Математическое моделирование и оценка нелинейной динамики состояния загрязнения экосистемы водного объекта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ляпина, Анна Александровна

• Ляпина, Анна Александровна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Ляпина, Анна Александровна

Содержание

Введение

Глава 1. Задача математического моделирования нелинейных экологических процессов

1.1. Современное состояние науки в области исследования нелинейных экологических процессов

1.2. Постановка задачи исследования математических моделей нелинейных экологических процессов

1.3. Нелинейные экологические процессы и асимптотическая эквивалентность

Глава 2. Разработка методики математического моделирования экологических процессов, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений вольтерровского типа

2.1. Методика исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа

2.2. Методика исследования состояния равновесия нелинейных систем двух и трех уравнений Лотки-Вольтерра

2.3. Методика исследования состояния равновесия систем типа реакция-адвекция-диффузия и дифференциальных уравнений параболического типа в частных производных

2.4. Методика исследования устойчивости решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений систем вольтерровского типа

2.5. Вычислительная схема решения нелинейных систем уравнений вольтерровского типа

Глава 3. Математическое моделирование состояния водных объектов для оценки допустимых сбросов загрязняющих веществ

3.1. Обобщенная модель Лотки-Вольтерра для исследования оценки допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты

3.2. Исследование трехвидовой нелинейной системы дифференциальных

уравнений вольтерровского типа

3.3. Численная реализация алгоритма расчета допустимых сбросов

загрязняющих веществ для многовидовой модели

Глава 4. Программный комплекс и результаты расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты

4.1. Постановка задачи оценки допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты

4.2. Алгоритм расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты

4.3. Веб - приложение для автоматизации расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты

4.4. Автоматизированный расчет сбросов загрязняющих веществ в водные объекты Республики Мордовия

4.4.1. Расчет сброса загрязняющих веществ в реку Мокша

4.4.2. Расчет сброса загрязняющих веществ в реку Лепелейка

Заключение

Список используемой литературы

Приложения

Приложение А. Листинг веб-приложения для автоматизации расчета

допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты

Приложение Б. Справочники веб-приложения для расчета допустимых сбросов

загрязняющих веществ в водные объекты

Приложение В. Акт выполненных работ по разработке и внедрению «Веб-приложения для автоматизированного расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ»

4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и оценка нелинейной динамики состояния загрязнения экосистемы водного объекта»

Введение

Актуальность темы. В связи с ростом масштабов загрязнения водных объектов остро стоит проблема оценки состояния экосистем водоемов. Ежегодно увеличиваются объемы сбросов вредных веществ от точечных источников загрязнения, оказывающих негативное воздействие на окружающую среду.

В настоящее время разработаны модели, описывающие распространение загрязняющих веществ в водоеме. В случае двумерных систем для получения аналитических результатов создана и хорошо проработана теория, в основу которой положен метод фазовой плоскости. Однако в случае большего числа измерений математическая задача усложняется, и каждый случай должен быть исследован отдельно. Фазовый анализ для трех или более измерений намного труднее и может быть использован только в некоторых конкретных случаях.

Основными методами, используемыми в исследованиях, являются методы Ляпунова. В случае нулевых характеристических показателей первым методом Ляпунова проблема не решается. Основной трудностью при применении второго метода функций Ляпунова является сложность построения функции Ляпунова, удовлетворяющей тем или иным требуемым условиям.

В настоящее время существует большое количество математических моделей, описывающих процессы в экологии. Разработкой и исследованием экологических процессов занимались Вольтерра В., Логофет Д.О., Лотка А., Пригожий И.Р., Самарский A.A., Костицин В.А., Свирежев Ю.М., Базыкин А.Д., Романов М.Ф., Rúan S., Кат Т.К., Chakrabarti C.G., ChowP.L., Dollard J.D., Friedman О.Н. Описания методов фазовой плоскости изложены в работах Сансоне Г., Конти Р. и Минорского Н. Многомерные модели динамики экосистем на основе метода функций Ляпунова изучались в работах Пыха Ю.А. Несмотря на возросшее число применений, методы исследования состояния нелинейных экосистем остаются недостаточно развитыми, и дополнительный математический аппарат требует дальнейшей разработки.

Важное место в математическом моделировании экологических процессов занимают нелинейные математические модели, которые наиболее адекватно описывают реальные процессы. При изучении устойчивости экосистем наиболее приемлемыми являются вольтерровские модели, для описания которых необходим математический аппарат, связанный с нелинейными системами дифференциальных уравнений. Появляется необходимость в развитии методов исследования таких систем и создании новых эффективных методов анализа нелинейных систем дифференциальных уравнений вольтерровского типа. Возникает задача анализа нелинейных систем, позволяющего определять условия их устойчивого функционирования по части компонентов.

В связи с этим задача математического моделирования экологических процессов с учетом нелинейной динамики отдельных компонентов системы является актуальной.

Целью диссертационной работы является повышение качества анализа экосистемы в целом и отдельных ее компонентов за счет расширения класса методик математического моделирования экологических процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями вольтерровского типа.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Провести анализ современного состояния науки в области исследования нелинейных экологических процессов.

2. Разработать критерий оценки функционального состояния экосистемы, определяющий условия устойчивости экосистем.

3. Разработать методику математического моделирования функционального состояния экосистемы, учитывающую нелинейную динамику отдельных ее компонентов.

4. Разработать методику исследования математических моделей экологических процессов на устойчивость решений при постоянно действующих возмущениях в

части уравнений систем вольтерровского типа.

5. Реализовать комплекс программ для расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты.

Объектом исследования являются математические модели экологических процессов, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями вольтерровского типа.

Предметом исследования являются методики математического моделирования экологических процессов, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений вольтерровского типа.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием методов математического моделирования, численных методов, методов теории устойчивости, математического и функционального анализа, качественной теории дифференциальных уравнений и информационных технологий.

Соответствие паспорту специальности. Диссертация выполнена в соответствии с требованиями специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Области исследования: 1 - Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, 2 -Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей, 3 - Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий и 5 - Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан критерий оценки функционального состояния экосистемы, отличающийся от известных тем, что определяет условия устойчивости экосистем, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений

вольтерровского типа. Критерий позволяет дать оценку функционального состояния экосистемы в целом и отдельных ее компонентов.

2. Предложена методика математического моделирования функционального состояния экосистемы на основе разработанного критерия, которая отличается применением метода сравнения с эталонной функцией, выбираемой в зависимости от малости возмущения уравнения. Методика позволяет анализировать решения систем дифференциальных уравнений для случая, когда характеристические показатели равны нулю.

3. Разработана методика исследования математических моделей экологических процессов, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений вольтерровского типа, на устойчивость решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений. Методика позволяет характеризовать состояние как экосистемы в целом, так и отдельных ее частей.

Практическая значимость:

Разработана автоматизированная система для расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты, которая позволяет:

- сократить затраты и время исследования экологического состояния этих объектов;

- оценить допустимую концентрацию загрязняющих веществ, сбрасываемых в водный объект, по отдельным ингредиентам;

- дать оценку экологического состояния водных объектов, упростить составление отчетности и повысить эффективность работы.

Достоверность и обоснованность результатов, сформулированных в диссертации, обеспечены корректным использованием теории обыкновенных дифференциальных уравнений, подтверждается результатами экспериментального исследования на реальных данных загрязняющих веществ филиала «ЦЛАТИ по РМ» ФБУ «ЦЛАТИ по ПФО», а также регистрацией разработанного комплекса программ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Критерий оценки функционального состояния экосистемы, определяющий условия устойчивости экосистем.

2. Методика математического моделирования функционального состояния экосистемы, учитывающая нелинейную динамику отдельных ее компонентов.

3. Методика исследования математических моделей экологических процессов, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений вольтерровского типа, на устойчивость решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений систем вольтерровского типа.

4. Комплекс программ для расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты.

Внедрение результатов работы и связь с научными программами. Разработан комплекс программ в виде веб-приложения для автоматизированного расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ от 31 августа 2012 г. №2012617875).

Программный комплекс внедрен в эксплуатацию для филиала «Центр лабораторного анализа и технических измерений по Республике Мордовия» Федерального бюджетного учреждения «Центр лабораторного анализа и технических измерений по Приволжскому федеральному округу», проведена апробация на контрольных примерах. Автоматизация поставленной задачи продемонстрирована на примерах расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в реки Мокша и Лепелейка. Получен акт выполненных работ по разработке и внедрению «Веб-приложения для автоматизированного расчета нормативов допустимых сбросов веществ».

Материалы теоретических и методических разработок используются в учебном процессе при подготовке по направлениям 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», 010400.62 «Прикладная математика и

информатика», 010400.68 «Прикладная математика и информатика».

Апробация диссертации. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на: научных конференциях «Огаревские чтения» Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева (Саранск, 2009 -2013 гг.); научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (Саранск, 2010-2013 гг.); молодежных школах-конференциях «Лобачевские чтения (Казань, 2010 г., 2013 г.); научных конференциях «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2011 - 2012 гг.); международных научно-технических конференциях «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2011-2012 гг.); научно-практической конференции «Математические методы и информационные технологии в социально-экономической сфере» (Уфа, 2012 г.); The 20th conference on applied and industrial mathematics (Молдавия, Кишинев, 22-25 августа 2012 г.); третьей международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (Брест, 17-22 сентября 2012 г.); научных конференциях «Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2013-2014 гг.); VII Международной научно-технической конференции, посвященной 70-летию Пензенского государственного университета (Пенза, 22 - 25 октября 2013 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 печатных работ, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендуемых ВАК, и свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ от 31 августа 2012 г. №2012617875 «Веб-приложение для автоматизированного расчета допустимых сбросов веществ».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения, списка использованных источников и приложений. Общий объем работы составляет 150 страницу, из них 121 страницы основного текста, включая 18 рисунков. Список литературы содержит 137 наименований.

Краткое содержание работы. Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и задачи, аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, перечислены методы исследования, приведены положения, выносимые на защиту. Проведен исторический обзор, анализ литературы и научных публикаций по теме исследования.

В первой главе поставлена задача моделирования экологических процессов и предложен подход к ее решению на основе метода сравнения.

Экосистема характеризуется допустимой концентрацией загрязняющих веществ, сбрасываемых в водный объект, и плотностью водной биомассы (биологически активная среда). Загрязнения и биологически активная среда характеризуются следующими сценариями взаимодействия:

При небольших выбросах загрязняющих веществ биологически активная среда их полностью перерабатывает (устойчивый сценарий).

При увеличении выбросов загрязняющих веществ и других факторов биологически активная среда может находиться, как в устойчивом, так и неустойчивом состоянии (бистабильная ситуация).

При больших выбросах загрязняющих веществ биологически активная среда погибает (неустойчивая ситуация).

Определен критерий оценки функционального состояния экосистемы в целом, так и отдельных ее компонентов, основанный на методе сравнения по части переменных.

Во второй главе на основе критерия оценки функционального состояния экосистемы разработана методика такой оценки.

Методика разработана для систем нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа и включает две части: 1. Исследование нелинейной динамической системы дифференциальных уравнений вольтерровского типа на устойчивость. 2. Нахождение решения нелинейной динамической системы

дифференциальных уравнений вольтерровского типа численным методом.

Разработана методика исследования математических моделей экологических процессов, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений вольтерровского типа, на устойчивость решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений систем вольтерровского типа.

Третья глава посвящена математическому моделированию оценки сбросов загрязняющих веществ в водные объекты. Для исследования оценки сбросов загрязняющих веществ рассматривается обобщенная модель Лотки-Вольтерра, описывающая динамику взаимодействия двух загрязняющих веществ и водной биомассы. Проверка модели проведена на примере рек Мокши и Лепелейки.

Четвертая глава посвящена компьютерной реализации алгоритма оценки допустимых сбросов загрязняющих веществ. Решается задача оценки допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты на примере Республики Мордовия.

Для решения задачи в виде веб-приложения разработан комплекс программ, в состав которого входит ряд взаимосвязанных программных блоков, объединенных общим интерфейсом пользователя и баз данных.

Решение поставленной задачи продемонстрировано на примерах расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в реки Мокша и Лепелейка. Приведены результаты анализа на санитарный и токсикологический показатели вредности.

Результаты, полученные методом математического моделирования функционального состояния экосистемы, согласуются с данными, представленными филиалом «ЦЛАТИ по Республике Мордовия» ФБУ «ЦЛАТИ по ПФО».

В заключении формулируются основные результаты диссертационной работы.

В приложении приводятся листинг комплекса программ, справочники веб-приложения для расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ, акт выполненных работ по разработке и внедрению «Веб-приложения для автоматизированного расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ».

Глава 1. Задача математического моделирования нелинейных экологических

процессов

1.1. Современное состояние науки в области исследования нелинейных

экологических процессов

В настоящее время многие реальные экологические процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. В связи с этим одной из важнейших проблем, возникающих в задачах математического моделирования, является проблема исследования устойчивости состояний равновесия и изучения асимптотических свойств решений таких экосистем.

Для описания различных процессов и исследования динамических экосистем необходим математический аппарат, связанный с нелинейными системами дифференциальных уравнений. Поэтому появляется необходимость в развитии методов исследования таких систем и создании новых эффективных методик анализа. Возникает задача качественного анализа нелинейных систем, позволяющего определять условия устойчивого их функционирования [78, 118, 119]. Важную роль в решении этой задачи играет разработка математических методик исследования систем.

Наиболее распространенными методами исследования устойчивости нелинейных систем являются методы Ляпунова, позволяющие получить строгое математическое обоснование устойчивости [10, 35, 71, 73, 82, 83, 113].

Первый метод Ляпунова применим для регулярного случая, когда характеристические показатели первого приближения для нелинейного дифференциального уравнения отличны от нуля, для дифференциального уравнения с гладкими возмущениями. В случае нулевых характеристических показателей проблема устойчивости через характеристические показатели не решается. Здесь необходима равномерность экспоненциальных оценок решений по начальной точке.

Основной трудностью при применении второго метода функций Ляпунова к задачам устойчивости является сложность построения функции Ляпунова,

удовлетворяющей тем или иным требуемым условиям. В этой ситуации имеют большое значение модификации метода Ляпунова, развитие метода функций Ляпунова в направлении ослабления требований к функциям Ляпунова и расширение класса используемых функций. Повышение общности и эффективности метода функций Ляпунова достигается использованием обобщенных функций Ляпунова или же вспомогательных функций, значительно отличающихся от функций Ляпунова и которые не обладают свойством невозрастания вдоль движений динамического потока. Изучением задач устойчивости различных динамических систем на базе показателей и функций Ляпунова занимались Е.А. Барбашин [10], А.П. Жабко [1-3], В.И. Зубов [36, 37], H.H. Красовский [44], Ж. Ла-Салль, С. Лефшец [46], В.М.Матросов [71, 72, 74], В.В.Румянцев [81,82], A.A. Шестаков [91,92] и другие исследователи [11,60,114, 115,127,134].

В диссертационной работе качественными методами исследуются нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие экологические процессы [51].

Разработкой и исследованием математических моделей взаимодействующих популяций занимались В. Вольтерра [21], А. Лотки [120, 121], В.А. Костицын [40] и другие исследователи [8, 9, 13, 31, 79, 80].

Для двумерных систем имеется хорошо разработанная теория и метод фазовой плоскости является основным орудием получения аналитических результатов. Однако в случае большего числа измерений (трех и более) математическая задача сложна, и часто каждый случай должен быть исследован отдельно. Фазовый анализ для трех или более измерений намного труднее и обычно может быть использован только в некоторых конкретных случаях. Иногда системы более высокой размерности могут быть сведены к двумерным с достаточным практическим обоснованием.

Анализ с помощью фазовой плоскости является важным методом при исследовании систем взаимодействующих сообществ, сводящихся к двум уравнениям первого порядка. Такой анализ в случае большего числа измерений

разработан заметно хуже, хотя во многих случаях (особенно в случае трех измерений) он может оказаться полезным. Исчерпывающие описания методов фазовой плоскости изложены в работах Сансоне и Конти [128] и Минорского [123].

Проблема устойчивости состояний равновесия систем популяционной динамики и свойства моделей, описываемых системами двух дифференциальных уравнений, исследованы в работах А.Д. Базыкина [9], Д.О. Логофета, Ю.М. Свирежева [85, 86], Ю.А. Пыха [125, 126] и многих других авторов [99, 131]. Многомерные модели динамики популяций на основе метода функций Ляпунова изучались в работах Ю.А. Пыха [77] и других математиков [127, 136], на основе индексно-дивергентного метода - в работах [34, 70].

Качественные свойства и устойчивость для моделей, учитывающих конкуренцию и миграцию видов изучены в работе [135].

Методы асимптотического интегрирования возмущенных дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра, рассмотрены в работах [22, 24, 101, 102]. Значение этих методов определяется хотя бы тем, что метод усреднения является их частным случаем. Однако главная трудность применения этих методов связана с получением оценок для производных по начальной точке и параметру от решения некоторых вспомогательных уравнений.

Несмотря на возросшее число применений, методы изучения устойчивости нелинейных систем остаются недостаточно развитыми, и дополнительный математический аппарат требует дальнейшей разработки. Эффективный метод исследования динамических процессов систем представляет собой обобщение метода функций Ляпунова и является, таким образом, актуальным направлением в теории нелинейных систем.

В настоящей работе нелинейные дифференциальные уравнения исследуются следующим образом. Для исходного уравнения строится уравнение сравнения. Предполагается, что поведение решения уравнения сравнения известно. Далее через эталонную функцию сравниваются решения двух этих уравнений. Удачный подбор

уравнения сравнения и эталонной функции сравнения дает возможность для решения самых различных задач качественной теории дифференциальных уравнений, исследования поведения решений дифференциальных уравнений и, что самое важное, позволяет решать задачи теории устойчивости в критических случаях [23, 24, 27,28,48].

Методики разработаны с использованием метода сравнения. Развитие теории, метода сравнения с эталонной функцией и их приложений отражено в работах его учеников Т.Ф. Мамедовой [26, 67, 69], E.H. Артемьевой [6], В.А. Белоглазовой, С.М. Мурюмина [25], Е.А. Черноивановой [29]. В работах обобщаются известные методы решения задач об устойчивости по линейному приближению, в первую очередь за счет общности эталонных функций сравнения. В методе Ляпунова, касающемся применения характеристических показателей, эти функции являются экспонентами. Однако в качестве уравнения сравнения здесь используются не только линейные однородные дифференциальные уравнения. Все это способствует решению классических и новых задач, в том числе прикладных. Решаются задачи для систем двух и более нелинейных дифференциальных уравнений [62].

1.2. Постановка задачи исследования математических моделей нелинейных

экологических процессов

Большинство авторов, рассматривающих проблему устойчивости экосистем, приходят к выводу, что понятие устойчивости широко определено, используется во многих значениях и сильно перегружено в смысловом отношении (Эшби, 1959; Федоров, Соколова, 1972; Крапивин, 1978; Арманд, 1983; Гродзинский, 1987; Бигон 1989; Рянский, 1995 и др.). Предлагается использовать ряд фрагментарных определений, касающихся части аспектов активных форм устойчивости экосистем (Розенберг, 1986).

Существует необходимость определения общих форм, в которых устойчивость может проявляться в экосистеме.

Загрязнения и биологически активная среда характеризуются следующими сценариями взаимодействия:

1. При небольших выбросах загрязняющих веществ биологически активная среда их полностью перерабатывает (устойчивый сценарий).

2. При увеличении выбросов загрязняющих веществ и других факторов биологически активная среда может находиться, как в устойчивом, так и неустойчивом состоянии (бистабильная ситуация).

3. При больших выбросах загрязняющих веществ биологически активная среда погибает (неустойчивая ситуация).

Устойчивость экосистемы определяется как способность экосистемы и ее отдельных частей противостоять колебаниям внешних факторов и сохранять свою структуру и функциональные особенности.

Возникает задача определения сценария взаимодействия компонентов для экосистемы, то есть исследование функционального состояния экосистемы на устойчивость в целом, так и для отдельных загрязняющих веществ, сбрасываемых в водный объект.

Для исследования устойчивости таких экосистем и расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ рассмотрим математическую модель экологической системы в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений.

где Р) - допустимая концентрация ьго загрязняющего вещества (масса 1-го вещества в сточных (сбросных) водах, максимально допустимая к отведению с установленным режимом в данном створе водного объекта в единицу времени, обеспечивающая показатель (ПДК) 1-го вещества в воде водного объекта). Норматив допустимого сброса есть зависимая величина от ассимилирующей способности водного объекта и изменений концентраций загрязняющих веществ в результате гидродинамических и биохимических процессов в водном объекте. Ассимилирующая способность водного

<В>,

(1.1.1)

Ж

V к> ^ у

объекта - это возможность водного объекта принимать определенную массу i-ro вещества в единицу времени без нарушения нормативного показателя i-ro вещества в воде водного объекта в контрольном створе;

- допустимая концентрация j-го загрязняющего вещества;

г - скорость распространения i-ro загрязняющего вещества; к, - эффективные коэффициенты взаимодействия загрязняющих веществ с водной биомассой;

а0, i ф j - величины показывают соответственно характер влияния j-ro вещества на i-e.

Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра, описывающую динамику взаимодействия загрязняющих веществ и водной биомассы.

dP,

L = P

1

dt

dP, с

P,-qPj-a>tQ

,i = \,m,j = m + l,n;

dt

dQ dt

1 ®,P,Q с ——Р. -qP,--

/ К J s + Pjj

,i = l,m,j = m + \,n;

(1.1.2)

= <pnw{Pi-Q)+bP,PjQJ = 1 ,m,j = m + \,m

где () - биологически активная окружающая среда (плотность водной биомассы); - описывает динамику водной биомассы; с1 - предельно допустимая концентрация ьго загрязняющего вещества в воде соответственно, концентрация вещества в воде, выше которой вода непригодна для одного или нескольких видов водопользования. Предельно допустимые концентрации определяются исходя из Перечня нормативов качества воды водных объектов рыбохозяйственного значения, в том числе нормативов предельно допустимых концентраций вредных веществ в водах водных объектов рыбохозяйственного значения (приказ Федерального агентства по рыболовству от 12 января 2010 года № 20);

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ляпина, Анна Александровна

Заключение

Положения выносимые на защиту:

1. Разработан критерий оценки функционального состояния экосистемы, определяющий условия устойчивости экосистем, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений вольтерровского типа. Критерий позволяет дать оценку функционального состояния экосистемы в целом и отдельных ее компонентов.

2. Предложена методика математического моделирования функционального состояния экосистем на основе разработанного критерия, которая отличается применением метода сравнения с эталонной функцией сравнения, выбираемой в зависимости от малости возмущения уравнения. Методика позволяет анализировать решения систем дифференциальных уравнений для случая, когда характеристические показатели равны нулю.

3. Разработана методика исследования математических моделей экологических процессов, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений вольтерровского типа, на устойчивость решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений. Методика позволяет характеризовать состояние как экосистемы в целом, так и отдельных ее частей.

4. Реализован комплекс программ для расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты, который позволяет сократить затраты и время исследования экологического состояния этих объектов. Комплекс программ позволяют оценить допустимую концентрацию загрязняющих веществ, сбрасываемых в водный объект, по отдельным ингредиентам. Внедрение системы позволяет дать оценку экологического состояния водных объектов, упростить составление отчетности и повысить эффективность работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ляпина, Анна Александровна, 2014 год

Список используемой литературы

1. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. - 2012. - 5. - С. 3-12.

2. Александров А.Ю., Жабко А.П., Косов A.A. О стабилизации положений равновесия нелинейных механических систем с запаздыванием // Вестник Воронежского ун-та. Сер. Физика. Математика. - 2011. - 2. - С. 32-39.

3. Александров А.Ю., Жабко А.П., Косов A.A. Об устойчивости и стабилизации механических систем с запаздыванием // Вестник Воронежского гос. техн. ун-та.-2011.-Т. 7,4.-С. 121-126.

4. Алексеев В.А., Рыженко Б.Н., Шварцев C.JI. и др. Геологическая эволюция и самоорганизация системы вода - порода. В 2 т. Т. 1. Система вода - порода в земной коре: взаимодействие, кинетика, равновесие, моделирование / отв. ред. C.JI. Шварцев. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. - 244 с.

5. Алексеевский Н.И. Гидрофизика - М.: Академия, 2006. - 176 с.

6. Артемьева E.H., Мамедова Т.Ф. Тр. семинара по диф. ур-ям Мордов. ун-т // Саранск Деп. в ВНИТИ 06.09.90. - 4892-В90. - 1989. - С. 2-6.

7. Ашихмина И.В., Управление многовидовыми экологическими системами //Информатика и системы управления - 3 (29). - 2011. - С. 133-141.

8. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций -М.: Наука, 1985.-182 с.

9. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 368 с.

10. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. - М.: Наука, 1967. -

223 с.

11. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - Изд-во иностр.лит., 1954. - 216 с.

12. Белоусова А.П. Качество подземных вод: современные подходы к оценке. - М.: Наука, 2001. - 339 с.

13. Бигон М., Харпер Дж., Таунсенд К. Экология. Особи, популяции и сообщества: в 2-х т. - Число и мысль. - 1989. - Т.1. - М.: Мир. - С. 16-55.

14. Боценюк К.Л., Павелко В.Л. О перспективах развития методов математического моделирования в исследованиях гидрохимических процессов // Гидрохимические материалы. - Л.: Гидрометеоиздат - 1984, Т. 92. - С. 46-51.

15. Бойков И.В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений // ДАН СССР. - 1990 - Т.314. - 6. С. 1298-1300.

16. Бойков И.В. Критерии устойчивости экологических, экономических и демографических моделей // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. Пенза: Информационно-издательский центр Пенз. гос. ун-та. - 2003 (5). - 2. С. 18-30.

17. Бойков И.В. Об одном критерии устойчивости решения нелинейных дифференциальных уравнений с последействием // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. Математика. - 2011 г.-1 (17) С. 58-68.

18. Бойков И.В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений,-Пенза: Издательство Пензенского государственного университетв. - 2008. - 244 с.

19. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

20. Венецианов Е.В. Физико-химические процессы в поверхностных водах // Водные проблемы на рубеже веков: Сб. статей под ред. М.Г. Хубларяна. - М.: Наука, 999.-2.-С. 241-255.

21. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Пер. с франц. О.Н. Бондаренко. Под ред и послесловием Ю.М. Свирежева, М.: Наука, 1976. -287 с.

22. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. - Труды

Средневолжского математического общества, 1990. - 224 с.

23. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: Теория и приложения. -Саранск: Средневолжское математическое общество, 2001. - 300с.

24. Воскресенский Е.В. Асимптотическая эквивалентность нелинейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. - 12. - 1987. - С.72-74.

25. Воскресенский Е.В., Артемьева E.H., Белоглазое В.А., Мурюмин С.М. Качественные и асимптотические методы интегрирования дифференциальных уравнений. - Саранск: Изд-во Саратовского университета. Саранский филиал, 1988. - 188 с.

26. Воскресенский Е.В., Мамедова Т.Ф. Асимптотические методы для части компонент решений дифференциальных уравнений // Саранск. Саранск, Деп. в ВНИТИ. - 1992. - С. 6-112.

27. Воскресенский Е.В., Мамедова Т.Ф. Асимптотическое равновесие и его приложения // Тр. семинара по диф. ур-ям. - Саранск, Деп. в ВНИТИ 22.07.93. -2076-В93. - 1993. - С.5-14.

28. Воскресенский Е.В., Мамедова Т.Ф. Равномерная ограниченность решений и асимптотическая эквивалентноть систем // дифференциальных уравнений Тр. семинара по диф. ур-ям // Саранск Деп. в ВНИТИ 30.08.89. - 56-58В89. - 1989. -С. 29-39.

29. Воскресенский Е.В., Черноиванова Е.А. Об асимптотическом методе регулирования характеристик электрических цепей. - Матем. моделирование, 6:12 (1994).-С. 79-96.

30. Гаррелс P.M., Крайст 4.JI. Растворы, минералы, равновесия. - М.: Мир, 1968.-368 с.

31. Горстко А. Б., Угольницкий Г.А. Введение в моделирование эколого -экономических систем. - Ростов н/Д. : Издательство РГУ, 1990. - 112 с.

32. Дривер Дж. Геохимия природных вод / перевод с англ. Л.Н.Барабанова и Г.А.Соломина. - М.: Мир, 1985. - 440 с.

33. Дружинин Н.И., Шишкин А.И. Математическое моделирование и прогнозирование загрязнения поверхностных вод суши. - Л.:Гидрометеоиздат, 1989.

- 390 с.

34. Дружинина О.В. Индексно-дивергентный метод исследования устойчивости нелинейных динамических систем. - М.: ВЦ РАН, 2007. - 188 с.

35. Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.-241 с.

36. Зубов В.И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение.

- М.: Высш. шк., 1973. - 271 с.

37. Зубов В.И. Аналитическое построение функций Ляпунова // Доклады РАН, 1994.- Т. 335, 6.- С. 688-690.

38. Караушев A.B. Речная гидравлика. - Л.: Гидрометеоиздат, 1969. - 416 с.

39. Карпов И.К., Киселев А.И., Летников Ф.А. Геохимия природных вод / перевод с англ. Л.Н. Барабанова и Г.А. Соломина. - М.: Недра, 1976. - 256 с.

40. Костицын В.А. Эволюция атмосферы, биосферы и климата. - М.: Наука, 1984.-96 с.

41. Крайнов С.Р., Рыженко Б.Н., Швец В.М. Геохимия подземных вод. Теоретические, прикладные и экологические аспекты, М.: Наука. - 2004. - 667 с.

42. Крайнов С.Р., Рыженко Б.Н. Анализ разрешающих возможностей прогнозных моделей изменений химического состава подземных вод, их оптимальное геохимическое содержание // Геохимия. - 2000. - 7. - С. 691-703.

43. Крайнов С.Р., Шваров Ю.В., Гричук Д.В. и др. Методы гидрохимического моделирования и прогнозирования в гидрогеологии, М.: Недра. -1988.-254 с.

44. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.: Гостехиздат, 1959. - 211 с.

45. Кутепов A.M., Полянин А.Д., Запрянов З.Д. и др. Химическая гидродинамика: справочное пособие. - М.: Бюро Квантум, 1996. - 336 с.

46. Ла-Саллъ Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. - М.: Мир, 1964. - 168 с.

47. Лаптев H.H. Расчеты выпусков сточных вод. - М.: Стройиздат, 1977. -

336 с.

48. Ляпина A.A., Мамедова Т.Ф., Напалкова Ю.В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений по части переменных // Казань: Казанское математическое общество, 2010. - Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского, материалы Девятой молодежной научной школы-конференции. - С. 216-219.

49. Ляпина A.A., Мамедова Т.Ф. Об исследовании устойчивости модели вольтерровского типа // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей VI Международной научно-технической конференции. - Пенза: Приволжский Дом знаний. - 2011. - С. 44-46.

50. Ляпина A.A., Мамедова Т.Ф. Об исследовании устойчивости решения системы дифференциальных уравнений вольтерровского типа // Научно-технический вестник Поволжья. Казань: Научно-технический вестник Поволжья. - 2012. - 1. - С. 195-198.

51. Ляпина A.A., Мамедова Т.Ф. Метод сравнения в исследовании нелинейной динамики экологических процессов // Труды третьей международной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения», 17-22 сентября 2012 г., Брест, - Минск: БГУ. - 2012. - С. 196-201.

52. Ляпина A.A., Мамедова Т.Ф. Математическое моделирование оценки допустимых сбросов загрязняющих веществ, описываемых уравнениями вольтерровского типа // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем. - сб. ст. VII Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 70-летию Пензенского государственного университета, - Пенза: Изд-во ПТУ, 2013,-С. 125-131 .

53. Ляпина A.A., Мамедова Т.Ф. Устойчивость решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений сисем вольтерровского типа / // Казань: Казанское математическое общество, Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского, материалы XII молодежной научной школы-конференции. -2013.-С. 111-113.

54. A.A. Ляпина, Т.Ф.Мамедова Алгоритм исследования моделей нелинейной динамики // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико - математические науки. - Пенза. -2013.-3 (27). - С. 48 - 57.

55. A.A. Ляпина, Т.Ф. Мамедова Расчет допустимх сбросов загрязняющих веществ для многовидовой модели вольтерровского типа // Журнал средневолжского математического общества. Саранск: СВМО - 2013. - 4 (15). С. 156-163.

56. Ляпина A.A. , Мамедова Т.Ф. Разработка веб-приложения для автоматизированного расчета нормативов допустимых сбросов веществ / // Материалы научной конференции XLI Огаревские чтения, 2 (1). - Саранск: СВМО, 2012.-С.4-11.

57. Ляпина A.A., Мамедова Т.Ф. ВЕБ-приложение для автоматизированного расчета нормативов допустимых сбросов веществ // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2013. Материалы научной конференции. - Спб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2013. - С. 250 - 255.

58. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. - Собр. соч. Т.2. - М.- Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - С. 272331.

59. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат. -1950.-471 с.

60. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения, М.: Наука. - 1966. - 531 с.

61. Мамедова Т.Ф. Стабилизация экологических систем // Труды Средневолжского математического общества. - 2004. - Т.6. - 1. - С. 227-230.

62. Мамедова Т.Ф., Ляпина A.A. Исследование модели взаимодействия трех сообществ с постоянной общей численностью // Научно-методический журнал Учебный эксперимент в образовании. Естественные науки. - Саранск. - 2012. - С. 52-56.

63. Мамедова Т.Ф., Ляпина A.A. Асимптотическая эквивалентность дифференциальных уравнений вольтерровского типа // Научно-технический вестник Поволжья. Казань: Научно-технический вестник Поволжья. - 2012. - 6. - С. 303-306.

64. Мамедова Т.Ф., Ляпина A.A. Исследование математических моделей взаимодействия многовидовых сообществ // X конференция Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании с участием зарубежных ученых, - Саранск: СВМО, 2012. - 4 (14). - С.62 - 69.

65. Мамедова Т.Ф., Десяев Е.В., Ляпина A.A. Устойчивость математических моделей типа «хищник-жертва» // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико - математические науки. - Пенза. -2012.-2 (22). - С. 98-105.

66. Десяев Е.В., Ляпина A.A., Мамедова Т.Ф. Об одном применении метода сравнения / // Материалы Международной научно-практической конференции с элементами научной школы для молодых ученых. 48-е Евсевьевские чтения Математика. Физика. Информатика, Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2012. - С. 47 -51.

67. Мамедова Т.Ф. Критерии устойчивости решений дифференциальных уравнений по части переменных // Матем. моделирование. - 7:5 (1995). - 57 с.

68. Мамедова Т.Ф. Асимптотика решений нелинейного дифференциального уравнения. Методы сравнения и методы Ляпунов // Межвуз. сб.науч.тр. Мордов. унт. - Саранск. - 1990. - С. 98-101.

69. Мамедова Т.Ф. Об устойчивости решений по части компонент // Тр. семинара по диф. ур-ям. - Мордов. ун-т. - Саранск. - Деп. в ВНИТИ. - 22.07.93. -2076-В93. - 1993. - С. 30-39.

70. Масина О.Н., Дружинина O.B. Существование устойчивых состояний равовесия и предельные свойства решений обобщенных систем Лотки-Вольтерра // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. - 2007 - 1. - С. 55-57.

71. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. - М.: Физматлит. - 2001. - 380 с.

72. Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова и теории устойчивости // Труд II Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. -М.: Наука, 1965. Вып. I. С. 112-125.

73. Матросов В.М. Принципы сравнения с вектор-функцией Ляпунова. I-IV // Диф.уравнения. - 1968. - Т.4, 8. - С.1374-1386; 1968. - Т.4, 10. - С. 1739-1752; 1969. - Т.5, 7. - С. 1171-1185; 1969. - Т.5, 12. - С. 2129-2143.

74. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Л. Метод сравнения в математической теории систем. - Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1980. -480 с.

75. Назаров H.A., Демидов В.Н. Методы и результаты численного моделирования переноса неконсервативной примеси в речном потоке // Водные ресурсы. - 2001. - 1. - С. 8-46.

76. Озиранер A.C., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // Прик.мат. и мех. - 1972. — Т.36, 2.-С. 364-383.

77. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. - М. Наука. - 1983. - 184 с.

78. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных систем дифференциальных уравнений. - М.: Наука. - 1974. - 316 с.

79. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов, М.: Изд. МГУ. - 1993. - 302 с.

80. Романко В.К. Введение в моделирование эколого - экономических систем, М. С-П.: Физматлит, 2000. - 344 с.

81. Румянцев B.B. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестн.Моск.ун-та. Сер.1. Математика, механика. - 1957. - С. 9-16.

82. Румянцев В.В., Озираиер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных, М.: Наука. - 1987. - 256 с.

83. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости, М.: Мир, 1980. - 300 с.

84. Сафронова К.И., Веницианов Е.В., Кочарян А.Г. и др. Структура и информационное обеспечение системы контроля качества поверхностных вод // Водные ресурсы. - 1997. - 6. - С. 711-717.

85. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ, М.: Наука, 1978. - 184 с.

86. Свирежев Ю.М. Математические модели в экологии // Число и мысль. -1982. - Вып. 5. - М.: Знание. - С. 16-55.

87. Семчуков А.Н., Квон В.И. Определение интенсивности сброса загрязняющих веществ в реку по данным наблюдениям в расположенном ниже створе // Метеорология и гидрология. - 1999. - 7. - С. 84-91.

88. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1970. - 720 с.

89. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970.-720 с.

90. Шестаков A.A. Признаки устойчивости множеств относительно неавтономной дифференциальной системы // Диф.уравнения. - 1977. - Т. 13, 6. - С. 1079-1090.

91. Шестаков A.A., Меренков Ю.Н. О прямом методе Ляпунова в теории устойчивости // Сборник науч. трудов. - М.: ВЗИИТ МПС. - 1981. - Т. 111. - С. 1721.

92. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. - М.: УРСС. - 2007 - 320 с.

93. Вода России. Математическое моделирование в управлении водопользованием / под редакцией А.М.Черняева. Оценка допустимых сбросов загрязняющих веществ в поверхностные водные объекты суши - Екатеринбург: Изд-во «Аква-пресс». - 2001. - 520 с.

94. Шварцев C.JI. Геологическая эволюция и самоорганизация системы вода-порода. В 2 т. Т. 1. Система вода - порода в земной коре: взаимодействие, кинетика, равновесие, моделирование - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. - 244 с.

95. Шварцев C.JI. Гидрохимия зоны гиперкинеза. - 2-е изд. - М.: Недра, 1998.-366 с.

96. Якубович В. А. Некоторые критерии приводимости систем дифференциальных уравнений // Диф.уравнения Докл. АН СССР. - 1949. - Т.66, 4. -С. 577-580.

97. Якубович В.А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений // Диф.уравнения Докл. АН СССР. - 1946. - Т.63, 4. -С. 363-366.

98. Achartya R.C., Van der Zee S.E.A.T.M. Water resources research // New York: Wiley - Intersience Public. - 2005. - vol. 41. - W02020 11.

99. Allen L.J. Persistence and extinction in single-species reaction-diffusion model // Bull. Math. Biol. - 1983. - V. 45. - P.209-227.

100. Arditi R., Ginzburg L.R. Coupling on on predator-prey dynamics: ratio-dependence // J. Theor. Biology. - 1989. - V.139. - P. 311-326.

101. Basti M. On asymptotic equivalence between two nonlinear parametric systems with a small parameter // J.Math.Anal. and Appl. - 1984. - Vol.99, 1. - P. 65-79.

102. Boudorrides M., Georgiou D. Asymptotic equivalence of differential equations with Stepanoff-bounded functional perturbations // Czech.Math.J. - 1982. - Vol. 32(107). - 4. - P.633-639.

103. Brauer F. Asymptotic equivalence and asymptotic behaviour of linear systems // Michigan Math.J. - 1962. - Vol.9. - P. 33-43.

104. Brauer F. Nonlinear differential equations with forcing terms // Proc. Amer. Math. Soc. - 1964. - Vol.15. - P. 758-769.

105. Brauer F., Wong J.S.W. On asymptotic relationships behaviour of perturbed linear systems // J.Differential Equations. - 1969. - Vol.6. - P. 142-153.

106. Brauer F., Wong J.S.W. On asymptotic relationships between solutions of two systems of ordinary differential equations // J.Differential Equations. - 1969. - Vol.6. - P. 527-543.

107. Chakrabarti C.G., Koyel G. Non-equilibrium thermodynamics of ecosystems: Entropic analysis of stability and diversity // Ecological Modeling. - 2009. - 220. - P. 1950-1956.

108. Chow P.L. and Tam W.C. Periodic and traveling wave solution to Volterra-Lotka equations with diffusion // Bull. Math. Biology. - 1976. - 38(6): 643-658.

109. Dollard J.D., Friedman O.H. Asymptotic behavioer of solution of linear ordinary differential equations // J.of Math.Anal. and Appl. - 1978. - Vol.66. - P. 394398.

110. Flierl G., Grunbaum D., Levin S., Olson D. From individuals to aggregations: the interplay between behaviour and physics // J. Theor. Biol. - 1999. - V. 196. - P. 397454.

111. Hellman H. Qualitative Hydrologie - Wasserbeschaffenheit und Stoff-Flusse // Berlin-Stuttgart: Gebruder Borntraeger. - 1999. - 410 p.

112. Holling C.S. The components of predation as revealed by a study of small mammal predation of the European pine sawfly // Can. Ent. - 1959. - V.91. - P. 293-320.

113. Kalman R.E. Mathematical description of linear dynamical systems // J. Soc. Industr. and Appl. Math. Contr. - 1963. - Al. 2. - P. 152-192.

114. Kar T.K. and Kunal Chakraborty Bioeconomic modelling of a prey predator system using differential algebraic equitation // International Journal of Engineering, Science and Technology. - Vol.2. - 1. - 2010. - P. 13-34.

115. Kar T.K. and Ashim Batabyal Persistence and stability of a two prey one

predator system // International Journal of Engineering, Science and Technology. - Vol. 2. -2.-2010.-P. 174-190.

116. Lerman A. Geochemical Processes Water and Sediment Environments // New York: Wiley - Intersience Public. - 1979. - 481 p.

117. Lima A.O. A note on the asymptotic equivalence of two systems of differential equations // Acta Fac.rerum natur Univ. comen 1977(1978). - 33. - P. 35-49.

118. Levinson N. The asymptotic behaviour of a system of linear differential equations // Amer.J.Math. - 1946. - Vol.68. - P. 1-6.

119. Levinson N. The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations // Duke Math. J. - 1948. - Vol.15. - P. 111-126.

120. Lotka A.J. Contribution to the energetics of evolution Proc. Natl. Acad.Sci. -1922.-8.-P. 147-150.

121. Lotka A.J. Elements of physical biology // Baltimor. - 1925. - 460 p.

122. Mamedova T.F., Lyapina A. A. On solution stability of differential equations of Volterra type Moldavia // The 20th conference on applied and industrial mathematics, 2012. - P.158. (Dedicated to Academician Mitrofan M. Ciobanu, Chisinau, August 22-25, 2012).

123. Minorsky N. Non-linear oscillators. Van Nostrand, Princeton, New Jersey. -1962 (Reprint 1974. Robert E. Krieger Co., New York).

124. Onuchic N., Cassago H. Asymptotic behaviour of infinity between the solutions of two systems of ordinary differential equations J.Math.Anal. and Appl, 1984. -Vol.102, 28.-P. 348-362.

125. Pykh Yu.A. Lyapunov functions for Lotka-Volterra systems:an overview and problems // Proc. of 5th IFAC Symposium Nonlinear Control Systems. - 2001. - P. 16551660.

126. Pykh Yu.A. Energy Lyapunov Function for Generelized Replicator Equations // Proc. of International Conference Physics and Control. - 2001. - P. 271-276.

127. Ruan S. On nonlinear dynamics of predator-prey models with discrete delay

Math. Model. Nat. Phenom. - Vol.4. - 2. - 2009. - P. 140-188.

128. Sansone G., Conti R. Nonlinear differential equations. - Pergamon, Oxford, 1964.-535 p.

129. Svec M. Asymptotic relationship between solutions of two systems of ordinary differential equations // Czech.Math.J. - Vol. 24(99). - P. 44-48.

130. Svec M. Integral and asymptotic equivalence of two systems of differential equations // Equadiff.5. Czech.conf. Differ. Equations and Appl. Br. - 1982. - P. 329-338.

131. Takeuchi Y. Conflict between the need to axoid competition: persistence of two-species models // Math. Biosci. - 1990. - V. 120. - P. 181-194.

132. Wu Yu-Shu, Pan L, An analytical solution for transient radial flow through unsaturated fractured porous media // Water resources research. - 2005. - vol. 41. - 2. -W02029.

133. Yoshizava T. Liapunov's function and boundedness of solutions // FunktiaLEkvas. - 1959. - Vol. 2. - P. 71-103.

134. Yuejian Jie, Yuan Yuan Model Stability Analysis of Marine Ecosystem // International Journal of Biology Vol. 1. - 2. - 2009. - P. 22-25.

135. Zhang Xin-an, Chen L. The linear and nonlinear diffusion of the competitive Lotka-Volterra model // Nonlinear Analysis. - 2007. - V. 66. - P. 2767-2776.

136. Zhang Guodong, Lulu Zhu, Boshan Hopf bifurcation and staility and stability for a differential-algebraic biological economic system // Applied Mathematics and Computation. -2010. - V. 217. - P. 330-338.

137. Zybov V.I. Differential equations for functions of several independent variables, and their application // Amer. Math. Soc. - 1993. - Vol.46, no.2. - P.311-315.