Численные и аналитические методы в задаче квантильного хеджирования для моделей с разладкой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Землякова Ирина Александровна

• Землякова Ирина Александровна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Землякова Ирина Александровна

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА КВАНТИЛЬНОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ ДЛЯ НЕПОЛНОГО РЫНКА В СЛУЧАЕ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ

1.1. Постановка задачи хеджирования финансового обязательства для модели неполного рынка

1.2. Построение вычислительной схемы решения задачи

1.3. Пример. Решение задачи квантильного хеджирования для триномиальной модели. Вычислительный эксперимент

1.4. Интерполяция неполного рынка полным рынком. Вычислительная схема решения задачи квантильного хеджирования в случае полного рынка. Вычислительный эксперимент

ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С РАЗЛАДКОЙ

2.1. Постановка задачи оптимального управления для непрерывного времени. Вычислительная схема решения

2.2. Основная модель

2.3. Приложение к финансовой математике

2.4. Пример. Вычислительная схема решения задачи для "Модели с двумя барьерами и двумя моментами остановки"

2.5. Вычислительный эксперимент

ГЛАВА 3. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В МОДЕЛЯХ С РАЗЛАДКОЙ. БИНАРНОЕ РЕШЕНИЕ

3.1. Стохастическая модель разладки

3.2. Информационное дерево и моменты остановки

3.3. Вычислительная схема решения задачи оценки разладки

3.4. Независимость и одинаковая распределенность. Последовательность отношений правдоподобия

3.5. Другие способы определения разладки

3.6. Непрерывная задача. Вычислительная схема решения. Вычислительный эксперимент

3.7. Модель Блэка-Шоулза с разладкой

3.8. Вычислительная схема решения задачи квантильного хеджирования для модели с разладкой

3.9. Вычислительный эксперимент

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

с.в. - случайная величина;

(П, Р) - измеримое пространство с конечной а-алгеброй F; Р = (Рк)1^=0 — возрастающая последовательность подалгебр а-алгебры F, удовлетворяющая условиям: N < ю, р0 = {П, 0], Рм = F; Р —исходная мера; Р* — мартингальная мера;

Е* —математическое ожидание по мартингальной мере Р*; Е —математическое ожидание по мере Р;

Рк — Рк-1 —измеримая случайная величина, показывает, сколько средств лежит на банковском счёте в момент времени к;

Ук — Рк-1 —измеримая случайная последовательность, показывает, сколько вложено в акции в момент времени к;

п = (Рк,Ук)к=о —самофинансируемый портфель ценных бумаг; X™ —полный капитал (стоимость) портфеля п в момент времени к (0 < к < Ы); ^ —платёжное обязательство; С* —справедливая цена;

К —контрактная цена платёжного обязательства;

2 = (2^, Рк)к=о —процесс плотности перехода от исходной меры к мартингальной;

Н = (Нк)\1=0 — хааровская фильтрация;

х.и.ф. - хааровская интерполирующая фильтрация

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные и аналитические методы в задаче квантильного хеджирования для моделей с разладкой»

Актуальность темы исследования.

В настоящее время широкое распространение получили инструменты, позволяющие управлять рисками в контексте финансовых рынков. Первая причина данного явления заключается в увеличении количества ситуаций, в которых неожиданным образом происходит изменение рыночного поведения. Вторая причина заключается в усложнении механизмов, занимающихся оценкой и снижением рисков. Таким образом, становится актуальной задача, целью которой является управление рисками, а, конкретнее, снижение рисков. Данное диссертационное исследование посвящено рассмотрению задачи, связанной со снижением рисков. В качестве метода снижения риска выбран метод квантильного хеджирования. Стратегия квантильного хеджирования либо максимизирует естественную вероятность успеха хеджирования, либо наилучшим способом аппроксимирует финансовое обязательство при условии ограничения стоимости её реализации.

Основная часть диссертации посвящена рассмотрению задачи квантильного хеджирования в контексте моделей с разладкой, ведь в настоящее время растёт число работ, связанных с обнаружением момента разладки случайного процесса. Это вполне закономерное явление, ведь данные процессы имеют многочисленные приложения, например обнаружение аритмии сердечной деятельности, обнаружение изменений волатильности финансовых индексов и многие другие.

Процессы с разладкой и процессы со сменой режимов находятся в сфере постоянных интересов исследователей, начиная с момента появления основополагающих работ Ширяева А.Н. [31-34] и E. Page [65-66]. Происходит усложнение рассматриваемых моделей. В качестве основных работ, следует отметить работы Ширяева А.Н. и его учеников [16, 68, 79], в которых изучается задача быстрого обнаружения разладки.

В диссертации рассмотрена задача квантильного хеджирования, предложена схема решения задачи стохастического оптимального управления процессами с разладкой, основанная на замене разладки на её оценку моментом остановки и использовании бинарной аппроксимации со случайным разбиением, которая позволяет с заданной точностью воспроизвести процесс и свести задачу к оценке разладки в бинарной последовательности с независимыми элементами. Также рассмотрен вычислительный метод решения задач управления на конечном временном интервале и с целевым функционалом, определенным на конце интервала, основанный на использовании мартингальной техники. Данные схемы строго обоснованы и реализованы в программном обеспечении, что делает работу актуальной как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является задача квантильного хеджирования. Предмет исследования составляет решение задачи квантильного хеджирования в контексте моделей с разладкой и численные методы, связанные с решением данной задачи, а также комплекс программ, разработанный для целей вычислительных экспериментов.

Целью данной работы является разработка численного метода решения задачи квантильного хеджирования в контексте моделей с разладкой, а также реализация комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов.

Для реализации поставленной цели необходимо было выполнить следующие задачи:

1. Построить решение задачи квантильного хеджирования для случая неполного рынка, используя теорию двойственности.

2. Обосновать возможность перехода от моделей неполного рынка к моделям полного рынка.

3. Разработать вычислительный метод решения задач управления на конечном временном интервале, целевой функционал которых определён

на конце интервала, основанный на использовании мартингальной техники.

4. Разработать вычислительную схему решения задачи оптимального управления в моделях с разладкой, основанную на замене разладки на её оценку моментом остановки и использовании бинарной аппроксимации.

5. Решить задачу квантильного хеджирования в рамках задачи управления случайным процессом с разладкой с использованием оценки момента разладки по наблюдаемой последовательности.

6. Выполнить программную реализацию предложенных вычислительных схем и применить её к рассматриваемым задачам. Методика исследований.

Для выполнения поставленных выше целей использовались:

• численные методы;

• методы и результаты теории вероятностей;

• методы решения оптимизационных задач;

• методы и результаты стохастического анализа;

• методы и результаты теории мартингалов;

Программная реализация была осуществлена с помощью высокоуровневого языка программирования общего назначения Python, также использовалась система компьютерной алгебры Maple.

Научная новизна работы в области математического моделирования. Исследованы триномиальная модель неполного рынка; для задачи оптимального управления исследована модель с двумя барьерами; модель Блэка-Шоулза с добавлением разладки и ее бинарная аппроксимация. Для каждой модели построена и решена задача квантильного хеджирования.

В области численных методов. Разработаны численные методы решения задачи квантильного хеджирования для предложенных выше математических моделей. Для решения задачи квантильного хеджирования в случае неполного рынка был предложен вычислительный метод, основанный на применении

теории двойственности. Вычислительный метод решения задачи квантильного хеджирования при рассмотрении модели с двумя барьерами основан на применении мартингальной техники и бинарной аппроксимации. Для модели Кокса-Росса-Рубинштейна с разладкой вычислительная схема решения построенной задачи квантильного хеджирования основана на замене разладки на её оценку моментом остановки и использовании бинарного дерева с вершинами, разделенными на два класса моментами остановки.

В области программного обеспечения. Разработан комплекс программ, позволяющий детально исследовать применение предложенных вычислительных схем при решении сформулированных задач для рассматриваемых моделей.

Получение данных алгоритмов выверено и обосновано рядом теорем. Рассматривается применение данных алгоритмов к некоторым другим моделям финансовой математики.

Выносимые на защиту результаты: В области математического моделирования:

• построена и решена задача квантильного хеджирования в случае триномиальной модели;

• в рамках задачи оптимального управления исследована задача квантильного хеджирования для модели с двумя барьерами;

• исследована модель Блэка-Шоулза с добавлением разладки, построена ее бинарная аппроксимация и для данной модели решена одна из задач оптимального управления, которая в финансовой математике называется задачей квантильного хеджирования.

В области численных методов получены вычислительные схемы для решения следующих задач:

• квантильного хеджирования в случае неполного рынка. Предложенная схема основана на теории двойственности;

• стохастического оптимального управления процессами с разладкой. Предложенная схема основана на мартингальной технике и используется далее для решения задачи квантильного хеджирования в модели с двумя барьерами;

• стохастического оптимального управления процессами с разладкой. Предложенная схема основана на замене разладки на её оценку моментом остановки и использовании бинарной аппроксимации.

В рамках программного обеспечения:

• разработан комплекс программ, предназначенный для решения поставленных в диссертационной работе задач, основанный на использовании предложенных вычислительных схем. Теоретическая и практическая ценность.

Результаты диссертационного исследования можно применить в задачах стохастического анализа, связанных с задачей стохастического оптимального управления процессами с разладкой.

Теоретические результаты применены для решения задачи квантильного хеджирования.

Программное обеспечение может быть использовано и в других сферах человеческой деятельности при решении задач стохастического оптимального управления процессами с разладкой.

Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ (№2021665933).

Достоверность полученных в диссертационном исследовании результатов основывается на строгих доказательствах представленных утверждений; подтверждении теоретических выкладок численным моделированием; представлении результатов диссертационного исследования на различных научных конференциях и научных семинарах. Апробация диссертационного исследования.

Приведём список научных конференций и симпозиумов, на которых автором были изложены результаты данного исследования:

1. Второй международный студенческий симпозиум «Математика и информационные технологии в приложениях». Симпозиум проводился с 24 по 28 мая 2016 года в г. Сочи. Название доклада «Квантильное хеджирование на безарбитражном рынке. Случаи полного и неполного рынка».

2. Двадцатый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Конференция проводилась с 22 сентября по 6 октября 2019 года в г. Сочи. Название доклада «Некоторые задачи оптимального управления с разладкой».

3. XXI Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Конференция проводилась с 19 сентября по 3 октября 2020 года в г. Сочи. Название доклада «Оптимальное управление в моделях с разладкой. Бинарное решение».

4. XXII Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Конференция проводилась с 19 по 30 сентября 2021 года в г. Сочи. Название доклада «Задача квантильного хеджирования в рамках задачи управления случайным процессом с разладкой».

Публикации.

Основная часть результатов диссертационного исследования опубликована в 6 печатных работах: [87-92]. Публикации [90], [91] индексированы в базе данных Scopus (2 - й квартиль), публикация [88] входит в список, рекомендованный Советом, остальные публикации индексируются в РИНЦ.

Часть работ написана в соавторстве. Личный вклад Земляковой И.А. заключается в следующем. В работе [90] автору принадлежит вычислительный эксперимент для задачи квантильного хеджирования в модели с двумя

барьерами, основанный на предложенной соавторами вычислительной схеме решения для класса задач стохастического оптимального управления процессами с разладкой. В работе [91] личный вклад заключается в выполнении вычислительного эксперимента для задачи квантильного хеджирования в рамках задачи управления случайным процессом с разладкой с использованием оценки момента разладки по наблюдаемой последовательности. В работе [88] автору принадлежит построение вычислительной схемы решения задачи квантильного хеджирования для триномиальной модели и применение данной схемы при проведении вычислительного эксперимента. В работе [87] Земляковой И.А. принадлежит решение задачи квантильного хеджирования для модели с разладкой и проведение вычислительного эксперимента для рассматриваемой модели. В работе [89] личным вкладом является вычислительный эксперимент для задачи квантильного хеджирования, иллюстрирующий работоспособность предложенного соавторами метода решения задачи квантильного хеджирования в контексте рассматриваемой модели.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы (92 наименования). Объём диссертационного исследования составляет 123 страницы, включая 9 рисунков, 10 таблиц и 1 приложение.

Исторический обзор.

Идея квантильного хеджирования является достаточно новой. Впервые она была предложена Н. БоПшег в 1995 году и рассматривалась в контексте стандартной модели Блэка-Шоулса. Основные идеи квантильного хеджирования были опубликованы в статье Н. БоПшег, Р. ЬеикеГ: [57]. Для неполных рынков следует отметить результаты В. Ядё^ [75, 76]

Более подробное рассмотрение метода квантильного хеджирования можно найти у Мельникова А.В., Волкова С.В., Нечаева М.Л. [23]. Данный метод рассматривается с экономической точки зрения. Также в книге приводится

математический алгоритм, позволяющий определить хеджируемые состояния и подробно анализируется его структура.

В диссертации задача квантильного хеджирования рассматривается как задача оптимального управления случайным процессом с разладкой. Исследования в направлении квантильного хеджирования продолжаются, можно обнаружить работы с привлечением нейронных сетей [47].

Впервые задача о скорейшем обнаружении разладки была сформулирована Колмогоровым А.Н. как вероятностная экстремальная проблема. Тогда же и возникло понятие «разладка» в совокупности с полностью обоснованным теоретическим методом её обнаружения, востребованным на практике. Данная формулировка связана со случайностью значений наблюдаемых данных. Наблюдаемые значения достаточно разнообразны, они случайны, а их значения меняются с течением времени, поэтому и используется вероятностное описание.

Генератором случайности в стохастических моделях разладки является винеровский процесс или броуновское движение. Приведем определение винеровского процесса.

Определение 1. [22, стр. 274]

Винеровский процесс (броуновское движение) wt:

1) ш0 = 0

2) случайные величины wt — ws и wv — wu независимы при б < I < V < и

3) wt — ws ~ N(0,1 — б)

Винеровский процесс широко применяется для создания различных классов случайных процессов. В частности, диффузионных марковских процессов X = (Х1)1>0, которые являются решением следующих стохастических дифференциальных уравнений

&Хг = а^Х^^ + ,

то есть Хг = Х0+ С Х5)йБ + СХ5)йШ5 для всех { > 0.

Интеграл / а(5,Х3)йШ3 является стохастическим интегралом Ито по броуновскому движению [35, с. 289], а для параметров а( 1,Хг) и а(р,Х1:) справедливы ограничения: а( > 0, стохастический интеграл

/ а(Б, Х) t <Т определён и / | а(б, Х)| ёя < ю.

Популярной моделью, описывающей поведение стоимости рискового актива является геометрическое броуновское движение [35, с. 290]:

^ = Б^асИ + а(Жг) где коэффициент а Е Я, а > 0.

Применяя формулу Ито [35, с.314], можно выписать явное решение данного уравнения при начальном условии Б0

а2

Б1: = 50е * 2 Из данного уравнения видно, что в записи

Б, = 50ен*

случайный процесс можно представить в виде:

Процесс Н = ( Н{)является броуновским движением, где ( а — О-)

I2

2

является локальным сносом (то есть показывает среднюю скорость изменения случайного процесса Н = (Н1)1:>0), а а2 — диффузией (волатильностью, дифференциальной дисперсией).

Броуновское движение может быть сконструировано разными способами. Например, с использованием функций Хаара и Шаудера [35, с. 299], или конструкция Р. Пэли и Н. Винера [67]. В данных конструкциях присутствуют различные методы генерирования нормальных переменных.

Рассмотрим одно из важнейших понятий, используемых в диссертации -преобразование Гирсанова.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

&Хг = а(г,Хг)(И +

Положим, что а*(1,Х) является неупреждающим функционалом с

Х)-а*(: а(5,Х)

£\а*(5,Х)\ (¿5 <™ и £ (Ф,1)-аю(*,Ю) ^ < Положим

= Ы а-М^зЛ — 1 ^ (а^а^)2 Л (1)

1 г {■'О а(Б,Х) 5 2-'0 \ а(Б,Х) ) )

В случае если Е1Т = 1, то — процесс плотности перехода от мартингальной меры к мере Рт, процесс X — процесс диффузионного типа, такой что (1Хг = а*^,Х)& + <г^,Х)<И№1* относительно меры Р£ с (1Р^ = 1тйРт, где Ш* —броуновское движение по мере .

Введённый в (1) процесс плотности, называется преобразованием Гирсанова.

Если положить а*^,Х) = 0, то йХг = <г^,Х)<И№1* и процесс X будет мартингалом. Приведем еще одно важное определение.

Определение 2. [35, с. 120]

Процесс X на стохастическом базисе (й,(Р1)1:>0,Р,Р) называется мартингалом (субмартнгалом, супермартингалом), если

1. Е\Х<\<™

2. Е(Х,/Р3) = Х5, (>, <)з<1

Рассмотрим следующее важное преобразование, использующееся в диссертационной работе, целью которого является замена стохастического дифференциального уравнения йХг = + стохастическим

разностным уравнением

АХп = а(п — 1,Хп-1) + о(п — 1,Хп-1)еп, еп Е {—1,1} и Р(Еп = —1) = Р(£п = 1).

Пусть а(п — 1,Хп-г) = Хп-1а(п — 1,Хп-г),^(п — 1,Хп-г) = Хп-1&(п — 1,Хп-1). Тогда АХп = Хп-1(а(п — 1,Хп-г) + &(п — 1,Хп-1)£п). Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Процесс ^п)п=0:

А2п = 2п-1(—-^Г)еп), (2)

г0 = 1

является процессом плотности при переходе от исходной меры, порождаемой исходным уравнением, к мартингальной мере.

Назовем процесс плотности (2) дискретным преобразованием Гирсанова. Сходимость и оценка ошибки данной аппроксимации рассматриваются в [24, 39, 51].

Далее следует отметить работы Ширяева А. Н., посвящённые процессам с разладкой и процессам со сменой режима. Рассматривался случайный процесс 1(£): (ц^) = х(Ь — 0)& + (^(Ь) где t > 0,(&) — гауссовский процесс с независимыми приращениями, ((0) = 0,ЕЛ( = 0,Е(Л()2 = Ла функция х имеет вид:

x(ß) = {

0,5 < 0

1,s > О

Момент в появления разладки неизвестен. Ширяев А. Н. отыскивал метод наблюдения, чтобы после появления разладки как можно скорее был подан сигнал о её наличии. Появление ошибочных сигналов должно осуществляться редко. Ширяев А. Н. полагал момент наступления разладки случайным и имеющим известное распределение. Данная постановка задачи получила название байесовской. В работах Ширяева А. Н. [16, 34, 68, 79, 80] были получены оптимальные правила остановки для задач о разладке винеровского процесса.

Результаты, полученные Ширяевым А. Н., имеют множество обобщений и расширений. Приведём наиболее важные работы и результаты, полученные в них.

В работе [12] Гальчуком Л.И. и Розовским Б.Л. было получено решение задачи о разладке пуассоновского процесса (изменение интенсивности происходило в случайный момент времени), причём на параметры процесса накладывались определённые условия, схожие с винеровским случаем. Результат данной работы был расширен в работе M. Davis [54] и G. Peskir и

Ширяевым А. Н. [68]. В их постановке задачи предполагается минимизация целевой функции, состоящей из взвешенной суммы штрафа за ложную тревогу и времени запаздывания.

Также существует ряд работ, рассматривающих другие функции штрафа. Перечислим некоторые из них. В работе H. Poor [71] рассматривается штраф за запаздывание в контексте задачи о разладке винеровского процесса, представляющий собой экспоненциальную функцию. В работе [41] E. Bayraktar, S. Dayanik также занимаются рассмотрением экспоненциального штрафа, только для процесса Пуассона. В [42] продолжается рассмотрение задачи о разладке пуассоновского процесса и изучается ещё больший класс функций штрафа.

В большинстве данных работ в дискретном случае рассматриваются независимые наблюдения, а в непрерывном случае - процессы с независимыми приращениями. В отличие от этих работ, в последнее время появилось множество работ, рассматривающих общую ситуацию смены распределения последовательности. Среди данного множества работ для дискретного времени стоит выделить работы Ширяева А.Н. [37], а для случая непрерывного времени - T. Kavtaradze с соавторами [61], в которых допускаются произвольные распределения момента разладки.

Существует ещё одна постановка задачи о разладке, по которой момент разладки не имеет известного априорного распределения. Для решения данного типа задач используется минимаксный подход, предполагающий минимизацию худшего случая среди всех фиксированных моментов разладки. Стоит выделить работы M. Beibel [43] и Y. Ritov [74], в которых данные результаты доказываются методами, проясняющими связь с байесовской постановкой, как для дискретного, так и для непрерывного времени.

Вопрос об оптимальном методе в этой задаче до сих пор открыт. Но, обобщая, можно подчеркнуть важность современных методов аппарата теории случайных процессов, стохастического исчисления, теории мартингалов, для обнаружения решения задач скорейшего обнаружения разладки. Но, с другой

стороны, многие из перечисленных разделов получили развитие при попытке решить задачу скорейшего обнаружения разладки. Это является хорошим примером того, как развивается теория, нацеленная на решение конкретных практических задач.

В диссертации решается задача квантильного хеджирования с разладкой, предложена мартингальная техника решения задачи оптимального управления с разладкой.

Для разложения мартингала в задачах оптимального управления мы используем формулу Ито. Приведем определение формулы Ито.

Определение 3. [35, с.313-314]

Случайный процесс Х = (Х{){>0, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве (й,Р,(Р1)1>0,Р) с потоком (Р1)1>0 является процессом Ито, если существуют два неупреждающих процесса а = (а^, ы))г>0 и Ь = (Ь^, ы))г>0 с условиями

Р( I |а(5,^)|^5 < от ) = 1^>0

0

,2

I

р ( I ь2(б, <от ) = 1, г > о

такие, что

х1 = х0 + 1а(5,ш)а5 + 1ь(5,ш)ав1,

где В = (В1,Р1)1>0 —броуновское движение и Х0 — Р0 —измеримая случайная величина. Дифференциальная запись имеет вид:

(Хг = а+ ш)(1Вг. Предложение 1. [35, с. 314]

Пусть Р(I, х) —заданная на Я+ X Я непрерывная функция из класса С1,2, (её др др д2р

производные непрерывны) и Х = (Х1)1>0— процесс с

0

0

0

дифференциалом (Х1 = а(Ь, + Ь(Ь, ш)(В1. Тогда процесс Р = (Р^,Х1))1>0 имеет следующий стохастический дифференциал:

г)Р г)Р 1 г)2р' Яр

(Р(г,Хг) = \^ + а(г, + а + £ьа, ш)(Вг.

То есть для любого I > 0 для Р(Ь, Х1) справедлива следующая формула Ито (формула замены переменных):

Р&Х^=Р(0,Хо) + |

дР дР 1 д2Р

( +

д Р

ш)(В8

о

о

Важным элементом в нашем исследовании является существование и единственность мартингальной меры, которое выливается в следующие теоремы о представлении, которые важны при решении задач управления случайными процессами.

Предложение 2. (о представлении мартингалов). [35, с. 313]

1. Пусть М = ( М1,Т?) - квадратично интегрируемый мартингал. Тогда

найдётся процесс f = (/11(<ш),Т?)11^т, удовлетворяющий условию т

Е ¡0 ^ < от, такой, что М1 = Мо + ¡0 fs(ш)dВs.

2. Пусть М = (М1,Т?)1<т является локальным мартингалом, тогда представление М1 = М0 + ¡Ц ^(ш)(В<; имеет место с некоторым процессом f = (ft(ш),Т?)t^т, подчиняющимся условию р (¡0 ъ2(ш)м < от) = 1.

3. Пусть М = (М1,Т?)1<т является положительным локальным мартингалом, тогда найдётся процесс ф = (ф11(ш),Т?)11^т с

Р (¡т ф2 < от) = 1 такой, что

М1 = Моехр {¡0 фs(ш)dВs -^¡0 ф^ш^}.

Для непрерывного времени ключевой моделью в финансовой математике является модель Блэка-Шоулса [22, с.276]. Модель определяется уравнениями:

dBt = rBtdt, dSt = St(jidt + aWt),S0 > 0 Где г — процентная ставка, ß — норма доходности, a — волатильность ( B,S) — рынка. Процессы B и S (безрисковый и рисковый активы). Предсказуемые процессы ßt и yt —образуют стратегию или портфель nt = (ßt, Yt) на (B, S) —рынке. Капитал стратегии п определяется суммой:

X? = ßtBt + YtSt

Тогда для определения самофинансируемой стратегии п имеем равенство:

dX? = ßtdBt + YtdSt. Портфель, который удовлетворяет свойству:

X? ^ fj*

называют верхним хеджем платежного обязательства fT . Платежное обязательство - это неотрицательная случайная величина с конечным математическим ожиданием. Если

XT = fT,

то портфель называют совершенным. Минимальность верхнего хеджа п* означает:

*

X? <X?,t<T.

Ценой платёжного обязательства fT является величина

*

Cj = Xo

Если множество мартингальных мер Т* ф 0, то есть меры, относительно

S

которых дисконтированный процесс - является мартингалом, то данная цена

платёжного обязательства может быть вычислена следующим образом: [22, с. 278]

CT = e-rT Sup EpfT

PET*

Финансовое обязательство европейского опциона call fT = (ST — К)+. Для этого финансового обязательства CT = e-rT Sup EP(ST — К)+.

PEP*

Для модели Блэка-Шоулса IP*I = 1 и цена финансового обязательства вычисляется по формуле Блэка-Шоулса.

CT = e-rT Е (аеН-1Т — К

где а = S0erT, b = а^Т, %~N(0,1).

Данная формула даёт справедливую цену опциона и продавца, и покупателя.

Дискретным аналогом модели Блэка-Шоулса является модель Кокса-Росса-Рубинштейна, которая получается дискретным преобразованием:

ABt = Bi-±r , ASt = Si-±(ji + ge) Мартингальная мера в этой модели единственная, переход к мартингальной мере реализуется процессом плотности:

AZi = — Zi-^Si. Справедливая цена в модели Кокса-Росса-Рубинштейна вычисляется по формуле:

CT = (1 + r)-rTEZTfT. Для европейского опциона call соответствующая формула имеет вид:

T T

Ct = (1 + r)-rT (I) £ C« (So(1 + ß + a)k(1 + ß — a)T-k — К)+ (l

k=0

— E—L)k(1 + E—:)T-k.

а у V а у Краткое изложение результатов работы.

В главе 1 предложено решение задачи квантильного хеджирования для неполного рынка в случае дискретного времени, основанное на теории двойственности.

Процесс цен на ( В, 5)-рынке определяется уравнениями:

Бп = 5п-±(1 + рп), где рпЕГ,Г = {аъ аъ аз}. Выражение для капитала самофинансируемого портфеля Хм имеет вид:

N

Х = Х

YiASi

i=l

Здесь Х0 - значение капитала в начальный момент времени, Х0 > 0, у -

предсказуемая последовательность.

Возникает следующая задача: выбрать портфель так, чтобы XN > f, где f

- финансовое обязательство, и оно известно. Положим V = supEp f, тогда

р*еи

определим естественную меру близости f и f':

eq(i -n=Z - f=Z Qif{(Dd - Z Qif{(*d

Получим оптимизационную задачу:

ZQif((i)xi ^ max, sup Z P^^f((oi)xi <C,xtE [0,1].

x p*eu ¿-1

Решение данной задачи находим, используя теорию двойственности. Приведен вычислительный эксперимент для данного типа задач, целью которого является подсчёт значений капитала в каждый момент времени. С помощью хааровской интерполирующей фильтрации показана возможность перехода от неполного рынка к полному. Приведена программная реализация вычислительного эксперимента.

В главе 2 объектом исследования являются процессы с векторной разладкой.

Сформулируем задачу оптимального управления для процессов данного вида на конечном интервале [0,T]:

min Е(Ф(УТ,())

ßr/х.уо

при ограничениях

У(Х)=Уо+ [ Ру/ХШХ5, 0

Х( о = Хо + ¡¡ахШХ5 + ¡0; рхшж5> (4)

Уо ^ а.

где % - измеримая относительно о —алгебры Рт случайная величина, Ф(х, у) -выпуклая функция по первой переменной при произвольном значении второй переменной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Землякова Ирина Александровна, 2022 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. 600 с.

2. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Вычисление справедливой цены финансового обязательства для дискретного и непрерывного случая в модели (В,8)-рынка со случайным изменением коэффициента тренда. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 17, вып. 2, 2010. С. 252-253.

3. Белявский Г.И., Данилова Н. В. Квантильное хеджирование на мультиномиальном рынке // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2013. - Т.20

4. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Модели финансовых рынков с дискретным временем. Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2016. - 106 с.

5. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Об одном методе вычисления капитала портфеля для модифицированной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 16, вып. 4, 2009. С. 621-622.

6. Белявский Г.И., Данилова Н.В., Никоненко Н.Д., "Случайные блуждания с пропущенными слагаемыми", Сиб. Журн. Индустр. Матем., 16:4 (2013), 21-28

7. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

8. Богачёва М.И. Построение совершенных хеджей посредством приближения мартингальных мер // Интернет-журнал Науковедение, №3(12), 2012, с. 81

9. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств.науки, 2002 №3.

10.Богачёва М.И., Павлов В. И. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // В Московском математическом обществе. Сообщения Московского математического общества, т. 57, 2002, с. 143-144

11. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Интерполирование финансовых рынков до полных рынков и минимизация моментов нарушения полноты // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион, Естественные науки, №51, 2005, с. 9-16

12.Гальчук Л. И., Розовский Б. Л. Задача о «разладке» для пуассоновского процесса // Теория вероятностей и её применения. 1971. Т. 16:3. С. 729-734.

13.Гирсанов И.О. преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры// Теория вероятностей и ее применения. 1960. Т. 5, №3, 314-330.

14.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969, 400 с.

15. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. М.:Физматлит, 1994.

16. Житлухин М. В., Ширяев А. Н. Задачи об оптимальной остановке для броуновского движения с разладкой на отрезке // Теория вероятностей и ее применения. — 2013. — Т. 58, № 1.

17. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

18. Лутц М. Программирование на Python. Том 1, 4-е издание // СПб: Символ-Плюс, 2011, 992 с.

19. Лутц М. Программирование на Python. Том 2, 4-е издание // СПб: Символ-Плюс, 2011, 993 с.

20. ЛутцМ. Изучаем Python. Том 1, 5-е издание. М.: Вильямс, 2019, 830 с.

21. ЛутцМ. Изучаем Python. Том 2, 5-е издание. М.: Вильямс, 2019, 722 с.

22. Мельников, А.В. Математические методы финансового анализа/А.В. Мельников, Н.В. Попова, В.С. Скорнякова. - Москва: Анкил, 2006. - 440с.

23. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. - М.:ГУ-ВШЭ, 2001.-260 с.

24. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчёт производных ценных бумаг. М.:ТВП, 1997.

25. Павлов И.В., Красий Н.П. Стохастическая финансовая математика. РГСУ, 2005. 60 с.

26. Пирумов У.Г. Численные методы: учебное пособие - Москва: МАИ, 1998.-544 с.

27. Прохоров Ю.В. Математический энциклопедический словарь. М: Советская энциклопедия, 1988.

28. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. М.: МИР, 1984. Т.1, 528 с., т.2, 600 с.

29. Фёльмер Г., Шид А., Введение в стохастические финансы. Дискретное время. М.: МЦНМО, 2008, 496 с.

30. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989. 640 с.

31. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятн. и её примен. 1994, т.39, №1, с. 5-22

32.Ширяев А.Н, Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчётов опционов Европейского и Американского типов. 1. Дискретное время. // Теория вероятн. и её примен., 39, 1994, в.1, с.23-79.

33. Ширяев АН., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчётов опционов Европейского и Американского типов. 2. Непрерывное время. // Теория вероятн. и её примен., 39, 1994, в.1, с.80-129.

34. Ширяев А.Н. Минимаксная оптимальность метода кумулятивных сумм (СШЦМ) в случае непрерывного времени // Успехи матем. Наук. 1996. -т.51, №4. - С.173-174.

35. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1/А.Н. Ширяев. - Москва: Фазис, 1998. - 512 с.

36. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2/А.Н. Ширяев. - Москва: Фазис, 1998. - 544 с.

37. Ширяев А. Н. О стохастических моделях и оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения // Теория вероятностей и её применения. 2008. Т. 53:3. С. 417-436.

38. Ширяев А. Н. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением. Совр. Пробл. Матем. 2007; выпуск 8; с. 3-78.

39. Amin K.L. On the computation of continuous time option prices using discrete approximations. J. Financ. Quant. Anal. 26, 477-495, 1991.

40. Bachelier L. Theorie de la speculation. - Ann. Ecole Norm. Sup., 1900, v.l7,p.21-86.

41. Bayraktar E., DayanikS. Poisson disorder problem with exponential penalty for delay / / Mathematics of Operations Research. 2006. Vol. 31:2. P. 217-233.

42. Bayraktar E.. Dayanik S., Karatzas I. Standard Poisson disorder problem revisited /7 Stochastic Processes and their Applications. 2005. Vol. 115:9. P. 1437-1450.

43. Beibel M. A note on Ritov's Bayes approach to the minimax property of the cusum procedure // Annals of Statistics. 1996. Vol. 24:4. P. 1804-1812.

44. Beliavsky G., Danilova N. About (B.S) - Market Model with Stochastic Switching of Parameters // Proc. Int. Conf. Advanced Finance and Stochastics. Book of abstracts. Moscow. 24-28 June 2013.

45.Belyavsky G.I., Danilova N.V. The combined Monte-Carlo method to calculate the capital of the optimal portfolio in nonlinear of financial indexes // Sib. Elektron. Math. Izv., 2014, 11, 1021-1024.

46. Belyavsky G.I., Danilova N.V. The diffusion models with stochastic switching of parameters. Calculations and financial applications// Lambert Academic Publishing, 2012. 122 p

47. Biazini F., Conon L., Ritsmen T. Neural network approximation for superhedging prices// (2021, arXiv preprint: 2107.14113v1

48. Black, Fischer; Myron Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities (англ.) // Journal of Political Economy — 1973. — Vol. 81, no. 3. — P. 637—654.

49. Boyd S., Vandenberge L. Convex optimization// Cambrige University Press, 2009, 716 p.

50.Carr P. Randomization and American put // Rev. Financ. Stud. 1996, N11, p.597-626

51. Chang L., Palmer K. Smooth convergence in the binomial model. // SpringerVerlag, 2006. P. 91-105

52. Сох J. С, Ross R. A., Rubinstein М. Option pricing: a simplified approach. — Journal of Financial Economics, 1976, v. 7 (September), p. 229-263.

53. Cox J. C, Rubinstein M. Option markets. Prentice-Hall, 1985.

54. Davis M. H. A. A note on Poisson disorder problem // Banach Center Publications. 1976. Vol. 1. P. 65-72.

55.Gapeev P.V., Peskir G. The Wiener Disorder Problem With Finite Horizon Stoch.//Proc. Appl. 2006. V. 116. No. 12. P. 1770-1791.

56. Gapeev P. V., Shiryaev A. N. Bayesian quickest detection problems for some diffusion processes /7 Advances in Applied Probability. 2013. Vol. 45:1. P. 164185.

57. Follmer H., Leukert P. Quantile Hedging // Finance and Stochastics, -1999, V. 3 N. 3, P. 251-273.

58. Follmer H., Schweizer M. Hedging of contingent claims under incomplete information // Applied stochastic analysis (London, 1989). Gordon & Breach, New York, 1991. (Stochastic Monogr.; v.5). p. 389-414

59. Follmer H., SchweizerM. Hedging by sequential regression: An introductiornto the mathematics of option trading // Astin Bulletin. 1989. V. 18. P. 147-160.

60. Karatzas I. A note on Bayesian detection of change-points with an expected miss criterion // Statistics and Decisions. 2002. Vol. 21. P. 3-14.

61. Kavtaradze T., Lazrieva. N., Mania M., Mulierc P. A Bayesian-martingale approach to the general disorder problem /7 Stochastic Processes and their Applications. 2007. Vol. 117. P. 1093-1120.

62. Markowitz H. Portfolio selection. //Journal of Finance, 7, 1952. P. 77-91.

63. Melnikov A. V., Shiryaev A.N. Criteria for the absence of arbitrage in the financial market. — В кн.: Успехи теории вероятностей и её применений П. / Под ред. А.Н.Ширяева и др. М.:ТВП, 1996, №3, 13 с.

64. Merton R.S. Theory of rational option pricing. // Bell 92ccurri of Economics and Management Science, 1973, №4, p. 141-183.

65.Page E.S. Continuous inspection schemes// Biornetrika,. 1954. -v.42, №1. -P.100-115.

66.Page E.S. A test for a change in parameter 92ccurring at unknown point// Biornetrika. 1955. -v.42, №2. - P.432-438.

67. Paley R.E.A.C., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. // American Mathematical Society Colloquium Publications. 1934. V. 19

68. Peskir G., Shiryaev A. Optimal stopping and free-boundary problems. Birkha'user Basel, 2006.

69. Peskir G. Quickest detection of a hidden target and extremal surfa.ces: Tech. Rep. 23: Probabilty and Statistics Group Manchester., 2010.

70. Pliska S.R. Introduction to mathematical finance. Discrete time models. Blackwell, Oxford, 1997.

71. Poor H. V. Quickest detection with exponential penalty for delay // Annals of Statistics. 1998. Vol. 26. P. 2179-2205.

72. Poor H.V., Hadjiliadis O. Quickest detection // Cambridge University Press, 2009

73. Rendleman R.J., Bartter B.J. Two-state option pricing // J.Finance, 34, 1979, p.1093-1110

74. Ritov Y. Decision Theoretic Optimality of the Cusum Procedure / / Annals of Statistics. 1990. Vol. 18. P. 1464-1469.

75. Rudloff B. A Generalized Neyman-Pearson Lemma for Hedge Problems in Incomplete Markets // Workshop "Stochastic Analysis". 27.09.200429.09.2004. P. 241-249.

76. Rudolf B. Convex hedging in incomplete markets//2016, arXiv preprint: arxiv1604.08070v 1

77. Rubinshtein M. Guiding force. In: from Black-Scholes to Black Holes: New frontiers in options // Risk Magazine, November, 1992.

78. Sharpe W.P. Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk // Journal of Finance, 19, 1964, p.425-442

79. Shiryaev A. N., Zryumov P. Y. On the linear and nonlinear generalized Bayesian disorder problem (discrete time case) // Optimality and Risk- Modern Trends in Mathematical Finance. — 2010. — Pp. 227-236.

80. Shiryaev A. Quickest Detection Problems in the Technical Analysis of the Financial Data / Mathematical finance. Ed. H. Geman, D. Madan, S. Pliska, T. Vorst. Springer, 2000. P.487-521

81. Shiryaev A. N., Zryumov P. Y. On the linear and nonlinear generalized Bayesian disorder problem (discrete time case) // Optimality and Risk- Modern Trends in Mathematical Finance. — 2010. — Pp. 227-236.

82. Shiryaev A. N. A remark on the quickest detection problems // Statistics and Decision. 2004. Vol. 22. P. 79-82.

83. Shiryaev, A. N. Optimal Stopping Rules. Springer, Berlin, 1978

84. Truonga C., Oudrec L., Vayatisa N. A review of change point detection methods //arXiv :1801.00718v1 [cs.CE] 2 Jan 2018.

85.Volosatova T.A. Haar Interpolation of Financial Markets to the Full, Complete and Regular Global Markets // EASTERN EUROPEAN SCIENTIFIC JOURNAL, №3, 2015, c. 162-165

86. Wiener N. Differential space // Journal of Mathematical Physics. Math. Inst. Tech. 1923. V. 2. P. 131-174.

87. Данилова Н.В., Землякова И. А. Некоторые задачи оптимального управления с разладкой // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 26, вып. 3, 2019, с. 260-261 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

88. Данилова Н.В., Землякова И. А. Квантильное хеджирование на неполном рынке // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион, Естественные науки, №2(202), 2019, с. 4-9

89.Белявский Г.И., Данилова Н.В., Землякова И.А. Оптимальное управление в моделях с разладкой. Бинарное решение // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 27, вып. 3, 2020, с. 211-217 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

90. Belyavskii G., Danilova N., Zemlyakova I. Optimal control problem with disorder// Automatics and remote control, 2019, v 80, №8, 1419-1427.

91. Natalia Danilova, Grigory Beliavsky, and Irina Zemlyakova, Optimal Control in Binary Models with the Disorder// Engineering Letters, vol. 29, no. 4, pp1359-1364, 2021

92. Zemlyakova I. Quantile Hedging in Arbitrage-Free Market. Cases of Complete and Incomplete Market. // Russian Journal of Mathematical Research. Series A, 2016, vol. 4, Is. 2, p. 93-105

ПРИЛОЖЕНИЕ. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

В целях выполнения вычислительных экспериментов диссертационного исследования были разработаны следующие программы:

1. Программная реализация решения задачи квантильного хеджирования для триномиальной модели неполного рынка, выполненная с использованием высокоуровневого языка программирования общего назначения Python.

2. Программная реализация решения задачи квантильного хеджирования для биномиальной модели полного рынка, выполненная с использованием системы компьютерной алгебры Maple.

3. Программная реализация вычислительного эксперимента по обнаружению разладки в случае бинарной аппроксимации непрерывной модели с использованием двух статистик, выполненная с использованием системы компьютерной алгебры Maple.

В основу данного комплекса программ были положены вычислительные схемы, разработанные в соответствующих параграфах диссертации. Опишем подробно каждую из представленных выше программ.

1. Программная реализация решения задачи квантильного хеджирования для триномиальной модели неполного рынка, выполненная с использованием высокоуровневого языка программирования общего назначения Python.

Общие сведения.

Тип ЭВМ: IBM PC-совместимый ПК

ОС: Windows 95/ 98/ 2000/ XP/ Vista/Windows 7/ Windows 10

Язык программирования: Python

Объём программы: 20480 байт

Функциональное назначение. Данная программа решает задачу квантильного хеджирования для триномиальной модели неполного рынка. Областью применения является стохастическая финансовая математика. Программа позволяет по заданным значениям контрактной цены, рыночной меры, вероятностей обхода и долям изменения атома при переходе от текущего уровня к следующему решить задачу квантильного хеджирования и получить значения капитала для каждого момента времени.

Логическая структура. Рассмотрим логическую структуру программы. Основной идеей является представление рассматриваемых триномиальных деревьев в виде конструкций типа «список списков», где каждый элемент «внешнего» списка представляет собой уровень нашего дерева. Для этого был объявлен класс FinMath(), содержащий ряд параметров и функций для работы с данными конструкциями. Перейдём к рассмотрению алгоритма программы и описанию функций, упомянутых выше.

Рассмотрим класс FinMath() (далее пояснения к строкам программного кода будут представлены в виде комментариев к нему). Опишем исходные данные программы: class FinMath():

def_init_(self):

#количество шагов N

self.step_count = 3

#начальное значение рискового актива S0 self.start_value = 5 #контрактная цена К self.contract cost = 5

#количество знаков для округления (используется для более наглядного представления данных)

веШёе^п^ЙБ = 3

#количество атомов на последнем уровне дерева

БеИ^ = ро^^З, ве1£в1ер_соип1:)

#вероятности обхода

Бе1£р = Бе1£д = Бе1£г = []

#доли изменения атома

Бе1£а = [-0.3, 0.5, 0.8]

Переходим к описанию основных функций и их использованию в программном коде. Описание функций будет добавляться по мере их использования в основной программе.

1. Функция для расчёта вероятности переходов для крайних мартингальных мер:

ве1£тй_рдг()

Приведём описание данной функции: ёе£ тй_рдг(8е1£): а = Бе1£а

Бе1£р = ве1£гоипё_Щ[ а[1]/(а[1]-а[0]), а[2]/(а[2]-а[0])])

БеИ^ = ве1£гоипё_Щ[-а[0]/(а[1]-а[0]), 0])

Бе1£г = 8е1£гоипё_Нв1:([ 0, -а[0]/(а[2]-а[0])])

2. Для более наглядного отображения данных используется функция 8е1£гоипё_Нв1:(а), позволяющая округлять значения, содержащиеся в списке с заданной точностью:

def round_list(self, src_list, ndigits=-1): nd = ndigits if nd == -1:

nd = self.def_ndigits dst_list = [] for num in src_list:

dst_list.append(round(num, nd)) return dst_list

И последний начальный параметр - количество мартингальных мер. #число мартингальных мер self.measure_count = 2**N

Переходим к основной части программы. Выведем доли изменения атомов и вероятности переходов для крайних мартингальных мер:

def main(self): print("a: ", end=""); print(self.a) print("\np: ", end=""); print(self.p) print("q: ", end=""); print(self.q) print("r: ", end=""); print(self.r)

Далее начинается расчёт стоимостей рискового актива во все моменты времени.

Опишем основные функции, позволившие рассчитать стоимость рискового актива по все моменты времени.

3. Функция, формирующая триномиальное дерево значений:

def get_all_tree_leaves(self, root, branch_list, mode=1): res = [[root]] last_res = res[0]

for i in range(0, self.step_count): tmp = [] for u in last_res: if mode == 1:

tmp += self.percent_core(u, branch_list) elif mode == 2: tmp += self.mult_core(u, branch_list) last_res = tmp res.append(tmp) return res

4. Функция для расчёта значений с использованием долей изменения атома при переходе от текущего уровня к следующему:

def percent_core(self, old_unit, branch_list): res = []

for percent in branch_list:

res.append(old_unit * (1 + percent)) return res

5. Функция для удаления повторений на дереве: def tree_double_delete(self,tree_list):

res_tree_list = [] mask_list = [] for src_list in (tree_list): tmp = self.list_double_delete(src_list) res_tree_list.append(tmp[0]) mask_list.append(tmp [1]) return [res_tree_list,mask_list]

6. Корректный вывод значения дерева по уровням осуществляется с помощью использования следующих функций:

def print_list_of_list(self, src_list): counter = 0 for unit in src_list:

print(str(counter) + ": end="") self.print_num_list(unit, shift=" ") counter += 1

7. Вывод списка по столбцам осуществляется с помощью: def print_num_list(self, src_list, shift-'", columns_count=9):

counter = 0

src_list = self.round_list(src_list) res_line = "" for unit in src_list: res_line += str(unit) + " "*(10-len(str(unit)))

counter += 1

if counter == columns_count and counter != len(src_list): print(res_line) res_line = shift counter = 0 print(res_line)

Таким образом, используя данные функции, рассчитываем и выводим корректным образом стоимости акций во все моменты времени:

stock_list = self.get_all_tree_leaves(self.start_value, self.a, 1)

for i in range(0, len(stock_list)):

stock_list[i] = self.round_list(stock_list[i])

tmp = self.tree_double_delete(stock_list)

stock_list = tmp[0]

stock_mask = tmp[1]

print(м\nCтоимости акций во все моменты времени: ")

self.print_list_of_list(stock_list)

Далее происходит вычисление множества всех возможных значений опциона в финальный момент времени. Согласно приведённому алгоритму решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1) вычислить множество значений стоимости акции

2) вычесть контрактную цену

3) отрицательные значения заменить нулём

Для этого были использованы следующие вспомогательные функции.

8. Функция, вычисляющая разность между элементами списка и заданным числом.

def sub_num_from_list(self, src_list, num): dst_list = [] for unit in src_list:

dst_list.append(unit - num) return dst_list

9. Замена отрицательных элементов списка нулями: def make_non_negetive_list(self, src_list):

dst_list = [] for unit in src_list: if unit > 0.0:

dst_list.append(unit) else:

dst_list.append(0.0) return dst_list

Вычисляем множество всех возможных значений опциона в финальный момент времени.

fw = stock_list[-1]

fw = self.sub_num_from_list(fw, self.contract_cost) fw = self.make_non_negetive_list(fw) fw = self.round_list(fw)

print(м\nМножество значений опциона в финальный момент времени (fw): ")

self.print_num_list(fw)

Следующий шаг - расчёт матрицы вероятностей обхода R. Явно указываем вероятности, встречающиеся на рассматриваемой ветви.

R_masks = [[p[0], q[0], r[0]],

[p[0], q[0], r[1]],

[p[0], q[1], r[0]],

[p[0], q[1], r[1]],

[p[1], q[0], r[0]], [p[1], q[0], r[1]], [p[1], q[1], r[0]], [p[1], r[1], r[1]]]

Для дальнейших расчётов используются следующие функции.

10.Вывод листьев дерева:

def get_step_tree_leaves(self, root, branch_list, mode=1): res_list = self.get_all_tree_leaves(root, branch_list, mode=mode) res_list = res_list[len(res_list)-1] return res_list

11.Вывод всех значений дерева кроме последнего уровня. def get_step_tree_leaves(self, root, branch_list, mode=1):

res_list = self.get_all_tree_leaves(root, branch_list, mode=mode) res_list = res_list[len(res_list)-1]

return res_list

12. Следующая функция отслеживает траектории на дереве и, соответственно, используемые вероятности:

def cut_mask_list_forR(self, src_list, mask):

res = []

for i in range(0,len(src_list)): if mask[i] != 0:

res.append(src_list[i]*mask[i]) return res

13. Функция для вывода списка: def print_num_list_line(self, src_list):

for unit in src_list: unit = str(unit)

print(unit + " "*(10-len(unit)), end="") print()

Таким образом, приступаем к расчёту матрицы вероятностей обхода.

R = []

print(м\nМатрица всех возможных вероятностей обхода (R):") for mask in R_masks: R_line = self.get_step_tree_leaves(1, mask, 2) R_line = self.round_list(R_line)

R_line = self.cut_mask_list_forR(R_line, stock_mask[-1])

R.append(R_line)

self.print_num_list_line(self.round_list(R_line)) Рассчитаем вероятности обхода для рыночной меры Q (Q(k1,k2,k3) =

pkiqk2yk3)

k^ikzi

14. Функция, хранящая в себе данные о траекториях, приведших к крайним атомам.

def cut_mask_list(self, src_list, mask): res = []

for i in range(0,len(src_list)): if mask[i] != 0:

res.append(src_list[i]) return res

Таким образом, рассчитываем значения вероятностей обхода для рыночной меры:

branches = self.round_list([0.5, 0.3, 0.2])

Q = self.get_step_tree_leaves(1, branches, 2)

Q = self.round_list(Q)

Q = self.cut_mask_list(Q, stock_mask[-1])

print(м\nВероятности обхода для произвольной рыночной меры (Q): "); self.print_num_list_line(Q)

Далее начинается основной блок программы, непосредственно решающий задачу по предложенному ранее алгоритму. Обозначения переменных сохранены. Приведём вспомогательные функции, способствовавшие решению задачи.

15. Функция для перемножения соответствующих элементов списков: def mult_arrays_nums(self, src1, src2):

dst = []

for i in range(0, len(srcl)):

dst.append(src1[i] * src2[i]) return dst

Вычисление значения переменной t. def calc_t(self, lambda_line, fw, R, L): t_line = []

for i in range(0, self.sz): tmp_sum = 0.0

for tmp_i in range(0, self.measure_count):

tmp_sum += lambda_line[tmp_i] * (fw[i] * R[tmp_i][i]) t_line.append(L[i] - tmp_sum) return t_line

L = self.mult_arrays_nums(Q, fw) print("\nL: "); print(self.round_list(L)) Задаём вектор начальных приближений. lambda_line = [] for i in range(0, m):

lambda_line.append(0.1) for step in range(1, n): t_line = self.calc_t(lambda_line, fw, R, L) DF_line = []

for i in range(0, m): tmp_summ = 0.0 for tmp_i in range(0, self.sz):

tmp_summ += fw[tmp_i] * R[i][tmp_i] * self.switch_func(t_line[i]) DF_line.append(5 - tmp_summ) lambda_next_line = [] for i in range(0, m):

lambda_next_line.append(lambda_line[i] - DF_line[i] / 100) lambda_next_line = self.make_non_negetive_list(lambda_next_line) print("\nstep = " + str(step))

lambda_next_line=self.round_list(lambda_next_line) print("lambda1: "); self.print_num_list_line(lambda_line) print("lambda2: "); self.print_num_list_line(lambda_next_line)

Приходим к решению внутренней задачи. tstar = self.calc_t(lambda_next_line, fw, R, L) tstar = self.round_list(tstar) print("\ntstar list: "); self.print_num_list_line(tstar) xs = []

for i in range(0, self.sz):

xs.append(self.switch_func(tstar[i])) print(м\nРешение внутренней задачи (xs): "); self.print_num_list_line(xs) Вычисляем капитал в конечный момент времени.

fwwave = []

for i in range(0, self.sz):

fwwave.append(fw[i] * xs[i])

print("\nКапитал в конечный момент времени (fwwave): "); self.print_num_list_line(fwwave)

Рассчитываем прирост стоимости акции AS. Данный прирост вычисляется как разность стоимостью акции в текущий день и в предыдущий.

16. Эти расчёты реализованы в следующей функции: def get_all_tree_leaves_delthaS(self, root, branch_list, mode=1):

res = [[0]]

last_level = [root]

for i in range(0, self.step_count):

next_level = []

delta = []

for u in last_level:

if mode == 1:

tmp = self.percent_core(u, branch_list)

elif mode == 2:

tmp = self.mult_core(u, branch_list)

next_level += tmp

delta += self.sub_num_from_list(tmp, u) last_level = next_level res.append(delta)

return res

Расститываем данные значения. delthaS = []

delthaS+=self.get_all_tree_leaves_delthaS(self. start_value, self.a, 1)

for i in range(0, self.step_count+1):

delthaS[i] = self.round_list(delthaS[i])

print(м\nРазница между текущим значением стоимости акции и значением в предыдущий день (delthaS): ")

self.print_list_of_l i st(delthaS)

Определяем стоимость портфеля в последний день и восстанавливаем дерево во все моменты времени. Для этого используем следующие функции.

17. Функция для восстановления всех значений крайнего уровня дерева:

def restore_list_by_mask(self, src_list, mask):

res_list = []

counter = 0

for num in (mask):

if num != 0:

res_list.append(src_list[counter])

counter += 1

else: res_list.append(0.0)

return (res_list)

Далее, используя предложенный ранее алгоритм, восстанавливаем все значения нашего древа.

XP_last = fwwave

print("\nСтоимость портфеля в последний день: "); self.print_num_list(XP_last)

XP_last = self.restore_list_by_mask(XP_last, stock_mask[-1])

print(м\nВосстановленная строка: "); self.print_num_list(XP_last)

XP = [XP_last]

for step in range(self.step_count, 0, -1): tmp = []

for i in range(0, len(XP_last), 3):

tmp.append(max(XP_last[i]* self. a[1 ]/(self.a[1 ]-self.a[0])-XP_last[i+1 ] * self.a[0]/(self.a[1 ]-self.a[0]),

XP_last[i]*self.a[2]/(self.a[2]-self.a[1])-XP_last[i+2] * self.a[0]/(self.a[2]-self.a[0])))

XP.append(tmp)

XP_last = tmp

XP = reversed(XP)

print("\nЗначения портфеля (XP): ")

self.print_list_of_list(XP)

if_name_== "_main_":

x = FinMath()

x.main()

Входные данные. Входными данными являются следующие параметры: • количество уровней дерева N

• начальное значение рискового актива

• контрактная цена К

• доли изменения атома при переходе от текущего уровня к следующему Выходные данные. Выходными данными являются значения портфеля

ХР, рассчитанные для каждого уровня дерева в каждый момент времени.

Результаты вычислительного эксперимента, проведённого с использованием данной программы, приводятся в параграфе 1.3.

Данная программа для ЭВМ была зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ.

Программная реализация решения задачи квантильного хеджирования для триномиальной модели неполного рынка

Правообладатель: федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Южный федеральный университет» (Я11)

Автор(ы): Земля нова Ирина Александровна (Я V)

Заявка №2021664984

Дата поступления 28 сентября 2021 г.

Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 05 Октября 2021 г.

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

. ....... ,;,<

Г. П. Ивлиев

Р©(СОТ®€ЖАЖ ФВДИРМЦШШ

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2021665933

2. Программная реализация решения задачи квантильного хеджирования для биномиальной модели полного рынка, выполненная с использованием системы компьютерной алгебры Maple.

Общие сведения.

Тип ЭВМ: IBM PC-совместимый ПК ОС: Windows 95/ 98/ 2000/ XP/ Vista/Windows 7/ Windows 10 Язык программирования: система компьютерной алгебры Maple Объём программы: 124 406 байт

Функциональное назначение. Данная программа решает задачу квантильного хеджирования для биномиальной модели полного рынка. Областью применения является стохастическая финансовая математика. Программа позволяет по заданным значениям контрактной цены, рыночной меры, вероятностей обхода и долям изменения атома при переходе от текущего уровня к следующему решить задачу квантильного хеджирования и получить значения капитала для каждого момента времени.

Логическая структура. Рассмотрим логическую структуру программы. Основной идеей является представление рассматриваемых данных в виде массивов и математических функций. Перейдём к рассмотрению алгоритма программы.

Опишем исходные данные программы: #количество уровней дерева N

N ^ 10

#начальное значение рискового актива S0 S0 ^ 6

#контрактная цена К

К ^ 5

#вероятности обхода р ^ 0.4

Ч := 1- р

#доли изменения атома а ^ -0.2 Ь ^ 0.8

Тогда определяем рыночную меру Р, платёжное обязательство f, математическое ожидание ЕР по естественной мере, определяемой рынком, и вводим в рассмотрение процесс плотности 7, благодаря которому переходим к новой мере г:

/■= {к)^Р1ест^е{30-(1 + + а)" к-К> 0. БО- (I + Ь)к- (1 + о)-У К, £0- (1 + &)*( 1+ я)^ *-К<0, о);

J = 0

ли

2 (£) —> • тггг : #тотностъ

ЕР

г ■= —l'Z(A") #новаямера

Вводим в рассмотрение мартингальную меру РтагИпда1 с использованием мартингальных вероятностей ря1аг, дъЬаг; математическое ожидание ЕРт по рассматриваемой мартингальной мере; и вводим в рассмотрение процесс плотности 7т, благодаря которому переходим к новой мере дт:

pstar ■= -

Ь-а' а

Ь-а'

> РтаШща! '■= (X') —>

т

к\ (М - к)

к ¥— к ■pstar ■ц^аг :

N

ЕРт •■= X (ЛЛ Ртаг^Ыи));

г™ :=

Ерш

дш '■= (к) ^>Ян(к) Рл/агТпща1 (;

Далее численно решается внутренняя задача. Для этого, следуя вычислительной схеме решения, упорядочиваем значения дтЩ,1 = 1,..,Ы по

возрастанию и формируем массив отношений г а t I о[ I] =

т

дт[1]

Л = 1,..,м. В

случае, если цт[(] = 0, полагаем гаИоЩ = 0. Далее упорядочиваем полученный массив по убыванию:

> Вог 1 й-ош 1 ТоТУ — 1 <1о

1Ъг ] й'ош 1 1:о N — 1. — 1 с1о

И {гаНо[^ < га1ю\] I 1]) Шеи л := таИо[]]: гаИо[]] •■= гайо[] + 1]; гаЬо\] -+ I ] := л;

еис1 ¡Г: еи(1 (1о: 81к1 (1о:

(ог 1 й-ош 11® N60

га1го{/]: ен(1 Ло:

Следующим шагом является нахождение решения внутренней задачи, хЩ,1 = 1,..,Ы. Для этого накапливаем сумму цт[(] до тех пор, пока она не превзойдёт пороговое значение а. Момент времени в который это произойдёт, является искомым. До этого момента хЩ = 1, после него хЩ = 0, а в сам

момент времени Ь х[ц = ——. И далее от упорядоченных значений,

возвращаемся к исходной нумерации. Таким образом, в ходе данных операций, найдено решение внутренней задачи х[ (],1 = 1,..,Ы.

> for i from 0 to t — Ido

for i from t + 1 to N do

Далее восстанавливаем значения капитала X во все моменты времени Входные данные. Входными данными являются следующие параметры:

• количество уровней дерева N

• начальное значение рискового актива S0

• контрактная цена К

• доли изменения атома при переходе от текущего уровня к следующему

• вероятности обхода

Выходные данные. Выходными данными являются значения портфеля X, рассчитанные для каждого уровня дерева в каждый момент времени.

Результаты вычислительного эксперимента, проведённого с использованием данной программы, приводятся в параграфе 1.4.

3. Программная реализация вычислительного эксперимента по обнаружению разладки в случае бинарной аппроксимации непрерывной модели с использованием двух статистик, выполненная с использованием системы компьютерной алгебры Maple.

Общие сведения.

Тип ЭВМ: IBM PC-совместимый ПК

ОС: Windows 95/ 98/ 2000/ XP/ Vista/Windows 7/ Windows 10

Язык программирования: система компьютерной алгебры Maple

Объём программы: 97 547 байт

Функциональное назначение. Данная программа решает задачу обнаружения разладки в случае бинарной аппроксимации непрерывной модели с использованием двух статистик. Решение о наступлении разладки принимается, если последовательность отношений правдоподобия превысит задаваемое пороговое значение. Областью применения является стохастическая финансовая математика. Программа позволяет принять решение о наступлении момента разладки для двух способов её обнаружения.

Логическая структура. Рассмотрим логическую структуру программы. Основной идеей является бинарная аппроксимация, которая позволяет перейти к набору траекторий на интервале [0,1] и рассматривать данные в виде массивов и математических функций. Перейдём к рассмотрению алгоритма программы. Опишем исходные данные программы:

#количество разбиений интервала и количество проводимых экспериментов N — 100; #шаг разбиения deltat — 1/N;

#истинный момент разладки t0 — 23;

#параметры модели sigma — 0.1; mu — 2 •sigma;

Переходим непосредственно к реализации предложенной вычислительной схемы поставленной задачи. Разбиваем интервал на N частей и используя уравнения для генерации траекторий (AXt = aVÂt£t,t = 1,2,...,t0, t0

принадлежит разбиению, AXt = ^At + a^Ât£t, t = t0 + 1,... ,1) получаем набор траекторий deltaX [k,i] для каждого эксперимента. Предварительно генерируется

набор значений ерБ[к,]] как значения нормально распределённой на отрезке [0,1] случайной величины:

ер$[к,•■= $1аТ$[гспк1от7 гюпнаЩ0. 1 ] ] (1):

с1еЬаХ[к, г] := ега/Яти■ с/екаг + а ■ (скЬШ) ■ ер$[А; г]);

Далее, используя уравнение аппроксимации Уп = 1(1 + sign(^Xt)), строим бинарный процесс У [к, ¿]:

Вычисляем ц0, цЬ^ (д0 = Ф ) = 1) и для последовательности отношений правдоподобия параметры Ь, Я.

вычисления

Далее в зависимости от значения Y[k,i], строим последовательность отношений правдоподобия psi[k,i] (^n+l(An+l) = р^^^^^Фп^п) +

Un+1,^n+l{An+l^ = р(д>пп 1) ^Фп^Ап) + Un+i).

Еслиpsi[k,i] >1, то принимается решение о разладке и полагается t0 = п. Определяем наилучший момент времени t1 и номер эксперимента numb.

if аЪ^ j] — t0) < mum tlieu miim ■= abs(/i[/] — tO); numb '■= i\ Строим график зависимости psi[k,i] от j. И определяем значения

математического ожидания и дисперсии.

> р!о&[ротфШ]( [у, [питЪ,]\1\,]= 1 .. 100)});

> Мест\> '■= 0 : Мест 2 := 0 : уаг ■= 0 :

£ог £Ггош 1 \оМ Ло

Месту ■= Месту + //[£];

Меап2 ■= Меап2 + (//[*] )2; еис! До:

г Месту 4

егаЩ