Математическое моделирование теплопроводности с использованием ортогональных методов взвешенных невязок и дополнительных граничных условий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Назаренко, Сергей Анатольевич

• Назаренко, Сергей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Назаренко, Сергей Анатольевич

Общая характеристика работы

1. Обзор работ в области разработки аналитических методов решения краевых задач.

2. Метод дополнительных граничных условий в нестационарных задачах теплопроводности.

2.1. Неограниченная пластина (алгебраические координатные функции).

2.2. Тригонометрические координатные функции.

2.3. Неограниченная пластина (граничные условия третьего рода).

2.4. Бесконечный цилиндр (граничные условия первого рода).

2.5. Бесконечный цилиндр (граничные условия третьего рода).

2.6. Шар (граничные условия первого рода).

2.7. Шар (граничные условия третьего рода).

2.8. Задачи теплопроводности при несимметричных граничных условиях третьего рода.

2.9. Нестационарные обратные задачи теплопроводности.

2.10. Метод дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности для многослойных конструкций.

3. Совместное использование точных методов и ортогональных методов взвешенных невязок

3.1. Совместное использование интегрального преобразования Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина.

3.2. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности.

3.3. Задачи теплопроводности с источниками теплоты (граничные условия 1-го рода).

3.4. Нелинейные задачи теплопроводности для многослойных конструкций.

3.5. Совместное использование интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина в задачах теплопроводности для многослойных конструкций.

3.6. Разработка комплексов программ применительно к решению нелинейных задач теплопроводности, задач теплопроводности для многослойных конструкций численными методами.

4. Аналитические решения задач нестационарного теплообмена при течении жидкостей в трубах и плоских каналах

4.1. Использование метода дополнительных граничных условий для расчета теплообмена в плоском канале при постоянной температуре стенки.

4.2. Стержневое и ламинарное течение в плоскопараллельном канале.

4.3. Расчет теплообмена с учетом теплоты трения.

4.4. Температура стенки - линейная функция координаты, направленной вдоль течения потока.

4.5. Расчет теплообмена при течении жидкости в многослойных плоских теплообменниках.

4.6. Приближенное решение нестационарной задачи теплообмена для турбулентного потока жидкости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование теплопроводности с использованием ортогональных методов взвешенных невязок и дополнительных граничных условий»

Актуальность проблемы.

Сущность методологии математического моделирования состоит в замене изучаемого явления его «образом» - математической моделью и в дальнейшем изучении ее аналитическими и численными методами. Оно сочетает в себе достоинства как теории, так и эксперимента. Изучение не самого явления, а его математической модели, дает возможность исследовать не только линейные, но и нелинейные явления, которые, как правило, не допускают какой-либо общей аналитической схемы и требуют каждый раз индивидуального подхода.

Одним из перспективных направлений математического моделирования задач теплопереноса является совместное использование точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных аналитических (вариационных, взвешенных невязок и др.) методов. Такой комплексный подход позволяет наилучшим образом использовать положительные стороны этих двух важнейших аппаратов прикладной математики, т.к. появляется возможность без проведения тонких и громоздких математических расчетов получать выражения, эквивалентные главной части точного решения, состоящего из бесконечного функционального ряда.

Особое место среди приближенных аналитических методов занимают методы взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галеркина). Отличительной особенностью этих методов является их универсальность и простота реализации при достаточно высокой точности, возможность применения для решения задач, не связанных с вариационными принципами. Эти методы в конечном итоге приводят к решению систем алгебраических линейных уравнений и в дальнейшем к нахождению собственных чисел из алгебраического полинома. Такая алгебраизация задачи позволяет наиболее трудоемкую часть получения решения переложить на современные средства вычислительной техники. При всем этом окончательное решение является аналитическим в виде ряда с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени. i .

Отличие этих методов от классических в том, что собственные числа в ортогональных методах взвешенных невязок находятся из выполнения основного дифференциального уравнения путем решения алгебраического полинома соответствующей степени (в зависимости от числа приближений). Граничные условия при этом выполняются точно путем решения системы алгебраических линейных уравнений. Таким образом, в методах взвешенных невязок точность получаемого решения зависит лишь от точности выполнения исходного дифференциального уравнения и эта точность будет зависеть от числа приближений. В классических методах заранее точно удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение, а собственные числа находятся из граничных условий путем решения трансцендентных уравнений. Следовательно, точность решения здесь зависит от точности выполнения граничных условий, которая в свою очередь зависит от числа приближений. Отметим, что для одних и тех же задач (например, при несимметричных и неоднородных граничных условиях третьего рода) решение трансцендентного уравнения представляется значительно более сложной проблемой, чем решение соответствующей степени (по числу приближений) алгебраического полинома. Весьма важным является тот факт, что при использовании методов взвешенных невязок основное дифференциальное уравнение (Бесселя, Штурма-Лиувилля и др.) удовлетворяется путем составления его невязки и требования ортогональности невязки ко всем координатным (или собственным) функциям. В связи с чем эти методы могут быть применены к любым дифференциальным уравнениям независимо от вида дифференциального оператора краевой задачи.

Несмотря на очевидные преимущества методов взвешенных невязок, они пока еще недостаточно разработаны применительно к решению задач теплопроводности с переменными по координатам физическими свойствами среды, с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты, нелинейных задач теплопроводности, а также задач теплопроводности для многослойных конструкций.

Цель работы

Разработка аналитического метода решения краевых задач нестационарной теплопроводности на основе введения дополнительных граничных условий, получаемых из дифференциального уравнения краевой задачи путем его дифференцирования применительно к граничным точкам области

Методы исследования

В диссертации использованы следующие методы: разделение переменных (метод Фурье), ортогональный метод Бубнова-Галеркина, метод JI.B. Канторовича, метод интегральных преобразований Лапласа.

Научная новизна

1. Разработан новый подход к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма-Лиувилля и др., основанный на интегрировании их невязки и требовании ортогональности невязки ко всем собственным функциям с последующим получением алгебраического полинома для нахождения собственных значений.

2. Показана необходимость введения дополнительных - граничных условий, связанная с появлением нового неизвестного параметра ц (собственные числа) в результате разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении, и разработан метод их получения, основанный на дифференцировании исходного уравнения и применении получаемых соотношений к граничным точкам краевой задачи.

3. Разработан аналитический метод решения обратных задач теплопроводности по идентификации физических свойств среды, граничных и начальных условий теплообмена, основанный на использовании аналитических решений, полученных на основе совместного использовании методов Фурье и ортогонального метода Бубнова-Галеркина.

4. Разработан комплекс программ применительно к решению линейных и нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций численными методами.

Положения выносимые на защиту:

1. Результаты разработки нового подхода к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма-Лиувилля и др., основанного на использовании ортогональных методов взвешенных невязок (метод Бубнова-Галеркина) и дополнительных граничных условий.1 i

2. Результаты разработки метода получения дополнительных граничных условий, определяемых из исходного уравнения краевой задачи путем его дифференцирования применительно к граничным точкам рассматриваемой области.

3. Результаты разработки аналитического метода решения обратных задач теплопроводности, позволяющего идентифицировать физические свойства среды, граничные и начальные условия теплообмена на основе имеющегося аналитического (приближенного аналитического) решения краевой задачи.

4. Результаты разработки комплекса программ применительно к решению линейных и нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций с использованием численных методов.

5. Результаты расчетов коэффициентов теплоотдачи в набивках вращающихся регенеративных воздухоподогревателей путем решения - обратной задачи теплопроводности на основе полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.

Достоверность

Достоверность результатов подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, протекающим в конкретных теплотехнических установках, а также сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, с результатами расчетов численными методами и с данными натурных экспериментов.

Практическая ценность работы

1. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре « Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета. Исследования проводились по планам госбюджетной тематики Минвуза РФ № 551/02 «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности», а также по планам ниокровских работ ОАО «Самараэнерго» за 2002 - 2005 г.г. Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Безымянской ТЭЦ, Тольяттинской ТЭЦ, Самарской ГРЭС, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, ТЭЦ ВАЗа, в 7

Самарских тепловых сетях, Ульяновских тепловых сетях, Тольяттинских тепловых сетях, Саратовских тепловых сетях, тепловых сетях от Балаковской ТЭЦ-4. Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации, составляет 16080 ООО рублей.

2. С использованием разработанных в диссертации методов путем решения обратной задачи теплопроводности найдены коэффициенты теплоотдачи в набивках регенеративных воздухоподогревателей Новокуйбышевской ТЭЦ-2 (акт о внедрении работы приведен в приложениях диссертации).

3. Результаты работы были использованы при разработке компьютерных моделей теплосети Самарской ТЭЦ, цирксистемы Новокуйбышевской ТЭЦ-2, теплосетей от Привокзальной отопительной котельной г. Самары (акты о внедрении приведены в приложениях диссертации).

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на Четвертой Международной конференции «Обратные задачи: идентификация проектирование и управление». Москва, МАИ. 2003; Пятом Минском Международном форуме по тепло- и массообмену. Минск. АНБ. 2004; Всероссийской науч.-тех. конференции «Математические моделирование и краевые задачи». 2004г.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 20 научных работ, в том числе 6 статей в центральных академических изданиях, 5 статей в Вестнике Самарского государственного технического университета, а также напечатана одна монография и одно учебное пособие в соавторстве.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка используемой литературы, приложений: изложена на 129 страницах основного машинописного текста, содержит 41 рисунок, 10 таблиц. Список использованной литературы включает 93 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Назаренко, Сергей Анатольевич

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан новый подход к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма - Лиувилля и др., основанный на использовании ортогонального метода Бубнова - Галеркина и дополнительных граничных условий. Собственные числа находятся путем составления невязки исходного дифференциального уравнения и требования ортогональности невязки ко всем собственным функциям с последующим решением получающегося при этом алгебраического полинома. Отмечается высокая точность определения собственных чисел. Так, уже в пятом -шестом приближении получающиеся аналитические решения в диапазоне чисел 0,005 <fo< оо практически совпадают с точными.

2. Показана необходимость и разработан метод получения дополнительных граничных условий применительно к решению задач теплопроводности путем совместного использования метода разделения переменных (Фурье) и ортогонального метода Бубнова - Галеркина. Необходимость в таких условиях связана с появлением нового неизвестного параметра // (собственные числа) после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении.

Дополнительные граничные условия находятся из основного дифференциального уравнения путем его многократного дифференцирования по эллиптической независимой переменной и применения получающихся выражений в граничных точках краевой задачи. 1 • •' ^ 1

3. На основе полученных в диссертации аналитических (приближенных аналитических) решений разработан аналитический метод решения обратных задач теплопроводности по идентификации физических свойств среды, граничных и начальных условий теплообмена. Сформулированы необходимые условия и исходные предпосылки для восстановления начальных условий краевой задачи. И, в частности, показано, что они могут быть восстановлены по информации о температурном состоянии конструкции лишь на начальном участке временной координаты (в стадии нерегулярного теплового режима).

4. Получены аналитические и приближенные аналитические решения линейных и нелинейных задач теплопроводности для однослойных и многослойных тел, задач

124 теплообмена при ламинарном и турбулентном течении жидкости в однослойных и многослойных плоских и круглых каналах при совместном использовании точных (Фурье, интегральных преобразований) методов и ортогональных методов взвешенных невязок. Полученные решения позволяют получать достаточную для инженерных приложений точность, имеют простой вид рядов с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени. Такие решения максимально приспособлены для решения обратных задач теплопроводности, задач термоупругости, задач автоматизированного проектирования и управления.

5. С использованием полученных в диссертации аналитических решений задач теплопроводности с переменными во времени граничными условиями путем решения обратных задач теплопроводности найдены коэффициенты теплоотдачи в новых конструкциях чугунных набивок вращающихся регенеративных подогревателей тепловых электрических станций. Показано, что на величину коэффициентов теплоотдачи существенное влияние оказывает форма профиля ребра решетчатой набивки. И, в частности, (наибольших значений они достигают там, где имеет место наименьшая толщина гидродинамического пограничного слоя, выполняющего роль термического сопротивления.

6. Полученные в диссертации аналитические решения задач теплообмена при ламинарном и турбулентном течении жидкости в трубах были использованы при разработке компьютерных моделей теплосетей, позволяющих определять температуру и давление в любой точке сложной разветвленной трубопроводной системы. Акты о внедрении полученных результатов приводятся в приложениях диссертации

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Габдушев Р.Ж., Назаренко С.А. Определение собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувиля. Вестник СамГТУ. Вып. 16. Сер. "Физ-мат. науки". Самара 2002. С. 46-48.

2. Кудинов В.А., Дикоп В.В.,.НазаренкоС.А., Габдушев Р.Ж. Определение собственных чисел в задаче теплопроводности для бесконечного цилиндра. Вестник СамГТУ. Вып. 16. Сер. "Физ-мат. науки". Самара 2002. С. 49-52.

3. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Назаренко С.А., Стефанюк Е.В. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности для многослойных конструкций. Вестник СамГТУ. Вып. 20. Сер. "Физ-мат. науки". Самара 2003. С. 12-15.

4. Кудинов В.А., Дикоп В. В., Стефанюк Е.В., Назаренко С. А. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций. Инженерно-физический журнал. Т. 78. № 3. 2005. С. 21-27

5. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения. Инженерно-физическийжурнал. Т. 80. №3.2007. С. 27-35.

6. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Применение метода координатных функций для решения обратных задач теплопроводности. Вестник СамГТУ. Вып. 20. Сер."Тех. науки". Самара 2004. С. 161-168.

7. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Анализ нелинейного теплопереноса на основе определения фронта температурного возмущения. Теплофизика высоких температур. №4. 2005. С. 1-9.

8. Кудинов В.А., Диков В.В., Габдушев Р.Ж., Назаренко С.А. Аналитические решения краевых задач нестационарной теплопроводности. Изв. АН Энергетика. №6. 2003.С. 128 -134.

9. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Метод координатных функций в несимметричных задачах теплопроводности. Межвуз. сб. научн. тр. "Дифф. уравнения и их приложения".№ 2. Самара.' СамГТУ.2003. С.136-141.

10. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Назаренко С.А. Калашников В.В. Нагрев однослойной плоской стенки импульсными внешними и внутренними источниками теплоты. Межвузовский сборник научных трудов «Дифф. уравнения и их приложения» №2. Самара. СамГТУ.2003. С. 80-88.

11. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Метод координатных функций для решения обратных задач теплопроводности. Доклад на Четвертой Международной конференции "Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление". Москва. МАИ. 2003.

12. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности. Труды Пятого Минского Междунар. форума по тепло- и массообмену. Т. 1. Минск. 2004. С. 246248.

13. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для цилиндрической и сферической симметрии на основе интеграла теплового баланса. Тр. Всеросс. научн. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи" Ч. 3. Самара. 2004. С. 9-12.

14. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Тепловое и напряженно-деформированное состояние трехслойной панели с решетчатым заполнителем при воздействии солнечного излучения. Тр.!Всеросс. научн. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи" Ч. 2. Самара. 2004. С. 15-18.

15. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Назаренко С.А., Стефанюк Е.В. Метод дополнительных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интеграла теплового баланса. Изв. АН Энергетика. №4. 2005.С. 119 -127.

16. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические методы теплопроводности. Самара. Самар. гос. техн. ун-т. 2004. 209 с.

17. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Теплопроводность и теромупругость в многослойных конструкциях. Самара: Самар. гос. техн. ун-т. 2006. 304 с.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Назаренко, Сергей Анатольевич, 2008 год

1. Аверин Б.В. Математическое моделирование температурных полей и термических напряжений в многослойных радиопрозрачных укрытиях мощных передающих антенн: Автореф. канд. дисс. М.: Московская академия тонкой химической технологии, 1999. 22 с.

2. Аверин Б.В., Колотилкин Д.И., Кудинов В.А. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. ИФЖ, т.73, № 4, 2000. с.748-753.

3. Айзеп A.M., Редчиц КС. Расчет стационарной нелинейной теплопроводности через многослойные стенки с источниками тепла. Теплофизика и теплотехника. Ин-т Техн. теплофизики АН УССР, 1974, Вып. 27. С. 133-138.

4. Акаев А.В., Дулънев Г.Н. К вопросу о повышении точности первых приближений метода Л.В. Канторовича в применении к краевым задачам стационарной теплопроводности // Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт, 1972, № 1. С. 154 158.

5. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 297 с.

6. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Маi 'шиностроение, 1979. 216 с.

7. Арамонович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1964. 286 с.

8. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш. школа, 1978.328 с.

9. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия. 1975.

10. Волков А.Г. Радиопрозрачные укрытия для мощных передающих фазированных антенных решеток. Автореф. канд. дисс. М.: НИРФ, 1984. 18 с.

11. Булавин П.Е., Кащеев В.М. Решение неоднородного уравнения теплопроводности для многослойных тел. ИФЖ, т.12, № 9. 1964.

12. Вейник А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. М. Л.: Госэнергоиз-дат, 1959. 184 с.

13. Вигак В.М. О построении решения уравнения теплопроводности для кусочно-однородного тела. Докл. АН УССР, Сер. А, 1980, №1. С. 30.

14. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

15. Галонен JI.M. Нестационарная задача теплопроводности неоднородных слоистых плит. ИФЖ. 1963, т. 6, №12. с. 81-84.

16. Григорьев Л.Я., Маньковский О.Н. Инженерные задачи нестационарного теплообмена. JL: Энергия, 1968. 83 с.

17. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.

18. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена// Проблемы теплообмена, Сб. науч. тр. М.: Атомиздат. 1967, С. 41-96.

19. Гейтвуд Б. В. Температурные напряжения применительно к самолетам, турбинам и ядерным реакторам ИЛ. М.: 1959.

20. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 266 с.

21. Заричняк Ю.П., Муратова Б.Л. Расчет теплового сопротивления составных конструкций из теплоизоляционных материалов // Механика композиционных материалов. 1979, №6.

22. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиз-дат, 1983. 328 с.

23. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 184 с.

24. Иванов А.В. Операционное решение задач теплопроводности для слоисто-однородных тел. ИФЖ,. 1958, т. 1, №2. С. 13-21.

25. Каган В.К, Эсмендяев С.А. Решение уравнения теплопроводности для двухслойного цлиндра и тепловой расчет двигателей постоянного тока. ИФЖ, т. 27, №1. 1974.

26. Канторович Л.В. Использование идеи метода Галеркина в методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Прикл. мат. и механ. 1942, т. 6, № 1. С. 31 — 40.

27. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

28. Карслоу Г, ЕгерД. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.

29. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высш. школа, 1985. 480 с.

30. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высш. школа, 2001. 550 с.

31. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир. 1978.

32. Коган М.Г. Применение методов Галеркина и Канторовича в теории теплопроводности // Исследование нестационарного тепло- и массообмена: Сб. тр. Минск, 1966. С. 42 — 51.

33. Коган М.Г. Решение нелинейных задач теории теплопроводности методом Канторовича // ИФЖ. 1967, т. 12, № 1. С. 72-81.

34. Коган М.Г. Нестационарная теплопроводность в слоистых средах. ЖТФ, 1957, т. 27, № 3. С. 522-531.

35. Коляно Ю.М. Применение обобщенных функций в термомеханике кусочно-однородных тел. В кн. Математические методы и физико-механиеские поля. Киев: Наукова думка. 1978. Вып. 7. С. 7-11.

36. Коляно Ю.М., Процюк Б.В. Термоупругость полого слоистого цилиндра. Физика и химия обработки материалов. 1977, №3. С. 12-17.

37. Коляно Ю.М., Процюк Б.В. Термоупругость многослойного цилиндра. Докл. АН УССР. Сер. А. 1976, №8. С. 718-721.

38. Коляно Ю.М., Попович B.C. Нестационарное температурное поле в состыкованных пластинах. Физика и химия обработки материалов. 1975, №5. С. 16-23.

39. Коляно Ю.М., Попович B.C. Термоупругость многослойных тел. Докл. АН УССР. Сер.А. 1975, №12. С.1112.

40. Коляно Ю.М. Температурные поля и напряжения в телах с разрывными параметрами (обзор). ИФЖ. 1987, т. 53, №5. С. 860-867.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 831 с.

42. Композиционные материалы. Справочник. Под ред. Васильева В.В. и Тернополъского Ю.М. М.: Машиностроение, 1990.

43. Кудинов В.А. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности. Изв. АН Энергетика (обзор). 2004, №3. С. 82 104.

44. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические методы теплопроводности. Самара. Самар. гос. техн. ун-т. 2004. 209 с.

45. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Теплопропроводность и термоупругость в многослойных конструкциях. Учеб. пос. для вузов. Самара: Самар. гос. техн. ун т. 2006.

46. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломас-сопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. Учеб. пос. для втузов. М.: Высшая школа, 2005. 340 с.

47. Кудряшев Л.И., Меньших H.JI. Приближённые решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Машиностроение, 1979. 232 с.

48. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. Киев: Наукова думка, 1974. 190 с.

49. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 600 с.

50. Лыков А.В. Тепломассоперенос: Справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.i um i i 1

51. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963.535 с.

52. Махоркин И.Н. Термоупругость кусочно-однородных сферических тел. // В кн. Математические методы в термомеханике. Киев: Наукова думка, 1978. С. 163-173.

53. Махоркин И.Н Температурные напряжения в многослойном сферическом теле. Физико-химическая механика материалов. 1977, №5. С. 124.

54. Меерович И.Г. Температурное поле в многослойных системах с переменными физическими свойствами. ИФЖ, 1967, т. 12, № 4. с. 484 490.

55. Меерович И.Г., Мучник Г.Ф. Нестационарное температурное поле в многослойных системах. ТВТ, 1963, №2. С. 291-298.

56. Мучник Г.Ф., Зайдеман И.А. Нестационарная теплопроводность в многослойных средах. 1. Общие решения для плоских систем. ИФЖ, 1962. № 12. С. 71 76.

57. Мучник Г.Ф., Зайдеман И.А. Нестационарная теплопроводность в многослойных средах. III. Трехслойные и четырехслойные системы. ИФЖ, 1963, т.6, №3. С. 86-94.

58. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике // Сб. «Расчет пространственных конструкций». Вып. 7. Гостройиздат. 1962.

59. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. 659 с.

60. Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функция и ее производных. Докл. АН СССР, 1970, т. 191, №5. С. 997-1000.

61. Павловский Г.И. Теплопроводность в двухслойной пластине при граничных условиях третьего рода. ИФЖ, 1962, т. 5, №4. С. 86-88.

62. Паркус Т. Неустановившиеся температурные напряжения. М.: Физматгиз, 1963. 252 с.

63. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. JL: Энергия, 1976.

64. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 412 с.

65. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.

66. Постнов В.А., Хархурин И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. М.: Судостроение, 1974. 342 с.

67. Постольник Ю.С. Метод осреднения функциональных поправок в задачах теплопроводности // Тепло- и массоперенос: Сб. тр. Минск, 1972, т. 8. С. 23 29.

68. Пристрем A.M., Данилович Н.И., Лабунов В.А. Аналитический подход к расчету распределения температуры в многослойных структурах при нагреве сканирующим лазерным излучением непрерывного действия. ИФЖ, 1987, т. 53, № 6. С. 1000-1010.

69. Процюк Б.В. О решении задач теплопроводности и термоупругости для многослойных тел. Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, №11. С. 1019-1021.

70. Редчиц И.С. Нелинейная нестационарная теплопроводность через многослойную плоскую стенку с неидеальными тепловыми контактами. Респ. межвед. сб. «Теплофизика и теплотехника». Вып. 29, Киев. Изд-во АН УССР, 1975. С. 139-148.

71. Самарский А.А. Уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами. Докл. АН СССР. 1958, т. 121, №2. С. 225-228.

72. Тихонов А.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Физматгиз. 1951.

73. Теория тепломассообмена. Учебник для вузов. Под ред. А.И. Леонтьева. М.: Высшая школа, 1979. 495 с.

74. Тамуров Н.Г. Расчет нестационарных температурных полей в двухслойной пластине. ИФЖ, 1962, т.5,№ 12. С. 108-112. 1

75. Тимошенко С.П., ГудьерДж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 569 с.

76. Тимофеев Ю.А. Об одном приближенном методе расчета температурных полей кусочно-однородных тел. Дифференциальные уравнения. 1980, т.16, № 8. С. 1492-1503.

77. Фейджу, Дэвис, Рамкришна. Распределение тепла в композитных твердых телах с внутренним тепловыделением. Теплопередача, т. 101, №1, 1979. С. 161-167.

78. Фенъ Г.А., Шевляков Ю.А. Температурные напряжения в двухслойной свободно опертой по контуру пластинке. Прикл. Механика. 1968, т. 4, №1. С. 94-102.

79. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. 400 с.

80. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

81. Христиченко А.И. Об одном способе решения задач теплопроводности двух- и трехслойных систем. Теплофизика высоких температур. 1965, т.З, №2. С. 272-275.

82. Хуан, Чжан. Нестационарный, периодический и стационарный режимы теплопроводности в слоистых композитах. Теплопередача, т. 102, №4. 1980.

83. Цой П.В. Методы решения отдельных задач тепломассопереноса. М.: Энергия, 1971. 382с.

84. Шорин С.Н. Теплопередача. М.: Высшая школа, 1964. 490с.

85. Швец М.Е. О приближенном решении некоторых задач гидродинамики пограничного слоя. Прикладная математики и механика. Т. 13. №3, 1949.

86. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Изд-во иностр. лит., 1956.

87. JangК.Т. Appl. Mech., 25, 146 (1958).

88. Pohlhausen К.Z. Angew. Math. Mech., 11252 (1921)

89. Landahl H.D. Bull. Math. Biophys., 15, 49 (1953)

90. Landahl H.D. Bull. Math. Biophys., 15, 376 (1953)

91. Landahl H.D. Bull. Math. Biophys., 19, 171 (1957)

92. MaceyR.1. Bull. Math. Biophys., 21,19 (1959)

93. Rashevsky N. «Mathematical Biophysics». Third Ed., Vol. 1, Chapter 1 Dover, New York,1960.