Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Зверев, Олег Владимирович

• Зверев, Олег Владимирович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Зверев, Олег Владимирович

Оглавление

Список обозначений

Введение

ГЛАВА 1 Постановка и решение многошаговой, стохастической, минимаксной задачи

1.1 Постановка многошаговой, стохастической, минимаксной задачи

1.2 Обоснование применимости стохастического варианта метода динамического программирования к построению решения минимаксной задачи

1.3 Условия существования минимаксной стратегии

1.4 Б-опциональное разложение

1.5 Критерий существования наихудшей меры

1.6 Условия существования решения многошаговой, стохастической, минимаксной задачи

Выводы по главе 1

ГЛАВА 2 Минимаксное хеджирование европейского опциона на многомерном

неполном рынке без трения в дискретном времени

2.1 Сведения из стохастической финансовой математики. Постановка задачи построения суперхеджирующего портфеля европейского опциона на неполном рынке

2.2 Максиминный подход к решению задачи расчета европейского опциона на многомерном неполном рынке без трения и задача (1.4)

2.3 Условия существования совершенного самофинансирующего портфеля с потреблением в задаче расчета европейского опциона на многомерном неполном рынке без трения

2.4 Существование минимального самофинансирующего портфеля с потреблением и

суперхеджирующего портфеля у европейского опциона

2.5 Примеры, допускающие явный вид, совершенных суперхеджирующих портфелей

европейского опциона на неполном одномерном рынке без трения

Выводы по главе 2

ГЛАВА 3 Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке без

трения

3.1 Свойства наихудшей меры

3.2 Хеджирование относительно наихудшей меры

3.3 Минимаксный хеджирующий портфель европейского опциона на одномерном

конечном рынке без трения

3.4 Примеры расчета минимаксного хеджирующего портфеля европейского опциона

на одномерном компактном рынке без трения

Выводы по главе 3

ГЛАВА 4 Квантильное хеджирование европейского опциона на неполном рынке без

трения

4.1 Минимаксный самофинансирующий портфель с потреблением барьерного опциона

на неполном многомерном рынке без трения

4.2 Теория расчета европейского опциона с квантильным критерием на неполном рынке

без трения

4.3 Квантильное минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке

без трения

4.4 Примеры расчета европейского опциона на неполном одномерном рынке без трения

Выводы по главе 4

Заключение

Список литературы

Список публикаций диссертанта по теме диссертации

Список обозначений

В настоящей работе используется следующая система обозначений. Нумерация определений, предложений, теорем, лемм и формул начинается заново в каждой главе, и перед каждым номером ставится номер соответствующей главы. Таким образом, формулы в главе 1 будут иметь номера (1.1), (1.2) и т.д. При этом различные типы утверждений, внутри каждой главы, имеют сквозную нумерацию, например: теорема 1.1, теорема 1.2, лемма 1.3 и т.д. Замечания имеют свою сквозную нумерацию. Ниже приводится список наиболее важных обозначений, используемых в работе: N горизонт

множество {к,..., N} , для любого к = 0, N №)1еНо фильтрация (П, Е, , Р) стохастический базис

(81, мерная согласованная случайная последовательность

$• последовательность 80,...,

Шн множество эквивалентных вероятностных мер

М« множество мартингальных мер

Ер математическое ожидание относительно вероятностной меры Р (интеграл Лебега

относительно меры Р)

Ер (•Т) условное математическое ожидание по мере Р относительно а—алгебры Т

/н Т«—ограниченная случайная величина

Д« множество допустимых стратегий

(в1, одномерная предсказуемая последовательность

(74, мерная предсказуемая последовательность

п портфель

ХП капитал портфеля п в момент времени Ь

(С, Т1)1ен0 согласованная возрастающая последовательность

(п, С) портфель с потреблением

ХП капитал портфеля с потреблением (п, С) в момент времени Ь

(к1, согласованный процесс с ограниченной вариацией

(п, к) портфель с ограниченной вариацией

капитал портфеля с ограниченной вариацией (п, к) в момент времени Ь 1 а индикатор множества А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Минимаксное хеджирование европейского опциона на неполном рынке»

Введение

Диссертация выполнена на кафедре кибернетики Московского института электроники и математики им. А. Н. Тихонова федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики». Она посвящена теории оптимального управления портфелем рисковых активов на неполных многомерных рынках без трения с дискретным временем с конечным горизонтом. В диссертации эта теория применяется к решению ряда задач расчета европейских опционов на неполных многомерных рынках рисковых активов.

Для описания подхода, который используется в работе, приведем необходимые сведения из теории опционов. Под рисковыми активами понимаются объекты, имеющие стоимость, эволюция которых описывается согласованными случайными последовательностями (например, акции). Многомерные рынки - это совокупность рисковых активов, которые полностью описываются распределением вероятностей этих последовательностей. Многомерные предсказуемые случайные последовательности (имеющие туже размерность, что и многомерные рынки) называются портфелем. Рассматриваются только рынки без транзакционных издержек (без трения), т.е. когда отсутствует плата за перевод одного вида актива в другой.

Европейский опцион - это контракт, в соответствии с которым продавец активов (эмитент) продает, а его покупатель имеет право (но не обязанность) совершить покупку по заранее оговоренной цене в момент времени в будущем, который указан в контракте и называемый моментом исполнения. При этом, за право приобрести эти активы в будущем, покупатель должен в момент заключения этого контракта выплатить эмитенту некоторое количество средств (например, деньги) которые называют премией или ценой опциона. При предъявлении опциона покупателем в момент исполнения контракта эмитент должен поставить эти активы покупателю, т.е. у эмитента в момент исполнения опциона возникает обязательство, которое он (эмитент), должен исполнить и которое называют платежным обязательством. Само платежное обязательство является измеримой функцией, возможно, зависящей от всех значений цен рисковых активов вплоть до момента его исполнения. Поэтому, для того чтобы исполнить платежное обязательство эмитент должен построить такой портфель рисковых активов, капитал которого был бы не меньше платежного обязательства с заданной вероятностью. При этом под капиталом портфеля в каждый момент времени понимают сумму произведений количеств рисковых активов на стоимость каждого из них, т.е. его стоимость.

Отметим, что рынки обычно классифицируются на арбитражные и безарбитражные. Под арбитражными понимают рынки, в которых при нулевых вложениях можно извлечь доход с положительной вероятностью. В противном случае рынки называют безарбитражными.

Известен [35] критерий безарбитражности который допускает простую формулировку: рынок безарбитражен тогда и только тогда, когда цены рисковых активов в процессе их эволюции в среднем не меняются. Это означает, что случайные последовательности, описывающие эволюцию цен рисковых активов, являются мартингалами [34], при этом соответствующие им вероятностные меры называют мартингальными или нейтральными к риску. Безарбитражные рынки делятся на полные и неполные. Полные рынки характерны тем, что любое платежное обязательство исполняется достоверно. Последнее означает, что существует такой портфель рисковых активов стоимость которого равна стоимости платежного обязательства. Известен [35] критерий полноты: рынок полон тогда и только тогда, когда существует единственная мартингальная мера. Полный рынок - это идеализация которая, как правило, не имеет места, т.е. реальные многомерные рынки являются неполными. Последнее означает, что вероятностная мера, описывающая неполный рынок - неединственна. Поэтому эмитент для исполнения платежного обязательства должен: 1) выбрать вероятностную меру относительно которой следует проводить расчет европейского опциона, 2) построить портфель рисковых активов, обеспечивающий исполнение платежного обязательства с заданной вероятностью, 3) сформировать цену опциона.

Актуальность темы

Для проведения расчета европейского опциона на неполных рынках в [30], [35] обычно используют принцип справедливой цены. В диссертации, в отличие от выше указанных работ, использован принцип минимакса. Выбор этого принципа основан на следующих соображениях. Априори эмитенту не известно распределение вероятностей наблюдаемой последовательности цен рисковых активов. Предполагается, что функция риска эмитента экспоненциальная и зависит от его дохода (отметим, что такой выбор функции риска обосновывается во второй главе диссертации). Он (эмитент) минимизирует ожидаемое значение экспоненциального риска. Последнее может достигаться за счет такого портфеля, который давал бы возможность эмитенту парировать любые неблагоприятные для него распределения вероятностей рисковых активов. Для реализации этого подхода потребовалось обосновать возможность применения стохастического варианта метода динамического программирования, когда наблюдается согласованная последовательность, а целевой функционал мультипликативен. Стало быть, мы пришли к минимаксной задаче оптимального стохастического управления портфелем, которая в научной литературе не рассматривалась.

В рамках этого подхода удается установить новые условия существования: 1) оптимальных портфелей, являющихся предсказуемыми случайными последовательностями и инвариантными относительно любой меры из класса эквивалентных вероятностных мер, 2) равномерного разложения Дуба относительно любой вероятностной меры из класса эквивалентных

вероятностных мер для измеримых ограниченных функционалов, заданных на траекториях согласованных случайных последовательностей, 3) экстремальных мер, доставляющих наибольшее значение ожидаемому риску и установить свойства этих мер, а также доказать (впервые), что относительно экстремальной меры исходный неполный рынок оказывается полным.

Вышеуказанные результаты позволяют провести конструктивный расчет опционов европейского типа на неполных рынках.

Отсюда следует актуальность как темы, так и результатов диссертационного исследования.

Целью исследования являются нахождение: 1) минимаксного значения ожидаемого экспоненциального риска эмитента, 2) конструктивных условий существования хеджирующего (суперхеджирующего, квантильного хеджирующего, квантильного суперхеджирующего) портфеля европейского опциона на неполном рынке без трения.

Результаты выносимые на защиту:

1) рекуррентное соотношение беллмановского типа, которому удовлетворяет последовательность верхних гарантированных значений ожидаемого экспоненциального риска эмитента на неполном многомерном рынке без трения;

2) условия существования суперхеджирующего, квантильного суперхеджирующего портфелей европейского опциона на многомерном неполном рынке без трения относительно любой меры из класса эквивалентных;

3) критерий существования вероятностной меры (наихудшей меры), доставляющей существенную верхнюю грань ожидаемого экспоненциального риска эмитента, и ее свойства;

4) условия существования минимаксного и квантильного минимаксного портфелей.

Научная новизна

Как правило, в теории расчета европейских опционов на неполных рынках без трения рассматривается статическая постановка задачи. В диссертации рассматривается динамическая постановка:

1) впервые, для случая дискретного времени, обоснована применимость стохастического варианта метода динамического программирования для немарковских систем с мультипликативной функции риска. Последнее позволило установить, что эволюция верхнего гарантированного значения ожидаемого экспоненциального риска эмитента описывается рекуррентным соотношением беллмановского типа, даже для последовательностей цен рисковых активов которые являются семимартингалами;

2) получены новые условия существования равномерного разложения Дуба;

3) установлены условия существования суперхеджирующего, квантильного суперхеджирующего портфеля европейского опциона на многомерном неполном рынке без

трения относительно любой эквивалентной вероятностной меры;

4) установлен критерий существования экстремальной вероятностной меры, которая доставляет максимальное значение ожидаемого экспоненциального риска эмитента, и ее свойства.

Теоретическая значимость

Работа носит теоретический характер. Результаты, изложенные в диссертации, относятся к области стохастического оптимального управления. Они могут быть использованы как в стохастической теории оптимального управления, так и в стохастической финансовой математике. Теоретическая значимость результатов состоит в следующем:

1) найдены условия при выполнении которых эволюция верхнего гарантированного значения ожидаемого экспоненциального риска эмитента удовлетворяет рекуррентному соотношению беллмановского типа когда цены рисковых активов являются семимартингалами,

2) доказано, что любое ограниченное платежное обязательство допускает равномерное разложение Дуба, которое справедливо относительно любой вероятностной меры из класса эквивалентных вероятностных мер,

3) построен критерий существования экстремальных вероятностной меры и портфеля которые доставляют минимаксное значение ожидаемому экспоненциальному риску эмитента, причем доказано, что относительно этой экстремальной меры исходный неполный рынок оказывается полным,

4) доказано, что для случая неполных многомерных рынков без трения с дискретным временем решение задачи квантильного хеджирования (суперхеджирования) сводится к решению двух задач совершенного хеджирования (суперхеджирования).

Практическая значимость

1) поскольку последовательности цен рисковых активов, как правило, являются семимартингалами, то полученные утверждения могут быть использованы для выбора минимаксного управления портфелем активов,

2) установлен критерий существования экстремальной вероятностной меры, относительно которой: а) исходный рынок является полным; б) найдена верхняя граница стоимости опциона, в) построен хеджирующий портфель,

3) для неполных рынков без трения полученные результаты позволяют строить квантильный хеджирующий портфель.

Метод исследования

В работе применяются методы функционального анализа, теории вероятностей, теории случайных процессов и стохастического анализа.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

1) научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ:

зЗверев О.В. Расчет Европейского опциона на биномиальном (B, S)-рынке с квантильным критерием (Москва, МИЭМ, 21 февраля 2006 г.),

зЗверев О.В. Расчет Европейского опциона на полном биномиальном (B, S)-рынке с квантильным критерием (Москва, МИЭМ, 20 февраля 2007 г.),

2) Первом российском экономическом конгрессе:

Зверев О. В., Хаметов В. М. Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона (Москва, МГУ им. Ломоносова, 7-12 декабря 2009 г.),

3) семинаре "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании", проводимом в ЦЭМИ РАН под руководством Аркина В. М. и Пресмана Э. Л.:

Зверев О.В., Хаметов В.М. Минимаксное хеджирование опционов европейского типа на неполных рынках (Дискретное время) (23 ноября 2010 г., 22 марта 2011 г.),

Зверев О.В., Хаметов В.М. Минимаксное хеджирование европейского опциона на конечном (1,Б)-рынке (5 апреля 2011 г.),

Зверев О.В., Хаметов В.М. Расчет европейского опциона с квантильным критерием на неполном рынке (11, 25 февраля 2014 г.),

4) VIII Московской международной конференции по исследованию операций (0RM2016):

O.V. Zverev Quantile hedging of European option in multidimensional incomplete market without

transaction costs (discrete time) (Москва, МГУ им. Ломоносова, 17-22 октября 2016 г.).

5) конференции "Молодая экономика: экономическая наука глазами молодых ученых":

зЗверев О. В. Квантильное хеджирование европейского опциона на полном рынке без трения (дискретное время) (Москва, ЦЭМИ РАН, 7 декабря 2016 г.).

зЗверев О. В. Построение множества успешного хеджирования в задаче расчета европейского опциона на неполном многомерном рынке без трения (дискретное время) (Москва, ЦЭМИ РАН, 1 декабря 2017 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, из них 3 работы в изданиях, входящих в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации составляет 116 страницы машинописного текста.

Список использованной литературы содержит 85 наименований.

Степень проработанности проблемы исследования

Полные рынки без трения с дискретным временем.

Совершенное хеджирование. Теории расчета европейского опциона на одномерном полном рынке без трения с дискретным временем посвящено большое количество работ. Приведем основные из них. Это работы Кокса Дж., Росса Р., Рубинштейна М.[49], Харрисона Дж. и Крепса Д.[64], Ширяева А. Н., Кабанова Ю. М., Крамкова Д. О.[35], [36], Фельмера Г. и Шида А. [30]. В них установлена единственность мартингальной меры и приведен ее явный вид. Показано, что платежное обязательство допускает S-представление [35]. Это позволило найти стоимость опциона и построить совершенный хеджирующий портфель.

Квантильное хеджирование. Теории расчета европейского опциона с квантильным критерием на одномерном полном рынке посвящены работы ряда авторов. Приведем основные. В статье Новикова А. А. [26] для случая одномерного полного рынка обоснован метод расчета стоимости опциона и хеджирующей стратегии. В работе Фельмера Г., Леукерта П. [60] рассматривается статическая постановка задачи минимизации стоимости опциона при заданной вероятности исполнения платежного обязательства. В ней утверждается, что решение вышеуказанной задачи совпадает с решением задачи расчета европейского опциона с некоторым модифицированным платежным обязательством. Для построения последнего используется лемма Неймана-Пирсона.

В работе Григорьева П. В., Кана Ю. С. [9] рассматривается двухшаговая задача оптимального управления двумя видами активов с квантильным критерием качества, в предположении о равномерном распределении доходности рискового актива. На основе результатов работы [18] строится аналитическое решение задачи управления портфелем ценных бумаг которое принадлежит классу марковских стратегий.

В статье Кибзуна А. И., Наумова А. В., Норкина В. И. [22] для одномерного рынка с горизонтом равным единице установлены условия, при выполнении которых задача квантильного хеджирования сводится к задаче частично целочисленного программирования.

Неполные рынки без трения с дискретным временем.

Суперхеджирование. В работах Нейка В. [76], Дэлбаена Ф. и Шахермайера В.[54] рассматривается задача расчета европейского опциона в статической постановке. В них, для семимартингальной модели рынка с конечным числом активов и ограниченным снизу платежным обязательством f, доказывается, что верхняя стоимость опциона C0up допускает представление

Cs0up = sup EQf, (0.1)

Qern(s)

где M (S) —множество эквивалентных локально мартингальных мер, заданных на

траекториях цен рисковых активов. В работе Дэлбаена Ф. и Шахермайера В. [55] устанавливается справедливость формулы (0.1) в которой верхняя грань берется по множеству а—мартингальных вероятностных мер. В работах Ширяева А. Н. [35], Фельмера Г. и Шида А. [30] выводится формула для верхней стоимости опциона когда платежное обязательство является неотрицательной ограниченной функцией. Кроме того, в них устанавливаются условия существования суперхеджирующего портфеля в классе эквивалентных мартингальных мер.

В статье Бизида А. и Джуни Е. [43] для семимартингальной модели рынка, когда "короткие продажи"запрещены (т.е. взятие взаймы некоторого количества рискового актива невозможно), рассматривается задача расчета европейского опциона в статической постановке и для ограниченного снизу платежного обязательства выведена формула верхней стоимости опциона.

В статье Рушендорфа Л. [80] рассматривается задача расчета европейского опциона на неполном рынке в статической постановке. В ней выведены формулы, позволяющие найти оценки сверху и снизу стоимости опциона.

В статье Гущина А. А. и Мордецки Э. [12] рассматривается задача расчета европейского опциона в статической постановке. В одномерной семимартингальной модели (B,S)-рынка установлены условия когда нижняя и верхняя стоимости опциона достигаются.

В работе Эберлейна Е., Папантолеоне А., Ширяева А. Н. [56] рассматривается задача расчета европейского опциона в статической постановке. Для одномерной семимартингальной модели рынка, когда цены рисковых активов описываются процессом с независимыми приращениями, устанавливаются условия существования паритета опционов колл и пут: европейского, американского, азиатского типов.

В диссертации Хасанова Р. В. [33] рассматривается задача расчета европейского опциона на многомерном рынке в статической постановке. В предположении, что цены рисковых активов являются семимартингалами, выведена формула верхней стоимости опциона

C0up = sup EfZT = sup EfZT, zgh1 z

где $, -множества локально мартингальных и а-мартингальных плотностей, соответственно. Показано, что разделяющая мера является конечно-аддитивной.

В статье Пенкнера Е. [39] рассматривается задача расчета европейского опциона на неполном многомерном рынке с дискретным временем в статической постановке. В ней устанавливаются условия, при выполнении которых задача нахождения нижней стоимости опциона эквивалентна задаче Монжа-Канторовича [19].

Квантильное суперхеджирование. Задаче расчета европейского опциона с квантильным

критерием на неполном рынке без трения посвящены работы ряда авторов: Фельмера Г., Шида А., Леукерта П., Каратзаса И., Янга Дж. ([30], [50], [51], [60], [61], [73]). В них рассматривается статическая постановка задачи расчета европейского опциона с вероятностным критерием на одномерном неполном рынке:

Р (А (х, п, /)) ^ тах

II,,./;; , (0.2)

х < Ер/где х—начальный капитал которым обладает эмитент, X« (х) —капитал эмитента в момент времени N при использовании портфеля п и начальном капитале равном х, В«—стоимость безрискового актива в момент времени N, А (х,п,/) = {ш Е П : X« (х) > /}—множество успешного хеджирования. Показано, что решение задачи (0.2) совпадает с решением задачи суперхеджирования европейского опциона с некоторым модифицированным платежным обязательством, равным произведению исходного платежного обязательства / на индикатор некоторого множества.

В работе Азанова В. М. и Кана Ю. С. [1] рассматривается задача максимизации вероятности достижения заданного уровня размера капитала при фиксированном начальном капитале. Установлены соотношения для оптимальной стратегии.

Отметим, что в большинстве работ, задача расчета европейского опциона на неполном рынке без трения, рассматривается в статической постановке. Последнее позволяет найти формулы верхней (нижней) стоимости опциона или их оценки. Однако такой подход не позволяет ответить на вопрос о виде хеджирующего портфеля и соответствующего ему капитала.

Стоит отметить, что квантильный подход применяется не только в задачах финансовой математики, но и в физике, например, в задаче управления орбитальными спутниками (см. работы [2], [3]).

Краткое содержание работы

Диссертация посвящена решению задачи построения управления портфелем активов европейского опциона на многомерном неполном рынке без трения с дискретным временем оптимальным в смысле минимаксного критерия.

Во введении обосновывается выбор темы диссертации и ее актуальность, а также дан обзор современного состояния теории расчета европейского опциона с дискретным временем на неполных безарбитражных рынках без трения.

В первой главе рассматривается многошаговая минимаксная задача и устанавливаются условия существование ее решения. Это новая задача и, как следует из дальнейших результатов, ее решение позволяет обосновать расчет европейского опциона на неполном рынке без трения.

В разделе 1.1 приводится постановка многошаговой минимаксной задачи.

Пусть {51}1ен0 , N = {0,...,N} — й—мерная случайная последовательность, ^о = {тЛ^Мо

—^-мерная предсказуемая последовательность, /« : +1) ^ К1—ограниченная борелевская функция, обозначаемая /« (ж0,...,ж«). Обозначим /« = /« (ж0,...,ж« )х .=£. ¿=сТм • Без

ограничения общности будем считать: 1) что для любого £ Е N а—алгебра ^ = , где = а (5и,и < £), 2) последовательность (55, — ^-мерный семимартингал.

мерную ^^-предсказуемую последовательность 7« = назовем стратегией, а элементы

этой последовательности 74—управлением в момент времени £ Е N0. Пусть К«-множество вероятностных мер, эквивалентных некоторой базовой мере Р. Без ограничения общности можно считать, что Р Е К«. Пусть М«- множество мартингальных мер. Пусть Q Е К«, пару (ф,7назовем бистратегией. Обозначим

N

/q'tn+1 (sq) = eq

exp^ /n (&) -J] (Yi, AS) |Ff

¿=4+1

где (74, А55) —имеет экономический смысл выручки, получаемой эмитентом в момент времени

£ Е N1, при использовании управления 74, ехр < /« ($•) — ^ ^ (7^ Аб^) > —экспоненциальный

I ¿=4+1 )

Г) N

риск эмитента при использовании им стратегии 7«, а + (05) —ожидаемый

экспоненциальный риск эмитента относительно меры Q Е К«. Пару /« ($•) и 7« назовем допустимыми, если Р-п.н.

езззир (50) < то.

Множество допустимых стратегий обозначается через Д«. В работе рассматривается случай когда /«($•) —ограниченная случайная величина. Значит /«($•) —допустимо. Следовательно множество допустимых стратегий имеет вид

Df = { 7N Е RdN : esssup EQ

Qe^N

N

ex^ -J] (7i, ASiH |FS

i=1

< 00 P — п.н. >.

В этой главе решается следующая задача:

Q N

IQ'71 (So) ^ in/ sup. (0.3)

yneDN Qe^N

Замечание 1. Задача (0.3) ранее, в доступной литературе, не рассматривалась и ее решение неизвестно.

(0.3)-это задача нахождения минимаксного значения ожидаемого экспоненциального риска эмитента.

Обозначим

__Q N

Vt = essin/ esssup It t+1 (Sq) .

7N+ieDN+i Qe^N

Vt назовем верхним гарантированным значением ожидаемого экспоненциального риска эмитента в момент времени t Е N0.

Очевидно, что

V0 = вввт/ езззир I®'11 (50).

Определение. Пару (ф*,71°) такую, что Р-п.н. выполняется равенство

- п*

^0 = 10п'7* (й) (0.4)

назовем минимаксной бистратегией, при этом вероятностную меру ^*-наихудшей, а стратегию 71°-минимаксной. Триплет (^*,7, V0), такой, что выполнено равенство (0.4) назовем решением минимаксной задачи (0.3).

В разделе 1.2 устанавливаются условия при выполнении которых V4 удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению.

N

, Р—п.н. удовлетворяет рекуррентному соотношению

Теорема 1.1. Пусть ($•) — ^М-измеримая, ограниченная, случайная величина. Тогда

Vt = еззт/ езззмрЕп |Гте-(7'А^+1> ]

7ед4+1 (0.5)

Ъ^о = е'"(*>.

Замечание 2. (0.5)-это рекуррентное соотношение беллмановского типа, которому удовлетворяет верхнее гарантированное значение ожидаемого экспоненциального риска эмитента. Оно обосновывает применимость стохастического варианта метода динамического программирования к решению задачи (0.3).

Кроме того, в этом параграфе построены априорные оценки решения рекуррентного соотношения (0.5).

Теорема 1.3. Пусть:

1) выполнены условия теоремы 1.1,

2) существует константа с1 > 0 такая, что для любого х. Е выполнено неравенство |/о (х.)| < С1,

3) П = 0.

Тогда для любого £ Е N1 справедливы неравенства Р—п.н.

е-С1 < й < еС1.

В разделе 1.3 устанавливаются условия существования допустимой минимаксной стратегии.

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и П = 0. Тогда существует стратегия {71}ем Е такая, что для любого £ Е N1 справедливы равенства Р—п.н.

^ = еввт/ е^мр Еп |Т4+1е-(7'А^+1) 1^]

Еп

V 4+1е"

1'А54+1)|^5

(0.6)

Кроме того, для любых £ Е N1 и Q Е справедливо неравенство

> Еп |>г4е-(7*'А*)|Т-1] Р — п.н. (0.7)

Из утверждения теоремы 1.4 (см. (0.7)) следует, что любое ограниченное платежное обязательство допускает равномерное разложение Дуба, которое справедливо в классе эквивалентных вероятностных мер. Это утверждение составляет основное содержание раздела 1.4.

Теорема 1.7. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и для любого £ Е N0 7* Е ^ такое, что выполнено (0.6). Тогда согласованная последовательность {Сг*, Т^}, удовлетворяющая рекуррентному соотношению

ДС; = (7;, ДБ) — Д1п > 0, С0* = 0 Q — п.н., (0.8)

для любых £ Е N1 и Q Е является неубывающей, т.е. ДСг* > 0 Q—п.н., где Т^} удовлетворяет рекуррентному соотношению (0.5). Кроме того, относительно любой меры Q Е

_ N

/о = 1п V0 + Е (7*, ДБг) — с° Q — п.н. (0.9)

г=1

Разложение (0.9) в диссертации названо опциональным.

Замечание 3. В работах Ширяева А. Н. [35], Фельмера Г. и Шида А. [30] установлено справедливость разложения (0.9) относительно любой эквивалентной мартингальной меры, т.е. Q Е П . Из утверждения теоремы 1.7 следует: 1) справедливость разложения (0.9) в классе эквивалентных вероятностных мер, 2) конструктивный способ нахождения стратегии 71° и потребления С°, участвующих в разложении (0.9). Отметим, что доказательство существования Б—опционального разложения является новым.

В разделе 1.5 устанавливается критерий существования наихудшей вероятностной меры Q*. Определение. Последовательность {дг, Т^}

Ъ ± Уг ехр{ — £ (7*, Д£г)| ,

где Vг—удовлетворяет рекуррентному соотношению (0.5), а {7*}Е —минимаксная стратегия, определяемая равенством (0.6), назовем верхней Б-оценивающей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зверев, Олег Владимирович, 2018 год

Список литературы

1. Азанов В. М., Кан Ю. С. Двухсторонняя оценка функции Беллмана в задачах стохастического оптимального управления дискретными системами по вероятностному критерию качества / Автоматика и телемеханика. - 2018. - 2. - с.3-18.

2. Азанов В. М., Кан Ю. С. Оптимизация коррекции околокруговой орбиты искусственного спутника Земли по вероятностному критерию / Тр. ИСА РАН. - 2015. - 2. - с.18-26.

3. Азанов В. М., Кан Ю. С. Однопараметрическая задача оптимальной коррекции траектории летательного аппарата по критерию вероятности / Изв. РАН Теория и Системы Управления. - 2016. - 2. - с.18-26.

4. Бертсекас Д., Шрив С. Оптимальное стохастическое управление. М.: Наука, 1985. - 280с.

5. Богачев В. И. Основы теории меры. Том 1. Москва+Ижевск.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. - 544с.

6. Бояринцева Н.С., Хаметов В.М. Новая теорема о представлении мартингалов (дискретное время) / Математические заметки. - 2004. - т.75. - в.1. - с.40-54.

7. Бунто Т. В., Кан Ю. С. Оптимальное управление по квантильному критерию портфелем ценных бумаг с ненулевой вероятностью разорения. / Автоматика и телемеханика. - 2013. - 5. - с.114-136.

8. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: ФИЗМАТЛИТ. 1984. - 496 с.

9. Григорьев П.В., Кан Ю. С. Оптимальное управление по квантильному критерию портфелем ценных бумаг / Автоматика и телемеханика. - 2004. - 2. - с.179-197.

10. Губерниев В. А., Кибзун А. И. Последовательное хеджирование опционной позиции: анализ и модернизация / Автоматика и телемеханика. - 1999. - т.1. - с.113-125.

11. Гущин А. А. О верхней цене хеджирования неотрицательных платежных обязательств // Современные проблемы математики и механики. - 2013.- т.8, 3.- с. 60-72

12. Гущин А. А., Мордецки Э. Границы цен опционов для семимартингальных моделей рынка. // Тр. МИАН. - 2002. -т. 237. - с. 80-122.

13. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Издательство иностранной литературы. - 1962. - 896с.

14. Дынкин Е. Б., Евстигнеев И. В. Регулярные условные математические ожидания соответствий. / Теория вероятностей и ее применение. - 1976. - т.21. - 2 - с.334-347.

15. Дынкин Е.Б., Юшкевич А. А. Управляемые марковские процессы и их приложения. М.: Наука. 1975. - 341с.

16. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Том 1. М.: Физико-математическая литература. 1994. - 544 с.

17. Кан Ю.С. О сходимости одного стохастического квазиградиентного алгоритма квантильной оптимизации. / Автоматика и телемеханика. - 2003. - 2. - с.100-116.

18. Кан Ю.С. Оптимизация управления по квантильному критерию / Автоматика и телемеханика. - 2001. - 5. - с.77-88.

19. Канторович Л. В. Об одной проблеме Монжа / Успехи математических наук. - 1948. - Т.3.

- 2 - с.225-226.

20. Кибзун А.И., Кузнецов Е.А. Позиционная стратегия формирования портфеля ценных бумаг / Автоматика и телемеханика. - 2003. - 1. - с.151-166.

21. Кибзун А. И., Соболь В.Р. Модернизация стратегии последовательного хеджирования опционной позиции / Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2013. - в.19. - N 2.

- с.179-192.

22. Кибзун, А. И., Наумов А. В., Норкин В. И. О сведении задачи квантильной оптимизации с дискретным распределением к задаче смешанного целочисленного программирования / Автоматика и телемеханика. - 2013. - т.6. - с.66-86.

23. Мейер П. А. Вероятность и потенциалы. М.:Мир. 1973. - 330с.

24. Мельников А.В., Волков С.Н. , Нечаев М.М. Математика финансовых обязательств. М.:ГУВШЭ. 2001. - 260с.

25. Мельников А.В.,Феоктистов К.М. Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчеты платежных обязательств / Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2001 - т.8. - в.1 - с.28-40.

26. Новиков А. А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью / Теория вероятности и ее применение. - 1998. - т.43. - в.1 - с.152-161.

27. Пиуновский А.Б., Хаметов В.М. Новые точно решаемые примеры для управляемых цепей Маркова с дискретным временем. / М.:Кибернетика. - 1991. - N3. - с.82-90.

28. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973. - 472с.

29. Фелис Р. Лекции о теремах Шоке. М.: Мир. 1968. - 112с.

30. Фёльмер Г., Шид. А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время. М.: МЦНМО.

- 2008. - 496с.

31. Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы. 1953. - 291с.

32. Хаметов В.М., Пиуновский А.Б. Оптимальное управление скачкообразными случайными процессами. М.: МГИЭМ. - 1987. - 80с.

33. Хасанов Р. В. Максимизация полезности со случайным вкладом и хеджирование платежных обязательств. Дис. канд. физ.-мат. наук. М. 2013. - 91с.

34. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука. 1980. - 574с.

35. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики (теория). М.: Фазис. 1998. -1017с.

36. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. I. Дискретное время / Теория вероятности и ее применение. - 1994. - Т.39. - В.1. - с.23-79.

37. Эллиотт Р. Стохастический анализ и его приложения. М.: Мир. 1986. - 350с.

38. Bachelier L. Tëorië de la spiculation. / Annales scientifiques de l'ëcole normale supérieure - 1900.

- v.17, p.21-86.

39. Beiglbock M. , Henry-Labordere P., Penkner F. Model-independent bounds for option prices - a mass transport approach / Finance and Stochastics. - 2013. - v.17. - 3. - p.477-501.

40. Bellini F., Fritelli М. On the existence of minimax martingale measures. / Mathematical Finance.

- 2002. - v.12. - No.1, p.1-21.

41. Biagini S., Frittelli M. Utility maximization in incomplete markets for unbounded processes / Finance and Stochastics. - 2005. - v. 9. - 4. - p.493-517.

42. Biagini S. , Frittelli M. , Grasselli M. Indifference price with general semimartingales / Mathematical Finance. - 2011. - v.21. - 3. - p.423-446.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53

54

55

56

Bizid A., Jouini E. Incomplete markets and short-sales constraints: an equilibrium approach. / Int. J. of Theoretical and Applied Finance. - 2001. - v.4. - 2. - p.211-243.

Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities / Journal of Political Economy. - 1973. - v.81. - 3. - p.637-654.

Carassus L.,Temam E. Pricing and hedging basis risk under no good deal assumption. / Annals of Finance. - 2014. - v.10. 1 - p.127-170.

Carr P., Lee R. Hedging variance options on continuous semimartingales / Finance and Stochas-tics. - 2010. - v.14. - 2. - p.179-207.

Carr P., Fisher T., Ruf J. On the hedging of options on exploding exchange rates / Finance and Stochastics. - 2014. - v.18. - 1- p.115-144.

Cetin, U., Soner, H. M., Touzi, N. Option hedging for small investors under liquidity costs /

i

Finance and Stochastics. - 2010. - v.14. - 3. - p.317-341.

Cox, J. C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach. / Journal of Financial Economics. - 1979. - v.7. - 3. - p.229-263.

Cvitanic J. Minimizing expected loss of hedging in incomplete and constraint markets. / SIAM Journal on Control and Optimization. - 2000. - v.38 - 4. - p.1050-1066.

Cvitanic J., Karatzas I. On dynamic measures of risk. / Finance and Stochastics. - 1999. - v.3. -4. - p.451-482.

Cvitanic J., Schachermayer W., Wang H. Utility maximization in incomplete markets with random endowment / Finance and Stochastics. - 2001. - v.5. - 2. - p.259-272.

Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing. / Math. Annalen. - 1994. - 300. - p.463-520.

Delbaen F., Schachermayer W. The no-arbitrage property under a change of numeraire / Stochastics and Stochastic Reports. - 1995. - v.53. - p.213-266.

Delbaen F., Schachermayer W. The Fundamental Theorem of Asset Pricing for Undounded Stochastic Processes / Mathematische Annalen. - 1998. - v.312. - 2. - p.215-250.

Eberlein E., Papapantoleon A., Shiryaev A. N. On the duality principle in option pricing: semimartingale setting. / Finance and Stochastics. - 2008. - v.12. - 2. - p.265-292.

57.

58.

59.

60

61.

62.

63.

64.

65

66

67

68

69

70

Florio S., Runggaldier W.J. On hedging in finite security markets. / Applied Mathematical Finance. 1999. - v.6. -3. - p.159-176.

Follmer H., Kabanov Y. M. Optional decomposition and lagrange multipliers. / Finance and Stochastics. - 1998. - v.2. - p.69-81.

Follmer H., Kramkov D. Optional decompositions under constraints. / Probability Theory and Related Fields. - 1997. - v.109. - p. 1-25.

Follmer H., Leukert P. Quantile hedging. / Finance and Stochastics. - 1999. - v.3. - 3. - p.251-273.

Follmer H., Leukert P. Efficient hedging: Cost versus shortfall risk. / Finance and Stochastics. -2000. - v. 4. - 2. - p.117-146.

Frittelli M. The Minimal Entropy Martingale Measure and the Valuation Problem in Incomplete Markets. / Mathematical Finance. 2000. - v.10. - No.1. - p.39-52.

Guschin A.A., Mordecki A. Bounds on option prices for semimartingale market models. /Proceedings of the Steklov Mathematical Institute. - 2002. - v.237. - p. 73-113.

Harrison J.M., Kreps D. M. Martingales and arbitrage in multiperiod security markets / Journal of Economic Theory. - 1979. - v.20 - p.381-408.

Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading / Stochastic Processes and Their Applications. - 1981. - v.11. - p.215-260.

Harrison J.M., Pliska S.R. A stochastic calculus model of continuous trading: Complete markets. / Stochastic Processes and Their Applications - 1983. - v15. - p.313-316.

Kabanov Y. M., Stricker C. On the optimal portfolio for the exponential utility maximization: remarks to the six-author paper. / Mathematical Finance. - 2002. - v12. - 2. - p.125-134.

Karatzas I., Kou S.G. On the Pricing of Contingent Claims with Constrained Portfolios. / The Annals of Applied Probability. - 1996. - v6. - No.2. - p.321-369.

El Karoui N., Quenez M.-C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market. / SIAM Journal of Control and Optimization. - 1995. - v.33. - 1. - p.29-66

Kramkov D. O. Optional decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets. / Probability Theory and Related Fields. - 1996. - v.105. - 4. -p.459-479.

71. Kramkov D., Schachermayer W. Necessary and sufficient conditions in the problem of optimal investment in incomplete markets. / The Annals of Applied Probability. - 2003. - v13. - 4. -p.1504-1516.

72. Kreps D. M. Arbitrage and Equilibrium in Economies with Infinitely Many Commodities. / Journal of Mathematical Economics. - 1981. - v.8. - p.15-35.

73. Leung T., Song Q., Yang J. Outperformance portfolio optimization via the equivalence of pure and randomized hypothesis testing. / Finance and Stochastics. - 2013. - v.17. - 4. - p.839-870.

74. Levin V. I. Convex Analysis in Spaces of Measurable Functions and Its Application in Mathematics and Economics (in Russian). 1985. Nauka. Moscow. - 352p

75. Merton R.C. Theory of Rational Option Pricihg. / Bell Journal of Economics and Management Science - 1973. - v.4. - p.141-183.

76. Naik V., Uppal R. Leverage constraints and the optimal hedging of stock and bond options / Journal of Financial and Quantitative Analysis. - 1994. - v.29. -2. - p.199-222.

77. Rockafellar R.T., Uryasev S. Optimization of conditional value-at-risk. / Journal of Risk. - 2000.

- 2. - p.21-41.

78. Rockafellar, R.T., Uryasev S. Conditional value-at-risk for general loss distribution / Journal of Banking & Finance. - 2002. - 26. - p.1443-1471.

79. Rouge, R., El Karoui N. Pricing via utility maximisation and entropy. / Mathematical Finance.

- 2000. - v.10. - p.259-276.

80. Riischendorf L. On Upper and Lower Prices in Discrete-Time Models / Tr. Mat. Inst. Steklova.

- 2002. - V.237. - p.143-148.

81. Schweizer M. Mean-variance hedging for general claims. / The Annals of Applied Probability. -1992. - v.2. - p.171-179.

82. Schweizer M. Variance-optimal hedging in discrete time. / Mathematics of Operations Research.

- 1995. - v.20. - p.1-32.

83. Schweizer M., Wissel J. Arbitrage-free market models for option prices: the multi-strike case / Finance and Stochastics. - 2008. - v.12. - p.469-505.

84. Schachermayer W. Optimal investment in incomplete markets when wealth may become negative / The Annals of Applied Probability. - 2001. - v.11. - 3. - p.694-734.

85. Von Nëumann J., Morgënstërn O. Thëory of gamës and ëconomic bëhavior. Princëton Univërsity Prëss. 1990. - 666p.

Список публикаций диссертанта по теме диссертации

1. Зверев О.В. Расчет европейского опциона на биномиальном (Б^)-рынке с квантильным критерием / Зверев О.В. // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ. 2006. М. МИЭМ. Тезисы докладов. С. 29.

2. Зверев О.В. Расчет Европейского опциона на полном биномиальном )-рынке с квантильным критерием / Зверев О.В. // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ. 2007. М. МИЭМ. Тезисы докладов. С.31.

3. Зверев О. В. Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона / Зверев О.В., Хаметов В.М. // Сборник докладов участников. Первый Российский экономический конгресс. 2009. Москва. ИЭ РАН. ISBN 987-5-9940-0219-3

4. Зверев О.В. Об условиях справедливости опционального разложения. / Зверев О.В., Хаметов В.М. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Том 16. Выпуск 6. С. 1067-1068.

5. Зверев О.В. Минимаксное хеджирование опционов европейского типа на неполных рынках (Дискретное время). / Зверев О.В., Хаметов В.М. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Том 18. Выпуск 1. С. 26-54.

6. Зверев О.В. Минимаксное хеджирование опционов европейского типа на компактном (1^)-рынке. / Зверев О.В., Хаметов В.М. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Том 18. Выпуск 1. С. 121-122.

7. Зверев О. В. Минимаксное хеджирование опционов европейского типа на неполных рынках (Дискретное время). / Зверев О.В., Хаметов В.М. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Том 18. Выпуск 2. С. 193-204.

8. Зверев О.В. Квантильное хеджирование опционов европейского типа на неполных рынках без трения. Ч. 1. Суперхеджирование / Зверев О.В., Хаметов В.М. // Проблемы управления. 2014. Выпуск 6. С. 31-44.

9. Зверев О.В. Квантильное хеджирование опционов европейского типа на неполных рынках без трения. Ч. 2. Минимаксное хеджирование / Зверев О.В., Хаметов В.М. // Проблемы управления. 2015. Выпуск 1. С. 47-52.

10. O.V. Zverev Quantile hedging of European option in multidimensional incomplete market without transaction costs (discrete time) / O.V. Zuereu // VIII Московская международная конференция по исследованию операций. 2016. М. МАКС Пресс. Труды конференции. Том 1. С. 109-112.

11. Зверев О. В. Квантильное хеджирование европейского опциона на полном рынке без трения (дискретное время) / Зверев О. В. // конференция "Молодая экономика: экономическая наука глазами молодых ученых". 2016. М. ЦЭМИ РАН. Материалы конференции. С. 16-17с.

12. Зверев О. В. Построение множества успешного хеджирования в задаче расчета европейского опциона на неполном многомерном рынке без трения (дискретное время) / Зверев О. В. // конференция "Молодая экономика: экономическая наука глазами молодых ученых". 2017. М. ЦЭМИ РАН. Материалы конференции. С. 32-34.