Построение математической модели распределения волны давления в изогнутом трубопроводе и приближенное решение ее уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Ткаченко, Олег Павлович

• Ткаченко, Олег Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ткаченко, Олег Павлович

Содержание

Введение

Глава 1. Построение математической модели совместного движения изогнутого трубопровода, погруженного во внешнюю среду и потока жидкости внутри него

1.1. Физическая постановка задачи, исходные предположения и системы координат

1.2. Уравнения движения трубопровода

1.2.1. Уравнения движения трубопровода как трехмерного упругого тела

1.2.2. Краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубопровода. Их связь с сипами, действующими на оболочку

1.2.3. Уравнения движения трубопровода как оболочки

1.2.4. Краевые условия на торцах трубопровода

1.2.5. Выбор вида решений уравнений движения трубопровода и устранение угловой координаты

1.3. Вывод уравнений движения и краевых условий для жидкости

1.3.1. Общая: трехмерная задача гидродинамики и разделение стационарного и нестационарного процессов

1.3.2. Вывод уравнений движения жидкости с двзпугя пространственными переменными. Постановка краевых условий

Глава 2. Нахождение положения равновесия трубопровода и распределения давления и скорости в жидкости при условии стационарности движения

2.1. Решение уравнений стационарного движения жидкости методом малого параметра

2.2. Приближенное решение уравнений равновесия трубопровода при стационарном потоке жидкости

2.2.1. Некоторые точные решения стационарной задачи

2.2.2. Построение разностной схемы и численное решение уравнений первого приближения стационарной задачи

Глава 3. Распространение волны давления во внутреннем потоке жидкости

3.1. Предварительный анализ и численное решение задачи распространения гидроупругих колебаний в нулевом приближении по е

3.1.1. Анализ уравнений движения жидкости методом малого параметра в нулевом приближении

3.1.2. Построение разностной схемы для численного решения системы уравнений нулевого приближения

3.1.3. Алгоритм расчета и краевые условия для модельной задачи. Результаты численных расчетов для задачи нулевого приближения

3.2. Анализ уравнений движения жидкости в первом приближении по е методом малого параметра

3.2.1. Прямое разложение по малому параметру а решений уравнений первого приближения

3.2.2. Вывод формул для давления в жидкости

3.3. Численное решение уравнений движения стенки трубопровода и нахождение давления в жидкости в первом приближении

3.3.1. Упрощение уравнений движения стенки трубопровода

3.3.2. Построение разностной схемы для начально-краевой задачи движения стенки трубопровода в первом приближении по г

3.3.3. Вычисление поправок первого порядка к давлению на стенку трубопровода

3.4. Алгоритм и результаты численного решения системы уравнений первого приближения

3.4.1. Алгоритм проведения вычислений

3.4.2. Результаты численных расчетов давления и деформации стенки трубопровода

Заключение

Литература

Иллюстрации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение математической модели распределения волны давления в изогнутом трубопроводе и приближенное решение ее уравнений»

Введение

Проблема исследования движения жидкости в трубах является классической задачей механики, всегда привлекавшей внимание исследователей. В последнее время возник интерес к явлениям, сопровождающим потерю устойчивости длинной упругой трубы с потоком жидкости. В частности, одним из последствий потери устойчивости является уход подземного трубопровода в сторону от первоначальной трассы и всплытие подводного трубопровода на участке трассы.

Важно, чтобы изменение формы профиля трубопровода было своевременно установлено. В качестве одного из методов контроля было предложено пропускание через поток жидкости импульса давления (гидравлического удара) или акустической волны.

Процесс распространения гидроупругих колебаний в изогнутой трубе, находящейся во внешней среде и нагруженной внутренним потоком жидкости, до сих пор недостаточно хорошо изучен. Исследования волн давления в трубах были начаты еще Н.Е.Жуковским [11]. Упругость трубы учитывалась через поправку к скорости волны в жидкости, инерцией стенки пренебрегалось. Похожий подход был использован и в работе [41], где еще было учтено и трение потока о стенку трубы.

Решение задач о течении жидкости в трубопроводах в переменных "массовая скорость - давление" используется в работах [5], [10], [14], [19], [26], [43]. Этот подход оправдал себя при расчетах стационарных расходов жидкости в сетях трубопроводов и низкочастотных нестационарных процессов. К сожалению, одномерная постановка задачи при этом подходе не позволяет исследовать распределение давления в поперечном сечении (то есть поляризацию проходящей волны), а практически полное пренебрежение динамикой стенки трубопровода делает точность уравнений недостаточной для изучения

распространения акустических волн.

Обзор состояния теории гидравлического удара в прямых трубах дан в [13] и [5]. У Л.Н.Картвелишвили [13] приведены основные предположения, которые используются при выводе уравнений гидравлического удара:

1) инерция поперечного перемещения жидкости и оболочки не учи-

тывается;

2) неустановившееся движение рассматривается как одномерное;

3) деформация каждого кольца, вырезанного из оболочки двумя се-

чениями, нормальными к ее оси и бесконечно близкими друг к другу, рассматривается независимо от деформаций соседних колец.

Эти предположения явно или неявно сделаны во всех работах по гидравлическому удару. Исключением является книга [14], где те же уравнения для тонкостенных цилиндрических труб выведены из без-моментной теории оболочек, что не позволяет применить их в случае изгибных колебаний.

В [5] дан обзор исследований течения сжимаемой жидкости в прямых упругих трубах. Особое внимание уделено течению газожидкостной смеси. Рассмотрена цилиндрическая оболочка, осесимме-тричная одномерная задача.

В последнее время интерес исследователей привлекли задачи, в которых необходим учет упругости стенки трубы, ее изгибных колебаний, инерции, а также кривизны осевой пинии.

Исследование колебаний давления в зависимости от условий закрепления конца трубы, с учетом эффекта Пуассона и инерции стенки проводилось в работах [38], [56], [61]. В работах [62], [55] изучалось влияние закрепления колена трубопровода на распространение волн

давления в остановленном потоке идеальной жидкости. Дальнейшие разработки [40],[63] этого направления шли по пути увеличения количества разветвлений и колен трубопровода, оставляя неизменными основные черты исследования: одномерность модели, идеальная жидкость без учета трения о стенку, остановленный поток (гидравлический удар).

Более фундаментальная задача взаимодействия цилиндрической оболочки и заполняющей ее жидкости изучалась в труде А.С.Воль-мира [4]. К сожалению, задачи, связанные с динамикой трубопроводов, почти не были затронуты, основное внимание уделено вопросам обтекания оболочек и их колебаниям. Рассматривались оболочки правильной цилиндрической или конической формы, жидкость считалась несжимаемой. Приведена обширная библиография по задачам гидр оупруго сти.

Движение жидкости в трубах с изгибом профиля изучалось в работах [23], [44]—[50], [52]—[54], [57], [58], [64]. Проводились также и экспериментальные исследования пульсаций давления [59]. Гидравлический удар в движущемся по заданному закону трубопроводе описан в [44], где построена одномерная математическая модель и проведен расчет методом характеристик. В том же сборнике качественно исследована одномерная математическая модель гидравлического удара в изогнутом трубопроводе в [23]. Влияние внешней среды в обеих статьях не учитывалось, использовались уравнения гидравлического удара типа уравнений Жуковского [11].

В группе работ [46]—[49], [52], [53] изучалось течение несжимаемой вязкой жидкости по изогнутым трубам, с приложениями к динамике крови. Одним из первых исследований течения жидкости в трубах постоянной кривизны являются работы [47], [48]. В них изучено стационарное течение при условии малости параметра е — Я0/р0, где

R0- внутренний радиус трубы, р0~ радиус кривизны осевой пинии.

Нестационарный поток в закрепленной однородно изогнутой (р0 = const) трубе с малым г, движимый зависимым от времени градиентом давления, рассмотрен в работе [53]. Градиент давления колебался по синусоидальному закону с достаточно высокой частотой для того, чтобы толщина слоя Стокса \jvjuj0 была мала. Установлено существование поперечного потока, названного автором "эффектом центрифуги".

В работе [52] получены нелинейные уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в произвольно изогнутой в плоскости трубе, динамика которой задана. Рассмотрено два частных случая: труба с постоянной по координате, но зависящей от времени кривизной, и труба, синусоидально изогнутая и колеблющаяся с малой амплитудой в окрестности прямой линии. Построены асимптотики решений линеаризованных уравнений.

Более полный обзор работ этого направления до 1982 года приведен в [45]. Наиболее важные частные случаи рассмотрены в [46], [49], [64], [57], [58]. Все полученные результаты основаны на линеаризованных уравнениях Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, движение стенки трубы задано или отсутствует.

Волны в прямой упругой трубе в случае идеальной сжимаемой жидкости изучались в [2], [3], [21], [30] и других. Рассматривались нелинейные одномерные уравнения типа уравнений Жуковского. Основное внимание уделялось получению и анализу решений в виде уединенных волн. В [3] получено нелинейное уравнение Шредингера для давления, в [21] рассмотрено влияние кортевеговской волны давления на цилиндрическую оболочку. Областью применения полученных результатов считается медицина.

Коснемся еще работ об устойчивости и поперечных колебаниях

трубопроводов. Уравнение колебаний трубопровода типа балки приведено в [42], там же дан пример исследования устойчивости трубопровода с потоком идеальной несжимаемой жидкости. Некоторые абстрактные результаты с использованием того же уравнения для трубопровода, но уже погруженного в вязкую среду и нагруженного потоком вязкой жидкости, приведены в [20].

Обзор исследований динамических характеристик и гидроупругой устойчивости гибких трубопроводов с 50-х годов до 1993 года сделан в [51]. Отмечены фундаментальные результаты по оценке изгибных колебаний трансарабского нефтепровода. Установлены условия возникновения статической (выпучивание) и динамической (флаттер) неустойчивости. Приведена система дифференциальных уравнений, описывающих осевые, радиальные и трансверсальные колебания трубопровода в режимах установившегося и неустановившегося течения жидкости.

Возможность возникновения хаотических поперечных колебаний гибкой трубки с потоком жидкости установлена в [54], что подчеркивает опасность изучаемого явления.

Таким образом, распространение гидроупругих колебаний в изогнутом подземном трубопроводе является теоретически и практически важной темой исследования.

В данной диссертации рассмотрена задача о распространении волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого упругого трубопровода, погруженного во внешнюю среду.

Эта задача была поставлена академиком В.П.Мясниковым на семинаре в ПАПУ, г.Владивосток. Она связана с проблемой диагностики изменения формы профиля подземного трубопровода под воздействием внутреннего потока жидкости. Если трубопровод зондировать акустическим сигналом, то в каждой его точке функция да-

вления от времени будет зависеть от кривизны осевой линии. Целью данной работы является построение и апробация такой математической модели, которая позволила бы исследовать эту зависимость.

В первой главе сделаны исходные предположения, гораздо менее ограничительные, чем в [13], введена оригинальная система координат, ранее нигде не встречавшаяся. Похожая система была в [50], но там кривизна оси постоянна и фактически использованы тороидальные координаты.

Приведены компоненты метрического тензора и тензора деформаций, выведены уравнения движения моментной оболочки и жидкости в данных координатах. Выделен малый параметр е — Я0/р0 и уравнения расщеплены на цепочку последовательных приближений по степеням этого параметра. В нулевом приближении получились обычные уравнения распространения волн в жидкости и оболочке (см., например, [11], [39], [4] и др.), уравнения же первого приближения ранее не встречались.

Во второй главе найдено точное решение стационарной задачи равновесия оболочки в нулевом приближении по методу, изложенному в [1]. Затем численно найдено решение задачи первого приближения по методу минимальных невязок из [32] и задачи стационарного движения жидкости в первом приближении разложением по малому параметру а (см., например, [22]).

В третьей главе решались нестационарные задачи движения трубопровода и жидкости.

Давление в потоке жидкости, найденное в нулевом приближении, в основном совпадает с известными результатами [11], [61], [62] и другими. Отличие заключается в том, что здесь рассматривается наложение колебаний на стационарный поток и рассчитано движение стенки с учетом моментов силы упругости.

Далее по известным методам [22], [9], [33] найдена динамика системы в первом приближении по г. Давление и скорость в жидкости представлены в виде рядов по малому параметру су, коэффициентами которых являются известные функции координат, времени и смещения стенки трубопровода. Движение же стенки найдено численно. Результаты проинтерпретированы и показана адекватность модели изучаемому процессу.

Результаты глав 2 и 3, полученные в первом приближении по ранее нигде не встречались.

Перейдем теперь к более подробному описанию результатов, полученных в диссертации.

В главе 1 из общих уравнений движения трехмерного упругого тела и жидкости выводятся упрощенные уравнения с одной пространственной переменной для трубопровода и с двумя — для потока жидкости. Эти уравнения линеаризованы в окрестности стационарного решения.

В пункте 1.1 дана физическая постановка задачи, сделаны исходные предположения и введена система координат. Найдены компоненты метрического тензора (1.1), коэффициенты Ламе (1.2) и символы Кристоффеля (1.4) для данной системы координат.

В пункте 1.2 получены уравнения движения трубопровода с одной пространственной переменной и краевые условия для них.

Из общих инвариантных уравнений для трехмерного упругого тела получены уравнения в произвольной ортогональной системе координат для физических компонент тензора напряжений (1.8), физические компоненты тензора деформаций (1.9), первый инвариант тензора деформаций (1.10) и элементарное вращение (1.11). Вообще говоря, выражения для этих величин в ортогональной системе координат можно найти в книге [1], но здесь применен другой способ

вывода.

Найдены компоненты тензора поверхностных напряжений (1.16), действующих на внутренней и внешней поверхностях трубопровода. Найдены также интегральные по толщине стенки трубы усилия и моменты (1.20).

Приведены уравнения движения трубопровода как моментной оболочки (1.22), (1.23), (1.25) и как технической моментной оболочки (1.25), (1.26). Из общих соотношений на поверхности упругого тепа (1.13) выведены краевые условия на торцах трубопровода(1.31). Далее из (1.25), (1.26) путем введения специального представления (1.33) для решения выведены одномерные уравнения движения стенки трубопровода (1.34)—(1.37). После некоторых дополнительных приближений получена упрощенная система (1.38)—(1.41), сохраняющая основные черты предыдущей.

В пункте 1.3 выписаны уравнения гидродинамики в используемой системе координат (1.43). После этого движение разделено на стационарное и нестационарное и получены соответствующие уравнения (1.52) и (1.53). Затем выбран вид функции сопротивления стационарному потоку и наложены краевые условия, из уравнений стационарного движения путем разложения решения в ряд по уагеряИоп получены уравнения (1.59). Решение системы (1.59) найдено, а в первом приближении по е получена краевая задача (1.63).

Далее, из уравнений нестационарного движения также исключена угловая координата в и получены линейные системы уравнений (1.65) - (1-67) с двумя пространственными переменными. В них в качестве коэффициентов входят функции от решений стационарных уравнений (1.62), (1.63).

Для задания начальных условий для уравнений движения трубопровода (1.38)—(1.41) необходимо знать стационарные решения этих

уравнений, так как именно в их окрестности ищутся нестационарные решения.

В главе 2 найдено стационарное решение уравнений движения жидкости и трубопровода.

В пункте 2.1 найдено решение уравнений для жидкости (1.63). Это формулы (2.9), (2.11). Решение получено приближенным методом малого параметра с ошибкой (2.12).

В пункте 2.2 найдено решение уравнений равновесия трубопровода, нагруженного стационарным потоком жидкости и давлением внешней среды.

Прежде всего выписаны уравнения равновесия (2.14)—(2.16) и приведены краевые условия для них (2.17). Определены величины давления грунта (2.19) и касательных напряжений трения потока жидкости о стенку (2.13).

Найдено точное решение краевой задачи нулевого приближения (2.14), (2.17), формулы (2.28), (2.29). Компоненты вектора решения протабулированы и представлены в виде графиков на рисунке 2.2.

Краевые задачи (2.15), (2.17) и (2.16), (2.17), описывающие равновесное положение трубопровода в первом приближении по малому параметру е, решены численно. Для этого интегро-интерполяцион-ным методом построены разностные схемы (2.33), (2.34). Полученные в результате системы линейных алгебраических уравнений решены методом минимальных невязок [32]. Создан алгоритм решения и написана реализующая его программа на ЕОКПЪ^Ше. Приведены графики полученных функций на рисунках 2.3-2.6 и механическая интерпретация некоторых из них. Подтвержден известный факт, что давление внутреннего потока жидкости стремится увеличить первоначальную кривизну трубопровода.

В главе 3 сочетанием методов разложения решения в ряд по ма-

лому параметру и разностного метода решения начально-краевых задач были проанализированы и приближенно решены начально-краевые задачи для уравнений движения трубопровода (1.38)—(1.41) и жидкости (1.65)—(1.67).

В пункте 3.1 найдены приближенные решения уравнений нулевого порядка по е (1.38), (1.65). Сначала получены уравнения 3.9 для коэффициентов разложения решений уравнений движений жидкости в ряд по малому параметру а — R0/iy где I- минимальная длина волны сигнала. В этих уравнениях только одна пространственная координата. Найдено выражение (3.8) для поправки второго порядка к давлению.

Построена разностная схема для численного решения задачи нулевого приближения по £. Сначала с учетом найденных величин выписана начально-краевая задача (3.11), описывающая движение стенки трубы. Затем для этой задачи построена разностная схема (3.14 а,б). Введением инвариантов (3.15) уравнения (3.9) для жидкости упрощены и для них построена разностная схема (3.17). Установлены порядки аппроксимации и сделаны некоторые замечания относительно выбора вида схемы для уравнений (3.9).

Далее приведен алгоритм нахождения численного решения по формулам (3.14), (3.17). Рассмотрена связь наложенных краевых условий со способом возбуждения колебаний в жидкости. Некоторые результаты расчетов представлены в виде графиков на рисунках 3.13.4. Приведено описание результатов и отмечена их связь с классическими исследованиями гидравлического удара.

В пункте 3.2 методом разложения решения в ряд по малому параметру а изучаются уравнения движения жидкости в первом приближении по £ (1.66), (1.67). Сначала получены замкнутые системы уравнений (3.30), (3.31) относительно коэффициентов разложения.

Затем эти уравнения были решены относительно поправок первого порядка по £ к давлению, формулы (3.35), (3.36). Таким образом, давление в жидкости выражено через известные функции и смещение стенки трубопровода.

В пункте 3.3 найдено численное решение начально-краевой задачи (1.39)—(1.41), (1.32), описывающей движение стенки трубопровода в первом приближении по е. Некоторые слагаемые из этих уравнений, описывающие моменты инерции стенки, отброшены в связи с их малостью. После учета ранее найденных функций получена краевая задача (3.39), (3.41), (3.42), (1.32), которая дополнена начальными условиями из решения стационарной краевой задачи (2.15), (2.16), (2.17). Для решения этой начально-краевой задачи построена разностная схема (3.43), (3.44), (3.45), (3.46), дополненная выражениями (3.48), (3.49). Отмечено, что эта схема аппроксимирует исходную краевую задачу со вторым порядком точности. Приведены формулы (3.51), (3.52) для вычисления давления на стенку трубы из результатов счета на каждом шаге сетки по времени.

В пункте 3.4 приведен алгоритм и результаты численных расчетов. Приведена физическая интерпретация поправок первого порядка к давлению и смещению стенки. Показана адекватность модели исследуемому процессу.

Результаты диссертации докладывались на конференциях в Новосибирске (1995), Владивостоке (1995), Находке (1994), опубликованы в статьях [24], [28], [29], [35]-[37], [60].

Автор благодарит своих научных руководителей В.А.Рукавишникова и В.П.Мясникова за постоянное внимание к работе и ценные консультации.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Ткаченко, Олег Павлович

Основные результаты, полученные в данной работе:

1. Построена ортогональная криволинейная система координат, учитывающая особенности геометрии изучаемой механической системы.

2. Получены общие трехмерные уравнения движения трубопровода как упругого тепа и потока идеальной сжимаемой жидкости с учетом сипы сопротивления стационарному потоку в данной системе координат. Уравнения движения трубопровода сведены к уравнениям движения технической моментной оболочки.

3. Использованием специального представления для решений из уравнений движения исключена угловая координата в. В результате получена краевая задача для трубопровода (1.38) -(1.41), (1.32) и краевая задача для нестационарного движения жидкости (1.65) - (1.67). Эти системы уравнений являются основными для дальнейшего анализа.

4. Комбинацией аналитических и численных методов найдено положение равновесия трубопровода.

5. Методом разложения в ряд по малому параметру найдено приближенное решение уравнений стационарного движения жидкости. Указана точность этого решения.

6. Методом малого параметра уравнения движения жидкости сведены к одномерному виду. В нулевом приближении по е получена начально-краевая задача (3.9). В первом приближении поправка к давлению выражена через известные функции нулевого приближения и радиальное смещение стенки трубопровода (формулы (3.35), (3.36)).

7. Численными методами найдено решение уравнений модели. Для этого построены соответствующие разностные схемы и написаны программы для компьютера. Показано, что по крайней мере на качественном уровне построенная математическая модель адекватно описывает изучаемую физическую систему и может быть использована при разработке методов диагностики состояния трубопроводов. Результаты, полученные в нулевом приближении, совпадают с классическими результатами теории гидравлического удара в прямой трубе.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ткаченко, Олег Павлович, 1998 год

Литература.

1. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике.— Власов В.З. Избранные труды, т.1.— Москва: Издательство АН СССР, 1962.— С.15-439.

2. Волобуев А.Н. Течение жидкости в трубках с эластичными стен-

ками //Успехи физ. наук.— 1995.— 165,N2 — С.177-186.

3. Волобуев А.Н., Толстоногов А.П. Нелинейное уравнение Шредингера в задаче гидроупругости //Инж.-физ. журнал.— 1994,— 66,N2.— С.222-225.

4. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. — М.: Наука. — 1979. — 320 с.

5. Галиев Ш.У., Галиев Т.III. Линейные и разрывные вынужденные колебания потока пузырьковой жидкости в деформируемом трубопроводе (обзор) // Проблемы прочности.— 1994.— N9.— С.3-29.

6. Гидродинамические процессы в сложных трубопроводных систе-

мах /М.А.Гусейнзаде, Л.И.Другина, О.Н.Петрова, М.Ф.Степанова. — М.: Недра. — 1991. — 164 с.

7. Годунов С.К. Уравнения математической физики. — М.: Наука.

— 1979. — 392 с.

8. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.: Наука.

— 1977. — 440 с.

9. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Проко-

пов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука. — 1976. — 400 с.

10. Гусейнзаде М.А., Юфин В.А. Неустановившееся движение нефти и газа в магистральных трубопроводах. — М.: Недра. — 1981. — 232 с.

11. Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. — M.-JL: Гос.изд. техн.-теорет. лит., 1949. — 104 с.

12. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. — М.: Наука. — 1980. — 352 с.

13. Картвелишвили JI.H. Гидравлический удар: основные положения и современное состояние теории //Гидротехническое строительство. — 1994. — N9. — С.49-54.

14. Картвелишвили H.A. Динамика напорных трубопроводов. — М.: Энергия. — 1979. — 224 с.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука. — 1977. — 832 с.

16. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. — М.: Наука. — 1980. — 208 с.

17. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. — М.: Мир. — 1981. — 598 с.

18. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука. — 1987. — 840 с.

19. Лурье М.В., Адилова М.Д. Особенности нестационарного течения нестабильных жидкостей в магистральных трубопрово-

дах //Нефт. и газ. пром-ть. Сер. защита от коррозии и охрана окружающей среды. — 1993. — N6. — С.10-13.

20. Минеева О.М. Об устойчивости решения одной краевой задачи гидродинамики //Мат. заметки. — 1996. — 59, N5. — С.774-776.

21. Миронов М.А. Параметрическая неустойчивость круговой цилиндрической оболочки при распространении в ней кортевего-вской волны //Акуст. журнал. — 1995. — 41, N5. — С.802-806.

22. Найфе А.Х. Методы возмущений.— М.: Мир.— 1976.— 456 с.

23. Овчинников В.Ф. Численное моделирование динамики пространственных трубопроводных систем при гидравлическом ударе //Теплофиз. аспекты безоп. ВВЭР: Тр. Междунар. конф., Обнинск, 21-24 нояб., 1995. Т.2. — Обнинск, 1995. — С.174-183.

24. Отчет: Весовые разностные схемы и их приложения в задачах электроупругости и гидродинамики. Методы численного анализа краевых задач с вырождением решения, математические модели электроупругости в пьезопластине и гидродинамики в трубопроводе (заключительный). Раздел 4. Математическое моделирование распространения волн давления в потоке жидкости внутри изогнутого трубопровода. // Вычислительный центр ДВО РАН. — Хабаровск, 1995.

25. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. — М.: Мир. — 1988. — 412 с.

26. Попов Д.Н. Нестационарные гидромеханические процессы. — М.: Машиностроение. — 1982. — 239 с.

27. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука. — 1988. — 712 с.

28. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Одномерная математическая модель гидроупругих колебаний в трубопроводе с изгибом профиля. //Численные методы механики сплошной среды. Красноярск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1991. — С.97-98.

29. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Математическая модель гидравлического удара в упругой трубе с изломом профиля //Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: Тез. докл. конф./ Институт математического моделирования РАН. — Москва: Институт математического моделирования РАН, 1991. — С.45-46.

30. Савенков И.В. О нестационарных о се симметричных течениях в трубах с упругими стенками //Ж.выч.мат. и матем.физ. — 1996. — 36, N2. — С.147-163.

31. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. — М.: Наука. — 1976. — 352 с.

32. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука. — 1978. — 591 с.

33. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука. — 1992. — 424 с.

34. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука. — 1983. — Т.1. — 528 с.

35. Ткаченко О.П. Построение математической модели распространения гидроупругих колебаний в длинной изогнутой трубе

// Вычислительные технологии. — Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 1993. — Т.2, N6. — С.112-122.

36. Ткаченко О.П. К теории распространения волн давления в длинной изогнутой трубе // Методы численного анализа. — Владивосток: "Дальнаука", 1993. — С.91-112.

37. Ткаченко О.П. Математическая модель распространения волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого подземного трубопровода // Вычислительные технологии. — Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 1996. — N3.

— С.78-86.

38. Торли. Нестационарные давления в гидравлических трубопроводах // Теоретические основы инженерных расчетов. — 1969, N3. — С. 131-139.

39. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир. — 1977.

— 622 с.

40. Хатфилд, Уиггерт, Отуэлл. Анализ гидроупругого взаимодействия в трубопроводах с помощью поэлементного синтеза // Теоретические основы инженерных расчетов. — 1982, N3. — С. 138-146.

41. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. — М.: Недра, 1975. — 296 с.

42. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости //Изв.АН СССР, сер. Механика твердого тела. — 1984, N5. — С. 170-174.

43. Школьников С.Я. Математическая модель волновых течений в трубопроводе, учитывающая перестройку эпюры скорости.

//Гидротехническое строительство. — 1996. — N9. — С.11-15.

44. Яскеляин А.В. Моделирование гидравлического удара в жидкости при колебаниях трубопровода //Теплофиз. аспекты безоп. ВВЭР: Тр. Междунар. конф., Обнинск, 21-24 нояб., 1995. Т.2.

— Обнинск, 1995. — С.222-231.

45. Berger S.A., Talbot L., Yao L.S. Flow in curved pipes //Ann. Rev. Fluid Mech. — vol.15, 1983. — P.461-512.

46. Collins W.M., Dennis S.C.R. The steady motion of a viscous fluid in a curved tube //Q. J. Mech. Appl. Maths. — 28, 1975. — P.133-156.

47. Dean W.R. Note on the motion of fluid in a curved pipe //Phil. Mag. — vol.4, 1927. — P.208-223.

48. Dean W.R. The stream-line motion of fluid in a curved pipe //Phil. Mag. — vol.5, 1928. — P.673-695.

49. Inava Т., Murata S. Pulsating laminar flow in a sinusoidally curved pipe // Bull. JSME. — 21, 1978. — P.832-839.

50. Ishigaki H. Analogy between laminar flows in curved pipes and ortogonally rotating pipes //J. Fluid Mech. — vol.268, 1994. — P.133-145.

51. Lee U., Рак C.H., Hong S.C. The dynamics of a piping system with internal unsteady flow // J. Sound and Vibr. — 1995. — 180, N2.

— P.297-311.

52. Lynch D.G., Waters S.L., Pedley T.J. Flow in a tube with nonuniform, time-dependent curvature: governing equations and simple examples //J. Fluid Mech. — vol.323, 1996. — P.237-265.

53. Lyne W.H. Unsteady viscous flow in a curved pipe //J. Fluid Mech. — vol.45, 1971. — P.13-31.

54. Makrides Gr. Path to chaos for flow-induced vibrations in tubes conveying fluid //J. Theor. and Appl. Mech. — 1994. — 25, N3.— P.62-69.

55. Otwell R.S. The effect of elbow translations on pressure transient analysis of piping systems // Fluid Transients and Fluid-Structure Interaction, ASME PVP. — Vol.64, 1982. — P. 127-136.

56. Skalak R. An extension of the theory of water hammer // TRANS. ASME. — Vol. 78, 1956, N1. — P. 105-116.

57. Singh M.P. Entry flow in a curved pipe //J. Fluid Mech. — vol.65, 1974. — P.517-539.

58. Smith F.T. Pulsatile flow in curved pipes //J. Fluid Mech. — vol.71, 1975. — P. 15-42.

59. Swanson C.J., Stalp S.R., Donnelly R.J. Experimental investigation of periodic flow in curved pipes //J. Fluid Mech. — Vol. 256, 1993. — P.69-83.

60. Tkachenko O.P. The mathematical model of propagation of the pressure wave in the fluid stream within the curved underground pipeline // Pacific international conference "Mathematical modeling and Criptography" (Vladivostok: August 13-20, 1995): Abstracts /The Institute of Applied Mathematics, FEB Russian Academy of Sciences. — Vladivostok: Dalnauka, 1995. — P.79.

61. Walker J.S., Phillips J.W. Pulse Propagation in Fluid-Filled Tubes // Journal of Applied Mechanics. — March, 1977. — P.31-35.

62. Wiggert D.C., Otwell R.S., Hatfield F.J. The Effect of Elbow Restraint of Pressure Transients // Journal of Fluids Engineering. — Vol. 107, 1985. — P.402-406.

63. Williams D.J. Waterhammer in non-rigid pipes: Precursor waves and mechanical damping // Journal of Mechanical Engineering Science. — Vol. 19, 1977, N6. — P.237-242.

64. Yao L.S., Berger S.A. Entry flow in a curved pipe //J. Fluid Mech. — vol.67, 1975. — P.177-196..

Рисунок 1.2. Криволинейная система координат.

Рисунок 1.3. Плотность силы на площадке с!а.

Рисунок 2.1. К выводу силы давления грунта.

О . 0003 -,

-5е-05 —11111111 1_

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Рисунок 2.2а. Продольное смещение стенки трубопровода в нулевом приближении. При закрепленных концах максимально в центре.

бе-06

I I г

W0 -

5е-06 -

4е-Об -

3е-0б -

2е-0б

1е-0б -

О ^...........1..........1...........1..........1...........1...........1...........1...........I-

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Рисунок 2.26. Радиальное смещение стенки трубопровода в нулевом приближении. Выпученность трубы максимальна при максимальном давлении (возле начала координат), линейно падает до точки ( = С. В окрестности концов трубы быстро меняется до нуля, в соответствии с краевым эффектом.

О . 0001

п

г

5е- 05

Ч

0 4

-5е-05 -

-0 . 0001 -;

-0.00015 ч

-0 . 0002 -

-0 . 00025 —

-0.0003 J 1 1 I I I I I Ь

о

100 200 300 400 500

600

700

800

Рисунок 2.3. Стационарное продольное смещение стенки трубопровода в первом приближении.

5е- 05

■5е-05 -

-0 . 0001 -

•0 . 00015 -

•0 . 0002 J 0

100

200

300

400

500

б 00

700

1_

800

Рисунок 2.4. Стационарное угловое смещение стенки трубопровода в первом приближении.

5е-05 -,

0

-5е-05

-0.0001 -

-0.00015 ч

-0 . 0002 -I

0 100

Рисунок 2.5. Стационарное радиальное смещение стенки трубопровода в первом приближении.

20 0

300

400

500

600

700

100

О . 001

1

I I

0 .0005 Ч

-0 .0005

■0 . 001 -

Л

-0.0015 -

-0.002 -

■0.0025 -I 0

100

200

300

400

500

600

700

1_

юо

Рисунок 2.6. Стационарное давление жидкости в первом приближении. Зависит от знака кривизны. Имеет смысл перепада давления на диаметре и стремится увеличить кривизну оси.

Рисунок 2.7. Физический смысл

к*тт> т < о

Р0£1П(Й) <-

т >0

Рисунок 2.8. Физический смысл р0.

О . 025

Г I I I

0 . 02

0 . 015

0 . 01

11111 —■ РО^аи), zeta=100 -

О . 005

tau

■О . 005 ь О

100 200 300 400 500

;оо

700 800

J

90 О

Рисунок 3.1. Нестационарное давление в жидкости в нулевом приближении при фиксированном (. Вдали от начала трубы формируется прямоугольный сигнал, встречающийся и в работах других авторов.

Рисунок 3.2. Нестационарное давление в жидкости в нулевом приближении.

О.00025 0.0002 0.00015 0 . 0001 5е- 05 0

Рисунок 3.3. Нестационарное продольное смещение стенки трубопровода в нулевом приближении.

1.5e-06

le-06

5e- 07

1аи

Рисунок 3.4. Нестационарная скорость жидкости в нулевом приближении. Ввиду постоянного поступления энергии в систему и условия равенства полного давления атмосферному на выходе скорость растет при отражении от выхода.

100 200 300 400 500 600 700 800 900

Рисунок 3.5. Радиальное смещение стенки трубопровода в первом приближении при фиксированном С- Импульсы функции смещения совпадают по виду и времени с импульсами давления нулевого приближения на рис. 3.1.

О . 015 -

I

111111 ТЯ1''(Ьаи), zeta=87 . 5 -

Рисунок 3.6. Радиальное ускорение стенки трубопровода. Ускорение имеет вид, обеспечивающий функцию смещения стенки на рис. 3.5.

|||||-1 Р1(Ьаи), zeta=100 -

Рисунок 3.7а. Давление жидкости в первом приближении, ( = 100. Имеет смысл перепада давления на диаметре (см. рис. 3.10) Знак зависит от знака кривизны оси трубопровода.

Р1 (Ьаи) , zeta=87.5

tau

-0.02-1 | | | | | | | |

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Рисунок 3.76. Давление жидкости в первом приближении, ( = 87,5. Если сравнить с рис. 3.7а, то можно увидеть зависимость р от знака и величины кривизны оси трубопровода.

2.5е-06г | | | | | , | | | и

Рисунок 3.8а. Скорость жидкости в нулевом приближении, С = 100.

Рисунок 3.86. Скорость жидкости в нулевом приближении, £ = 87,5. Сравнивая с 3.8а, видим, что ь80 не зависит от кривизны оси трубопровода.

Рисунок 3.9. Давление жидкости в нулевом приближении, при £2 таких, что (1 < (2- Отсюда видно, что как при прямом, так и при обратном прохождении импульса жидкость ускоряется.

0

Б,

А

I \

\ /

Рисунок 3.10. Физический смысл р.