Математическое моделирование динамики трубопровода под действием волн давления в транспортируемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Зарипов, Дамир Мунзирович

• Зарипов, Дамир Мунзирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зарипов, Дамир Мунзирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПРОЛЕТА ТРУБОПРОВОДА ПОД

ДЕЙСТВИЕМ ВОЛН ДАВЛЕНИЯ ВО ВНУТРЕННЕЙ ЖИДКОСТИ.

§1.1. Уравнение движения тонкостенной трубы.

§ 1.2. Граничные и начальные условия.

§ 1.3. Уравнение движения трубы в безразмерном виде.

§ 1.4. Метод решения задачи колебаний трубы под воздействием бегущей волны давления во внутренней жидкости.

§ 1.5. Программная реализация итерационного метода решения задачи

§ 1.6. Тестирование итерационной процедуры.

ГЛАВА 2. ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ И 4, ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.

§2.1. Статическое равновесие трубы на двух опорах.

§ 2.2. Критическое значение внутреннего давления.

§ 2.3. Колебания трубы около положений статического равновесия.

§ 2.4. Свободные нелинейные колебания.

ГЛАВА 3. ВОЗНИКНОВЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМОВ КОЛЕБАНИЙ

В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ.

§ 3.1. Взаимодействие нелинейных вынужденных и параметрических колебаний.

§ 3.2. О возбуждении высших гармоник.

§ 3.3. Влияние частоты волны давления на характер колебаний.

У § 3.4. Влияние амплитуды волны давления на характер колебаний.

§ 3.5. Некоторые особенности в случае вертикального расположения трубопровода.

ГЛАВА 4. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ.

§ 4.1. Переход к хаотическим колебаниям трубы при постепенном изменении величины среднего давления.

§ 4.2. Переход к хаотическим колебаниям трубы при постепенном изменении частоты волны давления.

§ 4.3. Переход к хаотическим колебаниям трубы при постепенном изменении амплитуды волны давления.

ГЛАВА 5. КАРТЫ РЕЖИМОВ КОЛЕБАНИЙ.

V § 5.1. Размерность аттракторов.

§ 5.2. Методика построения карт режимов колебаний.

§ 5.3. Карты режимов колебаний при варьировании различных параметров системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование динамики трубопровода под действием волн давления в транспортируемой жидкости»

Трубопроводы, с протекающей в них жидкостью, являются элементами конструкции многих систем. Их используют в объектах химического производства и атомной энергетики, в авиастроении, нефтегазовой промышленности, в системах водоснабжения жилых зданий и так далее. При их расчете на прочность, устойчивость и колебания необходимо учитывать различные статические и динамические нагрузки. К статическим нагрузкам относятся: вес трубы и транспортируемой среды, усилия, возникающие при компенсации монтажных и температурных перемещений, а также от воздействия статического внутреннего давления. К динамическим нагрузкам относятся усилия, воздействующие на трубопровод через узлы подсоединения к вибрирующим частям механизмов (механическое возбуждение) или возникающие при протекании по трубопроводу рабочей среды (гидродинамическое возбуждение).

В последнее время экспериментально установлено существование режима самовозбуждения колебаний со сплошным спектром частот при протекании жидкости в гибкой трубе. Эти колебания не являются проявлением классической турбулентности вязкого потока, а обусловлены взаимодействием пульсаций давления в транспортируемой жидкости и кривизны упругой линии трубы. Теоретически этот механизм обеспечивает самовозбуждение хаотических колебаний в отсутствии вязкости жидкости и при нулевой средней скорости протекания, но при наличии среднего давления и продольных волн давления в жидкости. Важно изучить механизм самовозбуждения колебаний трубопровода и его различные режимы.

Исследование упругой статической устойчивости прямолинейной трубки и ее поперечных колебаний под действием внутреннего потока несжимаемой идеальной жидкости началось с работы [33]. В этой и некоторых других работах изучена роль центробежных и кориолисовых сил, обусловленных движением жидкости, кривизной упругой линии и поворотом поперечного сечения. Имеется обзор [55] по этой проблеме.

Влияние постоянного по времени давления в жидкости на устойчивость и на характер колебаний трубки учитывалось в работе [13]. Найдено, например, что критическое значение внутреннего давления р1 в прямой трубе длиной L, внутренним радиусом г0 и изгибной жесткостью El, шарнирно закрепленной по концам, с возможностью свободного осевого перемещения, равно

При выводе (*) принято, что на концевые сечения 7i(r2 трубы давление не действует. Здесь г - внешний радиус трубы. Такой случай реализуется, например, для тонкостенной трубы, соединяющей две емкости. Труба, закрытая на обоих концах днищами и подвижная в осевом направлении, абсолютно устойчива под действием внутреннего давления. Влияние внутреннего давления особенно значительно для статики и динамики гибких шлангов [29], длинных вертикальных труб [46, 35], а также бурильных колонн [31].

Нелинейной динамике статически выпученного стержня посвящено значительное количество работ, например, [45].

При достаточно сильном поперечном возбуждении выпученного стержня возможно возникновение, как предельных циклов, так и хаотических поперечных колебаний. Режимы таких колебаний реализуются также в сжатой пластине, находящейся в сверхзвуковом потоке газа (флаттер) [36] и в других механических системах [10, 53]. Общим для рассматриваемых систем является наличие в них взаимодействия бифуркаций и поперечных нелинейных колебаний.

В [47] осуществлен более точный учет влияния внутреннего давления на поперечные колебания консольной трубки, из которой вытекает жидкость. Действующие на стенки поперечные и продольные силы со стороны жидкости определяются в зависимости от отношения площадей отверстия плоского сопла, размещенного в выходном сечении и поперечного сечения трубки. Кроме того, построенная модель позволяет определить силу воздействия свободной струи жидкости на концевое сечение. Изучены флаттер вертикальной консольной трубки и хаотические колебания при возбуждении внешней поперечной силой. Экспериментальные данные по пространственным колебаниям опертой трубы, находящейся под внутренним давлением газа, и сравнение с расчетами приведены в [58].

Нелинейные поперечные колебания трубопровода под воздействием бегущих волн давления в жидкости рассмотрены в [16, 17, 18]. Найдены режимы колебаний в зависимости от отношения длины волны давления в жидкости и расстояния между опорами, радиуса и толщины стенки, коэффициента затухания, амплитуды волны давления.

В работах [15, 48] исследовано влияние длины волны давления и амплитуд ее постоянной и переменной частей на характер колебаний.

В этой диссертационной работе проведено исследование механизма возникновения периодических, квазипериодических и хаотических колебательных процессов в трубопроводных системах. В частности, построена модель динамических процессов в горизонтальных и вертикальных трубах при действии бегущих волн в транспортируемой среде. Особое внимание уделено выявлению условий возникновения хаотических режимов колебаний. В результате математического моделирования определено влияние различных параметров системы (условия закрепления концов трубы, среднее давление жидкости, амплитуда и частота волны давления в жидкости) на характер колебаний.

В первой главе приведена математическая модель изгибных колебаний в трубопроводе под воздействием бегущих волн давления в транспортируемой жидкости.

Предполагается, что труба представляет собой часть длинного трубопровода постоянного сечения, одним концом закреплена неподвижно, другой конец может перемещаться в осевом направлении с некоторой податливостью. В поперечном направлении перемещения опор отсутствуют. Поэтому поперечный изгиб трубы происходит независимо от остальной части трубопровода, расположение которого в пространстве может быть произвольным. Осевая сила от отброшенной части не передается на рассматриваемый участок трубы. Осевые инерционные силы также не учитываются. Изгиб трубы происходит в одной плоскости, пространственная деформация отсутствует.

Принимаются допущения для тонких стержней и трубок (трубчатых стержней): при изгибе поперечное сечение не изменяет своей формы, поворот его происходит как абсолютно твердой плоскости, остающейся нормальной к деформирующейся осевой линии. Прогиб мал по сравнению с расстоянием между опорами, а угол поворота поперечного сечения мал по сравнению с единицей.

Уравнение движения трубчатого стержня под воздействием бегущей волны давления во внутренней жидкости имеет вид:

El d*w ЕЕ о дх4 2L(l + X) о\дхУ

2 Л dx j d2w dw d2w e —- + m—T = q0+q, (**) dx2 dt dt1 d2w ^ д

7o =gim + mf), q = -mf—r-F— p{x,t) дГ dx v dw dx p(x, t) = p0 + P sin(co t - ax).

Здесь E - модуль упругости материала трубы, / - момент инерции сечения трубы, w— прогиб трубы, F0, F - площадь поперечного сечения трубы и жидкости, L — длина трубы, X - коэффициент линейно-упругой податливости опор, 8 - коэффициент трения, т , - удельный вес трубы и жидкости, р - среднее давление, Р , со - амплитуда и частота волны давления, а - волновое число.

Каждое слагаемое уравнения (**) характеризует влияние определенных факторов на колебания рассматриваемой системы. Так, первый член уравнения характеризует влияние упругих свойств трубы на ее динамическое поведение. При этом изгибная жесткость в процессе колебаний полагается неизменной. Второе слагаемое является нелинейным и характеризует влияние на динамику трубы ее кривизны и осевых сил, возникающих при удлинении оси трубы в процессе ее поперечных колебаний. Диссипа-тивные силы описываются третьим членом уравнения. Силу инерции трубы в поперечном направлении отражает последний член. В правой части уравнения записаны распределенная нагрузка, обусловленная весом трубы с жидкостью и поперечная сила, действующая на трубу, со стороны жидкости при прохождении в ней волны давления с учетом инерционной составляющей.

Граничные условия относительно прогиба трубы записываются в виде:

- шарнирное закрепление (краевые условия типа I) ,v d2w(x, t) w(x, t) =--— = 0 при x = 0, L; дх защемлению (краевые условия типа II) ч dw(x,t) w\x, t) =-= 0 при x = 0,L. дх

В качестве начальных условий берутся нулевые, если труба начинает движение из прямолинейного положения без начальной скорости. Рассматриваются и другие начальные условия, которые соответствуют равновесному положению трубы под действием распределенной нагрузки q„ и статического внутреннего давления р0. Начальные условия задаются в виде функций:

Дано описание метода решения нелинейного дифференциального уравнения для различных краевых условий.

Преимущество данного метода, например, перед схемой Рунге-Кутта 4-го порядка точности, наиболее сильно проявляется при увеличении числа собственных функций.

Проведено тестирование итерационной процедуры для некоторых тестовых задач, которые использовались для проверки работы программ. Кратко описаны созданные программы.

Во второй главе рассматриваются статические положения равновесия и анализируются малые колебания вблизи этих положений. Рассматриваются нелинейные свободные колебания трубы.

Статический изгиб под собственным весом трубы с жидкостью и под действием внутреннего давления, приближенно описывается первой гармоникой. Выписана формула для критического значения внутреннего давления, при превышении которого появляются второе и третье статические положения равновесия.

Отметим, что при одних и тех же параметрах системы критическое значение давления, при котором появляются дополнительные положения равновесия, для краевых условий типа II значительно выше, чем для случая краевых условий типа I, при этом, чем больше величина внутреннего давления, тем дальше от горизонтали находятся положения равновесия.

Численные эксперименты показывают, что нижнее и верхнее положения равновесия являются устойчивыми, а промежуточное - неустойчивым. В частности, это проявляется в том, что при отличии от нуля положительного коэффициента трения происходит стабилизация свободных колебаний возле нижнего или верхнего положений равновесия при нулевой начальной скорости.

Колебания трубы около положений статического равновесия. Если трубу отклонить от положения устойчивого равновесия на малую величину, то при отсутствии трения устанавливаются периодические колебания малой амплитуды. Частота таких колебаний оценена аналитически.

Проведен анализ зависимости свободных колебаний при различных фиксированных значениях среднего давления от начального прогиба трубы, который позволит в дальнейшем объяснить резкие изменения в характере колебаний при периодическом изменении внутреннего давления.

В третьей главе диссертации рассматриваются различные режимы колебаний в зависимости от параметров системы.

Условия возникновения нелинейных вынужденных и параметрических колебаний и их взаимодействие. Как показали численные эксперименты, для обоих типов закрепления концов резонанс может наступать только при условии кратности частоты колебаний давления половине значения собственной частоты вблизи нижнего положения равновесия. При этом наиболее устойчивым к изменению частоты является резонанс при кратности 1. Резонанс наблюдается также при значениях кратности 1/2 и 2, но при меньших значениях коэффициента трения, причем небольшое отклонение от резонансной частоты приводило к его исчезновению. В системе возникают колебания, которые имеют характер биений. Это связано с тем, что в данном случае имеет место взаимодействие двух видов колебаний -параметрических и вынужденных.

Влияние частоты и амплитуды волны давления на характер колебаний. Как показали численные эксперименты, характер колебаний для обоих типов закрепления концов трубы сильно зависит от величины среднего давления частоты и амплитуды волны давления, причем небольшие изменения этих параметров могут приводить к качественно другим колебаниям.

Были проведены также численные эксперименты при различных значениях длины трубы. Замечено, что с увеличением длины больше возбуждаются высшие, и в том числе четные, гармоники. Отметим, что найдены значения параметров системы, при которых середина пролета практически неподвижна, а другие точки трубы совершают колебания достаточно большой амплитуды; при этом сильно возбуждается вторая гармоника.

Некоторые особенности в случае вертикального расположения трубы. В случае вертикального расположения трубы принимается, что рассматриваемая часть между опорами относится к классу «короткой» трубы, когда влияние ее собственного веса на изгиб незначительно. В случае «длинной» трубы поведение системы значительно отличается, и требуется уточнение постановки задачи. В случае вертикального расположения трубы, если величина постоянного давления не превышает критического значения, имеется только одно прямолинейное статическое положение равновесия. Когда внутреннее давление больше критического прямолинейное положение равновесия становится неустойчивым, и появляются два симметрично-изогнутых устойчивых положения равновесия.

В целом, для вертикального расположения трубы имеют место те же закономерности, что и для горизонтальной трубы. Характер колебаний трубы сильно зависит от среднего давления, амплитуды и частоты волны давления.

В четвертой главе рассматриваются сценарии перехода к хаосу. Установлено, что в системе реализуется два классических сценария перехода к хаосу - это, прежде всего, бифуркация Хопфа, а также через бифуркацию удвоения периода. Причем иногда реализуются оба сценария вместе.

Пятая глава посвящена построению карт режимов колебаний в зависимости от двух одновременно варьируемых параметров. В частности построены карты режимов колебаний в зависимости от величины среднего давления и частоты волны давления и некоторых других параметров. На основе анализа различных карт режимов колебаний можно подбирать такие параметры системы, чтобы амплитуды колебаний были минимальны или колебаний не возникало.

В приложении приведен листинг итерационной процедуры для одних краевых условий.

Заключение содержит основные выводы по работе.

Диссертация состоит из введения, пяти разделов, одного приложения, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет из 109 страниц, включая список литературы, состоящий из 59 наименований и 31 иллюстрацию.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Зарипов, Дамир Мунзирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Установлено, что колебания большой амплитуды, в том числе и хаотические, возникают, когда р*0 + р* > р"сг. Причем, для возникновения хаотических колебаний необходимо, чтобы частота волны давления была согласована с частотой свободных колебаний трубы.

2. Показано, что при очень малых и достаточно больших значениях частоты волны давления в жидкости возбуждаются колебания малой амплитуды.

3. Установлено, что для горизонтального расположения пролета трубы, если безразмерное внутреннее давление в жидкости р*0 не превосходит критической величины р*сг, то имеется одно положение статического равновесия. Если р*0 > р*сг, то появляются еще два положения равновесия, причем верхнее устойчивое, а промежуточное - неустойчивое. В случае же вертикального расположения трубы при р*0 < рсг существует только одно прямолинейное положение равновесия. Когда р*0 > р*сг, прямолинейное положение равновесия становится неустойчивым, при этом появляются два симметрично-изогнутых устойчивых положений равновесия.

4. Выявлены условия возникновения нелинейных вынужденных и параметрических колебаний, а также их взаимодействия.

5. Показано, что в системе имеют место два классических сценария перехода к хаосу - бифуркация удвоения периода и бифуркация Хопфа, причем в некоторых случаях эти схемы присутствуют одновременно.

6. Построены карты режимов колебаний трубопровода, на основе анализа которых можно подбирать такие параметры системы, чтобы амплитуды колебаний были минимальны или колебаний не возникало.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зарипов, Дамир Мунзирович, 2006 год

1. Андронов А.А. Математические проблемы теории автоколебаний // Первая Всес. конф. по колебаниям. МЛ ГТТИ, 1933. С. 32-71.

2. Андронов А.А. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1956. 538 с.

3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1959. 926 с.

4. Андронов А.А., Леонтович Е.А. Динамические системы 1-й степени негрубости на плоскости // Мат. сб., 1965. Т. 68, № 3, С. 328-372.

5. Андронов А.А., Леонтович Е.А. Достаточные условия негрубости первой степени динамической системы на плоскости // Дифференц. уравнения (Минск). 1970. Т. 6, вып. 12. С. 2121-2134.

6. Андронов А.А., Леонтович Е.А. К теории структуры разбиения плоскости па траектории //Докл. АН СССР, 1938. 21, вып. 2. С. 427^130.

7. Андронов А.А., Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра // Уч. зап. Горьковск. университета. 1939. Вып. 6. С. 3-24.

8. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.

9. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 487 с.

10. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука. 1990. 312 с.

11. Биргер И.А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов. М: Наука. 1986. 560 с.

12. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

13. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969. 182 с.

14. Ильгамов М.А. Статические задачи гидроупругости. Казань: ИММ РАН, 1994, 208 с. (Ugamov М.А. Static Problems of Hydroelasticity. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1998. 208 p.)

15. Ильгамов M.A., Лукманов Р.Л., Нелинейные колебания трубопроводов под действием бегущих волн в жидкости. Препринт №4, Уфимский государственный нефтяной технический университет. Уфа, 1998. 50 с.

16. Ильгамов М.А., Мишин В.Н. О влиянии скорости движения жидкости внутри трубопровода на характер его колебаний // Сб. Моделирование динамических процессов в сплошных средах. Казань. 1997. С.88-95.

17. Ильгамов М.А., Мишин В.Н. Поперечные колебания трубы под действием бегущих волн в жидкости // Изв. Академии наук. Механика твердого тела. 1997. №1. С.181-192.

18. Ильгамов М.А., Мишин В.Н. Хаотические колебания горизонтальной трубы под действием бегущих волн в жидкости // Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах. Казань, 1997. Вып. 1(5). С.44-50.

19. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега // ДАН СССР. 1958. Т.119. С.861-864.

20. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР. 1959. Т.124. С.754-755.

21. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

22. Лукманов Р.Л. Итерационный метод решения гиперболических задач / Всесоюзный симпозиум по теории приближения функций: Тезисы докладов. 1987. С. 103-104.

23. Лукманов Р.Л. Решение слабонелинейной гиперболической задачи в квадрате // Информационный бюллетень гос. Фонда алгоритмов и программ СССР. 1990. №7. С.7 Per. № 50900000066.

24. Лукманов Р.Л. Решение слабонелинейной гиперболической задачи в кубе // Информационный бюллетень гос. Фонда алгоритмов и программ СССР. 1990. №7. С.7 Per. № 50900000062.

25. Ляпунов A.M. Собр. соч. 1954-1956. Т. 1,2. М.:Изд-во АН СССР.

26. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. М.: Изд.-во АН СССР, 1955.

27. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. Моск. мат. об-ва, 1968. Т. 19, С. 179-210.

28. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // УМН. 1977. Т.32, С.55-112.

29. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. 279 с.

30. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР. 1959. Т. 124, С.768-771.

31. Султанов Б.З. Управление устойчивостью и динамикой бурильной ка-лонны. М.: Недра, 1991. 208 с.

32. Тимошенко С.П. Колебаний в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с.

33. Ashley Н., Haviland G. Bending vibrations of pipe line containing flowing fluid//J. Appl. Mech. 1950. V. 17, №3. P. 229-232.

34. Berge P. Study of the Phase Space Diagrams Through Experimental Poin-care Sections in Prechaotic and Chaotic Regimes // Phys. Scr. 1982. Т. 1. P. 7172.

35. Bernitsas M.M.,Kokkinis Т. Buckling of risers in tension due to internal pressure: nonmovable boundares // Trans. ASME. J. Energy Resour. Technol. 1983. V.105, №3. P.277-281.

36. Dowell E.H., Ilgamov M.A. Studies in Nonlinear Aeroelasticity. New York -Tokyo: Springer- Verlag, 1988, 455p.

37. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors. Rev. Mod. Phys. 1985. 57, P. 617-656

38. Gollub J.P. and Benson S.V. Many Routes to Turbulent Convection // J. Fluid Mech. 1980. 108(3). P. 449-470.

39. Grassberger P. Generalized dimensions of strange attractors // Phys. Lett. A 97. 1983. P. 227-231.

40. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors // Phys. Rev. Lett. 1983. 50. P. 346-349 .

41. Grassberger P., Procaccia I. Estimation of the Kolmogorov entropy from a chaotic signal // Phys. Rev. 1983. A 28, P. 2591-2593.

42. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. 1983. 9. P. 189-208

43. Hausdorff G. Dimension und auberes Mab // Math. Ann. 1919. 79. P. 157179.

44. Hentschel G.E., Procaccia I. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors // Physica 1983. 8. P. 435-444

45. Holmes P.J. A nonlinear oscillator with a strange attractor // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1979. № 1393. P. 419-448.

46. Huang Т., Dareing D.W. Buckling and frequencies of long vertical pipe // J. Eng. Mech. Divis. 1969. V. 95, №1. P. 167-181.

47. Ilgamov M.A., Tang D.M., Dowell E.H. Flutter and forced response of a cantilevered pipe: the influence of internal pressure and nozzle discharge // J. Fluids and Structures. 1993. V. 8. P. 139-156.

48. Ilgamov M.A., Lukmanov R.L. Nonlinear Vibrations of a Pipeline Under the Action of Pressure Waves in Fluid. Proceedings of the Ninth International Offshore and Polar Engineering Conference, Brest, France, 1999. P. 145-152.

49. Kadanoff L.P. Roads to Chaos // Phys. Today (Dec.), 1983. P. 46-53.

50. Kaplan J.L., Yorke J.A. Chaotic behavior of multidimensional difference equations // Lect. Notes in Math. 1979. 730. P. 204-227.

51. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J.Atmos. Sci. 1963. 20. P. 130-141.

52. Manneville P. and Pomeau Y. Different Ways to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems//Physica ID. 1980. P.219-226.

53. Moon F.C. Chaotic Vibrations. New York: Wiley, 1987. 309 p.

54. Newhouse S., Ruelle D. and Takens F. Occurrence of Strange Axiom A At-tractors Near Quasiperiodic Flows on Tm, m > 3 // Commun. Math. Phys. 64, 1978. P. 35-40.

55. Paidoussis M.A. Flow-induced instabilities of cylindrical structures // Appl. Mech. Rev. 1987. V 40, № 2. P. 163-175.

56. Renyi A. Probability Theory. Amsterdam: North-Holland. 1970.

57. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys. 1971.20. 167.

58. Tang D.M., Ilgamov M.A., Dowell E.H. Buckling and postbuckling behavior of a pipe subjected to internal pressure // J. Appl. Mech. 1995. V. 62, № 3. P. 595-600.

59. Van der Pol B. On relaxation oscillations // Phil. Mag. 1926. 2. P. 978-992.