Математическое моделирование фазовых переходов вещества, содержащего примесь тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Журавлева, Елена Николаевна

• Журавлева, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Журавлева, Елена Николаевна

ВВЕДЕНИЕ

Во введении приводятся некоторые из основных моделей фазовых переходов в бинарных смесях: равновесная модель, модель учитывающая поверхностное натяжение и кинетику, асимптотическая модель. Кратко излагается содержание основных разделов диссертации.

На современном этапе научных исследований математическое моделирование и вычислительный эксперимент является мощным научным методом, предназначенным для изучения, прогнозирования, оптимизации сложных многопараметрических нелинейных процессов, теоретическое и экспериментальное исследование которых традиционными методами затруднено или невозможно [1].

Исследование прикладной задачи начинается с формализации объекта, с построения соответствующей математической модели. Основное требование, предъявляемой к к математической модели - это адекватное описание физических процессов, протекажщщх,р. исследуемых системах. Однако, охватить все многообразие, физических^яблений чрезвычайно трудно. Необходимо упростить проблему и рассмотреть только основные процессы. Имеется ряд общих положений, которые лежат в основе каждой модели. Система уравнений, составляющая математическую модель, должна быть замкнута и непротиворечивой. Она должна описывать широкий класс физических явл'ений, чтобы можно было рассматривать целый ряд интересующих систем. Алгоритм решения задач должен быть легко реализуем, чтобы решение соответствующей системы уравнений с краевыми условиями не отнимало много времени и средств, С помощью таких математических моделей можно проводить вычислительный эксперимент.

Для решения входящих в математическую модель уравнений при различных краевых условиях используется основной аппарат вычислительной математики - численные методы. На втором этапе вычислительного эксперимента разрабатывается численный алгоритм и проводится его исследование. На следующем этапе составляется программа для ЭВМ, реализующая выбранный алгоритм. Далее проводятся вычисления на ЭВМ по составленным программам. На завершающем этапе выполняется анализ результатов, сопоставление их с теоретическими прогнозами и данными натурного эксперимента.

Данная диссертация выполнялась по приведенным выше принципам и дальнейшее изложение работы будет вестись в соответствии с основными канонами математического моделирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование фазовых переходов вещества, содержащего примесь»

Корректность моделей фазового перехода в веществе, содержащем примесь в случае сферической симметрии ранее не исследовалась; точные решения были построены только для одномерной (в плоской геометрии) задачи в полубесконечной области.

Относительно небольшое количество работ, посвященных численному решению задач с фазовыми переходами в веществе, содержащем примесь, среди которых следует выделить работу А.Ф. Воеводина, H.A. Леонтьева, А.Г. Петровой [6] о кристаллизации шара, не позволяет говорить о существований достаточно универсального эффективного алгоритма, что стимулирует разработку новых численных методов для решения подобных задач.

Перераспределение примеси в веществе при фазовом переходе играет существенную роль в технологических процессах. Этим объясняется необходимость численного и аналитического исследования как традиционных, так и новых моделей фазовых переходов в веществе, содержащем примесь, таких как модель затвердевания эмульсии, движущейся под действием термокапиллярных сил, сформулированная О.В. Войповым, В.В. Пухиачевым [7].

Решению этих вопросов и посвящена данная работа.

Цель работы состоит в исследовании корректности различных моделей фазовых переходов вещества, содержащего примесь в случае сферической симметрии, разработке и реализации эффективных алгоритмов численного исследования этих задач, учитывающих влияние малых параметров.

Научная новизна заключается в получении локальной по времени разрешимости в гельдеровских классах функций термодиффузиоппой сферически симметричной задачи для равновесной и модифицированной моделей, последняя из которых учитывает влияние поверхностного натяжения и кинетического переохлаждения на. скорость движения свободной границы.

Кроме того, получены условия строгой монотонности свободной границы чистой задачи Стефана в случае сферической симметрии.

Построено автомодельное решение задачи роста кристалла из переохлажденного расплава. Построено точное решение задачи кристаллизации бинарного сплава для сферически симметричного случая при отсутствии диффузии в твердой фазе. Для описания процесса зарождения фазы при решении задачи кристаллизации шара построена начальная асимптотика при различных режимах охлаждения поверхности, позволяющая устаповить связь скорости движения свободной границы с темпом охлаждения. Построено точное решение задачи затвердевания эмульсии.

Разработан экономичный алгоритм численного решения задач стефа-новского типа при наличии примеси. Предложен метод решения подобных задач с малыми параметрами с помощью явного выделения погргш-слойных функций, а также алгоритм численного исследования задачи затвердевания эмульсии.

Проведено численное исследование влияние примеси и учета диффузии в твердой фазе на процесс кристаллизации. Исследовано влияние режима охлаждения поверхности шара на переохлаждение, возникающее в жидкой фазе.

Практическая ценность работа состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы при исследовании физических, биологических и технологических процессов, приводящих к необходимости численного решения задач фазового перехода вещества, содержащего примесь.

При аналитическом и численном исследовании использовались методы функционального анализа и теории краевых задач параболического типа; асимптотические методы; численные методы механики сплошных сред.

Прежде чем перейти к построению математической модели, сделаем некоторые физические замечания. Во многих технологических процессах (производство полупроводников, кристаллизационная очистка методом направленной кристаллизации) используются такие физико-химические системы, компоненты А и В которых неограниченно растворимы как в жидком, так и в. Твердом состоянии. Это системы с непрерывным рядом твердых растворов и диаграммы фазового равновесия (графическое выражение связи между агрегатным состоянием вещества и условиями, в которых оно находится, а также его составом) таких систем имеют вид [8], представленный на рисунках 1 и 2. Эти диаграммы различаются тем, что наличие примеси либо понижает (рис.1), либо повышает (рис.2) температуру плавления чистого вещества. 1 - линия ликвидуса, выше которой система находится в однофазном жидком состоянии, ниже - в двухфазном, представляющем смесь кристаллов и жидкости, б - линия солидуса, ниже которой система находится в твердом состоянии. Диаграмма 1 хаI рактерна, например, для таких полупроводниковых систем как германий, легированный галлием; кремний, легированный алюминием; вид 2 типичен для системы' медь с примесыо железа.

Существует два основных подхода к моделированию фазовых переходов в бинарных сплавах, образующих твердый раствор: классический, предполагающий существование поверхности раздела жидкой и твердой фаз, и обобщенный, допускающий существование целой области, где температура равна равновесной.

Обобщенная постановка задачи кристаллизации чистого вещества (задача Стефана) исследовалась в работах [9],[10],[11]. Доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения задачи Стефана.

Постановка обобщенной задачи в случае кристаллизации бинариого сплава приведена в работе [4], однако, аналитически она исследована еще недостаточно. Отметим в этой области работу [5], где доказана теорема существования для одномерной стационарной задачи.

Обобщенная постановка и соответствующее численное решение приводятся в работах [12],[13],[14] и ряде других публикаций, посвященных переходной твердожидкой зоне. Обобщенная постановка в некоторых случаях более адекватно отражает реальную физическую ситуацию, однако, она приводит к сильно нелинейной системе, слабо изученной в литературе.

Всюду в дальнейшем будем использовать классический подход т.е. полагать, что существует поверхность раздела фаз.

Даже одномерная задача кристаллизации бинарного сплава представляет большие сложности для аналитического и численного исследования в силу ряда причин. Во-первых, рассматриваемая система уравнений связана нелинейными условиями на неизвестной границе, кроме того поверхность раздела не является линией уровня, что исключает возможность вариационной постановки. Наличие малых параметров приводит к существованию диффузионных погранслоев, что существенно усложняет численное решение задачи.

Рассмотрим некоторые из существующих моделей описания фазовых переходов в бинарных смесях в рамках классического подхода.

Равновесная модель

Предполагается, что теплопередача в жидкости описывается законом Фурье т.е. тепловые потоки за счет конвекции отсутствуют. Это верно при малых перегревах, когда законы теплопроводности в жидкости близки к характерным для твердого тела. Таким образом, температурное поле в жидкой Г2/ и твердой фазах описывается уравнением теплопроводности: дв dt div(a2Ve), где а = а(х, t, С, 0) - коэффициент температуропроводности. Концентрация удовлетворяет уравнению диффузии: дС dt div(dVQ), где d~— d(x, t, С, 6). - коэффициент диффузии. На искомой границе фазового перехода, называемой свободной границей, задается условие Стефана:

-К дв к дп где Уп - скорость перемещения поверхности раздела фаз в направлении нормали к этой поверхности, к - частное от деления коэффициента теплопроводности на произведение плотности и удельной скрытой теплоты плавления, [/]® - разность величин при подходе к границе фазового перехода со стороны твердой и жидкой фаз. Условие Стефана выражает баланс энергии при переходе среды из одного агрегатного состояния в другое. Заметим, что в рассматриваемой модели скачком плотности при затвердевании пренебрегают, хотя существуют модели, учитывающие этот скачок [15].

Кроме того, на свободной границе ставится условие баланса массы

В общем случае температура фаз на межфазной границе может претерпевать скачок [16]. Однако,, молекулярно-кинетический анализ различных процессов фазовых переходов показывает, что для многих веществ можно пренебречь этим скачком. Более того, наиболее простая - равновесная модель предполагает, что характеристики фаз на свободной границе удовлетворяют условиям термодинайического равновесия: где 0 = ф3-(С) - линия солидуса, 0 = ф\{С) - линия ликвидуса, 0* - температура плавления чистого вещества. Значения концентрации на границе в твердой - Ся и в жидкой - С/ фазах определяются из диаграммы фазового состояния.

Математическая модель замыкается заданием начальных условий и условий на известных границах для температуры и концентрации, а также начального положения границы раздела фаз.

Назовем модель с условиями (0.1) па свободной границе - М1. Если для 6 и С выполнены неравенства:

То есть в твердой фазе температура ниже равновесной, а в жидкой-выше, то такое решение называют классическим решением равновесной модели. Отказ от этих требований приводит к неравновесной модели допускающей переохлаждение жидкости или перегрев твердого тела. Автомодельное решение данной задачи для полубесконечпой прямой, проанализированное Г.П. Иванцовым [17], показывает возможность появления переохлаждения перед фронтом кристаллизации т.е. нарушение условий

• е, - ©/ = ©* + ф8(С3) = о* + <ма)

0.1)

0(м) <Фа{С{х, *)), (м)еП-, > ф1{С(х,*)), (х,£) 6 П/.

0.2) (0.3)

0.2)—(0.3). Следует подчеркнуть, что при кристаллизации металлических слитков переохлаждение па фронте кристаллизации составляет десятые доли градуса. Поэтому фактор переохлаждения играет незначительную роль в тепловом балансе слитка. Если пас интересует только вопрос о скорости перемещения фронта кристаллизации, то переохлаждение молено не принимать во внимание (за исключением самого начального этапа процесса) [18].

Такая постановка задачи исследовалась в одномерном случае для полубесконечной области в работе [2]. Автор полагает функции <&(С) линейными (линии ликвидуса и солидуса заменяются отрезками прямых) т.е. осуществляется линеаризация по малой начальной концентрации. При использовании техники тепловых потенциалов, доказана теорема существования и единственности решения в малом по времени. В конечной области для одномерной (в случае плоской геометрии) задачи с коэффициентами теплопроводности и диффуции, являющимися функциями от температуры и концентрации, доказано существование решения в малом по времени [3]. Доказательство основано па примеиении теоремы Шау-дера о неподвижной точке к оператору, построенному по задаче. В работах [19],[20] ищется решение данной задачи на полупрямой в виде рядов, члены которых являются функциями автомодельных переменных.

Рассмотрим еще одну модель описания фазовых переходов в бинарных смесях.

Модель, учитывающая поверхностное натяжения.

Модель М1 полагает, что температура фазового перехода зависит лишь от концентрации примеси, но в реальных физических процессах на нее влияют и другие факторы. Так кривизна свободной границы приводит к необходимости учета влияния поверхностного натяжения на температуру фазового перехода. В этом случае условие (0.1) примет вид [21]: в, = ©/ = е*(1 - а К) + ф8(С8) = ©*(1 - а К) + ф,(С,Ъ (0.4) где о — 7/А, 7 - удельная поверхностная энергия, А - скрытая теплота плавления на единицу объема; К - кривизна поверхности, причем К > О, если отрезок х^уо (где ж0 - точка свободной поверхности, уц - центр кривизны) лежит в твердой фазе; в противном случае - К < 0. Модель с условием (0.4) па свободной границе назовем М2. Трехмерная задача плавления чистого вещества в случае сферической симметрии с учетом поверхностного натяжения исследовалась-в работе [22]. Построен пример разрушения классического решения в котором, либо существует по крайней мере одна точка V разрыва функции у(Ь) т.ч. 0 < у(Ь* — 0) < у(Ь* 4- 0) (где - радиус твердого шара в переохлажденной жидкости), либо у(Ь) переводит множество меры ноль в некоторое множество строго положительной меры.

Модель, учитывающая поверхностное натяжение и кинетику

Принято считать [23], что движущей силой процесса кристаллизации в конечном итоге является ■ переохлаждение Д0. Зависимость скорости роста кристалла от переохлаждения требует привлечения представлений о кинетики кристаллизации. Не останавливаясь на деталях вывода связи Уп (скорости движения границы фаз в направлении нормали) и Д0, отражающей особенности процесса кристаллизации, отметим, что форма этой связи определяется атомным механизмом роста кристалла. Если плотность "точек роста" на поверхности кристаллизации близка к единице ( атомы из жидкости могут подстраиваться к кристаллу в любой точке его поверхности), то Уп ~ Д0 ("нормальный" рост кристалла). В противоположном случае совершенно гладкой в атомных масштабах поверхности раздела фаз, последовательные слои твердой фазы возникают через формирование двухмерных зародышей и вид функции ^г(Д0) много сложнее ("слоистый" рост кристалла). Как правило, при моделировании процесса кристаллизации рассматривают "нормальный" механизм роста [18]. В этом случае условие (0.4) на границе фаз примет вид [24]:

0, = О, = 0* + ф8(с8) + ц,р = 0* + смс,) + ад (0.5) где Р - кинетический коэффициент, характеризующий скорость обмена атомами между твердой и жидкой фазами. При небольших значениях ДЭ можно в первом приближении считать /3 постоянной.

Таким образом, в третьей модели - МЗ, которая наиболее полно отражает реальную физическую ситуацию, требование равенства температуры на фронте кристаллизации равновесной, заменено на условие, учитывающее влияние поверхностного натяжения и кинетики на температуру фазового перехода: е, = е* = ©*(1 - ак) + ф,(с8) + упр = е*(1 - ак) + ма) + упр. (о.о)

Асимптотическая модель

Зачастую в реальных ситуациях концентрация примеси в бинарных смесях мала. Например, концентрация легирующей примеси в полупроводниках не превышает 10~4% по массе. В этих случаях обосновано использование модели с малой начальной концентрацией, которая опирается на тот факт, что при нулевой концентрации примеси термодиффузи-огшая задача редуцируется к обычной двухфазной задачи Стефана. Действительно, если искать решение исходной задачи в виде формальных степенных рядов по малой начальной концентрации, то па первом шаге получаем двухфазную задачу Стефана с условием на свободной границе: е, = е/= ©*(1 - ак) + ф8(с9) + упР = ©*(1 - <тк) + <мс,) + уп(з для определения 0 и положения свободной границы. После этого С определяется из системы уравнений диффузии в известных областях с условиями' дС дп = -на известной границе раздела фаз.

В работе [25] исследована данная модель для конечной одномерной области; доказана разрешимость задачи, сходимость степенных рядов по I малой начальной концентрации.

Диссертация посвящена изучению моделей фазовых переходов в бинарных смесях в случае сферической симметрии. Задачи в сферической симметрии имеют ряд особенностей. Прежде всего в задаче затвердевания чистого вещества при одинаковых темпах охлаждения скорость движения свободной границы для одномерной задачи ниже, чем для сферически-симметричной. Кроме того, в случае сферической симметрии поверхностного натяжения оказывает значительное влияние на поведение свободной границы вблизи центра, а также является стабилизирующим фактором для установления сферической формы свободной границы. Следовательно, естественной является модифицированная постановка - модель М2. Однако, как уже отмечалось классическое решение этой задачи разрушается за конечное время [22]. Исправить это положение можно учитывая не только влияние поверхностного натяжения, но и зависимость скорости движения свободной границы от переохлаждения т.е. рассматривая наиболее полную и. сложную модель - МЗ.

В первой главе рассматривается трехмерная задача кристаллизации бинарного сплава, образующего твердый раствор в случае сферической симметрии. Исследуется разрешимость в малом по времени в гельдеров-ских классах функций модифицированной задачи, учитывающей поверхностное натяжение и кинетическое переохлаждение на свободной границе. Также доказывается локальная по времени теорема существования решения равновесной задачи, в которой фазы определяются диаграммой фазового состояния вещества.

В пункте 1.1 приведена постановка рассматриваемых начально-краевых задач. Предполагается, что шар радиуса х — 1 занятый изучаемым веществом, в момент времени < разделен гладкой поверхностью г = у(1) па две подобласти: твердую и жидкую фазы: {х : х < у(*)}, ЗД = {х : у (г) < х < 1},

Считаем, что начальная температура и концентрация зависят только от радиуса, а значит, можем рассматривать одномерную задачу для перемеппой х. После стандартной для сферически-симметричных задач замены: и = х-в + а, У = х-С, исследуемые модели примут вид:

Задача 1. (модифицированная модель)

2д% дЦ д2Уг д1 ~ а{ дх2' 81 ~ 1 дх2 где х 6

На свободной границе х — ?/(£) выполнены условия:

2 , / ди8 диг\

У У = чв "даГ ~ к'~дх)У~ ~ ^~ а' уу'Ц(1 -*) = (<*, ^ - ф - ¿,У8 + ФЦ из = 11[ = т3У3 - руу' = тМ - (Зуу где к = т1/т3

Задача 2. (равновесная модель) дЦг сЩ д2У д1 "0,1 Эх2 ' ' где х £

На свободной границе выполнены следующие условия:

2 / ( ди* ди1\ ( \(тт \

У У = \К'5 ~дх ~ ~дх )У ~ ~ ~ °' уу'Щ 1 к) = [с13 - № + ФУ, и8 = 1/1 = т.л; = гщЦ, кроме того, в каждой из фаз справедливы неравенства: из(х,г)<тзуз{х,1) в д,(Т), и1(х,1)>гпМ(х,г) в (¿¡(Т). (0.7)

Не уменьшая общности дальнейших рассуждений, рассмотрим следующие граничные и начальные условия: ив(0^) = а, £ММ) = //(*) + *. то = о,. ^(1,0-^(1,0 = 0. иг{х,0) = х1рг{х), У>{х,0) = х-фг{х), У{0) = У[) ф 0, 1.

Будем исследовать разрешимость в гельдеровских классах функций, поэтому от начальных и граничных данных потребуем, чтобы: г € Я1+а/2[0,Т], у,,-, е Н2+а(йг(0)) где а 6 (0,1). В случае равновесной модели начальные данные подчинены неравенствам: у8(х) < тяф8(х), <р((х) > тсф^х), (0.8)

Р*(Уо) > <р'М > тФ[{уо)- , (0.9)

В пункте 1.2 приведено доказательство разрешимости в малом по времени поставленных задач. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1. Существует Т*, 0 < Т* < Т такое, что задача 1 имеет решение у е Я3/2+а/2[0,Т,],

Теорема 1.2. Существует Т**, 0 < Т** < Г* такое, что задача 2 с данными, удовлетворяющими условиям (0.8)—(0.9), имеет решение е#3/2+о/2[о,тД е я2+аД+"/2Ю,-(Г„)) г = 5,/, для которого выполнены условия (0.7).

Доказательство основано на применении теоремы Шаудера о неподвижной точке к оператору, построенному по задаче.

Заметим, что предположение о линейной зависимости температуры фазового перехода от концентрации примеси пе является принципиальным. Аналогичная теорема может быть доказана и в случае произвольных достаточно гладких функций ф^С).

В пункте 1.3 проведено обезразмеривапие исходной задачи и выделены малые параметры, возникающие вследствие малого коэффициента диффузии и малой начальной концентрации примеси. Эта процедура дает возможность использовать различные асимптотические методы, а также делает численное исследование более грамотным и эффективным.

Пункт 1.4 посвящен изучению автомодельных и точных решений термодиффузионной сферически симметричной задачи. Приведены уже известные решения и новые, построенные автором. Доказаны следующие утверждения: Утверждение 1.1 При пцС° а 2 < ©° < т,С{\ к К1 задача роста кристалла из переохлажденного расплава имеет автомодельное решение вида:

УМ = М,

6/(М) = С1 / Г^-^'Ч + сг, С,(ж,0 = с3 / Г2е^/4(/'^ + с4,

Р 0 где константы с\, сг, сз, С4, С5, со определяемые начальными данными. Утверждение 1.2

Задача кристаллизации бинарного сплава в случае сферической симметрии при отсутствии диффузии в твердой фазе при условии к 6 (0 , |) имеет единственное точное решение вида: у{1) = у/1 -. .т/ч/ГЗЖ в,(х.0 = - 7 е™4"^, .С,(х,0 = - /

X 0 X 0

Ь щ

СО К/с

3/4,1*-а/А х/уДчЯ где а, Ь - некоторые константы, зависящие от начальных данных.

В пункте 1.5 с помощью формального разложения в ряды по автомодельным переменным строится асимптотика, описывающая процесс зарождения твердой фазы. Необходимость в этом возникает вследствие особенности задачи кристаллизации шара - наличие в начальный момент только одной - жидкой фазы.

Наличие асимптотики позволяет проследить процесс зарождения фазы и избавиться от проблемы вырожденной задачи. Кроме того, эта асимптотика дает возможность увидеть связь скорости движения свободной границы и темпа охлаждения.

Во.второй главе разрабатываются алгоритмы численного исследования различных моделей, описывающих процесс кристаллизации и плавления бинарного сплава. Предлагаемые алгоритмы основаны на использовании преобразования Риккати, которое позволяет свести решение дифференциальных уравнений второго порядка к последовательному решению задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

В пункте 2.1 приводится обзор основных алгоритмов решения задач с фазовыми переходами. Среди относительно немногих эффективных методов численного решения таких задач выделяют две группы: схемы сквозного счета и алгоритмы с явным выделением фронта. Экономичные разностные методы сквозного счета, основанные на нахождении обобщенного решения с помощью процедуры сглаживания, которая значительно уменьшает общность подхода. Разностные схемы с явным выделением фронта применяются для одномерного случая и, как правило, возникают существенные трудности при их использовании для решения многомерных и многофазных задач. Основные сложности решения задач с фазовыми переходами заключаются в том, что рассматриваемая система уравнений связана условиями па неизвестной границе и граница не является линией уровня, что исключает возможность вариационной постановки. Описывается метод, предложенный Г. Мейером (1989), позволяющий избежать этих сложностей. Этот метод пригоден для .решения задач с непостоянными коэффициентами теплопроводности и с весьма сложными условиями на свободной границе, учитывающими кинетику, поверхностное натяжение и другие факты.

В пункте 2.2 предлагается экономичный метод численного решения термодиффузионной задачи, основанный на подходе Г.Мейера. Суть метода состоит в том, что система одномерных уравнений теплопроводности и диффузии, связанных условием на свободной границе, решается с использованием преобразования Риккати, при этом свободная граница находится как корень некоторого алгебраического уравнения, полученного из условий баланса масс и энергии, без дополнительных итераций.

В пункте 2.3 предлагается способ аппроксимации граничного условия в нуле для сферически симметричной задачи, который позволяет повысить точность вычислении вблизи нуля. Идея состоит в переносе условия из центра симметрии в ближайший узел сетки.

В пункте 2.4 предлагается метод численного исследования задачи кристаллизации бинарного сплава с реальным коэффициентом диффузии при медленных темпах охлаждения. Заметим, что предложенный во пункте 2.2 метод эффективен для решения задачи Стефана и модельной термодиффузионной задачи, однако, реальная термодиффузиоиная задача имеет свою особенность, а именно, малый коэффициент диффузии и малую начальную концентрацию примеси. Это приводит к уравнению с малым параметром при старшей производной. Наличие малого параметра приводит к неравномерной сходимости при Ах —>■ 0, (Ах - шаг разностной сетки) численного решения к точному. Классические методы, типа методов Рунге - Кутта, при использовании равномерной сетки, практически не пригодны для решения подобных задач. Главная причина этого заключается в том, что оценки производных от решения для задач с малым параметром при производной существенно зависят от параметра. Наш подход состоит в том, что при медленных темпах охлаждения (скорость свободной границы имеет тот же порядок, что и малый параметр) переход к характерному времени связанному с процессом диффузии позволяет избежать диффузионных погранслоев.

В пункте 2.5 предлагается метод решения задачи с реальным коэффициентом диффузии при достаточно быстрых скоростях движения свободной границы. Идея метода основана на том, что при \у'\ ф/х возникает ярко выраженный погранслой, который выделяется явно. Получена оценка разности точного и погранслойного решения в зависимости от соотношения скорости движения свободной границы и коэффициента диффузии. Проведен анализ способов численного решения задачи кристаллизации бинарного сплава с реальным коэффициентом диффузии при различных темпах охлаждения поверхности шара:

1. При темпе охлаждения порядка Ю-0 — Ю-4 град./сек. переход к характерному времени, связанному с процессом диффузии позволяет избежать погранслоев и использовать алгоритм, изложенный в пункте 2.4.

2. Если сфера охлаждается "быстро" т.е. со скоростью порядка Ю-1 — 1 град./сек., то концентрация на свободной границе постоянна с точностью порядка Ю-5 и численный алгоритм сводится к решению задачи Стефана с постоянной температурой фазового перехода, при этом концентрация определяется из погранслойного разложения. Отметим, что, по существу, в данном случае используется асимптотическая модель, приведенная во введении.

3. Для темпов охлаждения 10~3 - 10~2 град./сек. следует также выделять погранслойные функции, однако, для достижения достаточной точности необходимо использовать асимптотическое разложение более высокого порядка. I

4. При медленных темпах охлаждения вычисления дают хорошие peзультаты даже при уменьшении размера жидкой фазы до Ю-2, в остальных случаях требуется исследование асимптотики исчезновения фазы.

В третьей главе приводятся результаты тестирования алгоритмов предложенных в главе 2, а также численные исследования различных задач, проведенные с использованием данных алгоритмов.

В пункте 3.1 алгоритм решения термодиффузионпой задачи тестируется на одномерной задачи Дирихле. Для тестирования использовалась стационарная задача. При этом положение свободной границы выходит на стационарное значение после 107-го шага по времени, в то время как для установления концентрации с относительной погрешностью 0.02% необходимо сделать 2000 шагов. Это различие обусловлено существенной разницей коэффициентов температуропроводности и диффузии.

В пункте 3.2 предлагаемый алгоритм используется для решения трехмерной сферически симметричной задачи при отсутствии диффузии в твердой фазе. Для ее расчета возможны два алгоритма, описанные в пункте 2.4. Первый состоит в переходе к функциям II = х&, V ~ хС, второй - непосредственное вычисление температуры и копцентргщии в области, не содержащей ноль с переносом условия из нуля в ближайший узел сетки методом описанным в пункте 2.3. В качестве теста использовалось точное решение данной задачи, приведенное в пункте 1.4. Относительна погрешность вычисления положения свободной границы для первого алгоритма составила 8%, в то время как для второго - 0.7%.

В пункте 3.3 приводятся результаты численного решения задач кристаллизации и плавления шара, содержащего примесь в случае сферической симметрии при малом коэффициенте диффузии и "медленном" темпе охлаждения. Используя алгоритм, описанный в пункте 2.2 исследовались задачи с реальными коэффициентами диффузии <4 = Ю'см2/с, ¿1 = 10~5см2/с, при характерном времени, связанном с процессом диффузии ¿у — ^оМ- Исследовалось влияние примеси па процесс кристаллизации. Для этого проводилось сравнение скорости движения свободной границы для чистой задачи Стефана и термодиффузиоппой задачи с реальными коэффициентами диффузии и малой начальной концентрацией примеси. Показано, что наличие примеси существенно замедляет процесс кристаллизации сферы вблизи центра. Часто при решении задач кристаллизации считают с13 = 0, что несколько упрощает исходную задачу. Это обоснованно тем, что во-первых с13 с?/, а во-вторых характеристики направлены так, что задача остается корректно поставленной и при с£я = 0. Числеипо исследовались задачи кристаллизации при 10~7см2/с и (¿з = 0. Оказалось, что диффузия в твердой фазе оказывает незначительное влияние только вблизи центра шара, что делает вполне обоснованным численное решение задачи кристаллизации при ¿8 — 0. Для задачи кристаллизации без диффузии в твердой фазе исследовалось влияние режима охлаждения на переохлаждение, возникающее в жидкой фазе. Показано, что увеличение темпа охлаждения приводит к росту переохлаждения в жидкой фазе. Максимум переохлаждения достигается в ближайшем к нулю узле сетки. Этот результат позволяет считать гипотезу о возможности зарождения твердой фазы в центре шара и кристаллизации "изнутри" вполне правдоподобной.

В четвертой главе рассматривается еще одна модель фазового пе рехода вещества, содержащего примесь, а.именно, модель затвердевания эмульсии, движущейся под действием термокапиллярных сил. Исследуется задача первого приближения, возникающая при представлении решений в виде асимптотических рядов по малому параметру.

В пункте 4.1 приводятся основные принципы построения математической модель, описывающая движение эмульсии под действием термокапиллярных сил предложенной О.В. Войповым и В.В. Пухпачевым в 1995 году. Эта модель весьма сложна в силу ее нелинейности и высокого порядка, поэтому предпринимаются различные попытки ее упростить. Одним из таких вариантов является рассмотрение одномерных движений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами, поскольку в этих случаях система допускает понижение порядка. Приводится вид этой модели в случае одномерного движения со сферическими волнами, рассматриваемого в диссертации.

В пункте 4.2 формулируется задача затвердевания эмульсии в первом приближении относительно малой начальной концентрации для одномерного движения со сферическими волнами. Построение модели затвердевания, эмульсии в случае одномерного движения с плоскими волнами выполнено А.Г. Петровой, В.В. Пухначевым (1999). Процесс затвердевания описывается в рамках классической задачи Стефана, скачком плотности при затвердевании пренебрегаем. На свободной границе ставятся условия сильного разрыва для температуры и концентрации: сЮ"

С}у'

С(1-С)Ь дх в] = О,

Щ/ =

М* - РтКп)С( 1 - С)ЬЭ дв дх кт( 1 - МС) ое дх где символ [.] обозначает разность значений функций по разные стороны линии разрыва, причем скачок внутренней энергии [и] считается постоянным и равным 7; у'— скорость фазовой границы. Проводится линериари-зация задачи затвердевания эмульсии. Малость начальной концентрации дисперсной фазы дает основания для этой процедуры.

В пункте 4.3 исследуются условия разрешимости линеаризованной -задачи затвердевания эмульсии. Получены условия строгой монотонности свободной границы задачи Стефана в случае сферической симметрии. Показано, что задача затвердевания эмульсии имеет единственное ограниченное сверху решение при условии существования классического решения задачи Стефана такого, что:

Это условие фактически означает, что скорость переноса примеси в жидкости, вызванного термокапиллярным эффектом, должно быть меньше скорости продвижения границы затвердевания. Построено точное решение задачи затвердевания эмульсии, соответствующее случаю полного затвердевания шара за время Т.

В пункте 4.4 описывается метод численного решения задачи затвердевания эмульсии состоящий в решении задачи Стефана для определения температуры и положения свободной границы методом Г. Мейера и применении явная схема с направленными разностями для расчета концентрации дисперсной фазы в жидкой матрице. Приведены результаты тестирования. В качестве теста использовалось точное решение, приведенное в пункте 4.3, при этом относительная погрешность вычислений составила 0.01%. Расчеты проводились при различных режимах охлаждения. При постоянной безразмерной температуре на внешней границе ©,s(l,i) = —2 наблюдается значительное оттеснение примеси в жидкую фазу. Если в качестве начальных данных берется точное решение, то наблюдается большое - до 8% отклонение от начального распределения примеси.

В заключение формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Материалы диссертации опубликованы в работах [26] - [35] и докладывались на следующих конференциях и школах: международная школа - семинар по численным методам (Новоси-биоск,1997). краевые конференции по математике ( Барнаул,1998, 1999, 2000).

Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике" ( ИНПРИМ-98, Новосибирск,1998). международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999). международная конференция " Nonlinear partial differential equations" (Львов, 1999).

Диссертационная работа прошла апробацию на семинаре отдела прикладной гидродинамики, руководимом чл.-корр. РАН В.В. Пухначевым в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева,

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Журавлева, Елена Николаевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты работы.

1. Получена локальная по времени разрешимость в гельдеровских классах функций модифицированной задачи, учитывающей влияние поверхностного натяжения и кинетического переохлаждения па скорость движения свободной границы. Доказана локальная теорема существования решения равновесной задачи, в которой фазы определяются диаграммой фазового состояния.

2. Построено автомодельное решение задачи роста кристалла из переохлажденного расплава. Построено точное решение задачи кристаллизации бинарного сплава при ¿3 = 0. Для описания процесса зарождения фазы при решении задачи кристаллизации шара построена начальная асимптотика при различных режимах охлаждения поверхности, позволяющая установить связь скорости движения, свободной границы с темпом охлаждения.

3. Разработан эффективный алгоритм численного решения задач сте-фаповского типа при наличии примеси. Предложен метод решения подобных задач с малыми параметрами с помощью явного выделения по-гранслойных функций.

4. Получены условия строгой монотонности свободной границы чистой задачи Стефана в случае сферической симметрии.

5. Построено точное решение задачи затвердевания эмульсии, предложен алгоритм численного исследования этой задачи.

6. Проведено численное исследование влияние примеси и учета диффузии в твердой фазе на процесс кристаллизации. Исследовано влияние режима охлаждения на переохлаждение, возникающее в жидкой фазе.