Численные методы и вычислительный эксперимент в исследовании динамики и структуры взаимодействующих сообществ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Амироков, Станислав Рауфович

• Амироков, Станислав Рауфович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Амироков, Станислав Рауфович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СООБЩЕСТВ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕЛИНЕЙНЫМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

1.1. Уравнения, описывающие эволюцию взаимодействия популяций в задачах математической биологии и генетики.

1.2. Модели водной экосистемы.

1.3. Другие математические модели, описывающие взаимодействие сообществ.

1.4. Постановка задач.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ.

2.1. Существование и единственность решения задачи Коши для системы уравнений Лотки-Вольтерра.

2.2. Об асимптотической устойчивости решений одновидовых моделей

2.3. Постановка задач для системы двух дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра.

2.4. Поведение решений системы для двухвидовой модели с квадратичной нелинейностью.

2.5. Исследование поведения решений системы трех уравнений.

2.6. Исследование модели взаимодействия трех сообществ с постоянной общей численностью.

ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРОВСКОГО ТИПА.

3.1. Приближенное аналитическое решение задачи Коши для системы двух уравнений Лотки-Вольтерра.

3.2. Вычислительные схемы решения задач для систем 2х и 3х уравнений Лотки-Вольтерра методом Рунге-Кутта.

3.3 Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом последовательных приближений в интегральной форме.

3.4. Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом последовательных приближений в дифференциальной форме.

3.5. Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом конечных элементов.

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

4.1. Решение задач для двухвидовых моделей методом Рунге-Кутта.

4.2. Решение задач для трехвидовых моделей методом Рунге-Кутта в пакете Mathcad -2000.

4.3. Графическое представление решения задачи Коши, полученного методом последовательных приближений в интегральной форме.

4.4. Графики решений систем уравнений Лотки-Вольтерра с постоянной общей численностью популяций, полученные методом последовательных приближений в интегральной форме.

4.5. Алгоритмы решения моделей методом последовательных приближений в дифференциальной форме.

4.6. Результаты решения задач методом конечных элементов.

4.7. Исследование модели «цветения» воды.

4.8. Сравнительный анализ графических решений, полученных разными численными методами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы и вычислительный эксперимент в исследовании динамики и структуры взаимодействующих сообществ»

Актуальность проблемы: Последнее время характеризуется качественно новым подходом к анализу и прогнозированию биологических, экологических и социальных процессов. Осознана необходимость привлечения математических методов моделирования и исследования этих процессов. Социальные и исторические исследования проводились математическими методами, например в работах [91, 107, 81, 80, 55, 136].

Представленная диссертационная работа посвящена изучению методами математического моделирования процессов изменения структуры социальных систем, систем экологии, биологии, медицины, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, среди которых наиболее известны уравнения типа Лотки - Вольтерра. В диссертации осуществлена разработка соответствующих вычислительных алгоритмов с использованием методов последовательных приближений в интегральной, дифференциальной форме и метода конечных элементов.

Известно, что формирование общественного сознания является коллективным явлением [102, 135]. Процесс взаимодействия индивидуумов и их сообществ представляется сложной синергетической системой зависимых переменных, и поведение этой системы может резко изменяться при определенных внешних условиях, приводя к кризисным ситуациям и глобальным изменениям [20, 94]. Известно также, что на деятельность человека и любой биосистемы заметное воздействие оказывают гелиографические факторы [137, 138]. Все биосистемы, в том числе и человек, с физической точки зрения функционируют в колебательном режиме, и этот режим нелинейно связан с электромагнитным, в особенности гелио-магнитным полем среды обитания [58, 86, 132].

В данной работе решаются задачи с помощью систем двух и трех нелинейных дифференциальных уравнений с начальными условиями и с условием постоянства суммы искомых функций.

Большинство реальных социальных и природных процессов описываются математическими моделями с нелинейностью типа насыщения [46, 87, и др.]. Предположения о механизмах насыщения используются при построении многих моделей в различных областях знаний [56, 61, 68].

Динамика общественного развития является нелинейной функцией времени ? и зависит от множества взаимодействующих факторов -природных, территориальных, экономических, социально-психологических, которые, в свою очередь, существенно зависят от временного фактора. Поэтому при формализации процессов информационного взаимодействия элементов в системе можно предположить, что характеризующие их параметры зависят только от времени. Это позволяет смоделировать многие процессы с помощью систем нелинейных дифференциальных уравнений типа «вход - выход» [54, 69, 93, 97].

Имеются многочисленные подтверждения общесистемного характера обобщенного логистического закона, поэтому остаются актуальными исследования, связанные с математическим моделированием, основанным на этом законе развития [47, 49, 99, 129, 142, 147]. Тем самым возникает необходимость в разработке и развитии методов исследования моделей, основой которых являются системы уравнений с квадратичной нелинейностью [23, 73].

Кроме того, одной из основных задач изучения динамики процессов является также оценка устойчивости соответствующих систем уравнений [30] и описание качественных перестроек поведения их решений при изменении параметров [24, 72]. Наиболее адекватным математическим аппаратом построения и анализа таких моделей служит качественная теория дифференциальных уравнений и теория бифуркаций [27, 28, 29, 123].

Объектом исследования диссертации являются алгоритмы решения систем уравнений вольтерровского типа и их обобщений, описывающих динамику и структуру взаимодействующих сообществ, а предметом исследования - системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с различными, в том числе и нестандартными дополнительными условиями, поиск методов их решения и границ изменения параметров для разных режимов функционирования систем.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование динамики и структуры биологических, экологических и социальных систем; исследование на этой основе особенностей социального развития сообществ, процессов в биологии, экологии, медицине; выбор и обоснование численных методов решения соответствующих дифференциальных уравнений; создание методики проведения вычислительного эксперимента и программного обеспечения для его реализации.

Основные задачи исследования:

1. Анализ различных математических моделей, представленных в литературе, основой которых являются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие социальные и биологические системы.

2. Сравнение поставленных математических задач и методов их решения с целью выявления общности и особенностей моделирования.

3. Построение математических моделей, описывающих динамику структуры систем общественного развития и биологии.

4. Оценка устойчивости систем с учетом влияния внешних факторов.

5. Выбор численных методов и построение алгоритмов решения поставленных задач.

6. Проведение численного исследования погрешности и устойчивости предлагаемых вычислительных схем.

7. Проведение численных экспериментов и получение сравнительных оценок эффективности решения задач рассматриваемых динамических систем.

8. Методика постановки вычислительного эксперимента по исследованию и прогнозированию развития процессов и возникновения критических ситуаций. Методы исследования:

Для решения поставленных научных задач были использованы методы математического моделирования, алгебры, качественной теории дифференциальных уравнений, численные методы. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Обоснована необходимость постановки взаимосогласованных граничных условий при наличии переопределенности в исходных данных для исследования динамики структуры рассматриваемых систем, таким образом модели, зачастую, сводятся к переопределенным задачам, -отличающимся от классических постановок.

2. Показаны условия разрешимости поставленных задач:

- задачи Коши для систем 3-х уравнений Лотки - Вольтерра (один «хищник» - две «жертвы»);

- системы двух уравнений Лотки - Вольтерра с условием постоянства суммы искомых функций;

- системы трех уравнений Лотки - Вольтерра с условием постоянства суммы искомых функций и, в частности задач, сводящихся к системам двух «разделенных» и двух «перекрестных» уравнений.

3. Предложены три численных метода решения поставленных задач -метод последовательных приближений в интегральной форме, метод последовательных приближений в дифференциальной форме, метод конечных элементов. Рассмотрены их достоинства и недостатки.

4. Разработаны алгоритмы для численного решения систем двух и трех уравнений вольтеровского типа с начальными условиями и при наличии ограничений постоянства суммы искомых функций, исследованы их сходимость и устойчивость.

Практическая значимость результатов работы состоит в следующем:

1. Разработанная методика численного решения нелинейных дифференциальных уравнений с учетом ограничений может быть применена для моделей, основой которых являются системы трех и более уравнений вольтерровского типа, а также некоторых других систем в нормальной форме.

2. Выделенные в ходе исследования границы изменения параметров могут быть использованы при моделировании соответствующих управляемых систем.

3. Разработанные алгоритмы и оценки устойчивости, сходимости и погрешности соответствующих вычислительных схем дают возможность выбора метода получения решения и исследования динамики изучаемого процесса.

4. Материалы теоретических и методических разработок могут использоваться в учебном процессе при подготовке математиков по специальностям 073000, 010200.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Предложен и обоснован метод последовательных приближений в интегральной форме для нестационарных систем дифференциальных уравнений типа Лотки - Вольтерра; построен вычислительный алгоритм и исследована его эффективность на примере систем двух и трех уравнений с приложениями к задачам биологии, социологии.

2. Разработан вычислительный алгоритм на основе метода конечных элементов для нестационарных систем дифференциальных уравнений типа Лотки - Вольтерра; составлено программное обеспечение и исследована его эффективность на прикладных задачах социологии.

3. Результаты сопоставительного анализа метода последовательных приближений в дифференциальной форме, в интегральной форме, метода конечных элементов, Рунге-Кутты на типовых задачах математического моделирования динамики и структуры взаимодействующих сообществ.

4. Результаты численного эксперимента по исследованию динамики и структуры моделей трехкомпонентных сообществ на основе разработанных численных методов и алгоритмов.

5. Методика анализа динамики трехкомпонентных сообществ. Графическое представление решений.

6. Программный комплекс для математического моделирования динамических процессов, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа (регистрация № 2005610753, № 2005610754)

Публикации и апробация результатов исследования.

По теме диссертации автором опубликовано 19 работ, из них 5 статей, 12 тезисов докладов на научных конференциях, два свидетельства о регистрации.

Результаты исследований докладывались на ежегодных региональных научно-технических конференциях СевКавГТУ (г. Ставрополь, 1999-2004г.), на 7й и 8й научно-практических конференциях (2003-2004г.) Ставропольского финансово-экономического института. Автор также принимал участие в 7й Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2003 г.), в 4й Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004 г.), в Iй Международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (г. Ставрополь, 2004 г.). Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 148 наименований и 4

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Амироков, Станислав Рауфович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В результате обзора математических моделей, описывающих поведение социальных, биологических и других динамических систем, выявлена актуальность условия, ограничивающего сверху сумму частных решений систем дифференциальных уравнений. Разработаны математические модели динамики структуры при взаимодействии двухвидовых и трехвидовых сообществ с учетом сохранения их общей численности, в основу которых положены системы уравнений с квадратичной нелинейностью. Обоснована возможность замены одного из дифференциальных уравнений для быстрой переменной алгебраическим, в соответствии с методом А.Н. Тихонова редукции системы с учетом иерархии времен. Разработан метод последовательных приближений в интегральной форме, продемонстрирована его эффективность для решения поставленных задач взаимодействия двух и трех видов. Разработаны вычислительные схемы для метода последовательных приближений в интегральной форме, исследована их сходимость и устойчивость на примерах систем двух и трех уравнений с начальными условиями и условиями сохранения суммы искомых функций. Предложен и исследован условно-сходящийся метод последовательных приближений в дифференциальной форме, выявлены условия его сходимости, составлены вычислительные схемы, исследована их эффективность, сходимость, устойчивость.

Разработан вычислительный алгоритм на основе метода конечных элементов для систем двух и трех уравнений с квадратичной нелинейностью, составлено программное обеспечение по его реализации.

Для машинной реализации вычислительных алгоритмов составлен программный комплекс, позволяющий по заданным значениям параметров и дополнительных условий получать графики решений.

8. В ходе вычислительного эксперимента по решению задач как традиционным методом Рунге - Кутты, так и методами последовательных приближений в интегральной, дифференциальной форме, конечных элементов получены графические решения для систем двух и трех уравнений как с начальными условиями, так и с условием постоянства суммы искомых функций.

9. Проведен сопоставительный анализ рассмотренных в диссертации методов решения поставленных задач и показано, что наиболее продуктивным для практического применения наряду с широко применяемым методом Рунге-Кутты является метод последовательных приближений в интегральной форме.

10. Показана применимость рассмотренных в диссертации методов для исследования эволюции численности видов в ходе их взаимодействия на примере модели динамики социального конфликта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Амироков, Станислав Рауфович, 2006 год

1. Адамчук A.C., Амироков С.Р., Щепотьева C.B. Динамическая модель планирования инвестиций в форме задачи нелинейного программирования. // Вестник СевКавГТУ. Серия «Физико-химическая».-2004. №1 (8).-С. 116-118.

2. Амироков С.Р. Исследование модели взаимодействия трех сообществ с постоянной общей численностью. // Известия вузов Сев.-Кав. региона. Серия «Естественные науки». Приложение, Ростов н/Д, 2004 - №9 -С. 3-7.

3. Амироков С.Р. Математическое моделирование экологических систем. // Материалы III региональной научно-технической конференции. «Вузовская наука Северо-Кавказскому региону». Ставрополь: СевКавГТУ, 1999. - С.6.

4. Амироков С.Р., Адамчук A.C., Чеботарева Т.Е. Моделирование изменений структуры двухвидовых сообществ. // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная», 2005, N1.-C. 18-20.

5. Амироков С.Р. Решение вольтерровской системы трех уравнений методом последовательных приближений в интегральной форме. // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная», 2005, N1.-С. 21-22.

6. Амироков С.Р., Наац И.Э. Математическое моделирование в задачах прогноза социально-экономических систем. // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная», 2006, N2.-C. 19-23.

7. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. -544 с.

8. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. -М.: Едиториал УРСС, 2004.-304 с.

9. Антоновский М.Я. Выбор переменных в некоторых эколого -экономических моделях // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Т.З. -JL: 1980, С. 122-140.

10. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. -М.: МЦНМО, 2000. -32 с.

11. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. -128 с.

12. Арнольд В.И., Афраимович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. -М.: Наука, 1989.-217 с.

13. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления / Учеб. для вузов. -М.: Высшая школа, 2003.-614 с.

14. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. -М.: Наука, 1984. -296 с.

15. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций.-Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.-368 с.

16. Базыкин А.Д., Хибник А.И. О жестком режиме возбуждения автоколебаний в модели типа Вольтерра // Биофизика, 1981, т. 26, вып.5, С. 851-853.

17. Базыкин А.Д., Кузнецов Ю.А., Хибник А.И. Портреты бифуркаций. -М.: Знание, 1989. -47 с.

18. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. -М.: Наука, 1984.-176 с.

19. Бахвалов Н.С., Лапин A.B., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000. -200 с.

20. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. -М.: Мир, 1970. -326 с.

21. Беллман Р. Математические методы в медицине. М.: Мир, 1987. -200 с.

22. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. .М.: Высшая школа, 2001.-382 с.

23. Владимирский Б.М. Биологические ритмы и солнечная активность // Проблемы космической биологии. -М.: Мир, 1980, Т 41. С. 289 -315.

24. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: Наука, 1976.-288 с.

25. Гаджиев К. С. Введение в политическую науку. М.: Логос, 1997, 542с.

26. Ганусов В. В., Брильков А. В., Печуркин Н. С. Популяционная динамика бактериальных плазмид. // Математическое моделирование. 2001. т. 13, №1, С. 77-98.

27. Горев В.В., Филиппов В.В., Тезиков Н.Ю. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций. -М.: Высшая школа, 2002. 206 с.

28. Горстко А.Б. Математическое моделирование и проблемы использования водных ресурсов. Ростов на Дону: 1976. -64 с.

29. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. -М.: Знание, 1991.-160 с.

30. Горстко А.Б., Угольницкий Г.А. Введение в моделирование эколого-экономических систем. -Ростов н/Д.: Издательство РГУ, 1990. -112.с.

31. Гумилев А.Н. Этногенез и биосфера Земли. М.: Танаис, ДИДИК, 1994.

32. Демидович В.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа.-М.: Физматгиз, 1967. -368 с.

33. Динамическая теория биологических популяций / под редакцией Р. А. Полуэктова. М.: Наука, 1974, -455с.

34. Дромашко С.Е., Романовский Ю.М. Эволюция математических моделей генетики (серия «Математика, кибернетика»). -М.: Знание, 1984. -64 с.

35. Дэмбэрэл С. Оленев Н. Н., Поспелов И. Г. К математическому моделированию взаимодействия экономических и экологических процессов. // Математическое моделирование. 2003, т. 15. №4. С. 107122.

36. Завалишин Н. Н., Логофет Д. О. Динамические блоковые модели углеродного цикла в экосистеме переходного болота. // Математическое моделирование. 2001. т.13. №4. С. 3-19.

37. Завалишин Н. Н., Логофет Д. О. Моделирование экологических систем по заданной диаграмме «Запасы потоки». // Математическое моделирование. 1997, т.9. №9. С. 3-17.

38. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. -М.: Просвещение, 1990. -176 с.

39. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко A.B. Математические методы в экономике. М.: Дело и сервис, 1999. -368 с.

40. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986. -350 с.

41. Ивлев B.C. Экспериментальная экология питания рыб. М.: 1955, -466 с.

42. Ильичев В. Г. Дельта функции и исследование экологических моделей Вольтерра в переменной среде. Изв. Вузов. Математика, 1998, №4. С. 23-33.

43. Ильичев В. Г., Ильичева О. А. Анализ моделей конкуренции в постоянной и периодической среде. // Математическое моделирование. 2002, т.14. №3. С. 71-83.

44. Ильичев В. Т., Задорожный А. И. К моделированию динамики групп. // Математическое моделирование. 2002, т.14. №12. С. 72-85.

45. Исаков В.Н. Элементы численных методов. М.: Издательский центр «Академия», 2003. -192 с.

46. Казначеев В.П., Михайлова Л.П. Биоинформационная функция естественных электромагнитных полей. -Новосибирск: Наука, 1985. -170 с.

47. Калиткин H.H. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512 с.

48. Кипнис М.М. Модели социальных явлений в коротком курсе математики. Челябинский rnH.\Internet\Kipnis.htm, 04.02.00.

49. Козлов Н. Н. Один способ хранения генетической информации. // Математическое моделирование. 2002, т. 14. №8. С. 72-79.

50. Колемаев В.А. Математическая экономика. -М.: ЮНИТИ, 1998. -240 с.

51. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. В сб. Математическая биология и медицина. Т. 1. М.: Наука, 1978, С.117-165.

52. Краснощекое П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. -М.: Издательство МГУ, 1983, -264с.

53. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М.: Инфра-М, 1998.-464 с.

54. Крогиус Ф.В., Крохин Е.М., Меншуткин В.В. Сообщество пелагических рыб озера Дальнего // Опыт кибернетического моделирования. Л., 1969.

55. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения. Мн.: Наука и техника, 1982.-286с.

56. Лобанов А. И., Старожилова Т. К., Зарницына В. И., Атауллаханов Ф. И. Сравнение двух математических моделей для описания пространственной динамики процесса свертывания крови. // Математическое моделирование. 2003, т.15. №15. С. 14-28.

57. Логофет Д. О. Три источника и три составные части формализма популяции с дискретной стадийной и возрастной структурами. //Математическое моделирование. 2002, т.14. №12. С. 11-23.

58. Ляпунов A.A. Биогеоценозы и их математическое моделирование //Природа. 1971. №10. С. 38-41.

59. Ляпунов A.A., Титлянова A.A. Системный подход к изучению обменных процессов в биогеоценозе // Ботанический журнал. 1974. Т 59, №8.-с. 1081 -1092.

60. Малинецкий Г. Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: Эдиториал УРСС, 2000. -336 с.

61. Малинецкий Г. Г. Управление риском и редкие катасрофические события. // Математическое моделирование. 2002, т.14. №8. С. 107112.

62. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. -М.: Мир, 1983, -397с.

63. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.-320с.

64. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии М.: Наука, 1991.-304 с.

65. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

66. Меншуткин В.В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. -Л.: 1971.

67. Меншуткин В.В. Теоретические основы математического моделирования водных экологических систем // Общая биология. 1974. Т 35, №4.

68. Михайлов А. П., Савельев А. В. Обоснование макромоделей властных иерархий через их микроописание. // Математическое моделирование. 2001. т. 13. №4. С. 19-35.

69. Михайлов А. П., Юхио JI. Ф. Простейшая модель установления равновесия между двумя ветвями власти. // Математическое моделирование. 2001, т. 13, №1, С. 65-76.

70. Михайлов А.П. Математическое моделирование распределения власти в иерархических структурах // Математическое моделирование. -1994. Т.6, №.6, С.108-138.

71. Михайлов А.П. Моделирование эволюции распределения власти в государственных иерархиях // Вестник фонда «Российский общественно политический центр. -1996. №2. С.26-39.

72. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. -384 с.

73. Моисеев H.H. Простейшие математические модели экономического прогнозирования (серия «Математика, кибернетика»). -М.: Знание, 1975.-64 с.

74. Моисеев H.H. Модели экологии и эволюции.(серия «Математика, кибернетика»). -М.: Знание, 1983. -64 с.

75. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей.-М.: Едиториал УРСС, 2004.-192 с.

76. Мэрди Дж. Модели популяций. В кн. «Математическое моделирование»/ Под ред. Дж.Эндрюса. М.: Мир, 1979. -109 с.

77. Наац И. Э. Метод последовательных приближений для операторных уравнений и систем. // Научные школы и научные направления СевКавГТУ. Ставрополь: СевКавГТУ. С. 48-50.

78. Наац И. Э., Семенчин Е. А. Математическое моделирование пограничного слоя атмосферы в задачах мониторинга окружающей среды. Ставрополь.: Издательство СГПУ, 1995.-196с.

79. Нахушев A.M. Математические методы в исторических исследованиях.- Нальчик: КБГУ, 1987. 56 с.

80. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. -59 с.

81. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.-301 с.

82. Нахушев A.M., Кенетова P.O. К проблеме математического моделирования социально исторических и этнических процессов.-Нальчик: Эльфа, 1998.- 170с.

83. Неймарк Ю.И. Простые математические модели // Природа. 1991. N 11.С.12.

84. Одум Ю. Основы экологии. М.: Мир, 1975.-740с.

85. Орлов Ю. Н., Суслин В. М. Кинетические уравнения для некоторых моделей демографии. // Математическое моделирование. 2003, т. 15. №3. С. 43-54.

86. Пантелеев A.B., Бортаковский A.C. Теория управления в примерах и задачах. -М.: Высшая школа, 2003. -583 с.

87. Перминов В. Д., Саранча Д. А. Об одном подходе к решению задач популяционной экологии. // Математическое моделирование. 2003, т.15. №11. С. 121-124.

88. Песков Н. В. Численный анализ предельного цикла в одной химической модели. // Математическое моделирование. 2002. т.14. №3. С. 59-70.

89. Петров А. А., Шананин А. А. Математические модели для оценки эффективности одного сценария экономического роста. // Математическое моделирование. 2002, т.14. №7. С. 27-53.

90. Петров В.М., Яблонский А.И. Математика и социальные процессы (Серия «Математика, кибернетика»).-М.: Знание, 1980.-64 с.

91. Петров Ю.П., Петров Л.Ю. Неожиданное в математике и его связь с авариями и катастрофами. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005.-240 с.

92. Ю4.Печуркин Н. С. Популяционная микробиология.- Новосибирск: Наука, 1978.-272с.

93. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. -412 с.

94. Плис А.И., Сливина H.A. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров. М.: Финансы и статистика, 2000. -656 с.

95. Плотинский Ю.М. Модели социальных процессов.-М.: Логос, 2001. С.65.

96. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. -311 с.

97. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой.-М.: УРСС, 2003.-312 с.

98. Ризниченко Г. Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических репродукционных процессов. М.: Издательство МГУ, 1993. -300 с.

99. Ш.Романов М.Ф., Федоров М.П. Математические модели в экологии. -СПб.: «Иван Федоров», 2003, 240 с.

100. Розенберг Г.С. Математические модели экологического прогнозирования // Человек и биосфера. Вып. 8. -М.: 1983. -С.86 -108.

101. ПЗ.Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М., С-П.: Физматлит, 2000. -344 с.

102. Романюха А. А., Каркач А. С. Индивидуально ориентированная модель динамики инфекционного процесса в неоднородной популяции. // Математическое моделирование. 2003, т. 15. №5. С. 95-105.

103. Румшиский J1. 3. Математическая обработка результатов эксперимента. М.: Наука, 1971.-192с.

104. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Физматлит, 2000. -296 с.

105. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.:, Наука, 1973.-415с.

106. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000.-316с.

107. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. -288 с.

108. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -432с.

109. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -368 с.

110. Свирежев Ю. М., Пасеков В. П. Основы математической генетики. -М.: Наука, 1978.-272с.

111. Свирежев Ю.М. Математические модели биологических сообществ. -М.: Наука, 1978.

112. Семенчин Е. А., Наац В. И., Наац И. Э. Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы: М.: Издательство ФМЛ, 2003- 291с.

113. Смит Д. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. -184 с.

114. Стеценко В .Я., Плюта А.И. Обзор и реализация на ЭВМ методов решения систем линейных и нелинейных уравнений. Учебное пособие. -Ставрополь: Издательство СГУ, 2003. 71 с.

115. Тер-Крикоров A.M. Нелинейные задачи и малый параметр (серия «Математика, кибернетика»). -М.: Знание, 1984. -64с.

116. Терехов А. И. Математические модели соперничества в сфере НИОКР. // Математическое моделирование. 2003, т. 15. №4. С. 34-65.

117. Терехов А. И. Фактор продуктивности в эволюции научного сообщества. // Математическое моделирование. 2001. т. 13. №5. С. 7590.

118. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения.-М.: Наука, 1980.-231с.

119. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры.- М.: Едиториал УРСС, 2004.- 240 с.

120. Уатт К.Е. Экология и управление природными ресурсами. -М.: Мир, 1971.-464 с.

121. Федоров В.Д., Гильманов Т.Г. Экология. М.: Наука, 1980.

122. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах.-М.: Мир,1985. -423 с.

123. Чернавский Д. С., Старков Н. И., Щербаков А. В. Динамическая модель закрытого общества (институциональные ловушки и кризисы). // Математическое моделирование. 2001. т. 13. №11. С. 97116.

124. Чижевский A. JI. Зеленое эхо солнечных бурь. -М.: Мысль, 1973. -349 с.

125. Чижевский A.JI. Физические факторы исторического процесса. -Калуга: 1924.-58 с.

126. Шведовский В. А. Исследование динамики электорального поведения с использованием модели социально психологического потенциала. // Математическое моделирование. 2000, т. 12 №8. С. 46-56.

127. Экономико математическое моделирование / Под. ред. Дрогобыцкого И. В. -М.: Экзамен, 2004.-800с.

128. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986. -240 с.

129. Anderson R. М., May R. М. Population infections diseases: Part 1. // Nature. 1979, v. 280, №2, p. 361-367.

130. Monod Y. (1949)/ The growth of bacterial cultures. Annual Review of Microbiology, v. 3, p. 371-394.

131. Rapport A. Mathematical Models in the Social and Behevioral Scienses. N. Y.: Wiley, 1983.

132. Gause G. F. The struggle for existence. Baltimore: Williams and Wilkins, 1934.

133. Weidlich W. Stability andcyclicity in social systems// Behavioral Science. 1988.№33 .p.241.

134. Marchetti C. The Future // In Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi",G.Caglioti and H.Haker (eds),1991.

135. Goodwin R.M. The non-linear accelerator and peasistence of business cycles // Econ. 1951. N 19. P. 1 -17.