ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Умаров Хасан Галсанович

• Умаров Хасан Галсанович
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Умаров Хасан Галсанович

Введение

Глава 1. Основные понятия подземной гидродинамики

и сильно непрерывные полугруппы операторов

§ 1. Моделирование и эксплуатация нефтяного пласта

§ 2. Неустановившееся фильтрационное течение в трещиновато-пористой среде

§ 3. Сильно непрерывные полугруппы операторов

§ 4. Дробные степени производящего оператора с неограниченным обратным

Глава 2. Задача Коши для уравнения В(щ + Аи) = Аи

§ 5. Постановка задачи Коши с оператором —В, порождающим полугруппу

с отрицательным типом

§ 6. Фундаментальное оператор-решение задачи Коши с оператором —В,

порождающим полугруппу с отрицательным типом

§ 7. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши с

оператором —В, порождающим полугруппу с отрицательным типом

§ 8. Задача Коши для неоднородного уравнения с оператором —В,

порождающим полугруппу с отрицательным типом

§ 9. Явный вид решения задачи Коши для уравнений

анизотропной фильтрации

§ 10. Постановка задачи Коши с оператором —В,

порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 11. Четномерный случай задачи Коши с оператором —В,

порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 12. Нечетномерный случай (п > 3) задачи Коши с оператором —В,

порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 13. Общая формулировка результата (п > 2) для задачи Коши с оператором —В,

порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 14. Одномерный случай задачи Коши с оператором —В,

порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 15. Пример приложения задачи Коши с оператором —В,

порождающим полугруппу с нулевым типом

Глава 3. Начально-краевая задача в полупространстве

для уравнения В(щ + Аи) = Аи

§ 16. Постановка начально-краевой задачи в полупространстве с оператором —В,

порождающим полугруппу с отрицательным типом

§ 17. Фундаментальное оператор-решение начально-краевой задачи

в полупространстве с оператором —В, порождающим полугруппу

с отрицательным типом

§ 18. Теоремы существования и единственности решения начально-краевой задачи в полупространстве с оператором —В, порождающим полугруппу

с отрицательным типом

§ 19. Начально-краевая задача в полупространстве для неоднородного уравнения

с оператором —В, порождающим полугруппу с отрицательным типом

§ 20. Задача без начального условия в полупространстве с оператором —В,

порождающим полугруппу с отрицательным типом

§ 21. Явный вид решения начально-краевой задачи в полупространстве

для уравнений анизотропной фильтрации

§ 22. Постановка начально-краевой задачи в полупространстве с оператором —В,

порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 23. Многомерный случай начально-краевой задачи в полупространстве

с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 24. Одномерный случай начально-краевой задачи в полупространстве

с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 25. Пример приложения начально-краевой задачи в полупространстве

с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом

Глава 4. Начально-краевая задача в пространственном слое

для уравнения В(щ + Аи) = Аи

§ 26. Постановка начально-краевой задачи в пространственном слое

с оператором —В, порождающим полугруппу с отрицательным типом

§ 27. Фундаментальное оператор-решение смешанной задачи

в пространственном слое с оператором —В, порождающим полугруппу

с отрицательным типом

§ 28. Теоремы существования и единственности решения начально-краевой задачи в пространственном слое с оператором —В, порождающим

полугруппу с отрицательным типом

§ 29. Начально-краевая задача в пространственном слое для неоднородного уравнения с оператором —В, порождающим полугруппу

с отрицательным типом

§ 30. Явный вид решения смешанной задачи в пространственном слое

для уравнений анизотропной фильтрации

§ 31. Постановка начально-краевой задачи в пространственном слое

с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 32. Многомерный случай начально-краевой задачи в пространственном слое

с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 33. Одномерный случай начально-краевой задачи в пространственном слое

с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом

§ 34. Пример приложения начально-краевой задачи в пространственном слое

с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом

Глава 5. Некоторые математические модели, реализующиеся через

псевдопараболические уравнения

§ 35. Задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной

в случае изотропной трещиновато-пористой среды

§ 36. Явный вид решения задачи Коши для уравнения движения

грунтовых вод со свободной поверхностью

§ 37. Явный вид решения задачи Коши для линеаризованной

системы уравнений фазового поля

§ 38. Явный вид решения линейного уравнения квазистационарных

процессов в полупроводниках

§ 39. О разрешимости уравнения Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса

в пространстве непрерывных ограниченных функций

§ 40. Разрешимость задачи Коши для уравнения Аллера

в пространстве непрерывных ограниченных функций

§ 41. О разрешимости одномерного уравнения Кана-Хилларда

с вязкостью в пространстве непрерывных ограниченных функций

Заключение

Библиографический список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена исследованию неклассических моделей математической физики на основе дифференциальных уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, и, в частности, математических моделей гидродинамических процессов в трещиновато-пористых средах. Построены точные решения задачи Коши для модельного представления Баренблатта-Желтова-Кочиной фильтрации углеводородов в изотропных трещиновато-пористых пластах (также разработана программа, реализующая численное исследование этой модели) и начально-краевых задач для предложенных нами математических моделей фильтрации (на основе модельного представления Баренблатта-Желтова-Кочиной) в анизотропных пластах с ярко выраженными вертикальными или горизонтальными проницаемо-стями. Развитый, с использованием теории полугрупп сильно непрерывных операторов, подход к решению задач фильтрации применяется в диссертации также для исследования математических моделей описывающих эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости, движение влаги в капиллярно-пористых почвах с фрактальной структурой, динамику кристаллизации в многокомпонентных сплавах с учетом вязкости, квазистационарные процессы в полупроводниках и др. Этот подход позволил провести качественное и количественное исследование решения задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной в изотропном трещиновато-пористом пространстве, впервые выписать в явном виде аналитическое решение этой задачи и сравнить точное решение с численным, используя алгоритм, реализованный в виде программы в среде пакета Maple. Также этот подход позволил впервые получить аналитические формулы и оценки решений начально-краевых задач для уравнений анизотропной фильтрации в трещиновато-пористых полупространстве и пространственном слое с ярко выраженными вертикальными или горизонтальными проницаемостями; впервые получить решение и провести исследование разрешимости некоторых математических моделей представляющихся через дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно временной производной.

Решение практических задач нефтегазодобывающей промышленности, водоснабжения и мелиорации, проблем связанных с захоронением вредных промышленных стоков и защитой водоносных горизонтов от загрязнения и засоления требует развития теоретических исследований в области подземной гидродинамики в наиболее общей их постановке с учетом пространственного характера практических задач фильтрации и сложной структуры горных пород. Разрушительное действие фильтрационных потоков необходимо учитывать при проектировании гидроэнергетических и гидромелиоративных сооружений, а также при добыче полезных ископаемых, прогнозируя изменения, которые могут произойти в естественных грунтовых потоках.

Возрастающие мировые потребности в углеводородном сырье ведут к поиску новых нефтегазоносных месторождений, которые часто оказываются трещиноватыми горными породами с развитой системой трещин, полностью или частично обуславливающими фильтрационные свойства пластов. Модели фильтрации в зернистых пористых средах, в которых жидкость содержится и движется в межзерновом пространстве, не описывают в полной мере особенности фильтрации в трещиновато-пористых и слоисто-неоднородных пластах, что приводит к необходимости создания новых моделей фильтрации. Из всего многообразия гидродинамических моделей фильтрации углеводородов в трещиновато-пористых пластах, наиболее широкое применение получила модель Баренблатта-Желтова-Кочиной (модель двойной пористости), в которой описание течения в трещиновато-пористой породе производится методами механики сплошной среды. Рассматривая трещиновато-пористую породу с жидкостью как сплошную среду, в качестве элементарного микрообъема берется объем, размеры которого велики по сравнению с размерами отдельного блока, т.е. за элемент пласта принимается объем, содержащий большое количество блоков, и усреднение фильтрационных характеристик проводится в пределах этого элемента. Под значениями всех величин в точке понимаются средние значения по некоторым таким объемам, содержащим данную точку. Трещиновато-пористый пласт представляет собой совокупность пористых блоков, отделенных один от другого развитой системой трещин, при этом гидравлическая проводимость системы трещин во много раз больше гидравлической проводимости блоков, хотя суммарный объем трещин мал и основные запасы углеводородов заключаются в пористых блоках. Характерной особенностью фильтрации в трещиновато-пористых средах является то, что между системами пор и трещин может происходить интенсивный обмен жидкостями. Систему трещин и систему пор представляют как совмещение двух пористых сред с порами разных масштабов: первая среда — укрупненная среда, в которой роль зерен играют пористые блоки, которые рассматриваются как непроницаемые, а роль поро-вых каналов — трещины; вторая среда — система пористых блоков, состоящая из зерен, разделенных мелкими порами. Таким образом, в каждой точке среды заданы два давления жидкости — давление в трещинах и давление в порах блоков [8], [10], [11].

Основные положения теории нестационарной фильтрации в трещиновато-пористых и слоисто-неоднородных пластах сформулированы в работе Г.И. Баренблатта, Ю.П. Желтова и И.Н. Кочиной 1960 года [10], а затем развиты многими авторами [98], [8], [12]. Исследованию течения жидкости в трещиновато-пористых средах посвящены монографии Г.И. Баренблатта, В.М. Ентова, В.М. Рыжика [8], [11], Ю.П. Желтова [37], [38], Е.С. Ромма [103], [104], В.Н. Майдебора [79], Р.В. Николаевского [87], К.С. Басниева, И.Н. Кочиной, В.М. Максимова [12], А. Бана, А.Ф. Богомолова, В.А. Максимова, В.Н. Николаевского, В.Г. Оганджанянц, В.М. Рыжика [7], Л.Г. Наказной [84], Р.В. Шаймуратова [132], Х. Азиз,

Э. Сеттари [2], J.L. Vazquez [202], R.E. Showalter [192] и др. Отдельные задачи фильтрации нефти в трещиновато-пористых коллекторах рассмотрены в работах [1], [5], [6], [22], [24], [25], [30], [31], [34], [40], [90], [99]-[102], [134], [137], [142] - [144], [157], [160], [162] - [164], [166], [185], [186], [203] - [205]. В работе [26] методами интегральных преобразований исследованы задачи о притоке жидкости к скважине в среде с двойной пористостью. В работе [4] авторы применили для расчета фильтрации в среде с двойной пористостью теоремы сравнения. В работах [9], [11] исследованы, используя операционный метод, одномерные задачи о притоке жидкости скважине в трещиновато-пористом пласте. Разнообразные задачи фильтрации в среде с двойной пористостью рассмотрены, в том числе используя методы теории сильно непрерывных полугрупп операторов, в работах [187],[188] - [193].

Исследование движения однородной слабосжимаемой жидкости в трещиновато-пористых средах приводит [8, гл.3, § 4] к математической модели Баренблатта-Желтова-Кочиной — дифференциальному уравнению в частных производных третьего порядка

ди дА3и . ч

^-M~lt = XA3U, (01)

где А3 = А= д2/дх2 + д2/ду2 + d2/dz2 — дифференциальный оператор Лапласа в трехмерном евклидовом пространстве R3, ш и х — положительные постоянные, зависящие от геометрических характеристик пласта (в частности, имеет место линейная зависимость ш и х от проницаемости к) и свойств фильтрующейся жидкости.

Трещины в горных породах в подавляющем большинстве расположены не хаотично, а по определенным системам, каждая из которых ориентирована в пространстве. В горных пластах распространена анизотропия связанная или с естественной слоистостью осадочных пород или с развитой системой параллельных микротрещин, вызванных напряжениями в горной породе, при этом если пласт характеризуется ярко выраженной анизотропией трещиноватой среды, то это порождает значительную неоднородность пласта по проницаемости. Так, например, в грозненских нижнемеловых залежах отмечается ярко выраженное вертикальное направление трещиноватости, которое порождает значительную неоднородность пласта по проницаемости, поэтому фильтрационный поток в основном осуществляется «снизу - вверх» [79, с. 85, с. 201].

Для анизотропных пластов с выраженными горизонтальными и вертикальными направлениями трещиноватости, модельное представление фильтрации Баренблатта-Желтова-Кочиной примет [8] вид

ди дА2и д3и . д2и

где А2 = Аху = д2/дх2 + д2/ду2 — оператор Лапласа на плоскости R2, причем, в зависимости от направления трещиноватости, одни коэффициенты уравнения существенно меньше других.

Если направление трещиноватости вертикальное, то, пренебрегая изменением фильтрационного потока в «горизонтальном» направлении (слагаемым ш dA2u/dt), от (0.2) переходим к математической модели фильтрации в анизотропной среде, в которой фильтрационный поток в основном осуществляется «снизу - вверх»:

ди д3и д2и . „ч

= . (0.3)

В этом случае в «горизонтальном» направлении происходит [98, с. 418] беспрепятственный обмен жидкостью между блоками и трещинами, а рассматриваемая среда в этом направлении не будет по своему макроскопическому поведению отличаться от обычной пористой среды, что соответствует уменьшению размеров блоков и возрастанию плотности трещиноватости [103, с. 192] в «горизонтальном» направлении.

Если же направление трещиноватости горизонтальное, то, пренебрегая в (0.2) изменением фильтрационного потока в «вертикальном» направлении (слагаемым ш0 d3u/dz2dt), приходим к математической модели фильтрации в анизотропной среде, в которой направление фильтрационного потока в основном «горизонтальное»:

ди дД2и . д2и .ч

^-ш~1г-хА2и = х°^, (04)

что соответствует уменьшению размеров блоков и возрастанию плотности трещиноватости в «вертикальном» направлении.

В диссертации исследованы математические модели фильтрации в изотропной и, с ярко выраженной вертикальной или горизонтальной проницаемостью, анизотропных средах с нахождением в явном аналитическом виде решений смешанных начально-краевых задач для уравнений (0.1) - (0.4).

Решения начально-краевые задач для каждого из уравнений (0.1) - (0.4) найдены сведением рассматриваемых задач нестационарной фильтрации к решению, методами теории сильно непрерывных полугрупп линейных ограниченных операторов класса С0, соответствующих задач для абстрактного дифференциального уравнения обобщающего уравнения (0.1) - (0.4) в произвольном банаховом пространстве Е:

B(ut + Аи) = uXlXl + ■■■ + иХпХп + f(x, t), (0.5)

где А, B — операторы, действующие в пространстве Е. Для соответствующих абстрактных начально-краевых задач получены интегральные представления решения уравнения (0.5) через начальную и граничные функции по классической схеме, с применением операторнозначного аналога фундаментального решения. Затем, конкретизируя банахово пространство и действую-

щие в нем операторы — коэффициенты уравнения, из решения абстрактной задачи и оценки его нормы получено решение рассматриваемой анизотропной задачи фильтрации и его оценка.

Дифференциальные уравнения (0.1) - (0.4), не разрешенные относительно производной по временной переменной t, принадлежат псевдопараболическому подклассу уравнений соболевского типа [108].

Исследованию разнообразных прямых и обратных начальных и смешанных начально -краевых задач для дифференциальных уравнений

But +Au = F, (0.6)

где А, В — операторы, действующие в банаховом пространстве Е, а свободный член уравнения F — заданная достаточно гладкая функция со значениями в Е, посвящено большое количество работ.

Уравнения вида (0.6) возникают как при моделировании процессов фильтрации в трещиновато-пористых средах, так и при рассмотрении теплопереноса в гетерогенных средах [105], [131], [149], ползучести элементов конструкций [97], волновых процессов [140] и квазистационарных процессов в кристаллических полупроводниках [108].

Одним из первых исследований дифференциальных уравнений, не являющихся уравнениями Коши-Ковалевской, является работа С.Л. Соболева [114] о малых колебаниях вращающейся жидкости, поэтому уравнения вида (0.6) и уравнения более высокого порядка по t, не разрешенные относительно временных производных, часто называют уравнениями соболевского типа. В литературе употребляются также термины «псевдопараболические уравнения» [152], [53], «уравнения типа Соболева» [109], «уравнения типа Соболева-Гальперна» [194]. Исследования С.Л. Соболева были продолжены в многочисленных работах, из которых отметим здесь работы Р.А. Александряна [3], С.А. Гальперна [16] - [18], В.И. Маслениковой [80] - [82], В.П. Маслова [83], М.И. Вишика [14], А.Г. Костюченко и Г. И. Эскина [71], [72], Т.И. Зеленяка [41] - [43] и др. Имеется целый ряд монографий и обзорных статей, где излагается современное состояние теории таких уравнений и приведена подробная библиография (см., например, работы A.B. Al'shin, M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov [134]; А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер [108]; G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii [155]; G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov [198]; RE. Showalter, T.W. Ting [195]; A. Favini, A. Yagi [159] и др.). В этих работах исследованы вопросы разрешимости, асимптотического поведения и разрушения решений уравнений соболевского типа, указаны многочисленные приложения теории этих уравнений.

Различные начально-краевые задачи для линейных и нелинейных уравнений вида (0.6) рассматривались во многих работах [13], [20], [21], [28], [32], [36], [39], [44], [52], [54], [76], [78], [88], [89], [95], [116], [119], [120], [138], [139], [145], [147], [148], [150], [151], [153], [154],

[156], [167] - [169], [171] - [173], [175], [179] - [184], [188], [196], [197], [199] - [201], [206]. В частности, в работах R.E. Showalter, T.W. Ting [195], Gopala Rao [182], используя преобразование Фурье, исследованы вопросы существования и единственности решения псевдопараболического уравнения в пространствах Соболева. Х. Гаевский, К. Грегер и К. Захариас в работе [15] рассмотрели вопросы локальной разрешимости для уравнений псевдопараболического типа в абстрактных банаховых пространствах. А.Г. Свешников и А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер в ряде работ [108], [135], [56] - [70], [91] - [93] исследовали условия разрушения решения линейных и нелинейных уравнений вида (0.6). А.И. Кожановым [50], [51], [55] найдены достаточные условия, при которых справедливы теоремы сравнения решений первой краевой задачи для псевдопараболического уравнения. В работе А.Л. Гладкова [19] исследован вопрос о единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения псевдопараболического типа. Разные аспекты теории уравнений соболевского типа, используя полугруппы операторов с нетривиальными ядрами и образами, исследованы в работах Г.А. Свиридюка, Т.Г. Сукачевой и В.Е. Федорова др. [198], [109] - [113], [121] - [127]. Е.И. Кайкина, П.И. Наумкин, И.А. Шишмарев в серии работ [46] - [49], [133] исследовали асимптотическое поведение при больших временах решения задачи Коши для нелинейного уравнения типа Соболева. В работе А.П. Солдатова и М.Х. Шханукова [115] построен аналог функции Римана для псевдопараболических уравнений и с его помощью изучены краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского. G. Karch [165] исследовал существование решения задачи Коши для псевдопараболического уравнения и его поведение при t ^ Работа И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, С.В. Попова [35] посвящена исследованию псевдопараболических уравнений с незнакоопределенным или необратимым оператором при старшей производной во времени. В монографиях Г.В. Демиденко, В.Г. Перепелкина и С.В. Успенского [29], [118], [155] изучены задача Коши и смешанные задачи для дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной, установлены условия разрешимости в весовых соболевских пространствах, доказаны теоремы единственности, получены априорные оценки решений. A. Favini, A. Yagi рассмотрели в работе [159] в абстрактной постановке вырождающиеся уравнения псевдопараболического типа.

Таким образом, исследование математических моделей, представляемых уравнениями соболевского типа, имеет не только теоретическое, но и важное прикладное значение.

В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и функционального анализа, в частности, методы теории сильно непрерывных полугрупп линейных ограниченных операторов и разностные методы с применением алгоритма прогонки и программирование в среде Maple

Приступим теперь к изложению основных результатов диссертации, состоящей из пяти

глав.

Первая глава (§§ 1-4) носит вспомогательный характер. Здесь приводятся необходимые сведения и понятия подземной гидродинамики и теории сильно непрерывных полугрупп.

В § 1 и § 2 рассматриваются вопросы фильтрации в трещиновато-пористых и слоисто-неоднородных пластах. Фильтрационные свойства горных пород зависят от наличия в них различного рода пустот, сохраняющих свои характерные особенности в некотором определенном объеме среды. К таким пустотам относятся поры и трещины между твердым скелетом породы, сложенном из зерен — сцементированных или несцементированных частиц разнообразной формы и различных размеров. Для характеристики совокупности трещин в пласте введено понятие «трещиноватость» [104, с. 5], понимая её как своеобразную пористость, при которой роль зерен играют блоки (массивы породы без трещин), а роль пор — трещины. Подавляющее большинство трещин в горных породах расположены не хаотично, а по определенным системам, каждая из которых характеризуется сохраняющимися в рамках данной системы параметрами трещиноватости. К таким параметрам, существенно влияющим на фильтрационный поток, также относится и ориентация трещин в пространстве, порождающая ярко выраженную анизотропию горного пласта и являющейся специфической характеристикой нефтяного коллектора (для некоторых пластов [79, с. 230] отношение проницаемостей составляет 144:1). Поэтому одной из основных задач является исследование фильтрации в анизотропных трещиновато-пористых средах [104, с. 111].

В § 3 приведены основные элементы теории сильно непрерывных линейных полугрупп в банаховых пространствах и примеры полугрупп класса С0. Теория однопараметрических полугрупп линейных ограниченных операторов возникла в середине 20-го века в работах таких известных математиков, как Э. Хилле, Р. Филиппс, К. Иосида и В. Феллер. Основные применения этой теории — абстрактная задача Коши и случайные процессы. Имеется целый ряд монографий, в которых излагается современное состояние теории линейных ограниченных полугрупп операторов и приведена подробная библиография, например, Э. Хилле, Р. Филиппс [130], С.Г. Крейн [74], Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц [27], К. Иосида [45], М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский [73], R.Z. Butzer, H. Berens [146], A.C. McBride [174], A. Pazy [178] и др.

В § 4 на подмножествах Ev банахова пространства Е определены отрицательные дробные степени B-v, v > 0, с оператором —В, порождающим полугруппу UQ, —В) с нулевым типом, и выведены свойства этих степеней. Результаты § 5 опубликованы в работах [208], [210], [225] и являются новыми.

Вторая глава (§§ 5-15) посвящена нахождению явного вида решения начальной задачи для уравнений (0.3), (0.4) анизотропной фильтрации в случае ярко выраженной вертикальной или горизонтальной проницаемости, что достигается рассмотрением абстрактной задачи Коши:

ult=0 = ((x), х G Rn, (0.7)

где (р(х) — заданная функция со значениями в банаховом пространстве Е, для уравнения (0.5) в котором операторы —В, —A являются производящими операторами коммутирующих полугрупп класса С0, причем тип полугруппы U(t;—B) — отрицательный: \\U(t;—B)\\ < Mexp(—(t), \\U(t; —А)\\ < Nexp(at), M,N, ( G R+ = ]0, +™[, a G R1, t G Rl = [0, +от[; а функция f(x, t), (x, t) G Rn X [0, T[ — заданная непрерывная функция со значениями Е.

Фундаментальным оператор-решением задачи Коши (0.5), (0.7) является операторно-значная функция

G(f' T:X-с) = (^U(t — * —A)U —b) В"'2

где 0 < т < t, %,х G Rn, lx — = (x1 — ^)2 + - + (xn — %n)2.

Используя свойства фундаментального оператор-решения доказаны теоремы единственности и существования решения абстрактной задачи Коши (0.5), (0.7):

Теорема единственности решения задачи Коши (§§ 7, 8). Пусть решение u(x, t) задачи Коши (0.5), (0.7) удовлетворяет условиям \\u(x, t)\\, ||ux.(x, t)||Vt < l(t)exp(q|x|2), i = 1,n, q < (/(4T), в которых A(t), t G [0, T[, — непрерывная функция, тогда в каждой точке (x, t) G Rn X]0,T[ имеет место формула

u(x, t) = Bn/2 fRnG(S, 0; X, t)B~n/2 ((Od$ + Bn/2-1 £ dx fR7lG($, т; X, t)B~n/2 f($, x)d^ =

=ijkr U(t] —A)Bn/2 fRnU d1^; —B) dt+

+(^Bn/2-1 £ U(—* —A) sRnU &; —B) к, оdf. (08)

Теорема существования решения задачи Коши (§§ 7, 8). Пусть значения начального данного ((X) принадлежат множеству V(A) nV(ABn/2) nV(Bn/2+2) и справедливы оценки норм непрерывных функций HABn/2((x)H HBn/2+2((x)H < Kexp(hlxl2), h<(/(4T), K = const, и пусть значения свободного члена f(x, t) принадлежат V(A) П V(ABn/2-1) П V(Bn/2), а значения частных производных fXi(x, t), i = 1,п, — множеству V(Bn/2) и справедливы оценки норм непрерывных функций HBn/2f(x,t)H HABn/2~1f(x,t)H, HBn/2fx.(x,t)H < $(t) exp(h|x|2), (x,t) G Rn X [0, T[, где ((t) G C([0,T[,R+), тогда решение задачи Коши (0.5), (0.7) в каждой точке (x, t) G Rn X ]0, T[ дается формулой (0.8) и для него справедлива оценка нормы

\\u(x, Я\\ < [Т + £exP(—exp + Ы2)-

В § 8 рассмотрена задача Коши для неоднородного уравнения (0.5).

В § 9 получен явный вид решения задачи Коши в анизотропном пространстве для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной. Для того чтобы из формулы (0.8) решения задачи Коши (0.5), (0.7) вывести явный вид решения задачи фильтрации в случае ярко выраженной горизонтальной трещиноватости полагаем, что начальная функция <р(х,у,г) и искомое решение и(х,у,г,1) уравнения (0.4), для всех значений (г^) Е Е1 X [0, Т[ по переменным (х,у) Е И2, принадлежат банахову пространству Ьр(И2), 1 < р < В этом пространстве оператор

-В = —А2 - — I, Ъ(В) = {ф Е 1р(Я2): обобщенная производная А2\р Е Ьр(И2)}, (0.9)

Хо Хо

где I — тождественный оператор, порождает [116], [145] полугруппу класса С0 с отрицательным типом

и(и -АЖх,у) = ехр (-±)и(—иЬ2)ф(х,у) =

= 1 ехр ехр(-$2-Л2)*р(х + 2$^—~Ьу + 2г1 ) Ц&ц. (0.10)

А ограниченный оператор

Х

-А =-[(1 -шА2)-1 -I], Ъ(А) = ЬЛЯ2), 1<р <+™, (0.11)

—

порождает сжимающую сильно непрерывную полугруппу класса С0

и(Р;-АЖх,у)= ехр (--^ \ф(х,у)+ ехр(-5) II (2^¡')и(5Ш;А2Жх,у)^

(0.12)

где ^(О — модифицированная функция Бесселя.

Из представлений (0.10), (0.12) следует коммутирование полугрупп и(•; -В), и(•; -А). Используя операторы (0.9), (0.11), уравнение (0.4) переписывается в виде абстрактного однородного дифференциального уравнения В(щ + Аи) = игг. Значит размерность п в формуле (0.8) в этом случае равна единице, а свободный член — функция х, 1) = 0.

Используя представления (0.10), (0.12) полугрупп и представление корня квадратного из оператора В, из формулы (0.8) получаем явный вид решения задачи Коши для уравнения (0.4) анизотропной фильтрации в среде с ярко выраженным горизонтальным направлением трещи-новатости и его оценку в Ьр(И2). Этот результат является новым.

Для того чтобы из формулы (0.8) решения задачи Коши (0.5), (0.7) вывести явный вид решения задачи фильтрации в случае ярко выраженного вертикального направления тре-щиноватости предполагаем, что начальная функция <( х, у, ) и искомое решение и( х, у, , ) уравнения (0.3), для всех значений (х,у,1) Е И2 X [0,Т[, по переменной г Е И1 принадлежат банахову пространству С[-ж, +от] непрерывных функций ^(г) для которых существуют пределы при г ^ ±от; 1№1|С[-ю,+ю] = sup№(z)l

гЕЯ1

В пространстве С[-ю, оператор

-В =—т£-2-1 I Ъ(В) = Шг) Е С[-™,+™]:-ф'(г),-ф"(г) Е С[-^,+™]}, (0.13) является [27] производящим оператором полугруппы класса С0 с отрицательным типом:

(—п . й2

и(Ъ -ВЖг) = ехр (- и (—■ V, £) ^) =

= щ ехр (--) С ехр(-(2)гр [г + 2(1—^) . (0.14)

.....V '\1 х

А ограниченный оператор

-А = —

о-*»*)-1-'

Ъ(А) = С[-т,+т], (0.15)

порождает сжимающую сильно непрерывную полугруппу класса С0

и(и~АЖг) = ехр(-—;г) ехрС-*)^2^)^!^^]. (0.16)

Из представлений (0.14), (0.16) следует перестановочность и(•; -В) и и(•; -А).

Используя операторы (0.13), (0.15), уравнение (0.3) переписывается виде абстрактного однородного дифференциального уравнения В(щ + Аи) = ихх + иуу. В этом случае размерность п в формуле (0.8) равна двум и поэтому в реализации формулы (0.8) в пространстве Е = С[-<ж, +от] нет дробных степеней оператора В.

Используя представления (0.14), (0.16) полугрупп, порождаемых операторами -В, -А, из формулы (0.8) получаем явный вид решения задачи Коши для уравнения (0.3) анизотропной фильтрации в среде с ярко выраженным вертикальным направлением трещиноватости и его оценку в С[-ж, +от]. Этот результат является новым.

Рассмотренные в предыдущих параграфах второй главы дифференциальные уравнения, в силу ограниченной обратимости оператора В, — «параболического вида», т.е. они допускают разрешение относительно производной по времени: щ + Аи = В-1Аи + В-1/(х^). Естественно возникает вопрос, как изменятся требования теоремы существования решения задачи Коши к начальной функции <(х) и свободному члену /(х,€), если снять условие ограниченной обратимости оператора В?

Для ответа на поставленный вопрос рассмотрена вспомогательная задача Коши

В3(щ +Аи) = Ай +/(х, 0, (х^) Е Ип х]0,Т[, (0.17)

и(0,х) = <(х), х Е Ип, (0.18)

где Вд = 81 + В, 8 > 0, операторы -А, -В ф 0 являются производящими операторами коммутирующих полугрупп класса С0, причем, тип полугруппы и(•; -В) равен нулю. Применяя к задаче Коши (0.17), (0.18) вышеприведенную теорему существования, выписываем решение

й(х, 0 = ВЩ/2 ¡ЕП С3а, 0; х, 0В-п/2 <(()й( + ВП/2-1 £ йх ¡п С3а, т; х, 1)В-п/2 /($, (0.19) где С8(^,х;х, Ь) — фундаментальное оператор-решение задачи Коши (0.17), (0.18) получающееся из фундаментального оператор-решения задачи Коши (0.5), (0.7) заменой оператора В на Вд.

В §§ 10-14 установлено, каким условиям достаточно подчинить начальную функцию ((х) и свободный член /(х,1), чтобы существовал предел и(х,€) = Ит^о й{х,€) решения (0.19) задачи Коши (0.17), (0.18) и чтобы предел

и(х, г) = п-п/2и(и -А) ¡кп и(\ц\2; -В)Вп/2((х + 2ц^Д) йц +

+п-п/2 $ и (г; -А) йт и(\ц\2; -В)Вп/2-1[(х + 2ц^т, г-х)йц (0.20)

являлся решением предельной задачи Коши

В(щ+Аи) = Аи + /(х,0, (х,0 Е Яп х]0,Т[, (0.21)

и(0,х) = ((х), х Е Яп, (0.22)

с оператором -В, порождающим полугруппу и(\ -В) с нулевым типом.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Умаров Хасан Галсанович, 2016 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абасов, М.Т. О решении задачи фильтрации нефти в трещиновато-пористых коллекторах / М.Т. Абасов, Э.Л. Азизов, С.С. Салманова // Изв. АН Аз.ССР. Сер. наук о Земле. -1982. - № 3. - C. 43-49.

2. Азиз, Х. Математическое моделирование пластовых систем / Х. Азиз, Э. Сеттари -М. - Ижевск: Ин-т комп. иссл., 2004. - 416 с.

3. Александрян, Р.А. Спектральные свойства операторов, порожденных системой дифференциальных уравнений типа С. Л. Соболева / Р.А. Александрян // Тр. Моск. матем. о-ва. - 1960. - Т. 9. - C. 455-505.

4. Аметов, И.М. Применение теоремы сравнения для расчета фильтрации в средах с "двойной пористостью"/ И.М. Аметов, B.C. Капцанов // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1981. - № 3. -C. 147-151.

5. Асадов, А.Ш. Численное решение задачи линейной фильтрации в гетерогенных средах / А.Ш. Асадов, Г.Н. Адамян, С.Н. Багир-заде // Изв. вузов. Нефть и газ. - 1982. - № 8. -C. 47-52.

6. Багир-заде, С.Н. Нестационарная фильтрация жидкости к прямолинейной галерее в двухслойном трещиновато-пористом пласте / С.Н. Багир-заде, И.А. Насруллаев // Изв. АН СССР. MIT. - 1974. - № 2. - C. 188-192.

7. Бан, А. Влияние свойств горных пород на движение в них жидкости / А. Бан,

A.Ф. Богомолова, В.А. Максимов, В.Н. Николаевский, В.Г. Оганджанянц, В.М. Рыжик - М.: Гостоптехиздат, 1962. - 275 с.

8. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1984. - 211 с.

9. Баренблатт, Г.И. О некоторых краевых задачах для уравнения фильтрации жидкости в трещиноватых породах / Г.И. Баренблатт // ПММ. - 1963. - T. 27. - №2. - C. 348-350.

10. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // ПММ. -1960. - Т. 24. - № 5. -С. 852-864.

11. Баренблатт, Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1972. 288 с.

12. Басниев, К.С. Подземная гидромеханика / К.С. Басниев, И.Н. Кочина,

B.М. Максимов - М.: Недра, 1993. - 416 с.

13. Вайнберг, Б.Р. Асимптотика функций Грина для уравнений Соболева-Гальперна / Б.Р. Вайнберг // Докл. АН CCCP. - 1961. - Т. 136. - № 5. - С. 1015-1018.

14. Вишик, М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения /М.И. Вишик //Матем. сб. - 1956. - Т. 39 (81). - № 1. С. 51-148.

15. Гаевский, Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. - М.: Мир, 1978. 336 с.

16. Гальперн, С.А. Гальперн С.А., Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С.А. Гальперн // Тр. Моск. матем. о-ва. - 1960. Т. 9 - С. 401423.

17. Гальперн, С.А. Задача Коши для уравнений типа С.Л. Соболева / С.А. Гальперн // Докл. АН CCCP. - 1955. - Т. 104. - № 6. - С. 815-818.

18. Гальперн, С.А. Задача Коши для уравнения С.Л. Соболева / С.А. Гальперн // Сиб. матем. журн. - 1963. - Т. 4. - № 4. - С. 758-773.

19. Гладков, А.Л. Единственность решения задачи Коши для некоторых квазилинейных псевдопараболических уравнений / А.Л Гладков // Матем. заметки. - 1996. T. 60. - № 3. -С. 356-362.

20. Глазатов, С.Н. Задача с данными на характеристике для линеаризованного уравнения трансзвуковой газовой динамики / С.Н. Глазатов // Сиб. матем. журн. - 1996. - Т. 37. -№ 5. - С. 1019-1029.

21. Глазатов, С.Н. О разрешимости пространственно-периодической задачи для уравнения Линя-Рейсснера-Цзяна трансзвуковой газовой динамики / С.Н. Глазатов // Матем. заметки. - 2010. - Т. 87. - № 1. - С. 137-140.

22. Голубев, Г.В. Математическое моделирование фильтрации в неоднородных трещиновато-пористых средах / Г.В. Голубев // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 4 (3). - C. 725-727.

23. Градштейн, И.С. Таблицы интнгралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Град-штейн, И.М.Рыжик. - М.: Наука, 1971. - C.1108.

24. Гусейнов, Г.Н. Исследование пространственной фильтрации в пористых и трещиновато-пористых пластах / Г.П. Гусейнов, А.А. Гусейнова, Г.Н. Адамян, С.Н. Багир-заде // Те-матич. сб. тр. Азерб. н.-и. и проектн. ин-та нефт. пром-сти. - 1980. - № 50. - C. 100-109.

25. Гусейнов, Г.Н. Приток жидкости к несовершенной скважине в двухслойном трещиновато-пористом пласте / Г.П.Гусейнов, К.И. Кулиев, А.Г. Керимов // Изв. АН Аз .ССР. Сер. физ.-тех. и мат. н. - 1982, № 3. - С. 118-I25.

26. Гусейнов, Г.Н. Приток жидкости к скважине, частично вскрывающей неоднородный трещиновато-пористый пласт при неустановившемся режиме фильтрации / Г.Н. Гусейнов, С.Н. Багир-заде // Азерб. нефт. хоз-во. - 1971. - № 8 - C. 22-25.

27. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. -М.: ИЛ, 1962. - 896 с.

28. Демиденко, Г. В. Задача Коши для псевдопараболических систем / Г.В. Демиденко // Сиб. матем. журн. - 1997. - Т. 38. - № 6. - С. 1251-1266.

29. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский // Новосибирск: Научная книга, 1998. - C. - 456.

30. Джаббаров, И.И. Восстановление давления в скважинах трещиновато-пористого коллектора / И.И. Джаббаров, Г.И. Адамян, С.Н. Багир-заде // Изв.АН Аз.ССР. Сер.физ.-техн. и мат.н. - 1980. - № 6. С. 103-107.

31. Джаббаров, И.И. Движение жидкости к галереев трещиновато-пористом пласте при упругом режиме фильтрации / И.И. Джаббаров, С.Н. Багир-заде // Изв. АН Аз.ССР. Сер. физ.-техн. и мат. н. - 1981. - № 5. - С. 127-131.

32. Джанашия, Г.И. О единственности решения задачи Коши для уравнений типа С.Л. Соболева / Г.И. Джанашия // Труды совещ. по дифф. ур. - Ереван, 1960. - C. 85.

33. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнений движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // Докл. АН СССР. - 1972. - Т. 202. - № 5. - С. 1031-1033.

34. Дмитриев, Н. М. Определяющие уравнения двухфазной фильтрации в анизотропных пористых средах / Н.М.Дмитриев, В.М. Максимов // Изв. РАН. МЖГ. - 1998. - № 2. -С. 87-94.

35. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов. - Новосибирск: Наука, 2000. - С. 336.

36. Егоров, И.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка / И.Е. Егоров, В.Е. Федоров. - Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН. 1995. - С. 133.

37. Желтов, Ю.П. Деформация горных пород / Ю.П. Желтов. - М.: Недра, 1966. -

201 с.

38. Желтов, Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта / Ю.П. Желтов. - М.: Недра, 1975. - 216 с.

39. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера-Сидорова / С.А. Загребина // Известия вузов. Математика. - 2007.- № 3. С. 22-28.

40. Заславский, М.Ю. О моделировании процессов многофазной фильтрации в трещиноватых средах в применении к задачам адаптации модели месторождения / М.Ю. Заславский, П.Ю. Томин // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. - 2010. - № 45. - 20 с.

41. Зеленяк, Т.И. О некоторых качественных свойствах решений уравнений С.Л. Соболева / Т.И. Зеленяк, М.В. Фокин // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к некоторым задачам математической физики: материалы школы-конф., Улан-Удэ, 1-7 авг. 1973 г. / под ред. С.Л. Соболева; Акад. наук СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т математики. - Новосибирск: Наука, 1973. - С. 121-124.

42. Зеленяк, Т.И. О поведении при t ^ да решений одной задачи С.Л. Соболева / Т.И. Зеленяк // Докл. АН СССР. - 1961. - Т. 139, № 3. - С. 531-533.

43. Зеленяк, Т.И. О смешанной задаче для одного уравнения, не разрешенного относительно старшей производной по времени / Т.И. Зеленяк // Докл. АН СССР. - 1964. - Т.158. № 6. - С. 1268-1270.

44. Иванова, М.В. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области / М.В.Иванова, В.И. Ушаков // Матем. заметки. - 2002. Т. 72. № 1. -С. 48-53.

45. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. - М.: Мир, 1967. - 624 с.

46. Кайкина, Е.И. Асимптотика решений при больших временах для нелинейных уравнений типа Соболева / Е.И. Кайкина, П.И. Наумкин, И.А. Шишмарев // УМН. - 2009. -Т. 64. - Вып. 3 (387). С. 3-72.

47. Кайкина, Е.И. Асимптотическое разложение решений периодической задачи для нелинейного уравнения типа Соболева / Е.И. Кайкина, П.И. Наумкин, И.А. Шишмарев // Изв. РАН. Сер. матем. - 2013. - Т. 77, вып 2. - С. 97-108.

48. Кайкина, Е.И. Задача Коши для уравнения типа Соболева со степенной нелинейностью / Е.И. Кайкина, П.И. Наумкин, И.А. Шишмарев // Изв. РАН. Сер. матем. - 2005. - Т. 69, вып. 1. - С. 61-114.

49. Кайкина, Е.И. Периодическая задача для нелинейного уравнения Соболева / Е.И. Кайкина, П.И. Наумкин, И.А. Шишмарев // Функц. анализ и его прил. - т. 2010. - Т. 44, -Вып. 3. - С. 14-26.

50. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1990. - 132 с.

51. Кожанов, А.И. Начально-краевая задача для уравнений типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником / А.И. Кожанов // Мат. заметки. - 1999. Т. 65. -№ 1. - С. 70-75.

52. Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов, Н.С. Попов // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. -2010. - Т. 10. - Вып. 3. - С. 46-62.

53. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // Докл. РАН. - 1992. - Т. 326. - № 5. - С. 781-786.

54. Кожанов, А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнения теплопроводности и Аллера / А.И. Кожанов // Дифференц. уравнения. -

2004. - Т. 40. - № 6. - С. 763-774.

55. Кожанов, А.И. Теоремы сравнения и разрешимость краевых задач для некоторых классов эволюционных уравнений типа псевдопараболических и псевдогиперболических / А.И. Кожанов. - Новосибирск, 1990. - 30 с. (Препринт/Ин-т математики СО АН СССР; № 17)

56. Корпусов, М.О. Глобальная и локальная разрешимость нелинейных уравнений псевдопараболического типа и некоторых систем уравнений физики полупроводников / М.О. Корпусов // Ломоносовские чтения. Секция физики. Апрель 2002 / Тр. конф. - М.: МГУ, 2002. - С. 50-53.

57. Корпусов, М.О. Глобальная и локальная разрешимость нелинейных уравнений псевдопараболического типа / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения. 11-17 августа 2002. Москва / Тр. междунар. конф. -2002. - С. 56.

58. Корпусов, М.О. Глобальная разрешимость и разрушение за конечное время решений нелинейных уравнений псевдопараболического типа / М.О. Корпусов // Ж. вычисл. мат. мат. физ. - 2002. - Т. 42. - № 6. - С. 849-866.

59. Корпусов, М.О. К вопросу о разрушении за конечное время решения задачи Коши для псевдопараболического уравнения Аи, = Р( и) / М.О. Корпусов // Дифференц. уравнения. -2002. - Т. 38. - № 12. - С. 1-6.

60. Корпусов, М.О. О "разрушении" за конечное время решений начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа с псевдолапласианом / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2005. - Т. 45. - Вып. 2. - С. 272-286.

61. Корпусов, М.О. О "разрушении" решений нелинейных волновых уравнений типа Соболева с кубическими источниками / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Матем. заметки. -

2005. - Т. 78. - Вып. 4. - С. 559-578.

62. Корпусов, М.О. О "разрушении" решений полулинейных уравнений псевдопараболического типа с быстро растущими нелинейностями / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2005. - Т. 45. - Вып. - С. 145-155.

63. Корпусов, М.О. О необходимом и достаточном условии разрушения решения смешанной краевой задачи для одного нелинейного уравнения соболевского типа / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Сиб. электрон. матем. изв. - 2005. - Т. 2. - С. 145-155.

64. Корпусов, М.О. О разрешимости сильно нелинейного уравнения псевдопараболического типа с двойной нелинейностью / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Ж. вычисл. мат. мат. физ. - 2003. - Т. 43. - № 7. - С. 944-962.

65. Корпусов, М.О. О разрушении решений класса сильно нелинейных волновых дис-сипативных уравнений типа Соболева с источниками / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Изв. РАН. Сер. матем. - 2005. - Т. 69. - Вып. 4. - С. 89-128.

66. Корпусов, М.О. О разрушении решения уравнения типа Соболева с нелокальным источником / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Сиб. матем. журн. - 2005. - Т. 46. - Вып. 3. -С. 567-578.

67. Корпусов, М.О. Разрушение решений сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа / М.О. Корпусов // Современная математика и ее приложения. - 2006. -Т. 40. - С. 3-138.

68. Корпусов, М.О. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения псевдопараболического типа в задачах математической физики / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Ж. вычисл. мат. мат. физ. - 2003. - Т. 43. - № 12. - С. 1835-1869.

69. Корпусов, М.О. Условия глобальной разрешимости задачи Коши для полулинейного уравнения псевдопараболического типа / М.О. Корпусов // Ж. вычисл. мат. мат. физ. -2003. - Т. 43. - № 8. - С. 1159-1172.

70. Корпусов, М.О. Энергетическая оценка при больших временах для решения нелинейного уравнения псевдопараболического типа / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Ж. вычисл. мат. мат. физ. - 2002. - Т. 42. - № 8. - С. 1200-1206.

71. Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна /

A.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва. - 1961. - Т.10. - С. 273-285.

72. Костюченко, А.Г. Об уравнениях Соболева-Гальперна / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // УМН. - 1960. Т. 15. - Вып. 2(92). - С. 211-212.

73. Красносельский, М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский. - М.: Наука, 1966. - 500 с.

74. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. - М.: Наука, 1967. - 464 с.

75. Крейн, С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. — М.: Наука, 1971. - 104 с.

76. Любанова, А.Ш. Идентификация коэффициента в старшем члене псевдопараболического уравнения типа фильтрации / А.Ш. Любанова // Сиб. матем. журн. - 2013. - Т.54. -Вып. 6. - С. 1315-1330.

77. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник,

B.И. Соболев - 2-е изд. - М.: Наука, 1965. - 520 с.

78. Ляшко, С.И. Приближенное решение уравнений псевдопараболического типа / С И. Ляшко // Ж. вычисл. мат. мат. физ. - 1991. - Т. 31. - № 12. - С. 1906-1911.

79. Майдебор, В.Н. Особенности разработки нефтяных месторождений с трещиноватыми коллекторами / В.Н. Майдебор. - М.: Недра, 1980. - 288 с.

80. Масленикова, В.И. Асимптотическое поведение решений краевых задач для системы Соболева в полупространстве и явление погранслоя / В.И. Масленикова, М.Е. Боговский // Мат. анализ и смежные вопросы математики. - Новосибирск: Наука, 1978. - С. 109-152.

81. Масленикова, В.И. Оценки в и асимптотика при решения задачи Коши для системы Соболева / В.И. Масленикова // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1968. - Т. 103. -С. 117-141.

82. Масленикова, В.И. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для системы Соболева / В.И. Масленикова // Сиб. матем. журн. - 1968. Т. 9. - № 5. -С. 1182-1198.

83. Маслов, В.П. О существовании убывающего при t ^ решения уравнения С.Л. Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области /

B.П. Маслов // Сиб. матем. журн. - 1968. - Т. 9. - № 6. - C. 1351-1359.

84. Наказная, Л.Г. Фильтрация жидкости и газа в трещиноватых коллекторах / Л.Г. Наказная. - М.: Недра, 1972. - 183 с.

85. Нахушев, A.M. О некоторых способах линеаризации уравнений движения грунтовых вод и почвенной влаги / A.M. Нахушев // Межвуз. сб. «Краевые задачи для уравнений смешанного типа и родственные проблемы функционального анализа и прикладной математики». Вып 2. - Нальчик: КБГУ, 1979. - С. 173-183.

86. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. - М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.

87. Николаевский, В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред / В.Н. Николаевский. - М.: Недра, 1984. - 232 с.

88. Осколков, А.П. К теории устойчивости решений полулинейных диссипативных уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. семин. ЛОМИ. - 1992. - Т. 200. -

C. 139-148.

89. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. семин. ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48; 1988. - Т. 179. - С. 126-164.

90. Пергамент, А.Х. Математическое моделирование фильтрации в трещиноватых средах / А.Х. Пергамент, П.Ю. Томин // Современные проблемы газовой и волновой динамики. - М.: 2009, с. 79.

91. Плетнер, Ю.Д. О свойствах решений уравнений, аналогичных двумерному уравнению Соболева / Ю.Д. Плетнер // Ж. вычисл. матем. матем. физ. - 1991. - Т. 31. - № 10. -С. 1512-1525.

92. Плетнер, Ю.Д. Представление решений двумерных аналогов уравнения Соболева обобщенными рядами Тейлора и Лорана / Ю.Д. Плетнер // Ж. вычисл. матем. матем. физ. -1992. Т. 32. - № 1. - С. 59-70.

93. Плетнер, Ю.Д. Фундаментальные решения операторов типа Соболева и некоторые начально-краевые задачи / Ю.Д. Плетнер // Ж. вычисл. матем. матем. физ. - 1992. - Т. 32. -№ 12. - С. 1885-1899.

94. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. - М.: Наука, 1977. - 664 с.

95. Прокопенко, Л.Н. Задача Коши для уравнений типа С.Л. Соболева / Л.Н. Прокопенко // Докл. АН СССР. - 1958. Т. 122. - № 6.

96. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - М.: Наука, 1983. - 752 с.

97. Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю.Н. Работнов. - M.: Наука, 1967. - с. 752.

98. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967) / Отв. ред. П.Я. Кочина. - М.: Наука, 1969. - 546 с.

99. Райченко, Л.М. Задача о притоке жидкости к совершенной скважине в слое трещиновато-пористых пород при наличии призабойной зоны / Л.М. Райченко // Прикл. мех. -1973. - T. 9. - № 2. - С. 91-95.

100. Райченко, Л.М. Неустановившаяся фильтрация жидкости к несовершенной скважине в ограниченном трещиновато-пористом пласте / Л.М. Райченко // Гидромеханика. - 1981.

- Вып.44. - С. 54-58.

101. Райченко, Л.М. О притоке жидкости к несовершенной скважине в слое трещиновато-пористых пород / Л.М. Райченко // Прикл. мех. - 1976. - Т. 12. - № 2. - С. 133-137.

102. Райченко, Л.М. Приток жидкости к несовершенной скважине в неоднородной среде / Л.М. Райченко //. Прикл. мех. - 1977. Т. 13. - № 9. - С. 108-114.

103. Ромм, Е.С. Структурные модели порового пространства горных пород / Е.С. Ромм. - Л.: Недра, 1985. - 240 с.

104. Ромм, Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород / Е.С. Ромм. -М.: Недра, 1966. - 283 с.

105. Рубинштейн, Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах / Л.И. Рубинштейн // Изв. АН СССР, сер. геогр. - 1948. - T.12. - № 1. - C. 27-45.

106. Самарский А.А. Теория разностных схем/ А.А. Самарский - М.: Наука, 1977. -

656 с.

107. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

108. Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М., 2007. - 736 с.

109. Свиридюк, Г.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. матем. журн. - 1995. - Т. 36. - № 5. - С. 11301145.

110. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейных уравнений типа Соболева высокого порядка / Г.А. Свиридюк, О.В. Вакарина // Дифференц. уравнения. - 1995. - T. 31. - № 11. -С. 1912-1919.

111. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Изв. Иркутского гос. ун-та. Серия «Математика».

- 2010. - Т. 3. - № 1. - С. 104-125.

112. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // УМН. -1994. - Т.49. - № 4. - C. 47-74.

113. Свиридюк, Г.А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения / Г.А. Свиридюк // Докл. АН СССР. - 1986. - T. 289. - № 6. - С. 1315-1318.

114. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.

115. Солдатов, А.П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка / А.П. Солдатов, М.Х. Шхануков // Докл. АН СССР. - 1987. -Т. 297. - № 3. — С. 547-552.

116. Сырникова, О.В. О поведении при больших значениях времени решений второй краевой задачи для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной в неограниченной области / О.В. Сырникова // Матем. Заметки. - 2009. - T. 86. № 2. - С. 318-320.

117. Трибель, Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / Х. Трибель. - М., 1980. - 664 с.

118. Успенский, С.В. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям / С.В. Успенский, Г.В. Демиденко, В.Г. Перепелкин. - Новосибирск: Наука, 1984. - 223 с.

119. Ушаков, В.И. Уравнение соболевского типа с несюръективным оператором при производной по времени / В.И. Ушаков // Изв. вузов. Матем. - 2007. - № 7. - C. 76-79.

120. Фалалеев, М.В. Линейные модели теории вязкоупругости соболевского типа / М.В. Фалалеев // Вестн. ЮУрГУ. Сер. матем. моделир. и программ. - 2013. - Т. 6. - Вып. 4. -С. 101-107.

121. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра анализ. - 2000. - Т. 12. - № 3. - С. 173-200.

122. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах, Матем. сб., 195:8 (2004), 131-160.

123. Федоров, В.Е. Линейные уравнения соболевского типа с интегральным оператором запаздывания / В.Е. Федоров, Е.А. Омельченко // Изв. вузов. Матем. - 2014. - № 1. С. 7181.

124. Федоров, В.Е. Неоднородные линейные уравнения соболевского типа с запаздыванием / В.Е. Федоров, Е.А. Омельченко // Сиб. матем. журн. - 2012. - Т. 53. - Вып. 2. - С. 418429.

125. Федоров, В.Е. Об ограниченных на прямой решениях линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальными операторами / В.Е. Федоров, М.А. Сагадеева // Изв. вузов. Матем. - 2005. Т. № 4. С. 81-84.

126. Федоров, В.Е. Оразрешимости возмущённых уравнений соболевского типа /

B.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Алгебра и анализ. - 2008. - Т. 20. Вып. 4. - С. 189-217.

127. Федоров, В.Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. матем. - 2003. - Т. 67. Вып. 4. -

C. 171-188.

128. Филатов, А.Н. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний / АН. Филатов, Л.В. Шарова. - М.: Наука, 1976. - 152 с.

129. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М., 1985. - 376 с.

130. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. - М.: ИЛ, 1962. - 829 с.

131. Чудновский, А.Ф. Теплофизика почв / А.Ф. Чудновский. — М.: Наука, 1976. —

352 с.

132. Шаймуратов, Р.В. Гидродинамика нефтяного трещиноватого пласта / Р.В. Шаймуратов. - М.: Недра, 1980. 223 с.

133. Шишмарев, И.А. Об одном нелинейном уранении типа Соболева / И.А. Шишмарев // Диффер. уравн. - 2005. - Т. 41. - № 1. - С. 1-3.

134. Щипаное, A.A. Модель двухфазной фильтрации в деформируемом трещиновато-пористом пласте / A.A. Щипанов // Вестник ПГТУ. Нефть и газ. - Пермь, 2002. - Вып. 5. -С. 87-94.

135. Al'shin, A.B. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations / by A.B. Al'shi n, M.O. Korpusov, AG. Sveshnikov. - Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin/New York, 2011. -648 p.

136. Appell, J. Nonlinear superposition operators / J. Appell, P.P. Zabreiko - Cambridge University Press, 1990. — 320 p.

137. Barenblatt, G. I. Mathematical model of the non-equilibrium water-oil displacement in porous strata / G.I. Barenblatt, J. Garcia-Azorero, A. De Pablo, J.L. Vazquez // Appl. Anal. - 1997. -V. 65. - P. 19-45.

138. Begehr, H. Entire solutions of quasilinear pseudoparabolic equations / H. Begehr // Demonstr. Math. - 1985. - V. 18. - № 3. - P. 673-685.

139. Begehr, H. Initial boundary-value problem for nonlinear pseudoparabolic equations / H. Begehr, D.Q. Dai // Complex Variables. Theory Appl. - 1992. - V. 18. - №№ 1-2. - P. 33-47.

140. Benjamin, T.B. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T.B. Benjamin, J.L. Bona, J.J. Mahony // Phil. Trans. Royal Soc. London. Ser. A. - 1972. - V. 272. -№ 1220. - P. 47-78.

141. Berens, H. Representation of fractional powers of infinitesimal generators of semigroups / H. Berens, P L. Butzer, U. Westphal // Bull. Amer. Math. Soc. - 1968. - V. 74. - № 1. -P. 191 - 196.

142. Berg, C.R. Dual Porosity Equations From Effective Medium Theory / C.R. Berg // SPE Annual Technical Conference and Exhibition, San Antonio, Texas, USA, 24-27 September. - 2006. http://dx.doi.org/10.2118/101698-MS.

143. Böhm, M. Diffusion in fissured m edi a / M. Böhm, RE. Showalter // SIAM J. Math. Anal. - 1985. - V. 16. - № 3. - P. 500-509.

144. Brester, C. Simultaneous flow of immiscible liquids through porous fissured media / C. Brester // SPEJ, August. - 1972. - P. 297-305.

145. Brill, H.A Semilinear Sobolev Evolution Equation in a Banach Space / H.A Brill // Journal of Differential Equations. - 1977. - V. 24. - P. 412-425.

146. Butzer, R.Z. Semi-groups of operators and approximation / R.Z. Butzer, H. Berens. -Berlin: Springer, 1967. - 318 p.

147. Calvert, B. The equation 4( t, u( t}) + fl( t,u( t}) = 0 / B. Calvert // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - V. 79. - P. 545-561. doi:10.1017/S0305004100052567

148. Cao, Y. Cauchy problems of semilinear pseudo-parabolic equations / Y. Cao, J. Yin, C. Wang // Journal of Differential Equations. - 2009. - V. 246. - № 12. P. 4568-4590.

149. Chen, P.J. On a theory of heat conduction involving two temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. - 1968. - V. 19. - P. 614-627.

150. Ciftci, I. Dependency of the Solution of Quasilinear Pseudo-Parabolic Equation with Peri odi c Boundary Conditi on on s/ I. Ciftci, H. Halilov // Int. Journal of Math. Analysis. - 2008. - Vol. 2. - № 18. - P. 881 - 888.

151. Coleman, B.D. Instability, uniqness and nonexistence theorems for the equation ut = _ on strip / B.D. Coleman, R.J. Duffin, J. Mizel // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1965. -V. 19. - P. 100-116.

152. Colton, D. Pseudoparabolic equations in one space variable / D. Colton // Journal of differential equations. - 1972. - V.12. - P. 559 - 565.

153. Cuesta, C.M. Linear stability analysis of travelling waves for a pseudo-parabolic Burgers' equation / C.M. Cuesta // Dyn. Partial Differ. Equ. - 2010. - V.7. - № 1. - P. 77-105.

154. Cuesta, C.M. Numerical schemes for a pseudo-parabolic Burgers equation: discontinuous data and long-time behaviour / C.M. Cuesta, I.S. Pop // J. Comput. Appl. Math. - 2009. - V. 224.

- № 1. - P. 269-283.

155. Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Upsenskii. - CRC Press, 2003. - 632 p.

156. DiBenedetto, E. On the maximum principle for pseudoparabolic equations / E. DiBenedetto, M. Pierre // Indiana Univ. Math. J. - 1981. - V.30. - № 6. - P. 821-854.

157. Douglas, J.J. The dual porosity model for flow in naturally fractured reservoirs / J.J. Douglas, T. Arbogast // Dynamics of fluids in hierarchical porous media, J.H. Cushman, ed., Academic Press, London. - 1990. - P. 177-221.

158. Dragomir, S.S. Some Gronwall Type Inequalities and Applications / S.S. Dragomir. -Melbourne City MC, 2002. - 193 p.

159. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. -Marcel Dekker, Inc.: New York Basel - Hong Kong, 1999. - 313 p.

160. Fung, L.S.-K. An Evaluation of the Improved Dual Porosity Model for the Simulation of Gravity Effects in Naturally Fractured Reservoirs / L.S.-K. Fung, D.A. Collins // 39th Annual Technical Meeting of Petroleum Society of CIM, Calgary, Alberta, June 12-16, 1988.

161. Gal, C. Well-Posedness and Long Time Behavior of the Non-Isothermal Viscous Cahn-Hilliard Equation with Dynamic Boundary Conditions / C. Gal // Dynamics of PDE. - 2008. - V. 5. -№ 1. - P. 39-67.

162. Gilman, J.R. An Efficient Finite-Difference Method for Simulating Phase Segregation in the Matrix Blocks in Double-Porosity Reservoirs / J.R. Gilman // SPEJ. - 1986, July. - P. 403-413.

163. Glover, K.C. A Dual-Porosity Model for Simulating Solute Transport in Oil Shale / K.C. Glover // U.S. Geological Survey Water Resources Investigations Report WRI 86-4047. - 1987.

- 88 p.

164. Helmig, R. Dynamic capillary effects in heterogeneous porous media / R. Helmig, A. Weiss, B.I. Wohlmuth // Comput. Geosci. - 2007. - V. 11. - P. 261-274.

165. Karch, G. Asymptotic behavior of solutions to some pseudoparabolic equations /

G. Karch // Math. Meth. Appl. Sci. - 1997. - V. 20. - № 3. - P. 271-289.

166. Kazemi, H. Numerical simulation of water-oil in naturally fractured reservoirs /

H.Kazemi, L.S. Merril, L. Posterfeld, P.K. Zeman // SPEJ. - 1976, Sept. - P. 317-323.

167. Lagnese, J.E. General boundary value problems for differential equations of Sobolev type / J.E. Lagnese // SIAM Journal on Mathematical Analysis. - 1972. - V. 3. - P. 105-119.

168. Levine, H.A. Some nonexistence and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Put = — 4u + F(u) / H.A. Levine // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1973. -V.51. - P. 371-386.

169. Li, T.-T. Total flux (nonlocal) boundary value problems for pseudoparabolic equation / T.-T. Li, L.W. White // Appl. Anal. - 1983. - V. 16. - P. 17-31.

170. Lunardi, A. Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems / A. Lunardi. - Basel, 1995. - 424 p.

171. Lyubanova, A.Sh. On the approximation of a parabolic inverse problem by pseudoparabolic one / A.Sh. Lyubanova // ^ypH. COY. Cep. MaTeM. u - 2012. - V. 5. - № 3. - P. 326-336

172. Matahashi, T. On a periodic problem for pseudo-parabolic equations of Sobolev-Galpern type / T. Matahashi, M. Tsutsumi // Math. Japonica. - 1978. - V. 22. - P. 535-553.

173. Matahashi, T. Periodic solutions of semilinear pseudo-parabolic equations in Hilbert space / T. Matahashi, M. Tsutsumi // Funkcialaj Ekvacioj. - 1979. - V. 22. - P. 51-66.

174. McBride, A.C. Semigroups of linear operators: an introduction / A.C. McBride. - Pitman Research Notes in Mathematics Series 156, Longman Scientific and Technical, 1987. - 134 p.

175. Medeiros, L.A. On global solutions of a nonlinear dispersive equation of Sobolev type / L A. Medeiros, M.G. Perla // Bol. Soc. Bras. Mat. - 1978. - V.9. - № 1. - P. 49-59.

176. Mei M. Lq-decay rates of solutions for Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equations // J. Differential Equations, 158. — 1999. P. 314-340.

177. Novick-Cohen, A. On the viscous Cahn-Hilliard equation / A. Novick-Cohen // In: Ball J., ed. Material Instabilities in Continuum Mechanics and Related Mathematical Problems. Oxford: Oxford Science Publications, Clarendon Press. - 1988. - P. 329-342.

178. Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / A. Pazy. — Springer-Verlag New York, 1983. - 279 p.

179. Quarteroni, A. Fourier spectral methods for pseudo-parabolic equations / A. Quarteroni // SIAM J. Numer. Anal. - 1987. - V.2. - № 24. - P. 323-335.

180. Rao, V.R.. Gopala A Cauchy problem for pseudo-parabolic partial differential equations in whole space. Thesis / V.R. Gopala Rao. - University of Illinois at Urbana-Champaign, 1972.

181. Rao, V.R.. Gopala Initial value problems for pseudo-parabolic partial differential equations / V.R. Gopala Rao, T.W. Ting // Indiana Univ. Math. J. - 1973. - V. 23, - P. 131-153.

182. Rao, V.R. Gopala Sobolev-Galpern equations of order n+2 in RmxR, m>2 / V.R. Gopala Rao // Trans. Amer. Math. Soc. - 1975. - V. 210. - P.267-278.

183. Rao, V.R. Gopala Solutions of pseudo-heat equations in whole space / V.R. Gopala Rao, T.W. Ting // Arch. Rational. Mech. Anal. - 1972. - V. 49. P. 57-78.

184. Rundell, W. The nonpositivity of solutions to pseudoparabolic equations / W. Rundell, M. Stecher // Proc. Amer. Math. Soc. - 1979. - V. 75. - P. 251-254.

185. Saidi, A.M. Mathematical simulation of fractured reservoir performance, based on physical model experiments / A.M. Saidi, D.H. Tehrani, K. Wit // Proc. 10th World Petrol. Congr. London e.a. - 1980. - Vol. 3. - P. 225-233, Discuss P. 251-253.

186. Sarkar, S. Fluid Flow Simulation in Fractured Reservoirs / S. Sarkar, M.N. Toksöz, D.R. Burns // Earth Resources Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge. - 2002. - MA 02139. - P. 1-41.

187. Showalter, R.E A diffusion system for fluid in fractured media / R.E. Showalter, N.J. Walkington // Differential Integral Equations. - 1990. - V. 3. - № 2. - P. 219-236.

188. Showalter, R.E Existence and representation theorems for a semilinear Sobolev equation in Banach space / R.E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. - 1972. V. 3. - № 3. - P. 527-543.

189. Showalter, R.E. Diffusion in Poro-Elastic Media / R.E. Showalter // Jour. Math. Anal. Appl. - 2000. - V. 251. - P. 310-340.

190. Showalter, R.E. Diffusion in Poro-Plastic Media / R.E. Showalter, U. Stefanelli //, Math. Methods in the Applied Sciences. - 2004. - V. 27. - P. 2131-2151.

191. Showalter, R.E. Diffusion of fluid in fissured medium with micro-structure / R.E. Showalter, N.J. Walkington // SIAM Math. Anal. - 1991. - V. 22. - P. 1702-1722.

192. Showalter, R.E. Lectures on flow in porous medium / R.E. Showalter. - Austin. Texas, 1997. - 35 p.

193. Showalter, R.E. Micro-structure models of diffusion in fissured media / R.E. Showalter, N.J. Walkington // Jour. Math. Anal. Appl. - 1991. - V. 155. - P. 1-20.

194. Showalter, R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R.E. Showalter // Pacific J. Math. - 1963. - V. 31. - № 3. - P. 787-793.

195. Showalter, R.E. Pseudo-parabolic partial differential equations / R.E. Showalter, T.W. Ting // SIAM J. Math. Anal. - 1970. - V. 1. - P. 1-26.

196. Showalter, R.E. The Sobolev type equations, I; II / R.E. Showalter // Appl. Anal. -1975. - V. 5. - № 1. - P. 15-22; № 2. - P. 81-99.

197. Stecher, M. Maximum principle for pseudo-parabolic partial differential equations / M. Stecher, W. Rundell // J. Math. Analysis Applic. - 1977. - V. 57. - P 110-118.

198. Sviridyuk, G. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. Sviridyuk, E. Fedorov. - Utrecht: VSP, 2003. - 268 p.

199. Ting, T.W. A cooling process according to two-temperature theory of heat conduction / T.W. Ting // J. of math. anal. and appl. - 1974. - V. 45. - P. 23-31.

200. Ting, T. W. Certain non-steady flows of second-order fluids / T.W. Ting // Arch. Rational Mech. Anal. - 1963. - V. 14. - P. 1-26.

201. Ting, T. W. Parabolic and pseudo-parabolic partial differential equations / T.W. Ting // J. Math. Soc. Japan. - 1969. - V. 21. - P. 440-453.

202. Vazquez, J.L. The porous medium equation. Mathematical theory / J.L. Vazquez. -Clarendon press. Oxford. - 624 p.

203. Visarraga, D. Double-Diffusion Models from a Highly-Heterogeneous Medium / D. Visarraga, R.E. Showalter // Jour. Math. Anal. Appl. - 2004. - V. 295. - P. 191-210.

204. Wu, Y.S. A Multiple-Porosity Method for Simulation of Naturally Fractured Petroleum Reservoirs / Y.S. Wu, K. Pruess // SPEJ, February. - 1988. - P. 327-336.

205. Zhou, Q. Flow and transport in unsaturated fractured rock: effects of multiscale heterogeneity of hydrogeologic properties / Q. Zhou, H.-H. Liu, G.S. Bodvarsson, C.M. Oldenburg // Journal of Contaminant Hydrology. - 2003. - V. 60. - P. 1-30.

206. Zhu, C.R. Persistence of bounded solutions to degenerate Sobolev-Galpern equations / C.R. Zhu, W.N. Zhang // Sci China Math. - 2010. - V. 53. - № 11. - P. 2831-2846.

207. Умаров, Х.Г. Задача Коши в банаховом пространстве для аналога дифференциального уравнения диффузии, не разрешенного относительно производной по времени / Х.Г. Умаров. - Грозный, 1987. - 107 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.09.87, № 6687 - В87.

208. Умаров, Х.Г. Первая краевая задача в квадранте для аналога в банаховом пространстве дифференциального уравнения диффузии / Х.Г. Умаров. - Грозный, 1989. - 261 с. -Деп. в ВИНИТИ 31.01.1990, № 639.

209. Умаров, Х.Г. Смешанная краевая задача для аналога в банаховом пространстве одномерного уравнения диффузии / Х.Г. Умаров // Линейные операторы в функциональных пространствах: Тезисы докл. Северо-Кавказской региональной науч. конф. - Грозный, 1989. -C. 170-171.

210. Умаров, Х.Г. Задача Коши в банаховом пространстве для аналога уравнения диффузии, не разрешённого относительно производной по времени / Х.Г. Умаров // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 314. - № 6. - С. 1352-1356.

211. Умаров, Х.Г. Решение одной смешанной задачи для уравнения фильтрации / Х.Г. Умаров // Дифференц. и интегр. ур-я мат. физ. и спец. функции: Междунар. науч. конф. -Самара, 24-31 мая 1992. - C. 223.

212. Умаров, Х.Г. Смешанная задача в банаховом пространстве для аналога уравнения диффузии, не разрешённого относительно производной по времени/ Х.Г. Умаров // Известия вузов. Математика.- 1992. - № 4. - C. 100-103.

213. Умаров, Х.Г. Точное решение задачи Коши для уравнения фильтрации в трещиновато-пористой среде / Х.Г. Умаров // Сб. статей проф.-препод. состава ЧГПИ. - Грозный, 1997.

- C. 215-221.

214. Умаров, Х.Г. Смешанная задача в бесконечном брусе для аналога в банаховом пространстве дифференциального уравнения диффузии / Х.Г. Умаров. - Грозный, 1998. - 295 с.

- Деп. в ВИНИТИ 11.11.1998, № 3256 - В98.

215. Умаров, Х.Г. Точные решения задачи Коши для уравнения фильтрации в трещиновато-пористых средах / Х.Г. Умаров. - ст. Орджоникидзевская, 2000. - 24 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.07.00, № 1912-В00.

216. Умаров, Х.Г. Точные решения первой краевой задачи для уравнения фильтрации в слоисто-неоднородных пластах / Х.Г. Умаров. - ст. Орджоникидзевская, 2000. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.07.2000, № 1913-В00.

217. Умаров, Х.Г. Точные решения смешанной задачи для уравнения фильтрации в трещиновато-пористых средах с выраженной вертикальной проницаемостью / Х.Г. Умаров. -ст. Орджоникидзевская, 2000. - 32 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.07.2000, № 1914-В00.

218. Умаров, Х.Г. Точные решения смешанной задачи для уравнения фильтрации в слоисто-неоднородных пластах / Х.Г. Умаров // Сб. статей проф.-препод. состава ЧГПИ. -Грозный, 2001. С. 340-359.

219. Умаров, Х.Г. Явный вид решения смешанной задачи для уравнения фильтрации в трещиновато-пористых средах с выраженной вертикальной проницаемостью / Х.Г. Умаров // Вестник Академии наук Чеченской Республики. - 2002. - № 1. - С. 74-89.

220. Умаров, Х.Г. Смешанная задача в банаховом пространстве для аналога уравнения диффузии, не разрешённого относительно производной по времени / Х.Г. Умаров // Материалы Всероссийской научной конференции. - Грозный, 2003. С. 27-35.

221. Умаров, Х.Г. Смешанная задача в бесконечной полосе плоскости параметров для аналога уравнения диффузии в банаховом пространстве / Х.Г. Умаров // Сб. статей проф.-препод. состава ЧГПИ. - Грозный, 2003. - С. 360-366.

222. Умаров, Х.Г. Явный вид решения смешанной задачи для уравнения фильтрации в слоисто-неоднородных пластах / Х.Г. Умаров // Труды Грозненского государственного нефтяного института. - Грозный, 2003. - Вып. 3. - С. 87-95.

223. Умаров, Х.Г. Точные решения смешанной задачи для уравнения фильтрации в трещиновато-пористом пространственном слое с выраженной вертикальной проницаемостью / Х.Г. Умаров. - Грозный, 2006. - 52 с. — Деп. в ВИНИТИ 17.07.2006, № 942 — В2006.

224. Умаров, Х.Г. Точные решения смешанной задачи для уравнения фильтрации в слоисто-неоднородном пространственном слое с выраженной горизонтальной проницаемостью / Х.Г. Умаров. - Грозный, 2006. - 43 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.07.2006, № 943 — В2006.

225. Умаров, Х.Г. Функциональный анализ в задачах анизотропной фильтрации: учебное пособие / Х.Г. Умаров. - Грозный, отпечатано на ГП КБР «Республиканский полиграфком-бинат им. Революции 1905 г.», 2006. - 168 с.

226. Умаров, Х.Г. Явный вид смешанной задачи для уравнения фильтрации в трещиновато-пористом пространственном слое с выраженной вертикальной проницаемостью / Х.Г. Умаров // Вестник Чеченского госуниверситета.- 2007. Вып. 1. - С. 13-21.

227. Умаров, Х.Г. Полугруппы операторов и точные решения задач анизотропной фильтрации / Х.Г. Умаров. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 216 с.

228. Умаров, Х.Г. Смешанная задача в банаховом пространстве для аналога уравнения диффузии, не разрешённого относительно производной по времени / Х.Г. Умаров // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. - 2010. - Т. 12. - № 1. - С. 79-84.

229. Умаров, Х.Г. Явный вид решения линеаризованной системы уравнений фазового поля / Х.Г. Умаров. - Грозный, 2010. - 27 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.05.10 - № 303-В2010.

230. Умаров, Х.Г. Явный вид решения линейного уравнения квазистационарных процессов в полупроводниках / Х.Г. Умаров. - Грозный, 2010. - 29 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.05.10 № 302-В2010.

231. Умаров, Х.Г. Явный вид решения уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Х.Г. Умаров. - Грозный, 2010. - 26 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.05.10 № 304-В2010.

232. Умаров, Х.Г. Явный вид решения задачи Коши в R для линеаризованной системы уравнений фазового поля / Х.Г. Умаров // Материалы Второго Международного Российско-

Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатика». - Нальчик, 2011. - С. 190.

233. Умаров, Х.Г. Явный вид решения задачи Коши для одномерного уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Х.Г. Умаров // Материалы Международной конференции «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатика». - Нальчик, 2011. - С. 214.

234. Умаров, Х.Г. Явный вид решения задачи Коши для уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Х.Г. Умаров // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, № 2. С. 81-86.

235. Умаров, Х.Г. Явный вид решения линеаризованного трехмерного уравнения Ли-ня-Рейсснера-Цзяна с постоянными коэффициентами / Х.Г. Умаров // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. - 2011. - Т.15. - № 5 (45). - С. 113— 119.

236. Умаров, Х.Г. О разрешимости задачи Коши для уравнения Аллера в пространстве непрерывных ограниченных функций / Х.Г. Умаров // Материалы Второй Международной конференции «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатика». - Терскол, 2012. - С.232.

237. Умаров, Х.Г. О разрешимости уравнения Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса в пространстве непрерывных ограниченных функций / Х.Г. Умаров // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2012. - Т. 14. - № 2. - С. 40-46.

238. Умаров, Х.Г. О разрешимости уравнения Канна-Хилларда с вязкостью в пространстве непрерывных ограниченных функций на всей оси / Х.Г. Умаров // Научные ведомости Белгородского госуниверситета. Серия: Математика. Физика. - 2012. - № 17 (136). - Вып. 28. - С. 91-101.

239. Умаров, Х.Г. Точные решения смешанной задачи для уравнения фильтрации в трещиновато-пористом пространственном слое с выраженной вертикальной проницаемостью / Х.Г. Умаров // Третья международная конференция «Математическая физика и ее приложения». - Самара, 2012. - С. 297-298.

240. Умаров, Х.Г. Явный вид решения задачи Коши для линеаризованной системы уравнений фазового поля / Х.Г. Умаров // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-матем. науки. - 2012. - № 1 (26). - С. 256-260.

241. Умаров, Х.Г. Явный вид решения задачи Коши для одномерного уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Х.Г. Умаров // Научные ведомости Белгородского госуниверситета. - 2012. - № 5 (124). - С. 226-235.

242. Умаров, Х.Г. Явный вид решения линейного уравнения квазистационарных процессов в полупроводниках / Х.Г. Умаров // Материалы Второго Международного Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатика». - Эльбрус, 2012. - С. 250-251.

243. Умаров, Х.Г. Явный вид решения линейного уравнения квазистационарных процессов в полупроводниках / Х.Г. Умаров // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2012. № 3 (169). - С. 24-26.

244. Умаров, Х.Г. Явный вид решения смешанной задачи в анизотропном полупространстве с ярко выраженной вертикальной проницаемостью для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной / Х.Г. Умаров // Вестник Самарского госуниверситета. - 2012. - № 6 (97). -С. 75-99.

245. Умаров, Х.Г. Разрешимость задачи коши для уравнения Аллера в пространстве непрерывных ограниченных функций / Х.Г. Умаров // Владикавказский матем. журн. - 2013. -Т. 15. - Вып. 4. - С. 65-75.

246. Умаров, Х.Г. Явный вид решения некоторых начально-краевых задач для линейного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили в правой полуплоскости / Х.Г. Умаров // Материалы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Белгород, 2013. - С. 224.

247. Умаров, Х.Г. Явный вид решения смешанной задачи в анизотропном полупространстве для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной / Х.Г. Умаров // Владикавказский матем. журн. - 2013. - Т. 15. - Вып. 1. - С. 51-64.

248. Умаров, Х.Г. Явный вид решения смешанной задачи для линейного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили в первой четверти плоскости / Х.Г. Умаров // Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». - Владикавказ, 2013. - С. 151.

249. Умаров, Х.Г. Явный вид решения смешанной задачи для уравнения фильтрации в анизотропном полупространстве с ярко выраженной горизонтальной проницаемостью / Х.Г. Умаров // Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы». - Стерлитамак, 2013. - Уфа: РИЦ Баш ГУ, 2013. Т. I. С. 344.

250. Умаров, Х.Г. О разрешимости задачи Коши для уравнения Кана-Хилларда с вязкостью в пространстве равномерно непрерывных ограниченных функций / Х.Г. Умаров // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. - 2014. - № 2 (180). - С. 16-19.

251. Умаров, Х.Г. Явный вид решения задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной / Х.Г. Умаров // Прикладная математика и механика. Том 78. Вып. 2, 2014. С. 211-224.

252. Умаров, Х.Г. Явный вид решения начально-краевой задачи для аналога уравнения теплопроводности в банаховом пространстве / Х.Г. Умаров // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. - 2014. - №12(183). - Вып. 35. - С. 92-116.

253. Умаров, Х.Г. О разрешимости задачи Коши для уравнения Кана-Хилларда с вязкостью в пространстве равномерно непрерывных ограниченных функций / Х.Г. Умаров // Тезисы докладов Седьмой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 22-29 августа 2014 года). - Москва: РУДН, 2014. -С. 159.

254. Умаров Х.Г. Явный вид решения смешанной задачи для уравнения фильтрации в трещиновато-пористом пространственном слое с выраженной горизонтальной проницаемостью / Х.Г. Умаров // Материалы Четвертой международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 25 августа -1 сентября 2014 года). - Самара: СамГТУ, 2014. - С. 359360.