Поле давления в анизотропном трехслойном пористом пласте с вертикальной неоднородностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Губайдуллин Марат Радикович

• Губайдуллин Марат Радикович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Губайдуллин Марат Радикович

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ В НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТАХ

1.1. Проблемы моделирования фильтрации в неоднородных анизотропных пластах

1.2. Обзор исследований фильтрационных процессов

1.3. Постановка задач о поле давления в неоднородном анизотропном проницаемом пласте

1.3.1. Уравнение пьезопроводности для анизотропной среды с вертикальной (слоистой) неоднородностью

1.3.2. Задача о поле давления в анизотропном трехслойном пласте с учетом неоднородности в интервале перфорации

1.3.3. Нелокальное интегральное условие в интервале перфорации

1.3.4. Квазистационарный случай

1.3.5. Случай слабопроницаемых окружающих пород

1.3.6. Задача о поле давления в неоднородном анизотропном пласте с постоянными коэффициентами проницаемости

1.3.7. Плоская фильтрация в режиме постоянной депрессии с произвольным распределением проницаемости в центральном слое

1.3.8. Плоское течение в трехслойной среде с однородным центральным слоем

1.4. Выводы по главе

ГЛАВА 2. ДВУМЕРНАЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОМ АНИЗОТРОПНОМ ПЛАСТЕ

2.1. Поле давления в трехслойном пласте, эксплуатируемом в режиме постоянной депрессии

2.1.1. Приведение задачи к безразмерной форме

2.1.2. Параметризация и асимптотическое разложение задачи

2.1.3. Асимптотически осредненное поле давления

2.1.4. Оценка точности квазистационарного приближения

2.1.5. Задача фильтрации в первом приближении

2.1.6. Оценка погрешности асимптотического приближения

2.1.7. Детальное описание поля давления в центральном пропластке

2.1.8. Маклореновское решение точного решения задачи фильтрации в двумерном пространстве изображений

2.2. Поле давления при фильтрации в пласте с произвольным распределением проницаемости по толщине

2.2.1. Разложение задачи с переменными коэффициентами по асимптотическому параметру

2.2.2. Эквивалентный пласт с однородным центральным слоем

2.2.3. Представление задачи о поле давления в пласте с вертикальным градиентом проницаемости в первом приближении

2.2.4. Задача для остаточного члена

2.2.6. Построение решения, позволяющего учесть распределение проницаемости по толщине коллектора

2.3. Анализ результатов расчетов

2.4. Выводы по главе

ГЛАВА 3. РАДИАЛЬНЫЙ ПРИТОК К СКВАЖИНЕ В СЛОИСТО -НЕОДНОРОДНОМ АНИЗОТРОПНОМ ПЛАСТЕ

3.1. Поле давления при фильтрации в трехслойном пласте, эксплуатируемом в режиме заданного отбора

3.1.1. Представление задачи в виде асимптотической последовательности по формальному параметру

3.1.2. Поле давления в слоисто-неоднородном пласте в нулевом асимптотическом приближении

3.1.3. Задача о поле давления при радиальной фильтрации в первом приближении

3.1.4. Построение дополнительного среднеинтегрального условия

3.1.5. Уточнение поля давления в области усреднения

3.2. Фильтрация в пласте, эксплуатируемом в режиме заданного отбора, с

произвольным распределением проницаемости по толщине

3.2.1. Представление решения задачи о поле давления в виде асимптотического ряда

3.2.2. Определение параметров эквивалентного пласта с однородным центральным слоем

3.2.3. Задача для первого асимптотического коэффициента, с учетом нелокального интегрального условия

3.2.4. Оценка погрешности задачи с нелокальным интегральным условием

3.2.5. Решение, позволяющее учесть зависимость проницаемости от вертикальной координаты

3.3. Вычислительный эксперимент

3.4. Оценка вклада «геометрического фактора» в поле давления слоисто-неоднородной пористой среде

3.5. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

А, В, С, Е, ¥„ Q - вспомогательные функции; g - ускорение свободного падения, м/с2; к - полутолщина пласта, м;

&г, кг(г&), кх(га), кг(г&) - компоненты тензора проницаемости, м2; т - пористость;

р - параметр преобразования Лапласа - Карсона;

Р - безразмерное давление;

Р0 - амплитудный перепад давления, Па;

Р01 - характерный перепад давления, Па;

Ра - гидростатическое давление при = 0 м, Па;

Ра - давление, Па;

Р1 - давление в точке линеаризации, Па;

Г0 - радиус скважины, м;

Q - дебит скважины, м3/с;

Т - температура, К;

? - безразмерное время;

V - скорость фильтрации, м/с;

х у а, - координаты прямоугольной системы, м;

х, у, г - безразмерные декартовые координаты;

г ф, - координаты цилиндрической системы, м;

г, ф, г - безразмерные цилиндрические координаты;

в/ - сжимаемость жидкой фазы, 1/Па;

в - сжимаемость скелета, 1/Па;

е - параметр асимптотического разложения;

^ - вязкость, Па-с;

р0 - плотность жидкой фазы в точке линеаризации, кг/м3; р05 - плотность скелета в точке линеаризации, кг/м3; т - время, с;

X - пьезопроводность, м2/с.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поле давления в анизотропном трехслойном пористом пласте с вертикальной неоднородностью»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность и степень разработанности темы диссертации.

Задачи о полях давления в проницаемых пластах составляют теоретическую основу разработки нефтегазовых месторождений. Разнообразие природных условий определяет большой спектр задач, решение которых позволит разработать рекомендации по оптимизации эксплуатации пластов.

Реальные коллекторы нефти и газа являются неоднородными, поскольку чаще всего представляют слоистые структуры с отличающимися коллекторскими свойствами. Наиболее частым проявлением неоднородности является наличие относительно высокопроницаемых пропластков в общей структуре пласта, при этом и сам пропласток имеет вертикальную неоднородность. Такие пропластки создаются также искусственно, при заполнении пропантом горизонтальных трещин, возникающих при гидроразрыве пласта. Исследование полей давления в условиях, приближенных к реальным, сводится к решению задач сопряжения, содержащих уравнения с переменными коэффициентами.

Невозможность построения точного аналитического решения таких задач требуют как развития аналитических методов, так и совершенствования численных алгоритмов. Среди аналитических методов наибольшими перспективами выделяются асимптотические, являющиеся важнейшими при решении задач механики жидкости и газа. Анализ литературы убеждает в том, что методика применения асимптотических методов к задачам сопряжения с переменными коэффициентами развита недостаточно. Не существует общих методов выбора параметра асимптотического разложения, не разработаны рекомендации по формулировке дополнительных условий, необходимых для обеспечения единственности решения задач для коэффициентов его асимптотического разложения и т.п.

Результаты исследования полей давления в таких системах расширяют классические результаты до возможностей параметрического анализа нестационарных процессов фильтрации в слоисто-неоднородных, анизотропных средах с межпластовыми перетоками флюида. Определение основных, влияющих на изучаемый процесс, параметров позволит оптимизировать технологию разработки конкретного месторождения. Кроме того, приближенные аналитические решения позволяют изучать возможности упрощения используемой математической модели с сохранением ее адекватности изучаемому процессу, а также тестировать новые высокопроизводительные алгоритмы.

Все вышеизложенное свидетельствует об актуальности выбранной темы исследования.

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование полей давления, возникающих при фильтрации флюида в трехслойном пористом пласте, центральная область которого обладает вертикальной неоднородностью, а покрывающие и подстилающие породы являются однородными и ортотропными, на основе асимптотических методов.

Основные задачи исследования:

- создание математической модели поля давления в трехслойном анизотропном пористом пласте, позволяющей учитывать неоднородность центрального пропластка и горизонтальные трещины;

- применение различных модификаций асимптотического метода формального параметра к задачам о поле давления в трехслойном анизотропном пористом пласте с произвольным распределением проницаемости по толщине центрального пропластка;

- изучение вклада физических параметров пласта и геометрии течения флюида на распределение давления в продуктивном пласте и окружающих породах на основе расчетов пространственно-временных зависимостей.

Научная новизна. Впервые получены асимптотические решения задач о поле давления в трехслойном анизотропном пористом пласте, в котором проницаемость центрального пропластка произвольным образом зависит от вертикальной координаты, при различных режимах эксплуатации пласта (заданная депрессия и отбор) и при различной геометрии течения флюида. Полученные решения использованы для изучения вклада параметров пласта и геометрии течения флюида на распределение поля давления в пласте.

Теоретическая и практическая значимость диссертации заключается в том, что полученные результаты представляют научную основу для совершенствования технологии добычи жидких и газообразных полезных ископаемых. Они в первую очередь предназначены для использования при расчетах параметров отбора и закачки в неоднородный пористый пласт в нефтегазовой промышленности, гидрогеологии и экологии. Полученные решения могут быть использованы также при тестировании новых численных алгоритмов при расчетах полей давления в неоднородных анизотропных пластах.

Методология и методы диссертационного исследования. Основными методами решения задач, представленных в работе, является развитый при участии автора асимптотический метод «покоэффициентного пространственного осреднения», «в среднем точный» асимптотический метод и интегральные преобразования. Для построения графических зависимостей использовались стандартные математические программные пакеты.

Достоверность полученных результатов исследования базируется на том, что в основе построенной математической модели лежат уравнения, выведенные из фундаментального законов сохранения. Полученные решения в частных случаях совпадают с результатами предыдущих исследователей и согласуются с экспериментом.

Сопоставление частных случаев полученных решений задач для асимптотических коэффициентов с результатами разложения точного

решения задачи в ряд Маклорена по формальному асимптотическому параметру также подтверждает достоверность результатов диссертационного исследования.

На защиту выносятся следующие оригинальные результаты:

1. Аналитические решения задач о квазистационарном поле давления в трехслойном анизотропном пористом пласте, центральный пропласток которого обладает вертикальной неоднородностью, в нулевом и первом асимптотических приближениях для случаев заданного отбора и депрессии, на основании которых:

- установлено, что асимптотически осредненное по толщине центрального слоя значение поля давления (нулевой коэффициент асимптотического разложения) не зависит от распределения вертикальной составляющей проницаемости, а горизонтальная компонента проницаемости входит в решение только в виде среднеинтегрального значения;

- получены зависимости, устанавливающие взаимосвязь поля давления и распределения проницаемости по толщине пласта.

2. Необходимый критерий и соотношения, позволяющие использовать для расчетов поля давления в слоисто-неоднородном коллекторе модель эквивалентного однородного пласта, для которого значение горизонтальной составляющей проницаемости в центральном пропластке равно интегрально усредненному значению горизонтальной составляющей проницаемости неоднородного пласта.

3. Установленные закономерности формирования поля давления в неоднородных анизотропных пластах, заключающиеся в том, что:

- максимум возмущения давления относительно центра пласта смещается в сторону максимума функции проницаемости центрального пропластка при условии, что функция проницаемости имеет один максимум, а настилающие и подстилающие породы имеют одинаковые гидродинамические характеристики;

- максимум возмущения давления относительно центра пласта смещается в сторону окружающего пропластка с меньшей проницаемостью при условии, что центральный пропласток является однородным.

Апробация работы. Результаты данной работы доложены и обсуждены на Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математическое моделирование процессов и систем», СФ БашГУ (Стерлитамак, 2013), Всероссийской научно -практической конференции с международным участием «Математическое моделирование процессов и систем», СФ БашГУ (Стерлитамак, 2014), XXVIII Международной научно-практической конференции «Естественные и математические науки в современном мире» (Новосибирск, 2015), Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математическое моделирование процессов и систем», СФ БашГУ (Стерлитамак, 2015), научной конференции «Актуальные вопросы современной науки и образования» (Нефтекамск, 2016), XLIII Международной научно-практической конференции «Естественные и математические науки в современном мире» (Новосибирск, 2016), Международной конференции «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики», приуроченной к 110-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова, МГУ (Москва, 2016), Международной конференции «Актуальные проблемы науки и техники», УГНТУ (Уфа, 2016), V Всероссийской научно-практической конференции, приуроченной к 110-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова, СФ БашГУ (Стерлитамак, 2016), научном семинаре института механики им. Р.Р. Мавлютова УНЦ РАН (Уфа, 2017), научном семинаре ИМСС УрО РАН (Пермь, 2018), научном семинаре кафедры аэрогидромеханики КФУ (Казань, 2018).

Публикации. Основные результаты исследований, проведенных в рамках диссертации, опубликованы в 19 научных работах; 5 из них - в журналах рекомендованных ВАК РФ, 1 работа - в издании, входящем в международную систему цитирования Scopus.

Личный вклад соискателя заключается в:

- развитии модели фильтрации флюида в слоисто неоднородном анизотропном пористом пласте, позволяющей учитывать распределение проницаемости по толщине центрального слоя;

- построении решений задач о поле давления в слоисто-неоднородном пористом пласте на основе асимптотических методов;

- проведении расчетов полей давления в пласте с произвольным распределение проницаемости по толщине;

- сопоставлении результатов моделирования с экспериментальными данными и результатами работы других исследователей.

Результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ В НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТАХ

В первой главе приведен обзор основных научных результатов, достигнутых к настоящему времени в задачах теории фильтрации в неоднородных анизотропных пластах, осуществлен анализ физических процессов, протекающих при фильтрации нефти в пористой среде.

Представлены математические постановки задач о поле давления при фильтрации флюида в слоисто -неоднородном ортотропном пласте, эксплуатируемом в режимах заданной депрессии и отбора или закачки для случаев радиального и плоского течений.

1.1. Проблемы моделирования фильтрации в неоднородных

анизотропных пластах

Неоднородность пород, даже в пределах одной залежи, настолько сложна и бессистемна [1-18], что очень сложно и, скорее всего, невозможно оценить ее суммарное влияние одним или несколькими аналитическими решениями и экспериментальными исследованиями. Выделяют 3 вида неоднородности пласта: слоистая, зональная, а так же пласты с непрерывной или случайной неоднородностью [19, 20]. Влияние неоднородности пласта изучают косвенными методами, исследуя в отдельности разнообразие наиболее характерных типов пористых сред.

Одним из наиболее распространенных типов неоднородности является слоистость горных пород, обусловленная природой осадкообразования, перерывами и резкими изменениями условий накопления осадков. Слоистый характер горных пород является следствием таких природных явлений, как сезонные и суточные колебания в климате и погоде, изменение в скорости и направлении течений вод и ветра, и других причин. В зависимости от

степени проявления этих факторов, мощности слоев могут изменяться от долей сантиметров до метров. Проницаемые пропластки часто изолированы друг от друга непроницаемыми перемычками. Однако в природе встречаются случаи, когда такие перемычки отсутствуют, и горные породы представляют собой гидродинамически связанную по мощности толщу. В математической постановке задач в этом случае на условной границе раздела пластов задаются условия сопряжения. Данный тип неоднородности широко распространен и в нефтяных коллекторах, например, на Туймазинском месторождении; такая слоистость характерна и для нефтенасыщенных пород Александровской площади [21, 22, 23] учет слоистости требует наличия в постановке задач более одного уравнения.

К одному из основных факторов, обуславливающих повышение уровня сложности моделирования фильтрационной среды, относится анизотропия структуры пустотного пространства флюидонасыщенных пород-коллекторов. Анизотропия способна существенно влиять на фильтрационные характеристики коллектора, а также на процесс фильтрации [24].

В реальных пластах нефти и газа анизотропия обусловлена несколькими факторами: трещиноватостью, слоистостью, наличием включений в коллекторах, которые приводят к различиям свойств по направлениям. Например, в слоисто-неоднородных пластах фильтрационные свойства вдоль направления напластования значительно отличаются от свойств в перпендикулярном слоям направлении и т.п. [19].

Учет анизотропии, неоднородности, нестационарности, несовершенства вскрытия пласта усложняет постановку и решение соответствующих задач.

1.2. Обзор исследований фильтрационных процессов

Интерес ученых к процессу фильтрации жидкости в пористой среде активизировался еще в начале XX века. Родоначальниками изучения

процесса движения жидкости в пористой среде были: Н.Н. Павловский, Н.Е. Жуковский, Л.С. Лейбензон, М. Маскет и др. [25-27].

В 1934 г. Л.С. Лейбензон опубликовал монографию, в которой впервые были систематично изложены основы общей теории фильтрации, а также представлены важнейшие исследования в области подземной нефтяной гидравлики [25]. А.М. Пирвердян в своем труде «Физика и гидравлика нефтяного пласта» представил соотношения, определяющие давление при линейной фильтрации жидкости в однородном коллекторе [28, 29]. В.Н. Щелкачев описал распределение давления при одномерном плоском или радиальном движении жидкости в однородном изотропном пласте [30].

Г.Б. Пыхачевым была решена задача о работе отдельной скважины в однородном пласте, ограниченном снизу и сверху непроницаемыми перемычками [31].

А.И. Ибрагимовым, А.А. Некрасовым построено квазианалитическое решение задачи о притоке однородной жидкости в однородной пористой среде к горизонтальной скважине [32].

К.С. Басниевым была рассмотрена задача о нестационарном поле давления при одномерной фильтрации флюида в однородном изотропном пласте [19, 20], однако это решение справедливо, если только границы интервалов перфорации совпадают с границами пласта. В скважинных условиях такое совпадение по технологическим причинам практически невозможно, поэтому предположение о независимости поля давления от вертикальной координаты (одномерная фильтрация) не оправдывается.

Также К.С. Басниевым была рассмотрена стационарная фильтрация флюида в слоистом пласте [19, 20], пропластки считались изолированными друг от друга глинистыми перемычками, но в природе встречаются случаи, когда эти перемычки отсутствуют [21].

К классическим работам относятся [33 - 41], однако в этих работах не представлена модель, где учтены: неоднородность, слоистость, анизотропия,

нестационарность поля давления, а так же возможность наличия трещин гидроразрыва.

Учет анизотропии требует использования тензорного описания фильтрационных характеристик пористых сред. Стоит отметить, что, так как фильтрация - это очень медленный процесс, то изменение температуры, из-за течения, а также расширения флюида при уменьшении давления, успевает компенсироваться за счет теплообмена с окружающими горными породами. Большинство исследователей по этой причине считают этот процесс изотермическим [20].

Приближенные аналитические методы неизбежно обладают погрешностью относительно точных решений. Однако процесс решения задач значительно упрощается. Они позволяют анализировать вклад разнообразных условий и параметров пластовой системы [27, 67 - 75].

Наиболее распространенным является метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС). Суть метода ПССС, разработанного И.А. Чарным, заключается в том, что в каждый момент времени течение рассматривается как установившееся, при этом вводится параметр, зависящий от времени, а также для упрощения производная Эр/Зт считается равной нулю [19, 20, 71, 75]. Главный плюс этого метода - это его простота, которая позволяет оперативно получить необходимое решение. Простоту этого метода можно отнести и к его минусам, так как упрощенная модель позволяет определить решение с приемлемой точностью только при постоянных краевых условиях первого и второго рода [71]. К минусам относится и тот факт, что в точке перехода от возмущенной области к невозмущенной наблюдается излом распределения давления. Эти минусы являются одними из причин расхождения результатов метода ПССС и точного решения.

Попытки устранения недостатков метода ПССС привели к появлению новых методов. Так метод Пирвердяна аналогичен методу ПССС и уточняет его, распределение давления в пределах возмущенной зоны задается

квадратичной параболой [19, 20, 28, 29]. Это позволило избавиться от излома в точке перехода между областями.

Погрешность этого метода составляет 9 %, что в 2.5 раза меньше, чем погрешность метода ПССС. Однако метод Пирвердяна, как и метод ПССС, позволяет рассчитывать поля давления только для однородных пластов [71].

Г.И. Баренблаттом создан метод интегральных соотношений (МИС). Он предложил использовать приближенные методы теории пограничного слоя в решении задач фильтрации жидкости. В возмущенной части пласта распределение давления представляется в виде:

х х2 х" Р(х,?) = а0(г) + а\(г)-+ а,(?)-+... + а (?)-, (12 1)

(,) 0() 1()/(о 2()12(?) "()I"(?) (А.2.А)

где /(?) - размеры возмущенной зоны, " - выбирается в зависимости от требуемой точности, а0(?), а^), агф... аЛ?) - коэффициенты многочлена [68 - 71]. Задача сводится к получению коэффициентов многочлена и /(?), которые возможно получить из граничных условий на границе зоны возмущения и забое скважины и из особых интегральных соотношений [68 -71]. К плюсам этого метода можно отнести возможность найти решение для неоднослойных моделей и определить возмущение давления с необходимой точностью, но чем большая необходима точность, тем сложнее становится решение. Кроме того, метод не позволяет решить задачу с переменными коэффициентами проницаемости.

Развитие компьютерной техники привело к совершенствованию численных моделей процесса фильтрации в нефтяных коллекторах. Так численные решения задач разработки неоднородных пластов изложены в работах Г.Г. Вахитова [42, 43], М.Т. Абасова [44], В.Н. Щелкачева [30], М.А. Гусейн-заде [45, 46], Н.Д. Морозкина [47], Р.Ф. Шарафутдинова [48], Г.В. Голубева [49], А.Г. Баламирзоева, А.М. Зербалиева, В.В. Иванова [50], В.Д. Слабнова, В.В. Скворцова [51] и др. [52 - 63]

С.А. Константинова в своей работе численно рассчитала поле давления пласта, но расчеты были произведены при условии, что в окрестности скважины проницаемость принимается постоянной [61].

Наряду с вычислительными методами современные исследователи используют комбинированные аналитико-численные методы решения задач теории фильтрации. Это связанно с расширением возможностей современных вычислительных средств для расчетов усложненных аналитических зависимостей в том числе полученных в неявном виде, а так же найденных с помощью интегральных преобразований.

Применение комбинированных методов в задачах фильтрации в анизотропных пластах с коэффициентами проницаемости, зависящими от пространственных координат, связанно со многими трудностями. Например, для получения точного решения задач даже с постоянными коэффициентами, как правило, необходимо применять интегральные преобразования [63], но для анализа результата и построения графических зависимостей необходимо совершить обратный переход, что связанно с существенными трудностями. Поскольку задача содержит переменные коэффициенты, то получение аналитического решения существенно усложняется. И даже если его удастся получить в явном виде, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретации или численных расчетов [59, 64, 65].

Один из вариантов использования комбинированного аналитико-численного метода представлен в работе В.М. Ентова и Е.М. Чехонина в своей работе [66] рассматривают трехслойный пласт, эксплуатируемый в режиме постоянной депрессии, однако пропластки считаются однородными и изотропными. В статье применен численно-аналитический подход.

А.И. Филипповым и его учениками [76 - 99] при создании теории температурных процессов и массообмена при закачке жидкости в пласт, фильтрации газожидкостных смесей и аномальной жидкости, а так же для решения задач скважинной термодинамики был разработан «в среднем

точный» асимптотический метод. Позже в диссертационной работе Ахметовой О.В. [79] этот метод был расширен для решения нелинейных задач, содержащих переменные коэффициенты (метод «покоэффициентного пространственного усреднения»). В представленной работе развитый метод в модификации «покоэффициентного пространственного усреднения» впервые использован для исследования фильтрационных полей в неоднородных анизотропных пластах, когда компоненты проницаемости зависят от пространственных координат. Это позволило построить аналитические решения ряда актуальных задач и наметить пути дальнейшего использования метода в фильтрационных задачах.

В отличие от описанных выше результатов, полученное в представленной диссертации решение (благодаря учету распределения проницаемости по толщине пласта) позволяет получить распределение давления в трехслойном анизотропном пористом пласте без трещин, с одной или несколькими бесконечными горизонтальными трещинами, заполненными проппантом, а так же рассчитать поле давления для трещины, заполненной проппантом и окруженной породой с вертикальными трещинами.

1.3. Постановка задач о поле давления в неоднородном анизотропном проницаемом пласте

Процесс формирования осадочных пород определяет сложное строение коллекторов нефти и газа. В силу этого эксплуатируемые пласты реальных месторождений имеют слоистую структуру, проницаемость которой зависит от вертикальной координаты.

Анализ показывает, что любой реальный пласт состоит из наиболее проницаемой части, которая, как правило, перфорируется. Наиболее проницаемые слои коллекторов нефти и газа окружены слабопроницаемыми породами. В этих породах, в силу их малой проницаемости, наблюдаются значительные градиенты давления, так что даже при незначительной их

толщине возмущения давления, вызванные эксплуатацией, быстро затухают при удалении от центральных хорошо проницаемых слоев. Это означает, что в математической постановке задач, без потери точности, окружающие породы можно считать полубесконечными.

Важным свойством реальных пластов является их анизотропия, выражающаяся, например, в том, что проницаемость пород в направлении напластования и поперечном направлении существенно различаются.

Для того чтобы аналитически описать процесс фильтрации в слоисто -неоднородном коллекторе, используют модели, описывающие одномерную фильтрацию в системе изолированных слоев, где в каждом из них происходит отбор (или закачка) [19, 68]. Однако на практике слои и пропластки коллекторов представляют собой связанную гидродинамическую структуру [21]. По этой причине, даже если отбор осуществляется только из одного или нескольких пропластков, возмущение давления распространится и на неперфорированные слои пласта. Известные одномерные модели в таких условиях не являются полностью адекватными практическим условиям, а двумерные модели фильтрации содержат переменные коэффициенты, что создает существенные теоретические трудности и требует развития новых математических методов.

Это означает, что развитые аналитические модели одномерной фильтрации являются сильно идеализированными и не обеспечивают достаточной детальности процессов фильтрации в условиях реальных коллекторов. Практические потребности исследования фильтрации в таких условиях требуют развития математических моделей полей давления в неоднородных анизотропных коллекторах.

1.3.1. Уравнение пьезопроводности для анизотропной среды с вертикальной (слоистой) неоднородностью

Основными физическими процессами, которые происходят при фильтрации флюида в пористом пласте, являются конвективные потоки, вызванные градиентами давления, диффузия и теплопроводность.

Для математического описания поля давления в пористой среде используется уравнение пьезопроводности. Оно следует из закона сохранения массы, представленного для подвижной фазы в пористой среде в виде уравнения неразрывности [30, 68]

^ + V(pv)= 0, (1.3.1)

ОТ

Для линеаризованных уравнений состояния жидкой фазы р = p(Pd, T) = = Р0 (1 + в/ (Pd - P/)) и скелета ps = ps(Pd, T) = p0s (1 + Ps (Pd - P/)) баротропное приближение для pm представлено в линеаризованном виде pm = p0m0 (1 + Pef (Pd - P/)). Здесь p0, p0s и P/ - плотности жидкости, материала скелета и давление в точке линеаризации. Выражение для эффективной сжимаемости запишется как Pef = m0^i + (1 - m0)Ps.

Тогда производная по времени в левой части уравнения (1.3.1) запишется как

-°(mP) = P0m0Pef (1.3.2)

Поток массы при этом представляется как

pv = р0 (1 + в/(Pd - P/))v . (1.3.3)

Скорость фильтрации подчиняется закону Дарси, который для анизотропной неоднородной среды записывается в виде [19]

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Губайдуллин Марат Радикович, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Борисов, Ю.П. Учет неоднородности пласта при проектировании разработки нефтяной залежи / Ю.П. Борисов // Труды ВНИИ, вып. XXI.

- 1959. - С. 245-260.

2. Боровский, М.Я. Физические свойства горных пород верхней части геологического разреза республики Татарстан: плотность, пористость / М.Я. Боровский, А.С. Борисов, Н.Н. Равилова, Е.Г. Фахрутдинов // Ученые записки Казанского университета. Естественные науки. - Т. 153.

- № 3. - 2011. - С. 220-229.

3. Валиуллин, Р.А. Математическое моделирование восстановления давления в системе пласт - многоствольная скважина / Р.А. Валиуллин, Р.Ф. Шарафутдинов, М.Ф. Закиров, А.А. Садретдинов, В.Н. Федоров, М.А. Ихсанов // Нефтяное хозяйство. - № 10. - 2010. - С. 104-116.

4. Вафин, Р.Ф. Породы-коллекторы сверхвязких нефтей уфимского комплекса Больше-Каменского месторождения и их свойства / Р.Ф. Вафин, А.Г. Николаев, Р.Д. Валеева // Ученые записки Казанского университета. Естественные науки. - Т. 152. - № 1. - 2010. - С. 215-225.

5. Губайдуллин, Д.А. Идентификация тензоров коэффициентов проницаемости неоднородного анизотропного трещиновато-пористого пласта / Д.А. Губайдуллин, А.И. Никифоров, Р.В. Садовников // Вычислительная механика сплошных сред. - Т. 4. - № 4. - 2011. - С. 11-19.

6. Гурбатова, И.П. Влияние структуры порового пространства на масштабный эффект при изучении фильтрационно-емкостных свойств сложнопостроенных карбонатных коллекторов / И.П. Гурбатова,

B.А. Кузьмин, Н.Н. Михайлов // Геология нефти и газа. - № 2. - 2011. -

C. 74-82.

7. Дмитриев, М.Н. К представлению функций относительных фазовых проницаемостей для анизотропных пористых сред / М.Н. Дмитриев,

Н.М. Дмитриев, В.М. Максимов // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - № 3. - 2005. - С. 118-125.

8. Дмитриев, М.Н. Тензорные характеристики фильтрационно-емкостных свойств анизотропных пористых сред. теория и эксперимент / М.Н. Дмитриев, Н.М. Дмитриев, В.М. Максимов, М.Т. Мамедов // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - № 2. -2012. - С. 57-63.

9. Дмитриев, Н.М. Законы фильтрации с предельным градиентом в анизотропных пористых средах / Н.М. Дмитриев, В.М. Максимов, М.Т. Мамедов // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - № 2. - 2010.- С. 64-71.

10. Дмитриев, Н.М. Нелинейные законы фильтрации для ортотропных пористых сред / Н.М. Дмитриев, А.А. Мурадов, А.А. Семенов // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. -№ 5. - 2008. - С. 83-89.

11. Дмитриев, Н.М. Представление тензора коэффициентов проницаемости для анизотропных трещиноватых коллекторов / Н.М. Дмитриев, А.М. Нуриев // Труды Российского государственного университета нефти и газа им. И.М. Губкина. - № 3. - 2015. - С. 31-38.

12. Дмитриев, Н.М. Эффект асимметрии при фильтрации в анизотропных пористых средах / Н.М. Дмитриев, В.В. Кадет, Н.Н. Михайлов, А.А. Семенов // Технологии нефти и газа. - № 1 (48). - 2007. - С. 52-55.

13. Котенёв, А.Ю. Моделирование процесса вытеснения нефти в неоднородных коллекторах / А.Ю. Котенёв, О.Ф. Кондрашев, Р.Ф. Шарафутдинов, А.А. Садретдинов // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». - № 2. - 2010. - С. 28-32.

14. Максимов, В.М. Нелинейные эффекты при фильтрации вязкопластичных жидкостей в анизотропных пористых средах / В.М. Максимов, Н.М. Дмитриев // Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений. - № 5. - 2002. - С. 59-63.

15. Саттаров, М.М. Определение дебитов скважин, эксплуатирующих неоднородный пласт / М.М. Сатаров. - Изв. вузов, «Нефть и газ», 1960. -№ 4. - С. 67-71.

16. Требин, Г.Ф. Нефти месторождений Советского Союза / Г.Ф. Требин, Н.В. Чарыгин, Т.М. Обухова. - М.: Недра, 1980. - 583 с.

17. Хасанов, М.М. Определение проницаемости из данных геофизических исследований скважин как некорректно поставленная задача / М.М. Хасанов, С.И. Спивак, Д.Р. Юлмухаметов // Нефтегазовое дело. -№ 1. - 2005. - С. 155-161.

18. Хасанов, М.М. Определение профиля вертикального распределения проницаемости с учетом данных эксплуатации скважин / М.М. Хасанов, К.В. Торопов, А.А. Лубнин // Нефтяное хозяйство. - № 8. - 2009. -С. 26-31.

19. Басниев, К.С. Нефтегазовая гидромеханика: учеб. пособие для вузов / К.С. Басниев, Н.М. Дмитриев, Г.Д. Розенберг. - М.-Ижевск: ИКИ, 2005. - 544 с.

20. Басниев, К.С. Подземная гидромеханика / К.С. Басниев, И.Н. Кочина, В.М. Максимов. - М.: Недра, 1993. - 416 с.

21. Баишев, Б.Т. Функции распределения проницаемости и учет неоднородности пласта при проектировании разработки нефтяных месторождений / Б.Т. Баишев // Труды ВНИИ, вып. 28. - М.: Гостоптехиздат, 1960. - С. 39-66.

22. Бан, А. Об основных уравнениях фильтрации в сжимаемых пористых средах / А. Бан, К.С. Басниев, В.Н. Николаевский // Прикладная механика и техническая физика. - № 3. - 1961. - С. 52-57.

23. Бан, А. Влияние свойств горных пород на движение в них жидкости /

A. Бан, А.Ф. Богомолова, В.А. Максимов, В.Н. Николаевский,

B.Г. Оганджанянц, В.М. Рыжик. - М.: Гостоптехиздат, 1962. - 276 с.

24. Рассохин, С.Г. Анизотропия фильтрационных свойств горных пород и ее влияние на относительные фазовые проницаемости / С.Г. Рассохин. -Геология нефти и газа, 2003. - № 3. - С. 53-56.

25. Лейбензон, Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде / Л.С. Лейбензон - М.-Л.: ОГИЗ-Гостехиздат, 1947. - 244 с.

26. Маскет, М. Физические основы технологии добычи нефти / М. Маскет. - М.-Ижевск: ИКИ, 2004. - 696 с.

27. Маскет, М. Течение однородных жидкостей в пористой среде / М. Маскет. - М.-Ижевск: ИКИ, 2004. - 640 с.

28. Пирвердян, А.М. Приближенное решение задачи о фильтрации жидкости при упругом режиме / А.М. Пирвердян. - Докл. АН Азерб. ССР, г. Баку, 1950. - Т. VI. - № 1. - С.28-32.

29. Пирвердян, А.М. Физика и гидравлика нефтяного пласта / А.М. Пирвердян. - М.: Недра, 1982. - 192 с.

30. Щелкачев, В.Н. Подземная гидравлика / В.Н. Щелкачев, Б.Б. Лапук. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 736 с.

31. Пыхачев, Г.Б. Подземная гидравлика / Г.Б. Пыхачев, Р.Г. Исаев - М.: Недра, 1972. - 360 с.

32. Ибрагимов, А.И. Построение квазианалитического решения задачи о фильтрации однородной жидкости в пористой среде и его применение для получения формулы притока к горизонтальной скважине в ограниченном пласте / А.И. Ибрагимов, А.А. Некрасов // Вычислительные технологии. - Т. 2. - № 6. - 1997. - С. 35-41.

33. Баскаков, А.П. Общая теплотехника / А.П. Баскаков, М.И. Гуревич, Н.И. Решетин и др. - М. -Л.: Государственное энергетическое издательство, 1963. - 392 с.

34. Бузинов, С.Н. Исследование нефтяных и газовых скважин и пластов / С.Н. Бузинов, И.Д. Умрихин. - М.: Недра, 1984. - 269 с.

35. Желтов, Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта / Ю.П. Желтов - М.: Недра, 1975. - 216 с.

36. Котяхов, Ф.И. Физика нефтяных и газовых коллекторов / Ф.И. Котяхов -М.: Недра, 1977. - 287 с.

37. Крылов, А.П. Проектирование разработки нефтяных месторождений /

A.П. Крылов, П.М. Белаш и др. - М.: Гостоптехиздат, 1962. - 430 с.

38. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

39. Николаевский, В.Н. Механика насыщенных пористых сред /

B.Н. Николаевский, К.С. Басниев, А.Т. Горбунов, Г.А. Зотов. - М.: Недра, 1970. - 336 с.

40. Николаевский, В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред / В.Н. Николаевский. - М.: Недра, 1984. - 232 с.

41. Чекалюк, Э.Б. Основы пьезометрии залежей нефти и газа / Э.Б. Чекалюк - Киев: ГИТЛ УССР, 1965. - 286 с.

42. Вахитов, Г.Г. Термодинамика призабойной зоны нефтяного пласта / Г.Г. Вахитов, О.Л. Кузнецов, Э.М. Симкин. - М.: Недра, 1978. - 216 с.

43. Вахитов, Г.Г. Разностные методы решения задач разработки нефтяных месторождений / Г.Г. Вахитов. - Л.: Недра, 1970. - 248 с.

44. Абасов, М.Т. Приток жидкости к скважине в неоднородном пласте / М.Т. Абасов, К.Н. Джалилов. - ДАН Азерб. ССР, 1958. - № 12. - С. 1219.

45. Гусейн-заде, М.А. Особенности движения жидкости в неоднородном пласте / М.А. Гусейн-заде - М.: Недра, 1965. - 276 с.

46. Гусейн-заде, М.А. Влияние проницаемости кровли и подошвы пласта на движение в нем жидкости / М.А. Гусейн-заде. - Нефт. хоз., 1953. -№ 12. - С. 19-24.

47. Морозкин, Н.Д. Расчет пластового давления с помощью метода конечных элементов / Н.Д. Морозкин, Г.С. Бикбулатова // Нефтяное хозяйство. - № 11. - 1998. - С. 28-30.

48. Шарафутдинов, Р.Ф. Моделирование полей давления и температуры в пласте при пуске горизонтальной скважины в работу /

Р.Ф. Шарафутдинов, Р.А. Валиуллин // Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений. - № 3. - 2001. - С. 36-38.

49. Голубев Г.В. Численное решение задачи определения поля давлений в неоднородном трещиновато-пористом пласте / Г.В. Голубев // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2003. - № 4. - С. 26-30.

50. Баламирзоев, А.Г. Математическое моделирование нестационарной фильтрации упругой жидкости в неоднородном пласте /

A.Г. Баламирзоев, А.М. Зербалиев, В.В. Иванов // Вестник Дагестанского государственного технического университета. - 2013. - № 31. - С. 50-54.

51. Слабнов, В.Д. Численное определение давления и оптимальных показателей скважин при решении краевых задач двухфазной фильтрации с помощью линейного программирования / В.Д. Слабнов,

B.В. Скворцов. - Математическое моделирование, 2009. - Т. 21. - № 11. - С. 83-98.

52. Walt Fair, Jr. Numerical Laplace Transforms and Inverse Transforms in C# [Электронный ресурс]. - http://www.codeproject.com/Articles/25189/ Numerical-Laplace-Transforms-and-Inverse-Transform. Дата обращения: 19.10.2015.

53. Алиев, З.С. Исследование изменения коэффициента продуктивности скважин при давлениях ниже давления насыщения / З.С. Алиев, Р.Ф. Сагдиев, Б.Е. Сомов, И.Н. Стрижов // Нефтепромысловое дело. -1999. - № 10. - С. 39-43.

54. Байков, В.А. Моделирование фильтрационного течения углеводородов в пористой среде на многопроцессорных вычислительных системах / В.А. Байков, Р.К. Газизов, С.Ю. Лукащук, М.Л. Хаит, А.В. Юлдашев // Научный сервис в сети интернет: технологии параллельного программирования. - 2006. - С. 106-108.

55. Беляев, Р.В. Численное исследование двухфазной фильтрации при закачке многофункционального реагента в низкопроницаемый пласт / Р.В. Беляев, А.С. Беляева, В.Н. Киреев, С.Ф. Урманчеев // Сб. докладов

XI Всеросс. съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. - 2015. - С. 439-440.

56. Борщук, О.С. Нелинейная фильтрация в низкопроницаемых коллекторах, численная схема, анализ устойчивости и сходимости / О.С. Борщук,

B.П. Житников // Научно-технический вестник ОАО «НК «Роснефть».-№ 2 (31). - 2013. - С. 13-16.

57. Крянев, Д.Ю. Проблемы и перспективы повышения эффективности разработки нефтяных месторождений / Д.Ю. Крянев, С.А. Жданов // Академия энергетики. - № 6 (38). - 2010. - С. 46-49.

58. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. - М.: Гостехтеорпздат, 1952. - 676 с.

59. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука,1972. - 736 с.

60. Плохотников, С.П. Математическое моделирование фильтрации в слоистых пластах / С.П. Плохотников, Р.Х. Фатыхов. - Казань.: КГУ, 2006. - 173 с.

61. Константинова, С.А. Влияние неоднородности нефтеносного пласта по проницаемости на динамику пластового давления / С.А. Константинова,

C.В. Топоркова, В.А. Карабатов. - ГИАБ, 2006. - № 11. - С. 37-43.

62. Brown, L.P. Pressure Transient Behavior of the Composite Reservoir / L.P. Brown // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. Conference Paper. - 1985. - P. 50-66.

63. Stehfest, H. Algorithm 368: Numerical inversion of Laplace transforms / H. Stehfest // Communications of the ACM. - 1970. - V. 13. - № 1. - P. 4749.

64. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов - М.: Высшая школа, 1970. - 712 с.

65. Найфе, А.Х. Методы возмущений / пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 456 с.

66. Ентов, В.М. Поле давления вокруг скважины в слоисто-неоднородном пласте / В.М. Ентов, Е.М. Чехонин // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2007. - № 1. - С. 83-90.

67. Багдерина, Ю.Ю. Приближенно инвариантные решения дифференциальных уравнений с малым параметром / Ю.Ю. Багдерина, Р.К. Газизов // Дифференциальные уравнения. - Т. 41. - № 3. - 2005. -С. 347-355.

68. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1984. - 211 с.

69. Баренблатт, Г.И. О некоторых приближенных методах в теории одномерной неустановившейся фильтрации жидкости при упругом режиме / Г.И. Баренблатт // Известия АН СССР, ТН. - 1954. - № 9. -С. 35-49.

70. Баренблатт, Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1972. - 288 с.

71. Белова, А.В Теоретические основы приближенных методов решения уравнения пьезопроводности / А.В. Белова - М.: «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2006. - 99 с.

72. Булыгин, В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта / В.Я. Булыгин. - М.: Недра, 1974. - 232 с.

73. Валиуллин, Р.А. Баротермический эффект при трехфазной фильтрации с фазовыми переходами / Р.А. Валиуллин, А.Ш. Рамазанов, Р.Ф. Шарафутдинов // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - № 6. - 1994. - С. 113-116.

74. Механика в СССР за 50 лет. Т. 2. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1970. - 880 с.

75. Чарный, И.А. Подземная гидродинамика / И.А. Чарный - М.: Гостоптехиздат, 1963. - 396 с.

76. Ахметова, О.В. Нулевое асимптотическое приближение в задаче о поле давления с переменными коэффициентами / О.В. Ахметова,

М.Р. Губайдуллин, Р.В. Сираев, Е.Н. Фаттахова // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLIII Междунар. науч.-практ. конф. № 6 (41). - Новосибирск: СибАК, 2016. - С. 91-99.

77. Ахметова, О.В. Квазистационарные поля давления при линейной фильтрации в неоднородном анизотропном пласте в асимптотическом приближении / О.В. Ахметова, А.И. Филиппов, И.М. Филиппов // Механика жидкости и газа. - 2012. - № 3. - С. 89-100.

78. Ахметова, О.В. Новый метод исследования полей давления в неоднородном ортотропном пористом пласте / О.В. Ахметова, П.Н. Михайлов, И.М. Филиппов // Вестник Башкирского университета. -Т. 18. - № 2. - 2013. - С. 363-366.

79. Ахметова, О.В. Температурные поля турбулентных и ламинарных течений в скважинах: дис. ... д-ра физико-математических наук. -Тюмень: ТюмГУ, 2017.

80. Ковальский, А.А. Анализ асимптотического решения задачи о поле давления в слоисто-неоднородном пласте / А.А. Ковальский, О.В. Ахметова, М.Р. Губайдуллин, Р.В. Сираев // Матер. Всеросс. науч. конф. «Актуальные вопросы современной науки и образования». -Нефтекамск, 2016. - С. 137-141.

81. Михайлов, П.Н. Температурные поля в скважине и пластах при фильтрации химически- и радиоактивных растворов в асимптотическом приближении: дис. ... д. ф.-м. н.: 01.04.14 / П.Н. Михайлов. -Стерлитамак, 2009. - 396 с.

82. Филиппов, А.И. Асимптотически осредненное решение задачи о поле давления в слоисто-неоднородной пористой среде / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, М.Р. Губайдуллин // Нефтегазовое дело: электрон. науч. журн. - № 3. - 2015. - С. 693-712. URL: http://ogbus.ru/issues/3_2015/ ogbus_3_2015_p693 -712_FilippovAI_ru.pdf.

83. Филиппов, А.И. Моделирование полей давления в слоисто -неоднородном анизотропном пласте при различных режимах течения / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, М.Р. Губайдуллин // Матер. IV Всеросс. науч.-практ. конф. - Стерлитамак, 2015. - С. 144-148.

84. Филиппов, А.И. Поле давления при радиальной фильтрации в неоднородном ортотропном пласте в асимптотическом приближении / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, М.Р. Губайдуллин // Инженерно-физический журнал. - 2015. - Т. 88. - № 6. - C. 1285-1297.

85. Филиппов, А.И. Асимптотический метод покоэффициентного осреднения в задаче о поле давления в неоднородном трехслойном пласте / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, А.А. Ковальский, М.Р. Губайдуллин // Современные проблемы математической физики и вычислительной математики: Тезисы докладов международной конференции. - М.: МГУ имени М.В. Ломоносова: МАКС Пресс, 2016. -С. 248.

86. Филиппов, А.И. Первое асимптотическое приближение задачи о поле давления в неоднородной ортотропной пористой среде / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, А.А. Ковальский, М.Р. Губайдуллин // Известия Уфимского научного центра РАН. - 2016. - № 1. - С. 5-12.

87. Филиппов, А.И. Асимптотическое приближение решения пространственно-симметричной задачи о поле давления с переменными коэффициентами / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, А.А. Ковальский, М.Р. Губайдуллин // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. ст. по матер. XXXVIII Междунар. науч.-практ. конф. - № 9 (31). - Новосибирск: СибАК, 2016. - С. 100-109.

88. Филиппов, А.И. Поле давления в неоднородных ортотропных пористых пластах / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, А.А. Ковальский, М.Р. Губайдуллин // Сб. трудов II Всеросс. науч.-практ. конф. с междунар. участием. - Стерлитамак, 2013. - С. 165-169.

89. Филиппов, А.И. Первое приближение задачи о поле давления в неоднородной ортотропной пористой среде / А.И. Филиппов, М.Р. Губайдуллин // Естественные и математические науки в современном мире. - 2015. - № 28. - С. 29-35.

90. Филиппов, А.И. Нулевое асимптотическое приближение для поля давления в трехслойной анизотропной среде / А.И. Филиппов, М.Р. Губайдуллин, Е.В. Антонова // Сб. трудов III Всеросс. науч. -практ. конф. с междунар. участием. - Стерлитамак, 2014. - С. 201-206.

91. Филиппов, А.И. Приближенное описание поля давления в неоднородном анизотропном пористом пласте / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, И.М. Филиппов // науч. тр. Стерлитамакской гос. пед. акад. им. Зайнаб Биишевой. Физико-математические и естественные науки. - 2011. -№ 1. - С. 122-131.

92. Филиппов, А.И. Фильтрационное поле давления при постоянном отборе / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, И.М. Филиппов // Инженерно-физический журнал. - T. 85. - № 1. - 2012. - С. 1052-1064.

93. Филиппов, А.И. Асимптотически осредненное решение задачи о поле давления в слоисто-неоднородной пористой среде при закачке радиоактивных растворов / А.И. Филиппов, М.Р. Губайдуллин, А.Н. Рахимова // Матер. V Всеросс. науч.-практ. конф., приуроченной к 110-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова. Часть 3. -Стерлитамак, 2016. - С. 195-200.

94. Филиппов, А.И. Поле давления в слоисто-неоднородном пласте при закачке радиоактивных растворов / А.И. Филиппов, А.А. Ковальский, М.Р. Губайдуллин // Матер. V Всеросс. науч. -практ. конф., приуроченной к 110-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова. Часть 3. - Стерлитамак, 2016. - С. 190-194.

95. Филиппов, А.И. Расчет поля давления в трехслойном анизотропном пористом пласте с вертикальной неоднородностью при закачке радиоактивной смеси / А.И. Филиппов, Губайдуллин, А.Н. Рахимова //

Сб. трудов IX Междунар. конф. «Актуальные проблемы науки и техники». Часть 2. - 2016. - С. 204-206.

96. Филиппов, А.И. Теоретическое исследование зависимости полей давления от физических свойств пластов при закачке радиоактивных растворов / А.И. Филиппов, М.Р. Губайдуллин, Р.В. Сираев // Сб. трудов IX Междунар. конф. «Актуальные проблемы науки и техники». Часть 2. - 2016. - С. 206-209.

97. Филиппов, А.И. Задача о поле давления в трехслойном неоднородном анизотропном пористом пласте при отборе или закачке / А.И. Филиппов, А.А. Ковальский, М.Р. Губайдуллин // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLVIII Междунар. науч. -практ. конф. - Новосибирск: СибАК. - 2016. - С. 38-46.

98. Filippov A.I., Akhmetova O.V., Filippov I.M. Filtration pressure field in an inhomogeneous bed in constant drainage // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2012. - V. 85. - № 1. - P. 1-18.

99. Akhmetova, O.V. Quasi-Steady-State Pressure Fields in Linear Flow through a Porous Inhomogeneous Anisotropic Reservoir in the Asymptotic Approximation / O.V. Akhmetova, A.I. Filippov, I.M. Filippov // Fluid dynamics. - Vol. 47. - No. 3. - 2012. - рр. 364-374.

100. Диткин, В.А. Операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников. - М.: Высшая школа, 1966. - 406 с.

101. Диткин, В.А. Справочник по операционному исчислению / В.А. Диткин, А.П. Прудников. - М.: Высшая школа, 1965. - 466 с.

102. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 636 с.

103. Корн, Г.А. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / Г.А. Корн, Т.М. Корн. -М.: Наука, 1970. - 720 с.

104. Кузнецов, Д.С. Специальные функции / Д.С. Кузнецов. - М.: Высшая школа, 1965. - 420 с.

105. Варгафтик, Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей / Н.Б. Варгафтик. - М.: Наука, 1972. - 721 с.

106. Чекалюк, Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта / Э.Б. Чекалюк. - М.: Недра, 1965. - 238 с.