Математическое моделирование граничных задач фильтрации к скважине в неоднородных слоях грунта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Аксюхин, Алексей Анатольевич

• Аксюхин, Алексей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аксюхин, Алексей Анатольевич

Введение.

Глава I. Математическое моделирование плоскопараллельных течений к совершенной скважине в кусочно-однородном слое.

§1.1. Работа скважины при фильтрации вблизи прямолинейного тектонического сброса.

§ 1.2. Фильтрация к скважине в однородной среде с произвольной гладкой границей области питания.

§1.3. Дебит скважины в кусочно-однородной среде с произвольными гладкими и кусочно-гладкими границами области питания и смены однородностей слоя.

§1.4. Течение к скважине в кусочно-однородной среде с прямолинейным контуром питания и произвольной замкнутой границей смены однородностей слоя.

Глава II. Математическое моделирование двумерной фильтрации к скважине в неоднородном слое со степенным законом изменения проводимости.

§2.1. Течения к скважине в неоднородном слое с каноническими контурами питания.

§2.2. Фильтрация к скважине в слое с прямолинейной границей

раздела сред.

§2.3. Дебит скважины в слое с границей раздела сред в виде полуокружности.

§ 2.4. Работа скважины в слоях с гладкими и кусочно-гладкими контурами питания и смены однородностей сред.

§2.5. Моделирование течений к скважине в слое с прямолинейным контуром питания и замкнутой границей смены однородностей сред.

§ 2.6. Фильтрационные течения к скважине в слое, проводимость которого моделируется степенной функцией с отрицательным показателем.

Глава III. Математическое моделирование трёхмерных граничных задач фильтрации к несовершенным скважинам.

§3.1. Работа скважины в однородном слое с плоской кровлей пласта и гладкой поверхностью питания.

§3.2. Фильтрация к скважине в кусочно-однородном слое с гладкими поверхностями питания и смены однородности.

§3.3. Фильтрационные течения к скважине в кусочнонеоднородном слое с произвольной гладкой поверхностью смены однородности.

§ 3.4. Дебит скважины в кусочно-неоднородном слое с произвольной гладкой поверхностью питания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование граничных задач фильтрации к скважине в неоднородных слоях грунта»

Актуальность темы исследования и обзор литературы. Эксплуатация нефтеносных и водоносных слоёв грунта сложной геологической структуры; строительство гидротехнических сооружений; проблемы водоснабжения населённых пунктов; орошение засушливых территорий, осушение заболоченных пространств; исследования в области охраны и мониторинга окружающей среды привели к необходимости построения новых математических моделей плоскопараллельных, двумерных и трёхмерных фильтрационных течений.

Для практики большой интерес представляет решение таких вопросов движения жидкости в пористых средах, как расчёт фильтрационных течений к скважине (определение полей давлений и скоростей жидкости) и нахождение её дебита.

Все известные задачи стационарного движения однородной несжимаемой жидкости к скважине при напорной линейной фильтрации в неоднородных слоях можно разделить по пространственному признаку на три класса:

I. Плоскопараллельные.

II. Двумерные.

III. Трёхмерные.

I. Наиболее широко вопросы фильтрации и дебита скважины исследованы для плоскопараллельных течений в однородных и кусочно-однородных пластах постоянной толщины при наличии различных границ области питания, сброса жидкости и смены однородностей пласта (слоя). Расчёт таких течений проводился в предположении выполнения постулата Форхгеймера [152, 173] о постоянстве напора по вертикали. Для кусочно-однородных пластов напор жидкости описывается гармонической функцией, что позволило использовать теорию функций комплексного переменного, сводя задачу исследования течений в пласте к отысканию аналитической в плане течения функции — комплексного потенциала течения. В рамках этой теории все работы могут быть подразделены на три основные группы:

1) когда границей однородных зон, линиями сброса и границами питания являются прямые (работы М.А Лукомской [88], В.Н. Щелкачева и Б.Б. Лапука [189], Г.Г. Тумашева [171], М.А. Гусейн-Заде [60], О.В. Голубевой [51, 54, 151], И А. Чарного [180], A.M. Пирвердяна [141], Г.Б.Пыхачёва [150], Р. Коллинза [72], А.Н.Куликова [78], Ю.Л. Соломко [164]);

2) когда границы представлены окружностями (работы П.Я. Полубариновой-Кочиной [144, 146], М.А. Лукомской [89], Г.В. Голубева [40,41], Ш.И. Георгицэ [33], Н.В. Ламбина [81,83,84],

О.В. Голубевой [52,54,55,151], М.Ф. Бариновой [12,13], Л.И. Костицыной [73]);

3) когда границы отличаются от окружностей и прямых (в частности, являются кривыми второго порядка) (труды Н.В. Ламбина [81-84], В.П. Пилатовского [135-140], А.И.Гусейнова [61], Г.Г. Тумашева [171] и Б.И. Плещинского [172], Г.В. Голубева [39,40,42], Ш.И. Георгицэ [195-19sz7], А.Я. Чилапа [184, 185], И.А. Чарного [180, 181], Л.В. Старшиновой [165], С.Д. Осятинского [103], А.Я. Шпилевого [53], А.И. Селин-Бекчурина [162], В.Ф. Пивня [106, 118], А.Д. Скотновой [163], М.И. Хмельника [175]).

Известны работы, в которых граничные задачи сопряжения решены методом интегральных уравнений: в теории фильтрации это исследования Г.Г. Тумашева [42, 172], В.Ф. Пивня [127 ,132, 134], в гидро- и аэродинамике — труды И.К. Лифанова [85, 86], в электродинамике — работы В.И. Дмитриева и Е.В. Захарова [67] и других авторов.

II. Особенно большой интерес представляют двумерные фильтрационные задачи моделирования стационарного движения жидкости к скважине в неоднородных слоях сложной геологической структуры, так как именно такие пласты, в основном, имеют место в практике. Неоднородность слоя характеризуется его проводимостью. Проводимость Р, как функция координат точек слоя, связана с его толщиной H и коэффициентом проницаемости среды К равенством:

Р = КН. (0.1)

Она может изменяться скачком на заданных границах.

Классическая теория аналитических функций комплексного переменного и её усложнённый аналог — теория обобщённых аналитических функций позволили разработать математические модели и на их основе описать широкий класс двумерных (в том числе осесимметричных) задач фильтрации в неоднородных слоях. Все известные решённые двумерные задачи стационарного движения жидкостей к скважинам в слоях переменной проводимости можно разбить на следующие группы: 1) Задачи фильтрации и расчёта дебита в пластах с плоским основанием, закон проводимости которых меняется скачком на заданной границе (кусочно-однородные слои). Эту группу работ составляют труды П.Я. Полубариновой-Кочиной [145,146], И.А. Чарного [180,181], М.А. Гусейн-Заде [58,59], В.Н. Щелкачева [189], О.В. Голубевой [54], В.Ф. Пивня [107, 109], других исследователей. В этих работах рассматриваются вопросы фильтрации однородной жидкости к скважине в кусочно-однородных пластах:

• пласт, состоящий из нескольких концентрических кольцевых зон различной проницаемости [54 ,59 ,145];

• пласт, состоящий из полуплоскостей различной проницаемости [58, 145];

• пласт, состоящий из полос различной проницаемости [164,176,177, 180];

• ступенчатый пласт, состоящий из полос различной проницаемости переменной мощности [43];

• пласт, ограниченный линиями сброса и свободной жидкости, содержащий включения различной формы [54, 146, 151, 189].

2) Фильтрационные задачи в слоях на плоскости с зонами, законы прово-димостей которых различны и описываются непрерывно изменяющимися функциями (кусочно-неоднородные слои). Эту группу задач представляют следующие исследования:

• фильтрация к скважине и расчёт её дебита в слоях, проводимость которых изменяется по целочисленному степенному закону (изучена в работах А. Вайнштейна [201-203], В.А. Белова [16-19], К.Н. Быстрова [22]) и степенному закону с действительным показателем (в работах Ю.А. Гладышева [36], Н.И. Гайдукова [32], В.Ф. Пивня [121, 124, 125, 199]) для канонических границ области питания и смены однородностей пласта;

• расчёт фильтрационных течений к скважине в неоднородных слоях с экспоненциальным законом проводимости пласта (труды С.Д. Осятинского [101-104], О.В. Голубевой [54], К.Н. Быстрова [21], В.А. Юрисова [190], М.А. Фролова [174]);

• нахождение поля давлений в пластах, проводимость которых описывается гармонической или метагармонической функцией координат (исследования B.J1. Данилова [62]);

• построение функций давления в случае, если 4к (К — коэффициентов проницаемости) есть гармоническая функция. Предложенным Г.С. Салеховым методом формула Дюпюи для дебита скважины обобщена на случай кругового неоднородного пласта [154, 155]. Методом наименьших квадратов и Ритца решены задачи о фильтрации жидкости в неограниченном круговом пласте со скважиной в середине, получено точное решение задачи в случае кольцевого пласта [156];

• исследование течений в пластах, для которых коэффициент проницаемости К удовлетворяет уравнению Ал[К - ал[К = 0, где а = const (работы Г.С. Салехова [154], А.Г. Тукаева [170]);

• математическое моделирование фильтрационных течений и расчёт функции давления в ограниченном пласте с коэффициентом проницаемости К, удовлетворяющим уравнению: 4к = а2 = const всюду в пласте, а также в круговом пласте, состоящем из концентрических колец, в каждом из которых отношение имеет постоянное значение, но различное в разных кольцах (исследования Ю.М. Молоковича [93-95], Ю.А. Кима [70]).

Исследованию фильтрационных течений и расчёту дебитов скважин в слоях с непрерывно изменяющейся проводимостью и в кусочно-неоднородных пластах посвящен ряд частных задач в работах Г.Б. Пыхачёва [150], P.M. Насырова [98,99], Н.С. Пискунова [142], Г.Г. Вахитова [24, 25], Ф.М. Мухаметзянова [96], Т. Оровяну [198]. 3) Задачи теории фильтрации в искривлённых пластах (однородных и неоднородных). Общая теория таких течений была разработана О.В. Голубевой [44-46] и П.Я. Полубариновой-Кочиной [146]. Изучению плановой напорной установившейся фильтрации однородной несжимаемой жидкости в искривлённых пластах с постоянной, кусочно-постоянной и непрерывной функциями проницаемости посвящены работы П.Я. Полубариновой-Кочиной и Б.Э. Казарновской [68],

В.П. Пилатовского [137-140], О.В. Голубевой [54, 47-50], К.Д. Поярковой [147, 148], Ф.Н. Четина [182, 183].

Среди двумерных задач фильтрации особый интерес представляют осесимметричные задачи, являющиеся частным случаем трёхмерных течений. Проблемам осесимметричной фильтрации посвящены работы В.Ф.Пивня [114,115,116,119,121,122], Н.И.Гайдукова [31], Ю.А. Гладышева [37], И.И. Данилюка [63, 64] и др.

III. В отличие от хорошо исследованных плоскопараллельных и двумерных течений, количество решённых в конечном виде трёхмерных задач фильтрации жидкости в неоднородных слоях незначительно.

Одним из первых примеров пространственного движения были исследования Б.К. Ризенкампфа и Н.К. Калинина [153], связанные с описанием процессов на свободной поверхности.

Поиск дебита несовершенных скважин, моделируемых точечными или протяжёнными стоками (источниками), в однородных и неоднородных пластах связан с расчётом трёхмерных течений жидкости. Первые результаты трёхмерных течений к несовершенным скважинам в однородном пласте были получены Ф. Форхгеймером [173], а позднее — B.C. Козловым [71], М. Маскетом [91], Н.К. Гиринским [34,35], В.М. Насбергом [97], В.Д. Бабушкиным [9], H.H. Виригиным [27, 28], С.К. Абрамовым [1].

Трёхмерным фильтрационным течениям жидкости к несовершенным скважинам, а также расчёту дебита таких скважин в однородных слоях посвящены работы таких учёных, как Г. Бетман (Н. Bateman) [193], П.Я. Полубаринова-Кочина [146], И.Н. Кочина [74, 75], H.H. Кочина [76,77], И.А. Чарный [178, 179, 181], М.И. Швидлер [186], Я.И. Алехашкин [6,7], В.Н. Николаевский [100], Б.И. Сегал [159,160], JI.H. Павловская [105], В.М. Шестаков [187], A.B. Сидоркина [161], А.И. Силин-Бекчурин [162].

Количество решённых трёхмерных граничных задач фильтрации жидкости к несовершенным скважинам в кусочно-однородных и кусочнонеоднородных средах незначительно (труды В.Д.Бабушкина [10,11], Ю.И. Стклянина [166-168], В.Ф. Пивня [108, 110-113, 117, 120]).

В работе Б.Э. Казарновской и П.Я. Полубариновой-Кочиной [68] в случае, когда нефтяные залежи имеют форму купола или цилиндра, получены сравнительно простые формулы для притока жидкости к скважине, ортогональной к поверхностям (сферам и цилиндрам), являющихся границами пласта.

Трёхмерные течения жидкостей (в том числе нестационарные) к горизонтальным скважинам, методики геофизических исследований скважин электрическими и электромагнитными методами каротажа, моделирование процессов разработки месторождений с применением систем горизонтальных скважин на ЭВМ сеточными методами описаны в трудах П.И. Дворецкого и И.Г. Ярмахова [65, 66, 192].

В связи со значительным развитием электронно-вычислительной техники стало возможным моделировать течения в пористых средах на компьютере, а также решать задачи сопряжения и рассчитывать дебит скважины численно. Так в трудах В.Ф. Пивня [127, 129-132, 134] показано, как такие задачи сводятся к системе интегральных соотношений. Развитая И.К. Лифановым в гидродинамике теория метода дискретных особенностей [85, 86] применима к рассматриваемой системе.

Полученный с помощью классической теории функций комплексного переменного, теории обобщённых аналитических функций и теории потенциала класс решённых плоскопараллельных и двумерных задач фильтрации ограничен, в своём большинстве, исследованиями течений в неоднородных пластах, проводимость которых моделируется некоторыми функциями координат точек слоя, и может меняться скачком на заданной границе. Причём, реальные границы сопряжения, области питания и сброса (непротекания) жидкости моделируются каноническими кривыми: прямая (полупрямая), окружность (полуокружность) и кривыми второго порядка. Перечисленные теории не могут описать трёхмерные течения жидкости к скважинам, а позволяют, в частности, строить лишь осесиммет-ричные модели течений и моделировать фильтрацию к скважинам при наличии простых границ в виде плоскости, сферы, поверхностей вращения второго порядка. Из приведённого выше обзора следует, что в известных трудах не исследованы граничные задачи трёхмерной и двумерной фильтрации к скважинам в кусочно-неоднородных слоях с произвольными границами сопряжения таких слоёв и произвольными поверхностями (контурами) питания. Таким образом, указанные ограничения применения известных моделей, дальнейшее приближение теоретических исследований к практике и постановка новых задач подземной гидродинамики приводят к необходимости разработки новых математических моделей фильтрационных течений к скважине в неоднородных слоях.

Целью работы является создание новых математических моделей граничных задач сопряжения плоскопараллельных, двумерных и трёхмерных фильтрационных течений к скважине в неоднородных слоях. На основе этих моделей найти дебит скважины; изучить влияние на него неоднородности слоя, формы границ и положения скважины.

Постановка задачи о работе скважины.

Поставим граничную задачу о фильтрации жидкости к скважине, расположенной в неоднородном слое.

Рассмотрим стационарную напорную линейную фильтрацию несжимаемой (/?= const) жидкости постоянной вязкости ¡Л (jU= const) в изотропной неоднородной среде. Согласно [151], скорость фильтрации V и квазипотенциал скорости течения (р удовлетворяют закону Дарси и уравнению неразрывности

V = KV(p, V-K = 0. (0.2)

Здесь К — коэффициент проницаемости среды (для однородной среды К - const, для неоднородной среды — К есть функция координат), V — оператор Гамильтона*'. Квазипотенциал является функцией точки М среды и имеет вид: p(M) = --[p(M) + yz], (0.3) где р(М) — давление жидкости, у — её удельный вес, ось Oz направлена вертикально вверх. Квазипотенциал (0.3) определён с точностью до аддитивной постоянной, которая выбрана равной нулю.

В двумерных и плоскопараллельных задачах течение жидкости рассматривается в плоскости z = 0. Давление жидкости, согласно постулату Форхгеймера [152, 173], постоянно вдоль вертикальной оси, а /?(М) и <р(М} являются функциями двух декартовых координат х и у. При трёхмерной напорной фильтрации давление и квазипотенциал скорости зависят от трёх координат х, у, z, /?(М) »\yz\. Для полубесконечного слоя с плоской кровлей вертикальная ось Oz направлена вниз, и знак слагаемого yz в (0.3) меняется на противоположный.

Запишем уравнения (0.2) и функцию <р(М) в безразмерном виде, что целесообразно сделать при решении практических задач. Выберем безразмерные координаты г' = r/L0, скорость V' = V/V0, квазипотенциал скорости ср' = </?/Ф0, коэффициент проницаемости К' = К/К0, давление р' = р/Р0. Причём L0, V0, Ф0, К0, Р0 — характерные значения соответствующих величин, которые связаны равенствами [119]: У0-К0Ф0/Ь0, Уравнения вида (0.2), кроме фильтрации, описывают процессы и явления другой физической природы (теплопроводность, электропроводность, электро-магнитостатику).

Р0 = /Ь0, Ф0 = Р()/¿и. Полученные из (0.2) уравнения сохраняют свой вид, если в них опустить штрихи над величинами. Поэтому в дальнейшем полагаем, что уравнения (0.2) записаны в безразмерных величинах, а формула (0.3) в этих величинах принимает вид: р(М) = -р(М)-г. (0.3')

Полагаем, что поверхность класса Ляпунова (в двумерном случае — гладкая или кусочно-гладкая кривая) сг делит область фильтрации И на две области 1), и Д с коэффициентами проницаемостей сред К} и К2 (в двумерных задачах — с проводимостями слоя Р1 и Р2). Течения в них описывают квазипотенциалы скорости (рх и (р2 соответственно, имеющие особенности в конечном числе 8 точек М*, / = 1,2,.,8. Полагаем, что Ку(м)=куК(м), у= 1,2, (для двумерных течений РУ(М) = куР(М)) где ку — постоянные, а функции К^М) и Р{М) непрерывны.

Область £), среды полностью или частично ограничена поверхностью (в двумерном случае — контуром) <тп, которую называют поверхностью (контуром) питания. На практике поверхностью питания моделируют границу насыщенного нефтеносного или водоносного пласта со свободной жидкостью (например, с границей водоёма).

В гидродинамических задачах и в исследовании процессов фильтрации жидкостей и газов поиск решения задачи значительно усложняется наличием особой поверхности (в двумерных задачах — сингулярной кривой) сг0, на которой коэффициент проницаемости К(М} (двумерном случае — проводимость Р(м)) обращается в ноль либо бесконечность. Эта поверхность (кривая) может частично ограничивать области Д и /)2. Она может пересекаться с поверхностями (кривыми) сг и сгп.

При трёхмерной фильтрации жидкости к несовершенной скважине в кусочно-однородной среде, цилиндрическая поверхность фильтра скважины моделируется эквипотенциальной поверхностью сг, линейного стока [35,71,173] (сжатым эллипсоидом [146]), называемой поверхностью скважины. В плоскопараллельных и двумерных задачах фильтрации в плоскости течения контур скважины стс представляет собой окружность радиуса Яс, размеры которой малы по сравнению с размерами области £) фильтрации. Поверхность (кривая) сг, может находиться как в области Д, так и в области Ог. Она не пересекает границ сг, сг0, сгп и ограничивает малую область Вс, течение в которой не рассматривается.

Таким образом, под областью фильтрации £) понимается область: = £>, и А и Д ио-исгп и<701М.

Для трёхмерных течений из (0.2) следует эллиптическое уравнение относительно квазипотенциалов сру:

V ■ [к(М)У<ру(М)] = 0, М е Я', (0.4)

Я' = Я\(Яси<7и<7пиа-оио-с), V = 1,2. Для двумерной фильтрации, в случае тонкого слоя проводимости Ру(М) = куР(М) из (0.4) следует уравнение, которое в декартовых координатах х,у, выбранных на подошве слоя, имеет вид: дх дх J ду\ ду

MED',V= 1,2.

В частности, для течений в кусочно-однородной среде (К = const) из (0.4) следует уравнение Лапласа:

A(pv (М) = 0, М е D', v = 1,2 . (0.5')

Поставим условия на указанных границах области фильтрации D. На границе ст выполняются условия непрерывности давлений и расхода жидкости (условия сопряжения) [151], которые для квазипотенциалов скоростей запишутся в виде: д>1{М) = <р-2{М), кх i д (рх дпм

Мест, (0.6) где пм —нормаль к границе ст, направленная в область Д, индексы «+» и «-» означают предельные значения соответствующих функций при приближении к ст из Д и £>2 соответственно.

Задача нахождения квазипотенциалов сру(М), у=1,2, удовлетворяющие уравнениям (0.4) (в двумерном случае(0.5)) и условиям (0.6) называют задачей сопряжения. Она актуальна и значима для широкого многообразия проблем физики и механики [54, 151]. Частными случаями задачи сопряжения являются краевая задача Неймана [169], когда граница ст непроницаема, и краевая задача Дирихле [169], если ст — эквипотенциальная поверхность (кривая).

На сингулярной непроницаемой границе сг0 нормальная составляющая скорости жидкости в неоднородном слое равна нулю: о, у=\,2,Мест0. (0.7)

В случае однородного или кусочно-однородного слоя условие (0.7) принимает вид: дсру(М) дпм 0, v = 1,2, М ест 0. (0.7')

Когда <т0 является эквипотенциальной поверхностью, то касательные составляющие скоростей в каждой точке границы сг0 равны нулю. На этой поверхности квазипотенциалы (ру постоянны. Выберем их равными нулю:

Фу(м)= 0, у= 1,2, Мест,. (0.8)

Видно, что решение задачи (0.4) (в частности, (0.5), (0.5')), (0.6), (0.7) или (0.8) определено с точностью до аддитивной постоянной. Как показано в плоскопараллельном случае [42], её решение единственно, если область Д ограничена простым гладким или кусочно-гладким контуром, на котором искомая функция принимает заданное значение. По-видимому, это утверждение о единственности можно распространить на двумерную и трёхмерную задачи сопряжения процессов.

При решении задач сопряжения, в которых необходимо определить дебит скважины, к граничным условиям (0.6)-(0.8) добавляются условия на границе области питания стп и на поверхности (контуре) скважины сгс.

На поверхности (контуре) <тп, задаётся давление, характеризуемое непрерывной функцией а(м), которая для замкнутых границ <тп является циклической функцией координат. Далее будем рассматривать в основном^ случай, когда поверхность (кривая) <тп расположена целиком в области Д. Условие на границе сгп принимает вид: к1ф1(м) = а(м), Ме(тп, <тп еД. (0.9)

При трёхмерной фильтрации на поверхности скважины в средней точке Мс сжатого эллипсоида сгс, согласно [146], задаётся среднее давление на фильтре. А в плоскопараллельных и двумерных задачах давление на контуре скважины <тс, в силу малости радиуса Яс, считается постоянным в его произвольной точке Мс. Условие на поверхности (контуре) скважины <тс имеет вид: ку(ру(Мс)~ С, Мс е сгс, V = 1 или 2, С = сош1;. (0.10) Для нахождения дебита скважины искомые квазипотенциалы, следуя [127-130], запишем в виде: (о п) К где квазипотенциал ^0(м) описывает течение в области И при отсутствии границ с и (тп. Функция (р0(м) имеет особенности в точках М], / = 1,2,.,т, учитывает возможную границу <т0, то есть удовлетворяет ус' Если граница области питания <тп продолжается в область /)2, то в этой области на сгп выполняется условие: кг(рг(М) = а'(М), где Месгп, сгп е Д, а'(М) = а(М)к2/к. ■ ловию (0.7) (в частности (0.7')) или (0.8). <р0(м) содержит, обычно, в виде множителя постоянную д, которая представляет собой искомый приведённый дебит д скважины — расход жидкости за единицу времени через фильтр скважины, отнесённый к длине фильтра и к коэффициенту проницаемости среды в точке забоя скважины. Функции Фу(м), есть квазипотенциалы возмущений, вызванные наличием границ сг и сгп, характеризующие течения в областях Ву ( у = 1,2 ), не имеющие в них особых точек и удовлетворяющие уравнению (0.4) (в частности, (0.5) или (0.5')).

Учитывая (0.11), граничные условия (0.6) для квазипотенциалов Ф„(М), у= 1,2 запишем следующим образом:

1 - л)ф; (м) - (1+л)ф2 (м)=2л<р0 (м), /^Ф,(м)У (дФ2(м)Х „ , кх-к2 (0-12)

1у ; - 2у ' , мест, л= 1 2 дпм дпм к{ + к2

Полагая, что функция (р{) (м) удовлетворяет условиям (0.7), (в частности (0,7')) или (0.8) на сингулярной поверхности (кривой) сг0, для потенциалов возмущения получим:

Kv > = 0, v = 1,2, Мест,. (0.13) дпм дФ (М)

-^^ = 0, v=l,2, Мест,. (0.13') дпм

Ф1/(М)=0, v= 1,2, Мест,. (0.14)

Условие на границе области питания (0.9) для квазипотенциала Ф,(М) принимает вид:

Ф~(М)=а(М)-<р0(М), М бсгп, (0.15)

Когда область D2 ограничена, а область Д содержит бесконечно удалённую точку (например, поверхность (контур) питания стп отсутствует), для квазипотенциала возмущения Ф,(М) имеем [134]:

0 при гш

->Q0, (0.16) где точка N ест, а гш — расстояние между точками N и М е Dx\cr. Условие (0.16) обеспечивает единственность решения задачи (подробнее см. [127, 128]).

Условие (0.10) на поверхности (контуре) скважины сг, запишем следующим образом: ф ,(Мс)=С-^0(Мс), Мсестс, у =1 или 2. (0.17)

Таким образом, чтобы найти дебит скважины q необходимо отыскать квазипотенциалы ФДм), v = 1,2, удовлетворяющие уравнениям (0.4) (или (0.5)) и граничным условиям (0.12), (0.13) (либо (0.14)), (0.15) (либо (0.16)), (0.17).

Решение поставленной задачи для канонических границ сопряжения и области питания получено в конечном виде методами классической теории аналитических функций комплексного переменного [20, 80, 115 124, 143, 149, 158], теории обобщённых аналитических функций [26, 114, 119] и теории потенциала [54, 49, 61].

Для произвольных гладких границ класса Ляпунова задачу о дебите скважины сведём к системе интегральных уравнений.

Сведение задачи о дебите скважины к системе интегральных уравнений.

Сведём граничную задачу фильтрации жидкости к скважине, расположенной в неоднородном слое, к системе интегральных уравнений. Полагаем, что поверхность (контур) питания ап целиком расположена в области D,, то есть не имеет общих точек с границей а.

Обозначим коэффициент проницаемости среды К^М) для трёхмерных и плоскопараллельных задач (или в двумерном случае проводимость слоя Р(М)) в точке M за Q(M). Квазипотенциалы возмущений Ф „(м), v = 1,2 ищем в виде потенциалов двойного слоя, с непрерывно распределёнными плотностями gv(N) и f{T) на поверхностях (кривых) <т и <тп соответственно :

J О nN J <7 nT а <тп v=l,2, MeD', N ест, Т ean. (0.18)

Здесь nN и пт — орты положительных нормалей, направленные во внешние к границам а и сгп области, F(M,N), F(M,T) — фундаментальные решения уравнения (0.4) или (0.5), имеющие в точках N и Т особенности. При наличии поверхности (сингулярной кривой) сг0, функция выбирается таким образом, чтобы на <т0 она удовлетворяла условиям вида (0.7) или (0.8). В этом случае функцию F(M,N) называют функцией Грина. Известно [8], что функция Грина симметрична:

Следуя [132, 134], функцию F(M,N) можно представить в случае двумерной {/л - 2 ) и трёхмерной (ju = 3 ) фильтрации в виде:

F(M,N) = U^(M,N) +

In—-—, ju- 2, rMN rMN

0.19) = 3.

Функции U (M,N) регулярные (принимают конечные значения, когда точки М и N совпадают), дважды непрерывно дифференцируемые в области D'; они симметричны: их нормальные производные в точках N е а и Т е сгп стремятся к нулю в бесконечности.

Функция F{M,T), Т есгп и имеет подобный (0.19) вид.

Как показано в [131, 134], функции (0.19) являются квазипотенциалами точечных стоков единичной мощности.

Для конкретных функций Q(M) фундаментальные решения (0.19) известны: для плоскопараллельной [51,54], осесимметричной [119], двумерной (в слоях со степенным законом проводимости [2, 4, 123, 124], с экспоненциальным законом проводимости [54, 174], другими законами проводимости [42]) и трёхмерной [5, 112, 146] фильтрации.

Благодаря свойствам функции F(M,N) и её поведению на границе сг0 искомые квазипотенциалы Фу(м), v = 1,2 удовлетворяют условиям (0.13) (в частности (0.13')) или (0.14), (0.16).

Следуя [134], имеем предельные значения потенциала двойного слоя на границах а и сгп:

J о пт 2 a N

•> о пт 2

Мест; (0.20) on.

V r

M ean,

Выбор искомых квазипотенциалов возмущений в виде потенциалов двойного слоя обусловлен поведением последних на границах сопряжения и в бесконечности [8, 86]. Квазипотенциалы (0.18) удовлетворяют уравнению (0.4) (либо (0.5)) и условию (0.16).

В силу непрерывности предельных значений производных по нормали двойного слоя [86] второе из условий (0.12) обращается в тождество, если gl(N) = g2(N) = g{N)t N ест. (0.21)

Подставляя (0.20) в условия (0.12), (0.15), (0.17) и учитывая (0.21), получим систему: дп^ о

-2Л | /(г)а(г)^м,г^сгп7. = 2Я %{м\ Местдп1 п

Тг а С-<р0(Ме), Мс

Первые два уравнения системы (0.22) являются неоднородными интегральными уравнениями второго рода типа Фредгольма [86, 92, 134], а третье — интегральное соотношение.

Совместное решение интегральных уравнений и соотношения системы (0.22) позволяет определить функции g(N), /(Г) и искомый дебит д. Система (0.22) решается численно методом дискретных особенностей для конкретных границ и законов проницаемостей (проводимостей).

Научная новизна и теоретическое значение работы. Построены и исследованы новые математические модели граничных задач фильтрации. Для канонических границ (плоскость и сфера в трёхмерном случае; прямая, окружность, овалы Кассини в плоскопараллельных и двумерных задачах) получены решения в конечном виде. Для произвольных границ класса Ляпунова задача сведена к системе интегральных уравнений и интегрального соотношения, которые решены численно методом дискретных особенностей. Это позволило рассчитать дебиты скважин в неоднородных слоях с границами указанного класса. Проведённые исследования расширяют класс решённых плоскопараллельных, двумерных и трёхмерных граничных задач сопряжения и вносят вклад в теорию решения таких задач.

Предложенные модели и методы могут быть применены для исследования явлений и процессов различной физической природы, которые описываются уравнениями вида (0.2).

Практическая значимость работы. Рассчитаны дебиты совершенных (в плоскопараллельных и двумерных задачах) и несовершенных (при трёхмерной фильтрации) скважин; исследовано влияние на дебит скважины неоднородности слоя, формы границ, симметрии задач (плоскопараллельная, двумерная, трёхмерная). Указаны практические рекомендации и критерии использования простых аналитических формул расчёта дебита вместо сложных численных расчётов, а также рекомендации по оптимальному размещению скважины в пласте с учётом различных границ. Полученные формулы и рекомендации могут быть применены при разработке нефтеносных и водоносных пластов грунта сложной геологической структуры, в исследовании задач практической экологии и задач, значимых для охраны и мониторинга окружающей среды.

Достоверность результатов работы обеспечивается применением строгого математического аппарата, использованием фундаментальных законов движения жидкостей и общепризнанных математических моделей теории фильтрации, численных методов; подтверждена сопоставлением полученных численных решений конкретных задач с известными теоретическими и практическими результатами, которые являются частными случаями этих решений.

Апробация работы. Работа в целом докладывалась на кафедре высшей математики ВАТУ им. профессора Н.Е. Жуковского (нач. каф. профессор И.К. Лифанов, 26 июля 2000 г.), на кафедре теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. каф. профессор В.Ф. Пивень, 6 сентября 2000 г.), на семинаре «Интегральные уравнения» факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров, профессор И.К. Лифанов, 11 сентября 2000 г.).

По мере получения основные результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции «Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений» (г. Орёл, ОГУ, 14-19 ноября 1996 г.); на ежегодных научных конференциях Орловского государственного университета (1996-2000 г.г.); на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики», кафедры теоретической физики ОГУ (рук. профессор В.Ф. Пивень, профессор И.К. Лифанов, 19972000 г.г.); на Международной научно-практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, ОГТУ, 17-19 ноября 1999 г.); на IX Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орёл, ОГУ, 29 мая-2 июня

2000 г.). Также результаты работы представлены в виде опубликованных докладов и тезисов докладов на Всероссийской научно-практической конференции «Новое содержание образования и проблемы готовности сельской школы к его реализации» (г. Орёл, 20-23 мая 1996 г.); международных конференциях: «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)» (г. Красноярск, 25-30 августа 1997 г.); «Седьмая межд. научн. конф им. академика М. Кравчука» (Украина, г. Киев, 14-16 мая 1998 г.); «Современные проблемы теории фильтрации» (Украина, г. Ривнэ, 1-3 июня 1998 г.); «Математическое моделирование систем: методы, приложения и средства» (г. Воронеж, 12-16 октября 1998 г.); «Modern approaches to flows in porous media» (г. Москва, 6-8 сентября 1999 г.); «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, 17-19 ноября 1999 г.); в Воронежской школе «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж, 21-29 апреля 1998 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в статьях [2-5, 127, 129, 133,200] и тезисах докладов [126, 128, 130].

Краткое содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, двух приложений и иллюстраций.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Аксюхин, Алексей Анатольевич

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Поставлена граничная задача о дебите скважины в неоднородном слое с границами, моделируемыми гладкими поверхностями (кривыми) класса Ляпунова. Построены и исследованы новые математические модели граничных задач трёхмерной и двумерной фильтрации. Для канонических границ получены решения задачи в конечном виде. Некоторые из них используются в качестве тестовых в оценке результатов численного счёта. В случае произвольных границ в виде гладких поверхностей (кусочно-гладких кривых) класса Ляпунова задача сведена к системе интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода и интегрального соотношения, которые решены численно методом дискретных особенностей.

2. Полученные решения применены для моделирования работы совершенных в плоскопараллельных задачах скважин, работающих в кусочно-однородных нефтеносных (водоносных) слоях грунта постоянной толщины. Найдены формулы расчёта дебитов скважин, когда границами сопряжения, питания, сброса и со свободной жидкостью являются прямые линии, окружности и овалы Кассини. В случае произвольных кусочно-гладких границ класса Ляпунова граничные задачи решены численно методом интегральных уравнений, что позволило определить дебит скважины.

3. Для канонических границ (прямая, полуокружность) получены в конечном виде новые решения двумерной граничной задачи о работе совершенной скважины в слоях со степенным законом изменения проводимости. Для кусочно-гладких границ класса Ляпунова задача решена численно. Определён дебит скважины.

4. Разработаны трёхмерные модели фильтрационных течений к несовершенным скважинам, работающим в полубесконечном пласте, ограниченным непроницаемой либо эквипотенциальной плоскостью, при произвольном расположении фильтра скважины. Пористая среда в трёхмерных задачах считалась прерывно-однородной, либо кусочно-неоднородной с квадратичным законом изменения проницаемости. В том случае, когда поверхности питания, сопряжения, непротекания и границы со свободной жидкостью представлены плоскостями и сферами (полусферами) получены решения задачи в конечном виде и найдены формулы для дебита скважин. Для произвольных гладких граничных поверхностей класса Ляпунова задачи решены численно.

5. В случаях плоскопараллельной и двумерной фильтрации исследовано влияние формы границы сопряжения и формы контура питания на дебит скважины. Указаны рекомендации по размещению скважины в пласте с учётом границ так, чтобы её дебит был максимальным. Исследовано влияние неоднородности (закон

98 проводимости и толщина слоя) на дебит скважины. Указаны критерии и погрешности использования простых аналитических формул вместо сложных формул и численных расчётов. Для трёхмерных задач исследовано влияние закона проницаемости среды, положения и размеров фильтра несовершенной скважины.

Изучено влияние симметрии задач (плоскопараллельная, двумерная, трёхмерная) на дебит скважины.

Проведённые исследования расширяют класс решённых плоскопараллельных, двумерных и трёхмерных граничных задач сопряжения и вносят вклад в теорию решения таких задач. Предложенные методы и полученные с их помощью точные и численные решения могут быть использованы для изучения широкого круга явлений и процессов различной физической природы, описываемых уравнениями вида (0.2).

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аксюхин, Алексей Анатольевич, 2000 год

1. Абрамов С.К., Бабушкин В.Д. Методы расчёта притока воды к буровым скважинам. Госстройиздат. 1955. 384 с.

2. Аксюхин A.A., Пивень В.Ф. Определение дебита скважины в неоднородном слое, толщина которого изменяется по степенному закону // Вестник науки. Сборник трудов учёных Орловской области.

3. B.5. Т. 1. Орёл. ОрёлГТУ. 1999. С. 284-289.

4. Аксюхин A.A., Пивень В.Ф. Решение трехмерной задачи о дебите скважины в кусочно-однородной среде методом дискретных особенностей // Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ-2000». Орёл. Орловский госун-т. 2000. С. 19-27.

5. Алехашкин Я.И. Один способ расчёта дебита для напорного притока к несовершенной скважине // Вычислит, матем. 1957. № 1. С. 131-135.

6. Алехашкин Я.И. Решение задач о несовершенной скважине методом прямых//Вычислит, матем. 1957. № 1. С. 136-152.

7. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука. 1974. 432 с.

8. Бабушкин В.Д. Указания по определению коэффициента фильтрации при опытных откачках из несовершенных скважин. М.: ВОДГЕО. 1950.36 с.

9. Бабушкин В.Д. Приток воды к скважине в трёхслойной толще пород. Подземная газификация углей. 1957. № 4. С. 41-48.

10. Бабушкин В.Д. К методике определения притока воды к карьеру, несовершенному котловану и шахтному колодцу в двухслойной толще. Госгеотехиздат. Бюл. науч. техн. инф. 1958. № 5 (17). С. 58-61.

11. БариноваМ.Ф. К вопросу о построении некоторых типов плоских течений // Уч. зап. МОПИ. 1966. Т. 164. Теорет. физика. Вып. 6.1. C. 91-94.

12. БариноваМ.Ф. О влиянии неоднородности пласта на дебит изолированной скважины // Уч. зап. МОПИ. 1966. Т. 164. Теорет. физика. Вып. 6. С. 94-111.

13. БейтменГ, ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции. Т. 1, М.: Наука. 1973. 296 с.

14. БейтменГ, ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции. Т. 2, М.: Наука. 1966. 296 с.

15. Белов В.А. К вопросу двумерного движения жидкости в слоях, толщина или проницаемость которых изменяется по чётному степенному закону. Канд. дисс. М.: МОПИ. 1966. 196 с.

16. Белов В.А. К определению функции давления в неоднородных пластах нефтяных месторождений // Изв. ВУЗов. Нефть и газ. № 10. Баку. 1967. С. 68-72.

17. Белов В.А. К вопросу о работе скважин в неоднородном пласте // Уч. зап. каф. теорет. физики МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1968. Т. 200. Вып. 7. С. 32-42.

18. Белов В.А. К вопросу фильтрации жидкости в неоднородных пластах // Гидродинамика: Московское общество испытат. природы. М.: Изд-во МГУ, 1970. С 43-48.

19. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука. 1969. 239 с.

20. Быстрое К.Н. О двумерных установившихся течениях жидкости в слое с экспоненциально изменяющейся толщиной // Уч. зап. МОПИ. 1959. Т. 75. Тр. каф. теорет. физики. Вып. 4. С. 31-59.

21. Быстрое К.Н. О гидродинамической интерпретации течений в слоях переменной толщины, описываемых функциями Лежандра // Уч. зап. МОПИ. 1961. Т. 99. Тр. каф. физики. Вып. 5. С. 31-59.

22. Бэр Я., ЗаславскиД., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. М.: Мир. 1971. 451 с.

23. Вахитов Г.Г. Решение задач подземной гидродинамики методом конечных разностей. Тр. ВНИИ. 1957. Вып. 10. С. 53-87.

24. Вахитов Г.Г. О независимости формы водонефтяного контакта в неоднородном пласте от величины перепадов давлений в скважинах // Изв. Казанск. фил. АН СССР. Сер. физ.-матем. и техн. наук. 1959. Вып. 13. С. 55-62.

25. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Наука. 1988. 512 с.

26. Виригин H.H. Водопонижение посредством несовершенных скважин // Тр. совещ. по вопросам водопонижения в гидротехн. стр-ве. М.: Госстройиздат. 1959.

27. Виригин H.H. Методы определения фильтрационных свойств горных пород. М.: Госстройиздат. 1962. 179 с.

28. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 528 с.

29. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы. Справочник. Минск.: Вышэйшая школа. 1995.380 с.

30. Гайдуков Н.И. Осесимметричное течение идеальной несжимаемой жидкости с особенностями на оси симметрии и в бесконечно удаленных точках // Уч. зап. МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1966. Т. 164. Теорет. физика. Вып. 6. С. 58-62.

31. Гайдуков Н.И. О построении решений эллиптических уравнений и их применении в гидродинамике // Уч. зап. МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1966. Т. 164. Теорет. физика. Вып. 6. С. 63-67.

32. ГеоргицэШ.И. Применение одного полу обратного метода при решении задач фильтрации под гидротехническими сооружениями // УМЖ. 1962. № 4. С. 362-365.

33. Гиринский Н.К. Некоторые вопросы динамики подземных вод. Гидрогеолог, и инж. геолог. 1947. № 9. С. 3-100.

34. Гиринский Н.К. Определение коэффициента фильтрации по данным опытного водопонижения. Разведка недр. 1952. № 5. С. 46-48.

35. Гладышев Ю.А. Течения идеальной жидкости в слоях, толщина которых изменяется по степенному закону // Уч. зап. МОПИ. 1961. Т. 99. Теорет. физика. Вып. 5. С. 59-67.

36. Гладышев Ю.А. Об одном новом методе построения осесимметричных полей в неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1980. С. 96-111.

37. ГлузбергМ.А. К теории движения воды в неоднородном грунте под гидротехническими сооружениями. Афтореф. дисс. Киевский ун-т. 1941.10 с.

38. Голубев Г.В. Определение поля давлений в кусочно-однородном пласте, состоящем из т софокусных эллипсов, при наличии контура питания // Уч. зап. Казанского ун-та. 1957. Т. 117. Вып. 9. С. 84-89.

39. Голубев Г.В. Определение поля давлений в кусочно-однородных пластах различных форм // Уч. зап. Казанского ун-та. 1958. Т. 118. Вып. 2. С. 166-192.

40. Голубев Г.В. К определению функции давления в неоднородных по проницаемости пластах // Уч. зап. Казанского ун-та. 1961. Т. 121. Вып. 5. С. 157-166.

41. Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань. Изд-во Казанского ун-та. 1972. 196 с.

42. Голубев С.Н. Фильтрация к совершенной скважине в ступенчатом пласте // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1980. С. 34-41.

43. Голубева О.В. Уравнения двумерных движений идеальной жидкости на криволинейной поверхности и их применение в теории фильтрации // ПММ. 1950. Т. 14. Вып. 3. С. 287-294.

44. Голубева О.В. Исследования движений жидкости по криволинейным поверхностям // Уч. зап. МОПИ. 1951. Т. 18. Вып. 2. С. 105-129.

45. Голубева О.В. Некоторые задачи ламинарной фильтрации жидкости в неоднородных искривлённых слоях переменной толщины // ПММ. 1953. Т. 17. Вып. 4. С. 485-490.

46. Голубева О.В. Потенциальные течения идеальной жидкости в плёнках, расположенных на криволинейных поверхностях частного вида // Уч. зап. МОПИ. 1955. Т. 33. Тр. каф. физики. С. 5-15.

47. Голубева О.В. Некоторые задачи фильтрации жидкости в искривлённых слоях // Уч. зап. МОПИ. 1955. Т. 33. Тр. каф. физики. С. 15-25.

48. Голубева О.В. Уравнения установившихся потенциальных движений идеальной несжимаемой жидкости в пленке переменной толщины, расположенной на криволинейной поверхности // Уч. зап. МОПИ. 1955. Т. 33. Тр. каф. физики. С. 87-95.

49. Голубева О.В. О комплексном потенциале и комплексной скорости течений в искривлённых плёнках переменной толщины // Уч. зап. МОПИ. 1959. Т. 33. Тр. каф. физики. Вып. 4. С. 3-11.

50. Голубева О.В. О моделировании работы скважин при напорной фильтрации жидкости в горизонтальных пластах. // Уч. зап. МОПИ. Т. ХС1Х. Тр. каф. физики. Вып. 5. 1961.

51. Голубева О.В. Обобщение теоремы об окружности на фильтрационные течения (К вопросу о течениях в кусочно-неоднородных грунтах) // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 1. С. 113-166.

52. Голубева О.В., Шпилевой А.Я. О плоской фильтрации в средах с прерывно изменяющейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 2. С. 174-179.

53. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа. 1972.368 с.

54. Голубева О.В., Муродов И.С. Модель работы скважины в потоке грунтовых вод вблизи загрязнённого бассейна // Некоторые модели сплошных сред и их приложения: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1988. С. 12-17.

55. Голубева О.В., Сапиянов Т.Н. Комплексные потенциалы временных процессов технических задач. Препринт № 517. М.: ИПМ РАН. 1992. 54 с.

56. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Физматгиз. 1962. 1100 с.

57. Гусейн-Заде М.А. Дебит скважины в неоднородных пластах. МИНХ и ГП. Труды. Вып. 33. 1961.

58. Гусейн-Заде М.А., Колосовская С.Н. Влияние неоднородности пласта на взаимодействие батареи скважин. МИНХ и ГП. Труды. Вып. 48. 1964. С. 41-50.

59. Гусейн-Заде М.А. Особенности движения жидкости в неоднородном пласте. М.: Недра. 1965. 276 с.

60. Гусейнов А.И. Об одной задаче теории потенциала // ПММ 1948. Т. 12. Вып. 1.С. 103-108.

61. Данилов B.JI. К определению давления в пластах с переменными проницаемостью и мощностью // Изв. Казанского фил. АН СССР, сер. физ.-матем. и техн. 1955. Вып. 8. С. 129-136.

62. ДанилюкИ.И. Об общем представлении осесимметричных полей // ПМТФ. 1960. № 2. С. 22-33.

63. Данилюк И.И. Исследование пространственных осесимметричных краевых задач // Сибирский мат. журнал. 1963. Т. IV. №6. С. 1271-1310.

64. Дворецкий П.И., Ярмахов И.Г. Проблемы фильтрации и электродинамики при геофизических исследованиях горизонтальных нефтегазовых скважин // Докл. АН. 1995. Т. 343, № 5. С. 684-686.

65. Дворецкий П.И., Ярмахов И.Г. Электромагнитные и гидродинамические методы при освоении нефтегазовых месторождений. М.: Недра. 1998. 318 с.

66. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ. 1987. 169 с.

67. Казарновская Б.Э., Полубаринова-Кочина П.Я. О движении подошвенных вод в нефтяных пластах // ПММ. Т. 7, вып. 6. 1943. С. 439-454.

68. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз. 1962. 708 с.

69. Ким В.Ю. К задаче определения функции давления в пласте переменной мощности при упругом режиме // Изв. Казанск. фил. АН СССР. Сер. физ.-матем. и техн. наук. 1959. Вып. 13. С. 23-26.

70. Козлов B.C. Расчёт дренажных сооружений. М.: Госстройиздат. 1940. 244 с.

71. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. Пер. с англ. под ред. Г.И. Баренблатта. М.: Мир. 1964. 350 с.

72. Костицына Л.И. К вопросу о движении фильтрационного потока в кусочно-однородной среде // Уч. зап. МОПИ. 1966. Т. 164. Теорет. физика. Вып. 6. С 83-91.

73. КочинаИ.Н. Приток к несовершенной галерее. Тр. МНИ. 1957. Вып. 20. С. 47-53.

74. КочинаИ.Н. Приток к щелевому фильтру. Тр. МНИ. 1957. Вып. 20. С. 54-60.

75. Кочина Н.Н. Некоторые вопросы пространственного растекания грунтовых вод // ПММ. Т. 17. Вып. 3. 1953. С.377-381.

76. Кочина Н.Н. О притоке грунтовых вод к несовершенной скважине // Некоторые модели сплошных сред и их приложения: Московское общество испытателей природы. М.: Наука. 1988. С. 17-22.

77. Куликов А.Н. Об одной задаче работы водозаборной скважины вблизи загрязнённого бассейна // Проблемы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1977. Вып. 4. С. 22-24.

78. Лаврентьев М.А., Погребисский И.Б. К вопросу о движении грунтовых вод в неоднородном грунте // Докл. АН УССР. 1940. № 1. С. 23-25.

79. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1965. 716 с.

80. ЛамбинН.В. Решение краевых задач методом симметрии // ПММ. 1950. Т. 14. №6. С. 611-618.

81. Ламбин Н.В. Решение методом симметрии одной краевой задачи с граничной кривой в форме кардиоиды. В кн.: Дифференциальные уравнения. Минский ун.-т. 1959. С. 3-16.

82. Ламбин Н.В. Метод симметрии и его применение к решению краевых задач. Минск. 1960. 40 с.

83. Ламбин Н.В. Об одном методе построения кусочно-аналитических функций, связанных с теорией фильтрации. В. сб.: Исследование по современным проблемам теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз. 1960. С. 351-358.

84. ЛифановИ.К. О вычислении скоростей в методе дискретных вихрей //ДАН СССР. 1990. Т. 313. № 6. С. 1399-1402.

85. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус». 1995. 520 с.

86. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 904 с.

87. Лукомская М.А. Решение некоторых задач о притоке жидкости к скважинам //ПММ. 1947. Т. 11. Вып. 6. С. 621-628.

88. Лукомская М.А. О притоке жидкости к скважине в неоднородном пласте // ПММ. 1948. Т. 12. Вып. 2. С. 207-208.

89. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1987. 456 с.

90. МаскетМ. Течение однородных жидкостей в пористой среде (пер. с англ.). М.-Л.: Гостоптехиздат. 1949. 628 с.

91. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: ГИТТЛ. 1947. 304 с.

92. Молокович Ю.М. К вопросу о восстановлении функции давления в пластах переменной проницаемости с учётом различия вязкостей воды и нефти // Уч. зап. Казанск. ун-та. 1957. Т. 117. № 9. С. 127-132.

93. Молокович Ю.М. К вопросу определения поля давлений в пластах переменной проницаемости // Уч. зап. Казанского ун-та. 1957. Т. 117, кн. 2. С. 120-124.

94. Молокович Ю.М. Восстановление функции давления в неоднородном пласте при водонапорном режиме его работы // Уч. зап. Казанского ун-та. Т. 118, кн. 2. 1958. С. 193-209.

95. Мухаметзянов Ф.М. О решении некоторых задач установившейся фильтрации жидкости в неоднородном пласте // Изв. ВУЗов. Нефть и газ. 1962. № 7. С. 43-49.

96. Насберг В.М. Краткие итоги исследований гидротехнической лаборатории по фильтрации // Изв. Тбилисск. научн.-исслед. ин-та сооружен, и гидроэнергетики. 1962. Т. 14. С. 80-114.

97. Насыров P.M. К вопросу расчёта поля давлений в пласте переменной проницаемости с учётом различия вязкостей воды и нефти // Уч. зап. Киевского ун-та. 1956. Т. 116. Кн. 5. С. 45-49.

98. Насыров P.M. К определению неоднородности пласта гидродинамическим методом // Уч. зап. Киевского ун-та. 1957. Т. 117. Кн. 9. С. 133-138.

99. Николаевский В.Н. О расчёте дополнительного фильтрационного сопротивления скважин, несовершенных по степени вскрытия // Изв. АН СССР. ОТН. 1957. №8. С. 161-165.

100. Осятинский С.Д. О влиянии макро и микро неоднородности пласта на дебит скважины при напорной фильтрации. Канд. дисс. М.: МОПИ. 1963.

101. Осятинский С.Д. Вычисление дебита скважин в плоских слоях переменной толщины // Уч. зап. МОПИ. Т. 142. Вып 5. 1964. С.125-141.

102. Осятинский С.Д. К расчёту дебита скважины в неоднородном пласте // Изв. ВУЗов. Нефть и газ. № 11. 1964. С. 43-44.

103. Осятинский С.Д. Об одном обобщении формулы Дюпуи // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. № 3. 1964. С 117.

104. Пивень В.Ф. О плоскопараллельной фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1979. С. 39-43.

105. Пивень В.Ф. О фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Избранные вопросы динамики сплошных сред: Московское общество испытателей природы. М.: Наука, 1980. С. 80-84.

106. Пивень В.Ф. Пространственная фильтрация в кусочно-неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1980. С. 11-14.

107. Пивень В.Ф. К задаче фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1981. С. 24-29.

108. Пивень В.Ф. О течениях в кусочно-неоднородной пористой среде // Исследования по специальным задачам гидродинамики. Московское общество испытат. природы. М.: Наука. 1982. С. 85-88.

109. Пивень В.Ф., Алёхин Е.И. К задаче о несовершенной скважине в кусочно-однородной среде // Задачи гидродинамики при усложненных моделях среды: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1985. С. 11-17.

110. Пивень В.Ф. Точечный источник в неоднородной пористой среде // Некоторые модели сплошных сред и их приложения: Московское общество испытат. природы. М.: Наука. 1988. С. 48-54.

111. Пивень В.Ф. Исследование пространственных течений в кусочно-однородной среде определенного вида // Теория гидродинамических моделей технических задач. Свердловск: Изд-во Свердловского пединститута, 1988. С. 32-36.

112. Пивень В.Ф. К теории осесимметричных обобщенных аналитических функций в динамических процессах // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313. № 6. С. 1424-1426.

113. Пивень В.Ф. Комплексные потенциалы осесимметричных процессов с произвольно расположенными особенностями // Задачи динамических процессов в сплошных средах. Свердловск: Изд-во Свердловского пединститута, 1991. С. 44-48.

114. Пивень В.Ф. Метод осесимметричных обобщенных аналитических функций в исследовании динамических процессов // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 228-234.

115. Пивень В.Ф. Пространственные краевые задачи теории фильтрации в структурно-неоднородных средах // Краевые задачи теории фильтрации и их приложения. Тезисы доклада Всес. научн. конф. Казань. 1991. С. 88-89.

116. Пивень В.Ф. О двумерной фильтрации в слоях с прерывно изменяющейся проводимостью вдоль кривых второго порядка // Изв. РАН. МЖГ. 1993. № 1. С 120-128.

117. Пивень В.Ф. Функции комплексного переменного в динамических процессах. Орел. Изд-во Орловского пединститута. 1994. 148 с.

118. Пивень В.Ф. Двумерные и пространственные граничные задачи разработки и защиты подземных вод от загрязнения // Тезисы доклада. Межд. конф. по математич. моделированию. 1994. Якутск. С. 89-90.

119. Пивень В.Ф. О теории двумерных процессов в слоях переменной проводимости, характеризуемых степенью гармонической функции // Докл. АН. 1995. Т. 344, № 5. С. 627-629.

120. Пивень В.Ф. Двумерная фильтрация в слоях переменной проводимости, моделируемой гармонической функцией координат // Изв. РАН. МЖГ. 1995. № 3. С 102-112.

121. Пивень В.Ф. Теория двумерных процессов в неоднородных слоях со степенным законом изменения их проводимостей // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 595-605.

122. Пивень В.Ф. Граничные задачи сопряжения двумерных процессов в слоях переменной проводимости, моделируемой степенным законом // Докл. АН. 1997. Т. 357, № 3. С. 343-345.

123. Пивень В.Ф., Аксюхин A.A., Квасов A.A., Фролов М.А. Математическое моделирование граничных задач сопряжения двумерных течений в неоднородных слоях // Современные проблемы механики и прикладной математики. Тезисы конф. Воронеж, 1998. С. 56.

124. Пивень В.Ф. Математическое моделирование двумерных граничных задач гидродинамики в неоднородных слоях. Докторск. дисс. Орёл. Орловский госун-т. 1999. 266 с.

125. Пивень В.Ф. Сведение граничной задачи сопряжения обобщенных аналитических функций к интегральному уравнению // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 9. С. 1194-1198.

126. Пивень В.Ф. Интегральное уравнение граничной задачи сопряжения фильтрационных течений в неоднородной среде // Труды IX межд. симпозиума «МДОЗМФ-2000». Орёл. Орловский госун-т. 2000. С. 343-348.

127. Пилатовский В.П. Определение дебита батареи скважин, дренирующих конический пласт // Докл. АН СССР. 1952. Т. 87. № 6. С. 897-900.

128. Пилатовский В.П. Влияние призабойной макронеоднородности пласта на дебит скважины // ДАН СССР. 1953. Т. 93. № 3 С. 417-420.

129. Пилатовский В.П. О притоке нефти к скважинам круговой батареи, дренирующей купольную залежь (случай конического пласта). Тр. ВНИИ. 1954. Вып. 6. С. 27-54.

130. Пилатовский В.П. К вопросу о разработке овальных нефтяных месторождений. Определение дебитов и забойных давлений эллиптических батарей. Тр. ВНИИ. 1956. Вып. 8. С. 114-141.

131. Пилатовский В.П. О применении некоторых контурных интегралов в задачах напорной фильтрации несжимаемой жидкости к скважинам // ДАН СССР. 1956. Т. 110. № 5. С. 742-745.

132. Пилатовский В.П. Основы гидромеханики тонкого пласта. М.: Недра. 1966. 309 с.

133. Пирвердян A.M. Нефтяная подземная гидравлика. Баку. Азнефтеиздат. 1956. 332 с.

134. Пискунов Н.С. К вопросу о фильтрации жидкости в неоднородном по мощности и проницаемости пласте. Тр. ВНИИ. 1956. Вып. 8. С. 232-249.

135. Положий Г.Н. Теория и применение р-аналитических и (p,q)~ аналитических функций. Киев.: Наукова думка. 1973. 423 с.

136. Полубаринова-Кочина П.Я. Некоторые задачи плоского движения грунтовых вод. М.: Изд-во АН СССР. 1942. 142 с.

137. Полу баринова-Кочина П.Я. О притоке жидкости к скважинам в неоднородной среде // ДАН СССР. Т. 34. №2. 1942. С. 46-51.

138. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. 2-е изд. Перераб. и дополн. М.: Наука, 1977. 664 с.

139. Пояркова К.Д. К вопросу об определении дебита скважины, расположенной в вершине неоднородного куполообразного пласта // Уч. зап. МОПИ. Тр. каф. физики. 1955. Т. 33. С. 95-115.

140. Пояркова К.Д. К вопросу о фильтрации жидкости в неоднородных искривлённых слоях // Уч. зап. МОПИ. Тр. каф. физики. 1956. Т. 43. Вып. 3. С. 35-45.

141. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 11-е изд. М.: Наука, 1967. 444 с.

142. Пыхачёв Г.Б. Подземная гидравлика. М.: Гостоптехиздат. 1961. 387 с.

143. Радыгин В.М., Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высшая школа. 1983. 160 с.

144. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука. 1969. 546 с.

145. Ризенкампф Б.К., Калинин Н.К. Движение грунтовых вод в трёх измерениях с эллипсоидальной свободной поверхностью // ПММ. Т. 5. Вып. 2. 1941. С. 283-286.

146. Салехов Г.С. К определению функции давления в неоднородных пластах нефтяных месторождений // ДАН СССР. Т. 105, № 6. 1955. С. 1174-1176.

147. Салехов Г.С. К определению давления в неоднородных пластах нефтяных месторождений // Изв. Казанск. фил. АН СССР, сер. физ.-матем. и техн. наук. 1956. Вып. 9. С. 49-52.

148. Салехов Г.С., Старшинова Л.В. К определению функции давления в неоднородных пластах // Изв. Казанского фил. АН СССР, серия физ.-мат. итехнич. наук. Вып. 11. 1957. С. 143-148.

149. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. 1989. 432 с.

150. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М.: Наука. 1967. 304 с.

151. Сегал Б.И. Некоторые пространственные задачи теории потенциала и их приложения // Изв. АН СССР, матем. 1946. Т. 10. Вып. 4. С. 323-358.

152. Сегал Б.И. Пространственные задачи теории потенциала // Изв. АН СССР, матем. 1952. Т. 16. № 1. С. 59-74.

153. Сидоркина A.B. Некоторые пространственные задачи работы водозаборов вблизи водных бассейнов // Проблемы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1977. Вып. 4. С. 19-20.

154. Силин-Бекчурин А.И. Динамика подземных вод. М.: Изд-во Московского ун-та. 1958. 258 с.

155. Скотнова А.Д. Некоторые численные оценки влияния формы границы области питания на дебит скважины // Гидродинамика: Московское общество испытат. природы. М.: Изд-во МГУ, 1970. С. 115-121.

156. Соломко Ю.Л. Определение допустимого дебита в полосообразных пластах // Проблемы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1977. Вып. 4. С. 31-34.

157. Старшинова Л.В. Об определении функции давления в макронеоднородном пласте методом коллокации // Уч. зап. Казанского ун-та. 1961. Т. 121. № 5. С. 105-110.

158. Стклянин Ю.И. Потенциал несовершенной скважины в двухслойном однородно-анизотропном радиальном пласте // Инж. жур., 1962. № 1. С. 69-78.

159. Стклянин Ю.И. Точное решение задачи о потенциале точечного стока в однородно-анизотропном пласте с осевой симметрией и конечным радиусом контура питания // ПМТФ. 1962. № 2. С. 136-139.

160. Стклянин Ю.И. Потенциал несовершенной скважины в двухслойном радиальном пласте // Тр. МИНХ и ГП. 1963. Вып 42. С. 107-116.

161. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966. 724 с.

162. Тукаев А.Г. К задаче определения функции давления в пластах нефтяных месторождений переменной проницаемости // Изв. ВУЗов. Нефть и газ. 1960. №6. С. 111-118.

163. Тумашев Г.Г. Определение поля давлений в кусочно-однородных пластах // Изв. ВУЗов. Математика. 1958. № 3. С. 203-216.

164. Тумашев Г.Г., Плещинский Б.И. Вычисление функции давления в одном кусочно-однородном пласте // Уч. зап. Казанского ун-та. 1958. Т. 118. Вып. 2. С. 228-233.

165. Форхгеймер Ф. Гидравлика (пер. с нем.). М.-Л., ОНТИ ГРЭЛ. 1935. 615 с.

166. Фролов М.А. Нахождение дебита скважины в кусочно-неоднородном слое с экспоненциальным законом изменения его толщины // Вестник науки. Сборник трудов ученых Орловской области. В. 5. Т. 1. Орёл. ОрёлГТУ. 1999. С. 306-312.

167. Хмельник М.И. Исследование некоторых течений в двусвязной области и их применение в теории фильтрации // Уч. зап. каф. теорет. физики МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1968. Т. 200. Вып. 7. С. 100-113.

168. Холодовский С.Е. Метод расчёта движения жидкости в кусочно-неоднородных грунтах. // Избранные задачи гидродинамики. МОИП при МГУ. 1977.

169. Холодовский С.Е. О фильтрации жидкости в кусочно-неоднородных грунтах // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1980. С. 18-19.1.l

170. Чарный И.А. Об интерференции несовершенных скважин // Изв. АН СССР. Т. 10, №4. 1946. С. 323-358.

171. Чарный И.А. Приток грунтовых вод к скважинам и иглофильтрам // Инж. сб. 1953. Т. 17. С .179-198.

172. Чарный И.А. Приток к скважинам в пластах с неоднородной проницаемостью // Инж. сб. Т. 18. 1954. С. 31-40.

173. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М. : Гостоптехиздат,1963. 396 с.

174. Четин Н.Ф. Приложения теории эллиптических функций к гидродинамике. Автореф. канд. дисс. М., МОПИ. 1955. 8 с.

175. Четин Н.Ф. Некоторые задачи на вычисление дебита галерей // Уч. зап. МОПИ. 1959. Т. 75. Тр. каф. теорет. физики. Вып. 4. С. 125-145.

176. Чилап А .Я. Задача нахождения поля давлений в некоторых кусочно-однородных пластах // Уч. зап. Казанского ун-та. 1958. Т. 118. Вып. 2. С. 234-251.

177. Чилап А.Я. Некоторые задачи фильтрации жидкости в кусочно-однородных пластах. Автореферат канд. дисс. Киев. Ин.-т математики, физики и металлофизики АН УССР. 1960. 8 с.

178. Швидлер М.И. Об одной пространственной задаче теории фильтрации // Изв. АН СССР. ОТН. 1960. № 1. С 47-53.

179. Шестаков В.М. Динамика подземных вод. М., Изд-во Моск. ун-та. 1979. 368 с.

180. Щелкачев В.Н., Пыхачёв Г.Б. Интерференция скважин и теория пластовых водонапорных систем. Баку. АЗГОНТИ. 1939. 288 с.

181. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. М.-Л.: Гостоптехиздат, 1949. 524 с.

182. Юрисов В.А. Метагармоническое семейство слоёв // Уч. зап. МОПИ.1964. Т. 142. Тр. каф. теорет. Физики. Вып. 5. С. 93-107.

183. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М.: Наука. 1977. 344 с.

184. Ярмахов И.Г. Численное исследование процессов фильтрации и полей постоянного тока в задачах каротажа скважин. Автореф. канд. дисс. М., МГУ. 1983. Юс.

185. Bateman Н. Partial differential equations. (Уравнения в частных производных). Cambridge. 1932. 522 р.

186. Dupuit J. Etudes théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux. Paris. 1863. Изд-во 2-е.

187. Gheorghita St.J. (О движении жидкостей в неоднородной пористой среде, когда границами раздела служат софокусные эллипсы). Bull. Math. Soc. sei. math, et phys. R.P.R. 1960. V. 4. № 2.

188. Gheorghita St.J. Citeva miscorai in medii poroase neomogene. (О течении в неоднородной пористой среде). Bull. St. Mat. Fiz. 1954. V. 6. № 4. P. 823-838.112

189. Gheorghita St.J. A generalization of the circle theorem. (Обобщение теоремы об окружности). Calcutta Math. Soc. 1962. V. 54. № 2. P. 97.

190. Oroveanu T. Scurgerea fluidelor prin medii poroase neomogene. (O течении сжимаемой жидкости через неоднородную пористую среду). Bucuresti, Ed. Acad. RPR. 1963. 328 p.

191. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory. (Разрывные интегралы и обобщённая теория потенциала) // Trans, of the Amer. math. soc. 1948. V. 3, № 2. P. 342-354.

192. Weinstein A. On axially simmetric flows. (Об осесимметричных течениях) // Quart, of appl. math. 1948. V. 5, № 4. P. 429-444.

193. Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory. (Обобщённая теория осесимметричных потенциальных течений) // Bull. Amer. Math. Soc. 1953. V. 59. P. 20-38.