Математическое моделирование (B,S,F)-рынков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Колясникова, Елена Рифовна

• Колясникова, Елена Рифовна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колясникова, Елена Рифовна

Оглавление.

Основные обозначения.

Введение.

1. Основные положения теории (В,8)-рынков

1.1 Основные понятия теории (В,8)-рынков.

1.1.1 Капитал, портфель, самофинансирование.

1.1.2 Полнота, безарбитражность, хеджирование

1.2 Модели ценовых процессов на (В,8)-рынке.

1.3 Хеджирование на полных и неполных рынках.

1.3.1 Хеджирование на полных рынках.

1.3.2 Хеджирование на неполных рынках.

1.4 Выводы по главе 1.

2. Исследование бинарной модели (В,8,Р)-рынка.'.

2.1 Построение модели (В,8,Р)-рынка.

2.2 Полнота (В,8,Р)-рынка.

2.3 Безарбитражность (В,8,Р)-рынка.

2.3.1 Одношаговая модель. Условия локальной безарбитражности при произвольном потоке платежей.

2.3.2 Двухшаговая модель (В,8,Р)-рынка с нулевым потоком платежей

2.3.3 Безарбитражность полного (В,8,Р)-рынка без платы за короткие продажи.

2.4 Выводы по главе 2.

3. Оптимальное хеджирование на бинарном (ВДР)-рынке.

3.1 Минимальная стоимость начального портфеля. Точные алгоритмы.

3.2 Верхняя и нижняя оценки минимальной стоимости начального портфеля.

3.3 Хеджирование с заданной вероятностью

3.4 Выводы по главе 3.

4. Численный эксперимент.

4.1 Пакет прикладных программ HedgBSF. Руководство пользователя.

4.2 Результаты численного эксперимента.

4.3 Выводы по главе 4.

Основные результаты работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование (B,S,F)-рынков»

Актуальность темы

Математическое описание поведения цен рисковых и безрисковых активов привлекло внимание многих исследователей, начиная с 1900 г. (Bachelier L., Samuelson Р.А., Сох J.C., Ross S.A., Rubinstein M., Merton R.C., Madan D.B., Hull J., White A., Vasicek О. и др.).

Во второй половине 20 века возникла теория (В,8)-рынков, в которой рассматриваются портфели, состоящие из рискового (акции, валюта) и безрискового (БА) (банковский счет) активов (Harrison J.M., Kreps D.M., Pliska S.R., Dalang R., Morton A., Willinger W., Ширяев A.H., Мельников A.B. и др.).

Теория (В,8)-рынков получила широкое развитие в работах многих исследователей, в частности, Fôllmer H., Leukert P., Sondermann D., Schweizer M., Schal M., Duffie D., Richardson H.R., Ширяева A.H., Мельникова A.B., Кабанова Ю.М., Крамкова Д.О., Нагаева А.В., Павлова И.В., Белявского Г.И., Демина Н.С. и других. Модели (В,8)-рынков широко применяются на практике как инструментарий для определения «справедливой» цены опциона.

Общепринятым является анализ моделей (В,8)-рынков с привлечением вероятностного аппарата, при котором используется не физическая, а риск-нейтральная (мартингальная) вероятность, т.е. в основе анализа лежит теория мартингалов. Некоторые авторы элементы теории (В,8)-рынков строили на основе алгебраических и геометрических соображений, не используя методы стохастического анализа.

Ширяев А.Н. считает целесообразным рассмотрение более общих моделей рынков, в частности, с учетом дивидендов, потребления и инвестирования, операционных издержек.

В диссертационной работе исследуется модель рынка, состоящего из акции, безрискового актива и потока платежей ((B,S,F)-pbiHOK), где предусмотрены платежи за займы акции и безрискового актива. Инструменты (B,S,F)-pbiHKa характеризуются следующим образом:

- БА — ликвидный актив, цена которого в любой момент известна заранее (безрисковый);

- акция — ликвидный инструмент, цена которого в любой момент заранее неизвестна (рисковый);

- поток платежей - неликвидный инструмент, платежи (поступления) по которому определены заранее (безрисковый).

В отличие от операционных издержек за покупку-продажу акций, рассмотренных в работах Ширяева А.Н, Мельникова A.B., Кабанова Ю.М. и др., в диссертационной работе рассматривается плата за займы активов (операции типа «короткие продажи - Short Sales»). Подобные операции часто встречаются на практике.

Таким образом, в работе исследуется модель рынка, учитывающая ряд явлений, характерных для рынка ценных бумаг и деятельности инвестора. Тем самым, тематика работы является актуальной.

Цель работы

Целью работы является построение и исследование математических моделей финансовых рынков, состоящих из трех финансовых инструментов - безрискового актива, акции, потока платежей ((B,S,F)-pbiHOK). Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.

1. Построение математической модели (B,S,F)-pbiHKa при структуре цены акции в виде бинарного дерева с оплатой коротких продаж, определение и исследование полноты и безарбитражности для этого класса рынков.

2. Разработка методов и алгоритмов решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции специального вида, заданной на бинарном дереве, и построение на этой основе эффективных алгоритмов вычисления минимальной стоимости исходного портфеля, при которой платежная функция не меньше заданной (верхняя цена хеджирования).

3. Вычисление верхней цены хеджирования и соответствующего ей хеджа, обеспечивающего платежную функцию в терминальных вершинах дерева состояний цены акции не менее заданной с известной вероятностью и минимизирующего стоимость начального портфеля при известных вероятностях переходов из начальной вершины в терминальные на дереве состояний цены акции (квантильное хеджирование).

4. Разработка комплекса программ, реализующего разработанные алгоритмы, экспериментальная проверка эффективности работы предложенных алгоритмов.

Объектом исследования является (В,8,Р)-рынок с оплатой коротких продаж. Предметом исследования выступают свойства (В,8,Р)-рынка и построение хеджирующих стратегий в рассматриваемой модели.

Методы исследования

Исследование полноты и безарбитражности проводилось на основе методов алгебры и геометрии, построение хеджирующей стратегии опирается на методы линейной оптимизации. Расчеты проводились на основе разработанного автором программного комплекса Нес^ВЭР в среде Ма1:ЬаЬ.

Информационная база исследования включает сгенерированные случайным образом по равномерному закону безарбитражные (В,8,Р)-рынки.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель бинарного (В,8,Р)-рынка с оплатой коротких продаж, условия полноты и безарбитражности подобных рынков (п. 2 Паспорта специальности 05.13.18).

2. Эффективные методы и алгоритмы решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции, заданной на бинарном дереве, и построения хеджирующей стратегии (В,8,Р)-рынка с минимальной стоимостью начального портфеля (п. 4 Паспорта специальности 05.13.18).

3. Комплекс программ для проведения численного эксперимента по оценке эффективности работы предложенных алгоритмов (п. 5 Паспорта специальности 05.13.18)

Научная новизна

1. Рассмотрена новая математическая модель бинарного (В^Д7)-рынка с оплатой коротких продаж, в которой динамика цены акции, в отличие от модели Кокса-Росса-Рубинштейна, описана произвольным бинарным деревом без заданного вероятностного распределения. Для предложенной модели получены условия полноты и безарбитражности на основе методов алгебры и геометрии без привлечения вероятностного аппарата, в частности мартингальной техники.

2. Разработаны новые методы и алгоритмы решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции специального вида, заданной на бинарном дереве, основанные на построении бинарного дерева задач линейного программирования. На основе предложенных методов и алгоритмов построены верхние хеджирующие стратегии (В,8,Р)-рынка с учетом платежей за короткие продажи.

3. Разработан комплекс программ, реализующий новые алгоритмы, которые позволяют существенно сократить объем вычислений для определения хеджирующих стратегий по сравнению с переборным алгоритмом.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость заключается в построении и анализе бинарной модели (В,8,Р)-рынка с оплатой коротких продаж и формировании эффективных алгоритмов построения хеджирующих стратегий. Метод решения может применяться для решения родственных задач минимизации кусочно-линейных функций специального вида, заданных на бинарном дереве. Практическая значимость заключается в определении величины минимального начального капитала, необходимого для построения хеджирующей стратегии (определение цены платежного обязательства).

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на научных семинарах и конференциях, соответствующих профилю диссертации. В частности были сделаны доклады:

1. на третьей всероссийской зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 20-23 февраля 2008 г.).

2. на 31-й Международной научной школе-семинаре "Системное моделирование социально-экономических процессов" (г. Воронеж, 1-5 октября 2008 г.).

3. на Всероссийской молодежной научной конференции Мавлютовские чтения (г. Уфа, 28-29 октября 2008 г.).

4. на четвертой всероссийской зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 19-21 февраля 2009 г.).

5. на VIII Международной ФАМ'2009 конференции (г. Красноярск, 24-26 апреля 2009 г.).

6. на V Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий" (г. Сочи, 10-15 мая 2009 г.).

7. на 16 Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и 10 Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009 г.).

8. на 21 международной конференции по системным исследованиям, информатике и кибернетике, ИнтерСимп-2009 (г. Баден-Баден, 3-7 авг. 2009 г.).

9. на 32-й Международной научной школе-семинаре "Системное моделирование социально-экономических процессов" (г. Вологда, 5-10 октября 2009 г.).

10. на пятой всероссийской зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 17-20 февраля 2010 г.).

Публикации. Список публикаций автора по теме диссертации включает 14 научных трудов, в том числе 4 статьи в рецензируемых научных журналах из списка ВАК, свидетельство об официальной регистрации программного продукта, 4 публикации в трудах международных конференций, 5 публикаций в других изданиях. Восемь публикаций выполнено без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы, основных результатов работы, библиографического списка литературы, включающего 163 источника, 1 приложения, содержит 15 таблиц, 32 рисунка. Общий объем работы составляет 189 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Колясникова, Елена Рифовна

Основные результаты работы

1. Построена математическая модель рынка (В,8,Р)-модель, отличающаяся тем, что с целью учета практически важных процессов на финансовом рынке, в ней учтены наличие потока платежей и оплата коротких продаж. Установлены некоторые условия полноты и безарбитражности рассматриваемых рынков.

2. Разработаны методы и алгоритмы решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции специального вида, заданной на бинарном дереве, и на их основе построены алгоритмы формирования хеджирующей стратегии (В,8,Р)-рынка с минимальной стоимостью начального портфеля.

3. Разработан алгоритм вычисления верхней цены хеджирования и соответствующего ей хеджа, обеспечивающего платежную функцию в терминальных вершинах дерева состояний цены акции не менее заданной с известной вероятностью и минимальной стоимостью начального портфеля при известных вероятностях переходов из начальной вершины в терминальные на дереве состояний цены акции.

4. Разработан программный продукт в среде Ма1:ЬаЬ, реализующий разработанные алгоритмы, которые позволяют существенно сократить объем вычислений для определения хеджирующих стратегий по сравнению с переборным алгоритмом. Проведен вычислительный эксперимент, подтвердивший эффективность предложенных алгоритмов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 07-06-00021, 10-06-00001).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колясникова, Елена Рифовна, 2010 год

1. Аникина A.B., Демин Н.С. Исследование европейского опциона продажи с последействием в случае выплаты дивидендов // Вестник Томского государственного университета. 2006. - № 290. - С. 216-220.

2. Аникина A.B., Демин Н.С. Применение вероятностных методов в исследовании Европейского опциона // Известия Томского политехнического университета. 2006. - Т. 309. - № 1. - С. 11-15.

3. Аникина A.B., Демин Н.С., Рожкова C.B. Применение вероятностных методов к исследованию одного типа экзотических опционов в диффузионной модели (В,8)-финансового рынка // Известия Томского политехнического университета. 2007. - Т. 310. - № 2. - С. 45-49.

4. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова E.H. MATLAB 7. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 1104 с.

5. Бабайцев В.А., Гисин В.Б. Концепция арбитража в математической теории эффективного рынка // Вестник финансовой академии. 2005. - № 2. - С.75-80.

6. Белявский Г.И., Богачева М.Н. Хеджирование в среднеквадратичном для модели (В,8)-рынка, подверженного скупке со стороны двух агрессивных скупщиков // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2005. Т.12. - №4.- С. 909-910.

7. Белявский Г.И., Гробер Т.А. Квантильное хеджирование для одной модели неполного рынка // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2005.-Т.12.- №4.- С. 910-912.

8. Белявский Г.И., Гробер Т.А., Мисюра В.В. Хеджирование сверху для одной модели неполного рынка // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11. - №1. - С. 96-98.

9. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Аппроксимация одного неполного (B,S)-pbiHKa КРР (B,S)-pbiHKOM с динамически изменяющимися параметрами

10. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. - Т.14. -№6.-С. 1091-1092.

11. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Вычисление хеджа в случае одного неполного рынка*// Обозрение прикладной и промышленной математики. -2008. -Т.15. — №4. С. 693-694.

12. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Прогнозирование поведения рисковых активов с помощью модели стохастической волатильности // Обозрение прикладной-и промышленной математики. 2005. - Т. 12. - №3. -С. 702.

13. Богачева М.Н. Реализация интерполяционных теорем для одной модели финансового рынка // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т.9. - №1. - С. 108.

14. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных. // 'Успехи математических наук. 2002. - Т. 57. - В.З. - С. 143-144.

15. Боди 3., Мертон Р. Финансы: Пер. с англ. М.: Издательский дом "Вильяме", 2003. - 592 с.

16. Бронштейн Е.М. Рынок акций и облигаций: алгебраический подход. // Труды третьей всероссийской ФАМ'2004 конференции, ч.2. — Красноярск, ИВМ СО РАН, 2004. С. 45-53.

17. Бронштейн Е.М., Колясникова Е.Р. (B,S,F)-pbiHOK и его свойства // Управление риском. 2009. - №1. - С.50-64.

18. Бронштейн Е.М., Колясникова Е.Р. Модель (B,S,F)-pbiHKa и хеджирующие стратегии // Управление риском. 2010. - №2. - С.55-64.

19. Бронштейн Е.М., Колясникова Е.Р. Приближенные хеджирующие стратегии в модели (B,S,F)-pbiHKa // Математическое моделирование. 2010. - Т. 22. - №11. - С. 29-38.

20. Бронштейн Е.М., Рачев С. Задача формирования оптимального портфеля акций' и облигаций с учетом трансакционных расходов // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. - Т.П. - №4. - с.25-33.

21. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов: Учебное пособие М.: 1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998. - 352 с.

22. Войфел, Ч. Энциклопедия банковского дела и финансов. М.: Корпорация "Федоров", 2003. 1 584 с.

23. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 1997. -Т.4. С.18-65.

24. Волосатова Т.А. Условия существования субмартингальной меры в случае восстановления полноты (В, S)-pbiHKa // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11. — № 1. — С. 107-108.

25. Волосатова Т.А., Горгорова В.В. О хааровских интерполяциях финансовых рынков, приводящих к полным рынкам // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11. - №3. — С. 505-506.

26. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Об интерполяции финансовых рынков, включая арбитражные // Обозрение прикладной- и промышленной математики. 2004. - Т. 11. - №3. - С. 458-467.

27. Выхристов В.А., Можаев Г.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (В,8)-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. - Т. 14. -№5. -С. 769-787.

28. Галанов В. А. Производные инструменты срочного рынка: фьючерсы, опционы, свопы. Учебник. М.: Финансы и статистика, 2002. 464 с.

29. Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры // Теория вероятностей и ее применения. 1960. - Т. 54. — №3. - Р. 314-330.

30. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Модель (B,S)-pbiHka с бесконечным числом скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2005. -Т.12. -№1. С. 143-144.

31. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Об ослабленном свойстве универсальной хааровской единственности // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т.П. -№3. - С. 506-508.

32. Дёмин Н.С., Ерлыкова A.B., Паныпина Е.А. Исследование одного вида экзотических опционов при наличии оттока и притока капиталав биномиальной модели (В, 8)-рынка ценных бумаг // Дискретный анализ и исследование операций. — 2009. — Т. 16. № 6. - С. 23-42.

33. Демин Н.С., Маркелова А.В. Исследование экзотического опциона продажи в биномиальной модели в случае притока и оттока капитала // Вестник Томского государственного университета. 2006. - № 293.-С. 12-17.

34. Демин Н.С., Толстобоков В.В. Опционы на диффузионном (В, Р)-рынке облигаций в случае ШМ-модели // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. - № 4. - С. 41-50.

35. Демин Н.С., Трунов А.И. Исследование опциона купли в случае хеджирования с заданной вероятностью // Известия Томского политехнического университета. 2007. - Т. 310. - № 2. - С. 49-55.

36. Демин Н.С., Трунов А.И. Исследование опциона продажи в случае квантильного хеджирования // Вестник Томского государственного университета. 2006. - № 293. - С. 25-30.

37. Дёмин Н.С., Шиширин М.Ю. Европейский опцион с произвольным числом типов рисковых ценных бумаг в случае дискретного времени // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 2. 2002. - Т. 9. -№ 1.-С. 3-20.

38. Джозефи Н., Кимболл Л., Стебловская В. Р., Нагаев А. В., Пасниевский М. Алгоритмический подход к несамофинансируемому хеджированию на неполном рынке в дискретном времени // Дискретная математика. 2007. - т. 19. - № 3. - С. 140-159.

39. Дубовик A.A. Оценка и хеджирование опционов при наличии трансакционных издержек: подход суперхеджирования // Экономический журнал ВШЭ. 2004. - Том. 8. - № 4. - С. 491-519.

40. Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мартингальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски // Теория вероятностей и ее применения. 1994. — Т. 39. — С. 635-640.

41. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.x.: программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 672 с.

42. Колясникова Е.Р. Модель (B,S,F)-pbiHKa // Мавлютовские чтения: Всероссийская молодежная научная конференция: сб. тр. в 5 т. Том 3 /

43. Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа: УГАТУ. 2008. - С.154-156.

44. Колясникова Е.Р. Построение самофинансируемой стратегии на (B,S,F)-рынке // Актуальные проблемы науки и техники: сб. трудов 5 всеросс. зимн. школы-семинара аспирантов и молодых ученых. Уфа: Изд-во «Диалог», 2010. Т. 1.С. 133-136.

45. Колясникова Е.Р. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010612004. Хеджирование на (B,S,F)-pbiHKe. М.: Роспатент, 2010.

46. Колясникова Е.Р. Хеджирующая стратегия в модели (B,S,F)-рынка // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.16. - №3. -2009. - 576. - С. 467-468.

47. Кондратьева Т.Н., Белявский Г.И. Хеджирование в среднем для финансового рынка, подверженного мягкой скупке акций // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12. - №4. - С. 993-994.

48. Крамков Д.О. О замыкании семейства мартингальных мер и опциональном разложении семимартингалов // Теория вероятностей и ее применения. 1996. - т. 41. - С. 892-896.

49. Красий Н.П., Павлов И.В. О расширении финансового рынка до полного и безарбитражного в случае скупки акций // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 2000. - с. 235-236.

50. Мартынов H.H. Matlab 7. Элементарное введение. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2005.-416 с.

51. Мельников A.B. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997. 126 с.

52. Мельников A.B., Волков С.Н., Нечаев M.JI. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ-ВШЭ, 2001. - 260 с.

53. Мельников A.B., Нечаев M.JI. К вопросу о хеджировании платежных обязательств в среднеквадратичном // Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т. 43. - С. 672-691.

54. Мельников A.B., Попова Н.В., Скорнякова B.C. Математические методы финансового анализа. М.: "Анкил", 2006. - 440 с.

55. Новиков А. А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т. 43. - № 1. - С. 152-161.

56. Потемкин В.Г. Вычисления в среде MATLAB. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2004. - 720 с.

57. Фельдман А. Б. Производные финансовые и товарные инструменты: учебник. М: Финансы и статистика, 2003. 304 с.

58. Фёльмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время / Пер. с англ. М.: МЦНМО, 2008. - 496 е.: ил.

59. Халл Джон К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты, 6-е издание: Пер. с англ. М.: ООО "И.Д. Вильяме", 2008. - 1056 е.: ил.

60. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1-2, М.: Фазис, 1998. 1056 с. (512 е., 544 с.)

61. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. - Том 1. -В. 5.-С. 780-820.

62. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников A.B. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. I. Дискретное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994. - Т. 39. -В.1. - С. 21-79.

63. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников A.B. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. II. Непрерывное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994. - Т. 39. -В.1.-С. 80-129.

64. Andersen Т. Stochastic autoregression volatility: a framework for volatility modeling // Mathematical Finance. 1994. - V. 4. - P. 75-102.

65. Bachelier L. Theory of speculation // in Cootner (ed.). The Random Character of Stock Market Prices. Cambridge, MA: MIT Press, 1964. - P. 17-78.

66. Black F., Derman E., and Toy W. A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options // Financial Analysis Journal. 1990. - January-February. - P. 24-32.

67. Black F., Karasinski P. Bond and Option pricing when Short rates are Lognormal // Financial Analysis Journal. 1991. - July-August. - P. 52-59.

68. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy. 1973. - V. 81. - №3. - P. 637-654.

69. Boness A.J. Elements of a theory of stock-option value // Journal of Political Economy. 1964.-V. 72.-P. 163-175.

70. Bouchard B., Kabanov Yu. M., Touzi N. Option pricing by large risk aversion utility under transaction costs // Decisions in Economics and Finance, Springer-Verlag. 2001. - DEF 24. - P. 127-136.

71. Chen L. Stochastic Mean and Stochastic Volatility A Three-Factor Model of the Term Structure of Interest Rates and Its Application to the Pricing of Interest Rate Derivatives // Financial Markets, Institutions, and Instruments. -1996.-V. 5.-P. 1-88.

72. Cowles A. Can stock market forecasters forecast? // Econometrica. -1933.-V. 1.-P. 309-324.

73. Cowles A. Stock market forecasting // Econometrica. 1944. - V. 12. -№3/4.-P. 206-214.

74. Cowles A., Jones H. Some a posteriori probabilities in stock market action // Econometrica. 1937. - V. 5. - P. 280-294.

75. Cox J.C., Ingersoll J.E. and Ross S.A. A Theory of the Term Structure of Interest Rates // Econometrica. 1985. - V. 53. - №2. - P. 385-407.

76. Cox J.C., Ross S.A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes // Journal of Financial Economics. 1976. - V. 3. - P. 145166.

77. Cox J.C., Ross S.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach // Journal of Financial Economics. 1979. - V.7. - №3. - P. 229-263.

78. Dalang R., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stochastics and Stochastics Reports. 1990. - V. 29. - P. 185-201.

79. De Valliere D., Denis E., Kabanov Y. Hedging of American options under transaction costs // Finance and Stochastics. 2009. - V. 13. - №1. - P. 105119.

80. De Valliere D., Kabanov Yu.M., Strieker Ch. No-arbitrage criteria for financial markets with transaction costs and incomplete information // Finance and Stochastics. 2007. - V. 11. - №2. - P. 237-251.

81. Delbaen F., Schachermayer W. A Compactness Principle for Bounded Sequences of Martingales with Applications // Progress in Probability. 1999. -V.45.-P. 137-173.

82. Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing // Mathematische Annalen. 1994. - V. 300. - P. 463520.

83. Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Mathematische Annalen. 1988. -V. 312.-P. 215-250.

84. Dothan L. U. On the term structure of interest rates // Journal of Financial Economics. 1978. - V. 6. - №1. - P. 59-69.

85. Duan J.-C. The GARCH Option Pricing Model // Mathematical Finance. 1995. - V.5. - P. 13-32.

86. Duffie D., Richardson H.R. Mean-variance hedging in continuous time // Annals of Applied Probability. 1991. - V. 1. - P. 1-15.

87. El Karoui N., Quenez M.C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in incomplete markets // SIAM Journal on Control and Optimization. 1995. -V. 33. -№1. - P. 29-66

88. Elliott R.J., Swishchuk A.V. Pricing Options and Variance Swaps in Markov-Modulated Brownian Markets. // Hidden Markov Models in Finance, New York, USA: Vieweg, Springer Science+Business Media, 2007. P. 45-68.

89. Esscher F. On the Probability Function in the Collective Theory of Risk // Skandinavisk Aktuarietidskrift. 1932. - V. 15. - P. 75-95.

90. Follmer H., Kabanov Yu.M. Optional decomposition and Lagrange multipliers // Finance and Stochastics. 1998. - V. 2. - P. 69-81. ■

91. Follmer H., Kramkov D.O. Optional decompositions under constraints // Probability Theory and Related Fields. 1997. - V.109. - №1. - P. 1-25.

92. Follmer H., Leukert P. Efficient hedging: cost versus shortfall risk // Finance and Stochastics. 2000. - V. 4. - P. 117-146.

93. Follmer H., Leukert P. Quantile hedging // Finance and Stochastics. -1999. -V. 3. — P. 251-273.

94. Follmer H., Schweizer M. Hedging of contingent claims under incomplete information // Applied Stochastic Analysis (Stochastic Monographs. V. 5) / Davis M.H.A. and Elliott R.J., eds. Gordon and Breach, London, 1991. P. 389-414.

95. Follmer H., Sondermann D. Hedging of non-redundant contingent claims // Contributions to mathematical economics. North-Holland, Amsterdam. -1986.-P. 206-223.

96. Gerber H.U., Shiu E.S.W. Option pricing by Esscher transforms // Transactions of the Society of Actuaries. 1994. - V. 46. - P. 99-191.

97. Grossinho M. R. Mathematical models in finance // A Portrait of State-of-the-Art Research at the Technical University of Lisbon, Springer, 2007. -P. 89-101.

98. Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets // Journal of Economic Theory. 1979. - V. 20. - P. 381-408.

99. Harrison J.M., Pliska S.R. A stochastic calculus model of continuous trading: complete markets // Stochastic Processes and their Applications. 1983. -V. 15.-P. 313-316.

100. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading // Stochastic Processes and their Applications. 1981. -Vol. 11.-P. 215-260.

101. Heston S.L. A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bonds and Currency Options // Review of Financial Studies. 1993. - V. 6. - № 2. - P. 327-343.

102. Ho T.S.Y., Lee S.B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims // Journal of Finance. 1986. - V. 41. - №5. - P. 10111029.

103. Hoffman N., Platen E., Schweizer M. Option pricing under uncompleteness and stochastic volatility // Mathematical Finance. — 1992. — V. 2. -P. 189-196.

104. Hull J. and White A. Pricing interest-rate derivative securities // The Review of Financial Studies. 1990. - V. 3. - №4. - P.(573-592.

105. Hull J.C. and White A. An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility // Advances in Futures and Options Research. -1988.-V.3.-P. 27-61.

106. Hull J.C. and White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // Journal of Finance. 1987. - V.42. - P. 281-300.

107. Josephy N., Kimball L., Steblovskaya V. A Time-Series Approach to Non-Self-Financing Hedging in a Discrete-Time Incomplete Market // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 2008. - P. 1-20.

108. Josephy N., Kimball L., Steblovskaya V. Optimal hedging of path-dependent options in discrete time incomplete market // Communications on Stochastic Analysis. 2008. - V. 2. - №3. - P. 385-404.

109. Jouini, E., Cvitanic, J., Musiela, M. (eds.) Handbooks in mathematical finance: Option pricing, interest rates and risk management. Cambridge: Cambridge University Press. 2001.

110. Kabanov Yu. M., Safarían M. M. On Leland's strategy of option pricing with transactions costs // Finance and Stochastics. 1997 - V. 1. - P. 239250.

111. Kabanov Yu., Klüppelberg C. A geometric approach to portfolio optimization in models with transaction costs // Finance and Stochastics. 2004. -V.8. - №2. - P. 207-227.

112. Kabanov Yu., Mishura Yu. Sakhno L. Multiparameter generalizations of the Dalang-Morton-Willinger theorem. Kabanov, Yuri (ed.) et al. // From Stochastic calculus to mathematical finance. The Shiryaev Festschrift. Berlin: Springer. - 2006. - P. 333-341.

113. Kabanov Yu., Rásonyi M., Strieker Ch. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction // Finance and Stochastics. 2002. - V. 6. -№3. — P. 371-382.

114. Kabanov Yu., Safarian M., Markets with Transaction Costs: Mathematical Theory (Springer Finance), Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009. -294p.-P. 71-104.

115. Kabanov, Y.M.: Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets // Finance and Stochastics. 1999. - V. 3. - №2. - P. 237-248.

116. Kabanov, Yu.M., Strieker, Ch.: A teachers' note on no-arbitrage criteria // Séminaire de Probabilités XXXV. Lecture Notes in Mathematics. 2001. -V. 1755.-P. 149-152.

117. Kabanov, Yu.M., Strieker, Ch.: The Dalang-Morton-Willinger theorem under delayed and restricted information // Séminaire de Probabilités XXXIX. Lecture Notes in Mathematics. 2006. - V. 1874. - P. 209-213.

118. Kabanov,Yu.M., Strieker, Ch.: Remarks on the true no-arbitrage property // Séminaire de Probabilités XXXVIII. Lecture Notes in Mathematics. -2003.-V. 1857.-P. 186-194.

119. Kascheev D. E. Compound Cox Processes And Option Pricing // Journal of Mathematical Sciences. 2001. - V. 106. -№1.-P. 2682-2690.

120. Kascheev D. E. On The Option Pricing For A Generalization Of The Binomial Model // Journal of Mathematical Sciences. 2000. - V. 99. - №3. - P. 1267-1272.

121. Kendall M.G. The analysis of economic time-series. Part 1. Prices // Journal of the Royal Statistical Society. 1953. - V. 96. - P. 11-25.

122. Korn R. Contingent claim valuation in a market with different interest rates // Zeitschrift fur Operation Research. 1995. - Vol.42. - P. 274-292.

123. Kramkov D.O. Optional decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets // Probability Theory and Related Fields. 1996. - V. 105. - №4. - P. 459-479.

124. Madan D.B., Carr P.P. and Chang E.C. The Variance-Gamma Process and Option Pricing // European Finance Review. 1998. - V. 2. - P. 7-105.

125. Merton R.C. Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous // Journal of Financial Economics. 1976. - V. 3. - P. 125-144.

126. Merton R.C. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. - V. 4. - P. 141-183.

127. Nagaev A.V., Nagaev S.A. Asymptotics of riskless profit under selling of discrete time call options // Applicationes Mathematicae. 2003. - V. 30.-№2.-P. 173-191.

128. Osborne M.F.M. Brownian motion in the stock market // Operations Research. 1959. - V. 7. - P. 145-173. (in Cootner (ed.). The Random Character of Stock Market Prices. - Cambridge, MA: MIT Press, 1964. - P. 100-128.)

129. Pham H., Rheinlander T., Schweizer M. Mean-variance hedging for continuous processes: New proofs and examples // Finance and Stochastics. -1998. V. 2.-№2.-P. 173-198.

130. Rendleman R., Bartter B. The Pricing of Options on Debt Securities // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1980. - V. 15. - №1. - P. 11-24.

131. Roberts H.V. Stock-market "patterns" and financial analysis: Methodological Suggestions // Journal of Finance. 1959. - V. 14. - P. 1-10.

132. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. 1965. - V. 6. - P. 13-31.

133. Sandmann K., Sondermann D. A term structure model and the pricing of interest rate derivatives // Review of Futures Markets. 1993. - V. 12. - №2. -P. 391-423.

134. Schal M. On quadratic cost criteria for option hedging // Mathematics of Operations Research.- 1994.-V. 19.-P. 121-131.

135. Schmidt, W. M. On a general class of one-factor models for the term structure of interest rates // Finance and Stochastics. 1997. - V. 1. - №1. - P. 324.

136. Schweizer M. A Guided Tour through Quadratic Hedging Approaches // Option Pricing, Interest Rates and Risk Management / Jouini E., Cvitanic J. and Musiela M., eds. Cambridge University Press. Cambridge, 2001. - P. 538-574.

137. Schweizer M. Variance-optimal hedging in discrete time // Mathematics of Operations Research. 1995. - V. 20. - P. 1-32.

138. Sprenkle C.M. Warrant prices as indicators of expectations and preferences // in Cootner (ed.). The Random Character of Stock Market Prices. -Cambridge, MA: MIT Press, 1964. P. 412-474.

139. Strieker C. Arbitrage et lois de martingale // Annales de l'Institut Henri Poincaré. 1990. - V.26. - №2. - P. 451-460.

140. Svishchuk A.V., Lukin O.E. Filtration Of Components Of Processes Of Random Evolution // Ukrainian Mathematical Journal. 1998. - V. 50. - № 12. - P. 1939-1944

141. Svishchuk A.V., Zhuravitskii D.G., Kalemanova A.V. Analog Of The Black-Scholes Formula For Option Pricing Under Conditions Of (B, S, X)-Incomplete Market Of Securities With Jumps // Ukrainian Mathematical Journal. -2000. V. 52. - №3. - P. 489-497.

142. Vasicek O. An Equilibrium Characterisation of the Term Structure // Journal of Financial Economics. 1977. - V. 5. - №2. - P. 177-188.

143. Wiener N. Differential space // Journal of Mathematical Physics. Math. Inst. Tech. 1923. - V. 2. - P. 131-174.

144. Working H. A random1difference series for use in the analysis of time series // Journal of American Statistical Association. 1934. - V. 29. - P. 11-24.

145. Продажа без покрытия // Материал из Википедии — свободной энциклопедии: http:// ru.wikipedia.org/wiki/Kopoткaяcтaвкa