Математическое моделирование фильтрации жидкости в неоднородных и периодических пористых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Колесников, Алексей Владимирович

• Колесников, Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Колесников, Алексей Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В НЕОДНОРОДНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

1.1. Решение задач пространственной стационарной фильтрации жидкости (газа) в однородных средах с прямолинейной анизотропией методом «изотропизирующих» подстановок

1.2. Уравнения плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в анизотропных и изотропных неоднородных средах и их связь с теорией обобщенных аналитических функций

1.3. Приведение уравнений плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в анизотропных неоднородных средах к каноническому виду. «Изотропизирующие» подстановки и примеры элементарных фильтрационных течений в анизотропных средах

1.4. Применение теории Е - моногенных функций и операций

£ - дифференцирования и Е - интегрирования для построения фильтрационных течений в изотропных и анизотропных неоднородных средах

1.4.1. Среды, тензор проницаемости которых зависит только от одной координаты

1.4.2. Среды, тензор проницаемости которых допускает разделение переменных

по координатам

ГЛАВА 2. РАЗВИТИЕ МЕТОДА ФОРМУЛ ПЕРЕХОДА К ИССЛЕДОВАНИЮ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ИЗОТРОПНЫХ

НЕОДНОРОДНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

2.1. Решение задач фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных

средах методом формул перехода

2.1.1. Решение пространственных задач фильтрации в изотропных неоднородных средах методом формул перехода

2

2.1.2. Решение плоскопараллельных задач фильтрации в изотропных неоднородных средах методом формул перехода

2.2. Связь уравнений плоскопараллельной фильтрации в изотропных неоднородных средах с системой Карлемана

2.3. Вывод уравнения для потенциала /»-аналитических функций. Новый класс формул перехода для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных средах

2.4. Интегрирование уравнений плоскопараллельной фильтрации в изотропных неоднородных средах с проницаемостью методом Г. И. Назарова

2.5. Обобщение метода Г. И. Назарова на систему уравнений плоскопараллельной фильтрации в изотропных неоднородных средах с проницаемостью

2.6. Новый метод построения формул перехода для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных пластах

2.7. Новые формулы перехода для решения задач фильтрации в изотропных

неоднородных пластах

ГЛАВА 3. ОДНОРОДНО - АНИЗОТРОПНЫЕ МОДЕЛИ ПОРИСТЫХ НЕОДНОРОДНЫХ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ СРЕД

3.1. Моделирование изотропных неоднородных сред однородно-анизотропными средами методом эквивалентирования потоков

3.1.1. Построение однородно-анизотропной модели неоднородной изотропной среды методом жестких трубок тока

3.1.2. Построение однородно-анизотропной модели неоднородной изотропной среды методом натуральных трубок тока

3.2. Однородно-анизотропные модели периодических пористых и слоистых сред. Классический метод однородно-анизотропного эквивалентирования периодических сред

3.3. Повышение точности однородно-анизотропного моделирования периодических пористых сред

3.4. Использование формул перехода для решения задач фильтрации в

изотропных неоднородных пластах

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ РАСЧЁТОВ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ ОДНОРОДНО-АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ

4.1. Аппроксимация квазипоступательного фильтрационного течения в периодической пористой среде поступательным потоком в ее однородно-анизотропной модели

4.1.1. Уравнения фильтрации в изотропных неоднородных средах и методы их решения

4.1.2. Уравнения фильтрации в однородных средах с прямолинейной анизотропией

4.1.3. Расчет фильтрационных характеристик фиктивной однородной анизотропной среды, моделирующей пористую среду с периодической структурой

4.2. Оценки погрешностей расчётов фильтрации в периодических пористых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования

4.2.1. Уравнения фильтрации в ППС

4.2.2. Однородно-анизотропные модели ППС и слоистых сред

4.2.3. Комплексные потенциалы течений в однородно-анизотропных моделях ППС

4.2.4. Аппроксимация квазипоступательного фильтрационного течения в периодической пористой среде поступательным потоком в однородно-анизотропной модели ППС

4.2.5. Точность расчетов поля давлений

4.2.6. Точность расчетов поля градиентов давлений

4.2.7. Точность расчетов фильтрационных потоков

4.3. Решение задачи о преломлении поступательного потока неоднородной

изотропной полосой и ее однородно-анизотропной моделью

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

ПРИЛОЖЕНИЕ 11

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование фильтрации жидкости в неоднородных и периодических пористых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования»

ВВЕДЕНИЕ

Большое количество практических задач связаны с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким задачам относятся: добыча нефти и газа; водоснабжение; проектирование разработки нефтегазовых месторождений; проектирование гидротехнических сооружений и т.д. Решение таких задач требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям.

Работа посвящена математическому моделированию фильтрационных свойств неоднородных и периодических пористых изотропных сред свойствами однородно-анизотропных эквивалентов (моделей) этих пористых сред. Актуальность -исследований определяется тем, что сложность послойного расчета фильтрации в слоистых средах, требующая совместного интегрирования системы из большого числа уравнений в частных производных, существенно снижается и сводится к краевой задаче для одного уравнения с постоянными коэффициентами.

Новые пути решения задач фильтрации в анизотропных неоднородных средах, могут быть построены с помощью математического аппарата £ -моногенных функций Л. Берса и А. Гельбарта. [2]. Операции £-дифференцирования и Е - интегрирования введенные для Е - моногенных функций, удовлетворяют тем же уравнениям, что и уравнения фильтрации в анизотропных неоднородных средах. Поэтому, пользуясь методами теории обобщенных аналитических функций [60], удастся указать новые решения задач фильтрации в неоднородных анизотропных коллекторах. Так же на основе интегральных операторов Бергмана-Назарова [24] можно указать более простые, по сравнению с Л. Берсом и А. Гельбартом [2], способы построения обобщенных формальных степеней 2п{т.,2^,а) комплексного переменного. Что позволит на практике рациональнее применять теорию Е - моногенных функций для исследования фильтрации в анизотропных неоднородных средах.

В естественных природных условиях наиболее распространенной является неоднородность, порожденная слоистым строением среды.

Фильтрацию в слоистых пористых средах, в более общем случае - в средах с периодической структурой естественно моделировать течениями в анизотропных моделях периодических сред. Поэтому для частного, но важного для практики, случая изотропных сред со слоистой структурой актуальным будет вопрос о построении анизотропной модели слоистой пористой среды и оценке точности фильтрационных расчетов по методу анизотропного эквивалентирования.

Целью работы является разработка: 1) методов решения краевых задач фильтрации в неоднородных и периодических пористых средах путем сведения их к краевым задачам фильтрации в однородных и однородно-анизотропных средах и, 2) методов решения краевых задач теории фильтрации для уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами и систем уравнений эллиптического типа путем перехода к краевым задачам для классических уравнений математической физики - уравнений Лапласа и Гельмгольца.

Объекты исследования - процессы фильтрации жидкости в пористых изотропных неоднородных, изотропных периодических и в анизотропных средах.

Предмет исследования - математические методы построения однородно-анизотропных эквивалентов (моделей) изотропных неоднородных и периодических пористых сред.

Методы исследования. При выполнении работы использовались теория фильтрации жидкости (газа) в пористых средах; теория аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного; уравнения математической физики; линейная алгебра; вычислительная математика и специализированные программные среды Maple 6 и Matlab.

Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем:

1. Получены новые математические методы применения аппарата теории гармонических ' функций к исследованию плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в широкой серии изотропных неоднородных сред с

проницаемостью К = к0-к(х,у), принадлежащей классу частных решений уравнения

2. Построены формулы перехода для 26 новых случаев изотропных неоднородных сред с проницаемостью К = кд- р,(х)-р2(у), позволяющие сводить исследование плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) к краевым задачам для классических уравнений Лапласа или Гельмгольца;

3. Метод Г. И. Назарова адаптирован для решения общих задач плоскопараллельной фильтрации для сред с проницаемостью вида К = к0- р,(х)- р2(у);

4. Приближенные аналитические методы моделирования фильтрации жесткими и естественными трубками применены к построению однородно-анизотропных моделей конкретных изотропно-неоднородных и слоистых сред;

5. Разработана программа для ЭВМ (номер государственной регистрации №2012613059 от 29.03.12) для расчета по методу естественных трубок тока главных проницаемостей анизотропной модели изотропной пористой среды, получающейся в результате периодического повторения в пространстве элементарной ячейки шахматного типа;

6. .Разработана программа для ЭВМ (номер государственной регистрации №2012613060 от 29.03.12) для построения гидродинамических сеток искажения поступательного фильтрационного потока круглым радиально-неоднородным включением и однородно-анизотропной моделью включения;

7. Определены границы применимости метода однородно-анизотропного эквивалентирования.

Практическая значимость работы. Разработанные новые методы математического моделирования плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах, позволяющие применять решения классических уравнений математической физики Лапласа и Гельмгольца, могут служить основой для развития более точных способов обработки данных газогидродинамических исследований скважин. Кроме того, для расчета более адекватной к геолого-фильтрационным характеристикам месторождения сетки и плотности размещения скважин.

Разработанные методы жестких и естественных трубок тока для математического моделирования изотропных неоднородных и, в частности, периодических сред их однородно-анизотропными эквивалентами могут служить основой для развития приближенных экспресс - методов прогнозных промысловых оценок различных вариантов размещения скважин по площади месторождения и вариантов дополнительного бурения скважин с целью повышения' коэффициента извлечения углеводородов.

Результаты диссертации использовались в ОАО «СевКавНИПИгаз» при разработке методик расчета прогнозных дебитов скважин и при разработке Р

Газпром 071-2009 «Планирование и оценка эффективности геолого-технических мероприятий. Методика выбора скважин для проведения геолого-технических мероприятий и выбора приоритетных видов геолого-технических мероприятий на конкретных скважинах». (Акт о внедрении от 11 мая 2012 г.)

На защиту выносятся*. 1. Математические методы применения гармонических функций к исследованию плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах с проницаемостями К = к0 -к(х,у), принадлежащими классу

2. Новый класс формул перехода, сводящих расчеты плоскопараллельной фильтрации' в ' изотропных неоднородных средах к расчетам в изотропных однородных средах.

3. Формулы перехода для 26 новых случаев изотропных сред с проницаемостью

фильтрацию жидкости (газа) с помощью решений классических уравнений Лапласа или Гельмгольца.

4. Адаптированный для решения краевых задач плоскопараллельной фильтрации для сред с проницаемостью вида К = к0-р,{х)- р2(у) метод Г. И. Назарова;

5. Конкретные однородно-анизотропные модели изотропно-неоднородных, кусочно-однородных и слоистых сред.

К = к0 ■ р1(х)-р2(у), позволяющие исследовать плоскопараллельную стационарную

6. Результаты вычислительных экспериментов по оценке точности фильтрационных расчетов в изотропных неоднородных средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования с использованием разработанных программ для ЭВМ.

Апробация работы.

Отдельные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Седьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математики (Воронеж, 2006г.); Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007г.); VIII и IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, 2007г., Кисловодск, 2008г.); III международная научно-техническая конференция "Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании (Инфоком-3)" (г. Кисловодск, 2008г.).

Диссертация в полном объеме докладывалась: на семинаре под руководством д.ф.-м.н., профессора Семенчина Е. А по математическому моделированию в Кубанском государственном университете (Г. Краснодар, 25.01.2012); на Ученом Совете ОАО «СевКавНИПИгаз»; на семинаре под руководством д.т.н., профессора Слюсарева Г. И. по математическому моделированию в Северо-Кавказском федеральном университете (г. Ставрополь, 01.11,2013); на заседании секции Ученого совета «Геология, разработка и проектирование обустройства месторождений углеводородов, подземное хранение газа и экология» в ОАО «СевКавНИПИгаз» (г. Ставрополь, 17.12.2013).

Публикации. Полученные автором результаты достаточно полно изложены в 9 научных работах, среди которых: 3 статьи, опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ («Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки», «Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности», «Вестник ВГУ», «Ученые записки Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета им. Н.Г. Чернышевского»); 4 публикации в

журналах «Обозрение прикладной и промышленной математики», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», «Материалы Воронежской зимней математической школы, «Современные проблемы теории функций и смежные проблемы», «Проблемы добычи газ, газового конденсата, нефти» и 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Общий объём диссертации 203 стр., из них 156 стр. основной части. Основная часть состоит из введения, четырех глав, содержащих 18 пунктов, заключения и списка литературы из 90 названий, из которых 12 на иностранных языках. Диссертация содержит 11 таблиц, 34 графиков и рисунков и одиннадцать приложения общим объёмом 47 стр.

Краткое содержание работы.

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, указаны цели и основные задачи исследований, их научная и практическая значимость, приведено краткое содержание по главам.

В 1-ой главе диссертации вводятся основные исходные понятия теории фильтрации - проницаемость, скорость фильтрации, понятия изотропных и анизотропных однородных и неоднородных сред, главных направлений анизотропии и главных проницаемостей. Приводятся уравнения пространственной стационарной фильтрации жидкости (газа) в анизотропных и изотропных неоднородных пористых средах как в декартовых, так и в криволинейных ортогональных координатах.

Во 2-ой главе описаны разработанные новые методы интегрирования системы уравнений плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах. При этом акцент делается на то, как можно применять методы интегрирования классических уравнений математической физики (уравнений Лапласа и Гельмгольца) и теории аналитических функций комплексного переменного к решению системы уравнений фильтрации в неоднородных средах, содержащей переменные коэффициенты.

В 3-ей главе описывается разработанный в диссертации единый универсальный подход к моделированию сложных неоднородных и

периодических сред анизотропными моделями. Так же описаны исследования погрешности расчета главных проницаемостей анизотропных моделей по методу жестких трубок тока. В главе на конкретных примерах даны рекомендации по повышению точности.

В 4-ой главе исследуется точность расчетов при моделировании фильтрации в периодических средах по методу анизотропного эквивалентирования. Так же выведены расчетные формул для фильтрационных параметров при моделировании течения через слоистую полосу и через круговую область с радиальной анизотропией.

В заключении кратко перечисляются результаты научного исследования по теме диссертации.

В приложении, содержащем одиннадцать пунктов, приведены выкладки формул, расчетные таблицы и рисунки, приводятся листинги программы на Maple 13 для построения математических моделей слоистых сред, акт внедрения результатов работы, свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В НЕОДНОРОДНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

В 1-ой главе вводятся приводятся основные результаты литературных исследований по теории фильтрации в неоднородных анизотропных средах. Конкретно, «изотропизирующие» подстановки Е. С. Ромма [63, 64] для решения задач пространственной стационарной фильтрации в однородных средах с прямолинейной анизотропией. Указывается связь уравнений плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в анизотропных и изотропных неоднородных средах с теорией обобщенных аналитических функций [1, 2, 3, 28, 55, 60, 90]. Приводятся «изотропизирующие» подстановки В. А. Толпаева [79] для решения задач плоскопараллельной фильтрации в средах с криволинейной анизотропией. Показывается возможность применения теории £ - моногенных функций Л. Берса и А. Гельбарта и операций £ -дифференцирования и £ - интегрирования для исследования плоскопараллельных фильтрационных течений в изотропных и анизотропных неоднородных средах в двух случаях. В случае, когда тензор проницаемости среды зависит только от одной координаты. И в случае, когда тензор проницаемости среды допускает разделение переменных по координатам.

В конце главы по результатам литературного исследования делаются выводы о степени изученности темы диссертационного исследования и формулируются актуальные, по мнению автора, проблемы, требующие дальнейшего продолжения научных исследований.

1.1. Решение задач пространственной стационарной фильтрации жидкости (газа) в однородных средах с прямолинейной анизотропией методом «изотропизирующих» подстановок

В общем случае стационарная фильтрация жидкости (газа) в неоднородных анизотропных средах с прямолинейной анизотропией в

декартовой системе координат х,у,г с осями, направленными вдоль главных направлений анизотропии (ГНА) принимает вид

д_ дх

кп •

дер дх

+

ду

к 22 Л

ду

+

дг

1с . Лзз

д(р ~д2

= 0 .

(1.1.1)

Рассмотрим случай, когда главные проницаемости кп=\, к22 ^ Л2 и къг = Я3 рассматриваемой анизотропной среды являются функциями координат (среда неоднородна) следующего вида:

К1 = Кх • Л1 М' 1п (у)' /о М » к22= Ку • Л1М' Лг Ы • Лз (*)»

^33=^-/31М-/32Ы-/33(4 (1-1-2)

где все три постоянные к0х, к0у и £0г с размерностью проницаемости в общем

случае различны (к0х Ф к0у Ф к0г Ф к0х), а все девять функций /„(*)> /п(у)> ■■■> /33 (г) - положительные, безразмерные и интегрируемые. Попытаемся упростить уравнение (1.1.1). Для этого в (1.1.1) перейдем к новым переменным X, У,2, связанным с прежними зависимостями вида

Х = Х(х), ¥ = ¥{у), 2 = 2{г). (1.1.3)

После замены переменных уравнение (1.1.1) с коэффициентами (1.1.2) примет вид. [11]

+ Ч-/21М-/23

дХ д

дУ д

+

+

(1.1.4)

дг

/ззОО^'М

д(р

= о

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи анизотропных неоднородных сред.

1-ый случай. Анизотропно-неоднородные среды с главными проницаемостями, изменяющимися вдоль своего направления.

Пусть главные проницаемости рассматриваемой неоднородной анизотропной среды зависят от координат следующим образом:

ки=Кх-/и(х), к22=къу-/2г{у), къъ=к02-/ъг(г). (1.1.5)

Для новых независимых переменных Е. С. Роммом [63, 64, 65] были найдены следующие выражения:

2-ой случай. Однородные среды с прямолинейной анизотропией. Пусть рассматриваемая анизотропная среда однородна, тогда ее главные проницаемости не зависят от координат и, следовательно, в формулах (1.1.5)

3-ий случай. Плоскопараллельная фильтрация в однородных средах с прямолинейной анизотропией.

Для плоскопараллельной фильтрации Е. С. Роммом получен аналогичный результат:

В заключение отметим, что основным методом решения краевых задач фильтрации в анизотропных средах является метод «изотропирующей» деформации пространства [8, 12, 61, 64, 65 и др.]. Данный метод заключается в том, что деформирующие преобразования физической области с анизотропной средой выполняют так, чтобы исходные уравнения задачи приняли бы каноническую форму, как уравнения фильтрации для изотропной среды. Однако подчеркнем, что метод «изотропизирующих» подстановок применяется, главным образом, для решения плоскопараллельных анизотропных задач. Для пространственных анизотропных задач в литературе по теории фильтрации «изотропизирующих» подстановок, за исключением подстановок Е. С. Ромма (1.1.7), не встречается.

Л 1(х)=/22(у) = /зз(г)=1-

Тогда «изотропизирующие» подстановки примут следующий вид:

(1.1.7)

1.2. Уравнения плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в анизотропных и изотропных неоднородных средах и их связь с теорией обобщенных аналитических функций

Течение, в котором все его характеристики одинаковы в параллельных плоскостях, то есть зависят только от двух координат, называется плоскопараллельным. Такое течение обычно рассматривается в плоскости хОу. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к телам, относятся к единице высоты соответствующих цилиндрических поверхностей.

При решении задач теории фильтрации основной интерес представляет определение таких характеристик, как расход жидкости, скорости движения жидкости и противодавления. Стационарные плоские фильтрационные потоки жидкости (газа) в анизотропной неоднородной среде описываются тензорным законом Дарси и уравнением неразрывности.

Если одно из главных направлений анизотропии среды ортогонально к плоскости течения хОу, а два других расположены в плоскости хОу, то тензорный закон Дарси для плоскопараллельной фильтрации в ортогональных криволинейных координатах г} примет вид [40, 68]:

1 Нх Н2 Эт/' 2 Я, Н2 д?]

В частном случае при выборе декартовых координат в плоскости течения тензорный закон Дарси принимает вид

. (1.2.2)

ох ду ох ду

Уравнение неразрывности для плоскопараллельной фильтрации несжимаемой жидкости в криволинейных координатах имеет вид [18-21]:

¿(^•^+¿(",•0=0, О-")

а в декартовых:

^ + ^ = (1.2.4)

дх ду

Из уравнений (1.2.3) и (1.2.4) вытекает существование функции тока течения [4, 5, 6, 10, 19, 20, 21 и мн.др.], проекции скорости фильтрации через которую будут выражаться по формулам:

1 ду/ ш у __ 1 ду/

71 ~

У^ ----—; Уп = ———- в криволинейных координатах , (1.2.5)

и

Ух = V = - в декартовых координатах. (1.2.6)

ду дх

Сравнивая выражения для проекций скорости фильтрации в формулах (1.2.1), (1.2.5) и (1.2.2), (1.2.6) относительно функций <р и у/, описывающих плоскопараллельную фильтрацию, получим следующие системы уравнений:

к .И.2.д(Р_ + к д(р = ду/ 11 Нх 12 дг\ дт]

(для криволинейных координат) , (1.2.7)

1г Я1 д(Р _ ду/

,21 22 н2 дц

скр скр__ду/

Л11 " а К\2 ' а _ а

дх ду ду

(для декартовых координат) . (1.2.8)

Э® дер _ ду/

21 ' К22 ' Л — ~ дх ду дх

Если' в плоскости течения выбирать изотермические криволинейные ортогональные координаты [33, 36, 37, 40] для которых параметры Ламе удовлетворяют условиям НХ=Н2 = с2(<^,т]), то уравнения (1.2.7) и (1.2.8) будут совпадать по внешнему виду. Поэтому далее без ограничения общности будем рассматривать плоскопараллельные течения в декартовых координатах (так как случай криволинейных сводится к тому, что декартовые координаты х, у нужно будет рассматривать как изотермические).

В случае изотропной среды, когда кп=к21- 0 и кп = к22 = к(х,у) уравнения фильтрации согласно (1.2.8) принимают канонический вид

= = (1-2.9)

дх ду ду дх

Метод «изотропизирующих» подстановок исследования фильтрации в анизотропных средах будет заключаться в том, чтобы с помощью аффинных преобразований координат уравнения фильтрации (1.2.8) свести на вспомогательной плоскости к уравнениям (1.2.9), течения на которой можно будет рассматривать как течения в некоторой фиктивной изотропной неоднородной среде.

Уравнения (1.2.8) представляют собой систему уравнений для обобщенной аналитической функции м>{г)-(р{х,у)-\-1у/{х,у) комплексного переменного ?=х + гу [27, 28 и др.]. Система уравнений (1.2.9) представляет конкретный класс обобщенных аналитических функций — р-аналитических функций Г. Н. Положего [60]. Поэтому для исследования конкретных задач плоскопараллельной фильтрации в анизотропных неоднородных средах широкое применение находят методы теории обобщенных аналитических функций, в частности операции «сигма»-интегрирования и «сигма»-дифференцирования [35], применение которых в диссертации будет описываться в пункте 1.4.

1.3. Приведение уравнений плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в анизотропных неоднородных средах к каноническому виду. «Изотропизирующие» подстановки и примеры элементарных фильтрационных течений в анизотропных средах

Как уже сказано, метод «изотропизирующих» подстановок заключается в сведении с помощью аффинных преобразований координат системы уравнений фильтрации (1.2.8) к каноническому виду - к системе уравнений (1.2.9). Решение этой задачи хорошо известно и указано Г. Н. Положием [60]. Для приведения системы (1.2.9) к каноническому виду нужно от переменных х,у

перейти к, новым независимым переменным хх,ух, которые с прежними

переменными связаны следующей системой уравнений Бельтрами [31]

fo Эх,

Эх

12

Эу _ Эу,

fo Эх,

/V|2 » Л")

22

д?] __ ду, Эх

(1.3.1)

ч]кпк22 - кп ду л/^и^22~~ ^12

В новых переменных система уравнений фильтрации в анизотропных неоднородных средах примет канонический вид [60, 57]

1 1 , где к(хх,ух) = ^кик22-к12. (1.3.2)

¿7^, ОХ,

При перекрестном дифференцировании системы (1.3.2) получим следующее уравнение относительно (р:

Эх,

Эх,

Э

а я

MWi)'

д(р ду{

= 0.

(1.3.3)

Из уравнения (1.3.3), вытекает следующее следствие: если выражение

к(х1,у1)= л]кхjк22 - к\2 = const, то уравнение (1.3.3) будет уравнением Лапласа Э> Э> .

—Y ч--- — 0 . и, поэтому, во всех таких частных случаях для описания

дхх дух

плоскопараллельной фильтрации в анизотропных средах можно применять методы теории аналитических функций комплексного переменного [15].

Наиболее полный перечень тех случаев, когда для исследования плоскопараллельной фильтрации в однородных средах с криволинейной анизотропией можно применять методы теории аналитических функций комплексного переменного указал В. А. Толпаев [79]. Ранее конкретные задачи линейной плоскопараллельной фильтрации в средах с прямолинейной и радиальной анизотропией, представляющие частные случаи изотермических законов распределения ГНА, рассматривались в работах В.И. Аравина [13, 14], В.А.Брагинской [25], О.В. Голубевой [34, 40], А.Т.Горбунова [41], П.Я. Полубариновой-Кочиной [61], Ю.Л. Соломко [67], С.Е. Холодовского [8289], X. Маркуса и Д.Е. Ивенсона [9] и др.

1.4. Применение теории X - моногенных функций и операций X - дифференцирования и £ - интегрирования для построения фильтрационных течений в изотропных и анизотропных неоднородных средах

В пункте 1.3. показано, что сравнительно просто можно построить аналитические .комплексные потенциалы плоскопараллельных течений лишь в средах с криволинейной анизотропией и с постоянными главными проницаемостями. Для неоднородных сред, как изотропных, так и анизотропных, задача построения решений, описывающих конкретные течения, представляет большие трудности.

Для построения некоторых конкретных частных решений, описывающих в изотропных неоднородных средах течения, являющиеся аналогами поступательного потока и течений от мультиполей, может быть применена теория X - моногенных функций Л. Берса и А. Гельбарта [2], а также результаты теории обобщенных аналитических функций, развитие которой прежде всего связано с работами И.Н.Векуа [28], Г.Н.Положего, Л.Берса [1], А.Гельбарта [2], Т.Карлемана [3], Б.В.Шабата [90]. Данная теория продолжает развиваться благодаря широким приложениям в математической физике и осесимметричной теории упругости. Применительно к задачам фильтрации теория обобщенных аналитических функций в настоящее время широко развивается в Орловском государственном университете профессором Пивнем В. Ф. и его учениками [56-59]. Гладышевым Ю. А. формализм Бельтрами-Берса построения обобщенных степеней для эллиптических систем уравнений перенесен на уравнения параболического типа [29-31]. Им же указаны новые применения формализма Бельтрами-Берса к задачам математической физики, в частности, к задачам теории теплопроводности.

Перейдем к изложению основных идей и покажем, как можно применять операции Л. Берса и А. Гельбарта, названные авторами операциями £ -интегрирования и Е - дифференцирования, к построению множества частных решений, описывающих течения типа поступательного потока, течения от

20

квадруполя и течении от мультиполей в неоднородных анизотропных и изотропных средах.

1.4.1. Среды, тензор проницаемости которых зависит только от одной координаты

Рассмотрим неоднородную среду с прямолинейной анизотропией. Пусть декартовые координаты х,у совмещены с ГНА среды, а главные проницаемости зависят только от одной координаты, например, от у. Тогда согласно (1.2.8 из п. 1.2) уравнения плоскопараллельной фильтрации в таких анизотропных неоднородных средах примут вид

дх ду ду ох

Л. Берс и А. Гельбарт обратили внимание на тот факт, что если функции фх{х,у) и (//,(х,у) удовлетворяют системе уравнений (1.4.1), т.е. для них

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колесников, Алексей Владимирович, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Bers L. The expansion theorem for sigma-monogetic function//Amer. J.Math. - 1950. - V.7. - P.705-712.

2. Bers L. and Gelbart A. On class of functions defined by partial differential equations. //Transactions of the American Mathematical Society. - 1984. - V. 56. - № l.-P. 67-93.

3. Carleman T. Sur les sysrem line aires aux derives partielles du premier ordre a'deux variables, C.R.//Acad. Sci. Paris. - 1933. -V.197. P. 471-474.

4. DachlerR. Uber Stekerwasserstromungen in geschichtetem Material // Wasserwirtschaft, 1933, №2, p.15-20.

5. Ferrandon J., Mécanique des terrains perméables. La houille blanche, 9, p. 466-480, 1948.

6. Loewner C. A. Transformation Theory of the Partial Equation of Gas Dynamics. NACA Technical Note 2065 (1950)

7. Maas C. Groundwater flows to a well in a layered porous medium // Water resources research. 1987. V.23. № 8. C. 1675-1681.

8. Maasland M. Soil anisotropy and land drainage. A Drainage of Agricultural Lands, edited by James N. Luthin, American Society of Agronomy, Maidison, Wis., 1957.

9. Marcys H., Evenson D. E. Directional permeability in anisotropy porous media // Univ. Calif. Bercely. Water Resources Center contrib. 1961, 31. oct, p. 105.

10. Pinl M. Ch., Loewners Transformations theorie der partiellen Differential lgleichungen der Gasdynamik. J. reine und angew. Math., 199, (1958)

11. Rice J. R., ClearyM. P. Some basic stress-diffusion solutions for fluid saturated elastic porous media with compressible constituents // Rev. Geophys. Space Phys. 1976. -V. 14. p. 227-241.

12. Vreedenburgh G. On the steady flow of water percolating through solid with homogeneous anisotripic permeability.// Proc. Intern. Conf Soil Mech. And Foundation Eng;,-vol. 1, Harvard University, Cambridge, Mass., 1936.

13. Аравин В. И. Расчет плоской фильтрации в грунтах с криволинейной анизотропией // Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. - 1974. Т. 104. - С.3-9.

14. Аравин В. И. Фильтрация в анизотропно-водопроницаемом грунте. Труды Ленинградского индустриального института, вып. 1,1940г.

15. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. -М., Главная редакция физико-математической литературы, 1968 г., стр. 416. - Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов.

16. Бардзокас И., ЗобнинА. И. «Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры» - М.,: Едиториал УРСС, 2003. - 376 с.

17. БасниевК. С., Бедриковецкий П. Г., Дединец Е. Н. Определение эффективной проницаемости трещиновато-пористой среды // Инженерно-физический журнал, Т. 55, № 6, 1988. С. 940-948.

18. БасниевК. С., Дмитриевы. М. К определению проницаемости и фильтрационного сопротивления для анизотропных пористых сред. // Изв. вузов. Нефть и газ, 1985, №2, с. 26, 43, 44.

19. БасниевК. С., ДмитриевН. М. Обобщенный закон Дарси для анизотропных пористых сред. // Изв. вузов. Нефть и газ, 1986. №5, с. 54 - 59.

20. Басниев К. С., Дмитриев Н. М., Розенберг Г. Д. Нефтегазовая гидромеханика. Учебное пособие для вузов. - М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005, 544с.

21. БасниевК. С., КочинаИ. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. Учебник для вузов. М.: Недра, 1993, 416с.

22. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы М.: Наука, 1987.

23. Бахвлов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических ' средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984. 352 с.

24. Бергман С. Интегральные операторы в теории линейных уравнений с частными производными. / Перев. с англ.-М.: Мир, 1964.-305 с.

25. Брагинская В. А. Некоторые задачи фильтрации в анизотропном грунте //ПММ. - 1942. - Т.6. - вып. 2-3.

26. Быстров К. Н. Уравнения движения жидкости в искривленных слоях переменной толщины, отнесенные к сетке течения //Ученые записки. Теоретическая физика. Т. 200, вып. 7. - М.: МОПИ им. Н. К. Крупской, 1968. -С. 16-18. ■

27. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. — М. - Л.:Гостехиздат, 1948. - 296с.

28. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. - М.: Физматгиз, 1959.-628 с.

29. Гладышев Ю. А. Некоторые интегрированные свойства обобщенных степеней Берса. Вестник КГПУ, Калуга. 2005.

30. Гладышев Ю. А. О методе перехода при решении задач фильтрации в пластах с переменными по простиранию мощностью и проницаемостью // Гидромеханика, Сборник трудов, вып. 3, Москва, 1974. С.217-221.

31. Гладышев Ю. А. Формализм Бельтрами-Берса и его приложения в математической физике. Калуга: Облит. - 1997. - 260 с.

32. Голубев Г. В., Тумашев Г. Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. - Казань, издательство Казанского университета, 1972. - 195с.

33. ГолубеваО. В. Безразмерные уравнения фильтрации // Математическая физика и гидродинамика: Московское общество испытат. природы. М.: Изд-во МГУ, 1972. с 7-10.

34. Голубева О. В. Двумерные динамические процессы в анизотропных

г* »

средах // ПММ. - 1980. - Т. 44. - вып.1. - С. 166-171.

35. ГолубеваО. В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1971.452с.

36. ГолубеваО. В. Метод расчета фильтрации в криволинейно-анизотропных основаниях гидросооружений. Препринт №118 Институт проблем механики АН СССР. М., 1978г.

37. ГолубеваО. В. О работах в области механики сплошных сред коллектива кафедры теоретической физики МОПИ им. Н. К. Крупской //Ученые записки. Теоретическая физика. Т. 200, вып. 7. - М.: МОПИ им. Н. К. Крупской, 1968. - С. 5-11. '

38. ГолубеваО. В. Обобщение теоремы об окружности на фильтрационные течения. Изв. АН СССР, МЖГ, №1 1966.

39. ГолубеваО. В. Формулы перехода. // Труды кафедры теоретической и экспериментальной физики. Калининградский государственный университет, г. Калининград, 1969. - С. 31-34.

40. Голубева О. В., ТолпаевВ.А., Кутузов В. Г., СоломкоЮ. Л. О фильтрации в однородно-анизотропных средах. МОПИ им. Н.К.Крупской, сб. трудов «Гидромеханика», вып. 4, М., 1975г.

41. Горбунов А. Т. Некоторые задачи фильтрации в анизотропных средах //НТС ВНИИ. - 1962. - вып. 16.

42. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.:, изд-во «Наука», 1971. - С. 396.

43. Каневская Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов // М.-Ижевск: ИКИ, 2002, 140 стр.

44. Качанов М. Л. Об анизотропии фильтрационных свойств трещиноватой среды. Изв. АН СССР, МЖГ, 1975г., №4

45. Киселев Ю. П., Железнов О. О., Лежнев М. В. Среднее значение проницаемости при зонально-слоистой неоднородности в случае плоскопрадиальной фильтрации по закону Дарси // Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Т. 2. Секции: «Физика и астрономия», «Математика, механика и информатика». Краснодар: Просвещение-Юг, 2007. С. 133-134. "

46. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде // М.Ижевск: ИКИ, 2004, 628 стр.

47. Маскет М. Физические основы технологии добычи нефти // М.Ижевск: ИКИ, 2004, 606 стр.

48. Матрасов A. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. БХВ-Петербург,2001

49. Назаров Г. И. Однотипное построение общих интегралов для уравнений гидродинамики эллиптического и гиперболического типов / В сб.: «Современные вопросы гидродинамики», Изд-во «Наукова думка», Киев, 1967.

50. Назаров Г. И. О точном общем решении осесимметричной задачи несжимаемой жидкости. // Томск, труды ТГУ, т. 163, 1963.

51. Назаров Г. И. Точное решение уравнений газовой динамики. -Известия АН СССР, МЖГ, №3, 1968

52. Назаров Г. И. Функции Бергмана в теории течений сжимаемой жидкости // Томск, уч. Зап. ТГУ, № 49, 1964.

53. Назаров Г. И., О новых аналитических решениях системы уравнений типа Чаплыгина // Тр. сем. по краев, задачам, 5, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1968, 182-186

54. ОлендерО. В., Алантьева В. А., Лежнев М. В. Среднее значение проницаемости при зонально-слоистой неоднородности в случае плоскопараллельной фильтрации по закону Дарси // Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Т. 2. Секции: «Физика и астрономия», «Математика, механика и информатика». Краснодар: Просвещение-Юг, 2007. С. 162-163.

55. Петровский И.Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными // УМН. - 1946. - Т.1, вып. 3-4, С. 44-70.

56. Пивень В.Ф. К теории осесимметричных обобщенных аналитических функций в динамических процессах // Докл. АН СССР. - 1990. - Т.313. - №6. -С. 1424-1426. ''

57. Пивень В.Ф. О теории двумерных процессов в слоях переменной проводимости, характеризуемых степенью гармонической функции // ДАН. — 1995. - Т.344. - №5. - С. 327-629.

58. Пивень В.Ф. Теория и приложения математических моделей фильтрационных течений жидкости.- Орел, 2006.- 506 с.

59. Пивень В.Ф. Функции комплексного переменного в динамических процессах. Орел, 1994.- 147 с.

60. ПоложийГ. Н. Теория и применение р -аналитических и (p,q) -аналитических функций. - Изд-во «Наукова думка», Киев, 1973 г. - 422 с.

61. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. - М.: «Наука», 1977г., 664с.

62. Прохоров Г., Кол беев В., Желнов К., Леденев М. Математический пакет Maple V Release 4: Руководство пользователя. Калуга: Облиздат, 1998.

63. РоммЕ. С. Структурные модели порового пространства горных пород. -Л.: Недра, 1985. - 240 с.

64. Ромм Е. С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. -М.-.Недра, 1966.-238 с.

65. Ромм.Е. С., Позиненко Б. В. О проницаемости анизотропных трещиноватых горных пород // Инженерный журнал. - 1963. - Т. 3. - №2.

66. Салехов Г. С. К определению функции давления в неоднородных пластах нефтяных месторождений // ДАН СССР. Т. 105. №6. 1955.

67. Соломко Ю. Л. О моделировании работы скважины в анизотропномгрунте // МОИП. Избранные задачи гидродинамики. - М.: Наука. - 1977. - С.92-96.

68. Толпаев В. А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах. - Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. СГУ, Ставрополь, 2004. - 37 с.

69. Толпаев В. А. Построение плоскопараллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости методом перехода. // МОПИ им. Н. К. Крупской, сб. трудов «гидромеханика». - вып. 3. - М.: 1974 - с. 27-37.

70. Толпаев В. А., Колесников А. В. Новый метод построения формул перехода для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных пластах // Ученые записки Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета им. Н.Г. Чернышевского, г. Чита, №3, 2012, С. 122-125. '

71. Толпаев В. А., Колесников А. В. Представление общего решения систем уравнений Г. Н. Положего с характеристикой р = рх{х)р2{у) через аналитические функции // Обозрение прикладной и промышленной математики т. 13 вып. 6,М., 2006.

72. Толпаев В. А., Колесников А. В. Расчет фильтрационных характеристик однородно анизотропной сред, моделирующей пористую среду с периодической структурой // Проблемы добычи газ, газового конденсата, нефти: Тезисы докладов VII международной научно практической нефтегазовой • ' конференции (Кисловодск 20-25 сентября 20 Юг)/ СевКавНИПИгаз-Ставрополь: РИО ОАО "СевКавНИПИгаз", 2010. С.24-25.

73. Толпаев В. А., Колесников А. В. Связь уравнений плоскопараллельной фильтрации с системой Карлемана. //Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. №1, 2007. - С. 78 - 80.

74. Толпаев В. А., Колесников А. В. Уравнения для потенциала р-аналитических функций с характеристиками р = р1(х)р2(у) II Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика, г. Воронеж, №1, 2008, С. 145-149.

75. Толпаев В. А., Колесников А. В. Уравнения для потенциала р-аналитических. функций с характеристиками р = р1(х)р2(у) // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №1, 2009, С. 31-35.

76. Толпаев В. А., Колесников А. В. Условия применения в расчетах фильтрации в периодических пористых средах классического метода

однородно-анизотропного эквивалентирования //Автоматизация,

телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. Математическое моделирование и программное обеспечение. 2010., №1. С. 24-29.

77. Толпаев В. А., Колесников А. В., Харченко Ю. В. Интегральное представление р- гармонических функций через гармонические. // Материалы Воронежской зимней математической школы, «Современные проблемы теории функций и смежные проблемы», ВГУ 2007.

78. Толпаев В. А., Крымин Л. Г. О приближенном расчете электротехнических характеристик плоскопараллельного поля плотности постоянного тока в неоднородном изотропном проводнике //Известия вузов. Электромеханика. 1987., № 4. С. 11-17.

79. Толпаев В. А., Математическое моделирование двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах. /Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Ставрополь, СГУ, 2004. - 532 с.

80. Усманов Н. К., Краевые задачи эллиптических систем (монография), Рига, Рижский ин-т инженеров гражданской авиации имени Ленинского комсомола, 1966, 318 стр.

81. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.- т.2 -810с.; т.З -662с.

82. Холодовский С. Е. Линейная фильтрация жидкости в анизотропных средах // Задачи динамических процессов в сплошных средах. Свердлов, гос. пед. ин-т. - Свердловск, 1991. - С. 15-19.

83. Холодовский С. Е. О гидродинамическом осреднении сильно неоднородных'пористых сред при линейной фильтрации // Изв. РАН. МЖГ. 1993. №5. с. 190-192.

84. Холодовский С. Е. О фильтрации в неоднородных средах с криволинейной анизотропией // Проблемы математики в задачах физики и техники. Моск. физико - технич. ин-т. - М., 1992. - С.153-155.

85. Холодовский С. Е. О фильтрации в пластах с кольцевыми неоднородными анизотропными зонами, трещинами и завесами // Докл. АН СССР. 1991, т.317. №3, 606-608 с.

86. Холодовский С. Е. О фильтрации в слоистых средах с пересекающимися трещинами и завесами // Докл. РАН. 1994. Т. 338. № 5., 622624 с.

87. Холодовский С. Е. О фильтрационных течениях с экранированным шаровым включением // Изв. РАН. МЖГ. - 2002. - № 4. - С.98-104.

88. Холодовский С. Е. Об анизотропной модели слоисто - анизотропных трещиноватых сред при линейной фильтрации // Вычислительная математика и математическая физика. Моск. гос. пед. ин-т. -М., 1988. - С. 14-17.

89. Холодовский С. Е. Тензор эффективной проницаемости сильно неоднородных грунтов // Инженерно - физический журнал Б АН и РАН. 1992. Т. 63. № I.e. 18-22.

90. Шабат Б.В. Об обобщенных решениях одной системы уравнений в частных производных // Мат.сб. - 1945. - Т.17, №2. - С.193-210.