Кристаллическое структурообразование при высокоскоростном затвердевании бинарных сплавов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Кривилёв, Михаил Дмитриевич

• Кривилёв, Михаил Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кривилёв, Михаил Дмитриевич

Введение

1 Современная теория затвердевания переохлажденных сплавов

1.1 Основные положения классической теории квазиравновесного затвердевания

1.2 Теория неравновесного затвердевания.

1.3 Дискретные модели высокоскоростного затвердевания

2 Математическая модель кристаллического структурообразова-ния при высокоскоростном затвердевании

2.1 Постановка задачи.

2.2 Характерные пространственные и временные масштабы

2.3 Уравнения модели в безразмерном виде.

3 Дискретная модель и вычислительный алгоритм

3.1 Область моделирования и метод дискретизации.

3.2 Дискретная модель затвердевания.

3.3 Алгоритм вычислений.

4 Численное моделирование структурообразования в изотермическом приближении

4.1 Морфологический спектр ростовых структур в зависимости от начального переохлаждения расплава.

4.2 Бифуркации в структуре вторичных ветвей свободно растущего дендрита.

4.3 Влияние стохастического шума и геометрического отбора на дендритную структуру.

5 Численное моделирование структурообразования в неизотермическом приближении

5.1 Достоверность результатов вычислительного эксперимента

5.2 Формирование кристаллической структуры при высокоскоростной закалке лент спиннингованием.

5.3 Режимы роста термодиффузионного дендрита.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кристаллическое структурообразование при высокоскоростном затвердевании бинарных сплавов»

Объект исследования и актуальность темы. Проблема затвердевания металлов и металлических сплавов имеет глубокие научные и практические корни. Это обусловлено большой прикладной значимостью процессов литья и перекристаллизации в машиностроении. Как при получении изделий больших масс (слитки, отливки), так и при получении капель и тонких лент весьма актуальным, с практической точки зрения, является знание структуры и химического состава сплавов, получаемых в тех или иных условиях. Это ведет к разработке теоретических схем, моделей, пакетов прикладных программ для оценки протекающих процессов в затвердевающей системе [1—3]. Качественная и быстрая разработка технологии получения образцов с заданными свойствами может быть проведена только при создании адекватного физико-математического описания структурооб-разования в металлических системах и сплавах. Современные прикладные пакеты программ по затвердеванию металлических систем [4,5] используют так называемую бесструктурную модель затвердевания. По этой причине разработка адекватного физико-математического описания структу-рообразования в металлических системах и сплавах является весьма важной задачей.

Для современных технологий, применяющихся в космической, атомной и микроэлектронной промышленности, требуются новые материалы с уникальными свойствами, такие как высокопрочные и износостойкие покрытия, аморфные пленки, мелкодисперсные кристаллические структуры. Новые материалы часто могут быть получены при сильно неравновесных условиях. Такие условия возникают, например, в случае высокоскоростного затвердевания сплавов при лазерной закалке поверхности. По этой причине процессам высокоскоростного затвердевания расплавов в последние два десятилетия уделяется время большое внимание [6—11]. Основными технологическими и экспериментальными методами, обеспечивающими высокоскоростное затвердевание, являются закалка из жидкого состояния, лазерная и электронная перекристаллизация поверхностей, охлаждение жидких капель в технике электромагнитной левитации [6,9,11J. Эти методы позволяют достичь высоких скоростей охлаждения (порядка 10-100 К/с) или глубоких переохлаждений (более 100 К), обеспечивающих большие термодинамические движущие силы для инициирования высокоскоростного затвердевания (более 0.1 м/с). Объектом настоящего исследования являются сильно переохлажденные бинарные сплавы. Предмет исследования — формирование кристаллической структуры в зависимости от управляющих физических параметров в условиях высокоскоростного затвердевания.

Большинство существующих моделей затвердевания основываются на принципе локального термодинамического равновесия, который справедлив только при малых переохлаждениях и скоростях роста кристаллической структуры. По этой причине они не могут быть применены для высокоскоростных процессов затвердевания в области больших переохлаждений, и для точного описания необходимо создание новых подходов, учитывающих неравновесность. Одним из таких подходов является модель локально-неравновесного затвердевания [10J. Использование методов математического моделирования в применении к теории локально-неравновесного затвердевания позволяет привлечь вычислительный эксперимент дяя предсказания кристаллической структуры после быстрой закалки расплава.

В связи с вышеизложенным целью диссертационной работы является:

- построение физико-математической модели для двумерного численного моделирования затвердевания разбавленных бинарных сплавов в широком диапазоне переохлаждений, при которых реализуется кристаллическое структурообразование (рассматриваемые скорости затвердевания соответствуют интервалу Ю-1 — 101 м/с и меньше скоростей аморфизации).

- изучение закономерностей формирования кристаллической структуры и ее зависимости от изменения управляющих физических параметров в изотермическом приближении,

- описание режимов роста термодиффузионного (контролируемого процессами переноса тепла и массы в затвердевающей системе) дендрита.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие конкретные задачи:

- сформулировать модель затвердевания бинарного сплава, учитывающую процессы тепло-, массопереноса и конечную скорость диффузии вещества, в виде системы дифференциальных уравнений,

- выбрать метод дискретизации расчетной области и записать конечно-разностные уравнения дискретной модели,

- реализовать на языке «С» пакет прикладных программ для моделирования высокоскоростного затвердевания бинарного сплава,

- проверить адекватность модели путем сравнения результатов численного моделирования и предсказаний аналитической теории,

- провести численное моделирование роста кристаллической структуры при различных режимах затвердевания в изотермическом и неизотермическом приближениях.

В качестве метода исследования в работе выбран вычислительный эксперимент, основанный на численном моделировании процесса затвердевания.

Научная новизна работы заключается в том, что сформулирована и численно реализована термодиффузионная модель затвердевания, расширяющая класс моделей двухфазной зоны на случай высокоскоростного затвердевания. Впервые получено описание неравновесных процессов струк-турообразования на различных стадиях при затвердевании переохлажденных бинарных систем. Описываемыми стадиями являются: диффузионно-лимитируемый, диффузионно-лимитируемый и термически контролируемый, а также чисто термически контролируемый режимы роста кристаллических структур. Описание получено на основе модели локально-неравновесного затвердевания [ 10J и выполнено методами математического моделирования. Разработаны специальные алгоритм и вычислительная схема программного пакета, моделирующего неравновесное затвердевание в бинарных системах.

На защиту выносятся следующие положения:

- физико-математическая модель, описывающая затвердевание переохлажденных бинарных сплавов в широком диапазоне переохлаждений,

- морфологический спектр кристаллических структур в зависимости от начального переохлаждения расплава,

- механизм формирования кристаллической структуры в условиях значительного температурного градиента при высокоскоростной закалке лент спиннингованием,

- режимы роста термодиффузионного дендрита.

Предложенная в работе модель имеет практическую значимость и может использоваться для проведения научных и прикладных расчетов в задачах по моделированию структурообразования при затвердевании бинарных сплавов. Реализованный на базе этой модели программный пакет 8 может быть адаптирован для прогнозирования структуры и состава фаз в методе электромагнитной левитации, в высокотехнологичных процессах закалки из жидкого состояния, лазерной и электронной перекристаллизации поверхностей образцов. Пакет может применяться для достижения научно-учебных целей, в частности, для построения кинетических и метастабиль-ных фазовых диаграмм бинарных систем в материаловедении и металловедении. Также пакет может быть составной частью CAD/CAM систем в прикладных программных комплексах по разработке и оптимизации металлургических и литейных технологий.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: 2-й и 4-й Российской университетско-академической конференции (Ижевск, 1995, 1999 гг.), IVth International Conference «Fractals-97» (Denver, USA, 1997 г.), 5-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Екатеринбург, 1999 г.), 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation «CHAOS'98» (Саратов, Россия, 1998 г.), I междисциплинарном семинаре «Фракталы и прикладная синергетика» (Москва, 1999 г.)

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, 6 приложений, списка литературы из 107 наименований и изложена на 180 страницах, включая 8 таблиц и 39 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Кривилёв, Михаил Дмитриевич

Выводы

Описанный сценарий перехода может быть интерпретирован следующим образом. Для описания экспериментальных данных по ВСЗ сплава Ni — 0.7 ат.% В в работе [40] применена трехмерная аналитическая модель, основанная на локально неравновесном приближении. Аналитическая кривая достаточно точно описывает экспериментальные точки. Для проверки достоверности дискретной модели (2.21) —(2.34в), также основанной на локально неравновесном подходе, было проведено математическое моделирование затвердевания в двумерном случае. Расчеты двумерной дискретной модели и двумерной аналитической модели (основные уравнения модели см. приложение Д) показали сходные результаты. Логическую связь подходов, использованных для анализа затвердевания сплава Ni — В, можно представить схемой: 3D эксперимент [11] 3D аналитическая модель [40] 2D аналитическая модель [102] 2D дискретная модель [настоящая работа]. Используя транзитивность, можно предположить, что проведена дополнительная проверка справедливости дискретной модели, а также косвенное сопоставление численных и экспериментальных данных.

142

Далее в рамках вычислительного эксперимента показан переход от диффузионно-лимитируемого режима роста свободно растущего дендрита (режим / на рис. 5.12 и 5.15) при переохлаждении AT = 100 К к чисто термически контролируемому режиму при переохлаждении AT = 400 К (режим 3 там же). Это представляет собой весьма оригинальный результат. Такой переход сопровождается движением к режиму безразделительного затвердевания. Химический состав внутри твердой фазы приближается к своему исходному значению (которое также соответствует значению на бесконечности). При достижении скорости V = VD в затвердевающей системе наблюдается полностью однородное распределение примесного компонента. В соответствии с 2D аналитической моделью в интервале переохлаждений 200 < AT < 400 К предсказывается резкое увеличение скорости V затвердевания, Это происходит благодаря эффекту неравновесного захвата примеси растущим кристаллом. Такой вывод получен как в аналитических моделях ВСЗ другими исследователями, так и в настоящей работе при анализе результатов численного моделирования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кривилёв, Михаил Дмитриевич, 2001 год

1. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка.— М.: Металлургия, 1987. — 224 с.

2. Журавлев В.А., Китаев Е.М. Теплофизика формирования непрерывного слитка. — М.: Металлургия, 1974. — 215 с.

3. Галенко Л.К., Голод В.М. Системный анализ литейных процессов // Литейное производство. — 1989. — N 10. — С. 4-7.

4. Васькин В.В., Кропотин В.В. Оригинальные компьютерные технологии для описания процессов кристаллизации сплавов // Кристаллизация и компьютерные модели. Под ред. В.А. Журавлева. — Ижевск: ИД «Удмуртский университет», 1994. — С. 12-18.

5. Недопёкин Ф.В. Математическое моделирование гидродинамики и тепломассопереноса в слитках.— Ижевск: ИД «Удмуртский университет», 1995. — 236 с.

6. Мирошниченко И.С. Закалка из жидкого состояния. — М.: Металлургия, 1982. — 167 с.

7. Aziz M.J. Model for Solute Redistribution During Rapid Solidification // Journal of Applied Physics. — 1982. — V. 53. — P. 1158-1168.

8. Boettinger W.J., Coriell S.R., Sekerka R.F. Mechanism of Microsegregation-Free Solidification // Mater. Sci. Eng.— 1984.— V. 65. — P. 27-36.

9. Jacobson L.A., McKittrick J. Rapid Solidification Processing // Mater. Sci. Eng. R. — 1994. — V. 11. — P. 335-405.

10. Galenko P., Sobolev S. Local nonequilibrium effect on undercooling in rapid solidification of alloys // Phys. Rev. E. — 1997. — V. 55. — N 1. — P. 343-352.

11. Herlach D.M. Direct measurements of crystal growth velocities in un-dercooled melts // Materials Science and Engineering.— 1994.— V. A179/180.— P. 147-152.

12. Иванцов Г.П. «Диффузионное» переохлаждение при кристаллизадиии бинарного сплава / / Доклады АН СССР.— 1951.— Т. 81. — N 2. — С. 179-182.

13. Иванцов Г.П. Температурное поле вокруг шарообразного, цилиндрического и иглообразного дендрита, растущего в переохлажденном расплаве //Доклады АН СССР — 1947. — Т. 58. — N 4. — С. 567-569.

14. Иванцов Г П. О росте сферического и иглообразного кристаллов бинарного сплава //Доклады АН СССР— 1952.— Т. 83.— N 4.— С. 573-575.

15. Борисов В.Т. Кристаллизация бинарного сплава при сохранении устойчивости //Доклады АН СССР.— 1961.— Т. 136.— N 3.— С. 583-586.

16. Борисов В. Т. Кинетические диаграммы бинарных сплавов //Доклады АН СССР — 1962. —Т. 142.—N 1. —С. 69-71.

17. Журавлев В.А., Бакуменко С.П., Сухих С.М. К теории образования замкнутых усадочных полостей при кристаллизации сплавов в больших объемах // Изв. АН СССР. Металлы. — 1983. — N 1. — С. 4348.

18. Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях. — М.: Наука, 1979. — 136 с.

19. Флеминге М. Процессы затвердевания. —- М.: Мир, 1977. — 424 с.

20. Brody H.D., Flemings М.С. Solute Redistribution in Dendritic Solidification // Trans. Metall. Soc. AIME. — 1966. — V. 236. — P 615-622.

21. Kurz W., Fisher D.J. Fundamentals of Solidification. — Aedermannsdorf: Trans Tech Publication, 1992. — 305 p.

22. Galenko P.K., Zhuravlev V.A. Physics of Dendrites. — Singapore: World Scientific, 1994, —212 p.

23. Pan Q.Y., Huang W.D., Lin X. et al. Primary spacing selection of Cu -Mn alloy under laser rapid solidification condition // J. Ciyst. Growth. — 1997, —V. 181, —P. 109-116.

24. Aziz M.J., Kaplan T. Continuous Growth Model for Interface Motion During Alloy Solidification //Acta Metall. — 1988. — V 36. — P 23352347.

25. Lipton J., Kurz W., Trivedi R. Rapid Dendrite Growth in Undercooled Alloys // Acta Metall. — 1987. — V. 35. — P 957-964.

26. Boettinger W.J., Coriell S.R. Microstructure Formation in Rapidly Solidified Alloys // Science and Technology of the Undercooled Melt.

27. Ed. P.R. Sahm, H. Jones, C.M. Adam. — Dordrecht: Martinus Nijhoff, 1986, —P. 81-109.

28. Eckler K., Cochrane R.F., Herlach D.M. et al. Evidence for a transition from diffusion-controlled to thermally controlled solidification in a metallic alloys // Phys. Rev. B. — 1992. — V. 45. — N 9. — P. 5019-502.

29. Галенко П.К. Эффект диффузионной релаксации при высокоскоростной криталлизации бинарного сплава // Кристаллография. — 1993. — Т. 38. — N 6.— С. 238—243.

30. Galenko P. Local поп equilibrium phase transition model with relaxation of the diffusion flux // Phys. Lett. A. — 1994. — V. 190. — P. 292-294.

31. Галенко П.К. К феноменологической теории локально неравновесной кристаллизации // Докл. Акад. Наук.— 1994.— Т. 334.— N 6.— С. 707-709.

32. Галенко П.К. Об условии развития диффузионного переохлаждения при локально-неравновесной кристаллизации сплавов // Журнал технической физики. — 1995. — Т. 65. — N11. — С. 110-119.

33. Sobolev S.L. Local-nonequilibrium model for rapid solidification of undercook melts// Phys. Lett. A. — 1995. — V 199. — P. 383-386.

34. Sobolev S.L. Effects of local nonequilibrium solute diffusion on rapid solidification of alloys // Phys. Stat. Sol. (a). — 1996. — V 156. — N 2. — P. 293-299.

35. Галенко П.К. Анализ высокоскоростного движения поверхности раздела фаз с позиций расширенной необратимой термодинамики // Препринт лаб. физ. конд. сред. — Ижевск: УдГУ, 1998. — 25 с.

36. Weymann H.D. Finite Speed of Propagation in Heat Conduction, Diffusion, and Viscous Shear Motion //Am. J. Phys. — 1967. — V 35. — P. 488-496.

37. Harris S. One-dimentional Brownian motion with an accumulating boundary. Assymptotic results // Phys. Rev. A.— 1988.— V. 40.— N1, —P. 387-391.

38. Sobolev S.L. Discrete model for transfer processes // Phys. Rev. A. — 1992. —V. 163. —P. 101-103.

39. Соболев С.JI. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных системах // УФН.— 1991.— Т. 161.— N3.— С. 5— 29.

40. Galenko Р.К., Danilov D.A. Local nonequilibrium effect on rapid dendritic growth in a binary alloy melt // Phys. Lett. A. — 1997. — V. 235. — P. 271-280.

41. Galenko P.K., Danilov D.A. Model for free dendritic alloy growth under interfacial and bulk phase nonequilibrium condition // J. Cryst. Growth. — 1999. — V. 197. — P. 992-1002.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика / Из сер. «Теоретическая физика» под ред. Ландау Л.Д. — М.: Наука, 1976. — Т. V. — 584 с.

43. Кагта A., Rappel W.-J. Phase-field method for computationally efficient modeling of solidification with arbitrary interface kinetics // Phys. Rev. E. — 1996. — V. 53. — N 4. — P. 3017-3020.

44. Karma A., Rappel W.-J. Phase-field simulation of three-dimensional dendrites: is microscopic solvability theory correct? // J. Cryst. Growth. — 1997. — V. 174. — P. 54-64.

45. Provatas N. Goldenfeld N., Dantzig J. Efficient Computation of Dendritic Microstructures Using- Adaptive Mesh Refinement // Phys. Rev. Lett. — 1998. — V. 80. — P. 3308-3311.

46. Provatas N., Goldenfeld N., Dantzig J. et ai. Crossover Scaling in Dendritic Evolution at Low Undercooling // Phys. Rev. Lett.— 1999.— V. 82. — P. 4496-4499.

47. Warren J.A., Boettinger W.J. Prediction of Dendritic Growth and Micro-segregation Patterns in a Binary Alloy Using the Phase-Field Method // Acta Metall. — 1995. — V. 43. — P. 689-703.

48. Galenko P.K. Phase-field model with relaxation of the diffusion flux in nonequilibrium solidification of a binary system // Phys. Lett. A. — 2001. —V. 287. —P. 190-197.

49. Galenko P.K., Krivilyov M.D. Model for isothermal pattern formation of growing crystals in undercooled binary alloys // Modell. Simul. Mater. Sci. Eng. — 2000. — V. 8. — P. 67-79.

50. Galenko P.K., Kirivilyov M.D. Modelling of crystal pattern formation in isothermal undercooled alloys// Modelling Simul. Mater. Sci. Eng.— 2000, —N8, —P. 81-94.

51. Jou D., Casas—Vazquez J., Lebon G. Extended Irreversible Thermodynamics.— Berlin: Springer, 1992.

52. Liu F., Goldenfield N. Generic features of late—stage crystal givwth // Phys. Rev. A. — 1990. — V. 42. — N 2. — P. 895-903.

53. Vicsek T. Fractal Growth Phenomena. — Singapore: World Scientific, 1992, — 488 p.

54. Уманцев А.Р., Виноградов В.В., Борисов В.Т. Математическое моделирование роста дендритов в переохлажденном расплаве // Кристаллография. — 1985. — Т. 30. — N 3. — С. 455-460.

55. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.— М.: Наука, 1989, —430 с.

56. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. — М.: Мир, 1990. — Т. 1. — 384 с.

57. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979, — 392 с.

58. Broughton J.Q., Bonissent A., Abraham F.F. The FCC (111) and (100) Crystal-melt Interfaces: A Comparison by Molecular Dynamic Simulation // J. Chem. Phys. — 1981. — V 74. — P. 4029-4039.

59. Cook S. J., Clancy P. Impurity Segregation in Lennard-Jones A/A В Het-erostructures//J. Chem. Phys. — 1993. — V. 99. — P. 2175-2191.

60. Диаграммы состояния двойных металлических систем // Справочник в 3 т. Под ред. Н.П. Лякишева. — М.: Машиностроение, 1996. — С. 1023.

61. Mullins W.W, Sekerka R.F. Morphological Stability of a Particle Growing by Diffusion or Heat Flow// J. Applied Physics. — 1963. — V. 34. — N2. —P. 323-329.

62. Mullins WW., Sekerka R.F. Stability of a Planar Interface During Solidification of a Dilute Binajy Alloy // J. Applied Physics.— 1964.— V. 35, —N2. —P. 444-451.

63. Seetharaman V., Eshelman M.A., Trivedi R. Cellular spacing — I. Steady-state growth // Acta Metall.— 1988.— V. 36.— N4.— P. 1165-1174.

64. Billia В., Jamgotchian H., Trivedi R. Improved Analysis of the Tip Undercooling in Cellular Solidificatuion of a Binaiy Alloy // J. Cryst. Growth. — 1992. — V. 123. — P. 399-410.

65. Kurz W., Trivedi R. Solidification Microstructures: Recent Developments and Future Directions//Acta Metall.— 1990. —V. 38.—P. 1-17.

66. Billia В., Jamgotchian H., Thi H.N. Array Disoder and Cellelar Pattern Formation // Growth and Form. Ed. M. Ben Amaret al.— New York: Plenum Press, 1991. —P. 211-219.

67. Чернов A.A., Гнваргнзов Е.И., Багдасаров X.C. Современная кристаллография. — М.: Наука, 1980. — Т. 3. — 407 с.

68. Уманцев А.Р., Виноградов В.В., Борисов В.Т. Моделирование эволюции дендритной структуры // Кристаллография. — 1986. — Т. 31. — N5, —С. 1002-1008.

69. Galenko Р.К., Krivilyov M.D., Buzilov S.V. Bifurcations in a sidebranch surface of a free—growing dendrite // Phys. Rev E. — 1997. — V 55. — N 1, —P. 611-619.

70. Pelce P. Dynamics of curved fronts. — New York: Academic Press, 1988.

71. Langer J.S. Dendritic sidebranching in the three-dimensional symmetric model in the presence of fioise // Phys. Rev. A. — 1987. — V. 36. — P. 3350-3358.

72. Xu J.-J. Generalized needle solution, interfacial instabilities, and pattern formation // Phys. Rev. E. — 1996. — V 53. — N 5-B. — P. 5051 -5062.

73. Umantsev A., Olson G.B. Phase equilibria and transformations in adi-abatic systems // Phys. Rev. E. — 1993. — V 48. — N 6. — P. 42294249.

74. Jamgotchian H., Trivedi R., Billia B. Array of doublets: A branch of cellular solutions in directional solidification // Phys. Rev. E.— 1993.— V. 47. — N 6. — P. 4313-4322.

75. Бренер E.A., Темкин Д.Е. Ячеистая, дендритная и дублониая структуры при направленной кристаллизации // ЖЭТФ. — 1996. — Т. 109. — N3, — С. 1038-1053.

76. Синай Я.Г, Халатников И.М. Предисловие // Фракталы в физике. Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. — М.: Мир, 1988. — С. 5—7.

77. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах // Per. и хаот. динам. — 1997. — Т. 2. — N 3/4. — С. 90-105.

78. Ihle Т., Muller-Krumbhaar Н. Fractal and compact growth morphologies in phase transitions with diffusion transport // Phys. Rev. E. — 1994. — V. 49. — N 4. — P. 2972-2991.

79. Кривилев М.Д., Галенко П.К. Программный комплекс для моделирования кристаллического структурообразования в переохлажденных бинарных сплавах. — Ижевск: ИД «Удмуртский Университет», 1999. —59 с.

80. Langer J.S., Mueller-Krumbhaar Н. Theory of dendritic growth. Elements of stability analysis // Acta MetalJ. — 1978. — V 26. — P. 1681 -1688.

81. Langer J.S., Mueller-Krumbhaar H. Theory of dendritic growth. Instabilities in the limit of vanishing surface tension // Acta Metall. — 1978. — V. 26. — P. 1689.

82. Caroli В., Caroli C., Rou B. Solvability condition for needle crystals at large undercoolingin a nonlocal model of solidification // Phys. Rev. A. — 1986. — V. 33. — P. 442-452.

83. Amar M. Ben, Brener E. Theory of Pattern Selection in Three-Dimensiotial Nonaxisymmetric Dendritic Growth // Phys. Rev. Lett. — 1993, —V. 71. —P. 589-592.

84. Langer J. Instabilities and pattern formation in ciystal growth // Reviews of Modern Physics. — 1980. — V. 52. — N 1. — P. 1-28.

85. Pieters R., Langer J.S. Noise-driven sidebranching in the boundary-layer model of dendritic solidification // Phys. Rev. Lett. — 1986. — V 56. — P. 1948-1951.

86. Family F., Piatt D.E., Vicsek T. Deterministic growth model of pattern formation in dendritic solidification // J. Phys. A; Math. Gen. — 1987. — V. 20. —P. 1177.

87. Колмогоров Л.Н. К вопросу о «геометрическом отборе» кристаллов // Доклады АН СССР. — 1949. — Т. 65. — N 5. — С. 681-684.

88. Nastac L. Numerical Modeling of Solidification Morphologies and Segregation Patterns in Cast Dendritic Alloys // Acta Mater.— 1999.— V. 47. — N 17. — P. 4253-4262.

89. Loginova I., Amberg G., Agren J. Phase-Field Simulations of Non-Isothermal Binaiy Alloy Solidification // Acta. Mater.— 2001.— V. 49. —P. 573-581.

90. Pavuna D. Production of Scientific Samples of Metallic Ribbons by Improved Melt-Spinning Techniques // Rapidly Quenched Metals. Proc. 4th Int. Conf. Ed. T. Masumoto, K. Suzuki.— Amsterdam: North-Holland, 1982, —P. 81-84.

91. Vincent J.H., Herbertson J.G., Davies H.A. The Process Physics of Melt Spinning and Planar Flow Casting// Rapidly Quenched Metals. Proc. 4th Int. Conf. Ed. T. Masumoto, K. Suzuki. — Amsterdam: North-Holland, 1982. —P. 77-80.

92. Manov V.P., Popel S.I., Buler P.I. et ai. The Influence of Quenching Temperature on the Structure and Properties of Amorphous Alloys // Mater. Sci. Eng. A. — 1991. — V. 133. — P. 535-540.

93. Rapidly Quenched Metals. Proceedings 3rd Int. Conf. Edited by B. Cantor. (Brighton, 1978). — London: Metals Socienty, 1978. — 523 p.

94. Лифщиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика / Из сер. «Теоретическая физика» под ред. Ландау Л.Д. — М,: Наука, 1979. — 527 с.

95. Kurz W.W., Trivedi R. Microstructure and Phase Selection in Laser Treatment of Materials // J. Eng. Mater. Technolog.— 1992.— V. 114, —P. 450-458.

96. Greer A.L. Grain Refinement in Rapidly Solidified Alloys // Mater. Sci. Eng. A.— 1991. — V. 133. —P. 16-21.

97. Богданов Н.М., Коверда В.П., Скоков В.Н. и др. Спонтанная взрывная кристаллизация ультрадисперсных порошков аморфного германия //Доклады АН СССР — 1987. — Т. 293. — N 3. — С. 595-598.

98. Blank М., Caesar Ch., Koster U. Microstructure and Mechanical Properties of Rapidly Solidifies Copper-Based Alloys // Rapidly Quenched Metals. Proceedings 5th Int. Conf. Ed. S. Steeb, H. Warlimont. — Amsterdam: North-Holland, 1985. — P. 883-886.

99. Flood S.C., Hunt J.D. Columnar and Equiaxed Growth II. Equiaxed Growth Ahead of a Columnar Front // J. Cryst. Growth.— 1987.— V. 82. —P. 552-560.

100. Herlach D.M., Feuerbacher B. Non-equilibrium solidification of undercooled metallic melts // Adv. Space Res. — 1991. — V. 11. — N 7. — P. 255-262.

101. Galenko P.K., Danilov D.A. Steady-state shapes of growing crystals in the field of local nonequilibrium diffusion // Phys. Lett. A. — 2000. — V.272. —P. 207-217.

102. Frankel J.I., Vick В., Ozisik M.N. General Formulation and Analysis of Hyperbolic Heat Conduction in Composite Media // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1987. — V. 30. — P. 1293-1305.

103. Chen Han-Taw, Lin Jae-Yuh Numerical Analysis for Hyperbolic Heat Conduction // int. J. Heat Mass Transfer. — 1993. — V. 36. — P. 2891 -2898.

104. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980. — 616 с.

105. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1989. —608 с.