Исследование электромагнитных и гидродинамических процессов в электромагнитных измерителях вектора скорости жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.05, кандидат технических наук Камалетдинов, Азат Зуфарович

• Камалетдинов, Азат Зуфарович
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Камалетдинов, Азат Зуфарович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА ПЕРВАЯ. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗМЕРИТЕЛЯ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ЖИДКОСТИ

1.1 Особенности конструкции датчика электромагнитного измерителя скорости жидкости

1.2 Основное уравнение теории электромагнитного измерения скорости жидкости. Формулировка задачи

1.3 Выбор метода решения задачи

1.4 Методы расчета гидродинамической задачи

1.4.1 Расчет обтекания тела вращения при произвольном движении в идеальной жидкости

1.4.1.1 Интегральный метод

1.4.1.2 Конечно-разностный метод

1.4.2 Методы расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое

ГЛАВА ВТОРАЯ. РАСЧЕТ ПОЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ЖИДКОСТИ

2.1 Уравнение движения идеальной несжимаемой жидкости в произвольной криволинейной системе координат

2.1.1 Интегральный метод расчета обтекания тела идеальной жидкостью

2.1.2 Конечно-разностный метод расчета обтекания

тела идеальной жидкостью

2.2 Расчет течения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое

2.2.1 Конечно-разностный метод расчета пространственного ламинарного пограничного слоя

2.2.2 Метод последовательных приближений

2.3 Выводы по второй главе

ГЛАВА ТРЕТЬЯ. РАСЧЕТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПЕРВИЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ 3.1 Цилиндрическая магнитная система измерителя

продольной составляющей скорости жидкости

3.2 Магнитная система измерителя поперечной составляющей скорости жидкости

3.3 Магнитная система измерителя продольной составляющей скорости жидкости

3.4 Выводы по третьей главе

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНДУЦИРОВАННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

4.1 Общие положения

4.2 Результаты расчетов

4.2.1 Первичный преобразователь с одной магнитной системой

4.2.2 Первичный преобразователь с двумя магнитными системами

4.3 Алгоритм расчета параметров потока жидкости по

данным, полученным от датчиков

4.4 Выводы по четвертой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 140 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗМЕРИТЕЛЯ СКОРОСТИ ЖИДКОСТИ

Функциональная схема электромагнитного

измерителя скорости жидкости

Принципиальная схема ЭМИС

Устройство управления

Генератор тока

Измерительный преобразователь

Электромагнитный датчик скорости 156 Градуировка электромагнитного измерителя

скорости жидкости 157 Экспериментальные исследования электромагнитного

измерителя скорости жидкости

Выводы

Акт внедрения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование электромагнитных и гидродинамических процессов в электромагнитных измерителях вектора скорости жидкости»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Задачи освоения и добычи полезных ископаемых на шельфе и в глубинах океана связаны с разработкой навигационных систем подводных аппаратов. Важнейшими элементами этих систем являются измерители скорости и направления движения судна. Измерители, в которых используется кинетическая энергия потока [15], обладая рядом достоинств, подвержены механическому износу и засорению. Термоанемометры [13,18,28,88] и лазерные измерители скорости [39,63] пригодны для измерений лишь в совершенно чистой воде. Времяпролетные средства измерений скорости водного потока [25] характеризуются трудоемкостью измерений. Ультразвуковые измерители скорости [2,75] применяются в лабораторных условиях, а вихревые преобразователи предназначены для измерения очень малых скоростей потока. Наиболее приспособленными для определения скорости и направления движения судна являются электромагнитные измерители скорости (ЭМИС) [21,36,37,46,65]. Высокая механическая прочность и стабильность характеристик, относительная простота конструкции, отсутствие движущихся частей, малое возмущение потока жидкости, электрический выходной сигнал первичного преобразователя делают перспективным применение их в навигационных системах подводных аппаратов.

Однако сложность физических процессов и связанное с этим отсутствие методик расчета первичных преобразователей, удовлетворяющих конкретным требованиям, сдерживает широкое применение ЭМИС. Поэтому диссертационная работа, посвященная исследованию электромагнитных и гидродинамических процессов в

электромагнитных измерителях скорости жидкости, является безусловно актуальной.

Целью работы является исследование электромагнитных и гидродинамических процессов в электромагнитных измерителях скорости для разработки методики расчета характеристик ЭМИС, удовлетворяющих требованиям создаваемых навигационных систем подводных аппаратов.

Для достижения указанной цели требуется решить следующие задачи:

- исследование гидродинамических процессов в пространстве, окружающем датчик скоррсти жидкости;

- создание методики расчета магнитных систем первичного преобразователя ЭМИС;

- создание методики расчета индуцированного электрического поля, позволяющей определить характеристики первичного преобразователя ЭМИС;

- разработка рекомендаций для проектирования электромагнитных измерителей скорости и направления движения тел в жидкости.

Методы исследований. Исследование обтекания тела вращения вязкой несжимаемой жидкостью проводилось с использованием численных методов - интегрального и конечно-разностного. Теоретическое исследование магнитного поля первичного преобразователя проводилось с использованием метода собственных функций. Для исследования индуцированного электрического поля использовался конечно-разностный метод.

Научная новизна работы состоит в том, что поставлены и решены задачи исследования гидродинамических и электромагнитных процессов в электромагнитных измерителях вектора скорости потока

жидкости, на основе которых создана методика расчета характеристик ЭМИС.

Основными научными результатами работы являются:

математическая модель первичного преобразователя электромагнитного измерителя вектора скорости жидкости;

- методика расчета пространственного поля распределения индуцированного электрического потенциала для первичных преобразователей ЭМИС при произвольном их положении в потоке жидкости.

Практическая ценность» Разработанные методика расчета характеристик первичных преобразователей ЭМИС, а также алгоритмы и программы определения скоростей возмущенного потока несжимаемой жидкости позволяют на стадии проектирования проводить исследования влияния параметров первичного преобразователя и рабочей среды на характеристики измерителя скорости. Методика реализована с применением современных вычислительных средств. Использование разработанного программного обеспечения позволяет сократить сроки проектирования новых электромагнитных измерителей скорости, а также в ряде случаев отказаться от изготовления опытных образцов и проведения дорогостоящих экспериментальных исследований. Разработаны рекомендации по проектированию электромагнитных измерителей вектора скорости тела в жидкости.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на 6-ой конференции молодых ученых и специалистов МЭИ (г.Москва, 1989 г.);

на Республиканской научно-технической конференции "Повышение эффективности сварки и упрочнения материалов" (г.Казань, 1991 г.);

- на 2-ой Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (г.Казань, 1996 г. ).

- на итоговой научной конференции Казанского филиала МЭИ (г.Казань, 1997 г.).

Публикации. Материалы, отражающие основное содержание диссертации, опубликованы в шести печатных трудах.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, и приложения, содержит 167 страницы основного текста, 54 рисунка, 5 таблиц, включает список использованной литературы из 92 наименований.

В первой главе проведен анализ особенностей конструктивного исполнения датчиков электромагнитного измерителя скорости с точки зрения их потенциальных возможностей и возмущений вносимых в поток жидкости, получено основное уравнение теории электромагнитного измерения скорости жидкости, а также сформулированы задачи исследования. Приводится анализ методов решения гидродинамических и электромагнитных задач. Для численного решения пространственных уравнений гидродинамики выбраны методы интегральный и конечно-разностный.

Для измерения вектора скорости движения тела в жидкости наиболее целесообразно использовать датчик в виде кругового цилиндра, продольная ось которого совпадает с направлением движения тела. Основным уравнением теории электромагнитного измерения скорости жидкости является уравнение Пуассона для электрического потенциала. Сущность задачи об ЭМИС состоит в следующем: определив распределение скорости проводящей жидкости и распределение приложенного магнитного поля, требуется найти возникающие электрические эффекты, и в частности, связать разность потенциалов

между двумя или более точками (электродами) со скоростью и направлением потока жидкости.

Из основного уравнения теории электромагнитного измерения скорости видно, что для определения поля распределения электрического потенциала необходимо решить три задачи:

а) расчет поля распределения скорости жидкости;

б) расчет магнитного поля;

в) расчет индуцированного электрического потенциала.

В общем случае, при произвольных углах крена и атаки, все три задачи являются пространственными.

В данной работе пространственное течение вязкой несжимаемой жидкости моделируется при помощи численного решения уравнений идеальной жидкости и пограничного слоя. Физически это соответствует тому, что вязкими членами пренебрегают и учитывают их влияние только вблизи поверхности.

Таким образом, ставится следующая задача: необходимо определить распределение индуцированного электрического потенциала для различных вариантов исполнения датчиков скорости при различных скоростях и направлениях, набегающего на тело потока вязкой несжимаемой жидкости, и разработать рекомендации по проектированию электромагнитных измерителей скорости и направления течения жидкости.

Для численного решения пространственных уравнений гидродинамики наиболее разработанными и перспективными являются метод конечных элементов и конечно-разностный метод. Использование дискретной сетки из непрямоугольных ячеек в методе конечных элементов позволяет лучше аппроксимировать криволинейные границы и особенно удобно в случае областей сложной формы. Так как в данной работе рассматривается физическая область следующей формы:

цилиндрическое тело с произвольной формой обтекателя, границы которого можно легко ' описать конечно-разностной сеткой при использовании криволинейной системы координат, то для решения поставленной задачи целесообразно выбрать конечно-разностный метод. Наряду с конечно-разностным методом для расчета течения идеальной жидкости используется также интегральный метод.

Расчет магнитного поля выполняется спектральным методом. Результаты расчета переводятся из цилиндрической системы координат в систему координат, связанную с линиями тока, для использования в последующем решении уравнения Пуассона для индуцированного электрического потенциала.

Для расчета пространственного распределения электрического потенциала используется конечно-разностный метод и система координат, связанная с линиями тока внешнего идеального течения.

Во второй главе рассматриваются методы расчета поля распределения вектора скорости идеальной несжимаемой жидкости в произвольной системе координат и вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое.

Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается нелинейными уравнениями Навье-Стокса в частных производных. В настоящее время аналитическое решение этих уравнений получено лишь для простейших видов течения, а решения численными методами используются только для ограниченного круга задач. Поэтому в работе рассмотрены предельные случаи - уравнения идеальной жидкости и пограничного слоя. Физически это соответствует тому, что вязкими силами пренебрегают и учитывают их влияние только вблизи поверхности тела.

Расчет обтекания тела вращения при произвольном движении в идеальной жидкости выполняется интегральным методом. Решение

основного интегрального уравнения, после введения новой переменной функции, определяется в конечном числе дискретных расчетных точек поверхности тела итерационным методом. Основной трудностью является вычисление несобственных интегралов в уравнениях и формулах для скоростей и потенциалов. Несобственные интегралы вычисляются с помощью замены переменных.

Распределение скорости несжимаемой вязкой жидкости в пограничном слое можно найти из решения уравнений пространственного пограничного слоя, записанных в произвольной криволинейной системе координат. Система уравнений пограничного слоя записывается в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения жидкости. Для численного решения системы уравнений используется метод последовательных приближений.

На основе методик, описанных в данной главе, разработаны программы расчета обтекания тела вращения вязкой несжимаемой жидкостью.

В третьей главе приводится методика расчета магнитных систем первичных преобразователей ЭМИС.

В виду сложности расчета трехмерного магнитного поля, создаваемого комбинацией магнитных систем, предполагаем, что магнитные поля, возбуждаемые первой и второй магнитными системами, не влияют друг на друга, и расчет этих полей проводится раздельно.

Магнитное поле описывается уравнениями Лапласа и Пуассона относительно векторного потенциала. Результаты работы, приведенные в этой главе, были положены в основу методики расчета и оптимизации параметров магнитных систем первичных преобразователей ЭМИС.

В четвертой главе решена задача расчета поля распределения индуцированного электрического потенциала вокруг датчика электромагнитного измерителя скорости и направления потока жидкости.

Распределение индуцированного электрического потенциала вокруг датчика скорости жидкости определяется из решения трехмерного уравнения Пуассона, записанного в произвольной криволинейной системе координат. Для определения граничных условий используется уравнение плотности тока проводимости. Численное решение задачи о распределении электрического потенциала вокруг электромагнитного датчика скорости выполняется конечно-разностным методом. Для определения потенциала применяется метод расщепления, основанный на сведении сложной задачи к последовательности более простых.

В данной главе разработана методика и на ее основе составлена программа расчета характеристик первичного преобразователя электромагнитного измерителя вектора скорости проводящей жидкости, разработаны алгоритм и вычислительная программа обработки выходных сигналов трехкомпонентного электромагнитного датчика.

Даны рекомендации по проектированию и конструированию электромагнитных измерителей скорости и направления движения тела в потоке жидкости.

В приложении описан измеритель скорости жидкости с локальным магнитным полем трапецеидальной формы. Функциональная схема включает в себя устройство управления, генератор тока, датчик, измерительный преобразователь. В приложении представлены принципиальные схемы всех узлов измерителя скорости, описан способ проведения экспериментальных исследований на стенде и приведены результаты этих опытов.

Основные положения, выносимые на защиту :

- математическая модель первичного преобразователя ЭМИС;

- методики, алгоритмы и программы расчета:

а), пространственного обтекания тел вращения вязкой несжимаемой жидкостью;

б), магнитных систем первичных преобразователей;

в), характеристик первичных преобразователей электромагнитных измерителей скорости и направления движения тела в жидкости;

- рекомендации по проектированию электромагнитных измерителей вектора скорости тела в жидкости.

ГЛАВА ПЕРВАЯ. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗМЕРИТЕЛЯ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ЖИДКОСТИ

Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается нелинейными уравнениями Навье-Стокса в частных производных [7]. В настоящее время аналитические решения этих уравнений получены лишь для простейших видов течения жидкости, а решения численными методами используются только для ограниченного круга задач. Это вызвано тем, что необходимо использовать очень мелкую сетку, а возможности современных ЭВМ не соответствуют тем требованиям, которые к ним предъявляются при рассмотрении пространственных задач. Поэтому в работе рассмотрены предельные случаи - уравнения идеальной жидкости и пограничного слоя. Физически это соответствует тому, что вязкими силами пренебрегают и учитывают их влияние только вблизи поверхности тела. Решение уравнений идеальной жидкости выполняется двумя методами: конечно-разностным методом, позволяющим получить результаты с высокой точностью, но за счет увеличения машинного времени, и интегральным методом, где с уменьшением времени счета увеличивается погрешность. Распределение скорости жидкости в пограничном слое определяется из решения уравнений пограничного слоя. Сложность физических процессов, происходящих в пространственном пограничном слое, определяет и методы интегрирования уравнений пограничного слоя. Система уравнений пограничного слоя записывается в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения идеальной жидкости. Для численного решения этих уравнений используется метод последовательных приближений.

1.1. ОСОБЕННОСТИ КОНСТРУКЦИИ ДАТЧИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗМЕРИТЕЛЯ СКОРОСТИ

ЖИДКОСТИ

Можно выделить два способа конструктивного исполнения электромагнитного измерителя скорости движения судна [65]:

1. Измерители скорости, датчики которых встроены в корпус судна. Недостаток этих устройств как корабельного лага состоит в том, что индуцированный сигнал в большей степени зависит от некоторой средней скорости воды в пограничном слое относительно корпуса, нежели от более высокой скорости корабля относительно невозмущенного потока.

2. Измерители скорости, датчики которых вынесены за пределы корпуса судна. В этом случае возмущение, вносимое судном в поток жидкости, не будет оказывать существенного влияния на индуцированный сигнал, величина которого пропорциональна скорости движения судна относительно невозмущенного потока.

В зависимости от предназначения конструкция датчика скорости, выносимого в поток за пределы корпуса судна, может иметь различные формы, размеры, способы крепления магнитной системы и электродов. Для измерения скорости движения судна в море, когда кроме основного направления и скорости движения самого аппарата надо учитывать направление и скорость морских течений, наиболее целесообразно использовать датчик в виде кругового цилиндра, продольная ось которого совпадает с направлением движения судна (при отсутствии течения).

Конструкция одного из вариантов такого датчика скорости с полусферическим обтекателем представлена на рис. 1.1. На ферромагнитный цилиндр с высокой магнитной проницаемостью 1

Рис, 1,1 Конструкция электромагнитного датчика скорости жидкости

нанесена обмотка 2 таким образом, что плоскопараллельное магнитное поле содержит радиальную и тангенциальную составляющие. Электроды 3, 4 для снятия потенциала размещены при 9 = -90° и 9- 90°. Вторая магнитная система представляет собой ферромагнитный цилиндр 5 с пазами, в которые уложена обмотка 6. Электроды 7, 8 размещены при 9 = -90°и 9= 90°, а электроды 9, 10 - при <9=0° и 0= 180°. Поток жидкости, набегающий на датчик, характеризуется следующими параметрами: У0 - скорость невозмущенного потока жидкости вдали от

тела, V - кинематическая вязкость жидкости. Положение датчика скорости в потоке жидкости определяется углами атаки и крена. Примем, что угол атаки а - угол между вектором скорости У0 и осью г, а угол крена /? - угол между проекцией вектора У0 на плоскость х(Уу и осью х.

Предполагается, что датчик скорости, конструкция которого приведена на рис. 1.1., позволяет измерять одновременно три составляющие скорости движения судна в море. Напряжение, снимаемое с электродов 3 и 4 , должно быть пропорционально продольной составляющей скорости потока жидкости, а напряжения [У78 и 1/910 -

должны быть пропорциональны поперечным составляющим скорости.

1.2. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ ЖИДКОСТИ. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Сущность задачи об электромагнитном измерителе скорости состоит в следующем: дано распределение скорости проводящей жидкости и известно распределение приложенного магнитного поля; требуется найти возникающие электрические эффекты, и в частности

связать разность потенциалов между двумя или более точками (электродами) со скоростью и направлением потока жидкости.

Следует отметить, что здесь умышленно пренебрегается двумя эффектами, связанными с движением проводящей жидкости в магнитном поле, а именно влиянием индуцированных токов на распределение поля и воздействием объемных электромагнитных сил, связанных с этими токами, на движение жидкости. Эти два эффекта имеют значение только для жидких металлов [83].

Жидкость предполагается немагнитной с магнитной проницаемостью, равной проницаемости вакуума. Далее предполагается, что жидкость подчиняется закону Ома, т.е. вектор плотности тока параллелен электрическому полю в системе координат, движущейся с жидкостью. Проводимость считается изотропной и независящей от магнитного поля или движения жидкости, так что эффект Холла исключается. Будем предполагать, кроме того, что можно пренебречь изменениями проводимости и термоэлектрическими эффектами вследствие неоднородности температуры. Токами за счет переноса заряда при движении жидкости также можно пренебречь, так как такой заряд, определяющий дивергенцию электрического поля, всегда очень мал.

Итак, мы принимаем, что плотность тока в жидкости подчиняется закону Ома в форме

Л = <т-(У х В + Е), (1.1)

где ,1 - вектор плотности тока; а - проводимость жидкости; (У х В + Е)

- электрическое поле в движущейся с жидкостью системе отсчета (релятивистские члены опущены), Е - электрическое поле в неподвижной системе координат, V - скорость жидкости, В - магнитная индукция.

При низких частотах и отличной от нуля проводимости мы можем пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости. Достаточным для этого условием является неравенство mis«), где ет- частота изменения скорости жидкости или магнитного поля, s-диэлектрическая проницаемость.

Исключение из уравнения Максвелла тока смещения SDjdt и отражающего самоиндукцию члена дЪjdt. дает

rot Е = 0, (1.2)

rot В = juJ. (1.3)

Из уравнения (1.2) видно, что можно обычным путем определить электрический потенциал (р:

E = -gradf. (1.4)

При постоянной <т из уравнения (1.1), учитывая соотношения (1.4) и divJ = 0 получаем уравнение Пуассона

VV = div(VxB). (1.5)

Это основное уравнение электромагнитного измерения скорости, которое вместе с соответствующими граничными условиями позволяет найти распределение <р по заданным распределениям V и В.

Раскрывая div(V х В), можно переписать (1.5) в виде

V V = В - rotV - V • rot В. (1.6)

Последний член может быть опущен, если магнитное поле не сильно искажено индуцированными токами в жидкости ( так что имеем rotB = 0), а также когда эти токи перпендикулярны скорости жидкости.

Тогда

V2(p = B-rotV. (1.7)

Из основного уравнения теории электромагнитного измерения скорости (1.7) видно, что для определения поля распределения электрического потенциала необходимо решить три задачи:

а) расчет поля распределения скорости жидкости;

б) расчет магнитного поля;

в) расчет индуцированного электрического потенциала.

ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ, ПРИНИМАЕМЫЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТОВ

В общем случае, при произвольных углах крена и атаки, все три задачи являются пространственными. Однако в виду того, что магнитная система 1 (см. рис.1.1) имеет протяженный ферромагнитный сердечник, а электроды 3 и 4 расположены на относительно большом расстоянии от концов сердечника, можно сделать следующие допущения: магнитное поле, создаваемое магнитной системой 1, является плоскопараллельным, и концевые эффекты не учитываются. Потоки рассеяния магнитной системы 5 являются также несущественными, и можно рассмотреть лишь осесимметричную задачу для магнитного поля. Примем еще одно допущение. В виду сложностей расчета трехмерного магнитного поля, создаваемого комбинацией магнитных систем, предположим, что магнитные поля, возбуждаемые первой и второй магнитной системами, не влияют друг на друга, и расчет этих полей проводится независимо.

При расчете электрического поля не будем учитывать наличие точечных электродов на поверхности датчика.

Решения полной пространственной системы уравнений Навье-Стокса трудно получить с удовлетворительно точным разрешением для

ЭВМ настоящего поколения. В связи с этим в данной работе пространственное течение вязкой несжимаемой жидкости моделируется при помощи численного решения уравнений идеальной жидкости и пограничного слоя. Физически это соответствует тому, что вязкими членами уравнений пренебрегают и учитывают их влияние только вблизи поверхности.

Рассмотрим датчики скорости цилиндрической формы с различными обтекателями, разными магнитными системами и их комбинациями, с различными расположениями электродов и экранов.

Таким образом, ставится следующая задача: необходимо определить распределение индуцированного электрического потенциала для различных вариантов исполнения датчиков скорости при различных скоростях и направлениях набегающего на тело потока вязкой несжимаемой жидкости, и разработать рекомендации по проектированию электромагнитных измерителей скорости и направления течения жидкости.

1.3. ВЫБОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Выбор метода численного решения математической задачи зависит от многих факторов. В настоящее время для решения задач аэрогидро динам и ки применяются такие методы:

а), интегральные;

б), панелей и дискретных вихрей;

в), конечно-разностные;

г), конечных элементов;

д). спектральные и другие.

Интегральные методы и метод интегральных соотношений сыграли важную роль в развитии численных методов для ЭВМ первого

поколения. В настоящее время в практике расчетов эти методы используются гораздо меньше, хотя фи решении ряда задач, например в системах автоматизированного проектирования, они являются полезными [6].

В дозвуковой и околозвуковой аэродинамики нашел свое применение метод дискретных вихрей и панелей [57].

Широкое применение нашел метод "крупных частиц" [43]. Метод конечных элементов используется при решении ряда задач аэрогидродинамики. К преимуществам метода можно отнести то, что с его помощью граничные условия вычисляются автоматически. При решении сложных задач построение и изменение сеток является трудоемким. При алгоритмизации задачи используется достаточно сложная матричная алгебра, что обуславливает трудности при построении алгоритмов.

Примеры использования спектральных методов в решении задач аэрогидродинамики можно привести только для отдельно взятых задач с простой геометрией течения. Спектральные методы нашли применение для исследования перехода ламинарного течения в турбулентное [19].

В настоящее время конечно-разностные методы являются наиболее разработанными и перспективными для решения задач пространственной аэрогидродинамики [7,35,92].

Из всех перечисленных методов для численного решения пространственных уравнений гидродинамики можно рекомендовать только метод конечных элементов [27,30] и конечно-разностный метод [50]. Использование дискретной сетки из непрямоугольных ячеек в методе конечных элементов позволяет лучше аппроксимировать криволинейные границы и особенно удобно в случае областей сложной формы. Так как в данной работе рассматривается физическая область следующей формы: цилиндрическое тело с произвольной формой

обтекателя, границы которого можно легко описать конечно-разностной сеткой при использовании криволинейной системы координат, то для решения поставленной задачи целесообразно выбрать конечно-разностный метод.

Однако наряду с конечно-разностным методом для расчета течения идеальной жидкости будем использовать и интегральный метод. Необходимость данного решения будет объяснена немного ниже.

Выбор конкретных численных методов для расчета гидродинамической задачи и расчета поля распределения индуцированного электрического потенциала и выбор системы координат, в которой будет решаться задача, тесно между собой взаимосвязаны.

Самой трудоемкой частью в поставленной задаче является расчет пространственного пограничного слоя. Поэтому, исходя из условия как можно большего облегчения этого решения, выберем систему координат, связанную с линиями тока внешнего невязкого течения. Как будет видно из последующего изложения, расчет пространственного слоя в этой системе координат выполняется наиболее простым способом. Однако, в этом случае решение уравнений идеальной жидкости может быть выполнено конечно-разностным методом лишь при использовании другой криволинейной системы координат или же интегральным методом, которому отдается предпочтение по следующим причинам:

а) для дальнейших расчетов необходимо знать величины скоростей только на поверхности тела, а интегральный метод позволяет это сделать с наименьшими затратами машинного времени и с относительно высокой точностью;

б) для учета эффекта вытеснения необходимо проводить повторные расчеты течения идеальной жидкости для тела с измененной

на толщину вытеснения формой; применение конечно-разностного метода требует построения новой системы координат, а интегральный метод перестраивается легко для тел любой формы.

Для расчета пространственного пограничного слоя используются конечно-разностный метод и метод последовательных приближений [72,73], основанный на решении интегро-дифференциальных уравнений. Первый метод позволяет выполнять расчеты с высокой точностью, но с излишними затратами машинного времени, второй метод при использовании первого приближения дает аналитическое решение, однако при этом с уменьшением времени счета увеличивается погрешность. Поэтому, для единичных расчетов с наибольшей возможной точностью используется конечно-разностный метод, а для серийных расчетов течения в пространственном пограничном слое применяется метод последовательных приближений.

Расчет магнитного поля выполняется спектральным методом [9,10,16]. Результаты расчета переводятся из цилиндрической системы координат в систему координат, связанную с линиями тока, для использования в последующем решении уравнения Пуассона для индуцированного электрического потенциала.

Для расчета пространственного распределения электрического потенциала используется конечно-разностный метод и система координат, связанная с линиями тока внешнего идеального течения. Применение конечно-разностного метода объясняется его простотой и высокой точностью в ущерб машинному времени счета, а также тем, что в результате использования конечно-разностного метода определяются величины индуцированных электрических потенциалов во всех точках области расчета. Применение других методов расчета, в данном случае из-за того, что решение гидродинамической задачи получается конечно-

разностными методами, по всей вероятности, не даст хорошего результата.

1,4» МЕТОДЫ РАСЧЕТА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ

ЗАДАЧИ

1.4.1. Расчет обтекания тела вращения при произвольном движении в идеальной жидкости

1.4.1.1. Интегральный метод

Если У1 , У2 , Уз - проекции вектора V поступательной скорости твердого тела на связанные с телом оси координат х, у, г, то для потенциала возмущенных скоростей жидкости можно записать

з ¡=1

Для определения каждого из трех единичных потенциалов Фг{х,у,г) требуется решить внешнюю задачу Неймана

, дФ.

V Ф. =0; —

дп

0 = (1-8)

с нулевыми условиями на бесконечности. Здесь

Г/ - скорость точек поверхности тела в соответствующем простом

движении;

0} - поверхность, ограничивающая твердое тело; и - нормаль к поверхности со, направленная внутрь жидкости. Если решение искать в виде потенциала простого слоя

Ф!(Р) = -\\,щ(0)

dm

(1.9)

R

то граничное условие (1.8) приводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно интенсивности слоя ц

Уравнение (1.10) имеет единственное решение, если поверхность со принадлежит к классу поверхностей Ляпунова.

Продольная ось х декартовой системы координат х, у, z с ортами i,j,k совпадает с осью симметрии тела вращения. Начало координат

помещается в носке тела (рис. 1.2). Наряду с декартовой системой рассматривается система цилиндрических координат х, г, 9 {у-г- cos9, z= г- siné?). Расчетная точка Р получает координаты х, г, в , текущая точка Q - координаты ¿f, р, и :

R = (jc-• ¡ + (г■ cos0-p-cosL>)-j+(r-sin 9-p sin t>)-k.

Для скорости точек поверхности тела при его произвольном поступательном движении можно записать

2едН + Я = (1.10)

R

где Р - произвольная расчетная точка; О - текущая точка поверхности со ;

R = QP

¥ = -V1-i-V2-j-V3-k.

(1.11)

Уравнение образующей тела вращения г = г(х) представляется в

параметрическом виде:

г = r(.v); х = jc(s),

я &

Ь О О M

t=r

ÍS

5ГР

0

с?

го (ТЭ

er

S

К S

я

t CD

01 pa

CD «

4 X

tb»

tr

w s ж со

w

11 fr«

ю

11 еч

ÍT О СП

Ut

s

Pi

с

со т. s

а

о

о

35 g

в о s

ri

С4

о

где .у - длина дуги образующей, отсчитываемая от начала координат. Значение параметра $, характеризующее текущую точку Q поверхности

тела, обозначается буквой д.

Для представления дифференциальных элементов поверхности вводятся обозначения:

, дг t дх /л

= = (1-12)

os os

Элемент площади поверхности равен dco — r-ds-dO. В каждой точке поверхности тела вращения вводится связанная с этой точкой прямоугольная система координат, единичные векторы которой равны:

и = r'Í4-Jt'cos#-j + x'-sín#k; t = x'-i + r'cos0j-r'-siné?k; (1.13)

b = -sin0-j + cos0-k,

где n - нормаль; вектор t направлен по касательной к образующей в сторону увеличения длины дуги s; вектор Ъ лежит в поперечной плоскости и образует с п и t правую систему координат. В результате подстановок основное интегральное уравнение (1.10) принимает вид:

L

2Kfr (.V, в) = V,- ■ n(.v, в) -¡¡;* Mi (S, и) X

(1.14)

{х'г-г\х-^)-х 'pcos(# - v)]pdó d и

X

[(х-г) +Г1 +p¿-2rpcos(0-u)]

3/2

где Ь - полная длина дуги образующей от носового точки (х = 0, г = 0) до хвостовой точки (х = Ь, г = 0).

Аналогичные выражения получаются для скоростей и потенциалов.

1.4.1.2. Конечно - разностный метод

Рассмотрим потенциальное течение идеальной жидкости около тел

произвольной формы. В случае безвихревого течения можно ввести потенциал скорости (рж{х}, х2, х31 таким образом:

(/ = 1,2,3),

дх

здесь щ - ко вариантные составляющие вектора скорости.

Потенциальное течение удовлетворяет уравнению Лапласа

\ * V Ж = :

имеет вид:

Ы2<РЖ = о), которое в произвольной криволинейной системе координат

ах ох-*

где = 1 - якобиан преобразования при переходе от декартовой системы координат ук к произвольной криволинейной хг;

£ч - контравариантные компоненты метрического тензора. Граничные условия: (и • п) = 0 - условие непротекания на

поверхности тела и условие симметрии.

Будем считать, что вдали от тела течение представляет

однородный поток, потенциал скорости которого известен и

соответствует набегающему невозмущенному потоку.

Выберем систему координат, связанную с поверхностью тела

таким образом:

х1 ?х2 - координаты на поверхности;

х3 - координата, перпендикулярная к поверхности со. В системе координат, связанной с поверхностью тела, условие непротекания записывается в виде д<рж ¡дх3 = 0. На внешней границе

а) потенциал скорости соответствует невозмущенному потоку.

Решение задачи будем искать в виде суммы двух потенциалов:

<рж=^ + Ф. (1,16)

Здесь (рж является известным потенциалом и соответствует течению невозмущенного потока жидкости. Потенциал для возмущенного потока Ф удовлетворяет уравнению Лапласа (1.15) вместе с граничными условиями, которые получаются при подстановке соотношений (1.16) в граничные условия на теле и вдали от него. На больших расстояниях от тела будем иметь <рж так что граничное

условие для Ф примет вид: Ф -» 0 при х3 -» со.

1.4.2. Методы расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое

Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости около

произвольной гладкой поверхности о, заданной в прямоугольной системе координат у1 (i = 1,2,3). Выберем систему координат так, что

g = 0 - уравнение поверхности, а координаты g и rj выбраны на

поверхности тела. Уравнения трехмерного пограничного слоя для

несжимаемой жидкости имеют вид [80,81,82]:

A{jyu)+A(JZw)+^ = о,

У gu ёч \?22 'V

и ди ц> ди ди

1 О

+ А}и -¡-А2ю +А3ию =

(1.17)

и дчу м! дм> дум

+ Вхи2 + В2м/2 + В3гш =

Граничные условия для этой системы уравнений будут следующие:

и, ч>\ у - составляющие вектора скорости соответственно вдоль осей ¿¡,т},д;

р - давление;

у - кинематическая вязкость.

Запишем систему уравнений (1.17) в безразмерном виде. Отнесем значения скорости и, и», у к характерной величине скорости на бесконечности и:ю , а в качестве масштаба длины выберем длину тела.

Если перейти к безразмерным величинам в соотношениях (1.17), а затем сделать преобразование д = д-т/Кс и V = v■^jRe, то нетрудно заметить,

что уравнения (1.17) явно не будут зависеть от числа Яе:

и-у^ = О, V = О при д = 0; и-> ие, М! при £-»<».

(1.18)

Здесь

и ¿Ш дй _дй — — _->

-=г—+-=г — + у — + Аги ^А^ +

л/£н а? -у!§22

Заключение диссертации по теме «Элементы и устройства вычислительной техники и систем управления», Камалетдинов, Азат Зуфарович

Основные выводы:

1. Разработана математическая модель первичного преобразователя электромагнитного измерителя вектора скорости жидкости.

2. Выполнен выбор методов решения гидродинамической задачи, определения магнитного поля и задачи расчета индуцированного электрического поля.

3. Решена задача определения скорости возмущенного потока несжимаемой вязкой жидкости с использованием положений теории пограничного слоя.

4. Разработана методика расчета магнитных: систем первичных преобразователей.

5. Впервые разработана методика расчета пространственного поля распределения индуцированного электрического потенциала для электромагнитных измерителей вектора скорости различных видов при произвольном положении последних в потоке жидкости.

6. В совокупности разработанные модель и методики позволяют достаточно точно рассчитать характеристики первичных преобразователей электромагнитных измерителей вектора скорости жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Одним из элементов навигационных систем подводных аппаратов является измеритель скорости и направления движения судна. В настоящее время электромагнитные измерители скорости являются наиболее приспособленными для определения скорости и направления движения судна.

На основе численных методов были исследованы гидродинамические и электромагнитные процессы, происходящие в различных электромагнитных цилиндрических датчиках вектора скорости проводящей вязкой жидкости.

Решаемая задача состояла в следующем: определив распределение скорости жидкости и приложенного магнитного поля, требовалось найти возникающие электрические эффекты, в частности, связать разность потенциалов между двумя и более электродами со скоростью и направлением потока жидкости. Для ее решения разработана методика математического моделирования процессов в электромагнитных измерителях скорости жидкости. Пространственное течение вязкой несжимаемой жидкости моделируется при помощи численного решения уравнений идеальной жидкости и пограничного слоя. Расчет обтекания тела вращения при произвольном положении в потоке идеальной жидкости выполняется интегральным методом. Расчет магнитного поля первичного преобразователя выполняется спектральным методом на основе решения уравнений Лапласа и Пуассона относительно векторного потенциала. Распределение индуцированного электрического потенциала вокруг датчика скорости жидкости определяется из решения трехмерного уравнения Пуассона, записанного в произвольной криволинейной системе координат.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Камалетдинов, Азат Зуфарович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Автоматизация построения алгоритмов для задач математической физики / Под ред. В.П.Ильина // Сб.научных трудов. Новосибирск, 1987.

2. Антонов В.Н., Куприянов В.К. Акустический метод измерения скорости морских течений. Севастополь, 1970.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

4. Бабенко К.И. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью // Матем. Сборник, 1973. №1. С.3-26.

5. Бабенко К.И., Васильев М.М. Об асимптотическом поведении стационарного течения вязкой жидкости вдали от тела // ПММ, 1973. Т.37. №4. С.690-705.

6. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982.

7. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984.

8. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985.

9. Болдов Б.А. Характеристики цилиндрического электромагнитного датчика скорости течения жидкости при продольном обтекании. // Сб.науч.трудов Моск.энерг.ин-та, 1986. №85. С.64-69.

10. Болдов Б.А. Расчет характеристик электромагнитного датчика скорости течения жидкости цилиндрической формы при поперечном обтекании. // Межвуз.сб.тр. Моск.энерг.ин-та, 1984. №44. С.58-64.

11. Болдов Б.А., Камалетдинов А.З. Электромагнитный измеритель скорости потока. АС. СССР №1622822 от 22.09.90 г.

12. Болдов Б.А., Камалетдинов А.З. Исследование электромагнитного датчика скорости цилиндрической формы с полусферическим обтекателем.// Техническая электродинамика, 1991. №4. С.36.

13. Болдырева Г.П., Чернов С.Ф. Особенности работы термоанемометра на постоянном токе. //Метрология, 1976. №8. С.31-36.

14. Бреббия К., Теллер Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.

15. Бурцев П.Н., Барышникова М.М. Анализ возможности использования гидрометрических вертушек для работы в турбулентных потоках.// Тр. ГГИ, 1969. Вып.172. С.51-68.

16. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М.: ИЛ,

1961.

17. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.

18. Векторные алгоритмы для решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики / Жидков Е.П., Юлдашева Л.Б., Юлдашев О.И. // Мат.моделирование, 1994. №9. С. 99-116.

19. Годунов С.К. Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Новосибирск: НГУ, 1962.

20. Грей Э., Мэтьюз П.Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. М.: ИЛ, 1953.

21. Гуров В.В., Гусев А.М. Автоматизация научных исследований морей и океанов. Севастополь, 1972.

22. Давнин С.И. Гидроупругость конструкций при отрывном обтекании. Л.: Судостроение, 1976.

23. Дородницын А.А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. // Тр. 3 Всесоюз. мат. съезда. М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т.З. С.447-453.

24. Еремин А.Ю., Марьяшкин Н.Я. Пакет программ FEMS для решения эллиптических краевых задач МКЭ // ВЦ АН СССР, М., 1981. С.50.

25. Железняков C.B. Гидрометрия. М.: Колос, 1972.

26. Зависимость чувствительности МГД-измерителей пульсаций скорости от их конструктивных параметров / Большаков В.В., Дунаевский И.Г., Корсунский JI.M., Повх И.Л. // Магнитная гидродинамика, 1981. №4. С. 120-126.

27. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986

28. Зимин Е.Ф., Кочанов Э.С. Оптимизация электромагнитных измерителей скорости // Техническая электродинамика, 1984. №6. С. 1519.

29. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985.

30. Кадышев В.Г., Сагадеев Р.Г., Стрункин А.Р. Расчет течений вязкой жидкости методом конечных элементов // Изв.вузов. Авиационная техника, 1982. №3. СЛ12-113.

31. Камалетдинов А.З. Расчет характеристик электромагнитного датчика скорости цилиндрической формы с полусферическим обтекателем при произвольном положении в потоке жидкости.// ВИНИТИ, деп.рук. 01.12.89 г. №7162-В89.

32. Камалетдинов A3., Хизбуллин P.A. Электромагнитный измеритель скорости потока жидкости.// Материалы докладов респуб. НТК «Проблемы энергетики». В 4-х частях: Часть 2.1 Тр.Каз.фил.Моск.энерг.института, 1997.

33. Камалетдинов А.З. Электромагнитный измеритель вектора скорости.// Тезисы докладов 2 респуб. научной конференции молодых ученых и специалистов. Кн. 5. Техника и технология. Казань, 1996.

34. Камалетдинов А.З. Математическое моделирование процессов в электромагнитном измерителе скорости потока жидкости.// Измерительная техника, 1997. №8. С.44.

35. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

36. Корсу некий Л.М. Электромагнитные гидрометрические приборы. М.: Изд-во стандартов, 1964

37. Кремлевский П.П. Расходомеры и счетчики количества. М.:: Машиностроение, 1975.

38. Кузьмин В.А. Погрешность измерения интенсивности турбулентных пульсаций скорости потока термоанемометром. // Тр. метролог, ин-тов СССР, 1975. Вып. 157(217). С.96-101.

39. Лазерные доплеровские измерители скорости ./Васил енко Ю.Г., Дубнищев Ю.Н. Новосибирск: Наука, 1975.

40. Ламб Г. Гидродинамика. М.: ОГИЗ, 1948.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

42. Логинов Н.И. Распределение потенциалов в ЭМИС с цилиндрическим магнитом.// Магнитная гидродинамика, 1971. №2. С.128.

43. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,

1980.

44. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,

1989.

45. Маслов Л.А. Произвольное движение продолговатого тела в идеальной жидкости. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1966. № 6.

46. Межбурд В. И. МГД-томография профиля скорости // Магнитная гидродинамика, 1985. №2. С. 118-123.

47. Методика и результаты исследования кондукционных измерительных преобразователей / Дунаевский ИТ., Короткое Б.Н.,

Повх И.Л., Чеплюков В.Г. // Магнитная гидродинамика, 1977. №2. С 119-123.

48. Норри Д., Фриз Ж. Введение в МКЭ. М.: Мир, 1981.

49. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.

50. О применении метода гидродинамических потенциалов к задаче обтекания тела вязкой жидкостью/Васильев М.М., Ефимкин К.Н., Иванова В.Н. // Мат.моделирование, 1994. Т.6. №10.

51. Орлов В.В. Пристеночная турбулентность.Новосибирск: Наука,

1973.

52. Пакеты программ для задач математической физики / Под ред. В.П.Ильина // Сб.научных трудов. Новосибирск, 1985.

53. Повх И.Л. Аэродинамический эксперимент в машиностроении. Л.: Машиностроение, 1974.

54. III III ЭФЕС-3 для решения трехмерных краевых задач / Голубева Л .А., Горбенко Н.И., Ильин В.П., Новиков В.П. // Препринт 561. Новосибирск: АН СССР СЩ ВЦ, 1985. С.30-33.

55. Проблемы вычислительной математики / Воеводин А.Ф., Остапенко В.В. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1995.

56. Ралоцевич Е.А., Урванцев А.Л. Расчет электромагнитных полей МКЭ с помощью 111111 РАМЗЕС-П // Препринт 481. Новосибирск: АН СССР СО ВЦ, 1984. С.27-30.

57. Рожденственский Б.Л., Левитан Ю.Л. О методах численного моделирования турбулентных течений несжимаемой вязкой жидкости // Препр. ин-та приклад, математики. М.: 1979. №14.

58. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1975.

59. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука,

1989.

60. Сегерлинд Л. Применение МКЭ. М.: Мир, 1979.

61. Селянинов М.Г. Расчет и конструирование расходомеров. М.: Машиностроение, 1978.

62. С моля ков A.B., Т качен ко В.М. Измерение турбулентных пульсаций. Л.: Энергия, 1980.

63. Соболев B.C., Шмойдов Н.Ф. Метрологические аспекты лазерной доплеровской анемометрии. // Тез.докл. Первой всесоюз. конф. "Метрология гидрофизических измерений". М.: 1980. С.7.

64. Справочник по гидрометрическим приборам и установкам. Л.: Гидрометеоиздат, 1971.

65. Степанюк И.А. Океанологические измерительные приборы. Л.: Гидрометеоиздат, 1986.

66. Струминский В.В. Общая теория пространственного пограничного слоя на произвольной поверхности. // Тр. ЦАГИ, 1956. Вып.693.

67. Стрэттон Д.А. Теория электромагнитизма. М.: ОГИЗ, 1948.

68. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

69. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

70. Технология моделирования задач математической физики / Под ред. В.П.Ильина // Сб.научных трудов. Новосибирск, 1989.

71. Технология вычислительного эксперимента / Под ред. В.П.Ильина// Сб.научных трудов. Новосибирск, 1988.

72. Тирский Г.А., Ковач Э.А. Применение метода последовательных приближений к интегрированию уравнений пограничного слоя. // ДАН СССР, 1970. №1. С.61-64.

73. Тирский Г.А., Шевелев Ю.Д. О методе последовательных приближений для задач несжимаемого ламинарного пограничного слоя

(локально-автомодельный случай). //ПММ, 1973. №6. С.974-984.

74. Торочков В.Ю., Суражский Д.Я. Быстроизмерительные приборы. JI.: Гидрометеоиздат, 1970.

75. Трохан A.M., Кузнецов М.И. Оптико-акустический анемометр. // Тез.докл. Первой всесоюз. конф. "Метрология гидрофизических измерений". М,: 1980. С.79-81.

76. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976.

77. Хинце И.О. Турбулентность. М.: Физматгиз, 1963.

78. Хорошев E.H. Трехканальный термоанемометр постоянной температуры. // Тезисы докладов Первой всесоюз. конф. "Метрология гидрофизических измерений". М.: 1980. С. 15-16.

79. Христианович С.А. Механика сплошной среды. М.: Наука,

1981.

80. Шевелев Ю.Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. М.: Наука, 1977.

81. Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. М.: Наука, 1986.

82. Шевелев Ю.Д. Численный расчет пространственного пограничного слоя в несжимаемой жидкости // МЖГ, 1966. №5. С.112-117.

83. Шерклиф Дж. Теория электромагнитного измерения расхода. М.: Мир, 1965.

84. Численное исследование задачи об обтекании под углом атаки тела вращения потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости./ Алгазин С.Д.// Сб.тр. РАН. Ин-т пробл.управл. 1993. №2. С. 102-108.

85. Численные методы решения задач электронной оптики / Под ред. В.П.Ильина // Сб.научных трудов. Новосибирск, 1979.

86. Экспериментальные исследования пристеночных турбулентных потоков. // Кутателадзе С.С., Миронов Б.П. Новосибирск: Наука, 1975.

87. Яненко Н.Н. Математические модели и вычислительные алгоритмы для течений вязкой жидкости // Кибернетика, 1982. №6. С. 1722.

88. Ярин Л.И., Генкин А.Л. Термоанемометры газовых потоков. Л.: Машиностроение, 1983.

89. An analysis of the exterior Neumann problem for the Poisson equation in connection with a numerical procedure / Rolinski Tomasz // Rocz. PTM. Ser.3. 1993. №36. P.3-17.

90. Computation of three-dimensional electric field problems / Tsuboi H. //Period.polytechn.Elec.Eng. 1994. 38. №4. P.381-393.

91. Fischer T.M., Hsiao G.C., Wendland W.L. Singular perturbations for the exterior three-dimensional slow viscous flow problem // J.Math. Anal.Ahhl. 110. 1985. P.583-603.

92. Vandrey F. A. A method for calculating the pressure listribution of a body of revolution moving in a circular path through a perfect incompressible fluid. // ARC R. and M. 1960. № 3139.