Математические модели упругого режима фильтрации жидкости в криволинейных пластах переменной толщины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Баско, Дмитрий Валерьевич

• Баско, Дмитрий Валерьевич
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Баско, Дмитрий Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ИЗОТРОПНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

1.1. Уравнение состояния упругой жидкости.

1.2. Уравнение состояния упругой изотропной неоднородной пористой среды.

1.3. Уравнение неразрывности для трехмерного фильтрационного потока сжимаемой жидкости в форме Эйлера.

1.4. Основной линейный закон фильтрации — динамическое уравнение линейной упругой фильтрации жидкости.

1.5. Вывод основного дифференциального уравнения теории упругого режима для изотропных неоднородных сред.

1.6. Построение линейных математических моделей упругого режима фильтрации жидкости в искривленных изотропных неоднородных пластах.

1.6.1. Общий случай.

1.6.2. Горизонтальный плоскопараллельный пласт.

1.6.3. Неоднородный изотропный пласт в виде клиновидного слоя.

1.6.4. Неоднородный изотропный пласт в виде сферического слоя

1.7. Вывод основного дифференциального уравнения линейной математической модели упругой фильтрации в тонких искривленных изотропных неоднородных пластах.

Основные результаты главы 1.

ГЛАВА 2. ДВУМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ИСКРИВЛЕННЫХ ПЛАСТАХ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ.

2.1. Задание геометрии искривленных пластов конечной толщины. Двумерная аппроксимация кинематики реальных фильтрационных течений в искривленных пластах конечной толщины.

2.2. Вывод интегрального уравнения неразрывности теории упругого режима для течений в искривленных пластах конечной толщины.

2.3. Вывод основного дифференциального уравнения теории упругого режима фильтрации в искривленных изотропных неоднородных пластах конечной толщины.

2.4. Основное дифференциальное уравнение теории упругого режима фильтрации в тонких искривленных изотропных неоднородных пластах.

Основные результаты главы 2.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТОВ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УПРУГОГО РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ.

3.1. Применение Maple при построении математических моделей.

3.2. Применение Comsol Multiphysics в реализации математических моделей упругого режима фильтрации жидкости.

3.3. Обработка экспериментальных данных в MatLab.

3.4. Решение тестовых задач в системе Comsol Multiphysics.

Задача 1. Прямолинейно-параллельное движение жидкости в ограниченном открытом пласте с заданными постоянными давлениями на внутренней и внешней его границах.

Задача 2. Плоскорадиальное движение жидкости в ограниченном открытом круговом, пласте после мгновенной остановки или после пуска скважинььс постоянным дебитом.

Основные результаты главы 3.

ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ТОЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ УПРУГОГО

РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ.

4.1. Задача об упругом режиме фильтрации к скважине, расположенной в куполе сферического пласта.

4.1.1. Метод 1. Точное решение.

4.1.2. Метод 2. Приближенное решение 1.

4.1.3. Метод 3. Приближенное решение 2.

4.1.4. Метод 4. Приближенное решение 3.

4.2. Вычислительный эксперимент.

4.3. Расчет дебитов скважин.

Основные результаты главы 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели упругого режима фильтрации жидкости в криволинейных пластах переменной толщины»

Простейшая модель неустановившейся фильтрации жидкости характеризуется следующими признаками: однородная сжимаемая жидкость движется в однородной, изотропной, сжимаемой пористой среде; сжимаемость жидкости и пористой среды подчиняется закону упругости Гука; движение жидкости подчиняется линейному закону фильтрации Дарси; процесс фильтрации - изотермический; в процессе фильтрации жидкость ведет себя как ньютоновская.

Именно такой простейшей физической модели фильтрации соответствует линейное дифференциальное уравнение пьезопроводности. Следует подчеркнуть, что при аналогичных простейших условиях на основе линейного закона Фурье выводится линейное дифференциальное уравнение пьезопроводности. Так же точно, при аналогичных простейших условиях, на основе линейного закона Фика выводится линейное дифференциальное уравнение диффузии.

Хотя используемые физические модели весьма просты и идеализируют природу, но на их основе в теории фильтрации, теплопроводности и диффузии удалось обнаружить множество таких важнейших особенностей исследуемых неустановившихся процессов, которые позволили сделать выводы, не только очень интересные теоретически, но и нашедшие широкое применение на практике.

Поэтому соответствующие простейшие физические модели нельзя недооценивать, хотя, конечно, нельзя и переоценивать, помня об их ограниченности.

Естественно, что развитие теорий фильтрации, теплопроводности и диффузии не могло остановиться на принятии только простейшей модели исследуемого процесса. Модели усложнялись, соответственно усложнялись и основные исходные дифференциальные уравнения. Таков неизбежный путь развития каждой науки. Закономерно развитие моделей, составляющих иерархию: каждая последующая модель не исключает предшествующую, а включает ее как частный случай. Однако ситуация может быть и другой — новая модель дополняет прежнюю, не включая ее в себя, характеризуя родственный процесс, но иной природы. Так, например, в теории фильтрации модель трещиноватой среды дополняет, но не включает в себя модель пористой среды.

При исследовании неустановившейся фильтрации новые модели появлялись и как естественное усложнение старых моделей, включая из в себя, и как существенное дополнение к старым.

Так, например, в качестве усложненияг описанной выше простейшей фильтрационной модели Г. В. Исаковым было предложено учитывать необратимость объемной деформации пласта (пористой среды). Появилась модель упруго-пластической деформации пласта. Была развита нелинейная теория упругого режима фильтрации, учитывалась проницаемость кровли и подошвы.

В. Н. Щелкачев предложил общее дифференциальное уравнение теории упругого режима фильтрации, справедливое для фильтрации в неоднородной деформируемой пористой среде не только' жидкости, но и> газа. Оно представляет собой»нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Предложенное общее дифференциальное уравнение теории упругого режима описывает фильтрацию в неоднородных деформируемых пористых средах. Преобразовывая это уравнение для случая описанной ранее простейшей модели упругой фильтрации, получаем нелинейное дифференциальное уравнение, хотя простейшая модель описывается линейным дифференциальным уравнением пьезопроводности. Данный факт делает актуальной задачу разработки упрощенной математической модели, описывающей линейную упругую фильтрацию однородной жидкости в изотропных неоднородных средах линейными дифференциальными уравнениями. Решению именно этой, проблемы и посвящена, данная диссертационная работа.

Линейная дифференциальная математическая модель удобна тем, что для этого класса уравнений математической физики теория интегрирования уравнений наиболее разработана. Во-вторых, при решении конкретных задач в рамках линейной математической модели можно будет применять метод суперпозиции частных решений. Однако, с другой стороны, линейность математической модели указывает, конечно же, на значительную схематизацию исследуемого явления. Но, тем не менее, для очень многих условий линейные математические модели позволяют учесть наиболее существенные особенности упругой фильтрации жидкости в изотропных неоднородных средах, как с качественной, так и с достаточной степенью точности количественной стороны. В рамках же предложенной В. Н. Щелкачевым нелинейной математической модели упругой фильтрации жидкости в изотропных неоднородных средах выполнить качественный и количественный анализ явления весьма затруднительно. Вот почему данное диссертационное исследование является актуальным.

Целью данного диссертационного исследования является построение и анализ линейной математической модели упругого режима фильтрации жидкости в криволинейных пластах переменной толщины.

В данной работе применены следующие методы исследования: использован математический аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных, численные методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных на основе проекционно-сеточных методов метод конечных элементов). Численное моделирование производилось с использованием вычислительной техники и пакетов прикладных программ для выполнения аналитических расчетов (Maplesoft Maple), для оценки точности полученных численных решений (The MathWorks MatLab) и системы, реализующие различные вариации метода конечных элементов (Comsol Multiphysics).

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов диссертации подтверждается корректностью применения апробированного математического аппарата (дифференциальная геометрия, уравнения математической физики, численные методы), корректностью использования апробированных специализированных пакетов прикладных программ (Maplesoft Maple [86, 88, 2, 32, 45], The Math Works MatLab [4, 25, 31, 39, 34, 54], Comsol Multiphysics [75, 76; 77, 78, 79, 80]). Кроме того, результаты исследований других авторов (О. В. Голубевой [27, 28, 29, 30], Ю. А. Гладышева [24, 23]) вытекают из результатов защищаемой работы как предельные частные случаи, когда толщина искривленного слоя стремится к нулю.

Работа использует результаты научных трудов таких исследователей, как ЩелкачевВ. Н. [71, 72, 73] — является одним из основателей теории упругого режима фильтрации, Пивень В. Ф. [49, 50, 51, 52] - развивает методы теории аналитических функций для применения к решению задач фильтрации, Холодовский С. Е. [65, 66, 67, 68, 69, 70] - в ходе плодотворной научной работы рассмотрел многие модели фильтрации жидкости.

Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:

1. Построен новый метод математического моделирования упругого режима фильтрации жидкости в искривленных слоях постоянной и переменной конечной толщины.

2. Предложены двумерные математические модели течений жидкости в искривленных слоях для общего случая и для слоев конкретных типов (горизонтальный плоскопараллельный пласт, клиновидный и сферический).

Практическая значимость. Построенные математические модели применены к решению задачи об упругом режиме фильтрации к скважине, расположенной в куполе сферического-пласта. Проведен сравнительный анализ различных методов. Определены погрешности в вычислении дебита скважины.

Апробация работы. По мере получения основных результатов и в завершенном виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерных технологий Северо-Кавказского Государственного Технического Университета (рук. д.ф.-м.н. Толпаев В.А.).

Отдельные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. VIII и IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, 2007г., Кисловодск, 2008г.).

2. III международная научно-техническая конференция "Инфокоммуника-ционные технологии в науке, производстве и образовании (Инфоком-3)" (г. Кисловодск, 2008г.).

3. IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. (Краснодар, 2007г.).

4. Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения -XIX" (Воронеж, 2008г.).

5. Международная школа-семинар "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Орел, 2008г.).

По теме диссертации опубликовано в соавторстве 11 работ [14, 5, 6, 7, 13, 15, 12, 8, 10, 11, 9]. Из них в реферируемой центральной научной печати 4 работы [7, 13, 12, 11]. В опубликованных в соавторстве работах соискателю принадлежат выводы расчетных формул и разработка программ для выполнения вычислительных экспериментов. Руководителю — постановка проблемных задач, общее руководство, проверка выводов расчетных формул и независимые сопоставительные расчеты.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новый метод математического моделирования трехмерной упругой фильтрации в тонких искривленных пластах и искривленных пластах конечной толщины.

2. Новый метод построения двумерной математической модели упругого режима фильтрации в искривленных пластах конечной толщины.

3. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию точности аппроксимации трехмерных фильтрационных течений в искривленных пластах конечной толщины их двумерными математическими моделями.

Личный вклад автора. Диссертационное исследование соискатель выполнял под общим научным руководством доктора физико-математических наук В.А. Толпаева. Основные результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. Достоверности и логичности выводов в немалой степени способствовали многочисленные обсуждения материалов работы с научным руководителем, за что автор выражает Толпаеву Владимиру Александровичу искреннюю благодарность.

Структура работы. Общий объем диссертации 135 страниц, из них 90 страниц основной части. Основная часть состоит из введения, четырёх глав, содержащих 22 пункта, заключения и списка литературы из 91 названий, из которых 15 на иностранных языках. Диссертация содержит 4 таблицы, 41 график и рисунок и приложения объемом 45 страниц. Каждая глава диссертации начинается с краткого вступления, в котором перечисляются ее основные цели и задачи, и заканчивается формулировкой основных результатов главы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Баско, Дмитрий Валерьевич

Основные результаты главы 4 в том, что данная глава представляет собой результаты и анализ большого числа экспериментов, направленных на изучение специфики упругого процесса фильтрации жидкости к скважине, расположенной в куполе сферического пласта. Для исследования данного фильтрационного процесса используются четыре различных математических метода, что позволяет оценить их точность и границы применимости. При расчете дебитов скважин, расположенных в куполе сферического пласта, были проверены и две формулы расчета дебита, полученные ранее в работе [41] для фильтрации без учета упругости, но применимые к использованию в расчете упругого режима при использовании вместо пластового давления р, значения приведенного давления Р.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации развито перспективное научное направление в гидродинамике сжимаемой жидкости и теории линейной упругой фильтрации, заключающееся в разработке методов математического моделирования гидродинамических и фильтрационных течений в искривленных слоях постоянной и переменной конечной толщины.

В ходе диссертационного исследования были получены следующие основные результаты:

1. Предложен новый метод построения математических моделей трехмерной линейной упругой фильтрации жидкости в< изотропных неоднородных средах и в тонких искривленных изотропных неоднородных пластах. Кроме того, построены математические модели упругой фильтрации жидкости в искривленных пластах специального вида: горизонтальный плоскопараллельный пласт, пласт в виде клиновидного слоя, пласт в виде сферического слоя.

2. Предложен общий метод математического моделирования упругой фильтрации жидкости в широкой серии криволинейных слоев. Метод построения двумерных математических моделей упругого режима фильтрации, основанный на аппроксимации трехмерного фильтрационного течения двумерным, учитывающим особенности пространственного строения пласта, путем описания его геометрии с помощью специально выбираемой криволинейной ортогональной системы координат позволяет упростить описание расчетной области за счет внесения в основное уравнение системы дополнительных коэффициентов, описывающих геометрию пласта.

3. Проведены исследования точности аппроксимации трехмерного течения упругой жидкости к скважине, расположенной в куполе сферического пласта двумерными математическими моделями упругого режима фильтрации. Точность аппроксимации определялась по безразмерной функции давления через среднеквадратические отклонения. Также были построены таблицы погрешностей в вычислении дебита скважины, расположенной в куполе

80 сферического пласта, различными предложенными методами. Для стационарного режима фильтрации дебит скважин также был вычислен по аналитическим формулам, полученным в работе [41] для фильтрации идеальной жидкости. Данные аналитические формулы были изменены для применения в условиях упругого режима фильтрации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Баско, Дмитрий Валерьевич, 2009 год

1. Азиз, X. Математическое моделирование пластовых систем Текст. / X. Азиз, Э. Сеттари - М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -416с.

2. Аладьев, В. 3. Автоматизированное рабочее место математика Текст. / В. 3. Аладьев, М. Л. Шишаков Лаборатория базовых знаний, 2000.

3. Амирасланов, И. А. Фильтрация жидкости в криволинейных слоях переменной толщины Текст. / И. А. Амирасланов, Г. П. Черепанов // ПММ. 1981. - вып.6. - С. 1142-1146.

4. Ануфриев, И. Е. MATLAB 7.0. Наиболее полное руководство. Серия: В подлиннике. Текст. / И. Е. Ануфриев, А. Б. Смирнов, Е. Н. Смирнова -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 1104с.

5. Баско, Д. В. Двумерные математические модели линейной фильтрации жидкости и газа в искривленных пластах конечной толщины Текст. /

6. B. А. Толпаев, В. В. Палиев, Д. В. Баско // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №2. 2008.1. C. 43-47.

7. Баско, Д. В. Математическая модель линейного упругого режима фильтрации в искривленных пластах переменной толщины Текст. / В. А. Толпаев, Д. В. Баско // Нефтепромысловое дело. Декабрь, 2008г. № 12. М.: ОАО "ВНИИОЭНГ". - С. 9-13.

8. Баско, Д. В. Основное уравнение упругого режима фильтрации в искривленных пластах переменной толщины Текст. / В. А. Толпаев, Д. В. Баско // Обозрение прикладной и промышленной математики.

9. Басниев, К. С. Нефтегазовая гидромеханика Текст.: учебное пособие для вузов. / К. С. Басниев, Н. М. Дмитриев, Г. Д. Розенберг М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 544с.

10. Басниев, К. С. Подземная гидромеханика Текст.: учебник для вузов / К. С. Басниев, И. Н. Кочина, В. М. Максимов М.: Недра, 1993, 416с.

11. Белов, В. А. О построении течений в слоях переменной толщины Текст. / В. А. Белов // Уч. зап. каф. теорет. физики Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1968 Т. 200. Вып. 7. - С. 19-31.

12. Бидасюк, Ю. М. Mathsoft® MatCAD 11. Самоучитель. Текст. / Ю. М. Бидасюк М.: Диалектика, 2004. - 224с.

13. Биркгоф, Г. Гидродинамика Текст. / Г. Биркгоф М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

14. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики. 3-е изд. Текст. / В. С. Владимиров М.: Наука, 1976. - 27с.

15. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы Текст. / Р. Галлагер -М.: Мир, 1984.-428с.

16. Гладышев, Ю. А. Краевые задачи гидродинамики и метод функций формальных переменных Текст. / Ю. А. Гладышев // Специальные вопросы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1976. Вып. 3. С. 15-74.

17. Гладышев, Ю. А. Некоторые вопросы нестационарной фильтрации в искривленном слое переменной толщины Текст. / Ю. А. Гладышев // Гидродинамика. (Материалы совещания секции физики по гидродинамике 14-15 апреля 1970 года). -М.: МОИП, 1970. С. 7-12.

18. Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании Текст. / В. Говорухин, В. Цибулин- СПб.: Питер, 2001. 624с.

19. Голоскоков, Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple Текст. / Д. П. Голоскоков СПб.: Питер, 2004. - 539с.

20. Голубева, О. В. Безразмерные уравнения фильтрации Текст. / О. В. Голубева // Математическая физика и гидродинамика: Московское общество испытат. природы. М.: Изд-во МГУ, 1972. С. 7—10.

21. Голубева, О. В. Курс механики сплошных сред Текст. / О. В. Голубева -М.: Высшая школа, 1971. 452с.

22. Голубева, О. В. Некоторые задачи ламинарной фильтрации жидкости в неоднородных искривленных слоях переменной толщины Текст. / О. В. Голубева // ПММ. 1953. Т. 17. Вып. 4. С. 485-490.

23. Голубева, О.В. Уравнения двумерных движений идеальной жидкости по криволинейной поверхности и их применение в теории фильтрации Текст. / О. В. Голубева // ПММ, 1950, т. 14, вып. 3. С. 287-294.

24. Гультяев,.А. Визуальное моделирование в среде MATLAB Текст.: учебный курс / А. Гультяев СПб.: Питер, 2000.

25. Дзундза, А. И. Программирование в системе Maple Текст.: учебное пособие / А. И. Дзундза, М. Д. Гремалюк, И. А. Моисеенко, Р. Н. Нескоро-деев, С. А. Прийменко Донецк: ДонГТУ, 1999. - 123с.

26. Дьяконов, В. П. MATLAB: Учебный курс. Текст. / В. П. Дьяконов -СПб.: Питер, 2000.

27. Дьяконов, В. П. Математические пакеты расширения MATLAB Текст.: специальный справочник / В. П. Дьяконов, В. Круглов СПб.: Питер, 2001.

28. Дьяконов, В. П. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем Текст.: специальный справочник / В. П. Дьяконов, В. Круглов -СПб.: Питер, 2002. 448с.

29. Зисман, Г. А. Курс общей физики Текст. / Г. А. Зисман, О. М. Тодес -М.: Наука, 1974.

30. Каневская, Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов Текст. / Р. Д. Каневская М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 140с.

31. Капшивый, А. А. Решение одной задачи фильтрации в неоднородной среде методом р-аналитических функций Текст. / А. А. Капшивый, М. Язкулыев // Вычислит, и прикл. мат. Киев. 1988. № 65. С. 55-56*.

32. Курбатова, Е. A. MATLAB 7. Самоучитель Текст. / Е. А. Курбатова -М.: Вильяме, 2005. 256с.

33. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат М.: Наука, 1973. - 416с.

34. Ледовской, В. И. Математические модели двумерных течений жидкости в задачах гидродинамики и теории фильтрации Текст.: дисс. на соиск. ученой степ. канд. физ.-мат. наук / В. И. Ледовской Ставрополь, 2006. -291с.

35. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа Текст.: 3-е изд. перераб. и дополн / Л. Г. Лойцянский М.: Наука, 1970. - 904с.

36. Малых, А. С. Специальный курс математического моделирования фильтрационных потоков Текст. / А. С. Малых, Г. П. Цыбульский -М.: ООО "ВНИИГАЗ" 2002.

37. Марчук, Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы Текст. / Г. И. Марчук, В. И. Агошков М.: Наука, 1981.

38. Матросов, A. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики Текст. / А. Матросов БХВ-Петербург, 2001.

39. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными Текст. / Э. Митчелл, Р. Уэйт М.: Мир, 1981.

40. Николаевский, В. Н. Механика насыщенных пористых сред Текст. / В. Н. Николаевский, К. С. Басниев, А. Т. Горбунов, Г. А. Зотов М.: Недра, 1970.-339с.

41. Очков, В. Mathcad 12 для студентов и инженеров Текст. / В. Очков BHV-Санкт-Петерберг, 2005. - 427с.

42. Пивень, В. Ф. О нелинейной фильтрации сжимаемой жидкости Текст. / В. Ф. Пивень // Новые вопросы гидродинамики: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1974. С. 40-42.

43. Пивень, В. Ф. О теории двумерных процессов в слоях переменной проводимости, характеризуемых степенью гармонической функции Текст. / В. Ф. Пивень // ДАН. 1995. Т.344. №5. С. 327-629.

44. Пивень, В. Ф. К теории осесимметричных обобщенных аналитических функций в динамических процессах Текст. / В. Ф. Пивень // Докл. АН СССР. 1990. Т.313. №6. С. 1424-1426.

45. Пивень, В. Ф. Исследование двумерных задач фильтрации в неоднородных слоях переменной толщины Текст. / В. Ф. Пивень, С. И. Толпекин -Орловский пединститут. Орел. 1992. 24с.

46. Полубаринова-Кочина, П. Я. Теория движения грунтовых вод Текст.: 2-е изд. перераб. и дополн. / П. Я. Полубаринова-Кочина М.: Наука, 1997. -664с.

47. Потемкин, В. Г. Вычисления в среде MATLAB Текст. / В. Г. Потемкин -М.: Диалог-МИФИ, 2004.

48. Розин, Л. А. Метод конечных элементов Текст. / Л. А. Розин -Соросовский образовательный журнал, том 6, № 4, 2000.

49. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика Текст. / П. Роуч М.: Мир, 1967.

50. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем Текст. / А. А. Самарский М.: Наука, 1971.

51. Сдвижков, О. A. MathCAD-2000. Введение в компьютерную математику Текст. / О. А. Сдвижков 2002. - 204с.

52. Седов, JI. И. Введение в механику сплошной среды Текст. / Л. И. Седов -М.: Госуд. изд-во физ.-мат. литературы, 1962. 284с.

53. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики Текст.: 3-е изд. /

54. A. Н. Тихонов, А. А. Самарский М.: Наука. 1966. - 724с.

55. Толпаев, В. А. Оценки точности расчета дебитов скважин в искривленных пластах Текст. / В. А. Толпаев, В. И. Ледовской // Нефтепромысловое дело. №12. М.: ОАО "ВНИИОЭНГ", 2004. - С. 9-13.

56. Толпаев, В. А. Расчет дебита нефтедобывающей скважины, расположенной в куполе осесимметричного пласта Текст. / В. А. Толпаев,

57. B. И. Ледовской // Нефтепромысловое дело. № 1. М.ЮАО "ВНИИОЭНГ", 2005.-С. 20-23.

58. Толпаев, В. А. Уравнения линейной двумерной фильтрации в искривленных пластах конечной толщины Текст. / В. А. Толпаев,

59. B. И. Ледовской // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 11, вып. 1. 2004. С. 143-146.

60. Холодовский, С. Е. Метод рядов Фурье для решения задач в кусочно-неоднородных средах с прямолинейной трещиной (завесой) Текст. /

61. C. Е. Холодовский // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 48. № 7. 2008. С. 1209-1213.

62. Холодовский, С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах Текст. / С. Е. Холодовский // Дифференциальные уравнения. Т. 45. № 6. 2009. С. 855-859.

63. Холодовский, С. Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения Текст. / С. Е. Холодовский // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 47. № 9. 2007. С. 1575-1581.

64. Холодовский, С. Е. О гидродинамическом осреднении сильно неоднородных пористых сред при линейной фильтрации Текст. / С. Е. Холодовский // Изв. РАН. МЖГ.№ 5. 1993. С. 190-192.

65. Холодовский, С. Е. О фильтрации в слоистых средах с пересекающимися трещинами и завесами Текст. / С. Е. Холодовский // Докл. РАН. Т. 338. № 5. 1994. С. 622-624.

66. Холодовский, С. Е. Тензор эффективной проницаемости сильно неоднородных грунтов Текст. / С. Е. Холодовский // Инженерно -физический журнал БАН и РАН. Т.63. № 1. 1992. С. 18-22.

67. Щелкачев, В. Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации, ч. 1 Текст. / В. Н. Щелкачев М.: Нефть и газ, 1995. - 586с.

68. Щелкачев, В. Н. Подземная гидравлика Текст. / В. Н. Щелкачев, Б. Б. Лапук Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. -736с.

69. Щелкачев, В. Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме Текст. / В. Н. Щелкачев М.: Гос. научно-техн. изд-во нефтяной и горно-топливной литературы, 1959. - 467 с.

70. Чарный, И. А. Подземная гидрогазодинамика Текст. / И. А. Чарный -М.: ГосТопТехИздат, 1963. 396с.

71. Comsol Multiphysics Modelling Guide. October 2007.

72. Comsol Multiphysics Model Library. October 2007.

73. Comsol Multiphysics Quick Start and Quick Reference. October 2007.78,79