physical limitations of Omni-Directional Antennas // Journal of Applied Physics, vol. 19, December 1948.

2. Wheeler H. A., Fundamental limitations of small antennas // Proceedings of the IEEE, vol. 69, December 1947.

3. Microstrip antenna design handbook / R. Carg, P. Bhartia, I. Bahl et al. Boston: Artech House, 2001.

4. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных: Пер. с англ. / Под ред. Б. М. Будана, Н. П. Жидкова. М.: ИЛ, 1963.

5. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Физматлит, 1983.

6. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Физматлит, 1986.

7. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Физматлит, 1985.

8. Ильин В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во института математики, 2000.

9. Davies J. В., Muilwyk С. F. Numerical solution of uniform hollow wave guides with arbitrary shapes // Proc. IRE, V. 113, No. 2, pp. 277284, 1966.

10. Davies J. B. Review of methods for numerical solution of the hollow waveguide problem // Proc. IRE, V. 119, No 1. pp. 33-37, 1972

11. Григорьев А. Д., Янкевич В. Б. Резонаторы и резонаторные замедляющие системы. Численные методы расчета и проектирования. М.: Радио и связь, 1984.

12. Yee K.S. Numerical Solution of Initial Boundary Wave Problems Involving Maxwell's equations in Isotropic Media // IEEE Trans. АР. V. 14.-No 5.-pp 302-307, 1966.

13. Taflove A., Hagness S. C. Computational Electromagnetics: The Finite-Difference Tome-Domain Method. 3-rd edition. Norwood, MA: Artech House, 2005.

14. Kunz K.S., Luebbers R.J. The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics. Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.

15. Hadi M.F., Picket-May M., A modified FDTD (2,4) scheme for modeling electrically large structures with high-phase accuracy // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997.—V.45, № 2.—P.254-264.

16. Kim J.S., Hoefer W.J.R., Numerical characteristics and stability factor for the TD-FD method // Electron. Lett., 1990 (Mar).—V.27.—P.485-487.

17. Cangellaris A.C., Lee R., On the accuracy of numerical wave simulations on finite methods // J. Electronmagn. Waves Applicat., 1992.— V.6, № 12.—P. 1635-1653.

18. ShlagerK.L., Maloney J.G., Ray S.L., Peterson A.F., Relative accuracy of several finite-difference time-domain methods in two and three dimensions // IEEE Trans. Antennas Prop., 1993.—V.41, № 12.— P. 1732-1737.

19. Bayliss A., Goldstein C.J., Turkel E., On accuracy conditions for the numerical computation of waves // J. Computat. Phys., 1985 (July).—1. V.59.—Р.396-404.

20. Fang J. Time domain finite difference computation for Maxwell's equations, Ph. D. Dissertation, Univ. California, Berkley, С A, 1989.

21. Deveze Т., Beaulie L., Tabbara W., A fourth order scheme for the fdtd algorithm applied to Maxwell's equations, in IEEE APS Int. Symp. Proc., Chicago, JL, July 1992.—P.346-349.

22. Maury C.W., Broschat S.L., Schneider J.B., Higher order FDT methods for large problems // ACES J.,V.10.—P. 17-29, July 1995.

23. Petropoulos P.G., Phase error control for fd-td methods of second and fourth order accuracy // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1994.— V.42., №6.—P.859-862.

24. FurseC.M., Roper D.FI., Buechler D.N., Christiansen D.A., Dur-ney C.H., The problem and treatment of DC offset in FDTD simulations // IEEE Trans. Antennas Propagat., 2000.—V.48, № 8.—P.1198-1201.

25. Goswami J.C., Mittra R., An application of FDTD in studying the end effects of slotline and coplanar waveguide with anisotropic substrates // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1997.—V.45, №9.—P.1653-1657.

26. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ. / под ред. Г. И. Марчука. М.: Мир, 1977.

27. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. Пер. с англ. / Под ред. Г. В. Демидова и A. JI. Урванцева. М.: Мир, 1981.

28. Сабонатьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. Пер. с франц. / Под ред. Э. К. Стрельбицкого. М.: Мир, 1989.

29. Zienkiewicz О.С., Taylor R.I. The Finite Element Method. Fifth edition. Vol. 1- 3. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000.

30. Сильвестр П., Феррари P. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

31. Bossavit A. Computational electromagnetism. Variational formulations, complementarity, edge elements. San Diego: Academic Press, 2005.

32. Jin J. The finite element method in electromagnetics. N.-Y.: John Wiley & Sons, 2002.

33. Nedelec J. C. Mixed finite elements in R3 // Numer. Meth., V. 35, pp. 315-341, 1980.

34. Wang J. J. H. Generalized moment method in electromagnetics. N.-Y.: John Wiley & Sons, 2002.

35. Sadiku M. N. O. Numerical methods in electromagnetics. Boca Raton, Florida: CRC Press LLC, 2000.

36. Davidson D. В., Aberle J. T. An introduction to spectral domain me-thod-of-moments formulations // IEEE Antenna prop, mag., V. 46, No. 3, pp. 11-19, 2004.

37. Hua Y., Sarkar Т. K. Generalized pencil-of-function method for extracting poles of an EM system from its transient response // IEEE Trans, antennas prop., V. 37, No. 2, pp. 229-234, 1989.

38. Dural G., Aksun M. I. Closed-form Green's functions for general sources and stratified media // IEEE Trans. Microwave theory techn., V. 43, No. 7, pp. 1545-1551, 1995.

39. Aksun M. I. A robust approach for the derivation of closed-form Green's functions // IEEE Trans, microwave theory techn., V. 44, No. 5, pp. 651-658, 1996.

40. A symmetric FEM-IE formulation with a single-level IE-QR algorithm for solving electromagnetic radiation and scattering problems / M. N. Voulakis, S.-C. Lee, K. Zhao, J.-F. Lee // IEEE Trans, antennas prop., V. 52, No. 11, pp. 3060-3070.

41. Березин И. С., Жидков И. П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.

42. Steven L. J. (2006), Linear Algebra With Applications, 7th ed. London: Pearson Prentice Hall, 2006.

43. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. Пер. с англ. / Под ред. М. Л. Быховского. М.: Мир, 1975.

44. Jacobs D. А. Н. A generalization of the conjugate-gradient method to solve complex systems // IMA J. Num. Anal. V. 6, pp. 447-452, 1986.

45. J.-Y Wu, R. Lee. The advantages of triangular and tetrahedral edge elements for electromagnetic modeling with the finite-element method // IEEE Trans, Antennas Prop., V. 45, No. 9, September 1997, pp. 1431-1437.

46. Whitney IT. Geometric integration theory. Prinston, NJ: Prinston University press, 1957.

47. Savage J. S., Peterson A. F. Higher order vector finite elements for te-trahedral cells // IEEE Trans. Microwave theory techn. V. 44, No. 6, pp. 874-879, 1996.

48. Bossavit A. Generating Whitney forms of polynomial degree one and higher // IEEE Trans. Magnetics, V. 38, No. 2, March 2002, pp. 341344.

49. Andersen L. S., Volakis J. L. Hierarchical tangential vector finite elements foe tetrahedral // IEEE Microwave and Guided wave letters. V. 8, No. 3, March 1998, pp. 127-129.

50. Webb J. P. Hierarchical vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements // IEEE Trans. Antenna and prop., V. 47, N0. 8, August 1999, pp. 1244-1253.

51. Sun D.-K., J.-F. Lee, Cendes Z. Constuction of nearly orthogonal Ne-delec bases for rapid convergence with multilevel preconditioned solvers // SIAM J. Sci. Comput., V. 23, No. 4, April 2001, pp. 1053-1076.

52. Holand I., Bell K. Finite element methods in stress analysis. Trond-heim: Tapir, 1969.

53. Григорьев А. Д. Электродинамика и микроволновая техника. Спб.: Лань, 2007.

54. Van der Vorst Н. A., Melissen J. В. М. A Petrov-Galerkin-type method for olving AX = В, where A is symmetric complex // IEEE Trans. Magnetics. 1990. V. 26, No. 2, pp 706-708.

55. Dycczij-Edlinger R., Biro O. A joint vector and scalar potential formulation for driven high frequency problem using hybrid edge and nodal finite elements // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1996. V. 44, No. 5, pp 15-23, Jan. 1996.

56. Dycczij-Edlinger R., Peng G., Lee J.-F. A fast vector-potential method using tangentially continuous vector finite elements // IEEE Trans.Microwave Theory Techn. 1998. Vol. 46, No. 6, pp 863-868.

57. Webb J. Edge elements and what they can do for you // IEEE Trans.

58. Magn. V. 29, No. 6, pp. 1460-1465, 1993.

59. Albanese R. and Rubinacci G., Solution of three dimensional eddy current problems by integral and differential methods // IEEE Trans. Magn., V. 24, pp. 98-101, 1998.

60. Manges J. В., Cendes Z. J. A generalized tree-cotree gauge for magnetic field computation // IEEE Trans. Magn., V. 31, no. 5, pp. 1342-1347, 1995.

61. Sun D., Manges J., Yuan X. Spurious modes in finite element method // IEEE Antennas prop, mag., V. 37, No. 5, pp. 12-24, 1995.

62. Lehouck R. В., Sorensen D. C., Yang C. ARPACK users guide: solution of large-scale eigenvalue problems with implicitly restarted Arnol-di Methods. SIAM, 1998.

63. Genetic algorithm in engineering and computer science / edt. G. Winter, J. Periaux, M. Galan. N.-Y.: John Wiley & Sons, 1995.66. http://www.emtalk.com/mwt mpa.htm

64. Grigoryev A. D., Salimov R. V., Tikhonov R. I. Multiple-cell lumped elements and port models for the vector finite element method // Electromagnetics, 2008, V. 28, No. 1, p. 18-26.

65. Тихонов P. И. Улучшение сходимости метода векторных конечных элементов для решения краевых задач электродинамики // Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 2, с. 30-33.

66. Grigoriev A. D., Kim Е. S., Tikhonov R. I. MOS A Microwave Oven Simulation Toolkit // Proceedings of the East-West Workshop "Advanced Techniques in Electromagnetics" . - Warsaw: Univ. Technology Press, 2004. p. 213-215.

67. Grigoriev A. D., Kim E. S., Tikhonov R. I. Numerical simulation of electromagnetic fields in microwave ovens // Proc. Int. Symposium on heating by electromagnetic Sources. Padua: Univ. of Padua, 2004. p. 225-228.

68. Grigoriev A. D., Ilin V. P., Salimov R. V., Tikhonov R. I. An efficient vector finite element method for full-wave electromagnetic field simulation // Proc. of 40-th annual int. microwave power symp. IMPI, 2006, p. 179-183.

69. Григорьев А. Д., Салимов P. В., Тихонов P. И. Сравнительный анализ результатов моделирования антенны сотового телефона различными программными средствами. // Труды конференции, посвященной Дню радио, Изд-во СПбГЭТУ, 2008, с. 28.