Математическое моделирование эволюции температурных полей в многослойных цилиндрических оболочках с нелинейными теплофизическими свойствами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чигирёва, Ольга Юрьевна

• Чигирёва, Ольга Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чигирёва, Ольга Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗОГРЕВА МНОГОСЛОЙНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВЫСОКОИНТЕНСИВНОМ ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

1.1. Моделирование процесса разогрева цилиндрической оболочки с теплозащитным покрытием при наличии термического сопротивления контактной поверхности.

1.1.1. Постановка задачи и математическая модель. ф 1.1.2. Построение алгоритма приближенного решения

1.1.2.1. Метод Роте решения нелинейной начально-краевой задачи для двухслойной области.

1.1.2.2. Применение бесконечных систем к решению краевых задач для линейных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами

1.1.2.3. Построение алгоритма решения системы линейных уравнений с симметрической » матрицей.

1.1.3. Результаты численных расчетов.

1.2. Моделирование процесса термического разрушения цилиндрической оболочки.

1.2.1. Постановка задачи и математическая модель.

1.2.2. Построение алгоритма приближенного решения нелинейной начально-краевой задачи с подвижной

Ф границей.

1.2.3. Результаты численных расчетов.

1.3. Расчет оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете.

1.3.1. Постановка задачи и математическая модель.

1.3.2. Построение алгоритма приближенного решения

1.3.3. Результаты численных расчетов.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗОГРЕВА ПОВЕРХНОСТИ ДВУХСЛОЙНОГО ЦИЛИНДРА, ПОДВЕРЖЕННОЙ ЛОКАЛЬНОМУ ТЕПЛОВОМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ.

2.1. Моделирование процесса разогрева цилиндрической поверхности сканирующим точечным источником теплоты

2.1.1. Постановка задачи и математическая модель.

2.1.2. Построение алгоритма приближенного решения

2.1.2.1. Метод Роте решения нелинейной начально-краевой задачи.

2.1.2.2. Применение бесконечных систем к решению двумерных краевых задач.

2.1.2.3. Построение алгоритма вычисления коэффициентов Фурье функции, заданной в двумерной области (прямоугольнике).

2.1.3. Результаты численных расчетов.

2.2. Эволюция температурного поля двухслойного цилиндра при его нагреве движущимся импульсно-периодическим кольцевым источником теплоты.

2.2.1. Постановка задачи и математическая модель.

2.2.2. Построение алгоритма приближенного решения

2.2.3. Результаты численных расчетов.

2.3. Моделирование процесса формирования температурных волн в составном цилиндре при локальном импульсно-периодическом тепловом воздействии.

2.3.1. Постановка задачи и математическая модель.

2.3.2. Построение алгоритма приближенного решения

2.3.3. Результаты численных расчетов.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОВЫХ

ПРОЦЕССОВ В АКТИВНЫХ СРЕДАХ.

3.1. Расчет критической толщины защитной оболочки цилиндрического электронагревательного элемента.

3.1.1. Постановка задачи и математическая модель процесса.

3.1.2. Построение алгоритма приближенного решения

3.1.3. Результаты численных расчетов.

3.2. Моделирование процесса теплопереноса и расчет критических значений теплофизических параметров цилиндрического тепловыделяющего элемента с защитным покрытием.

3.2.1. Постановка задачи и математическая модель процесса. ф 3.2.2. Построение алгоритма приближенного решения

3.2.3. Результаты численных расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование эволюции температурных полей в многослойных цилиндрических оболочках с нелинейными теплофизическими свойствами»

Актуальность темы. Основы классической математической теории теплопроводности твердых тел широко освещены в монографиях Г. Карслоу и Д. Егера, А.В. Лыкова, B.C. Зарубина, Э.М. Карташова и ДР. [1-4].

Появление современной вычислительной техники дало возможность применения теории для прикладных целей и стимулировало создание новых методов решения практических задач.

Исследование процессов теплопереноса в многослойных конструкциях, поверхности которых подвержены высокотемпературному воздействию, с учетом уноса массы теплозащитного покрытия и оптимизация теплозащиты проведено в работах [5-15], где моделируются тепловые состояния для изотропных материалов с постоянными тепло-физическими свойствами при условии идеального теплового контакта между слоями, и в работах [16-20] для неизотропных композиционных материалов.

Обычно рассматриваются две модели процесса уноса материала с поверхности, нагреваемой высокотемпературным потоком. В одной их них унос материала наступает с достижением температуры плавления нагреваемой поверхности, а скорость разрушения находится из уравнения теплового баланса на нагреваемой поверхности. В другой модели скорость разрушения определяется температурой нагреваемой поверхности [21] и находится из решения задачи. Такие задачи принадлежат к классу краевых задач нестационарной теплопроводности с подвижной границей [4, 22, 23], важность которых отмечена в обзоре [23]. Точные аналитические решения данных задач удается построить в случае постоянства теплофизических параметров и для некоторых конкретно заданных законов движения границы. Известные методы решения этих задач в случае зависимости теплофизических параметров от температуры не применимы. Поэтому в этом случае актуальным является разработка методов решения таких нелинейных задач, чему и посвящена данная диссертация.

В диссертации предлагается вариант приближенного аналитического метода, основанный на идее Роте и учитывающий специфику некоторых типов задач теплопереноса.

Одной из таких задач, представляющей практический интерес является процесс воздействия на поверхность конструкции интенсивными локальными тепловыми потоками, когда вблизи зоны теплового контакта происходит быстрое возрастание температуры. Исследованию закономерностей развития нестационарных температурных полей при нагреве поверхностей конструкций локальными источниками теплоты посвящен целый ряд публикаций [24-34], в том числе и в случае локального импульсного или импульсно-периодического теплового источника [35-38]. Интерес к этим исследованиям объясняется практическими приложениями процесса разогрева металлических материалов при лазерной и электронно-лучевой обработке материалов [39-43]. В этих работах построены аналитические решения задач процесса теплопереноса в полупространстве или в пластинах конечной толщины при воздействии на их поверхности интенсивными импульсно-периодическими осе-симметричными тепловыми потоками. В диссертационной работе продолжено исследование таких процессов в нелинейной постановке с учетом движения локального источника теплоты по поверхности материала. В случае двухслойных областей в работе учитывается термическое сопротивление между слоями. Рассматриваются две модели движущегося теплового источника. В первой модели — сканирующий тепловой источник, во второй — движущийся импульсно-периодический. Эти модели возникают при описании процесса термоупрочнения материалов при воздействии интенсивного лазерного излучения на локальный участок поверхности [44-46].

Другой задачей, рассматриваемой в диссертации, является исследование нестационарных режимов в активных средах при наличии источников выделения теплоты, интенсивность тепловыделения которых не может быть компенсирована охлаждением внешней поверхности среды [47-51]. Быстрый рост температуры, когда процесс разогрева не выходит на стационарный режим, происходит скачкообразно при достижении определенных значений параметров задачи, которые называют критическими. Знание критических значений параметров задачи, как теплофизических, так и геометрических, необходимо для выбора таких их значений, которые позволяют удерживать процесс тепловыделения в стационарном режиме [52-56]. Эти критические значения параметров в диссертации находятся в случае зависимости теплофизических параметров от температуры из решения соответствующих краевых задач нестационарной теплопроводности для тепловыделяющих элементов цилиндрической формы, с учетом термического сопротивления между тепловыделяющим элементом и защитной оболочкой.

Цель и задачи исследования. Цель проведенных исследований — обоснование метода приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности и применение его для решения прикладных задач теплопереноса.

Методы исследования. При работе над диссертацией были использованы следующие разделы математики: методы сведения нелинейных начально-краевых задач к краевым задачам для уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами (метод Роте); теория рядов Фурье; сведение краевых задач к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений; методы решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений; методы численного гармонического анализа; численные методы линейной алгебры.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется использованием корректных математических моделей рассматриваемых процессов теплопереноса, строгостью математических выкладок, обоснованием сходимости алгоритмов приближенных расчетов и точности вычислений.

Научная новизна. Предложен приближенный аналитический метод решения краевых задач нестационарной теплопроводности в нелинейной постановке. Разработаны алгоритмы и комплексы программ расчета температурных полей в прикладных задачах теплопереноса для многослойных тел цилиндрической формы.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в возможности использования предложенного метода и разработанного комплекса программ для решения прикладных задач, включая:

1. нахождение оптимальных значений параметров тепловой защиты многослойных конструкций, подверженных высокотемпературному нагреву, приводящему к эффекту абляции поверхностного теплозащитного покрытия;

2. нахождение зоны локального поверхностного прогрева металла импульсным и импульсно-периодическими локальными источниками теплоты;

3. определение критических параметров процесса тепловыделения в активных средах для нахождения диапазона изменения геометрических и теплофизических параметров, при которых существует установившееся температурное поле тепловыделяющего элемента.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Метод приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности в многослойных телах цилиндрической формы.

2. Разработанные на основе предложенного метода алгоритм нахождения оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете при нагреве его газовым потоком, приводящем к уносу массы с поверхности, и алгоритм нахождения параметров задачи, определяющих размеры зоны термического влияния и свойства упрочненной поверхности в процессе разогрева двухслойного цилиндра лазерным излучением в случаях сканирующего и импульсно-периодических локальных тепловых источников.

3. Расчет критических значений геометрических и теплофизиче-ских параметров процесса теплопереноса в активных средах, когда интенсивное тепловыделение в среде не может быть компенсировано тепловыми потоками через поверхность; нахождение значений параметров задачи, позволяющих удерживать процесс теплопереноса в стационарном режиме.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 2-й Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2003), 3-й Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2005), Международном Симпозиуме "Образование через науку" (Москва, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6-и научных статьях [75, 77-80, 83 ] и 4-х тезисах докладов [76, 81, 82, 84].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 143 страницах, содержит 62 иллюстрации и 11 таблиц. Библиография включает 84 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чигирёва, Ольга Юрьевна

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работе предложен метод приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности.

На основании этого метода разработаны алгоритмы и комплексы программ расчета температурных полей в многослойных телах цилиндрической формы: при наличии термического сопротивления между слоями; с учетом разрушения теплозащитного покрытия и уноса массы материала (задача с подвижной границей для случая, когда скорость движения границы зависит от температуры разрушаемой поверхности и определяется в процессе решения задачи); с учетом движения по боковой поверхности цилиндра локального или импульсно-периодических интенсивных источников теплоты; при наличии тепловыделяющего элемента с активной средой, объемная мощность тепловыделения которого зависит от температуры.

Применение этих алгоритмов к решению прикладных задач теп-лопереноса в нелинейной постановке позволяет получать следующие результаты: для многослойного цилиндрического пакета с теплозащитным покрытием, подверженным высокотемпературному нагреву газовым потоком, приводящему к уносу массы материала, находить минимальную толщину слоя термоизоляции, при которой температура внутренней поверхности не превышает заданного предельного значения за промежуток времени, когда неразрушенная часть теплозащитного покрытия составляет заданный процент от первоначальной; находить зоны локального поверхностного прогрева двухслойного цилиндра движущимися локальным и импульсно-периодическими тепловыми источниками; находить критические значения геометрических и теплофизических параметров в цилиндрических тепловыделяющих элементах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чигирёва, Ольга Юрьевна, 2006 год

1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964.-488 с.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

3. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 328 с.

4. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. - 550 с.

5. Зарубин B.C. Расчет и оптимизация термоизоляции. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 192 с.

6. Никитин П.В. Разрушение теплозащитных материалов в высокотемпературных потоках. М.: Изд-во МАИ, 1993. - 53 с.

7. Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном нагружении. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 1993. - 142 с.

8. Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек: Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии. М.: Наука, 1998.-464 с.

9. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Высокотемпературный прогрев оболочки с излучающей поверхностью // Теплофизика высоких температур. 1988. - Т. 26, №2. - С. 412.

10. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Разогрев оболочки при наличии термического разрушения нагреваемой поверхности // Известия вузов. Машиностроение. 1989. -№1. - С. 52-56.

11. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Разогрев многослойной оболочки приналичии контактного термического сопротивления между слоями // Известия вузов. Машиностроение. 1989. - №12. - С. 43-47.

12. Малов Ю.И., Мартинсон J1.K. Моделирование и расчет нестационарного теплового процесса в оболочке с учетом фазового перехода // Известия вузов. Машиностроение. 1990. - №8. - С. 30-35.

13. Малов Ю.И., Мартинсон JT.K. Эволюция температурного поля при разогреве оболочки из композиционного материала // Известия вузов. Машиностроение. 1991. -№10. - С. 80-85.

14. Расчет лучистого теплообмена в задачах обтекания тел с учетом потери массы теплозащитного покрытия / В.М. Борисов, М.М. Голо-мазов, А.А. Иванов, B.C. Финченко // Механика жидкости и газа. -2004.-№4.-С. 143-151.

15. Иванков А.А. О численном решении задачи прогрева многослойной теплозащиты спускаемого аппарата с учетом уноса массы внешних и внутренних слоев покрытия // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. - Т. 45, №7. - С. 1279-1288.

16. Формалёв В.Ф., Чипашвили А.А., Миканев С.В. Моделирование нового способа защиты стенок энергетических установок при высокоинтенсивном нагреве // Известия РАН. Энергетика. 2004. - №5. -С. 147-156.

17. Формалёв В.Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах. Обзор // Теплофизика высоких температур. 2001. - Т. 39, №5. -С.810-832.

18. Формалёв В.Ф., Колесник С.А., Миканев С.В. Моделирование теплового состояния композиционных материалов // Теплофизика высоких температур. 2003. - Т.41, №6. - С. 935-941.

19. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1997. - 368 с.

20. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. - 184 с.

21. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущейся границей // Известия РАН. Энергетика. 1999. - №5. - С. 3-34.

22. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами. Обзор // Инженерно-физический журнал. 2001. - Т. 74, №2. -С. 171-195.

23. Зарубин B.C. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки, подверженной местному нагреву // Известия вузов. Машиностроение. 1970.-№10.-С. 18-21.

24. Малов Ю.И., Мартинсон JI.K. Расчет стационарного температурного поля в теплообменнике с дискретной системой тепловых контактов // Известия вузов. Энергетика. 1981. - №12. - С. 100-103.

25. Потягайло Д.Б., Романчук Я.П. Решение задачи о нагреве двухслойной пластины локальным источником тепла // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т. 27, №8. - С. 1409-1417.

26. Аттетков А.В., Волков И.К. Аналитический метод решения задач теплопроводности для полупространства с покрытием в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. 2000. - №1. - С. 18-28.

27. Аттетков А.В., Волков И.К. Аналитический метод решения задачи нестационарной теплопроводности для тела с двухслойным цилиндрическим каналом // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение.-2001.-№1. С. 3-14.

28. Аттетков А.В., Беляков Н.С. Температурное поле неограниченного твердого тела с теплоактивным термически тонким стержневымэлементом // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. 2005.-№1.-С. 24-31.

29. Аттетков А.В., Беляков Н.С. Температурное поле неограниченного твердого тела, содержащего цилиндрический канал с термическим тонким покрытием его поверхности // Теплофизика высоких температур. 2005. - Т. 43, №6. - С. 1-5.

30. Козлов В.П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности. Минск: Наука и техника, 1986. - 391 с.

31. Козлов В.П., Липовцев В.Н. Закономерности развития двумерных нестационарных температурных полей на поверхности полуограниченного тела при его нагреве импульсным кольцевым источником тепла // Инженерно-физический журнал. 1986. - Т. 51, №2. -С. 287-294.

32. Козлов В.П. Локальный нагрев полуограниченного тела лазерным источником // Инженерно-физический журнал. 1988. - Т. 54, №3. -С. 484-493.

33. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием, подверженной локальному им-пульсно-периодическому нагреву // Инженерно-физический журнал.- 2001. Т. 74, №6. - С. 82-87.

34. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием при локальном импульсно-периодическом нагреве // Теплофизика высоких температур. 2005. -Т. 43, №3.-С. 466-473.

35. Лазерная и электронно-лучевая обработка материалов: Справочник / Н.Н. Рыкалин, А.А. Углов, И.В. Зуев, А.Н. Кокора. М.: Машиностроение, 1985.-496 с.

36. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Макаров Н.И. Нагрев двухслойной пластины при сварке световым потоком лазера // Доклады АН СССР.- 1966. Т. 169, №3. - С. 565-568.

37. Моделирование теплофизических процессов импульсного лазерного воздействия на металлы / А.А. Углов, И.Ю. Смуров, A.M. Лашин, А.Г. Гуськов. -М.: Наука, 1991.-288 с.

38. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Низаметдинов М.М. Расчет нагрева материалов лазерным излучением с учетом температурной зависимости теплофизических коэффициентов // Квантовая электроника. -1977. -Т. 4, №7. с. 1509-1516.

39. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К., Рогожин В.М. Математическое моделирование процессов теплопереноса при плазменном напылении // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. 1994. - №3. -С. 3-16.

40. Григорьянц А.Г., Сафонов А.Н. Основы лазерного термоупрочнения сплавов. М.: Высшая школа, 1988. - 159 с.

41. Григорьянц А.Г. Основы лазерной обработки материалов. М.: Машиностроение, 1989. - 304 с.

42. Лазерное и электроэрозионное упрочнение металлов / B.C. Коваленко, А.Д. Верхотуров, Л.Ф. Головко, И.А. Подчерняева. М.: Наука, 1986.-276 с.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. М.: Наука, 1989.-752 с.

44. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967. - 481 с.

45. Мержанов А.Г., Барзыкин В.В., Абрамов В.Г. Теория теплового взрыва: от Н.Н. Семёнова до наших дней // Химическая физика.- 1996. Т. 15, №6. - С. 3-44.

46. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1966. 724 с.

47. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 1996.- 367 с.

48. Малов Ю.И., Нужненко Т.А. Математическое моделирование процесса нестационарной теплопроводности в цилиндрическом тепловыделяющем элементе // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2003. - №2. - С. 20-27.

49. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Влияние теплофизических параметров оболочки на критический режим сферического тепловыделяющего

50. Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. 3-й Всероссийской конф. М., 2005. - С. 151-152.

51. Гусовский B.JL, Ладыгичев М.Г., Усачев А.Б. Современные нагревательные и термические печи (конструкции и технические характеристики): Справочник / Под ред. А.Б. Усачева. М.: Машиностроение, 2001. - 655 с.

52. Радугин А.В., Столин A.M., Власов В.А. О критических условиях тепловой неустойчивости при электронагреве керамики // Теплофизика высоких температур. 1990. - Т. 28, №4. - С. 722-727.

53. Численное исследование тепловой неустойчивости при нагреве керамических материалов / Л.С. Стельмах, Ж.А. Зиненко, А.В. Раду• гин, A.M. Столин // Инженерно-физический журнал. 1991. - Т. 61,3.-С. 452-457.

54. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.:-о.1. Наука, 1973.-408 с.

55. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587 с.

56. Юхно Л.Ф. О сходимости схемы Роте для некоторых нелинейных эволюционных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. - Т. 15, №5. - С. 1168-1182.

57. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего ана-ф лиза. М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

58. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.-752 с.

59. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965.-608 с.

60. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. - 544 с.

61. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. -456 с.

62. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.-Т.2.-639 с.

63. Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов: Справочник.- М.: Физматгиз, 1959. 356 с.

64. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973.- 832 с.

65. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Физматгиз, 1962. - 400 с.

66. Полежаев Ю.В., Фролов Г.А. Закономерности теплового разрушения при взаимодействии тела с высокотемпературным потоком газа // Инженерно-физический журнал. 1989. - Т. 57, №3. - С. 357-363.

67. Никитин П.В., Холодков Н.В. Тепловая защита летательных аппаратов и их систем. М.: Изд-во МАИ, 1990. - 73 с.

68. Никитин П.В. Тепловая защита спускаемых космических аппаратов.- М.: Изд-во МАИ, 1992. 72 с.

69. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Приближенные методы решения краевых задач. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1989. - 26 с.

70. Анисимов С.И., Лукьянчук Б.С. Избранные задачи теории лазерной абляции // Успехи физических наук. 2002. - Т. 172, №3. -С. 301-333.

71. Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов ядерной техники: Справочник. М.: Атомиздат, 1968. - 484 с.

72. Малов Ю.И., Чигирёва О.Ю. Моделирование и расчет процесса высокотемпературного прогрева оболочки с теплозащитным покрытием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2003. -№1.-С. 99-107.

73. Чигирёва О.Ю. Моделирование и расчет термического разрушения нагреваемой поверхности // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. 2-й Всероссийской конф. М., 2003. -С. 132-134.

74. Чигирёва О.Ю. Моделирование процесса нестационарной теплопроводности в оболочке при воздействии на нее высокотемпературным газовым потоком // Необратимые процессы в природе и технике: Труды 2-й Всероссийской конф. М., 2003. - С. 212-217.

75. Чигирёва О.Ю. Моделирование и расчет термического разрушения цилиндрической оболочки // Инженерно-физический журнал. -2004.-Т. 77,№3.-С. 174-177.

76. Чигирёва О.Ю. Расчет оптимальной толщины теплозащитного покрытия оболочки в условиях интенсивного поверхностного нагрева // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов. М.: Логос, 2005. - С. 580-585.

77. Чигирёва О.Ю. Математическое моделирование процесса разрушения теплозащитного покрытия цилиндрической оболочки // Известия вузов. Машиностроение. 2004. - №4. - С. 11-17.

78. Малов Ю.И., Чигирёва О.Ю. Расчет температурного поля двухслойной цилиндрической оболочки при обтекании ее поверхности интенсивным газовым потоком // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. 3-й Всероссийской конф. М., 2005. -С.152-154.

79. Чигирёва О.Ю. Разогрев двухслойной цилиндрической оболочки движущимся локальным интенсивным тепловым источником // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. 3-й Всероссийской конф. М., 2005. - С. 154-156.

80. Чигирёва О.Ю. Расчет оптимальной толщины слоя термоизоляции вмногослойном цилиндрическом пакете // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2005. - №1. — С. 94-101.

81. Чигирёва О.Ю. Расчет критической толщины теплозащитного покрытия цилиндрического электронагревательного элемента // Образование через науку: Тез. докл. Международного Симпозиума. М., 2005.-С. 561.