Математическое моделирование и исследование распределенных динамических систем на основе окрестностных моделей с переменными и иерархическими окрестностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Седых Ирина Александровна

• Седых Ирина Александровна
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Седых Ирина Александровна

Введение

Глава 1. Математическое моделирование распределенных систем

1.1 Распределенные системы

1.2 Математические модели сложных систем

1.2.1 Математическое моделирование. Основные понятия

1.2.2 Сети Петри для моделирования параллельных процессов

1.2.3 Нейронные сети

1.2.4 Нейронные сети Петри

1.2.5 Окрестностное моделирование распределенных систем

1.3 Проблема математического моделирования распределенных систем

1.3.1 Цементное производство

1.3.2 Производство проката

1.4 Идентификация моделей сложных систем

1.4.1 Параметрическая и структурная идентификация математических моделей сложных систем

1.4.2 Методы идентификации

1.4.3 Проверка адекватности математических моделей

1.5 Методы управления и достижимости моделей распределенных систем

1.5.1 Задача управления

1.5.2 Методы управления окрестностными моделями

1.5.3 Управляемость дискретных динамических систем

1.5.4 Методы достижимости для сетей Петри

1.5.5 Методы достижимости для окрестностных моделей сетей Петри

1.6 Постановка задач исследования

Выводы по главе

Глава 2. Динамические окрестностные модели

2.1 Классификация окрестностных моделей

2.2 Общее определение четкой динамической окрестностной модели

2.3 Четкая динамическая окрестностная модель в неявной форме

2.4 Линейные по параметрам динамические окрестностные модели

2.4.1 Полиномиальные окрестностные модели

2.4.2 Линейные окрестностные модели

2.4.3 Билинейные динамические окрестностные модели

2.5 Нелинейные по параметрам, внутренне полиномиальные, динамические окрестностные модели

2.6 Динамические окрестностные модели с переменными окрестностями

2.6.1 Определение окрестностной модели с переменными окрестностями

2.6.2 Матричная форма линейной окрестностной модели с переменными окрестностями

2.6.3 Пример окрестностной модели с переменными окрестностями

2.7 Недетерминированные динамические окрестностные модели с переменными окрестностями

2.7.1 Определение недетерминированной окрестностной модели с переменными окрестностями

2.7.2 Пример недетерминированной окрестностной модели

2.8 Окрестностные сети

2.8.1 Окрестностные производственные сети

2.8.2 Динамические окрестностные сети

2.9 Динамическая окрестностная модель с переменными иерархическими окрестностями

2.10 Общее определение нечеткой окрестностной модели

2.11 Основные классы нечетких динамических окрестностных моделей

2.12 Линейные и билинейные нечеткие динамические окрестностные модели

2.12.1 Линейные нечеткие модели

2.12.2 Билинейные нечеткие модели

2.13 Динамические окрестностные модели с нечеткой иерархической структурой

2.14 Нечеткие иерархические динамические окрестностные модели с переменными окрестностями

2.15 Общее понятие «нечеткой структуры» для нечетких окрестностных моделей

2.16 Правила функционирования динамических окрестностных

моделей

Выводы по главе

Глава 3. Численные методы идентификации динамических окрестностных моделей

3.1 Параметрическая идентификация четких динамических окрестностных моделей

3.1.1 Постановка задачи параметрической идентификации

3.1.2 Метод параметрической идентификации линейной модели с полным графом структуры

3.1.3 Метод параметрической идентификация полиномиальной динамической окрестностной модели

3.1.4 Примеры параметрической идентификации полиномиальных динамических окрестностных моделей

3.1.5 Параметрическая идентификация полиномиальной динамической окрестностной модели с неполным графом структуры при частично неизмеримых состояниях

3.1.6 Метод параметрической идентификации окрестностных моделей с переменными окрестностями и недетерминированных моделей

3.2 Оптимизация структуры динамической окрестностной сети с обратными связями

3.2.1 Алгоритм оптимизации структуры линейной динамической окрестностной сети с обратными связями

3.2.2 Пример устранения обратных связей

3.3 Идентификация четких и нечетких иерархических окрестностных моделей

3.3.1 Метод структурной и параметрической идентификации окрестностной модели с переменными иерархическими окрестностями

3.3.2 Метод структурной и параметрической идентификации динамических окрестностных моделей с нечеткой иерархической структурой

3.3.3 Метод структурной и параметрической идентификации нечетких иерархических динамических окрестностных моделей с переменными окрестностями

3.4 Генетические алгоритмы для идентификации динамических окрестностных моделей

3.4.1 Параметрическая идентификация полиномиальной динамической окрестностной модели с помощью генетических алгоритмов

3.4.2 Пример параметрической идентификации окрестностной модели с помощью генетического алгоритма

3.4.3 Применение пакета MatLab для параметрической идентификации на основе генетических алгоритмов

Выводы по главе

Глава 4. Численные методы решения задач управления и достижимости

для динамических окрестностных моделей

4.1 Управление четкими динамическими окрестностными моделями с

постоянными окрестностями

4.1.1 Постановка задачи оптимального управления для NSG

4.1.2 Решение задачи оптимального управления для NSG

4.1.3 Метод оптимального управления для линейной модели NSG

4.1.4 Пример нахождения оптимального управления для полностью управляемой линейной модели

4.2 Управление и смешанное управление четкими динамическими окрестностными моделями с переменными окрестностями

4.2.1 Постановка и метод решения задачи оптимального управления для NSG

4.2.2 Пример нахождения оптимального управления для линейной NSG

4.2.3 Постановка и метод решения задачи оптимального смешанного управления для NSG

4.2.4 Пример решения задачи оптимального смешанного управления для линейной NSG

4.3 Задача достижимости для недетерминированных динамических окрестностных моделей с переменными окрестностями

4.3.1 Постановки задач достижимости для NSGD т

4.3.2 Методы решения задачи достижимости с частично заданными параметрами для NSGD т

4.3.3 Пример решения задачи достижимости для NSGD т

4.4 Задача достижимости для недетерминированных динамических окрестностных моделей с переменными окрестностями с приоритетами слоев и мерой недетерминированности

4.4.1 Понятие меры недетерминированности

4.4.2 Постановка и метод решения задачи достижимости для NSgd vn с частично заданными параметрами, приоритетами слоев

и мерой недетерминированности

4.4.3 Пример решения задачи достижимости с заданными приоритетами слоев и мерой недетерминированности

4.5 Управление четкими и нечеткими динамическими окрестностными моделями с иерархическими окрестностями

4.5.1 Задача оптимального управления для динамической окрестностной модели с переменными иерархическими окрестностями NSG

4.5.2 Задача оптимального управления для динамической окрестностной модели с нечеткой иерархической структурой

~ G

INS 1ER

4.5.3 Задача оптимального управления для нечеткой иерархической динамической окрестностной модели с

G

переменными окрестностями NSier _ vn

Выводы по главе

Глава 5. Сети Петри и нейронные сети в классе окрестностных моделей

5.1 Моделирование четких сетей Петри недетерминированными динамическими окрестностными моделями с переменными окрестностями

5.1.1 Моделирование четкой сети Петри динамической окрестностной моделью

5.1.2 Идентификация окрестностной модели сети Петри

5.1.3 Пример моделирования четкой сети Петри динамической окрестностной моделью

5.1.4 Моделирование четких временной и раскрашенной временной сетей Петри динамическими окрестностными моделями

5.1.5 Задачи достижимости для четких окрестностных моделей сетей Петри и методы их решения

5.1.6 Пример решения задачи достижимости для окрестностной модели временной сети Петри NSpN ш

5.2 Моделирование нечетких сетей Петри недетерминированными нечеткими динамическими окрестностными моделями с переменными окрестностями

5.2.1 Моделирование нечетких сетей Петри динамическими окрестностными моделями

5.2.2 Задачи достижимости для нечетких окрестностных моделей сетей Петри и методы их решения

5.3 Моделирование нейронных сетей окрестностными моделями

5.3.1 Моделирование нейронной сети окрестностной моделью

5.3.2 Линейная окрестностная модель нейронной сети и ее матричная форма

5.3.3 Пример окрестностного моделирования нейронной сети

5.3.4 Идентификация и управление окрестностными моделями нейронных сетей

5.4 Моделирование нейронных сетей Петри окрестностными моделями

5.4.1 Моделирование нейронной сети Петри окрестностной моделью

5.4.2 Пример окрестностного моделирования нейронной сети Петри

5.5 Сети Петри и нейронные сети в классе окрестностных моделей

Выводы по главе

Глава 6. Практическое применение теории динамических окрестностных моделей

6.1 Моделирование цементного производства

6.1.1 Цементное производство как сложная распределенная система

6.1.2 Окрестностные модели цементного производства

6.1.3 Экологическая подсистема цементного производства

6.2 Окрестностное моделирование уровня подземных вод

6.2.1 Общие сведения и природные условия Сокольско-Ситовского месторождения

6.2.2 Четкая динамическая окрестностная модель с переменными иерархическими окрестностями уровня подземных вод месторождения цементного сырья

6.3 Окрестностные модели процесса производства холоднокатаного проката

6.3.1 Механические свойства стали. Постановка задачи моделирования

6.3.2 Четкая и нечеткая динамические окрестностные модели процесса производства холоднокатаного проката

6.4 Математическое моделирование процесса очистки сточных вод

6.4.1 Система очистки сточных вод. Постановка задачи моделирования

6.4.2 Четкие и нечеткие динамические окрестностные модели процесса очистки сточных вод

6.5 Математическая модель процесса износа элементов мостового сооружения

6.5.1 Мостовое сооружение. Дефекты элементов проезжей части. Постановка задачи моделирования

6.5.2 Окрестностное моделирование процесса износа элементов мостового сооружения

6.6 Моделирование процесса охлаждения полосы на стане горячей прокатки

6.6.1 Процесс охлаждения полосы. Постановка задачи моделирования

6.6.2 Динамические окрестностные модели процесса охлаждения полосы

6.7 Разработанный комплекс программ

6.7.1 Структура комплекса программ

6.7.2 Описание программ

6.7.3 Системные требования

Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложения

Приложение А Акты внедрения и справки об использовании

результатов диссертационного исследования

Приложение Б Свидетельства о регистрации программ в Роспатенте

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и исследование распределенных динамических систем на основе окрестностных моделей с переменными и иерархическими окрестностями»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время существует значительное число распределенных процессов, например, в цементном, металлургическом, в частности при производстве проката, и в других производствах, характерной особенностью которых является наличие большого количества многоуровневых связей между отдельными элементами, зависимость параметров от выбора технологического режима в процессе функционирования, а также недетерминированность, проявляющаяся в широком смысле как в нечеткости связей между элементами, так и в стохастичности протекания самих процессов.

При моделировании таких сложных распределенных процессов и динамических объектов существует проблема выбора адекватной математической модели, позволяющей, с одной стороны, наглядно отображать изменяющуюся во времени структуру моделируемой системы с иерархическими и нечеткими связями между ее компонентами, а с другой - с достаточной точностью предсказывать ее поведение в зависимости от текущего состояния и поступающих управляющих воздействий.

Существенный вклад в развитие математического моделирования сложных динамических систем внес ряд отечественных и зарубежных ученых. Так, в работах Самарского А.А., Михайлова А.П., Болтянского В.Г., Möhler R.R., Zadeh L.A., Desoer C.A., Broer, H.W., Director S.W., Rohrer R.A. рассмотрены линейные и нелинейные непрерывные и дискретные сосредоточенные и распределенные модели систем. В работах Советова Б.Я., Яковлева С.А., Афанасьева, В.Н., Колмановского В.Б., Носова В.Р., Безручко Б.П., Смирнова Д.А. исследованы детерминированные и стохастические модели. В работах Емельянова С.В. приведены математические модели систем с переменной структурой, в работах Бутковского А.Г. - модели систем с распределенными параметрами, но с постоянной структурой. Работы Леоненкова А.В., Zadeh L.A., Kaufmann A., Piegat A. посвящены нечеткому моделированию, работы Иванова А.К., Губко М.В., Mesarovic M.D. -моделированию иерархических систем.

Развитием теории математического моделирования дискретных детерминированных распределенных систем является окрестностный подход, предложенный Блюминым С.Л. и Шмыриным А.М. в 90-е годы XX века, отличающийся гибким заданием связей между элементами системы с помощью окрестностей, а также обладающий наглядностью представления структуры в виде графа с несколькими видами дуг. Учеными были введены и исследованы линейные, билинейные, полилинейные, четкие и нечеткие по окрестности статические окрестностные модели с постоянными окрестностями, разработаны методы их параметрической идентификации и смешанного управления. Схожая тематика: «окрестности», «окрестностные связи» - рассматривается в работах Shang Y., однако в них используются агенты, перемещающиеся по окрестностям и взаимодействующие друг с другом по определенным правилам.

Перечисленные окрестностные модели являются статическими и применимы для моделирования и управления объектами, не изменяющими свое состояние с течением времени. В работах Томилина А.А. введено понятие динамических окрестностных моделей, однако в них не рассмотрены вопросы нечеткости как по связям, так и по передаваемым сигналам.

Далее были разработаны четкие и нечеткие динамические окрестностные модели на основе сетей Петри, отличающиеся изменением окрестностных связей в процессе функционирования, совместной нечеткостью по значениям и окрестностным связям между узлами и позволяющие моделировать недетерминированные параллельные процессы, присущие значительной части сложных распределенных систем. Разработаны методы идентификации и решения задач достижимости таких систем.

Однако четкие окрестностные модели сетей Петри являются только линейными, причем состояния в них целочисленные и неотрицательные, что существенно сужает возможности моделирования систем. Кроме того, и в четких, и в нечетких окрестностных моделях сетей Петри отсутствует внешнее воздействие на процесс, несмотря на искусственно введенный вектор управляющих воздействий, который в данном случае является четко

определенным правилами функционирования системы и зависит от выбранного слоя, что также можно отнести к недостаткам рассматриваемых моделей.

Заметим также, что во всех рассмотренных выше окрестностных моделях связи между узлами системы являются одноуровневыми, а не иерархическими с возможностью их динамического изменения, что не позволяет моделировать многоуровневые системы.

Поэтому для анализа и прогнозирования поведения при функционировании сложных распределенных систем, в частности, цементного и прокатного производств, актуальным является дальнейшее развитие окрестностного подхода к моделированию, а именно - разработка и исследование новых классов динамических окрестностных моделей, обобщающих окрестностные и другие математические модели, характеризующихся четкими и нечеткими переменными иерархическими окрестностными связями между узлами системы и возможностью динамического изменения структуры модели, а также разработка для новых классов методов идентификации, оптимального управления, оптимального смешанного управления для детерминированных и решения задач достижимости заданного состояния для недетерминированных окрестностных моделей, а также комплекса программ для имитационного моделирования и прогнозирования поведения динамических распределенных систем.

Применение математического аппарата динамического окрестностного подхода основано на использовании известных структурных связей между отдельными элементами системы, но не требует знания характера их функциональных зависимостей, что позволяет говорить об универсальности разработанных моделей и методов.

Тематика диссертационной работы связана с основными научными направлениями Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Липецкий государственный технический университет» «Окрестностное моделирование дискретных систем», «Алгебраические методы прикладной математики и информатики в

моделировании и управлении сложными распределенными системами» и «Вычислительная математика».

Работа награждена премией на областном конкурсе научных исследований и разработок учёных Липецкой области, тема № 08157 «Моделирование нечётких сетей Петри окрестностными системами для решения задач экологичного управления цементным производством» (Липецк, 2008).

Положения работы поддержаны грантами Российского фонда фундаментальных исследований: № 11-08-97525 р-центр_а «Моделирование управления сложным технологическим процессом на основе нейроподобных навыковых и окрестностных систем» (2011-2013); № 16-07-00-854 р-центр_а «Создание информационно-аналитической технологии моделирования и управления распределенными техническими системами на основе динамических билинейных окрестностных моделей» (2016-2018); № 19-48480007 р_а «Создание математического и программного обеспечения для сложных многостадийных процессов на основе распределенных статических и динамических систем (производство цемента, сахара, очистка сточных вод)» (2019-2020). Работа проведена в рамках выполнения государственного задания Министерства образования и науки России по проекту № 11.1446.2017/4.6.

Целью исследования является повышение эффективности результатов моделирования за счет разработки комплексного окрестностного подхода к анализу и моделированию сложных распределенных динамических систем на основе методов идентификации и управления, учитывающих недетерминированность, нечеткость, динамическое изменение структуры системы, четкие и нечеткие переменные иерархические связи между узлами.

Для реализации этой цели необходимо решить следующие задачи:

1 Анализ проблем математического моделирования сложных распределенных процессов и систем, существующих моделей и методов идентификации и управления для распределенных динамических систем с точки зрения недетерминированности, нечеткости, динамического изменения структуры и иерархичности связей; обоснование разработки новых классов динамических окрестностных моделей.

2 Разработка теоретических основ математического представления, построения и функционирования динамических окрестностных моделей сложных распределенных систем - новых классов четких и нечетких динамических окрестностных моделей распределенных объектов с детерминированными и недетерминированными окрестностными связями, а также с переменными и иерархическими окрестностями.

3 Разработка численных методов параметрической идентификации полиномиальных динамических окрестностных моделей, в том числе с переменными окрестностями и недетерминированных; численных методов структурной и параметрической идентификации четких и нечетких окрестностных моделей с переменными иерархическими окрестностями.

4 Разработка численных методов решения задач оптимального управления для четких и нечетких одноуровневых и иерархических детерминированных динамических окрестностных моделей с постоянными окрестностями; численных методов оптимального и оптимального смешанного управления для моделей с переменными окрестностями; численных методов решения задач достижимости для недетерминированных окрестностных моделей.

5 Разработка методики представления некоторых математических моделей, а именно, раскрашенных сетей Петри, нейронных сетей и нейронных сетей Петри, различными классами окрестностных моделей, и применение к ним с общих позиций разработанных для окрестностных моделей методов идентификации, управления и достижимости.

6 Разработка комплекса программ для имитационного моделирования, проведения вычислительных экспериментов по изучению свойств, прогнозирования поведения динамических распределенных систем и анализа получаемых данных, реализующего разработанные численные методы.

7 Создание методики окрестностного моделирования для решения аналитических задач идентификации, управления и достижимости с использованием разработанного комплекса программ на основе разработанных численных методов.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной и формирующие комплексный окрестностный подход к моделированию сложных распределенных динамических систем:

1 Новые классы четких и нечетких динамических окрестностных моделей распределенных объектов, отличающиеся векторными сигналами вариативной размерности в узлах модели, детерминированными и недетерминированными окрестностными связями, а также с переменными и иерархическими окрестностями, развивающие и обобщающие окрестностный подход к моделированию, обеспечивающие переменную динамическую структуру модели и позволяющие повысить эффективность моделирования реальных объектов на 1,08%-1,45% в смысле точности прогноза за счет учета изменения характеристик моделируемого процесса во времени.

2 Численные методы параметрической идентификации полиномиальных динамических окрестностных моделей, в том числе с переменными окрестностями и недетерминированных, основанные на псевдообращении, отличающиеся нахождением блочных матриц-параметров переменной размерности, выполнением раздельной идентификации для каждого слоя окрестностной модели, позволяющие решать универсальную задачу параметрической идентификации для систем с векторными сигналами вариативной размерности.

3 Численные методы структурной и параметрической идентификации четких и нечетких полиномиальных динамических окрестностных моделей с переменными и иерархическими окрестностями, основанные на методах кластеризации и псевдообращения, отличающиеся одновременным выполнением структурной и параметрической идентификации, повышающие эффективность методов идентификации реальных процессов на 0,06%-15,10% в смысле точности результатов окрестностного моделирования за счет предварительного разбиения входных данных на четкие и нечеткие кластеры.

4 Численные методы оптимального и оптимального смешанного управления для детерминированных динамических окрестностных моделей,

основанные в общем случае на методах условной и безусловной оптимизации, отличающиеся используемыми квадратичными критериями качества специального вида и построением дерева состояний для моделей с переменными окрестностями, позволяющие найти множество вариантов оптимального решения.

5 Рекуррентные численные методы решения задач достижимости для недетерминированных динамических окрестностных моделей, основанные на алгоритмах построения дерева достижимости, отличающиеся использованием квадратичного критерия качества специального вида, позволяющие оценить вероятность достижимости заданного состояния модели из начального.

6 Методика представления некоторых математических моделей, а именно раскрашенных сетей Петри, нейронных сетей и нейронных сетей Петри, различными классами окрестностных моделей, позволяющая рассматривать данные модели с более общих позиций и применять к ним разработанные для окрестностных моделей методы идентификации, управления и достижимости.

7 Комплекс программ для имитационного моделирования процесса функционирования распределенных динамических систем и проведения вычислительных экспериментов, реализующий численные методы идентификации и достижимости динамических окрестностных и других рассмотренных моделей и позволяющий прогнозировать поведение системы при изменении ее структуры и правил функционирования и выполнять анализ получаемых данных.

Теоретическая и практическая значимость. Разработаны теоретические основы математического моделирования, построения, функционирования и управления динамическими окрестностными моделями, отличающиеся возможностью описания и исследования широкого класса четких и нечетких распределенных динамических систем и процессов, развивающие и обобщающие окрестностный подход.

Практическая значимость работы заключается в создании на основе разработанных численных методов динамических окрестностных и других математических моделей следующих распределенных объектов и процессов:

цементного производства, уровня подземных вод месторождения цементного сырья, производства холоднокатаного проката, очистки сточных вод, износа элементов мостового сооружения, охлаждения полосы на стане горячей прокатки, а также в решении вопросов экологической безопасности.

Предлагаемые математические модели и численных методы реализованы в виде комплекса программ на языках программирования С++, Java и могут использоваться при решении задач теоретического исследования и моделирования сложных распределенных динамических систем.

Объектом исследования являются распределенные динамические системы.

Предметом исследования - четкие и нечеткие одноуровневые и иерархические детерминированные и недетерминированные линейные и нелинейные динамические окрестностные модели с постоянными и переменными окрестностями распределенных динамических систем.

Методы исследования. При решении поставленных задач в работе использованы методы математического моделирования, теории нечетких множеств, теории нечетко-окрестностных систем, теории сетей Петри, теории нейронных сетей, методы оптимизации, численные методы, теория управления, методы вычислительной алгебры, теория планирования эксперимента, методы и средства функционального и объектно-ориентированного программирования.

Выносятся на защиту следующие основные положения:

1 Новые классы четких и нечетких динамических окрестностных моделей распределенных объектов с векторными сигналами вариативной размерности в узлах модели, детерминированными и недетерминированными окрестностными связями, а также с переменными и иерархическими окрестностями.

2 Численные методы параметрической идентификации полиномиальных динамических окрестностных моделей, в том числе с переменными окрестностями и недетерминированных, с блочными матрицами-параметрами переменной размерности и раздельной идентификацией для каждого слоя окрестностной модели.

3 Численные методы структурной и параметрической идентификации четких и нечетких полиномиальных динамических окрестностных моделей с переменными и иерархическими окрестностями с одновременным выполнением структурной и параметрической идентификации.

4 Численные методы оптимального и оптимального смешанного управления для детерминированных динамических окрестностных моделей.

5 Рекуррентные численные методы решения задач достижимости для недетерминированных динамических окрестностных моделей.

6 Методика представления некоторых математических моделей, а именно раскрашенных сетей Петри, нейронных сетей и нейронных сетей Петри, различными классами окрестностных моделей.

7 Комплекс программ для имитационного моделирования процесса функционирования распределенных динамических систем и проведения вычислительных экспериментов.

Соответствие паспорту специальности. На основе окрестностного подхода и разработанных и реализованных в виде комплекса программ численных методов получены результаты, которые формируют новые методы математического моделирования распределенных динамических систем.

Результаты соответствуют следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п. 1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»; п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; п. 8 «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования».

Достоверность научных результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата, методов математического моделирования, численных методов; проведенными в достаточном объеме вычислительными экспериментами; практической реализацией и апробацией

разработанных динамических окрестностных моделей, численных методов и комплекса программ в производственных условиях; сравнительным анализом результатов моделирования с экспериментальными данными, а также обсуждением основных положений диссертации на семинарах и научных конференциях.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы прошли апробацию, внедрены или рекомендованы к использованию на: АО «Липецкцемент», ПАО «НЛМК», ООО «Липецкое карьероуправление», ООО «Проспера», ООО «ЛипецкНИЦстройпроект», при разработке мероприятий по уменьшению вредных экологических воздействий на здоровье населения, связанных с производством цемента, что подтверждается соответствующими актами и справками, которые приведены в приложении к диссертации.

Теоретические результаты диссертационного исследования использованы в учебном процессе в ФГБОУ ВО «ЛГТУ» при изучении студентами направлений 27.03.03 «Системный анализ и управление», 01.03.03 «Механика и математическое моделирование» дисциплин «Моделирование систем», «Методы оптимизации», «Нечеткие задачи в математическом моделировании», направления 01.03.04. «Прикладная математика» дисциплины «Математическое моделирование», направления 01.04.04. «Прикладная математика» дисциплины «Принципы построения математических моделей», в научно-исследовательской работе студентов, при прохождении производственных практик, при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ.

Публикации. Основные научные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, опубликованы в 104 работах, 42 наиболее значимых приведены в списке публикаций, из них 23 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикаций результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук, 2 монографии, 5 статей в изданиях, индексируемых в базах данных SCOPUS и Web of Science, 12 свидетельств о регистрации программ для ЭВМ в Роспатенте.

Личный вклад автора. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, полученные лично автором.

Апробация работы. Материалы работы, её основные теоретические и практические результаты докладывались и обсуждались на Международных конференциях: «Управление развитием крупномасштабных систем» MLSD (Москва, 2008, 2009, 2010); «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO-09 (Москва, 2009); «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2009); «Параллельные вычисления и задачи управления» PACO-12 (Москва, 2012); «Modern informatization problems in simulation and social technologies» XX-th International Open Science Conference (Yelm, WA, USA, 2015); «В.И. Вернадский: устойчивое развитие регионов» (Тамбов, 2016); «Современные сложные системы управления» HTCS'2017 (Липецк, 2017); «Виртуальное моделирование, прототипирование и промышленный дизайн» (Тамбов, 2017, 2018); «Динамика технических систем» ДТС-2018 (Ростов-на-Дону, 2018); «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях» (Воронеж, 2018); на Всероссийских конференциях: «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» УКИ (Москва, 2008, 2010); «Управление большими системами» (Липецк, 2012); «Роль опорного ВУЗа в развитии транспортно-энергетического комплекса Саратовской области» (ТРАНСЭНЕРГ0К0М-2018) (Саратов, 2018), «Информационные технологии в моделировании и управлении: подходы, методы, решения» (Тольятти, 2019), а также, на научных семинарах кафедр высшей математики и прикладной математики Липецкого государственного технического университета и научно-образовательных семинарах «Математическое моделирование, информационные технологии и проблемы управления» Липецкого научно-образовательного центра проблем управления.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка из 336 наименований и 2

приложений на 21 странице. Основная часть работы изложена на 429 страницах машинописного текста, содержит 72 рисунка и 23 таблицы.

Содержание работы

Глава 1. Математическое моделирование распределенных систем. В

главе дано определение распределенной системы. Сделан обзор общих теоретических положений математического моделирования. Приведена классификация и проведен анализ различных видов моделей, применяемых для представления сложных систем, в частности сетей Петри, нейронных сетей, нейронных сетей Петри, окрестностных моделей. Показаны их достоинства и недостатки. Сформулированы проблемы математического моделирования некоторых сложных распределенных процессов и систем, а именно цементного и прокатного производств. Выполнен обзор известных методов идентификации и управления математических моделей сложных систем, рассмотрено состояние проблемы идентификации, управления и решения задачи достижимости для окрестностных моделей. Обоснована необходимость разработки и исследования новых классов динамических окрестностных моделей, обобщающих окрестностные и другие математические модели. На основании результатов выполненного анализа поставлена цель исследований и сформулированы задачи работы.

Глава 2. Динамические окрестностные модели. В главе выдвигается и обосновывается первое положение, выносимое на защиту, касающееся разработки новых классов окрестностных моделей. В главе обобщено понятие четких и нечетких динамических окрестностных моделей, введены их новые классы: линейные и нелинейные по параметрам, с постоянными и переменными окрестностями, детерминированные и недетерминированные, одноуровневые и иерархические, окрестностные сети, с четкой и нечеткой иерархической структурой.

Новые классы окрестностных моделей отличаются векторными сигналами вариативной размерности в узлах модели, детерминированными и недетерминированными окрестностными связями, а также с переменными и иерархическими окрестностями, развивают и обобщают окрестностный подход к

моделированию, обеспечивают переменную динамическую структуру модели и позволяют эффективность моделирования реальных объектов в смысле точности прогноза за счет учета изменения характеристик моделируемого процесса во времени.

Показан общий вид уравнений функций пересчета состояний и выходов для приведенных динамических окрестностных моделей. Предложены схемы связи классов четких и нечетких моделей. Приведены алгоритмы функционирования рассмотренных динамических окрестностных моделей. Изложение материала сопровождается примерами.

Повышение эффективности моделирования на основе динамических окрестностных моделей показано в главе 6 на реальных производственных данных.

Глава 3. Численные методы идентификации динамических окрестностных моделей. В главе выдвигаются и обосновываются второе и третье положения, выносимые на защиту, касающиеся разработки методов идентификации динамических окрестностных моделей.

В главе рассмотрена постановка задачи параметрической идентификации для одноуровневых динамических окрестностных моделей. Приведены критерии и разработаны численные методы параметрической идентификации для полиномиальных динамических окрестностных моделей с полным и неполным графом структуры, а также динамических окрестностных моделей с переменными окрестностями и недетерминированных, основанные на псевдообращении, отличающиеся нахождением блочных матриц-параметров переменной размерности, выполнением раздельной идентификации для каждого слоя окрестностной модели, позволяющие решать универсальную задачу параметрической идентификации для систем с векторными сигналами вариативной размерности. Показаны примеры параметрической идентификации полиномиальных динамических окрестностных моделей.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Седых Ирина Александровна, 2020 год

/ - - Л

2 - X" 30,4

V _ _ У

+ (2 - Ж>"[3]

30

(5.30)

Как видно из дерева состояний на рисунке 5.3 и таблицы 5.3,

оптимальное состояние Х*[(30,19,17)д] = [0 2 0 2]г можно получить только

с помощью одной последовательности вектора выбора слоев, обеспечивающей минимальное значение функции (5.30) Кш1п = 0, за нечеткое время

г = (30,19,17) . При этом ненулевые координаты оптимального вектора

2

2

последовательности выбора слоев окрестностной модели равны:

*

1

(30,19,17) л

[(7,3,1 л] = 1 ; ^0,19,17, [(10,6,5)л] = 2 , [(15,15,1^л] = 3 ,

) [(30,19,17)д ] = 3. Оптимальный вектор выбора слоев равен

80(30,19,17)д = [1 1 2] .

5.3 Моделирование нейронных сетей окрестностными моделями

В данном пункте рассмотрим представление нейронных сетей, а именно многослойного персептрона, в виде окрестностных моделей [130, 138, 144, 145, 254, 257, 264, 328].

5.3.1 Моделирование нейронной сети окрестностной моделью Теорема 5.6. Нейронная сеть (многослойный персептрон) является окрестностной моделью «вход-выход» Шт =(N, ,У,У, , ,Г, , , ). Доказательство:

Пусть задана нейронная сеть вида многослойный полносвязный или неполносвязный персептрон NN = ( N ,У ,У, Г). Пусть общее количество слоев равно т, причем каждый у-ый слой (у = 1,...,т) состоит из п. нейронов.

Обозначим как V I -ый нейрон у -го слоя (г = 1,...,п ). Общее количество

т

нейронов сети равно N = ^ п..

3=1

Поставим узлы окрестностной модели а3 в соответствие нейронам ¡] нейронной сети. Тогда множество узлов окрестностной модели равно А = \а\, а\,..., а^,...,ат, ат,..., ат }, при этом его мощность |А| = N.

Для всех узлов окрестностной модели полносвязного персептрона а3, кроме а1, 0Ч[1]] = 0, а]~1 е 0у[¡]] (у = 2,...,т; г = 1,...,Пу; к = 1,...,п^), что

следует из структуры нейронной сети. Для а) соответственно: 0[г1] = {а)}, 0 [г1] = 0. Для неполносвязного персептрона а/_1 е 0у [¡] ] только в случае, если существует связь между нейронами к]_1 и V.

Т.е., в общем случае будем считать, что окрестностью узла а/ по выходу О [V] при ] ф 1 является множество узлов а^-1,..., а7-11 предыдущего

(7 -1) -го слоя, для а1 это множество пусто. Окрестностью узла а1 по

управляющему воздействию О ['] является он сам, а для остальных узлов это множество пусто.

Назовем окрестности узлов О[/7 ] по управляющим воздействиям или выходам окрестностями 7 -го уровня.

Составим матрицу смежности Б по выходам для окрестностной модели нейронной сети. Для этого определим сначала матрицу смежности -1,7 е между узлами (7 -1) -го и 7 -го слоев окрестностной модели

нейронной сети (7 = 2,...,т):

К-1,7 [ P, г]

1, а;;"1 е Оу [а/ ];

(5.31)

0, иначе, где р = 1,...,П7-1; г = 1,...,п}.

Пронумеруем узлы модели следующим образом: а/ = а[, где

7-1

к = / + Xп - порядковый номер узла в окрестностной модели (к = 1,...,N).

1=1

Тогда матрица смежности Б е ^xN является блочной и состоит из матриц смежности между узлами соседних слоев 7 (5.31) и нулевых матриц О соответствующих размерностей:

О о1,2 О О . .. О

О О о2,3 О . .. О

= О О О о3,4 .. О ггт- 1,т

О О О О. .. О

(5.32)

<

По аналогии с (5.32) можно определить блочную матрицу смежности узлов по управляющим воздействиям е Я1^^ :

Б,. =

б1д ооо

0 0 0 0

о о о о

0 0 0 0

о о о о о

(5.33)

где Б^1 е Я"1*"1 - матрица смежности между узлами 1-го слоя окрестностной модели нейронной сети.

Так как О[¿*] = }, то Б^ = Е е Я"1*"1, где Е - единичная матрица.

Исходя из структуры, функция пересчета выходов для узла а/ окрестностной модели нейронной сети имеет вид:

' Ъ У"!), 7 *!; Ъ7 {V[V ]), ] =!,'

У [г7 ] =

(5.34)

где у7"1 ={У[а^р!],...,У[а^1])Т ={7[^7"1],...,7[^^"1])Г - вектор выходов узлов {7 -1) -го слоя, входящих в окрестность узла а/ по выходу О [V ]; V[¡] ] -управляющее воздействие на узел а/.

Заметим, что, в полносвязном персептроне, исходя из структуры рассматриваемой модели, в формуле (5.34) векторы У/-1 одинаковы для всех узлов а/ 7 -го слоя (7 = 2,...,т), являются векторами выходов всех узлов предыдущего {7 -1) -го слоя и равны:

у^-1 = {у а7-1],..., у 7)Т ={у [1 -1],...,у ["7_-1])Т.

С учетом правил функционирования нейронных сетей, формула (5.34) для узла а7 преобразуется к виду (см. пункт 1.2.3):

г \

71;

У [1] ] =

ъ Е Л [7 и7-1] • у [и7-1]

ч а1 1еОу [¿7]

V [/7],7 = 1,

(5.35)

где I = 1,...," ; а]и 1 е А {и = ,...,й/) - узел окрестностной модели, входящий в

<

окрестность узла а/ по выходу О [V ]; У[ы] 1] е Я - выход узла а]и 1 (7 -1) -го слоя (7 = 2,...,т); /[V,ы]-1] е Я - параметр модели, соответствующий весовому коэффициенту связи нейронов ы]-1 (] -1)-го и ¡] ] -го слоев; : Я ^ Я -

функция пересчета выходов, соответствующая функции активации нейрона ¡].

Таким образом, нейронная сеть является окрестностной моделью «вход-выход» Шт =(Ы, ,У,У, , , Г, , , ), функции пересчета которой задаются

формулами (5.35).

Конец доказательства.

5.3.2 Линейная окрестностная модель нейронной сети и ее матричная форма

Функция активации нейронной сети может быть как линейной, так и нелинейной (см. пункт 1.2.3). В данном пункте рассмотрим нейронную сеть с линейными функциями активации. Тогда функции пересчета выходов для узла а] линейной окрестностной модели нейронной сети (5.35) для 7 = 2,...,т будут иметь вид:

у[}]] = X /V,]] • У].

(5.36)

-1еОу [г7 ]

Для представления (5.36) в матричной форме для узлов 7 -го слоя

(7 = 2,...,т) определим матрицу параметров по выходам Г узлами (7 -1) -го и 7 -го слоев окрестностной модели:

'/,[^'л7] л[I7-1,27] ... л[п7

/у[у-1,1'] /у[у-1,2] ... /у77

7-1,7

Я 71 7 между

Г7 -1,7 = у

/у] /у[Т"2'] ... /у[7 П]

(5.37)

Заметим, что для неполносвязного персептрона Р 1,7 [р, г] = 0, если

аР-1 * О[аГ] (р = п-1; г = l,...,п).

Тогда, с учетом (5.37), система уравнений (5.36) для всех узлов 7 -го слоя (7 = 2,..., т) в матричной форме примет вид:

У7 ={ъ71,7)Т • У7"1. (5.38)

В нелинейном случае система (5.35) для 7 = 2,...,т в матричной форме примет вид:

У7 = ъ7 {{Ъ]у -и )Т • У7-1). (5.39)

где Ъ-1: Я 1 ^ Я"7 - вектор-функция активации 7 -го слоя. Очевидно, что при 7 = 1 (5.35) имеет вид:

У1 = V1, (5.40)

где V1 = {У[а\\,...,¥[с1]) =^[11],...Д["11])Т - вектор управляющих воздействий узлов 1 -го слоя.

Заметим, что при нелинейных функциях активации можно перейти к полиномиальным окрестностным моделям, учитывая несколько слагаемых в разложении этих функций с некоторой заданной погрешностью.

5.3.3 Пример окрестностного моделирования нейронной сети

Рассмотрим нейронную сеть - неполносвязный персептрон с одним скрытым слоем, структура которого приведен на рисунке 5.5. Общее

3

количество нейронов сети равно N = Е" = 4 + 4 + 2 = 10.

7=1

Покажем представление нейронной сети в виде окрестностной модели. Окрестностная модель нейронной сети, приведенной на рисунке 5.5, имеет структуру, описанную в пункте 5.3.1. Для задания структуры модели определим множества окрестностей по управляющим воздействиям и выходам.

Окрестности первого уровня для всех узлов совпадают: О[¿*] = {а)}, Оу [г1] = 0 (/ = 1,.,4).

входной слой

скрытый слой

выходной слой

Рисунок 5.5 - Структура неполносвязного персептрона

Окрестности узлов модели второго уровня по выходам: Оу[12] = {а;,а1}, Оу[22] = {аЦ, Оу[32] = {а1}, Оу[42] = {а1,а2,а1,а^}.

Окрестности третьего уровня по выходам соответственно равны: О^[13] = Ц2,а22,а42}, Оу[23] = {а22,аз2,а42} .

Окрестности узлов модели второго и третьего уровней по управляющим воздействиям являются пустыми множествами: Оу[¡]] = 0 (7 = 2,3;I = 1,...,п ).

Запишем матрицы смежности Б7-1,7 по выходам между узлами (7 -1) -го и 7 -го слоев рассматриваемой окрестностной модели нейронной сети (7 = 2,3):

1,2

" 1 0 0 1" "1 0"

0 0 0 1 ; Б2,3 = 1 1

1 1 0 1 ' у 0 1

_ 0 0 1 1_ _1 1 _

Б

Тогда блочная матрица смежности окрестностной модели Б (5.32) по выходам равна:

Б,,

О Б;2 О О ОО

О

о2,3

О

(5.41)

Матрица смежности по управляющим воздействиям между узлами 1-го слоя рассматриваемой окрестностной модели нейронной сети равна

Б1Л = Е е Я4x4.

Тогда блочная матрица смежности окрестностной модели Бу (5.33) по управляющим воздействиям:

"б^1 о о"

Б = 0 0 0 . (5.42)

о о о

Матрицы (5.41) и (5.42) в развернутом виде соответственно равны:

Бу =

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

и Бу =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 V 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Найдем общий вид функций пересчета выходов для окрестностной модели. Матрицы параметров по выходам Ъу 7 е Я 7 7-1 между узлами (7 -1) -го и 7 -го слоев окрестностной модели (7 = 2,3) равны:

=

/у [11,12]

/у [11,42] /у [21,42]

0 0

0 0 0

/у [31,12] /у [31,22] 0

0 0 /у [41,32] /у [41,42]

У у I

/у [31,42] [

• р23 = ' у

/у [12,13] 0

/у [22,13] /у [22,23]

0 /у [32,23]

/у [42,13] /у [42,23]

Векторы выходов узлов 7 -го слоя (7 = 1,...,3) соответственно равны:

y2 = (y [12],y[22],y[32],y[42])

Y1 =(Y[11],Y[21],Y[31],Y[41]) ;

Y3 = (Y[13],Y[23])T.

Тогда в линейном случае система (5.38):

Y3 = (f«)T - Y2 = (F«)T -(F,1'2)T - Y'. (5.43)

В нелинейном случае система (5.39):

Y3 = F3 ((Ff )T - Y2 ) = F3 ((F,2'3 )T - F2 ((F« ) - Y1 )). (5.44)

Таким образом, функции пересчета выходов для рассматриваемой окрестностной модели нейронной сети имеют вид (5.40), (5.43) или (5.40), (5.44).

5.3.4 Идентификация и управление окрестностными моделями нейронных сетей

Рассмотрим задачу параметрической идентификации для окрестностных моделей нейронных сетей.

Пусть для окрестностной модели нейронной сети (5.35) задано обучающее множество (см. (3.12)):

H = Нм }, (5.45)

состоящее из M кортежей исходных данных:

Hk = (V [11],..., V К], У [Г],...,Yk К]), k = 1,...,M.

Требуется найти элементы матриц параметров F

j -1, j

(5.37),

удовлетворяющие критерию параметрической идентификации, который

следует из (3.29):

M

E(F,1'2,...,F,~-,m) = X||Ykm - Fm (Hk )

k=1

^ min,

(5.46)

где Нк = Нк \ {у [1т],...,у [пт]}; Ет : Яи™-1 ^Яи™ - вектор-функция активации

выходного т-го слоя; У^ = (у [1т],...,У ])Г - вектор выходов узлов выходного т-го слоя из к -го кортежа данных (к = 1,...,М).

2

Параметрическую идентификацию окрестностной модели нейронной сети можно проводить по алгоритму обратного распространения ошибки, приведенному в пункте 1.4.2, с помощью методов параметрической идентификации окрестностных моделей, рассмотренных в пункте 3.1.5., а также алгоритму Качмажа, приведенному в [1, 145, 257, 274].

Кроме того, возможна одновременно структурная и параметрическая идентификация рассматриваемых моделей, которая заключается в удалении некоторых окрестностных связей между узлами соседних слоев окрестностной модели нейронной сети и нахождении оптимальных параметров для оставшихся связей. Жадный и «полужадный» алгоритмы для структурной и параметрической идентификации окрестностной модели нейронной сети рассмотрены в [145, 257].

При сравнении результатов применения жадного и «полужадного» алгоритмов сделан вывод, что «полужадный» алгоритм сходится быстрее и дает меньшую ошибку обучения, чем жадный.

Рассмотрим задачу оптимального управления для окрестностных моделей нейронных сетей.

¡j; / ^ ¡j; \ T

Пусть задан Y = ÎY [Г"],...,Y [ri^]j - оптимальный вектор выходов узлов выходного m -го слоя модели. Необходимо найти управляющий вектор

^ / ^ 1 \ T

V = i V [1 ],...,V [njl - оптимальный вектор управляющих воздействий узлов 1-го слоя, позволяющий получить на выходе окрестностной модели

~ ~ тг*

нейронной сети оптимальный Y .

Решение задачи оптимального управления для NSNN можно найти с помощью численных методов, приведенных в главе 4, с учетом того, что окрестностная модель нейронной сети не является динамической и, считая т = 0, Y* = X\t0 + т].

5.4 Моделирование нейронных сетей Петри окрестностными

моделями

В данном пункте рассмотрим представление нейронных сетей Петри в виде окрестностных моделей [254, 264].

5.4.1 Моделирование нейронной сети Петри окрестностной моделью

Теорема 5.7. Нейронная сеть Петри NPN является недетерминированной динамической окрестностной моделью «состояние-выход» с переменными окрестностями NSNPNm =(N,P,W,X, ,Y , ,G,F ,0,X[ü],t), функционирование

которой осуществляется на основании значения k дискретной равномерной случайной величины W[t], определенной на множестве активных в данный

момент времени t слоев Ok[t].

Доказательство:

Пусть задана нейронная сеть Петри NPN = ( N, q, EP, g, C, h, m0 ) (см. пункт 1.2.4). Покажем, что она является недетерминированной динамической окрестностной моделью «состояние-выход» с переменными окрестностями

KfSNPN nsND _ VN.

Поставим узлы окрестностной модели A = {а, а,..., ап} в соответствие позициям нейронной сети Петри P = {р1, р2,..., pn}. Модель функционирует в

дискретном времени с шагом At = 1, каждый момент t эквивалентен одному такту нейронной сети Петри. Начальный момент времени равен t0 = 0.

Вектор состояний окрестностной модели равен текущей маркировке нейронной сети Петри X[t] = m, состояние модели в начальный момент времени - начальной маркировке сети: X [0] = m0. В каждом узле а ( i = 1,. .,п )

состояние X[t, i] с Z* - множество окрашенных потенциалов, то есть положительных или отрицательных, в текущий момент времени t . Пусть задан максимально возможный потенциал каждого состояния в узлах окрестностной модели q g N, соответствующий времени жизни меток в позициях нейронной сети Петри.

Вектор выходов У[Г] е 2п окрестностной модели нейронной сети Петри равен суммарному потенциалу в узлах в момент времени Г.

Разбиение множества связей между узлами А на т слоев О1,О2,...,От аналогично разбиению, приведенному в теореме 5.1.

Однако, в отличие от матрицы смежности для окрестностной модели сети Петри, матрица смежности к -го слоя окрестностной модели нейронной сети Петри формируется с учетом раскраски дуг:

'Н(гк,р)-1, а е ОХ[7], г * 7;

1, г = 7; (5.47)

0, иначе,

«к=

где , р}) - раскраска выходной дуги перехода ^, инцидентного позиции р} нейронной сети Петри (г = 1,...,п; 7 = 1,. .,п; к = 1,...,т).

Нейронная сеть Петри так же, как и сеть Петри, является недетерминированной моделью, в которой на каждом такте функционирования выбираются активные переходы по правилу активности перехода (1.9). Из активных переходов случайным образом срабатывает только один.

Соответственно определим вектор-функцию Р: Т ^ {0,1}т выбора активных слоев окрестностной модели нейронной сети Петри в каждый дискретный момент времени Г е Т = {0,1,...}:

\ У [Г, г] > врк Vг * 7:4 * 0;

Рк [Г] =

(5 48)

0, иначе,

где врк е N - заданный минимальный суммарный потенциал срабатывания слоя; к = 1,..., т; г = 1,..., п; 7 = 1,..., п.

Для функционирования в момент времени Г из активных слоев выбирается слой к = Ж [Г ], где Ж [Г ] - случайная величина, распределенная по дискретному равномерному закону и определенная на множестве активных слоев Ок ] ={Ок1,..., Окь}.

Для к -го слоя окрестностной модели (к = 1,..., т), выбранного для функционирования в текущий момент времени, в соответствии с правилом

<

срабатывания к -го перехода (см. пункт 1.2.4), состояние узла а1 (г = 1,...,п)

пересчитывается по формулам (5.49)-(5.50), приведенным ниже.

Пересчет состояния в узле а в момент г активации к -го слоя выполняется по формуле: X '[г, г] = Н (X [г ]) =

X[г,г] и / •(д +1), ЗУ * г: а} е Ок[г];

(5.49)

X [г, г] \ {х[г, г]: |х[г, г ]| = шш |х[г, г ]| З/ * г: а е Ок [ 7 ]; X [г, г], иначе,

где к = 1,...,ш; i = 1,..., л; j = 1,..., л; s] +1) - окрашенный потенциал, добавляющийся к множеству состояний X[t, i] узла а в момент активации к -го слоя; x[t, i]: |x[t, i]| = min |x[t, r]| - минимальный по модулю окрашенный

1 1 x[t ,r ]eX [t ,i ]' 1

потенциал, удаляющийся из множества состояний X[t, i] узла а в момент активации к -го слоя.

Пересчет состояния в узле а1 в момент t +1 после активации к -го слоя осуществляется по формуле: X [t +1, i] = L] (X '[t, i]) =

X'[t,i]\ x'[t,r] Vx'[t,r] e X'[t,i]: |x'[t,r]| = 1; (5.50)

{sign(x'[t,r]) • (|x'[t,r]| -1) Vx'[t, r] e X'[t,i]: |x'[t, r]| ф 1},

где x'[t, r] - элемент множества состояний X'[t,z] - окрашенный потенциал -узла а (i = 1,...,л).

Первая строка в формуле (5.50) означает, что состояния, потенциалы которых по абсолютной величине равны единице, затухают и удаляются из множества состояний в следующий момент времени.

Для каждого узла а к -го слоя окрестностной модели нейронной сети Петри система уравнений (5.49)-(5.50) будет иметь вид:

X[t +1,i] = Lk (Н] (Xt [t])) = Gk (Xt [t]). (5.51)

Функция пересчета выходов для каждого узла а1 для всех слоев окрестностной модели нейронной сети Петри одинакова и, в соответствии с формулой (1.28), будет иметь вид:

тш(д-и) п _ 7 шпСд-М) п _ л

У [Г, г] = р (х[Г, г]) = X 1-К! _ ¿, г] _ X 1-^ _ ¿, г], (5.52)

¿=о 1 ¿=о 1

где К [Г, г] - количество положительных потенциалов в узле а1 в момент

времени Г; J [Г, г] - количество отрицательных потенциалов в узле а1 в момент

времени Г .

Из (5.51) и (5.52) следует, что для каждого к -го слоя (к = 1,..., т)

окрестностной модели нейронной сети Петри функции пересчета состояний и выходов равны:

\х [г +1] = Ск ( X [Г ]);

(5.53)

У [Г] = р(X [Г]). ( )

Так как в каждый момент времени Г на основании значения случайной величины к = Ж [Г ] формируется случайный вектор В[Г ] е Ят, то функции пересчета состояний и выходов окрестностной модели нейронной сети Петри NPN, с учетом (5.53), будет иметь вид:

Iх[Г +1] = [С1 (х[Г]) С2(х[Г])...Ст(х[Г])].ОД;

У [г] = Р (х [Г]). (. )

Следовательно, нейронная сеть Петри NPN является недетерминированной динамической окрестностной моделью «состояние-выход» с переменными окрестностями и задается набором

=( N, Р,Ж, х, ,У , , С, Р ,0, х [0], Г). Конец доказательства.

Задачи достижимости с частично заданными параметрами и с мерой недетерминированности для недетерминированной динамической окрестностной модели нейронной сети Петри аналогичны задачам для

недетерминированной окрестностной модели т и окрестностной модели

сети Петри N8™. Их постановки, критерии оптимальности и методы решения приведены соответственно в главе 4 и пункте 5.1.5.

5.4.2 Пример окрестностного моделирования нейронной сети Петри

Рассмотрим нейронную сеть Петри, граф которой приведен на рисунке 5.6 [254]. Покажем ее представление в виде недетерминированной динамической окрестностной модели с переменными окрестностями.

Р4

Ю

¿2 Рз

Рисунок 5.6 - Граф нейронной сети Петри

Окрестностная модель нейронной сети Петри на рисунке 5.6 имеет три слоя: О1, О2, О3, графы структуры которых приведены на рисунке 5.7.

О1 О2 О3

Рисунок 5.7 - Графы структуры слоев окрестностной модели нейронной сети Петри с рисунка 5.6

Матрицы смежности для слоев О1, О2 и О3 соответственно равны:

82 =

1 +1 +1 0'

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

82 =

1 0 -1 0'

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

83 =

1 0 0 0"

0 10 +1

0 0 1 +1

0 0 0 1

Пусть задан минимальный суммарный потенциал срабатывания каждого слоя: ер = 3; вр2 = 4; ер = 1. Пусть также задан максимально возможный потенциал каждого состояния в узлах окрестностной модели д = 3.

Зададим начальное состояние окрестностной модели нейронной сети Петри на рисунке 5.7: X [0] = [{3,3,3,3},{},{},{}]г.

Найдем выходы У[0,г] для каждого узла а (г = 1,...,4) модели по формуле

(5.52):

У[0,1] = В (X[0,1]) = К[0 - 0,1] - 3[0 - 0,1] =

д д

= . 4 - . 0 = 4;

3 3

У [0,2] = У [0,3] = У [0,4] = 0.

В соответствии с формулой (5.48), в начальный момент времени активны слои О1 и О2, так как У[0,1] > ер и У[0,1] > вр2, так как на этих слоях узел а является единственным, для которого выполняется условие: V/ * ': * 0. То есть, Ок[0] ={О1, О2}.

Случайным образом для срабатывания выбирается один из активных слоев, например, О1 .

Состояния в узлах а (г = 1,...,4) в момент г = 0 активации слоя О1, в соответствии с формулой (5.49), равны:

X '[0,1] = {3,3,3};

X '[0,2] = {4};

X '[0,3] = {4};

X '[0,4] = {}.

Состояния в узлах а1 (г = 1,...,4) в момент г = 1 после активации слоя О1, в соответствии с формулой (5.50), равны:

X [1,1] = {2,2,2};

X [1,2] = {3};

X [1,3] = {3};

X [1,4] = {}.

Таким образом, состояние окрестностной модели нейронной сети Петри в момент времени t = 1 равно X [1] = [{2,2,2},{3},{3},{}]r.

Выходы Y[1, /] в узлах модели в момент времени t = 1 равны:

Y[1,1] = F (X[1,1]) = ^ K[1 - 0,1] + ^ K[1 -1,1] -

q q

- q-0 J [1 - 0,1] - i-1 J [1 -1,1] =

3-0 0 3-1 л 3-0 A 3-1 A _2

=--3 +--4---0---0 = 5-;

33333

Y[1,2] = F2 (X[1,2]) = i-0 K[1 - 0,2] + i-1 K[1 -1,2] -

q q

- J [1 - 0,2] - i-1 J [1 -1,2] = .

q q

3 - 0 3 -1 3 - 0 3 -1 = -1 + — • 0 - • 0 - — • 0 = 1; 3 3 3 3

Y [1,3] = 1; Y [1,4] = 0.

Таким образом, слои О1 и О2 в момент времени t = 1 остаются активными, так как Y[1,1] > вр и Y[1,1] > вр2. Если для срабатывания будет

выбран слой О2, то состояние модели в момент времени t = 2 равно X [2] = [{1,1},{2},{2, - 3},{}f.

Результаты функционирования рассматриваемой окрестностной модели нейронной сети Петри приведем в таблице 5.4.

Таблица 5.4 - Результаты функционирования окрестностной модели нейронной сети Петри

Время функционирования ^ Состояние X ] и выход У ] Активные слои Срабатывающий слой

0 X [0] = [{3,3,3,3},{},{},{}]г; У [0] = [4,0,0,0]т О1, О2 О1

1 X [1] = [{2,2,2},{3},{3},{}]т; 2 т У [1] = [5-1,1,0Г О1, О2 О2

2 X [2] = [{1,1},{2},{2, - 3},{}Г; 1 2 г У [2] = [5-2,-0]г О1, О2 О1

3 X [3] = [{},{1,3},{1, - 2,3},{}]т; У [3] = [21Д1±,0Г О3 О3

4 X [4] = [{},{2},{- 1,2},{3}]т; У [4] = [2,22,2,1]т 3 3 3 нет нет

5 X [5] = [{},{1},{1},{2}]т; 1 1 2 У [5] = [0,2-1-1^ О3 О3

6 X [6] = [{},{},{},{1,3}Г; 2 2 т У [6] = [0,1^,^,3]^ нет нет

7 X [7] = [{},{},{},{2}Г; У [7]= нет нет

8 X [8] = [{},{},{},{1}]т; 1 г У [8] = [0,0,0,2^ нет нет

9 X [9] = [{},{},{},{}]т; У [9] = [0,0,0,1]т нет нет

По таблице 5.4 видно, что, начиная с ? = 6 ни один слой модели не является активным, и потенциалы в узлах постепенно затухают с течением времени.

5.5 Сети Петри и нейронные сети в классе

окрестностных моделей

На рисунке 5.8 представлена обобщенная схема положения рассмотренных в данной главе сетей Петри, нейронных сетей и нейронных сетей Петри в классе окрестностных моделей [23, 31, 147, 199].

Рисунок 5.8 - Сети Петри и нейронные сети в классе окрестностных моделей

Как показано ранее в главе 2, окрестностные модели делятся на детерминированные и недетерминированные, четкие и нечеткие. К недетерминированным четким окрестностным моделям можно отнести сети Петри, временные сети Петри, раскрашенные временные сети Петри. К недетерминированным нечетким окрестностным моделям относятся нечеткие сети Петри. Нейронные сети Петри наследуют свойства как детерминированных нейронных сетей, так и недетерминированных сетей Петри.

Выводы по главе

Таким образом, в данной главе обосновано шестое положение, выносимое на защиту.

1 Приведена разработанная методика представления некоторых видов четких и нечетких сетей Петри, нейронных сетей и нейронных сетей Петри различными классами окрестностных моделей, позволяющая рассмотривать данные модели с более общих позиций и применять к ним разработанные для окрестностных моделей методы идентификации, управления и достижимости с учетом специфики каждой модели.

2 Приведена постановка и метод решения задачи параметрической идентификации окрестностных моделей сетей Петри с использованием метода параметрической идентификации окрестностных моделей. Показаны результаты идентификации.

3 Показаны постановки задач достижимости с частично заданными параметрами и приведены методы их решения для четких и нечетких окрестностных моделей сетей Петри, а также нейронных сетей Петри, на основе методов, разработанных для окрестностных моделей с учетом специфики каждой модели.

4 Рассмотрены задачи идентификации и оптимального управления для окрестностных моделей нейронных сетей и методы их решения с использованием методов, разработанных для окрестностных моделей.

5 Рассмотрены примеры окрестностного моделирования и решения задачи достижимости для некоторых видов окрестностных моделей сетей Петри, а также нейронных сетей и нейронных сетей Петри.

6 Предложена схема положения четких и нечетких сетей Петри, нейронных сетей и нейронных сетей Петри в классе окрестностных моделей.

ГЛАВА 6. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ОКРЕСТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ

В главе выдвигается и обосновывается седьмое положение, выносимое на защиту. Обосновывается часть первого и третьего положений, а именно повышение эффективности моделирования на основе динамических окрестностных моделей и эффективности методов идентификации для четких и нечетких полиномиальных динамических окрестностных моделей с переменными и иерархическими окрестностями.

В данной главе приведены результаты применения предложенного окрестностного подхода для имитационного моделирования, исследования и прогнозирования поведения четких и нечетких, одноуровневых и иерархических, с постоянными и переменными окрестностями, детерминированных и недетерминированных, линейных и квадратичных динамических окрестностных моделей следующих распределенных систем и процессов: цементного производства; уровня подземных вод месторождения цементного сырья; производства холоднокатаного проката; очистки сточных вод; износа элементов мостового сооружения; охлаждения полосы на стане горячей прокатки.

Приведены состав и структура разработанного комплекса программ для имитационного моделирования процесса функционирования распределенных динамических систем и проведения вычислительных экспериментов, реализующего численные методы идентификации и достижимости динамических окрестностных и других рассмотренных моделей и позволяющего прогнозировать поведение системы при изменении ее структуры и правил функционирования и выполнять анализ получаемых данных.

6.1 Моделирование цементного производства

В данном пункте рассмотрим производство цемента как сложную распределенную систему. Приведем четкие и нечеткие динамические окрестностные модели цементного производства в целом и проведем их сравнение. Отдельно рассмотрим подсистему производства клинкера как

вложенные окрестностные модели вращающихся печей в соответствующие узлы основной окрестностной модели цементного производства. Экологическую подсистему представим с помощью регрессионных моделей зависимости максимальной концентрации выбросов пыли и вредных газов в атмосферу при производстве клинкера.

6.1.1 Цементное производство как сложная распределенная система

Основным продуктом, выпускаемым цементным производством, является цемент - гидравлический вяжущий материал, продолжающий сохранять и наращивать прочность в воде после его смешения с водой и предварительного затвердевания на воздухе. Цемент применяется для скрепления отдельных деталей строительных конструкций, гидроизоляций и т.д. и является важнейшим строительным материалом, используемых для строительных растворов и бетонов [5, 56, 97, 158].

Основные сырьевые материалы, использующиеся при производстве цемента, - это глина и природный известняк, а также промышленные отходы других отраслей, например, шлаки, шламы и т.д. Вещества, входящие в глину, содержат в основном три окисла: окись алюминия Al2O3, окись железа Fe2O3 и двуокись кремния SiO2. В состав известняка входит углекислый кальций CaCO3, состоящий из двух окислов: углекислого газа CO2 и окиси кальция CaO.

Сырьевые материалы, использующиеся в качестве корректирующих добавок, получают из кварцевого песка, маршалита, высокоглиноземистой глины, бокситов, глинистых сланцев и железной руды. Добавки применяются для приготовления сырьевой смеси заданного химического состава [54, 87].

Производство цемента можно разделить на два основных этапа: получение промежуточного продукта - клинкера и получение из клинкера цемента [232].

На начальном этапе процесса производства клинкера исходное сырье в виде камней размером 1,2-1,5 м дробят в жираторных, щековых и роликовых дробилках, а затем подвергают более мелкому дроблению в сепараторных и трубных мельницах [66].

Различают сухой, мокрый и комбинированный способы производства цемента, от которых зависит дальнейшая обработка сырьевой смеси. При сухом способе для сушки сырого материала используют поток отходящих газов от обжиговых печей. Высушенное сырье мелко размалывается, хорошо перемешивается и нагревается до температуры более 800°С. Образовавшийся углекислый газ поступает в обжиговую печь вместе с другим сырьем и топливом. При мокром способе загрузку сырья в мельницы производят вместе с водой. Для сушки шлама используют сушильные печи, вакуумные фильтры и пр. Комбинированный способ производства объединяет технологии сухого и мокрого способов [5, 56, 97, 158]. Далее рассмотрим сухой способ производства цемента, применяющийся на АО «Липецкцемент».

Обжиг - завершающая технологическая операция производства клинкера. [93, 137]. Обжиг сырьевой смеси ведется в наклонной вращающейся печи. Сырье движется вниз к нижнему торцу печи, где температура достигает 2000°С, и спекается до получения цементного клинкера, состоящего из четырех основных клинкерных минералов: трехкальциевого силиката (алита) 3СаО8Ю2, двухкальциевого силиката (белита) 2СаО8Ю2, трехкальциевого алюмината 3СаОЛ12О3 и четырехкальциевого алюмоферрита (целита) 4СаОЛ12О3Ее2О3. Другими словами, клинкер образуется после того, как минералы сырьевых материалов химически прореагируют между собой. Далее для краткости минералы, входящие в состав клинкера, будем соответственно обозначать: трехкальциевый силикат - С^, двухкальциевый силикат - С2Б, трехкальциевый алюминат - С3А, четырехкальциевый алюмоферрит - С4ЛБ [56, 68, 97, 158].

После вращающейся печи клинкер охлаждается, смешивается с гипсом и, если необходимо, активными минеральными добавками и размельчается до получения цемента [56, 158]. Активными минеральными добавками могут быть горные породы (диатомит, трепел, опока, вулканический пепел, пемза и т.д.) и твердые или пылеобразные отходы промышленности (доменные шлаки, нефелиновый шлам, золы уноса ТЭЦ), состоящие преимущественно из аморфного кремнезема [2, 3].

Цементное производство является сложной распределенной системой (см. главу 1), состоящей из совокупности шести крупных подсистем или узлов [147, 199]:

- узел 1 - вход системы или подсистема добычи и первичной обработки известняка и глины, представленная экскаваторами, грузовиками, дробилками, глиноприемным отделением, усреднительным складом глины, сушильным барабаном;

- узел 2 - подсистема помола и хранения сырья, представленная расходными бункерами, сырьевыми мельницами, пневмокамерным насосом, силосами сырьевой муки;

- узел 3 - подсистема обжига сырьевой смеси и хранения клинкера состоит из расходных бункеров, бункера постоянного уровня, циклонного теплообменника, гранулятора, кальцинатора, вращающихся печей, холодильников, склада клинкера;

- узел 4 - подсистема помола клинкера, представленная установкой сушки шлака, расходными бункерами, сепараторами, пневмокамерными насосами, сепаратором, цементными мельницами;

- узел 5 - подсистема хранения и отгрузки цемента состоит из силосов цемента;

- узел 6 - экологическая подсистема представлена фильтрами.

Связь между узлами системы цементного производства отражена на схеме на рисунке 6.1.

Каждая подсистема на рисунке 6.1, как уже сказано выше, является совокупностью агрегатов и складов. На рисунке 6.2 приведена развернутая схема, более детально отражающая связи между основными агрегатами и складами системы цементного производства.

Рисунок 6.1 - Схема производства цемента

Рисунок 6.2 - Развернутая схема производства цемента

Рассмотрим подробнее обозначения, приведенные на рисунке 6.2. Узел 1 включает в себя склад сырья а17. Узел 2 состоит из сырьевых сепараторных мельниц а - а, сырьевых трубных мельниц а - а, также силосов сырьевой муки а18 - а19. Узел 3 представлен вращающимися печами а7 - а9 и силосом клинкера а . Узел 4 включает цементные мельницы а - а . Узел 5 - силос цемента а .

Цементное производство состоит из двух основных видов производственных объектов: агрегатов и складов, имеющих разные свойства.

При анализе работы цементного производства были выбраны следующие существенные показатели как системы производства в целом, так и ее отдельных подсистем, представленные в таблице 6.1.

6

Таблица 6.1 - Существенные показатели системы цементного

производства