Информационное обеспечение и моделирование элементов экологического и технико-экономического комплекса управления регионом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.06, кандидат технических наук Шергина, Ольга Витальевна

• Шергина, Ольга Витальевна
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шергина, Ольга Витальевна

Введение

1. Проблемы развития экологического и технико-экономического комплекса на региональном уровне. Задачи диссертационного исследования

1.1. Правовые основы совершенствования экологических систем

1.2. Информационные аспекты при создании системы устойчивого регионального развития

1.3. Модели компонент природной среды

1.4. Цели и задачи диссертационных исследований

2. Компьютерное моделирование популяций в экологических системах

2.1. Математические модели непрерывного роста отдельных популяций

2.2. Об эквивалентах модальной мощности и энергии в линейных экологических системах

2.3. Нелинейные модели роста плотности популяций

2.4. Дискретные модели роста

2.5. Моделирование в условиях изменения во времени окружающей среды и структуры системы

2.6. Модели двух взаимодействующих популяций

2.6.1. Модели «жертва-хищник» двух популяций

2.6.2. Две популяции: модель конкуренции

2.6.3. Две популяции: мутуализм

3. Информационное обеспечение и моделирование элементов комплекса частных моделей системы регионального управления

3.1. Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой

3.2. Информационное обеспечение и моделирование нелинейных " дискретных систем. Хаос

3.3. Информационное обеспечение и моделирование экологической системы межвидового взаимодействия

3.4. Информационное обеспечение и моделирование роста популяции в условиях изменяющихся запасов растительной массы

3.5. Алгоритмическое и программное обеспечение модели роста с периодически изменяющимися во времени коэффициентами

4. Экологические модели на основе цепей Маркова и их информационная поддержка

4.1. Общие положения

4.2. Моделирование генетических популяций на основе цепей Маркова

4.3. Случайные спаривания в конечных популяциях: модель на основе цепей Маркова

4.4. Модель случайного генетического дрейфа

4.5. Цепи Маркова с поглощающими состояниями

4.6. Марковская модель прохождения загрязняющего вещества через экосистему

5. Идентификация и оценка параметров нелинейных моделей динамических систем по экспериментальным данным

5.1. Рекурсивный метод наименьших квадратов

5.2. Алгоритм оценивания параметров моделей в условиях ограничений

5.3. Идентификация параметров экологической системы методом дифференциальной аппроксимации 175 5.4. Идентификация дискретной логической системы в хаотическом режиме

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Информационное обеспечение и моделирование элементов экологического и технико-экономического комплекса управления регионом»

Окружающая среда - важнейшая часть нашей жизни, ибо наше будущее и будущее потомков зависит от того, какой мир нас окружает, каким воздухом мы дышим, какую воду мы пьем.

В последние годы, как на государственном, так и на региональных уровнях в сфере охраны окружающей среды делается достаточно много. В частности, во многих регионах с большой численностью населения, в крупных городах и в местах сосредоточения промышленных объектов внедряются системы контроля воздуха и чистоты воды, создаются информационно-измерительные комплексы для принятия решений по управлению ситуацией на основании анализа переменных состояний и текущих параметров окружающей среды. Все это способствует и должно улучшить экологию, причем уже в обозримо близком будущем.

Для управления экологической ситуацией используются последние достижения в области техники очистки сточных вод и загрязненного воздуха[43]. На предприятиях, где действуют современные воздухоочистители, выброс вредных веществ в атмосферу не превышает тысячных долей от предельно допустимой концентрации (ПДК).

В течение последних лет, благодаря принятым мерам, в нашей стране возросло понимание важности экологической чистоты. Это не раз отмечали специалисты контролирующих органов различных уровней, таких, как Госсанэпиднадзор. И дело здесь не в предпринимаемых штрафных санкциях (они для крупных производств не так уж и страшны), а в изменении стиля работы и мышления руководителей предприятий с экологически вредными производствами [5 ].

Управление качеством окружающей среды представляет собой исключительно сложную и ресурсоемкую организационно-технологическую проблему, входящую в состав концепции устойчивого развития государства по главным направлениям.

Основное содержание понятия «устойчивое развитие» состоит в том, что социально-экономическое развитие должно осуществляться таким образом, чтобы не допустить экологической катастрофы, обусловленной антропогенным воздействием. Вместе с тем в него, безусловно, должно входить управление естественными природными процессами и, в частности, теми, которые нарушают или тормозят поступательное движение общества вперед. Кибернетический подход, основанный, по определению Н.Винера, на универсальности методологии изучения управления различными объектами и процессами, независимо от их физической природы, позволил приступить к решению самой сложной проблемы — управлению состоянием геофизической природной среды. Математические модели природных процессов весьма сложны. Практически все они многомерны и описываются нелинейными уравнениями в частных производных, решение которых представляет огромные трудности даже при использовании ресурсов современных суперкомпьютеров и распределенных систем компьютерного моделирования на базе Интернет -технологий. Концепция устойчивого развития определила необходимость создания информационных систем поддержки принятия решений при формировании экологической политики на государственном и региональных уровнях[20].

Всесторонний анализ обстановки и различных эффектов воздействий, с учетом тенденций в развитии человеческой деятельности, свидетельствует о том, что в ближайшие годы и даже десятилетия наиболее серьезными будут оставаться следующие загрязнители окружающей среды:

- двуокись серы и продукты ее реакций (серная кислота, сульфаты тяжелых металлов - ртути, свинца, кадмия и др.);

- канцерогенные вещества, вызывающие злокачественные опухоли;

- нефтепродукты, попадающие в результате действия человека в воду и почвы;

- хлорорганические пестициды;

- окись углерода и окислы азота в местах скопления транспорта и расположения крупных преобразователей энергии топлива в другие виды энергии.

Поэтому на информационные системы поддержки принятия решений о состоянии экологической обстановки должны возлагаться оценки по различным критериям: предельно допустимым концентрациям загрязняющих веществ в природных средах «ПДК»; предельно допустимым нормам выбросов (ПДВ) и сбросов (ПДС), накоплению отходов (ПДО), а также предельно допустимым экологическим нагрузкам (ПДЭН).

Данные оценок должны передаваться исполнительной власти и заинтересованным организациям для принятия необходимых мер по стабилизации обстановки. Информационные системы должны составлять прогноз о состоянии экологической обстановки в будущем. Наиболее важными наукоемкими задачами информационных систем являются процессы определения экологического резерва с учетом предельно допустимых экологических нагрузок и изменений антропогенного характера. Именно решение этих задач позволит установить дополнительные природные возможности для использования их в интересах человека, оценивать ущерб экологический, экономический и социальный при неправильных воздействиях в определенных ситуациях на природу.

В настоящее время в экологии широко используется понятие «эстетического ущерба», характеризирующего уменьшение эстетической ценности уникальных и заповедных экосистем, которая не поддается экономическим оценкам. Количественная мера эстетического ущерба может быть установлена в том случае, когда можно определить ущерб от уменьшения потока туристов, вызванного снижением эстетической ценности природной среды (так называемый рекреационный ущерб), либо в случае ухудшения здоровья людей. Видно, что, оценка «эстетического ущерба», требующая использования большого объема информации и соответствующей базы данных вообще невозможна без использования информационных систем поддержки принятия решений, осуществляющих сбор и обработку информации о наблюдениях за изменением состояния окружающей среды.

В работе [7] предложено определять степень воздействия на природную экосистему (сообщество, популяцию) с помощью следующего функционала:

А = И Е Е X ^{()м1{1)С,тс!ГтМтКтуи+к ,

Я / и ' ' где А„- степень воздействия на «-экосистему; ^-концентрация загрязняющего вещества (или интенсивность воздействия какого- либо фактора в пространстве и во времени); и (¿¡0)- коэффициенты соответствующих превращений или переходов;

Сцт- геометрический фактор, учитывающий воздействие на данный организм (элементы биосферы), фактически распределенный во времени и пространстве, фактора загрязнения

Ецт- эффект биологически вредного воздействия;

Ыщ- количество организмов л-популяции в т-экосистеме, подвергающихся воздействию;

-коэффициент, характеризующий эффект одновременного воздействия /-го и (¿+к)-го ингредиентов;

-коэффициент, учитывающий эффект одновременного воздействия на п-ю и (п+к)- ю популяцию данной экосистемы.

Следует заметить, что приведенная выше формула была предложена академиком Израэлем Ю.А. в работе [13] для контроля состояния природной среды как многомерной системы. Не отрицая важности системного подхода к оценке состояния с помощью этой формулы, мы отметим большие сложности, возникающие при практическом ее использовании. Во-первых, требуется иметь аналитические зависимости функций концентрации, коэффициентов превращений и эффекта вредного биологического воздействия, которые могут быть установлены для каждой экосистемы лишь путем моделирования процессов при непрерывном получении данных измерений (все составляющие являются непрерывными функциями времени). Во-вторых, функции являются нелинейными, и методы идентификации таких объектов составляют серьезную научно-техническую задачу даже при введении целого ряда упрощений, определяющих ковариационные свойства сигналов в процессе взаимного влияния. В-третьих, количество организмов популяции N и чувствительность К популяции к данному воздействию в формулу входят как постоянные коэффициенты. Вместе с тем, мир биологических популяций в своем поведении настолько сложен и разнообразен, что учет динамики популяций в функционале крайне необходим. Даже в самых простых ситуациях, связанных с ростом одной биологической популяции в условиях изменяющейся внешней среды, процесс моделирования требует немало искусства для обеспечения свойств адекватности системы и модели. Представляется вполне закономерным и тот факт, что для исследования задач взаимодействия популяций создается адекватный математический аппарат экологического инжиниринга, математической теории экологии, которые составляют сегодня важное научное направление в прикладной математике.

Предмет исследования математической экологии составляют: неструктурированные модели популяций (одновидовые взаимодействующие популяции, модели получения урожая, модели гибели — размножения, «хищник - жертва», мутуализма и др.);

- модели структурированных популяций (модели пространственно размещенных структур (линейные и нелинейные), модели распространения (кластеризации));

- возрастно-структурированные модели (линейные, модель Лотки, разностные, модели на матрицах Лесли, модели Мак Кендрика - Ван-Фостера (дифференциальные, в частных производных));

- структурно зависимые модели размножения и др.

Широкий спектр математических приемов в аналитическом описании перечисленных моделей свидетельствует о большом разнообразии поведения систем, необходимости использования современных информационных технологий и компьютерных вычислительных сред для анализа и управления экосистемами. Несмотря на огромное число публикаций и их постоянный рост в данной предметной области, лишь в отдельных частных случаях достигнуты конкретные результаты и созданы модели, получившие всеобщее признание. Основная причина создавшегося положения состоит в том, что по своей природе модели экологических систем являются сугубо нелинейными. Системы дифференциальных уравнений в аналитической форме, как правило, не решаются, а численные методы требуют использования компьютерных вычислительных оболочек и соответствующей информационной поддержки. Поведение моделей оказывается весьма чувствительным к изменению параметров и граничных условий. В результате при одном и том же аналитическом представлении поведение -моделей в динамике может быть совершенно различным. Например, простейшая логистическая модель в форме разностного уравнения первого порядка с квадратичной функцией может иметь аттрактор в виде точки, устойчивый предельный цикл, ¿-периодический режим, режим детерминированного хаоса и т.п.

Модели экологических систем, и в частности, роста популяций имеют много общего с математическими моделями технических систем, геофизических процессов, экономики, социологии и др. Общность определяется, очевидно, тем, что в основе процессов поведения систем лежат одни и те же законы. Это законы сохранения массы, момента количества движения и энергии, которые наряду с законами термодинамики, магнитной и электродинамики описывают процессы, протекающие в окружающем нас мире. Проблема сохранения популяции во многом сходна с задачами о необратимых процессах в термодинамических и экономических системах. Очевидно, невозможно обеспечить рост одной популяции только за счет другой, без каких либо иных изменений. Аналогично при управлении ресурсными потоками, согласно формулировке Леонтовича, невозможно построить устройство, в результате действия которого производилась бы положительная работа только за счет охлаждения одного тела без каких - либо других изменений. М. Планк сформулировал следующее фундаментальное положение: «Всякий происходящий в природе процесс протекает в таком направлении, что сумма энтропий всех участвующих в процессе тел увеличивается». Эти формулировки, в свою очередь, оказываются приемлемыми для описания процессов в экономических системах. Так, в микроэкономике им соответствуют утверждения:

- поток ресурса не может переходить от экономического агента (ЭА), у которого его оценка выше, к ЭА с более низкой оценкой без того, чтобь1 не осталось других изменений;

- невозможно извлечь капитал за счет обмена ресурсами с одним ЭА без каких- либо других изменений.

Интересно также отметить что, формулировке Планка соответствует совершенно аналогичное утверждение, относящееся к необратимой микроэкономике: «Всякий процесс ресурсообмена протекает в таком направлении, что суммарные потери прибыльности участвующих в процессе экономических агентов положительны. В равновесии прибыльность замкнутой экономической системы достигает минимума, совместимого с наложенными на нее ограничениями» [17].

Вопросы потокораспределения в природных системах с энтропийных позиций ранее рассматривались в целом ряде работ сотрудников Института энергетики Сибирского отделения Академии Наук. Так, в трудах Л.М. Кагановича было показано, что принцип наименьшего действия непосредственно происходит из второго начала термодинамики. Это означает, что физические процессы казалось бы, в совершенно внешне не связанных системах, системах различной природы (экологических, технических, биологических, социально-политических, геофизических и т.п.) описываются одними и теми же математическими уравнениями. Следовательно, мы можем получить идентичные модели для систем различной природы и назначения, если их математическая интерпретация одинакова, т.е. исследовать динамически аналогичные системы. Согласно работе Ильи Пригожина и Изабеллы Стенгерс [24, с.105], в динамических системах будущее и прошлое играют в уравнениях движения симметричные роли. Эволюция динамических переменных-координат или скоростей — во времени представляется уравнениями движения. Координаты и скорости можно выбрать в качестве координат фазового пространства. В этом пространстве каждому состоянию системы соответствует точка, и ее эволюции во времени соответствует траектория. Рассмотрим совокупность таких точек, заполняющих некоторый объем в фазовом пространстве. Он соответствует ансамблю- совокупности систем, описываемых одними и теми же уравнениями движения, но с различньши начальными условиями. Фундаментальное свойство динамической эволюции заключается в том, что объем, занятый ансамблем, остается постоянным в фазовом пространстве. Это следствие из классической динамики называется теоремой Лиувилля. Важно подчеркнуть, что хотя объем в фазовом пространстве сохраняется, его форма может изменяться. Так как в хаотических системах две траектории, первоначально сколь угодно близкие, экспоненциально «разбегаются», исходный объем сильно фрагментируется и порождает геометрического монстра.

В связи с вышеизложенным, нам представляется целесообразным в процессе моделирования экологических систем выделить классы моделей с подобными аналитическими описаниями, но относящимся к системам другой физической природы, в том числе - к техническим. Это позволит не только с единых методологических позиций исследовать поведение сложных систем, но и использовать результаты, полученные в одной области знаний, для выводов и обоснованных заключений в другой - менее исследованной в силу тех или иных обстоятельств. Этим вопросам посвящены диссертационные исследования. Их конкретизация, определение класса задач, направленных на решение вопросов совершенствования моделей экологических систем и управления технологическими процессами, выполнены в первой главе диссертации.

Заключение диссертации по теме «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)», Шергина, Ольга Витальевна

Основные выводы по результатам диссертационных исследований.

1. Проблема совершенствования экологических систем является комплексный и ее решение следует выполнять во взаимосвязи с внешней средой, в условиях структурной перестройки в технико-экономической и социальной сферах. Инновационные процессы в этих сферах направлены на использование новых технологий, способов освоение новых источников сырья, рынков сбыта продукции, существенно изменяющих сложившуюся ранее ситуацию в области контроля и управления, эффективности инструментария для поддержки стратегических управленческих решений. В этих условиях появились эффективные правовые основы совершенствования экологических систем.

В диссертации разработана структура взаимодействия элементов экологического и промышленно-экономического комплекса управления на региональном уровне. В сложной системе управления на основе концептуальной модели определены блоки расширяющегося комплекса моделей и, в частности, эколого-технологический блок, блок популяций, информации и управления, совершенствование которых является непременным условием повышения качества экологического менеджмента в регионе.

2. Выделен класс исследуемых моделей объектов и технологических процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями и нелинейными разностными уравнениями с широким спектром динамических режимов, в который входят как устойчивые процессы, сходящиеся в точке, так и предельные циклы, t-периодические процессы, режимы хаоса и стохастические режимы.

3. Исследован класс нелинейных моделей роста в экологических системах, координаты состояния которых и начальные условия могут принимать во временной области лишь положительные значения.

4. Разработано информационное обеспечение для моделирования элементов регионального комплекса управления и на его основе выполнен к машинный эксперимент, позволивший получить значения параметров, определяющих бифуркации периодичных режимов, установить области притяжения (аттракторы) для t-периодичных режимов и хаоса.

5. Создана компьютерная модель для исследования поведения логистических систем, описываемых нелинейным разностным уравнением со сложной динамикой.

6. Разработано информационное обеспечение и исследованы модели роста с периодически изменяющимися во времени коэффициентами, роста популяции в условиях изменяющихся запасов растительной массы. к

7. Выполнен анализ экологических моделей со стохастическими свойствами на основе цепей Маркова. Предложено информационное и программное обеспечение модели генетических популяций на основе цепей Маркова, с использованием принципа Харди-Вейнберга для генных и генотипных частот при больших объемах популяций. Составлена таблица для анализа процессов доминантно-гибридного и гибридно-гибридного скрещивания растений.

8. На основе цепей Маркова рассмотрена модель спаривания в конечных популяциях. Определена матрица вероятностей переходов цепи Маркова и на ее основе получены n-шаговые переходные вероятности. Разработано информационное обеспечение для моделирования случайного генетического дрейфа. Исследована модель генетического дрейфа и получены процессы эволюции распределения вероятности генов двух типов с заданием в качестве начального условия существования рециссивных генных структур. Получена сходимость процесса через несколько поколений к доминантным структурам, что свидетельствует о генной устойчивости, впервые установленной и изложенной в теоретических работах P.A. Фишера и С. Райта по генетике популяций.

9. Рассмотрены цепи Маркова с поглощающими состояниями, которые использованы для моделирования прохождения загрязняющих веществ через экосистему, представленную в форме орграфа с четырьмя вершинами и одним поглощающим состоянием (речным стоком).

10. Для оценки параметров моделей по экспериментальным данным в виде переопределенной системы уравнений разработана методика, позволяющая учесть систему ограничений в форме уравнений-равенств и неравенств. Задача решена путем введения множителей Лагранжа на базе метода наименьших квадратов.

11. Разработано алгоритмическое и информационное обеспечение для параметрической идентификации нелинейной экологической системы. Алгоритм построен на основе процедуры дифференциальной аппроксимации с использованием кубических сплайнов, позволивших при разработке информационного обеспечения с высокой степенью точности выполнить численное дифференцирование на равномерной сетке. Исходные данные, представленные решением нелинейных уравнений с помощью решателей ODE 45 в среде Mat LAB, принятым в качестве узлов интерполяции с переменным шагом, дважды «обработаны» с помощью сплайн-аппроксимаций, что позволило получить малую погрешность вычислений.

12. В диссертации разработана вычислительная процедура оценки параметров логистической модели в хаотическом режиме при наличии шума в измеряемых переменных состояния. Процедура основана на использовании квадратичных методов, позволяющих получить наилучшие оценки .при аддитивном шуме с гауссовым распределением. При проведении эксперимента исследована погрешность оценивания для различных отношений помехи к полезному сигналу.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шергина, Ольга Витальевна, 2004 год

1. Бендерская E.H., Колесников Д.Н., Пахомова В.И., Сиднев А.Г., Тихонов Н.Д., Цыган В.Н. Моделирование систем с использованиемтеории массового обслуживания. Учебное пособие СПб.: СПбГПУ, 2003.- 180 с.

2. Бондаренко Н.Ф. и другие. Моделирование продуктивности агроэкосистем -М.: Гидрометиоиздат, 1982-262с.

3. Бунич A.A., Бахтадзе H.H. Синтез и применение дискретных систем с идентификатором. М.: Наука, 2003. 232 с.

4. Варжапетян А. Г., Глущенко В.В, Глущенко П.В. Системность процессов создания и диагностики технических структур. — СПб.: Политехника, 2004. 186 с.

5. Варжапетян А.Г. и др. Принятие решений о качестве, управляемомзаказчиком. М.: Вузовская книга, 2003. 387 с.

6. Гаскаров Д.В., Истомин Е.П., Фролов А.К. Информационная поддержка систем экологического контроля и управления. СПб.: Издательство СПГУВК, 1999253 с

7. Гаскаров Д.В., Киселев В.Б., Солдатенко С.А., Строгонов В.И., Юсупов P.M. Введение в геофизическую кибернетику и экологический мониторинг. СПб.: СПГУВК, 1998. 165 с.

8. Израэль Ю.А. Экология и контроль состояния природной среды. — JL: Гидрометиздат, 1979-375 с.

9. Кемени ДЖ., Снелл Дж., Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970. -270 с.

10. Кендалл М., Стюард А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.-899 с.

11. Колесников Д.Н. (ред.). Решение задач автоматики и вычислительной техники методами теории массового обслуживания. JL: ЛПИ, 1987. -77 с.

12. Колинько H.A., Цирлин A.M. «Оптимальное управление в задачах о предельных возможностях необратимых термодинамических и экономических систем». Известия Академии Наук РФ. Теория и системы управления. №1, Январь февраль 2003, с. 61-77.

13. Копанев A.A., Францев Р.Э. Основы управленческой деятельности. Учебное пособие. СПб.: СПГУВК, 2004. 150 с.

14. Королев В.И., Сахаров В.В., Шергина О.В. Компьютерное моделирование переходных процессов в электрических цепях и системах. Учеб. Пособие. СПб.: СПГУВК, 2004 - 164с.

15. Менеджмент. Учебное пособие / Под ред. Прокофьевой Ж.В. М.: 2000. - 192 с.

16. Методика определения предотвращенного экологического ущерба. М.: Госкомэкология, 1999.

17. Мухин В.И. Основы теории управления. Учебник. М.: Экзамен. 2002. -218с.

18. Поваров Г.В., Вафаулин P.M., Сосна А.В. Экономика и управление эксплуатационной деятельностью на речном транспорте.: Учебное пособие. СПб.: СПГУВК, 2002. - 308 с.

19. Пригожин Илья, Стенгерс Изабелла. Время. Хаос. Квант. М.,: Изд. Группа «Прогресс», 1999. 268 с.

20. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Изд. «Мир», 1980. -300с.

21. Рюмина Е.В. Анализ эколого-экономических взаимодействий. М.: Наука, 2000.

22. Рюмина Е.В. Концепция экологически устойчивого развития применительно к макроскопическому уровню // Экономика и математические методы. Т.31. Вып. 3. 1995.

23. Рюмина Е.В. Экологический фактор в экономико-математических моделях. М.: Наука , 1980.

24. Сахаров В.В. Расчет оптимальных регуляторов судовых автоматических систем: Теория и приложения. Л.:. Судостроение, 1983.- 168с.

25. Таха X. Введение в исследование операций.: В 2-х книгах, Кн.2. пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 496 с.

26. Угольников Г.А. Управление эколого-экономическими системами. М.: Вузовская книга, 1999. 132 с.

27. Bavtelmus P., Stanwer С., van Tongeren S. Integrated Environ mental and Economic Accreting: Framework for SNA Satellite System// View of Income and Wealth, 1991, June.

28. Devaney R.L. An Introduction to Chaos Dynamical Systems Addison. -Wesley, New York, 1987.

29. Hueting R. Correcting National Income for Environmental Practical Solution for Theoretical Dilemma // Ecological Economics (Add. P. Co stanza. №7., Columbin Univ. Press, 1991).

30. Hunt B. R., Kennedy G. A., Li T.-Y., Nuss H.E. The Theory of Chaotic Attractors. Springer Verlag, N. Y., 2004. - 865 c.

31. Kot M. Elements of Mathematical Ecology. Cambridge Univ. Press. 2001.

32. Mandelbrot B. B. Fractals and Chaos. The Mandelbrot set and Beyond. Springer, 2004. 308 c.

33. May R.M., Leonard W.G. Nonlinear aspects of competitions between three species. SIAM. Journal of Applied Math., 1975^ Vol. 29, h. 243-253.

34. Noy-Meir I., Stability of grazing systems: an application of predator-prey graphs. Journal of Geology, Vol. 63, 1975, pp. 459-481.

35. Peitgen H.O., Jiirgens H., Saupe D. Chaos and Fractals. New Frontiers of Science. Springer Verlaj, 1992 - 984 c.

36. Peskin H.M., Lutz E. A Survey of Resource and Environ metal Accounting in Industrial Countries Washington: Environmental Warning Paper. No. 37, World Bank, 1990.

37. Schusher H.G. Deterministic Chaos. VCH, Vienheim, 1988.

38. Sloblom et al. River Water Metal Speciation in a Mining Region The Influence of Wetlands, Limiting, Tributaries, and Groundwater. Water, Air and Soil Pollution. Vol. 152. Nos.1-4/ February, 2004, pp. 173-194.