Математическое моделирование и фрактальный анализ роста колоний биологических объектов с использованием программного комплекса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Слетков, Денис Викторович

• Слетков, Денис Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Слетков, Денис Викторович

Введение.

ГЛАВА 1. Использование фрактальной геометрии и фрактального анализа в естественных науках.

1.1. Фрактальная геометрия и ее возможности.

1.2. Сравнительный анализ методов вычисления фрактальной размерности растровых изображений.

1.3. Практическое использование фрактальной геометрии в естественных науках.

Выводы по главе 1 и постановка основных задач диссертации.

ГЛАВА 2. Моделирование и фрактальный анализ морфологических характеристик роста колонии на плоскости.

2.1. Математическая модель роста колонии, учитывающая морфологические характеристики популяции.

2.2. Комплекс программ для моделирования роста колонии и фрактального анализа изображений.

2.3. Исследование и моделирование процессов роста колоний на плоскости.

2.4. Соответствие результатов моделирования экспериментальным данным.

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. Использование фрактальной размерности и разработанной математической модели для мониторинга реальных процессов развития популяций.

3.1. Расчет фрактальной размерности в процессе роста популяции.

3.2. Соответствие формы и динамики развития колоний, полученных на модели и в эксперименте.

Выводы по главе 3.

Выводы по диссертации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и фрактальный анализ роста колоний биологических объектов с использованием программного комплекса»

При анализе изображений различных объектов в естественных науках часто возникает проблема нахождения соответствующей числовой характеристики, которая комплексно характеризует его морфологические и другие особенности. Такие задачи возникают, например, в физике твердого тела, когда по изображению объекта делают выводы о его текущем состоянии и возможных сценариях развития. Другим примером являются биологические объекты - растущие колонии. В этом случае числовая оценка изображений может дать информацию не только об их морфологических особенностях, но и о значениях некоторых скрытых факторов, коррелирующих с морфологическими характеристиками объекта.

Решение такой задачи могло бы иметь большое значение, например, для управления различными биотехнологическими процессами, т.к. по цифровым фотографиям объектов с помощью компьютерных технологий можно было бы судить о состоянии популяции и принимать соответствующие управляющие воздействия.

Однако существующие методы анализа изображений пригодны для решения указанных задач не в полной мере (Сойфер, 2003), а отсутствие соответствующих математических моделей и программного обеспечения не позволяет делать выводы о существовании корреляций морфологических и иных факторов.

Возможным методом комплексной оценки морфологии объекта является подсчет фрактальной размерности его изображения, предложенный Мандельб-ротом {Mandelbrot 1982). Этот метод позволяет оценивать фрактальную размерность для математических объектов. Однако, для растровых изображений, соответствующих представлению графической информации на компьютерах или в цифровых камерах, указанные алгоритмы не могут быть непосредственно применены вследствие того, что мы имеем по существу не математический 4 объект, а его приближение на дискретной сетке. По этой причине возникает необходимость в адаптации существующих алгоритмов вычисления фрактальной размерности для растровых изображений.

Кроме того, для решения указанных задач должна быть разработана имитационная модель роста биологической популяции на плоскости, имеющая следующие особенности: 1) она должна позволить выявить связь морфологических показателей с другими параметрами, изменяющимися в ходе процесса; 2) модель должна формировать растровое изображение, пригодное для подсчета фрактальной размерности.

По имеющимся у нас данным, существующие в настоящее время математические модели не пригодны для решения указанных задач. По этой причине тему диссертации «Математическое моделирование и фрактальный анализ роста колоний биологических объектов с использованием программного комплекса» следует считать актуальной.

Целью данной диссертации является разработка математических моделей, алгоритмов и комплекса программ, предназначенных для проведения вычислительных экспериментов по изучению связи морфологических, кинетических и иных параметров в процессе роста колоний биологических объектов на плоскости, а также для оценки фрактальной размерности полученных изображений.

Реализация указанной цели предполагает решение следующих задач:

- проведение анализа существующих алгоритмов определения фрактальной размерности, их адаптация к растровым изображениям; определение оптимальных алгоритмов для различных классов изображений; разработка комплекса программ для их реализации;

- разработка математической модели роста колонии биологических объектов на плоскости, учитывающей особенности биообъектов и ее программная реализация;

- проведение вычислительных экспериментов с целью исследования влияния параметров роста, начального расположения объектов и их морфологических и кинетических характеристик;

- сравнение модельных расчетов с данными реальных экспериментов и выявление морфологического соответствия между изображениями;

- разработка алгоритмов, программ и методик их использования в практических целях.

Научная новизна:

- разработана новая имитационная математическая модель роста колоний биологических объектов на плоскости, позволяющая связать морфологические и кинетические характеристики и моделирующая этот процесс на дискретной сетке;

- определены оптимальные алгоритмы вычисления фрактальной размерности для различных классов растровых изображений;

- выявлены в ходе вычислительных экспериментов: связь морфологических и кинетических характеристик моделируемого объекта, позволяющая на основе фотографических изображений реальных колоний делать выводы об их кинетических параметрах; определены области допустимых значений кинетических кривых популяционного роста для идентичных начальных условий для случайного начального расположения биообъектов (по результатам 600 вычислительных экспериментов); выявлена бифуркация кинетических кривых роста для идентичных начальных условий в случае заданного начального расположения биообъектов на плоскости (по результатам 100 вычислительных экспериментов);

- программный комплекс для имитационного моделирования роста колонии на плоскости и анализа фрактальной размерности изображений;

- корреляции между морфологическими и кинетическими и внутренними параметрами роста, которые могут быть использованы для организации систем мониторинга подобных процессов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- математическая модель роста колоний биологических объектов на плоскости, рассматривающая каждый объект как отдельную структурную единицу со свойственным ей набором параметров и имитирующая процесс роста на дискретной сетке;

- определение оптимальных алгоритмов вычисления фрактальной размерности;

- результаты вычислительных экспериментов и их сравнение с экспериментальными данными.

Практическая значимость работы:

- разработанные методы оценки фрактальной размерности и выявленные корреляционные зависимости позволяют сократить время и расходы на оценку параметров биотехнологических процессов на основе компьютерного анализа полученных цифровых изображений;

- программный комплекс, реализующий разработанные методы и алгоритмы, позволяет на современном уровне осуществлять мониторинг технологических процессов.

Апробация работы. Основные теоретические и экспериментальные результаты работы обсуждались на XV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Тамбов, 2002); Международной научно-практической конференции «Интеллектуализация обработки информации ИОИ» (Симферополь, 2004); III Международной научной конференции «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений (MPFP)» (Тамбов, 2003); Межвузовской научно-практической конференции «Актуальные проблемы информатики и информационных технологий» (Тамбов, 2004); VI Всероссийской научной internet-конференции «Компьютерное моделирование в естественных и технических науках» (Тамбов, 2002); VIII, IX, X, XI, XII научных конференциях преподавателей и аспирантов ТГУ им. Г.Р. Державина «Державинские чтения» (Тамбов, 2003-2007 гг.). Материалы по диссертации размещены также в сети Интернет по адресу http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/178.pdf.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка использованной литературы. Она содержит 138 страниц текста, 2 таблицы и 67 иллюстраций. Материал дополнен приложениями.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Слетков, Денис Викторович

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

Выполнен обзор и анализ литературных данных, посвященных росту популяций и применению фрактальной размерности для моделирования объектов в естественных науках. Показаны основные трудности, возникающие при моделировании данных явлений. Поставлены задачи исследований.

Произведено сравнение различных методов (точечный метод, метод оптимальных клеток, метод Грассбергера-Прокаччиа) вычисления фрактальной размерности растровых изображений и выявлены оптимальные методы вычисления для различных классов растровых изображений. Произведена оптимизация клеточного метода вычисления фрактальной размерности.

Впервые разработана имитационная математическая модель роста колонии на плоскости, учитывающая индивидуальные характеристики биообъекта (время деления, время жизни, скорость потребления питательного вещества) и моделирующая этот процесс на дискретной сетке.

Реализован программный комплекс, позволяющий производить имитационное моделирование роста колонии на плоскости и анализ фрактальной размерности изображений.

Произведены вычислительные эксперименты по имитационной математической модели роста колоний и получены следующие области допустимых значений кинетических кривых популяционного роста для идентичных начальных условий для случайного начального расположения биообъектов (по результатам 600 вычислительных экспериментов) и бифуркация кинетических кривых роста для идентичных начальных условий в случае заданного начального расположения биообъетков на плоскости (по результатам 100 вычислительных экспериментов).

Произведено сравнение результатов моделирования с реальными данными получаемыми при росте микроорганизмов на плоскости. Получено морфологическое соответствие форм колоний наблюдаемых в вычислительном эксперименте и реальном эксперименте, как для фиксированного момента времени так и в процессе их роста.

Показано существование зависимости вычисленной фрактальной размерности изображений культуры дрожжей от основных показателей ее роста. Поскольку подсчет фрактальной размерности цифрового изображения занимает незначительное время, указанная технология может быть использована для управления процессом культивирования микроорганизмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Слетков, Денис Викторович, 2007 год

1. Александров, П.С. Введение в общую теорию множеств и функций: Учебное пособие для вузов. Ч. 1. Введение в теорию множеств и теорию функций / П.С. Александров, А.Н. Колмогоров; М-во высшего образования СССР. -M.-JL: Гостехиздат, 1948. - 411 с.

2. Арзамасцев, А.А. Компьютерное моделирование саморегулирования температуры в популяциях микроорганизмов. Сообщение 1: периодический процесс / А.А. Арзамасцев // Вестн. Тамб. Ун-та. Тамбов, 1996. - Т. 1, вып. 1.-С. 71-77.

3. Арзамасцев, А.А. О возможности использования различных моделей кинетики биосинтеза / А.А. Арзамасцев, А.А. Андреев // Биофизика. 2001. - Т. 46, вып. 6.-С. 1048-1061.

4. Арзамасцев, А.А. О существовании зависимости фрактальной размерности изображений биологических объектов от их морфологических характеристик / А.А. Арзамасцев, Д.В. Слетков, Е.В. Ушакова, И.В. Исаева // Вестн.

5. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. - Т.8, вып.1. - С. 189-190.

6. Божокин, С.В. Математическая модель морфологического строения грибов. / С.В. Божокин // Биофизика. 1996. - Вып. 6. - С. 1298-1300.

7. Гаузе, Г.Ф. Математический подход к проблемам борьбы за существование / Г.Ф. Гаузе //Зоол. журн. 1933.-Т. 12,№3.-С. 170-177.

8. Запивалов, Н.П. Фрактальная геофлюидодинамика нефтенасыщенных систем / Н.П. Запивалов // Труды Всерос. науч. конф. "Фундаментальныепроб-лемы нефти и газа". М.: Изд. РАЕН, 1996. - Т. 4. - С. 21-30.

9. Запивалов, Н.П. О фрактальной структуренефтегазовых месторождений / Н.П. Запивалов,Г.И. Смирнов//ДАН.- 1995.-Т. 341,№ 1.-С. 110-112.

10. Иваницкий, Г.Р. От динамики популяционных автоволн, формируемых живыми клетками, к нейроинформатике / Г.Р. Иваницкий, А.Б. Медвинский, М.А. Цыганков // УФН. 1994. - Т. 164, № 10. - С. 1041-1072.

11. Инструкция по технологическому контролю спиртового производства / М.: Пищевая промышленность, 1967. 348 с.

12. Кроновер, P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / P.M. Кроновер. -М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

13. Мальтус, Т.Р. Опыт о законе народонаселения / Т.Р. Мальтус. СПб., 1895.

14. Николаев, П.П. В поисках формулы красоты / П.П. Николаев // Взор. -2003.-№ 10.-С. 90-97.

15. Николаев, П.П. Парадоксы зрения, или Морис Эшер — предтеча кибер-арта / П.П. Николаев // Взор. 2003. - № 12. - С. 92-100.

16. Николаев, П.П. Формализмы в искусстве модерна. Пути экспликации «гармонии» из «алгебры» / П.П. Николаев // Труды IV Международной конференции «Языки науки — языки искусства» (Суздаль, 7-12 июня 1999 г.). -М.: «Прогресс-Традиция», 2000. С. 104-111.

17. Ораевский, А.П. Мазеры, лазеры и странные аттракторы / А.П. Ораевский // Квантовая электроника. 1981. - Т. 8, № 1. - С. 130-142.

18. Пайтген, Х.-О. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем: Пер. с англ. / Х.-О. Пайтген, П.Х. Рихтер. М.: Мир, 1993. - 176 с.

19. Печуркин, Н.С. Явление аутостабилизации факторов, ограничивающих рост микробных популяций в открытых системах / Н.С. Печуркин, А.Н. Шкидченко // Доклады АН СССР. 1976. - Т. 227, № 3. - С. 719-722.

20. Рылкин, С.С. Эффект аутотермостатирования микробных популяций и его влияние на рост и газообмен микроорганизмов / С.С. Рылкин, А.Н. Шкидченко, В.А. Стеркин, А.В. Баев // Микробиология. 1973. - Т. 42. - С. 445451.

21. Слетков, Д.В. Компьютерное моделирование алгебраических фракталов / Д.В. Слетков // Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2001. - Т. 6, вып. 4. - С. 451-453.

22. Слетков, Д.В. Дискретная математическая модель формообразования колонии микроорганизмов, растущих на плоскости / Д.В. Слетков, А.А. Арзамасцев // Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2005. - Т. 10, вып. 2. - С. 193-195.

23. Слетков, Д.В. Морфология и кинетика роста колоний микроорганизмов на плоскости. Результаты вычислительного эксперимента / Д.В. Слетков, А.А. Арзамасцев // Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2005.-Т. 10, вып. 3.-С. 277-291.

24. Слетков, Д.В. Сравнение различных алгоритмов вычисления фрактальной размерности / Д.В. Слетков, А.А. Арзамасцев // Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. - Т. 8, вып. 2. - С. 282-285.

25. Слетков, Д.В. Сравнение алгоритмов вычисления фрактальной размерности / Д.В. Слетков, А.А. Арзамасцев // III Междунар. конф. «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений» (MPFP) на базе

26. XLI Междунар. семинара «Актуальные проблемы прочности»: сб. тез. докл. Тамбов, 2003. - С. 202-203.

27. Сойфер, В.А. Методы компьютерной обработки изображений (2-е изд.) /

28. B.А. Сойфер. М.: Физматлит, 2003. - 317 с.

29. Федер, Е. Фракталы. Пер. с англ. / Е. Федер. М.: Мир, 1991. - 254 с.

30. Шарковский, А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя / А.Н. Шарковский // Укр. мат. журн. 1964 - Т. 16, № 1.1. C. 61-71.

31. Abraham, F.D. A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology. The Science frontier express series / F.D. Abraham, R. Abraham, C. D. Shaw. Santa Cruz: Aerial Press, 1990. - 426 p.

32. Adler, J. Chemoreceptors in Bacteria / J. Adler // Science. 1969. - V. 166. -P. 1588-1597.

33. Arzamastsev, A. Computer simulation of temperature autostabilization: an analysis of the phenomenon / A. Arzamastsev, M. Kristapsons // Appl. Microbiol, and Biotech. 1993. - V. 40. - P. 77-81.

34. Bartoli, F. Structure and self-similarity in silty and sandy soils: the fractal approach / F. Bartoli, R. Phillipy, M. Doirisse, S. Niquet, M. Dubuit // J. Soil Sci. -1991.-V. 42.-P. 167-185.

35. Bian, L. Scale dependencies of vegetation and topography in a mountainous environment of Montana / L. Bian, S.J. Walsh // Prof. Geogr. 1993. - V. 45. -P. 1-11.

36. Bolton, R.G. Characterization of the spatial aspects of foraging mycelial cord systems using fractal geometry / R.G. Bolton, L. Boddy // Mycol. Res. 1993. -V. 97.-P. 762-768.

37. Burrough, P. A. Fractal dimensions of landscapes and other environmental data / P.A. Burrough // Nature. 1981. - V. 294. - P. 240-242.

38. Cayley, A. The Newton-Fourier Imaginary Problem / A. Cayley // Am. J. Math. 1879.-V. 2.-P. 97.

39. Chen, S.G. A fractal-based Populus canopy structure model for the calculation of light interception / S.G. Chen, R. Ceulemans, I. Impens // For. Ecol. Manage. -1994.-V. 69.-P. 97-102.

40. Corbit, J.D. Fractal dimension as a quantitative measure of complexity in plant development / J.D. Corbit, D.J. Garbary // Proc. R. Soc. bond. 1995. - V. B262. -P. 1-6.

41. Czaran, T. Coexistence of competing populations along environmental gradients: a simulation study / T. Czaran // Coenoses. 1989. - V. 4. - P. 113-120.

42. De Cola, L. Fractal analysis of a classified Landsat scene / L. De Cola // Photo-gram. Eng. Remote Sens. 1989. - V. 55. - P. 601-610.

43. Deering, W. Fractal physiology / W. Deering,, B.J. West // IEEE Engin. Med. Biol.-1992.-V. 11.-P. 40-46.

44. Dicke, M. Using fractal dimensions for characterizing tortuosity of animal trails / M. Dicke, P.A. Burrough // Physiol. Entom. 1988. - V. 13. - P. 393-398.

45. Eghball, B. Fractal description of soil fragmentation for various tillage methods and crop sequences / B. Eghball, L.N. Mielke, G.A. Calvo, W.W. Wilhelm // Soil Sci. Soc. Am. J. 1993. - V. 57. - P. 1337-1341.

46. Ellner, S. Chaos in a noisy world: new methods and evidence from time-series analysis / S. Ellner, P. Turchin // Amer. Nat. 1995. - V. 145. - P. 343-375.

47. Escos, J.M. Fractal structures and fractal functions as disease indicators / J.M. Escos, C.L. Alados, J.M. Emlen // Oikos. 1995. - V. 74. - P. 310-314.

48. Fatou, P. Sur les equations fonctionnelles / P. Fatou // Bull. Soc. Math. France. -1919.-V. 47.-P. 161-271.

49. Fatou, P. Sur les solutions uniformes de certaines equations fonctionnelle / P. Fatou // C. R. Acad. Sci. 1906. - V. 143. - P. 546-548.

50. Feigenbaum, M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformation / M.J. Feigenbaum // J. of Stat. Phys. 1978. - V. 19, № 1. - P. 25-52.

51. Feigenbaum, M.J. The universal metric properties of nonlinear transformation / M.J. Feigenbaum // J. of Stat. Phys. 1979. - V. 21, № 6. - P. 669-706.

52. Feigenbaum, M.J. Quasiperiodicity in dissipative systems: A renormalization group analysis / M.J. Feigenbaum, L.P. Kadanoff, S.J. Shenker // Physica. 1982. -V. D5.-P.370.

53. Fitter, A.H. Fractal characterization of root system architecture / A.H. Fitter, T.R. Strickland // Funct. Ecol. 1992. - V. 6. - P. 632-635.

54. Frontier, S. Applications of fractal theory to ecology / S. Frontier // Developments in numerical ecology / editors P. Legendre and L. Legendre. Berlin : Springer, 1987. - P. 335-378.

55. Gause G.F. The struggle for existence / G.F. Gause. Baltimore : Williams and Wilkins, 1934.- 163 p.

56. Glazier, J.A. Reconstructing phylogeny from the multifractal spectrum of mitochondrial DNA / J.A. Glazier, S. Raghavachari, C.L. Berthlesen, M.H. Skolnick // Phys. Rev. 1995. -V. E51.-P. 2665-2668.

57. Glenny, R.W. Applications of fractal analysis to physiology / R.W. Glenny, H.T. Robertson, S. Yamashiro, J.B. Bassingthwaighte // J. Appl. Physiol. 1991. -V. 70.-P. 2351-2367.

58. Godfray, H.C.J. The continuing quest for chaos / H.C.J. Godfray, B.T. Grenfell // Trends Ecol. Evol. 1993. - V. 8. - P. 43-44.

59. Goldberger, A.L. Fractal mechanisms in the electrophysiology of the heart / A.L. Goldberger // IEEE Eng. Medicine Biol. 1992. - V. 11. - P. 47-52.

60. Goldberger, A.L. Chaos and fractals in human physiology / A.L. Goldberger, D.G. Rigney, B.J. West // Sci. Am. 1990. - V. 262 (2). - P. 42-49.

61. Goodchild, M.F. The fractal nature of geographic phenomena / M.F. Goodchild, D.M. Mark // Ann. Assoc. Amer. Geogr. 1987. - V. 77. - P. 265-278.

62. Grassberger, P. Generalized dimensions of strange attractors / P. Grassberger // Phys. Lett. 1983. - V. A97. - P. 227-230.

63. Grassberger, P. Measuring of strangeness of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia // Physica. 1983. - V. 9D. - P. 189-208.

64. Gunnarsson, B. Fractal dimension of plants and body size distribution in spiders / B. Gunnarsson // Funct. Ecol. 1992. - V. 6. - P. 636-641.

65. Hahn, G.L. Characterizing animal stress through fractal analysis of thermoregulatory responses / G.L. Hahn, Y.R. Chen, J.A. Nienaber, R.A. Eigenberg, A.M. Parkhurst // J. Therm. Biol. 1992. - V. 17. - P. 115-120.

66. Hargrove, W.W. A fractal landscape realizer for generating synthetic maps / W.W. Hargrove, F.M. Hoffman, P.M. Schwartz // Conservation Ecology. 2002. -V. 6.-P. 2.

67. Haslett, J.R. Community structure and the fractal dimensions of mountains habitats / J.R. Haslett // J. Theor. Biol. 1994. - V. 167. - P. 407-411.

68. Hastings, A. Chaos in ecology: is mother nature a strange attractor? / A. Hastings, C.L. Horn, S. Ellner, P. Turchin, H.C.J. Godfray // Ann. Rev. Ecol. Syst. -1993.-V. 34.-P. 1-33.

69. Hastings, H.M. Fractals: a user's guide for the natural sciences / H.M. Hastings, G. Sugihara. Oxford : Oxford University Press, 1993. - 248 p.

70. Hausdorff, F. Dimension und Ausseres Mass / F. Hausdorff // Mathematische Annalen.-1919.-V. 79.-P. 157-179.

71. Henon, M. The applicability of the third integral of motion: Some numerical experiments / M. Henon, C. Heiles // Aston. J. 1964. - V. 69. - P. 73-79.

72. Hentschel, H.G.E. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors / H.G.E. Hentschel, I. Procaccia // Physica. 1983. - V. D8. -P. 435-444.

73. Jeffries, M. Invertebrate colonization of artificial pondweeds of differing fractal dimension / M. Jeffries // Oikos. 1993. - V. 67. - P. 142-148.

74. Johnson, A.R. Diffusion in fractal landscapes: simulations and experimental studies of tenebrionid beetle movements / A.R. Johnson, B.T. Milne, J.A. Wiens // Ecology. 1992.-V. 73.-P. 1968-1983.

75. Johnson, A.R. Animal movements and population dynamics in heterogeneous landscapes / A.R. Johnson, J.A. Wiens, B.T. Milne, Т.О. Crist // Land. Ecol. -1992.-V. 7.-P. 63-75.

76. Julia, G. Memoire sur iteration des functions rationelles / G. Julia // J. Math. Pure. Appl. 1918. -V. 8. - P. 47-245.

77. Keller, E. Model for Chemotaxis / E. Keller, L. Segel // J. Theor. Biol. — 1971. — V.30.-P. 225-234.

78. Krummel, J.R. Landscape patterns in a disturbed environment / J.R. Krummel, R.H. Gardner, G. Sugihara, R.V. O'Neill, P.R. Coleman // Oikos. 1987. - V. 48. -P. 321-324.

79. Lam, N.S. Description and measurement of Landsat TM images using fractals / N.S. Lam // Photogram. Eng. Remote Sens. 1990. - V. 56. - P. 187-195.

80. Lam, N.S. On the issues of scale, resolution, and fractal analysis in the mapping sciences / N.S. Lam, D.A. Quattrochi // Prof. Geogr. 1992. - V. 44. - P. 88-98.

81. Lewis, M. Fractal surfaces of proteins / M. Lewis, D.C. Rees. // Science. 1985. -V. 230.-P. 1163-1165.

82. Li, T.Y. Period three implies chaos / T.Y. Li, J.A. Yorke // Am. Math. Month. -1975.-V. 82.-P. 985-992.

83. Liebovitch, L.S. Ion channel kinetics: a model based on fractal scaling rather than multistate Markov processes / L.S. Liebovitch, J. Fischbargand, J.P. Koniarek // Math. Biosci. 1987. - V. 84. - P. 37-68.

84. Liebovitch, L.S. Ion channel kinetics. Protein switching between conformational states is fractal in time / L.S. Liebovitch, J.P. Koniarek // IEEE Eng. Medicine Biol.- 1992.-V. 11.-P. 53-56.

85. Lipsitz, L.A. Loss of'complexity' and aging / L.A. Lipsitz, A.L. Goldberger // J. Am. Med. Assoc. 1992. - V. 267. - P. 1806-1809.

86. Long, C.A. Leonardo da Vinci's rule and fractal complexity in dichotomous trees /С.А. Long//J.Theor. Biol.-1994.-V. 167.-P. 107-113.

87. Lopez-Quintela, M.A. Revision of the methodology in enzyme kinetics: a fractal approach / M.A. Lopez-Quintela, J. Casado // J. Theor. Biol. 1989. - V. 139. -P. 129-139.

88. Lorenz, E.N. Deterministic nonperiodic flow / E.N. Lorenz // J. Atm. Sci. -1963.-V. 20.-P. 130-141.

89. Lotka, A.J. Elements of mathematical biology / A.J. Lotka. New York : Dover, 1956.-465 p.

90. Lotka, A.J. Elements of physical biology / A.J. Lotka Baltimore : Williams and Wilkins, 1925.-457 p.

91. Malthus, T.R. An essay of the principle of population / T.R. Malthus. London : Johnson, 1798.

92. Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature / B.B. Mandelbrot. San Francisco : Freeman, 1982. - 480 p.

93. Matsuyama, T. Self-similar colony morphogenesis by gram-negative rods as the experimental model of fractal growth by a cell population / T. Matsuyama, M. Matsushita // Appl. and Env. Microbiol. 1993. - V. 58. - P. 1227-1232.

94. ЮЗ.Маигег, J. Rayleigh-Benard experiment in liquid helium; frequency locking and the onset of turbulence / J. Maurer, A. Libchaber // J. de Phys. Lett. 1979. -V. 40.-P. 419-423.

95. May, R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics / R.M. May // Nature. 1976. - V. 261. - P. 459-467.

96. McGarigal, K. FRAGSTATS: spatial pattern analysis program for quantifying landscape structure / K. McGarigal, B. Marks // U.S. Forest Service General Technical Report PNW-GTR-351. 1995.

97. Milne, B.T. Spatial aggregation and neutral models in fractal landscapes / B.T. Milne // Am. Nat. 1992. - V. 139. - P. 32-57.

98. Milne, B.T. Interactions between the fractal geometry of landscapes and allomet-ric herbivory / B.T. Milne, M.G. Turner, J.A. Wiens, A.R. Johnson // Theor. Pop. Biol. 1992. - V. 41. - P. 337-353.

99. Morse, D.R. Fractal dimension of vegetation and the distribution of arthopod body lengths / D.R. Morse, J.H. Lawton, M.M. Dodson, M.H. Williamson // Nature. 1985. - V. 314. - P. 731-733.

100. Nelson, T.R. The fractal lung: universal and species-related scaling patterns / T.R. Nelson, B.J. West, A.L. Goldberger // Experimentia. 1990. - V. 46. -P. 251-254

101. Nonnenmacher, T.F. Fractals in biology and medicine / T.F. Nonnenmacher, G.A. Losa, E.R. Weibel. Cambridge : Birkhauser, 1994. - 369 p.

102. Obert, M. Microbial growth patterns described by fractal geometry / M. Obert, P. Pfeifer, M. Sernetz // J. Bacteriol. 1990. - V. 172. - P. 1180-1185.

103. O'Neill, R.V. Indices oflandscape pattern / R.V. O'Neill, J.R. Krummel, R.H. Gardner, G. Sugihara, B. Jackson, D.L. DeAngelis, B.T. Milne, M.G. Turner, B. Zygmunt, S.W. Christensen, V.H. Dale, R.L. Graham // Land. Ecol. 1988. -V. l.-P. 153-162.

104. Osawa, A. Inverse relationshipof crown fractal dimension to self-thinning exponent of tree populations: a hypothesis / A. Osawa // Can. J. For Res. 1995. -V. 25.-P. 1608-1617.

105. Ostlund, S. Universal properties of the transition from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems / S. Ostlund, D. Rand, J. Sethna, E.D. Siggia // Physica. -1983.-V.D8.-P. 303-342.

106. Palmer, M.W. Fractal geometry: a tool for describing spatial patterns of plant communities / M.W. Palmer // Vegetatio. 1988. - V. 75. - P. 91-102.

107. Palmer, M.W. The coexistenceof species in fractal landscapes / M.W. Palmer // Am. Nat. 1992. - V. 139. - P. 375-397.

108. Pearl, R. The biology of population growth / R. Pearl. New York: A. A. Knopf, 1930.-260 p.

109. Pearl, R. The growth of populations / R. Pearl // Quart. Rev. Biol. 1927. -V.2.-P. 532.

110. Peitgen, H.-O. The science of fractal images / H.-O. Peitgen, D. Saupe. New York : Springer-Verlag, 1988. -312p.

111. Perfect, E. Fractal theory applied to soil aggregation / E. Perfect, B.D. Kay // Soil Sci. Soc. Am. J. 1991. -V. 55. -P. 1552-1558.

112. Perfect, E. Multifractal model for soil aggregate fragmentation / E. Perfect, B.D. Kay, V. Rasiah // Soil Sci. Soc.Am. J. 1993. - V. 57. - P. 896-900.

113. Phillips, J.D. Measuring complexity of environmental gradients / J.D. Phillips // Vegetatio. 1985. -V. 64. - P. 95-102.

114. Poincare H. Les Methods Nouvelles de la Mechanique Celeste / H. Poincare. -Paris : Gautheir-Villars, 1892.

115. Pomeau, Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomeau, P.Manneville // Comm. in Math. Phys. 1980. - V. 74. -P. 189.

116. Rand, D. Universal transition from quasiperiodicity to chaos in dissipative systems / D. Rand, S. Ostlund, J. Sethna, E.D. Siggia // Physical Review Letters. -1982.-V. 49, №2.-P. 132-135.

117. Ritz, K. Quantification of the fractal nature of colonies of Trichoderma viride / K. Ritz, J. Crawford // Mycol. Res. 1990. - V. 94. - P. 1138-1152.

118. Rivero, M.A. Transport Models for Chemotactic Cell Populations Based on Individual Cell Behavior / M.A. Rivero, R.T. Tranquillo, H.M. Buettner, D.A. Lauf-fenburger //Chem. Engng. Sci. 1989. - V. 44. - P. 2881-2897.

119. Schaffer, W.M. Chaos in ecological systems: the coals that Newcastle forgot / W.M. Schaffer, M. Kot // Trends Ecol. Evol. 1986. - V. 1. - P. 58-63.

120. Scheuring, I. The fractal nature of vegetation and the species-area relation /1. Scheuring // Theor. Popul. Biol. 1991. - V. 39. - P. 170-177.

121. Shenker, S.J. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: Empirical results / S.J. Shenker//Physica. 1982. -V. D5. -P.405-411.

122. Shorrocks, В. The fractal dimension of lichens and the distribution of arthropod body lengths / B. Shorrocks, J. Marsters, I. Ward, PJ. Evennett // Funct. Ecol. -1991.-V. 5.-P. 457-460.

123. Smith, T.G. A fractal analysis of cell images / T.G. Smith, W.B. Marks, G.D. Lange, W.H.Sheriff, E.A. Neale // J.Neurosci. Meth. 1989. - V. 27. - P. 173180.

124. Stanley, H.E. Fractal landscapes in physics and biology / H.E. Stanley // Physica. 1992. - V. A186. - P. 1-32.

125. Stone, L. Chaos, cycles and spatiotemporal dynamics in plant ecology / L. Stone, S. Ezrati // J. Ecol. 1996. - V. 84. - P. 279-291.

126. Sugihara, G. Nonlinear forecasting for the classification of natural time series / G. Sugihara // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1994. - V. A. - P. 477-495.

127. Sugihara, G. Distinguishing error from chaos in ecological time series / G. Sugihara, B. Grenfell, R.M. May // Phil. Trans. R. Soc. London. 1990. - V. ВЗЗО. -P. 235-251.

128. Sugihara, G. Applications of fractals in ecology / G. Sugihara, R.M. May // Trends Ecol. Evol. 1990. - V. 5. - P. 79-86.

129. Takahashi, M. A fractal model of chromosomes and chromosomal DNA replication / M. Takahashi // J. Theor. Biol. 1989. - V. 141. - P. 117-136.

130. Tatsumi, J. Fractal analysis of plant root systems / J. Tatsumi, A. Yamauchi, Y. Kono // Ann. Bot. 1989. - V. 64. - P. 499-503.

131. Teich, M.C. Fractal patterns in auditory nerve-spike trains / M.C. Teich, S.B. Lowen // IEEE Eng. Med. Biol. 1994. - V. 13. - P. 197-202.

132. Turcotte, D.L. Fractals and chaos in geology and geophysics / D.L. Turcotte. -Cambridge : Cambridge University Press, 1992. 231 p.

133. Turner, M.G. Changes in landscape patterns in Georgia, USA / M.G. Turner, C.L. Ruscher // Land. Ecol. 1988. - V. 1. - P. 241-251.

134. Tyler, S.W. Application of fractal mathematics to soil water retention estimation / S.W. Tyler, S.W. Wheatcraft // Soil Sci. Soc. Amer. J. 1989. - V. 53. - P. 987996.

135. Ulam, S.M. On combination of stochastic and deterministic process / S.M. Ulam, J. von Neumann // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. - V. 53, № 11. -P. 1120.

136. Van Hees, W.W.S. A fractal model of vegetation complexity in Alaska / W.W.S. Van Hees // Land. Ecol. 1994. - V. 9. - P. 271-278.

137. Verhulst, P.F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement / P.F. Verhulst // Corr. Math, at Phys. 1838. - V. 10. - P. 113-121.

138. Vlcek, J. Fractal analysis of leaf shapes / J. Vlcek, E. Cheung // Can. J. For. Res. 1986. -V. 16.-P. 124-127.

139. Volterra V. Leconssurla theorie mathematique de la lutte pour la vie / V. Volterra. Paris : Gauthiers-Villars, 1931.

140. Volterra, V. Variazone e fluttuazini del numero d'individui in specie animali conviventi / V. Volterra // Mem. Accad. naz. Lincei. Ser. 1926. - V. 2. - P. 31113.

141. Voss, R.F. Random Fractals: Characterization and Measurement, Scaling Phenomena in Disordered Systems / R.F. Voss. New York : Plenum Press, 1985. -320 p.

142. Wagner, G.C. Fractal models of protein structure, dynamics and magnetic relaxation / G.C. Wagner, J.T. Colvin, J.P. Allen, H.J. Stapleton // J. Am. Chem. Soc. 1985. - V. 107. - P. 5589-5594.

143. West, B.J. Physiology in fractal dimensions / B.J. West, A.L. Goldberger// Am. Sci. 1987. - V. 75. - P. 354-365.

144. Wiens, J.A. Spatial scaling in ecology. / J.A. Wiens // Funct. Ecol. 1989. -V.3.-P. 385-397.

145. Wiens, J.A. Fractal patterns of insect movement in microlandscape mosaics / J.A. Wiens, Т.О. Crist, K.A. With, B.T. Milne // Ecology. 1995. - V. 76. -P. 663-666.

146. Wiens, J.A. Scaling of 'landscapes' in landscape ecology, or landscape ecology from a beetle's perspective / J.A. Wiens, B.T. Milne // Land. Ecol. 1989. - V. 3. -P. 87-96.

147. With, K.A. Using fractal analysis to assess how species perceive landscape structure / K.A. With // Land. Ecol. 1994. - V. 9. - P. 25-36.

148. With, K.A. Ontogenetic shifts in how grasshoppers interact with landscape structure: an analysis of movement patterns / K.A. With // Funct. Ecol. 1994. - V. 8. -P. 477-485.

149. Xiao, Y. Fractal dimension of exon and intron sequence / Y. Xiao, R. Chen, R. Shen, J. Sun, J. Xu // J. Theor. Biol. 1995. - V. 175. - P. 23-26.

150. Xu, J. Fractal geometry study of DNA binding proteins / J. Xu, Y. Chao, R. Chen. // J. Theor. Biol. 1994. - V. 171. - P. 239-249.

151. Zeide, B. Fractal dimensions of tree crowns in three loblolly pine plantations of coastal South Carolina / B. Zeide, C.A. Gresham // Can. J. For. Res. 1991. -V. 21. - P. 1208-1212.