Математическое моделирование гидродинамического и электромагнитного отклика при воздействии линейных и тороидальных магнитных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор наук Маламанов Степан Юрьевич

• Маламанов Степан Юрьевич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Маламанов Степан Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

1.1 Постановка задач

1.2. Основные сведения об уравнениях магнитной гидродинамики

1.3. Основные понятия группового анализа дифференциальных уравнений

1.4. Использование программного комплекса АКБУБ-СЕХ в задачах вычислительной гидродинамики

1.5. Основные понятия метода сращиваемых асимптотических разложений

Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА К УРАВНЕНИЯМ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

2.1. Автомодельные решения дифференциальных уравнений

2.2. Инвариантность уравнений магнитной гидродинамики относительно группы растяжения

2.3. Инвариантность уравнений магнитной гидродинамики в случае постоянного внешнего магнитного поля

2.4. Поиск группы, допускаемой фактор-системой уравнений магнитной гидродинамики

ВЫВОДЫ

Глава 3. ТЕСТИРОВАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА А^У&СРХ НА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ И МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

3.1. Численное моделирование турбулентного струйного течения

3.2. Расчет течения проводящей жидкости в щелевом зазоре (задача Гартмана)

3.3. Численное моделирование турбулентного течения ртути в однородном магнитном поле

ВЫВОДЫ

Глава 4. МГД-ОТКЛИК В ПРОСТЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

4.1. Течение поводящей жидкости в МГД-насосе

4.2. Анализ причин, вызывающих усиление магнитного поля при течении в каналах различной конфигурации

ВЫВОДЫ

Глава 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНДУЦИРОВАННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ, ВЫЗВАННОГО КРУГОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ

5.1. Моделирование течения проводящей жидкости в кольцевом зазоре двух

СООСНЫХ цилиндров

5.2. Намагничивающее действие проводящей среды

5.3. Моделирование течения в спиралевидном канале

5.4. Моделирование течения в тороидальном канале

5.5. Течение в прямолинейной трубке тока при гармоническом изменении начального магнитного поля

5.6. Течения в спиралевидных каналах различной конфигурации

5.7. Течения в спиралевидной трубке, заключенной в кольцевой канал

5.8. ACT-Расширение Spiral

ВЫВОДЫ

Глава 6. ОПИСАНИЕ ВЛИЯНИЯ ОДНОРОДНОГО ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЗАРОЖДЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИ ТЕЧЕНИИ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ

6.1. Предварительные сведения

6.2. Асимптотическое поведение турбулентного течения вблизи обтекаемой шероховатой поверхности

6.3. Зарождение индуцированного магнитного поля в окрестности бугорков шероховатости при течении проводящей жидкости во внешнем однородном магнитном поле

ВЫВОДЫ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Список основных обозначений

х, у, г - декартовы координаты, м и(и, у, ш) - скорость движения, м/с р - массовая плотность жидкости, кг/м3 р - давление, Па

д - коэффициент динамической вязкости, Па • с у - плотность тока, А/м2 В(ВХ, Ву, Вг)- индукция магнитного поля, Тл Ь —индуцируемое магнитное поле, Тл Н - напряженность магнитного поля, А/м Е - напряженность электрического поля, В/м ^ - потенциал индуцированного поля, В о - коэффициент электропроводности, См/м к - кинетическая энергия турбулентности, м2/с2 £ - диссипация кинетической энергии турбулентности, м2/с3 ю - удельная скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, 1 /с Я, г - радиус кривизны, м Г - удельная электромагнитная сила, кг/ (м2с2) Ь - характерный линейный размер, м Яе - число Рейнольдса На - число Гартмана

Индексы

го - условия на бесконечности w - условия на стенке 0 - начальные условия

ВВЕДЕНИЕ

Магнитная гидродинамика (МГД), как раздел механики сплошных сред, начала интенсивно развиваться с середины прошлого века в связи с бурным развитием исследований в астрофизике, термоядерной энергетике, а также созданием новых приборов и устройств для энергетических и двигательных систем. В нашей стране сформировалось несколько центров по изучению проблем МГД-течений. Так в центральном институте авиационного моторостроения (ЦИАМ) проводились работы в области высокотемпературных течений газа, электропроводность которого могла быть как естественной, так и изменяющейся путем введения специальных добавок. Такой газ рассматривался как рабочая среда в МГД-устройствах. Эти работы начинались под руководством Л.И. Седова, а затем проводились под руководством Г.Г. Черного. Непосредственными исполнителями экспериментальных работ были Н.М. Белянин, М.Д. Петров, В.А. Сепп, А.В. Акимов, В.А. Лихтер, В.И. Шульгин, О.К. Варенцов и другие. За годы исследований была создана теория и методы расчета МГД-течений в каналах газодинамических и энергетических устройств. Выполнен цикл исследований сверх- и гиперзвуковых внутренних и внешних МГД-течений. Выяснены возможности МГД-торможения сверхзвукового потока в каналах и управления аэродинамикой и теплообменом тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком газа. Разработаны теоретические и экспериментальные методы исследования пространственных электрогазодинамических течений с заряженной дисперсной фазой применительно к кавитационным и энергетическим проблемам. Развита теория электризации летательных аппаратов и сконструированы принципиально новые устройства, повышающие их надежность, при этом были разработаны методы электростатической диагностики аномальных процессов в газодинамических и энергетических устройствах. Экспериментально обнаружено, что микрочастицы, образующиеся при разрушении металлических тел, оказываются положительно заряженными. Это позволяет предвидеть разрушение элементов конструкций путем регистрации таких частиц специальными антенными

устройствами. Теоретический анализ при этом, в основном, проводился о одномерном приближении. Весьма плодотворным оказалось одновременное использование экспериментального и теоретического методов исследования. Эти работы проводились А.Б. Ватажиным, В.И. Грабовским, С.А. Регирером, Г.М. Бам-Зеликовичем, Д.А. Голенцовым, Г.Р. Алавидзе, Е.К. Холщевниковой и другими исследователями. Большой цикл работ этих авторов был связан с исследованием магнитогидродина-мических пограничных слоев. Интерес к подобной проблематике связан с возможностью использования электромагнитного поля как управляющего фактора, приводящего к перестройке всего течения, что особенно актуально в связи с развитием гиперзвуковой аэродинамики и ракетной техники. Была найдена глубокая аналогия между обтеканием тел и обтеканием локальных сопротивлений, шероховатостей. Многочисленные эксперименты подтвердили увеличение сопротивления труб, покрытых искусственной шероховатостью при наличии поперечного магнитного поля. Теоретический анализ, учитывающий шероховатость, основывался главным образом на полуэмпирической теории Прандтля.

В другом центре - Институте физики АН Латвии (Г.Г. Брановер, А.Б. Цино-бер, Я.Я. Лиелпетер, Б.Я. Гуревич, Э.В. Щербинин, А.Г. Штерн, Ю.М. Колесников, Ю.М. Гельфгат, Н.М. Слюсарев, Х.Э. Калис и другие исследователи) в семидесятых- восьмидесятых годах прошлого столетия - основным направлением было изучение МГД-эффектов при течении жидких металлов в слабых и сильных магнитных полях поскольку считался перспективным переход на жидкометаллические теплоносители в атомных реакторах. Заметим, что основополагающие идеи этого направления развивались под руководством А.П. Александрова в Курчатовском институте. Кроме того, изучалось самовозбуждение магнитного поля под руководством И.М. Кирко. Большой цикл работ по газодинамической стабилизации электродуговых подогревателей газа проводился в институтах СО АН СССР под руководством М.Ф. Жукова. Численное моделирование разнообразных МГД-потоков проводилось в институте высоких температур (ИВТ) АН СССР. За рубежом на пер-

вый план в середине прошлого столетия выдвинулись задачи космической электродинамики. В основном они касались поведения заряженных частиц в магнитных полях. Определенным толчков к возникновению этой тематики была введенная Дж. Лармором концепция «динамо». В этой связи большое значение приобретает теория гидродинамического «динамо», служащая для объяснения эффектов усиления и поддержания магнитных полей, обусловленных движением проводящей среды. Основополагающие работы в этом направлении принадлежат Гейзенбергу, Паркеру и Каулингу. В нашей стране в этом направлении активно работали Я.Б Зельдович, С.И. Брагинский, С.И. Сыроватский, Г.А. Любимов, А.Г. Куликовский. Проблемами земного «динамо», объяснение магнитного поля Земли, занимались Буллард и Эльзассер, последний ввел магнитное число Рейнольдса по аналогии с гидродинамическим. В 70-е годы прошлого века Штеенбек, Краузе и Рэдлер опубликовали цикл работ по турбулентному «динамо», которое является примером взаимодействия гидродинамического и магнитного полей, носящий ярко выраженный нелинейный характер. Важным этапом моделирования МГД-пограничных слоев стало использование дифференциальных моделей турбулентности, вместо алгебраических моделей. Одной из интересных задач, не до конца изученной до сих пор, было исследование ослабления (подавления) турбулентности продольным магнитным полем.

Нелинейный характер уравнений магнитной гидродинамики позволяет получать аналитические решения только в редких частных случаях. Нестационарные задачи подробно исследованы лишь в одномерной постановке движения невязкой проводящей среды - К.П. Станюкович, С.А. Каплан, С.Б. Пикельнер. Целый ряд задач решался в линейном приближении путем изучения поведения небольших отклонений от заданного состояния (Чандрассекар, Коулинг, Шварцшильд). Трудности в поиске аналитических решений гидродинамических задач и неотложные задачи практики сделали весьма привлекательным численное моделирование. Численные методы позволяют составить математическую модель и провести числен-

ное моделирование практически для любой задачи. До недавнего времени для проведения практических расчетов необходимо было написать и отладить программу. Это требовало значительных затрат времени и усилий. Ситуация изменилась в корне в связи с прогрессом в вычислительной технике и появлению пакетов прикладных программ, которые позволяют к основному «ядру» подключать свои собственные модули. Теперь нет необходимости писать свою собственную программу, достаточно выбрать адекватный вычислительный инструмент и научиться его осознанно применять. Из существующих в настоящей работе нами был выбран гидродинамический модуль комплекса ANSYS (по праву считающейся своего рода «тяжеловесом») - ANSYS.CFX. Междисциплинарная направленность комплекса ANSYS позволяет ставить и решать задачи численного моделирования в различных областях науки и техники - строительная механика, гидро- и аэромеханика, тепло-и массообмен, электромагнетизм и др., включая сопряженные (гидроупругость, термопрочность и т.п.). К настоящему времени накоплен богатый опыт использования этого комплекса. В частности, это относится к расчету параметров магнитных систем, электрических аппаратов, радиоэлектронных схем, моделированию низко - и высокочастотных проявлений электромагнетизма. Однако расчет магнитогидродинамических течений стал возможным сравнительно недавно (2005-2006 гг.) с появлением специального модуля MHD, который есть как в CFX, так и ещё в одном гидродинамическом модуле - FLUENTе. Использование появившихся возможностей нашло свое применение, в основном, при моделировании потоков в алюминиевых электролизерах, что, диктуется потребностями практики. Однако этот мощный инструмент можно использовать значительно шире и не ограничиваться только решением практических задач, но и использовать его в исследовательских целях. В этом плане важно изучение макроскопических движений морской воды (проводящей жидкости), находящейся в магнитном поле Земли, которые сопровождаются появлением электрических токов и, как следствие, индуцированного магнитного поля. Глубокий интерес к морским электромагнитным исследованиям возник с начала 60-х годов прошлого столетия. Актуальность темы обусловлена необходимостью изучения Мирового

океана, играющего все большую роль в жизни человечества. Это способствовало началу теоретических и экспериментальных исследований электромагнитных полей от разнообразных морских и океанских источников. По совокупности полученных результатов следует отметить отечественных ученых внесших существенный вклад в указанный круг проблем, таких как В.М. Конторович, М. Н. Бердичевский, Л.Л. Ваньян, В.И. Дмитриев, Б.С. Светов, А.Г. Кравцов, Г.В. Соколов, Б.Е. Мардерфельд, С.М. Коротаев, И.Л. Трофимов, Р.Г. Скрынников, Л.М. Абрамова, В.Ю. Семенов, А.Б Лейбо, Ю.Б. Шауб , В.И. Белоконь, В.В. Жмур, Г.А. Бурцев, В.Н. Митрофанов, В.В. Сочельников и зарубежных - Е.С. Буллард, Дж. Филлоу, X. Хоббс, Дж. С. Ларсен, У. Подни. Возможность определения характеристик движения морской среды по её электромагнитному полю является одной из основных комплексных задач морской электродинамики. В этой связи, измерения и вычисления индуцированного электромагнитного поля, носят как фундаментальный, так и сугубо прикладной аспект в современных геофизических исследованиях. В частности, весьма насущна проблема определения параметров искусственного источника волн, по электромагнитному эффекту вызванного им волнения. В настоящее время задача определения индуцированного электромагнитного поля естественным образом распадается на две части: определение поля скоростей волнения и нахождение по заданному полю скоростей электромагнитного возмущения. При этом скорость движения среды находят или из результатов натурных наблюдений, или из решения гидродинамической задачи, в которой жидкость считают несжимаемой и невязкой. Кроме того, теоретические расчеты индуцированных электромагнитных полей течений основаны, главным образом, на модельных построениях течений, таких, как модель Стомелла, Экмана и др. Главные особенности этих моделей состоят в том, что скорость течения содержит только горизонтальные компоненты, рассматриваются течения конечной или бесконечной ширины, закон изменения скорости поперек течения задается определенной аналитической функцией (косинус и т.п.). Описанный подход представляет собой декомпозицию задачи на гидродинамическую и

электродинамическую части. Именно им следуют большинство исследователей, не всегда корректно его обосновывая.

Электромагнитные поля могут с одной стороны оказаться помехой при проведении магнитной съёмки и электроразведочных работ в акватории моря, с другой стороны - можно предположить, что индуцированные поля течений и волн несут информацию о морском геоэлектрическом разрезе, а это очень важно для изучения физических характеристик донных пород, в частности электрической проводимости подстилающей поверхности шельфа. В морской геологоразведке основными методами экспериментальных исследований являются магнитотеллурическое и магнитовариационное зондирование, теоретические работы, в основном, носят приближённый и оценочный характер. В этой связи применение комплекса ANSYS, как современной технологии математического моделирования, наделенного новыми возможностями, могло бы позволить ставить и решать многие комплексные научные и технические задачи морской гео- и гидрофизики, среди которых особенно актуальны в настоящее время следующие: создание электромагнитных систем связи; навигация подводных аппаратов; поиск полезных ископаемых на дне морей и океанов в том числе в пределах берегового шельфа; создание аппаратуры для изучения и измерения электрического и магнитного полей в воде; исследование электрических явлений в море для определения их связи с другими физическими процессами; изучение магнитогидродинамических процессов, возникающих из-за движения морской воды в магнитном поле Земли и многие другие. Однако такие исследования в настоящее время отсутствуют. Данная работа, направленная на изучение взаимодействия гидродинамического и электромагнитного полей с помощью модуля ANSYS.CFX, в определенной мере восполняет указанный пробел.

Максимальный эффект взаимодействия достигается при взаимной перпендикулярности векторов скорости потока и индукции магнитного поля. Поэтому в работе рассмотрены МГД-течения, соответствующие такому расположению векторов. В наиболее общем случае таких вариантов два - линейное

магнитное поле при круговом движении проводящей жидкости, а также тороидальное магнитное поле при прямолинейном движении жидкости. Возникающие при этом эффекты существенно нелинейны. Понять их механизмы -как правило в отсутствии достоверных натурных наблюдений - возможно только из решения соответстующих уравнений. Точные аналитические решения дифференциальных уравнеий продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания изучаемых явлений и процессов, именно они позволяют определить области изменения характерных параметров, при которых возможны те или иные существенные эффекты. Это особенно актуально для магнитной гидродинамики, уравнения которой представляют собой значительно более сложную нелинейную систему уравнений, чем уравнения электродинамики и гидродинамики, взятые по отдельности. Поскольку наиболее универсальным методом, позволяющим решать аналитически нелинейные уравнения и качественно исследовать математические модели является метод группового анализа, то вполне естественным является применение этого мощного математического аппарата. Групповой анализ дифференциальных уравнений был создан замечательным норвежским математиком Софусом Ли во второй половине 19-го века. Одним из выдающихся достижений С. Ли было открытие того факта, что большинство известных методов интегрирования - воспринимаемых как удачные находки предшественников - могут быть получены при помощи теории групп единообразно. Кроме того, анализ групп Ли сводит 400 типов обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (как известно, многие законы природы описываются именно такими уравнениями) к 4 типам! Несмотря на то, что многочисленные результаты, полученные С. Ли были признаны современниками, дальнейшее развитие его работ, по непонятным причинам, не производилось в течении длительного времени. В этот период решение задач механики и физики в основном начиналось с применения теории подобия и размерности для получения упрощений и последующего интегрирования приближенной системы уравнений. Хотя идея использования непрерывных групп преобразований в математическом моделировании была достаточно старой, её техническое осуществление начал

Г. Биркгоф. Именно он наиболее полно изучил найденную аналогию между теорией подобия и теорией инвариантов относительно преобразования координат. Впоследствии Г. Биркгоф применил групповой анализ к некоторым задачам механики и нашел ряд частных решений, которые назвал симметричными. Лишь во второй половине 20-го века, благодаря работам Л.В. Овсянникова, систематический интерес к групповому анализу был возрожден. Именно Овсянниковым был введен термин «групповой анализ дифференциальных уравнений». Сейчас этот термин является общепризнанным.

Существенное развитие теория групповых свойств дифференциальных уравнений получила в работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, В.И. Фущича, В.Ф. Зайцева, П. Олвера. Они положили начало систематическому исследованию с точки зрения группового анализа многих уравнений механики и физики. Многоплановое применеие методов теории групп к задачам механики жидкости было продолжено в работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, В.В. Пухначева, В.О. Бытева, А.А. Бучнева, Ю.Н. Павловского, В.М. Меньшикова. Наряду с указанными авторами, уравнения механики сплошных сред с помощью группового анализа продолжают исследовать В.К. Андреев, В.В. Бублик, С.В. Мелешко, А.А. Родионов, С.В. Головин, О.В. Капцов, Ю.Д. Чашечкин и другие ученые. В последнее время методы теории групп начинают применяются в геофизической гидродинамике, где - в силу сложности изучаемых процессов - часто единственным средством теоретического анализа, до недавних пор, была теория подобия. Поэтому более поздние работы по математическому описанию явлений и процессов в окружающей среде, стимулировали развитие методов анализа сложных неоднородных течений, в том числе в атмосфере и гидросфере. Применение группового анализа для изучениия движения проводящих сред нашло отражение в работах как отечественных так и зарубежных учёных (Н.Х. Ибрагимов, О.И. Богоявленский, А.Г. Куликовский, Н.Д. Наумов, А.Г.Чевяков, В.А.Дородницын, С.В. Головин, Ф. Галас, А. Донато, Дж. Фучс, Ф. Оливьери, Е. Рихтер, А. Гриндлэнд, П. Пикард, Е. Тасси, А. Жеффрей и др.).

В 1991 году на Седьмом всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике Л.В. Овсянниковым была сформулирована программа ПОДМОДЕЛИ. Эта программа направлена на систематическое и полное изучение групповых свойств разнообразных моделей механики сплошных сред. К настоящему времени в рамках этой программы рассмотрены рассмотрены уравнения классической механики жидкости и газодинамики. В последние годы методы теории групп начинают применяться в геофизической гидродинамике, для анализа сложных неоднородных течений, в том числе в атмосфере и гидросфере. Однако в магнитной гидродинамике обычно ограничиваются рассмотрением линейных и одномерных уравнений, описывающих течение идеальной проводящей жидкости. Таким образом, актуальным является исследование нелинейных многомерных МГД-уравнений, что позволит существенно расширить класс решаемых задач и более полно, «изнутри», аналитически изучить внутреннюю структуру данной модели. Групповой анализ применяется, в частности, как метод построения промежуточных моделей - с целью создания более комфортных исходных позиций для применения численных методов и как метод, позволяющий провести сравнение общих свойств уже существующих моделей, получивших распространение в магнитной гидродинамике. Использованию группового анализа МГД-уравнений, описывающих нестационарные пространственные движения вязкой несжимаемой проводящей жидкости, в современной научной литературе уделено сравнительно мало внимания. Кроме того основанная на свойствах симметрии редукция уравнений позволяет находить как асимптотические, так и точные решения, что, безусловно, поможет создавать новые математические модели сложных МГД-устройств.

Цель исследования

Целью данной работы является:

1. Физико-математическое моделирование потоков вязкой слабопроводящей жидкости в каналах различной формы при наличии магнитных полей.

2. Проведение группового анализа системы МГД-уравнений вязкой несжимаемой проводящей жидкости для дальнейшей редукции и оптимизации нахождения инвариантных решений.

3. Изучение турбулентного течения вблизи плоской шероховатой поверхности как при наличии внешнего магнитного поля, так и в его отсутствии.

4. Апробация вычислительного комплекса ANSYS.CFХ на тестовых МГД-течениях и изучение с его помощью взаимодействия гидродинамического и электромагнитного полей в условиях, обеспечивающих максимальный эффект этого взаимодействия

Методы исследования.

В работе применяются теоретические методы исследования, опирающиеся на основные положения общей физики, классической электродинамики, механики сплошных сред и ее математический аппарат. Для качественного аналитического исследования математической модели движения вязкой проводящей несжимаемой жидкости используются методы группового анализа дифференциальных уравнений (алгоритм вычисления допускаемой группы преобразований). Для расчетов МГД-течений широко используется прямое численное моделирование, как вычислительный эксперимент. Аналитические результаты получены с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений и общей теории дифференциальных уравнений.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов полученных в диссертационной работе достигается применением:

- физически непротиворечивых моделей для описания процессов переноса в вязкой несжимаемой жидкости, в том числе и проводящей;

- применением апробированных методов исследования;

- сравнением результатов численного моделирования с экспериментальными данными и точными решениями в области применимости последних, включая сравнение полученных результатов с известными ранее в предельных случаях.

Научная новизна.

1. Впервые показано, что:

- стационарное движение проводящей жидкости в тороидальном канале, находящемся в однородном магнитном поле, эквивалентно движению той же жидкости в прямолинейном канале, который находится в магнитном поле, периодически изменяющемся вдоль оси симметрии канала;

- течение проводящей жидкости в спиралевидных каналах различной формы, находящихся в однородном магнитном поле, приводит к появлению различных пространственно-временных структур индуцированного магнитного поля.

2. Впервые установлено, что круговое движение проводящей жидкости в зазоре коаксиальных цилиндров во внешнем однородном магнитном поле, направленном вдоль оси симметрии цилиндров, способно перемагнитить первоначально намагниченную стенку одного из цилиндров.

3. Впервые показано, что:

• при обтекании проводящей жидкостью спиралевидного канала (с такой же неподвижной жидкостью), находящегося в зазоре коаксиальных цилиндров в однородном магнитном поле, появляется индуцированное магнитное поле;

• для двух разных течений:

а) течение в спиралевидном канале, находящемся в зазоре коаксиальных цилиндров (заполненном такой же неподвижной жидкостью) при наличии

однородного магнитного поля, направленного перпендикулярно оси цилиндров,

б) течение в зазоре коаксиальных цилиндров, при котором происходит обтекание спиралевидного канала (заполненного такой же неподвижной жидкостью), находящегося в этом зазоре, при наличии однородного магнитного поля, направленного перпендикулярно оси цилиндров, существует подобие распределений проекции индуцированного магнитного поля, направленной вдоль оси цилиндров.

4. Показано, что вязкий подслой и буферная зона в пограничном слое при моделировании могут быть объединены в единую область, охваченную турбулентным движением. Найдены распределения интенсивности турбулентных пульсаций вблизи стенки с естественной шероховатостью.

5. Найдено распределение составляющей индуцированного магнитного поля, вызванного турбулентным движением проводящей жидкости вблизи шероховатой стенки, находящейся в однородном магнитном поле, перпендикулярном поверхности,

6. Впервые предпринято изучение групповых свойств уравнений морской электродинамики.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

• Методами теории групп осуществлена редукция системы МГД-уравне-ний, описывающей движение вязкой несжимаемой проводящей жидкости - эволюционные уравнения сведены к стационарным. Найдена группа, допускаемая полученной упрощенной системой, что позволяет ставить задачи по оптимизации поиска инвариантных решений.

• Диссертационная работа является опытом применения теории инвариантных решений для уравнений морской электродинамики.

• Изменение однородного магнитного поля при турбулентном движении проводящей жидкости вблизи стенки с естественной шероховатостью можно рассматривать как фактор, управляющий течением в пограничном слое.

• Диссертационная работа направлена на изучение взаимодействия гидродинамического и электромагнитного полей в условиях, обеспечивающих максимальный эффект этого взаимодействия. Решение этой проблемы весьма актуально для прикладных задач морской гео- и гидрофизики, создания перспективных образцов энергетических систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование гидродинамического и электромагнитного отклика при воздействии линейных и тороидальных магнитных полей»

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и были одобрены на следующих конференциях и семинарах:

1. Семинар кафедры «Вычислительные методы механики деформируемого твердого тела» СПбГУ (руководитель Ю.М. Даль), октябрь 2007 г.

2. Международная конференция "6-е Окуневские чтения", июнь 2008 г.

3. Международная конференция по механике "Пятые Поляховские чтения", февраль 2009 г.

4. Международная конференция "7-е Окуневские чтения", июнь 2011 г.

5. Международная конференция по механике "Шестые Поляховские чтения", январь 2012 г.

6. 55-я Научная конференции МФТИ "Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе", ноябрь 2012 г.

7. Международная конференция "8-е Окуневские чтения", июнь 2013 г.

8. 56-я Научная конференция МФТИ, "Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе", ноябрь 2013 г.

9. Международная конференция: «Турбулентность и волновые процессы», посвященная 100-летию со дня рождения академика М.Д. Миллионщикова. МГУ, ноябрь 2013 г.

10. Всероссийская (с международным участием) научно-практическая конференция: "Изобретатели в инновационном процессе России" СПбГПУ, декабрь 2013 г.

11. LXVII Международная конференция «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования «Герценовские чтения — 2014». СПбГПУ им. Герцена. Апрель 2014 г.

12. 20th International Workshop on Beam Dynamics and Optimization BDOIVESC-ICEE-ICCTPEA-BDO-2014, Saint-Petersburg, July 2014.

13. 57-я Научная конференция МФТИ с международным участием, посвященная 120-летию со дня рождения П.Л. Капицы, ноябрь 2014 г.

14. Международная конференция по механике "Седьмые Поляховские чтения", посвящаенная 110-летию со дня рождения профессора К.И.Страховича, февраль 2015 г.

15. LXVIII Международная конференция «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования «Герценовские чтения — 2015». СПбГПУ им. Герцена, апрель 2015 г.

16. 58-я Научная конференция МФТИ, "Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе", ноябрь 2015 г.

17. Пятая всероссийская научно-техническая конференция «Актуальные проблемы морской энергетики». СПбГМТУ, февраль 2016 г.

18. 59-я Всероссийская научная конференция МФТИ с международным участием в честь 65-летия образования МФТИ и 70-летия образования Физико-технического факультета МГУ, ноябрь 2016 г.

19. Одиннадцатая Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях №Ш'2016. МАИ, май 2016 г.

20. Семинар кафедры общей физики ФАЛТ МФТИ (руководитель А. Л. Стасенко), ноябрь 2016 г.

21. Семинар кафедры «Гидроаэродинамика» СПбГУ ( руководитель Р.Н. Мирошин), октябрь 2016 г.

22. ХХ Юбилейная Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам ВМСППС 2017. МАИ, май 2017 г.

Работы доложенные на:

• 58-й Научной конференции МФТИ, "Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе", ноябрь 2015 г,

• одиннадцатой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях №Ш'2016. МАИ, май 2016 г.

были отмечены дипломами. Положения выносимые на защиту:

• эволюционные уравнения магнитной гидродинамики сведены к стационарным уравнениям относительно инвариантов группы растяжений; найдена соответствующая фактор-система;

• построена группа преобразований, допускаемая фактор-системой уравнений морской электродинамики;

• найдены распределения интенсивности турбулентных пульсаций вблизи стенки с естественной шероховатостью;

• найдено решение задачи о зарождении индуцированного магнитного поля вблизи шероховатой поверхности при наличии внешнего магнитного поля, перпендикулярного этой поверхности;

• разработан оригинальный макрос Spiral, существенно дополняющий и расширяющий возможности традиционного ANSYS.CFX для анализа результатов численного моделирования в каналах спиралевидной формы;

• получены результаты численного моделирования потоков вязкой слабопроводящей жидкости в каналах различной формы при наличии магнитных полей.

В результате вычислительных экспериментов установлено, что:

• гидродинамический комплекс ANSYS.CFX адекватно воспроизводит экспериментально наблюдаемые величины и физику процессов, происходящих при течении проводящей жидкости в магнитном поле;

• параметр, равный отношению радиусов внутреннего и внешнего цилиндров является намагничивающим фактором, при круговом движении проводящей жидкости в зазоре постоянного объёма коаксиальных цилиндров во внешнем однородном магнитном поле, направленном вдоль оси цилиндров.

Структура диссертации.

Работа состоит из шести глав.

В первой главе рассматривается математическая модель магнитной гидродинамики. Приводятся необходимые сведения из теории группового анализа дифференциальных уравнений, методов численного моделирования с помощью гидродинамического модуля ANSYS.CFX и метода сращиваемых асимптотических разложений. Конкретизируются задачи для исследования.

Во второй главе с целью аналитического изучения внутренних свойств математической модели проведен групповой анализ системы уравнений, описывающей движение вязкой несжимаемой проводящей жидкости в магнитном поле. В начале была найдена группа растяжений, допускаемая изучаемой МГД-системой уравнений. Через инварианты найденной группы были выражены автомодельные переменные, позволившие упростить исходную систему уравнений

и получить так называемую фактор-систему. Затем была найдена группа допускаемая полученной фактор-системой.

В третьей главе проводится проверка адекватности математической модели и тестирование эффективных вычислительных методов, реализованных в гидродинамическом модуле ANSYS.CFX. Этот модуль рассматривается как средство вычислительного эксперимента. Математическая модель в виде системы уравнений МГД в этом комплексе потребовала привлечения определенного числа физических гипотез, правомерность которых, как и всей методики в целом, достигается путем сопоставления с экспериментальными (или расчетными) данными. При этом может возникнуть принципиальная трудность: методика в целом, как результат совместного действия различных процессов, может давать удовлетворительное совпадение с экспериментальными (или с уже существующими расчетными) данными, хотя каждый из процессов в отдельности может быть описан неверно. Поэтому, наряду с проверкой метода в целом, необходима проверка адекватного описания отдельных процессов - с одной стороны гидродинамических, с другой стороны - магнитогидродинамических. Для решения первой задачи были проведены расчеты турбулентных струйных течений и дано сопоставление этих расчетов с опытом. После этого была проведена проверка работоспособности комплекса при решении магнитогидродинамической задачи. В качестве таковой рассмотрено стационарное течение в плоскопараллельном канале при наличии постоянного магнитного поля, направление которого перпендикулярно скорости потока. Эта задача, впервые рассмотренная Гартманом, достаточно хорошо изучена и при определенных допущениях имеет аналитическое решение. Именно с этим решением и сопоставлялись результаты тестовых расчетов. Заключительным этапом проверки корректности решения магнитогидродинамической задачи было сравнение расчитанных значений с реально наблюдаемыми в эксперименте. Для этого производилось моделирование турбулентного течения жидкого металла (ртути) в однородном магнитном поле.

В четвёртой главе на основе проведенного численного моделирования показано, что сложный характер взаимодействия гидродинамического и электромагнитного полей обуславливает необходимость рассмотрения достаточно упрощенных моделей, которые, однако, физически непротиворечивы и правильно описывают основные закономерности изучаемых явлений. Рассмотрена модельная задача о течении проводящей жидкости в МГД-насосе.

В пятой главе рассмотрено численное моделирование индуцированного магнитного поля в условиях, соответствующих максимальному эффекту взаимодействия гидродинамического и электромагнитного полей. Таких условий в общем случае два - линейное (осевое) магнитное поле при круговом движении проводящей жидкости, а также тороидальное магнитное поле при прямолинейом движении жидкости. Именно эти варианты направления полей лежали в основе постановок рассмотренных задач. В первом случае рассмотрена задача о течении проводящей жидкости в кольцевом зазоре двух соосных цилиндров. При этом задавалось радиальное электрическое поле и либо однородное (осевое), либо тороидальное, магнитное поле. Во втором случае рассматривались задачи о взаимодействии кругового движения проводящей жидкости и однородного магнитного поля.

В шестой главе проведен асимптотический анализ уравнений, описывающих пульсационную структуру турбулентного течения несжимаемой жидкости вблизи шероховатой стенки. Общепринятые вязкий подслой и буферная зона объединены в единую область, охваченную турбулентным движением. Помимо этой зоны, рассмотрена еще одна область, прилегающая к поверхности, и размер которой сопоставим с высотой естественной шероховатости. Для этой области получены приближенные уравнения для компонент тензора напряжений Рейнольдса и найдены их решения. Отличные от нуля пульсационные составляющие скорости трактуются как составляющие скорости вихря, образовавшегося вследствие обтекания бугорка шероховатости. Рассмотрено также течение проводящей жидкости вблизи шероховатой стенки при наличии вертикального однородного магнитного поля. При этом использованы результаты

вычислительного эксперимента, описанного в главе 3, в результате которого установлено, что круговое движение проводящей жидкости в однородном магнитном поле приводит к появлению индуцированного пространственного магнитного поля. Найдено распределение вблизи стенки составляющей этого поля, направленной по потоку.

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено в 27 печатных работах, в том числе 15 в научных изданиях, соответствующих списку, утвержденному ВАК.

В работах, опубликованных в соавторстве с В.А. Павловским

- Моделирование турбулентности в струйном течении с помощью гидродинамического модуля ANSYS.CFX Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 10. 2013. Выпуск 1. С 42-49.

- Расчет течения проводящей жидкости в щелевом зазоре с помощью ANSYS.CFX. Морские интеллектуальные технологии. №4, 2015. С. 56-69.

- Численное моделирование течения проводящей жидкости в канале квадратного сечения. Морские интеллектуальные технологии. №2, 2016. С. 48-51.

- Численное моделирование турбулентного течения ртути в однородном магнитном поле. Морские интеллектуальные технологии. №4, 2016. С. 105-108.

B.А. Павловский принимал участие в анализе полученных результатов.

C.Ю Маламанов ставил задачи, проводил численные эксперименты и анализировал полученные результаты.

В работах, опубликованных в соавторстве с В.А. Павловским и Д.П. Хитрых.

- Numerical simulation of variations in the geomagnetic field of the Earth. 20th International Workshop on Beam Dynamics and Optimization BDO IVESC-ICEE-ICCTPEA-BDO-2014,

- Numerical simulation of flow in the MHD pump 20th International Workshop on Beam Dynamics and Optimization BDO IVESC-ICEE-ICCTPEA-BD0-2014,

В.А. Павловский принимал участие в анализе полученных результатов.

Д.П. Хитрых принимал участие в проведении расчетов и обсуждении полученных результатов.

С.Ю Маламанов ставил задачи, проводил численные эксперименты и анализировал полученные результаты.

Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ. 1.1 Постановка задач.

В книге А.А. Самарского и А.П. Михайлова «Математическое моделирование» [107] указано: «... сущность математического моделирования состоит в замене исходного объекта его образом - математической моделью - и дальнейшем изучении модели ... Сама постановка вопроса о математическом моделировании какого-либо объекта порождает чёткий план действий. Его можно условно разбить на три этапа: модель - алгоритм - программа.» Рассмотрим эти основные этапы.

Вначале выбирается (строится) математическая модель. На этом этапе, как правило, решаются две задачи: создание математической модели и её исследование. Разные по сути, эти задачи глубоко взаимосвязаны, поскольку при создании модели следует учитывать возможности её изучения, а при исследовании может появиться необходимость уточнения построенной модели. Сама модель (или её части) исследуется теоретическими методами для получения важных предварительных знаний об объекте и понимания существа происходящих процессов. Но это

необходимое понимание не всегда является достаточным и во многих случаях требуются более точные количественные данные, что, безусловно, приводит к усложнению модели.

Второй этап - выбор (или разработка) алгоритма для реализации модели на компьютере.

На третьем этапе создаётся программа, «переводящая» модель и алгоритм на понятный компьютеру язык.

И в завершении процесса создания эту триаду проверяют на адекватность исходному объекту. При этом производится сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными и точными решениями в области применимости последних.

В настоящей работе под объектом понимается взаимодействие гидродинамического и электромагнитного полей. Математической моделью служат уравнения магнитной гидродинамики, уравнения которой представляют собой законы сохранения в дифференциальной форме. Это очень важное обстоятельство учтено на втором этапе - разработке алгоритма и построения эффективного численного метода. Дело в том, что в применяемой системе компьютерного моделирования ANSYS.CFX искомая переменная находится из решения соответствующего уравнения, которое рассматривается как конкретный частный случай обобщённого закона сохранения. Это позволяет написать общую последовательность операций для решения этого обобщённого уравнения, при создании программы. При этом в алгоритм заложено строгое выполнение интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии во всей расчетной области. Подобная реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде расчётного комплекса позволила получить достаточно универсальный инструмент, с помощью которого можно проводить вычислительные эксперименты по моделированию течений жидкостей и газов, процессов тепло- и массообмена, реагирующих и многофазных потоков и пр. Не так

давно, в 2005-2006 гг., добавились новые возможности в виде расчета течений проводящей жидкости, находящейся в электромагнитном поле. Таким образом, численным моделированием с помощью комплекса ANSYS оказались охвачены практически все разделы современной прикладной физики. Не менее важным аспектом является возможность создавать пользователю свой собственный макрос, учитывающий индивидуальные особенности исследуемой проблемы, с последующим присоединением его к основному модулю программы.

В дальнейшем, в результате моделирования, возможно уточнение и улучшение всех составляющих триады. В этой связи рассмотрим некоторые способы упрощения математической модели, основанные на её свойствах симметрии. Симметрия является одним из фундаментальных свойств природы. Её наличие у изучаемого явления (процесса) означает большую простоту, по сравнению с несимметричным аналогом. Именно на этом факте базируются способы упрощения математических моделей. Характерный пример использования симметрии - это анализ размерностей и так называемая я-теорема [107], применение которой уменьшает число величин, участвующих в описании объекта исследования. Значительную помощь в получении информации об исследуемом явлении может оказать анализ так называемых инвариантных решений. Определение вида этих решений основано на групповых свойствах дифференциальных уравнений. Наиболее известными инвариантными решениями являются автомодельные решения. Известно, что большинство дифференциальных уравнений остаются инвариантными (неизменными) при определённых преобразованиях, входящих в них зависимых и независимых величин. Если эти преобразования удовлетворяют определённым условиям (образуют группу), тогда дифференциальное уравнение может быть упрощено. При этом или уменьшается число независимых переменных, или понижается порядок уравнения. Этот более общий подход основан на групповом методе изучения модели [107]. Такого рода упрощения очень важны не только с математической точки зрения. Как правило, дифференциальные уравнения, встречающиеся при рассмотрении прикладных задач, содержат произвольные функции и параметры, которые не строго

определены. С другой стороны, желательно, чтобы уравнения, описывающие некоторое явление были достаточно простыми. Критерием простоты может быть требование, чтобы произвольный элемент был такого вида, при котором данное дифференциальное уравнение допускает наиболее широкую группу преобразований [50].

Как было отмечено во введении, максимальный эффект взаимодействия гидродинамического и электромагнитного полей достигается при взаимной перпендикулярности векторов скорости потока и индукции магнитного поля. В наиболее общем случае таких вариантов два - линейное магнитное поле при круговом движении проводящей жидкости, а также тороидальное магнитное поле при прямолинейном движении жидкости. Во втором случае наиболее явно проявляется масштабный фактор магнитогидродинамических процессов, который приводит к значительным затратам времени счета и памяти при численном решении задачи. Рассмотрение кругового движения позволяет значительно уменьшить масштаб и с единых позиций рассмотреть природу взаимодействия электромагнитного поля с макро- и микро- гидродинамическими течениями. Под последними понимается течение около шероховатой поверхности, при котором происходят срывы потока с вершин бугорков шероховатости и возникновении в промежутках между ними циркуляционных зон. Расчет течения в подобных зонах является крайне сложной задачей, поэтому в данном случае целесообразно применять другой метод математического моделирования - это метод возмущений, в частности, метод сращиваемых асимптотических разложений.

Актуальность проводимых исследований можно сформулировать в виде перечня основных задач:

1. Проведение группового анализа системы МГД-уравнений вязкой несжимаемой проводящей жидкости для дальнейшей редукции и оптимизации нахождения инвариантных решений.

2. Апробация вычислительного комплекса ANSYS.CFХ на тестовых МГД -течениях. Сравнение результатов численного моделирования с экспериментально наблюдаемыми данными.

3. Проведение вычислительного эксперимента, направленного на изучение взаимодействия гидродинамического и электромагнитного полей в условиях, обеспечивающих максимальный эффект этого взаимодействия.

4. Изучение турбулентного течения вблизи плоской шероховатой поверхности как при наличии внешнего магнитного поля, так и в его отсутствии.

1.2. Основные сведения об уравнениях магнитной гидродинамики.

Магнитная гидродинамика (МГД) - это наука, возникшая на стыке дисциплин - гидродинамики и классической электродинамики. Как и в механике сплошных сред, используется макроскопическое понятие о жидкости и газе, которые рассматриваются как непрерывные среды, их молекулярная структура не учитывается. Непрерывность среды предполагает, что в любом малом объеме содержится очень большое число частиц. При рассмотрении процессов, связанных с воздействием магнитного и электрического полей на вещество, магнитная гидродинамика не рассматривает электронную структуру вещества и базируется на макроскопических представлениях Фарадея-Максвелла. Фарадей положил начало исследованию электромагнитных процессов, происходящих в проводящей жидкости. В 1832 году он прочёл лекцию «Земная магнитоэлектрическая индукция», в которой прогнозировал появление электрического тока, обусловленного движением воды в магнитном поле Земли [119]. В нашей стране пионером подобных исследований был Миронов А.Т., который обнаружил удивительную способность рыб реагировать на электрические поля в море [72,73].

В настоящее время научно-технический прогресс вызвал необходимость многопланового комплексного изучения и освоения природных ресурсов, находящихся в воде и на дне морей и океанов, поскольку около 70% земной поверхности покрыто водой, большей частью - морской. Физико-химические свойства воды в сочетании с ее непрерывным, охватывающим всю толщу движением, порождает большое разнообразие связанных и взаимообусловленных явлений. Составной частью этой глобальной проблемы является изучение гидрофизических и магнито-гидродинамических процессов в море, носящих как научный, так и сугубо прикладной характер. Актуальны следующие задачи: создание электромагнитных систем связи; навигация подводных аппаратов; поиск полезных ископаемых на дне морей и океанов в том числе в пределах берегового шельфа; создание аппаратуры для изучения и измерения электрического и магнитного полей в воде; исследование электрических явлений в море для определения их связи с другими физическими процессами; изучение магнитогидродинамических процессов, возникающих из-за движения морской воды в магнитном поле Земли и многие другие. В Мировом океане выделяют три части: материковый шельф глубиной до 200 метров и шириной около 70 километров; материковый склон - переходная зона от мелководий к глубинам порядка 3 километров и шириной около 90 километров и глубоководную часть океана с глубинами от 3-х до 11 километров. Интересы большинства из вышеуказанных проблем сосредоточены в первой и второй частях. Состояние воды зависит от плотности, температуры и солености. Последние сильно изменяются по глубине и акватории Мирового океана. Помимо этого, сложную картину движения морской воды порождают ветровые и внутренние волны, морские течения, приливы, волны цунами.

Движение морской воды, как проводящей жидкости, находящейся в геомагнитном поле, является источником электрического и магнитного полей. Это поле зависит от многих факторов. К основным относятся: вид гидродинамического источника (поверхностное волнение, внутренние и гидроакустические волны, цунами, подводные землетрясения и взрывы [1, 28, 44, 45, 48, 51-53, 109, 110, 112,

117, 118, 142, 160,] и др.), электрическая проводимость как самой воды (изменяющаяся в зависимости от температуры, солености и широты места), так и проводимость дна, учитывая изменение рельефа. С одной стороны, эти поля могут быть помехами при приеме сигналов в воде от передающего устройства, с другой - по их параметрам можно определять характеристики движения морской воды, вызванные как естественными, так и техногенными факторами. Кроме индуцированных полей от морского источника, существуют поля ионосферного происхождения [24, 26]. Эти поля широко используются в геофизике для изучения электрических свойств Земли. В этой связи изучение индуцированного магнитного поля, обусловленного движением морской воды, представляет несомненный интерес, т.к. позволяет определить параметры ее течения и решать задачу идентификации объекта, вызвавшего изменение магнитного поля.

Здесь уместно провести краткую классификацию электромагнитного поля Мирового океана. Это поле представляет собой совокупность полей различного происхождения, формирующихся внешними и внутренними источниками. Внешние источники обуславливают магнитотеллурические поля, порождаемые разнообразными физическими процессами в ионосфере, магнитосфере, атмосфере и в недрах Земли. Внутренние источники генерируют поля за счет гидродинамических движений. Из указанных двух типов полей, к настоящему времени наиболее полно изучены поля внешних источников. Менее изучены - поля гидродинамического происхождения, содержащие полезную информацию как о самом источнике, так и о его параметрах. Кроме этого, эти поля обладают информацией об электрических свойствах придонных, донных и глубинных пород. Все это позволяет считать указанные электромагнитные поля перспективными для проведения разведочного зондирования (от дна - до десятков километров вглубь) на акваториях, для выявления строения осадочного чехла и поиска полезных ископаемых на шельфе [3, 37]. Помимо этого, гидродинамические факторы являются основой электрохимических и электрокинетических процессов. Стоит упомянуть и об электросейсмическом эффекте, обнаруженном впервые в 1939 году А.Г. Ивановым - появлении разности

потенциалов между точками пористой среды, расположенными на различных расстояниях от источника упругих волн (т.е. места землетрясения, в том числе и подводного) [37, 38]. Именно этот факт открыл возможность для получения при геофизических исследованиях качественно новой информации, которая может быть использована как при исследованиях строения дна океана в геофизике, так и при физическом (электромагнитном) мониторинге геодинамических и иных процессов, протекающих в горной местности [22], на поверхности и в недрах Земли. Именно эти обстоятельства стимулировали интерес геофизиков к данной проблеме и побудили провести в последние 10-20 лет исследования, направленные на изучение ее различных аспектов [3]. Теория этого явления впервые была развита Я.И. Френкелем [121].

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Маламанов Степан Юрьевич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамова Л.М., Митрофанов В.Н., Скрябин С.А. О вертикальной составляющей напряженности электрического поля, индуцируемого движением морской воды. В кн.: Морские электромагнитные исследования. М.: ИЗМИРАН СССР, 1975. - С. 3-10.

2. Абрамович Г.Н., Крашенинников С.Ю., Секундов А.Н. Турбулентные течения при воздействии объёмных сил и неавтомодельности. - М.: Машиностроение, 1975. - 183 с.

3. Агеев О.А., Светов B.C., Шерман Г.Х., Шипулин С.В. Сейсмо-электрический эффект второго рода в горных породах (поданным лабораторных исследований) // Геология и геофизика,1999, т. 40, No 8. - С. 1251-1257.

4. Андреев В. К., Бекежанова В. Б. О решении со свободным параметром уравнений конвекции в вертикальном цилиндре при объемном прогреве // ПММ, 2013. Т. 77. - Вып. 6. - С. 832-841.

5. Андреев В. К., Бекежанова В. Б. Устойчивость неизотермических жидкостей (обзор) // ПМТФ, 2013. Т. 54. № 2. - С. 3-20.

6. Андреев В. К., Кузнецов В. В. Движение жидкой плёнки и газового потока в микроканале с испарением //Теплофизика и аэромеханика, 2013. Т. 20. № 1. -С. 17-28.

7. Андреев В. К., Лемешкова Е. Н. Эволюция термокапиллярного движения трех жидкостей в плоском слое // Прикладная математика и механика. - 2014. Т. 78, № 4. - С. 485-492.

8. Андреев В. К., Черемных Е. Н. "Совместное ползущее движение трех вязких жидкостей в плоском слое: априорные оценки и сходимость к стационарному режиму", Сиб. журн. индустр. матем. - 2016. Том 19, №1, - С. 3-17.

9. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.И., Пухначёв В.В. Современные математические модели конвекции. - М.: ФИЗМАИЛИТ, 2008. - 368 с.

10. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначёв В.В., Родионов А.А. Применение теоретико - групповых методов в гидродинамике. - Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1994. - 319 с.

11. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Инвариантные свойства основных систем уравнений механики неоднородных жидкостей// ПММ, 2011, Т.75, №4. - С. 551-562.

12. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Инвариантные свойства уравнений движения стратифицированной жидкости // Доклады РАН, 2002, Т.387, №6. - С. 760763.

13. Биркгоф Г. Гидродинамика. - М., 1957. - 183 с.

14. Богоявленский О. И. Точные глобальные равновесия плазмы //УМН. 2000. Т. 55. - С. 63-102.

15. Брагинский С.И. К магнитной гидродинамике слабо проводящих жидкостей// ЖЭТФ. 1959. Т.37, вып.5(11). - С.1417-1430.

16. Будилов И.Н., Лукащук Ю.В. Моделирование магнитно-гидродинамических процессов в промышленных электролизерах с помощью ANSYS// ANSYS Solution. Инженерно-технический журнал. Русская редакция. Осень 2007. -С.13-18.

17. Будилов И.Н., Лукащук Ю.В. Моделирование течений в ванне алюминиевого расплава в ванне электролизера методом конечных элементов// Вестник УГАТУ. Машиностроение. 2007. Т.9, №1(19). - С.133-139.

18. Буль О.Б. Методы расчета магнитных систем электрических аппаратов. Программа ANSYS: учеб. Пособие для студ. высших учеб. Заведений - М.: Издательский центр «Академия», 2006. - 288 с.

19. Ван - Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. /пер. с англ. - М.: Мир, 1967. - 310 с.

20. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитогидродинамические течения в каналах. - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы. 1970. - 672 с.

21. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. - М.: Издательство МФТИ, 1997. - 240 с.

22. Вышинский В.В., Зудов К.А., Кудров М.А., Стасенко А.Л. Физико-математи ческая модель атмосферных процессов, происходящих в окрестности горного аэродрома // Математическое моделирование. 2015. Т. 27. № 3. С. 20-32.

23. Генин Л.Т., Краснощекова Т.Е. Течение электропроводящей жидкости в трубе в продольном магнитном поле// Магнитная гидродинамика, 1982, №3, - С. 57 - 62.

24. Геомагнитные возмущения от импульсных источников: Монография/ под ред. Т.А. Семеновой. М.: НИЯЦ МИФИ, 2009. - 420 с.

25. Головин С. В. Регулярные частично инвариантные решения дефекта 1 уравнений идеальной магнитогидродинамики // ПМТФ. 2009. Т. 50, № 2. - С. 5-15.

26. Гульельми А.В. Ультранизкочастотные электромагнитные волны в коре и магнитосфере Земли // УФН. 2007. Т.177. №12. - С. 1257 -1276.

27. Дородницын В.А. Об инвариантных решениях одномерной нестационарной магнитной гидродинамики с конечной проводимостью. Препринт № 143. - М.: ИПМ АН СССР, 1976.

28. Жмур В.В. О вариациях электромагнитных полей, индуцированных океаническими движениями синоптического масштаба // Геомагн. и аэроном.1980. XX. №4. - С 693-700.

29. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений (учебное пособие к спецкурсу). - Л.: ЛГПИ, 1989. - 80 с.

30. Зайцев В.Ф. Линчук Л.В. Дифференциальные уравнения (структурная теория) часть 1. - СПб.; ООО «Книжный Дом», 2008. - 128 с.

31. Зайцев В.Ф. Линчук Л.В. Дифференциальные уравнения (структурная теория) часть 2. - СПб.; ООО «Книжный Дом», 2009. - 100 с.

32. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Л.: ЛИИАН, 1991. - 240 с.

33. Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006. - 384 с.

34. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. - М.: Наука. 1983. -280 с.

35. Ибрагимов Н.Х. Законы сохранения в гидродинамике// ДАН СССР. 1973. Т.210, №6. - С.1307 - 1309.

36. Ибрагимов Н.Х., Руденко О.В. Принцип априорного использования симмет-рий в теории нелинейных волн // Акустический журнал, 2004, т. 50, №4, - С. 1

- 15.

37. Иванов А.Г. Эффект электризации пластов Земли при прохождении через нее упругих волн / / Докл. АН СССР, 1939, т. 24, № 1. - С. 41-43.

38. Иванов А.Г. Сейсмоэлектрический эффект второго рода / / Изв. АН СССР, Сер. география и геофизика, 1940, № 5, - С. 699-727.

39. Иевлев В.М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред.

- М.: Наука, 1975. - 255 с.

40. Капитанский Л. В. Групповой анализ уравнений Навье-Стокса и уравнений Эйлера // Докл. РАН. 1978. Т. 243. № 4. - С. 901-904.

41. Качин О.С., Серов А.Б. Исследование режимов работы вентильного электропривода с помощью приложений ANSYS// CADFEM REVIEW. 2014. №1. -С.17 - 21.

42. Кирко И.М., Кирко Г.Е. Магнитная гидродинамика. Современное видение проблем. - М.- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2009. - 632 с.

43. Кистович А.В., Чашечкин Ю. Д. Регулярный метод поиска дискретных сим-метрий моделей физических процессов // Доклады РАН 2001. Том 380, №6. -С. 747-760.

44. Конторович В.М. Магнитная гидродинамика океана. В кн.: Вопросы магнитной гидродинамики и динамики плазмы. Рига: Изд-во АН Латв. ССР, 1962. -С. 171-177.

45. Конторович В.М. О магнитогидродинамическом эффекте в океане //Докл. АН СССР. Сер. геофиз. 1961.137. № 3. - С. 576-579.

46. Котельников В.А., Николаев А.М. Основы радиотехники. Часть 1. - М.: Государственное изд-во литературы по вопросам связи и радио, 1950. - 371 с.

47. Котельников В.А., Николаев А.М. Основы радиотехники. Часть 2. - М.: Государственное изд-во литературы по вопросам связи и радио, 1954. - 307 с.

48. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. - М.: Мир, 1984. - С. 320.

49. Куликовский А. Г. О движениях с однородной деформацией в магнитной гидродинамике // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120, № 5. - С. 984 - 986.

50. Лагно В.И., Самойленко А.М. Групповая классификация нелинейных эволюционных уравнений. 1. Инвариантность относительно полупростых групп локальных преобразований // дифференциальные уравнения. 2002. том 38, №3. -С.365-372.

51. Лапшин В.Б. Об использовании в океанологии электромагнитных полей, индуцированных волнами Россби // Геомагн. и аэроном. 1978. ХУШ. №4. - С. 753-755.

52. Лейбо А.Б., Семенов В.Ю. Электромагнитное поле, индуцированное волновым движением жидкости // Геомагн. и аэроном. 1975. XV. № 2. - С. 231-234.

53. Лейбо А.Б., Семенов В.Ю., Фонарев Г.А. Расчет магнитных полей, индуцируемых волнами в глубоком море с учетом вязкости воды. В кн.: Геомагнитные исследования. Вып. 16. М.: Наука, 1975. - С. 30-34.

54. Маламанов С.Ю. Асимптотическая модель турбулентного течения вблизи поверхности// Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 10. Выпуск 4, 2013. - С. 42-48.

55. Маламанов С.Ю. Зарождение индуцированного магнитного поля при течении проводящей жидкости вдоль шероховатой поверхности во внешнем однородном магнитном поле // Дифференциальные уравнения и процессы управления. № 3, 2016. - С.52-56.

56. Маламанов С.Ю. Моделирование вынужденных колебаний шара в проводящей среде// «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в

области физики» 57-я научная конференция МФТИ с международным участием, посвященная 120-летию со дня рождения П.Л. Капицы. 2014 г.

57. Маламанов С.Ю. Моделирование индуцированного магнитного поля в движущейся проводящей жидкости. Труды LXVШ Международной конференция «Герценовские чтения - 2015».

58. Маламанов С.Ю. Об изменении характеристик электромагнитного поля, вызванных движением находящейся в нем проводящей жидкости // Математическое моделирование. 2016 год. Том 28. №9. - С. 64-72.

59. Маламанов С.Ю. Поиск группы преобразований, допускаемой системой уравнений, описывающей движение вязкой несжимаемой проводящей жидкости // Дифференциальные уравнения и процессы управления. № 4, 2016. - С. 145155.

60. Маламанов С.Ю. Поиск фактор-системы уравнений магнитной гидродинамики // Дифференциальные уравнения и процессы управления. № 3, 2016. -С.42-51.

61. Маламанов С.Ю. Расчет течения в МГД-насосе// Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 10. Выпуск 1, 2015. - С.94-99.

62. Маламанов С.Ю. Факторизация уравнений морской электродинамики // Дифференциальные уравнения и процессы управления. № 3, 2017. - С. 37-45.

63. Маламанов С.Ю. Численное моделирование всплеска электромагнитного поля, вызванного круговым движением проводящей жидкости // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2016. № 2. - С. 121-134.

64. Маламанов С.Ю. Численное моделирование задач о силовом взаимодействии гидродинамического и электромагнитного полей // Математическое моделирование. 2015 год. Том 27. №11. - С. 56-62.

65. Маламанов С.Ю., Павловский В.А. Моделирование турбулентности в струйном течении с помощью гидродинамического модуля ANSYS.CFX// Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 10. 2013. Выпуск 1. - С. 42-49.

66. Маламанов С.Ю., Павловский В.А. О расчете турбулентной струи. Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС. Межвузовский сборник научных трудов. 2007 г.

67. Маламанов С.Ю., Павловский В.А. Расчет течения проводящей жидкости в прямолинейном канале квадратного сечения // Морские интеллектуальные технологии. 2016. том 1. № 2(32). - С. 48-51.

68. Маламанов С.Ю., Павловский В.А. Расчет течения проводящей жидкости в щелевом зазоре с помощью ANSYS.CFX // Морские интеллектуальные технологии. № 4, том 2, 2015. - С. 56-69.

69. Маламанов С.Ю., Павловский В.А. Численное моделирование турбулентного течения ртути в однородном магнитном поле // Морские интеллектуальные технологии. 2016. Том 1. № 4(34). - С. 105-108.

70. Маламанов С.Ю., Павловский В.А., Хитрых Д.П. Некоторые аспекты моделирования МГД-течений в ANSYS.CFX // CADFEM REVIEW. Выпуск 2, 2015. -С. 43-45.

71. Мещерякова Е. Ю., Пухначев В. В. Интегрируемые модели вращательно-сим-метричного движения идеальной несжимаемой жидкости // Докл. РАН. 2007. Т. 412, № 2. - С. 188-192.

72. Миронов А.Т. Об изучении электрических токов в море. // Журнал геофизики. 1936. №6. Вып.5. - С.474-484.

73. Миронов А.Т. Электрический ток в море и действие тока на рыбу. // Труды МГИ. 1948. Вып.1. - С.56-74.

74. Мустаев А. Ф., Хабиров С В. Винтовые движения газа, инвариантные относительно равномерного движения системы отсчета //ПММ. 2001. Т. 65, № 5. - С. 854-861.

75. Найфэ А. Методы возмущений. - М.: Мир. 1976. - 456 с.

76. Наумов Н. Д. О неустановившихся движениях с однородной деформацией в магнитной гидродинамике // ЖТФ. 2001. Т. 71. - С. 37-41.

77. Новожилов В. В., Павловский В. А. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости. - СПб: СПбГУ, 2013. - 483 с.

78. Новожилов В.В. Установившиеся турбулентные течения в свете обобщенной теории Кармана// ПММ, том 47, вып., 4, 1983. - С.694 - 700.

79. Овсянников Л. В. Изобарические движения газа // Дифференциальные уравнения. 1994. № 10. - С. 1792-1799.

80. Овсянников Л. В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики // Новосибирск. Преп. / СО РАН, Ин-т гидродинамики. 1997. № 3. - 97 с.

81. Овсянников Л. В. Некоторые итоги выполнения программы «ПОДМОДЕЛИ» для уравнений газовой динамики // ПММ. 1999. Т. 63, № 3. - С. 362-372.

82. Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т. 333, № 6. - С. 702 - 704.

83. Овсянников Л. В. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 3. - С. 45 - 52.

84. Овсянников Л. В. Программа подмодели // Новосибирск. Преп. / СО РАН, Инт гидродинамики. 1992. №1. - 92 с.

85. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика //ПММ. 1994. Т. 58, № 4. - С. 30-55.

86. Овсянников Л. В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения // Докл. РАН. 1995. Т. 343, № 2. - С. 156-159.

87. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

88. Овсянников Л.В. Некоторые задачи, возникшие в групповом анализе дифференциальных уравнений// Динамика сплошной среды. - Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1974. Вып.18. - С.211- 239.

89. Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры. - В кн.: Задача о неустановившемся движении со свободной границей. - Новосибирск: Наука. Сиб. Отд., 1967. - С.3 - 75.

90. Овсянников Л.В., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений в механике. - «Итоги науки и техники. Общая механика», М., 1975. Т.2. - С.5 - 52.

91. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. - М.: Мир, 1989. - 637 с.

92. Павлов В.А Физический механизм уменьшения сопротивления за счет слабой ионизации пограничного слоя при обтекании тела дозвуковым потоком. Вестник СПбГУ 2010, Сер.4, Вып.2, С.16-22.

93. Павлов В.А. Кинематическая модель стримера длинной искры. Автомодельное описание эволюции стримера. Прикладная механика и техническая физика. 2010. Т.51, №6, С.31-41.

94. Павлов В.А., Тихомиров Н.П. Электродинамика: Учебное пособие. - Л.: Изд. ЛГУ. 1991. - 254 с.

95. Павлов С.И., Якович А.Т. Multiphysics: Многодисциплинарное моделирование металлургических магнитогидродинамических технологий// САО/САМ/САЕ 0bserver.2009. №3 (47). - С.61 - 69.

96. Паркер Ю.Н. Беседы об электрических и магнитных полях в космосе/пер. с англ. Н. Зубченко, Д. Соколов, М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. - 208 с.

97. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с.

98. Прикладная магнитная гидродинамика: Учебное пособие по теоретическому курсу/. Под ред. В.Н. Тимофеева, Е.А. Головенко - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2007.

99. Пухначев В. В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006. Т. 4, № 1. - С. 6-76.

100. Ромишевский Е.А., Стасенко А.Л. Упражнения и задачи по электричеству и магнетизму. Ч. 1. Электростатика и электрические токи: Учебное пособие. -М.: МФТИ. 2003. - 176.

101. Ромишевский Е.А., Стасенко А.Л. Упражнения и задачи по электричеству и магнетизму. Ч. 2. Стационарное магнитное поле: Учебное пособие. - М.: МФТИ. 2006. - 122 с.

102. Ротта И. К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. / пер. с англ. И. Д. Желтухина, Н. А. Сергиевского, под ред. Ю. Ф. Иванюты. Л.: Судостроение, 1967. - 232 с.

103. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. - М.: Наука, 1975, - 297 с.

104. С. Спитан, Э. Бааке, А. Якович, С. Павлов Новый подход к сопряженному моделированию физических процессов при проектировании электротехнологических установок для получения сверхчистых сплавов// CAD/CAM/CAE Observer. 2014. №5 (89). - С.73-80.

105. Савченко В.Н., Смагин В.П., Фонарев Г.А. Вопросы морской электродинамики: Монография. - Владивосток: Изд-во ВГУЭиС, 1999. - 208 с.

106. Салич В.Л. Математическое моделирование рабочего процесса камеры ракетного двигателя малой тяги на кислородно-водородном топливе// CAD/CAM/CAE 0bserver.2015. №7 (99). - С.31-36.

107. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры, - 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

108. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М., 1987. - 447 с.

109. Семкин С.В., Смагин В.П., Савченко В.Н. Генерация возмущений магнитного поля при подводном взрыве// Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2010. Т. 46. №1. - С. 138 - 141.

110. Семкин С.В., Смагин В.П., Савченко В.Н. Магнитное поле инфразвуковой волны в океаническом волноводе// Геомагнетизм и аэрономия. 2008. Т. 48. №3.

- С. 332-339.

111. Сивухин Д.В. Общий курс физики в 5 т. Т.3 Электричество: Учебное пособие.

- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 2009. -656 с.

112. Сочельников В.В. Основы теории естественного электромагнитного поля в море. Л.: Гидрометеоиздат, 1979. -216 с.

113. Стишков Ю.К., Елагин И.К. Моделирование нестационарных электрогидродинамических течений в симметричной системе электродов типа провод -провод// ЖТФ.2005. Т.75, вып.9. - С.15-19.

114. Суслов А. Г., Корсакова И. М. Назначение, обозначение и контроль параметров шероховатости поверхностей деталей машин. - М.: Изд-во Моск. гос. Инта управления, 2010. - 112 с.

115. Тамм И.Е. Основы теории электричества: Учебное пособие для вузов. - 11-е изд., исп. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 616 с.

116. Тананаев А.В. Течение в каналах МГД - устройств. - М.: Атомиздат, 1974. -384 с.

117. Трофимов И.Л. К изучению электромагнитного поля, вызванного движением в безграничном море // Геомагн. и аэроном. 1979. XIX. № 1. - С. 126-134.

118. Трофимов И.Л. Электромагнитное поле слоя, содержащего стороннюю электродвижущую силу // Геомагн. и аэроном. 1978. XVIII. № 4. - С. 719-723.

119. Фарадей М. Экспериментальные исследования по электричеству. - М.: Изд. АН СССР, 1947. - 848 с.

120. Фонарев Г. А. Электрическое поле морских волн. В кн.: Геомагнитные исследования. Вып. 13. М.: Наука, 1971. - С. 39-42.

121. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве / / Изв. АН СССР. Сер. геогр. И геофиз. 1944. т. 8 N0 4. - С. 133-15.

122. Френкель Я.И. Электродинамика. Том 1. Общая теория электричества. ОНТИ, 1934. - 428с.

123. Фриш П. Г. Турбулентность: Подходы и модели. - Изд. 2-е, испр. И доп. - М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. - 332 с.

124. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. - Киев: Наукова думка, 1989. - 336 с.

125. Харкевич А.А. Основы радиотехники. - 3-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 512 с.

126. Цинобер А.Б. Магнитогидродинамическое обтекание тел. ЗИНАТНЕ. Рига, 1970. - 291с.

127. Чашечкин Ю. Д. Иерархия моделей классической механики неоднородных жидкостей // Морской гидрофизический журнал. 2010. №5. - С. 3-10.

128. Чашечкин Ю.Д., Байдулов В.Г. Сравнительный анализ симметрий основных моделей механики неоднородных жидкостей: Учебное пособие. - М.: ИПМех. РАН, 2013. - 80 с.

129. Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики. - М.: Мир, 1967. - 280 с.

130. Эльзассер В.М. Магнитная гидродинамика// УФН. 1958. ТХХГУ, вып.3. -С.530 - 586.

131. Юн А.А. Теория и практика моделирования турбулентных течений. - М.: Книжный дом «Либроком». 2009. - 272 с.

132. Andreev V. K. The 2D motion of perfect fluid with a free surface // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 2015. Vol. 8 (1). - P. 3-6.

133. Andreev V. K. Unsteady 2D motions a viscous fluid described by partially invariant solutions to the navier-stokes equations // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 2015. Vol. 8 (2). -P. 140-147.

134. Andreev V. K., Cheremnykh E. N., "2D thermocapillary motion of three fluids in a flat channel", Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2016. Vol.9. №4. - Р. 404-415.

135. Andreev V. K., Ryzhkov I. I. On thermocapillary instability of a liquid column with a co-axial gas flow // J. of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 2013. Vol. 6. № 1. - P. 3-17.

136. Andreyev V. K., Lemeshkova Ye. N. The evolution of the thermocapillary motion of three fluids in a plane layer// PMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2014. Vol. 78, № 4. - P. 341-347.

137. Baake E., Spitans S., Jakovics A. New technology for electromagnetic levitation melting of metals. Proceedings of International Symposium on Heating by Electromagnetic Sources (HES-13, May 21-24, 2013). Padua (Italy), 2013, Addendum. - Р. 1-8.

138. Bekezhanova V. B., Andreev V. K. On the instability of convective flow in cylinder and possible secondary regimes// Fluid Dyn. Res. 2014. Vol. 46, № 4.

139. Bogoyavlenskij O. I. Exact unsteady solutions to the Navier-Stokes and viscous MHD equations / / Phys. Lett. A. 2003. Vol. 307, №.5-6. - P. 281-286.

140. Bogoyavlenskij O. I. Symmetry transforms for ideal magnetohydrodynamics equilibria // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. № 5.

141. Cowling T. G. Magnetohydrodynamics. Interscience Publishers, New York -London. 1957.

142. Cox C.S., Filloux J.H., Larsen J.C. Electromagnetic studies of ocean Currents and electrical conductivity below the ocean-floor. - In.: The sea. N.Y.: Interscience, 1971, v. 4, part. 1. - P. 637-693.

143. Donato A., Oliveri F. Reduction to autonomous form by group analysis and exact solutions of axisymmetric MHD equations / / Mathematical and Computer Model ling. 1993. Vol. 18, № 10. - P. 83- 90.

144. Fuchs J. C, Richter E. W. Similarity solutions for the two-dimensional non-stationary ideal MHD equations // Journal of Physics A: Mathematical and General 1987. Vol. 20, № 11. - P. 3135 - 3157.

145. Fuchs J. C Symmetry groups and similarity solutions of MHD equations // J. Math. Phys. 1991. Vol. 32. - P. 1703 - 1708.

146. Galas F. Generalized symmetries for the ideal MHD equations //Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 63. - P. 87 - 98.

147. Galas F., Richter E. W. Exact similarity solutions of ideal MHD equations for plane motions // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1991. Vol. 50. - P. 297 -307.

148. Golovin S. V. Invariant solutions of the singular vortex in magnetohydrodynamics / / J. Phys. A: Math. Gen. 2005. Vol. 38. - . 8169 -8184.

149. Golovin S. V. Partially invariant solutions to ideal magnetohydrodynamics / / IMA volumes in mathematics and its aplications. 2008. Vol. 144. - P. 367 -381.

150. Golovin S. V. Singular vortex in magnetohydrodynamics / / J. Phys. A: Math. Gen. 2005. Vol. 38. - P. 4501 - 4516.

151. Grundland A. M., Lalague L. Lie subgroups of symmetry groups of fluid dynamics and magnetohydrodynamics equations / / Canad. J. Phys. 1995. Vol. 73. - P. 463 - 477.

152. Khlybov O. A., Ryzhkov I. I., Lyubimova T. P. Contribution to the benchmark for ternary mixtures: Measurement of diffusion and Soret coefficients in 1, 2, 3, 4-tetrahydronaphthalene, isobutylbenzene, and dodecane onboard the ISS // European Physical Journal E. 2015. Vol. 38 (4). - P. 45-52.

153. Lie Group Analysis of Differential Equations. Edited by N. H. Ibragimov Volume 3. New trends in theoretical developments and computational methods. CRC Handbook, 1996.

154. Malamanov S.Y., Pavlovsky V.A., Khitrykh D.P. // Numerical modeling of mag-netohydro-dynamic flow in the channel. 20th International Workshop on Beam Dynamics and Optimization BDO IVESC-ICEE-ICCTPEA-BDO-2014.

155. Malamanov S.Y.,Pavlovsky V.A., Khitrykh D.P.// Numerical simulation of variations in the geomagnetic field of the Earth. 20th International Workshop on Beam Dynamics and Optimization BDO IVESC-ICEE-ICCTPEA-BDO-2014.

156. Menter F.R. Zonal two Equation «k - ©» Turbulence Models for Aerodynamics Flows. AIAA 93-2906.

157. Nikuradse J., «Gezetzmassigkeiten der turbulenten Stromung in glatten Rohren». - VDI - Vorschungheft. № 356, 1932.

158. Pesteanu O., Baake E. The multicell VOF method for free surface simulation of MHD flows. Part I. Mathematical model. Part II: Experimental verifications and results. ISIJ International, 2011, Vol. 51, № 5. - P. 707-721.

159. Picard P. Y. Some exact solutions of the ideal MHD equations through symmetry reduction method / / J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 337. - P. 360 - 385.

160. Pukhtyar L. D., Kukushkin A. S. Investigation of the Electromagnetic Fields Induced by Sea Motion // Physical Oceanography. 1996. Vol. 7. №2 1. - P. 33 - 41.

161. Rodionov A. A. A hydrostatic model for an ideal fluid: Group properties of equations and their solutions // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 2015. Vol. 8 (3). - P. 320-326.

162. Ryzhkov I. I., Stepanova I. V. On thermal diffusion separation in binary mixtures with variable transport coefficients // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2015. Vol. 86. - P. 268-276.

163. Ryzhkov I. I., Tsarev S. P. Onset of convection in a two-phase binary mixture with the Soret effect in weightlessness // Physics of Fluids. 2015. Vol. 27 (7). - P. 21-27.

164. Speziale C.G., Sarkar S., Gatski T.B. Modeling the Pressure - Stain Correlation of Turbulence// J.Fluid Mech. 1991. Vol. 227. - P. 245 - 272.

165. Takahashi M. Recent Research Activities on Liquid Metal MHD Phenomena in Japan. APEX-6/FHPD Workshop. February 16-19. 1999.

166. Tassi E. V., Titov S., Hornig G. Exact solutions for magnetic annihilation in curvilinear geometry / / Phys. Lett. A. 2002. Vol. 302, №. 5-6. - P. 313 - 317.

167. Tassi E. V., Titov S., Hornig G. New classes of exact solutions for magnetic re-connective annihilation / / Phys. Lett. A. 2003. Vol. 315, № 5. - P. 382 -388.

168. Wygnanski J., Fieldler H. Some measurements in the self - preserving jet. // J. Fluid Mech. 1969. Vol. 38, № 3. - P. 577- 612.