Математическое моделирование процессов теплопроводности и термоупругости с переменными свойствами среды численно-аналитическими методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Котова, Евгения Валериевна

• Котова, Евгения Валериевна
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Котова, Евгения Валериевна

Общая характеристика работы.

1. Обзор работ в области разработки аналитических методов решения краевых задач с переменными физическими свойствами среды.

2. Задачи теплопроводности для однослойных и многослойных тел с переменными физическими свойствами среды.

2.1. Бесконечная пластина (коэффициент теплопроводности - линейная функция координаты).

2.2. Бесконечная пластина (коэффициент теплопроводности экспоненциальная функция координаты).

2.3. Интегральный метод теплового баланса в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды.

2.4. Использование ортогонального метода Л.В. Канторовича в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды.

2.5. Теплообмен в пластине с внутренними источниками теплоты при граничных условиях второго рода.

2.6. Многослойная пластина с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

2.7. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций.

2.8. Нестационарные обратные задачи теплопроводности.

2.9. Аналитический метод диагностики толщины отложений на внутренних поверхностях трубопроводов.

2.10. Аналитический метод определения коэффициентов теплоотдачи путем решения обратных задач теплопроводности.

3. Нелинейные задачи теплопроводности для однослойных и многослойных тел.

3.1. Бесконечная пластина (коэффициент температуропроводности -линейная функция температуры).

3.2. Коэффициент температуропроводности - экспоненциальная функция температуры.

3.3. Нелинейные задачи теплопроводности с внутренними источниками теплоты.

3.4. Стационарная нелинейная теплопроводность в многослойной пластине.

3.5. Расчет температурного состояния конструкций при воздействии лазерного излучения.

4. Аналитические решения задач термоупругости для однослойных и многослойных конструкций.

4.1. Приближенные аналитические решения задач термоупругости для диска и цилиндра с переменными свойствами.

4.2. Точные аналитические решения задач термоупругости для многослойных конструкций с постоянными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

4.3. Приближенные аналитические решения задач термоупругости с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами.

5. Комплекс программ для решения нестационарных задач теплопроводности.

5.1. Реализация метода решения задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения в среде МаШсас! на примере решения нелинейных краевых задач.

5.2. Блок - схема решения задач теплопроводности основе определения фронта температурного возмущения на примере решения нелинейных краевых задач.

5.3. Реализация конечно-разностных методов с использованием метода прогонки для решения нелинейных нестационарных задач теплопроводности.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов теплопроводности и термоупругости с переменными свойствами среды численно-аналитическими методами»

Актуальность работы. Возможности математического моделирования в области тепломассопереноса и термоупругости в настоящее время ограничиваются практическим отсутствием точных аналитических методов решения нелинейных краевых задач, а также задач с переменными физическими свойствами среды, включая многослойные конструкции.

Одним из перспективных направлений математического моделирования краевых задач теплопереноса и термоупругости является совместное использование точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (вариационных, ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова - Галеркина и др.) аналитических методов. Например, данное направление исследований позволило впервые получить замкнутые аналитические решения краевых задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

В аналитической теории теплопроводности известны методы, в которых используется понятие глубины термического слоя (фронта температурного возмущения), представляющие собой одну из разновидностей совместного использования точных и приближенных аналитических методов. При их использовании решение краевой задачи представляется в виде решений двух взаимосвязанных задач, каждая из которых характеризует процесс теплообмена лишь в определенном диапазоне времени. Такой подход позволяет с помощью достаточно простых математических выражений, представляющих численно - аналитические решения каждой из этих задач, получать достоверную информацию о температурном состоянии конструкции практически во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая малые и сверхмалые его значения. При введении используемых в настоящей работе дополнительных граничных условий, с целью как можно более точного выполнения основного дифференциального уравнения, возникает необходимость решения цепочных систем алгебраических линейных уравнений. В связи с чем, получаемые таким путем решения классифицируются как численно - аналитические.

Настоящая работа посвящена развитию этих методов применительно к решению нелинейных краевых задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды и других задач.

Цель диссертационной работы состоит в математическом моделировании процессов теплопроводности и термоупругости для однослойных и многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды на основе разработанных в диссертации эффективных численно - аналитических методов решения краевых задач с использованием интегральных методов теплового баланса, ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова - Галеркина, теории обобщенных функций, метода разделения переменных и других методов.

Для достижения указанной цели решались следующие задачи.

1. Разработка и развитие метода получения приближенных численно-аналитических решений краевых задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды путем представления их в виде однослойных с разрывными (кусочно - неоднородными) свойствами.

2. Развитие численно - аналитических методов, основанных на определении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий применительно к решению задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды и внутренними источниками теплоты.

3. Получение численно - аналитических решений нелинейных задач теплопроводности на основе использования интегрального метода теплового баланса.

4. Построение систем базисных координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, применительно к решению задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами.

5. Теоретическая разработка метода идентификации коэффициентов теплоотдачи и толщины отложений на внутренних поверхностях труб путем решения обратных задач теплопроводности на основе использования полученных в диссертации аналитических и численно - аналитических решений прямых задач.

Научная новизна диссертационной работы.

1. На основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий разработан метод получения численно-аналитических решений задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды, позволяющий, в отличие от существующих методов, получать решения с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, в том числе, и для сверхмалых значений временной переменной.

2. Используя предложенный в диссертации численно-аналитический метод решения задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды, впервые получены решения нелинейных задач теплопроводности при различных зависимостях теплофизических свойств от температуры, позволяющие определять значения температур с заданной степенью точности.

3. Применительно к решению задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды разработан метод построения систем базисных координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, позволяющих моделировать многослойную конструкцию в виде однослойной с кусочно-неоднородными свойствами среды.

4. На основе интегрального метода теплового баланса с использованием математической теории обобщенных функций разработан метод решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций, позволяющий, в отличие от известных методов, получать численно-аналитические решения для сверхмалых значений времени.

5. Посредством введения дополнительных граничных условий в интегральном методе теплового баланса впервые получены численно-аналитические решения задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды и внутренними источниками теплоты, позволяющие получать приближенные аналитические решения во всем диапазоне времени нестационарного процесса.

На защиту выносятся следующие результаты диссертации.

1. Численно-аналитические решения нелинейных задач теплопроводности, а также задач с переменными физическими свойствами среды, полученные на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий; оценки сходимости и погрешности решений.

2. Системы координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, применительно к решению задач теплопроводности и термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

3. Метод решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций, основанный на использовании теории обобщенных функций и дополнительных граничных условий.

4. Математические модели процессов теплопроводности и термоупругости для однослойных и многослойных тел в виде новых численно-аналитических решений применительно к задачам, для которых аналитические решения в настоящее время не получены.

5. Комплекс программ позволяющий производить расчет нестационарного одномерного температурного поля с учетом зависимости теплофизических свойств среды от температуры.

6. Результаты разработки метода решения обратных задач теплопроводности по идентификации коэффициентов теплоотдачи и толщины отложений на внутренних поверхностях труб на основе использования полученных в диссертации численно-аналитических решений прямых задач.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных автором диссертации решений подтверждается соответствием математических моделей реальным физическим процессам, протекающим в конкретных энергетических установках, сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, в частных случаях, с приближенными аналитическими решениями, полученными другими авторами, а также с решениями, найденными численными методами.

Практическая значимость работы.

1. Разработанные в диссертации методы, полученные аналитические и численные решения были использованы при создании компьютерных моделей для теплосетей Самарской ТЭЦ, Безымянской ТЭЦ г. Самары, теплосети и циркуляционной системы Новокуйбышевской ТЭЦ - 1 (акты о внедрении результатов работы приведены в приложениях диссертации).

2. Применяя полученные в диссертации аналитические решения для многослойных конструкций, путем решения обратных задач теплопроводности выполнены расчеты по определению начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей, а также толщины отложений на внутренних поверхностях трубопроводов.

3. Используя полученное в диссертации аналитическое решение задачи теплопроводности с импульсным (гармоническим) изменением теплового потока, проведены исследования процессов прогрева и воспламенения взрывчатых веществ при воздействии на них коротких импульсов потока лазерного излучения.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик Минвуза РФ №1.21.11 (01.01.2009 -31.12.2012 гг.).

Экономический эффект от внедрения результатов работы, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации, составляет 4940000 рублей.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на XIV Международной научно - практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, 2009); 14-ой Международной науч.- тех. конференции студентов и аспирантов ( г. Москва, 2008); Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2009); Шестой, Седьмой, Восьмой и Девятой Всероссийских научных конференциях с международными участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 - 2013 гг.); 17-ой Международной науч.- тех. конференции студентов и аспирантов (г. Москва, 2011); Третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара 2012), Одиннадцатой Международной научно - практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании» (КТ - 2012), на научном семинаре «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (рук. проф. Радченко В .П., 2013 г.)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 29 печатных работах, из них 8 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК, напечатано 1 учебное пособие.

Личный вклад автора. В работах [62 - 65, 67,73,77] диссертанту принадлежит участие в постановках проблем исследований, непосредственное выполнение расчетной работы. В работах [66,68 - 72,74 -76, 78 - 90] диссертанту в равной степени с другими авторами принадлежат постановки задач, получение решений и анализ результатов работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка используемой литературы, приложений; изложена на 147 страницах основного машинописного текста и 30 страницах приложений, содержит 39 рисунков. Список использованной литературы включает 90 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Котова, Евгения Валериевна

выводы

1. На основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий получено численно-аналитическое решение задачи теплопроводности с переменными физическими свойствами среды, позволяющее выполнять оценку температурного состояния конструкции практически с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, в том числе и для сверхмалых его значений.

2. Применительно к задаче теплопроводности с переменными физическими свойствами среды наиболее простое численно-аналитическое решение получено путем совместного использования метода Фурье и ортогонального метода Бубнова - Галеркина, а также дополнительных граничных условий. Этот метод наиболее эффективен во второй стадии процесса теплообмена, и, в частности, в диапазоне числа Фурье 1 - < 00 получаемые численно-аналитические решения практически совпадают с точными.

3. Разработаны теоретические основы метода получения численно-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций (в том числе и с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды). Получение таких решений оказалось возможным благодаря использованию глобальной системы неизвестных функций времени (одинаковой для каждого контактирующего тела), что позволяет представлять многослойную конструкцию в виде однослойной с переменными (кусочно-неоднородными) свойствами среды.

4. Для решения задач теплопроводности для многослойных конструкций разработан рекуррентный метод построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. Отличительной особенностью метода является возможность последовательного построения координатных функций для каждого слоя, начиная с последнего, при использовании метода неопределенных коэффициентов.

5. Относительно получения решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций для малых и сверхмалых значений временной переменной разработан численно-аналитический метод, основанный на определении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, а также при использовании теории обобщенных функций (асимметричная единичная функция). Использование асимметричной единичной функции позволяет представлять многослойную конструкцию в виде однослойной с переменными (кусочно-однородными) свойствами среды.

6. На основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий впервые получено численно-аналитическое решение нелинейной нестационарной задачи теплопроводности при линейной и экспоненциальной зависимостях коэффициента температуропроводности от температуры в области малых и сверхмалых значений времени. Факт получения решения в 20-ом приближении свидетельствует о возможности достижения заданной степени точности. Аналогичные решения были получены и для нелинейных задач с внутренними источниками теплоты.

7. Разработаны новые модифицированные модели краевых задач термоупругости, для многослойной конструкции с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, основанные на представлении многослойных конструкций в виде однослойной с переменными (кусочно -неоднородными) свойствами среды.

8. Применительно к задаче термоупругости с постоянными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды разработана методика получения точных численно-аналитических решений, основанная на сведении исходной системы уравнений термоупругости, включающей уравнения равновесия, совместности деформаций, физические уравнения и др., к одному уравнению относительно искомой функции перемещения.

9. Используя полученные в диссертации численно-аналитические решения прямых задач, путем решения обратных задач для ряда конструкций найдены граничные условия теплообмена (коэффициенты теплоотдачи на внутренних поверхностях труб), толщины отдельных слоев многослойных конструкций (различного рода отложения на внутренних поверхностях энергетических установок) и другие параметры.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Котова, Евгения Валериевна, 2013 год

1. Антимонов М.С., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности для цилиндра и шара на основе определения фронта температурного возмущения. Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 48. № 4, 2008. С. 681 692.

2. Антимонов М. С. Численно-аналитические методы решения задач теплопроводности на основе ортогональных методов взвешенных невязок // ав-тореф. дисс. канд. физ. мат. наук. Ульяновск. УГТУ. 2008.

3. Алифанов О.В. Обратные задачи теплообмена. М: Машиностроение, 1988.-280 с.

4. Алифанов О.В., Артюхин Е.А., Румянцев С.Я. Экспериментальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. - 288 с.

5. Аверин Б.В., Колотилкин Д.И., Кудинов В.А. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. ИФЖ. Т. 73. № 4, 2000. С. 748 753.

6. Айзен A.M., Редчиц И.С. Расчет стационарной нелинейной теплопроводности через многослойные стенки с источниками тепла. Теплофизика и теплотехника. Ин-т Техн. теплофизики АН УССР. Вып. 27, 1974. С. 133 138.

7. Акаев A.B., Дульнев Г.Н. К вопросу о повышении точности первых приближений метода JI.B. Канторовича в применении к краевым задачам стационарной теплопроводности // Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. № 1, 1972. С. 154- 158.

8. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш. школа, 1978. 328 с.

9. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия. 1975.

10. ВейникА.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. M. JL: Госэнергоиздат, 1959. 184 с.

11. Габдушев Р.Ж. Разработка и совершенствование методов расчета термоупругости элементов паровых котлов ТЭС // автореф. дисс. канд. тех. наук. Иваново. ИГЭУ. 2001.

12. Гелъфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.

13. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена //Проблемы теплообмена. Сб. науч. тр. М.: Атомиздат, 1967. С. 41 96.

14. Глазунов Ю. Т. Вариационные методы Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. 470 с.

15. Заричняк Ю.П., Муратова Б.Л. Расчет теплового сопротивления составных конструкций из теплоизоляционных материалов // Механика композиционных материалов. 1979. № 6.

16. Иванов A.B. Операционное решение задач теплопроводности для слоисто-однородных тел. ИФЖ. Т. 1. № 2, 1958. С. 13-21.

17. Каган В.К., Эсмендяев С.А. Решение уравнения теплопроводности для двухслойного цилиндра и тепловой расчет двигателей постоянного тока. ИФЖ. Т. 27. № 1. 1974.

18. Канторович Л.В. Использование идеи метода Галеркина в методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Прикл. мат. и механ. Т. 6. № 1, 1942. С. 31-40.

19. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. JL: Физматгиз, 1962. 708 с.

20. Карслоу Г, ЕгерД. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964.488 с.

21. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высш. школа, 1985. 480 с.

22. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высш. школа, 2001. 550 с.

23. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978.

24. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 831 с.

25. Коган М.Г. Решение нелинейных задач теории теплопроводности методом Канторовича // ИФЖ. Т. 12. № 1, 1967. С. 72 81.

26. Киреев В.И., Пантелеев А.П. Численные методы в примерах и задачах. Учеб. пособ. для втузов. М.: Высшая школа, 2006. 480 с.

27. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость. Киев: «Наукова думка», 1965. 202 с.

28. Коляно Ю.М. Применение обобщенных функций в термомеханике кусочно-однородных тел. В кн. Математические методы и физико-механические поля. Киев: Наукова думка. Вып. 7, 1978. С. 7 11.

29. Коляно Ю.М., Процюк Б.В. Термоупругость полого слоистого цилиндра. Физика и химия обработки материалов. № 3, 1977. С. 12-17.

30. Кудинов В.А., Аверин Б.В., СтефанюкЕ.В. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 2008. 305 с.

31. Кудинов В. А., Аверин Б.В., СтефанюкЕ.В., Назаренко С.А. Анализ нелинейной теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения. Теплофизика высоких температур. Т. 44. № 5, 2006. С. 577-585.

32. Кудинов В. А., СтефанюкЕ.В. Задачи теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения. Известия АН. Энергетика. №4, 2008. С. 122- 138.

33. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Аналитический метод решения задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий. ИФЖ. Т. 82. № 3, 2009. С. 540 558.

34. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. Учеб. пос. для втузов. М.: Высшая школа, 2005. 340 с.

35. Кудинов И.В. Математическое моделирование процессов теплопроводности и гидродинамики численно аналитическими методами на основе использования дополнительных граничных условий // автореф. дисс. канд. тех. наук. Самара. СамГТУ. 2011.

36. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. Киев: Наукова думка, 1974. 190 с.37Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.600 с.

37. Лыков A.B. Тепломассоперенос: Справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.

38. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963. 535 с.

39. Махоркин И.Н. Термоупругость кусочно-однородных сферических тел. // В кн. Математические методы в термомеханике. Киев: Наукова думка, 1978. С. 163- 173.

40. Махоркин И.Н. Температурные напряжения в многослойном сферическом теле. Физико-химическая механика материалов. № 5, 1977. С. 24.

41. Меерович И.Г. Температурное поле в многослойных системах с переменными физическими свойствами. ИФЖ. Т. 12. № 4, 1967. С. 484 490.

42. Михеев М.А., МихееваИ.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1977. 343 с.

43. Мучник Г. Ф., Зайдеман И.А. Нестационарная теплопроводность в многослойных средах. 1. Общие решения для плоских систем. ИФЖ. № 12, 1962. С. 71-76.

44. Павловский Г.И. Теплопроводность в двухслойной пластине при граничных условиях третьего рода. ИФЖ. Т. 5. № 4, 1962. С. 86 88.

45. Петухов Б. С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 412 с.

46. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.

47. Постольник Ю.С. Метод осреднения функциональных поправок в задачах теплопроводности // Тепло- и массоперенос: Сб. тр. Минск. Т. 8, 1972. С. 23-29.

48. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности. ТВТ. Т. 47. № 2, 2009.

49. Стефанюк Е.В. Модельные представления аналитических решений краевых задач теории теплообмена на основе введения дополнительных граничных условий // Дисс. докт. техн. наук. Москва. МАТИ. 2010.

50. Тихонов А.И., Самарский A.A. Уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами. Докл. АН СССР. Т. 121. №2, 1958. С. 225-228.

51. Теория тепломассообмена. Учебник для вузов. Под ред. А.И. Леонтьева. М.: Высшая школа, 1979. 495 с.

52. Тамуров Н.Г. Расчет нестационарных температурных полей в двухслойной пластине. ИФЖ. Т. 5. № 12, 1962. С. 108 112.

53. Тимофеев Ю.А. Об одном приближенном методе расчета температурных полей кусочно-однородных тел. Дифференциальные уравнения. Т. 16. № 8, 1980. С. 1492 1503.

54. Тимошенко С.П., Гудъер Дж. Теория упругости. М.: Атомиздат, 1979. 569 с.

55. Формалев В. Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах. Обзор // Теплофизика высоких температур. 2001. Т. 39. № 5. С. 810 832.

56. Формалев В. Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. 400 с.

57. Христиценко А.И. Об одном способе решения задач теплопроводности двух- и трехслойных систем. Теплофизика высоких температур. Т. 3. №2, 1965. С. 272-275.

58. Цирелъман Н.М. Прямые и обратные задачи тепломассопереноса. Энергоатомиздат, 2005. 392 с.

59. Цой П.В. Методы расчета отдельных задач тепломассопереноса. М.: Энергия, 1971. 382 с.

60. Швец М.Е. О приближенном решении некоторых задач гидродинамики пограничного слоя. Прикладная математики и механика. Т. 13. № 3, 1949.

61. Основные публикации автора диссертационной работы

62. Кудинов В.А., Ларгина Е.В. Получение аналитических решений задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Технические науки. 2011 №2 (30). С. 186 - 192.

63. Стефанюк Е.В., Кудинов К.В., Ларгина Е.В. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Математическая», №2 (8) 2008. - С. 41 - 56.

64. Кудинов И.В., Ларгина Е.В., Еремин A.B., Будылъников М.Н. Теплообмен в плоском канале с учетом диссипации энергии // Вестник Самарского Государственного Технического университета. Серия «Математическая» №2 (10)-2009.-С. 38-47.

65. Кудинов В.А., Ларгина Е.В., Тимофеев М.С. Теплообмен в пластине с внутренними источниками теплоты при граничных условиях второго рода. Прикладная математика и механика : сборник научных трудов. Вып. 9/ Ул-ГТУ Ульяновск, 2011. - С. 272 - 283.

66. Кудинов И.В., Стефанюк Е.В., Еремин А.В., Котова Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды // Учебное пособие. Самара: СамГТУ, 2013. 132 с.