Модель безарбитражных финансовых рынков и интерполяционные методы ее исследования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Богачева, Марина Николаевна

• Богачева, Марина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Богачева, Марина Николаевна

Список сокращений и обозначений

Введение

1 Теория хааровских интерполяций безарбитражных финансовых рынков

1.1 Хааровские фильтрации.

1.2 Свойство хааровской единственности

1.3 Свойство универсальной хааровской единственности

1.4 Основные леммы.

1.5 Критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству универсальной хааровской единственности

1.6 Полное описание мартингальных мер, удовлетворяющих свойству универсальной хааровской единственности, для одного финансового рынка.

1.7 Максимальные и минимальные интерполяции финансовых рынков.

2 Применение хааровских интерполяций к моделированию финансовых рынков

2.1 Моделирование и исследование финансового рынка с двумя агрессивными скупщиками акций.

2.2 Построение совершенных хеджей посредством приближения мартингальных мер, не удовлетворяющих СУХЕ, мар-тингальными мерами, удовлетворяющими СУХЕ.

2.3 Построение интерполирующего (В,!3)-рынка при некоторых специальных предположениях и расчет компонентов хеджирующего портфеля.

2.4 Интерполяционные методы и хеджирование в среднеквадратичном.

2.5 Расчет оптимального хеджа для динамического платежного обязательства

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель безарбитражных финансовых рынков и интерполяционные методы ее исследования»

Общая характеристика диссертации. Настоящая диссертация посвящена моделированию и исследованию финансовых рынков. В ней систематически используется идеология и технические средства стохастической финансовой математики, призванной исследовать свойства финансовых структур и оптимизировать процесс распоряжения финансовыми ресурсами с учётом факторов времени, риска и случайного характера окружающей среды. Кроме того, аналитическим аппаратом, примененным в диссертации, являются так называемые хааровские фильтрации, связанные в своей основе с системами функций Хаара (см. [67]), образующими базисы во многих функциональных пространствах.

В диссертации предложен новый метод исследования достаточно широкого класса финансовых рынков, который естественно назвать методом интерполяции финансовых рынков с помощью хааровских фильтраций (метод хааровских интерполяций финансовых рынков). Существо этого метода состоит в следующем. Рассматривая безарбитражные, но неполные рынки мы расширяем исходную фильтрацию финансового рынка таким образом, что она превращается в хааровскую фильтрацию, в которой при переходе от момента времени п к моменту п + 1 ровно один атом дробится на две части, а остальные атомы остаются неизменными. Затем, используя вероятностное (мартингальное) решение задачи Дирихле для дисконтированной цены акции по отношению к хааровской фильтрации, мы получаем однозначно определенную интерполяцию дисконтированной цены акции на специальным образом выбранные промежуточные времена. Наконец, с помощью таким образом полученной мар-тингальной интерполяции, мы строим финансовый рынок, определенный как на исходных, так и на вновь введенных промежуточных значениях временного параметра. На исходных значения временного параметра цены акции и цены банковского счета этого рынка совпадают с изначально заданными, т.е. мы получаем интерполяцию исходного финансового рынка.

В диссертации изучен вопрос о том, когда полученный в результате интерполяции рынок является полным (свойство безарбитражности при такой интерполяции всегда сохраняется). Таким образом, достаточно большое число моделей финансовых рынков (состоящих из банковского счета и акций одного типа) могут быть преобразованы к моделям финансовых рынков, обладающим хорошей вычислимостью (таковыми являются полные и безарбитражные рынки). В частности, вводится и исследуется модель финансового рынка, подверженного скупке акций со стороны двух агрессивных скупщиков. С помощью метода интерполяции вычислительные процедуры, связанные с этой моделью, сводятся к вычислительным процедурам модели, впервые введенной в докладе И.В. Павлова [45] и подробно изученной в дальнейшем в работах[2,4,23-31,44

47,78].

Заметим, что задача преобразования неполных рынков в полные была рассмотрена еще в 1987 году в работе М. Такку и В. Виллингера [79], где переход от неполных рынков к полным осуществлялся заменой исходной мартингальной меры неэквивалентной ей мартингальной мерой. Однако, с помощью полученной таким образом единственной мартингальной меры невозможно вычислять цены финансовых контрактов, справедливые для изначально рассматриваемого финансового рынка. Этот недостаток впервые был преодолен А.В. Мельниковым и К.М. Феоктистовым в 2001 году в работе [39] (см. также [53]). В этой работе пополнение финансового рынка проводилось посредством добавления к рисковым активам исходного рынка дополнительных активов, функционально зависимых с изначальными.

Идеи, разработанные в настоящей диссертации, существенным образом отличаются от концепций вышеупомянутых работ. Ниже приводятся точные определения и обзор результатов, полученных в диссертации.

Финансовые рынки: эвристическое описание. Под финансовым рынком будем понимать совокупность рынка ценных бумаг, реализуемых на бирже (акции, облигации и производные (вторичные) ценные бумаги), и внебиржевого рынка финансовых ресурсов (кредиты, банковские услуги и т.д.).

На финансовом рынке его участники проводят финансовые операции с помощью финансовых инструментов. Участниками финансового рынка являются финансовые компании, банки и другие финансово-страховые структуры, включая индивидуумов.

Основу финансового рынка составляют активы, реализуемые через ценные бумаги: банковский счёт, облигации, акции. К производным финансовым инструментам относятся: опционы, фьючерсные контракты, варранты, свопы, комбинации, сочетания.

Дадим краткую характеристику интересующих нас в дальнейшем понятий; материал, касающийся не затронутых в данной работе финансовых инструментов может быть найден в [15, 47, 57, 58, 80].

Акции — это долевые ценные бумаги, выпускаемые корпорациями, компаниями, фирмами с целью аккумулирования капитала.

Акции в основном бывают двух типов: обыкновенные и привилегированные. Они различаются выплатой дивидендов, степенью риска вкладывания в них финансовых средств и другими чертами, на которых мы не будем акцентировать внимание.

Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами, а возможностью зарабатывать деньги на колебаниях цен акций, покупая их по низкой цене перед тем, как остальные начнут это делать, и раньше конкурентов продавая их по высокой цене.

Облигации — это долговые ценные бумаги, выпускаемые государством или теми или иными фирмами с целью аккумулирования капитала, реструктурирования своих долгов и т.д. В отличии от акций, они выпускаются на некоторый срок, по истечении которого изымаются из обращения посредством погашения (выкупа). Характеристиками облигации являются: время погашения, стоимость погашения, выплаты до погашения. Выплаты по облигациям, в сущности, эквивалентны банковской процентной ставке.

Банковский счёт может рассматриваться как ценная бумага, относящаяся к облигациям, суть которой состоит в том, что банк обязуется выплачивать по вашему счёту определённый процент от суммы счёта.

В дальнейших рассмотрениях банковский счёт будет возникать не раз, что во многом объясняется его универсальностью удобной "единицы измерения "цен разнообразных ценных бумаг.

Опционы — производные ценные бумаги некоторого актива. Чтобы стать держателем такой бумаги, нужно заплатить некоторую премию эмитенту. При этом приобретается право (но не обязанность) предъявить данную бумагу к исполнению в оговоренный срок и получить выплату в фиксированном размере.

Опцион на покупку (call-option) даёт право его владельцу (держателю опциона) купить актив по фиксированной договором цене не позже определённой даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Владелец опциона может отказаться от указанной покупки актива без всяких штрафов.

Аналогично, опцион на продажу (put-option) даёт право его владельцу продать актив по фиксированной цене не позже определённой даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион).

Поскольку в настоящее время математическая теория расчета справедливых цен опционов хорошо развита, мы далее подробно рассматриваем связанные с ней понятия при описании нужных нам фактов стохастического анализа.

Практическая работа на финансовом рынке требует проведения достаточно точных расчётов цен активов, торгуемых на рынке. Однако делать состоятельные прогнозы и вырабатывать приносящие прибыль стратегии невозможно без определённых допущений, позволяющих привлекать для анализа научные доводы. К этим допущениям относятся:

1. "Скрытые"параметры типа психологических мотивов не учитываются.

2. Предполагается, что дальнейшее развитие рынка пойдёт примерно так же, как это происходило в прошлом (с учётом изменений, происшедших на рынке). Такой способ анализа можно развить далее, допустив, что различные показатели рынка можно моделировать как случайные величины. Это, в свою очередь, открывает путь к использованию теоретико-вероятностных методов.

3. Об анализируемом финансовом инструменте (или о близких в некотором смысле к нему) должна быть накоплена определённая информация. Перечисленные выше предположения служат основанием для исследования финансовых рынков научными методами (математическими, с использованием компьютерной техники и т.д.).

Гипотеза поведения цен как случайного блуждания далеко не сразу была принята как экономистами, так и математиками (см., например, [57]), но именно она привела к классической концепции эффективного, или "рационального"рынка. Под этим подразумевается, что на рынке: 1) мгновенно производится коррекция цен на изменения внешних уеловий, цены становятся "справедливыми", т.е. полностью исключается арбитраж (купля-продажа активов, позволяющая извлечь прибыль из разницы цен на разных рынках);

2) участники рынка однозначно интерпретируют информацию, мгновенно корректируя свои решения при обновлении этой информации;

3) участники рынка преследуют свои (собственные) эгоистические интересы, которые характеризуются некоторым объективным образом; данное предположение позволяет анализировать действия конкретного участника, опираясь на некоторые его устремления.

Эти предположения выражены чисто словами, тем не менее, они вместе с гипотезой о случайном блуждании цен позволяют развить стройную и довольно сложную математическую теорию финансовых рынков.

Метод интерполяции и основные теоретические результаты диссертации (обзор главы 1). В стохастической финансовой математике финансовые рынки акций называются (В, 8)-рынками и моделируются в большинстве случаев следующим образом. Вводятся в рассмотрение:

1. безрисковый актив В = (Вк)к=о (банковский счет), представляющий собой (чаще всего) детерминированную последовательность положительных чисел, где Вк выражает собой цену банковского счета в момент времени к\ например, Вк может изменяться по формуле сложных процентов Вк = Во(1 + г)к, где г — банковская процентная ставка;

2. вектор цен акций S = (Sj.1^, Sj>2\., где верхний индекс отражает тип акции, a S^ есть строго положительная случайная величина (с.в.), выражающая цену акции г-го типа в момент времени к.

В настоящей работе всегда предполагается, что N < оо (в этом случае говорят, что горизонт финансового рынка конечен). Ясно, что для практических нужд изучение финансовых рынков с конечным горизонтом особенно важно. Поскольку S^ — с.в., то они должны быть определены на некотором вероятностном пространстве (в.п.) (Q,^7), где Q — множество исходов (ситуаций) на финансовом рынке, а Т — сг-алгебра подмножеств из которая трактуется как совокупность всевозможных событий, могущих произойти на рынке за все время наблюдения над ним (то есть во временном периоде от к — 0 до к — N ).

В нашей работе Г2 всегда конечное множество, а через Т обозначается совокупность всех подмножеств множества Г2, представляющая собой конечную <7-алгебру событий на П.

Рассмотрим момент времени к — 0. В этот момент времени всю ситуацию на рынке естественно считать известной. Например, так как мы знаем конкретную цену акции г-го типа, то каждое высказывание об этой цене мы можем квалифицировать как истинное или ложное. Поэтому вектор «So = G^o^tSo^, • • * считают неслучайным и связывают с ним тривиальную сг-алгебру {Г2,0}.

Момент времени к = 1 — это момент объявления новых цен на акции. Так как цены акций ведут себя случайным образом (могут падать, сохраняться, расти), то в этот момент возникает ряд новых (нетривиальных) событий; а-алгебру которых обозначают через Т\. Она описывает совокупность всех событий, которые могут произойти на рынке в данный момент времени. Таким же образом, при переходе к моменту времени к = 2 возникает еще более богатая событиями сг-алгебра Т2 и т.д. Дойдя до горизонта к = N, получаем = Т. В результате возникает возрастающая последовательность сг-алгебр событий: ft,^} = Т0 С Тх С . С TN = Т.

Такой поток F = (Тк)ь=о с-алгебр называют фильтрацией, а каждую а - алгебру Тк трактуют как множество событий, доступных для наблюдения в момент времени к, или как совокупную информацию о рынке на этот момент времени.

Так как каждая сг-алгебра Тк конечна, то она имеет атомарную структуру, то есть в Тк существует набор событий (атомов) Ак,., Агкк,

Тк удовлетворяющих условиям: А\С\А3к = $ при i ф j и U A\ = Q. Осталь

1=1 ные события из Тк представимы в виде сумм атомов. Таким образом, атомы являются "базисными"событиями в Тк- Совокупность всех атомов из Тк обозначим через Т>к

Перейдем к описанию метода хааровской интерполяции. Рассмотрим сначала одношаговую модель (т.е. N = 1). Будем исходить из того, что новые события возникают на рынке неодновременно. Возникновение новых событий, очевидно, связанно с возникновением новых атомов. В момент к = 0 имеем один атом (А = А\ = Допустим, что при переходе от момента к = 0 к моменту к = 1 этот атом раздробился на m атомов

Bi, Б2,., Вт (также как и в основном тексте диссертации мы отходим от двойных индексов в целях упрощения обозначений). В промежутке между моментами к = 0 и к = 1 сначала возникает одно событие из V1, затем другое и т.д. Не нарушая общности, можно считать, что порядок их появления таков: В\, Д2, • • •, Вт. Вводить промежуточные времена можно по-разному, лишь бы они были упорядочены. При наших предположениях о (В,8)-рынке легче всего изменить масштабирование исходной временной шкалы.

Сначала определяем следующие сг-алгебры событий: %q = =

Bi] (эта сг-алгебра порождена атомом В\, т.е. И\ = a{B\}). Далее полагаем

Ясно, что Tim~i = Т\. Обозначим п\ = m — 1. Таким образом, 7ini = Т\. Полученная фильтрация {Q, 0} = T-Lq С Н\ С . С ИП1 = обладает следующим свойством: при переходе отпкп+1 только один атом из %п дробится на две части, а остальные атомы этой сг-алгебры остаются неизменными. Следуя Ж. Неве (см. [73]), такие фильтрации мы называем хааровскими фильтрациями. Так как крайние сг-алгебры построенной хааровской фильтрации совпадают с исходными сг-алгебрами Той Ti, то естественно говорить, что фильтрация (7^n)„L0 интерполирует фильтрацию (^jfc)jt=o- При этом исходная временная шкала "растягивается":

2 = О- {В\, Вч}, . . . , Tim-l = (J {Bi, В2,., Дп-l}.

Jfc-0

Jfc-1 я-0

I-• я = й,-1 n =«;

Заметим, что интерполирующие хааровские фильтрации (и.х.ф.) можно строить и по-другому. Например, можно положить

Я1 = {П,0,В1иВ2,В1иВ2}, а на следующем шаге дробить В\ U В2 или В\ U В2. Общее определение (когда N — любое натуральное число) выглядит следующим образом (см. определение 1.5): хааровскую фильтрацию Н = (%п)п=о будем называть и.х.ф. исходной фильтрации F, если существует последовательность натуральных чисел 0 = rig <7ii < . ■ ■ < tin = L, для которой 1-Lnk = Тк, Щ0 < к < N).

Рассмотрим теперь хааровскую интерполяцию цен акций. Введем стандартным образом "дисконтированный"финансовый рынок (1 ,Z), на котором Z = о := (s^/Bkjk , а цена банковского счета тождественно равна единице. Н-адаптированный векторнозначный процесс Y = (Уп, tln)n=с гДе уп = (У„(1)> • • •, бУДем называть интерполяцией векторнозначного процесса Z = гДе = ., Zотносительно хааровской фильтрации Н, если УПк = Zj~,Vk(0 < к < N). Определим новый (В,8)-рынок следующими соотношениями:

Вп = Вк при пк<п< пк+1(0 < к < N),Bl = BN] <Sn = BnYn при 0 < п < L первое соотношение реализует естественное предположение, что проценты начисляются только в моменты времени к = 1,2,., iV). Очевидно, что при п = rik Вп = Вк и Sn = Sk, то есть построенный (В, !3)-рынок интерполирует исходный (В,8)-рынок.

Понятно, что средствами интерполяции можно предсказывать "рыночные "цены акций в промежутках между объявлением новых цен на них. Если интерполяция построена удачно, то из этого всегда можно извлечь выгоду (например, быстро избавляясь от одних акций и покупая другие или более эффективно формируя хеджирующие портфели). Более того, с помощью интерполяций можно улучшать некоторые свойства рынка. Самыми важными свойствами финансового рынка являются без-арбитражность и полнота. Арбитражный рынок нельзя интерполировать до безарбитражного (это очевидный факт). Однако, очень часто неполный рынок можно интерполировать до полного, то есть преобразовать неполный исходный (В,8)-рынок в полный (В,8)-рынок.

Эконометрические определения безарбитражности и полноты хорошо известны (см. [57, 73]), и приведены далее во введении. Из фундаментальных теорем финансовой математики(см. теоремы 0.1-0.3) следует, что безарбитражность (В, 8)-рынка равносильна существованию вероятностной меры Р, относительно которой (дисконтированный) процесс Z = (Zfc, ^Fk)k=o является мартингалом, а полнота безарбитражного рынка равносильна единственности такой мартингальной меры. Обозначим через А £Т>к произвольный атом и рассмотрим его представление: тп

А=ид, (0.2) 1 где Вг — атомы из Vk+\. Положим также

Тогда мартингальность вероятностной меры Р означает выполнение

Zk\A = a,Zk+i\Bt = Ьг.

0.3)

1 тп равенства: а = рщ £ Ь,\Р(Вг), V&(0 < к < jV), VA G Vk. Мартингальную меру часто называют также риск-нейтральной мерой. Обозначим через V множество всех вероятностных мер на в.п. (Г2,Т), нагружающих все атомы из Х>дг, а через V(Z, F) — множество мер Р из V, относительно которых векторнозначный процесс Z = (Zk, Fk, Р)к=о является мартингалом.

Предположим, что V(Z, F) ф 0, и зафиксируем меру Р £ V(Z, F). По мартингалу Z = {Z^T^ Р)к=о построим мартингальную хааровскую интерполяцию У = (Ijt, Р)^=0, используя формулу: Yn = E[Z^ (вероятностное решение задачи Дирихле). Если и.х.ф. Н фильтрации F фиксирована, то мартингал Y определяется по мартингалу Z однозначно.

Определение 0.1 Будем говорить, что мартингалънал мера Р G V(Z, F) удовлетворяет свойству хааровской единственности (СХЕ), если для исходной фильтрации F можно построить такую хааровскую интерполяцию Н, что для соответствующей мартингалъной интерполяции Y = (Yn, процесса Z имеет место соотношение \P{Y,H)| = 1 (то есть только относительно исходной меры Р процесс Y является мартингалом).

Определение 0.2 Будем говорить, что мартингальная мера Р Е V(Z, F) удовлетворяет свойству универсальной хааровской единственности (СУХЕ), если для любой хааровской интерполяции Н исходной фильтрации F имеет место соотношение \V{Y1H)\ = 1, где

Y = (Yn, Tin)n-Q — соответствующая мартингальная интерполяция процесса Z.

Существенная часть данной диссертации посвящена изучению свойств хааровской единственности и универсальной хааровской единственности.

В общей концепции определений 0.1 и 0.2 существуют лишь разрозненные результаты, связанные с вопросом о том, когда мера Р G V(Z,~F) удовлетворяет СХЕ или СУХЕ (см. [18]). В настоящей диссертации рассматривается "усеченный" (В, 8)-рынок, состоящий из банковского счета и акций одного типа. При этом поток <т-алгебр событий F = порождается, вообще говоря, всем развитием ситуации на рынке (в частности, он может порождаться ценами всех I типов акций). Экономически необходимость изучения таких "усеченных" (В,8)-рынков обосновывается тем, что многие индивиды (граждане России) получили в собственность акции предприятий, на которых они работали, и в дальнейшем имели возможность оперировать только с этими конкретными акциями своего предприятия, а также с (относительно) безрисковым банковским счетом в Сбербанке (случай хранения денег "под подушкой "соответствует значению г = 0).

Таким образом, всюду в данной диссертации мы считаем процесс S скалярным, т.е. S = (Sk)kL0- Вследствие этого и процессы Z = (Zk, Fk)k=о и Y = (YniHr^n-o также являются скалярными.

Приведем основные результаты первой главы диссертации, используя обозначения (0.2) и (0.3).

Теорема 1.1

1) Если какая-нибудь мера Р Е V{Z, F) удовлетворяет СХЕ, то Ук

0<к< N) и для любого атома А Е Т>/. при т > 1 выполняется неравенство min Ьг < а < max Ьг, (0.4) l<i<m 1<г<т 4 ' а при т — 1 выполняется равенство а = Ь1. (0.5)

2) Если V&(0 < к < N) и для любого атома А € Т>к при m > 1 выполняется неравенство (0.4), а при т — 1 — равенство (0.5), то любая мера Р Е ^(Z, .F) удовлетворяет СХЕ.

Итак, наличие СХЕ отрицает при т > 1 выполнение равенства а == bi — 62 = • • ■ = Ьт. Таким образом, если вернуться к терминам финансового рынка (см. (0.1)), нарушение СХЕ означает, что если в момент к совершилось событие А, то при переходе от момента времени к к моменту к + 1 цена акции ведет себя детерминированно (в точности, как банковский счет), несмотря на то, что биржевая ситуация эволюционирует, так как в рамках события А возникает много новых событий (а именно, В1} В2,., Вт).

Следствие 1.1. Если 3Р G V(Z,F), удовлетворяющая СХЕ, то VP EV(Z,F) удовлетворяет СХЕ.

Следующая теорема дает достаточное условие выполнения СХЕ. Теорема 1.2 Пусть F — естественная фильтрация процесса Z, т.е. = a{Zo, Zi,., Zk}. Тогда любая мера Р G V(Z,T) удовлетворяет

СХЕ.

Как показывает пример 1.1 диссертации, условия теоремы 1.2 не являются необходимыми. В связи с этим обстоятельством отметим, что если (В, 8)-рынок безарбитражен и полон, то фильтрация F по отношению к которой он рассматривается, всегда совпадает с естественной фильтрацией (см. [57]).

Следующая теорема устанавливает критерий того, что фиксированная вероятностная мера Р удовлетворяет более сильному интерполяционному свойству — свойству универсальной хааровской единственности.

Теорема 1.3 Мера Р 6 V(Z, F) удовлетворяет СУХЕ тогда и только тогда, когда Vfc (0 < fc < N) и для любого атома А 6 набор чисел {&1,62,., Ьт}, снабженных весами рьрг, • • • ,Рт, удовлетворяет следующему условию несовпадения барицентров: для любых двух непересекающихся подмножеств индексов I = {г'1, г'2,., га} С {1,2,., т} и J = {ji, j'2,., jp} С {1,2,., m} выполняется неравенство:

ЬггРгг + &г2Рг2 + . . . + btapta bhph + bj2pj2 + . . . + bj0pj0 Рч + Рг2 + pn+pj2 +.+pj0

Естественно возникает вопрос: при каких условиях на исходный (В, S)-рынок существуют мартингальные меры Р, удовлетворяющие СУХЕ, или, что то же самое, когда реализуются условия несовпадения барицентров. Ответом на этот вопрос является следующая

Теорема 1.4 Пусть Р 6 V(Z, F) ф 0. В множестве Р G V(Z, F) есть меры, удовлетворяющие СУХЕ, тогда и только тогда, когдаУк(0 < к < N) и для любого атома А £Т>ь числа {&i,62, • • • ? bm} различны и ни одно из них не совпадает с числом а.

Анализ доказательства теоремы 1.4 показывает, что при выполнении условий этой теоремы почти все мартингальные меры удовлетворяют СУХЕ ("почти все "понимается в смысле почти всюду относительно меры Лебега, заданной на гиперплоскости, в которую погружено множество

Следующий результат выделяет те (В,8)-рынки, которые не допускают мартингальных мер, не удовлетворяющих СУХЕ.

Теорема 1.5 Пусть V(Z, F) ф 0 и \/к(0 < к < N) при переходе от к и &+1 любой атом А из T>k дробится не более, чем на 3 атома (т.е. т < 3). Тогда при выполнении условий теоремы 1.4 любая мартингалъная мера Р Е T{Z, F) удовлетворяет СУХЕ.

Отметим, что теорема 1.5 весьма удобна для моделирования и анализа некоторых важных типов финансовых рынков (в частности, финансовых рынков, подверженных скупке акций со стороны двух агрессивных скупщиков).

К сожалению, как показывает следующий результат, в общем случае теорема 1.5 неверна.

Теорема 1.6 Пусть V(Z, F) ф 0 и 3/г(0 < к < N) и атом А из Т>к, который при переходе от момента к к моменту к + 1 дробится более, чем на три атома (т.е. т > 4). Тогда существует Р Е V(Z,F), не удовлетворяющая СУХЕ.

В параграфе 1.6 диссертации дано подробное исследование одноша-говой модели финансового рынка, где геометрически описываются все мартингальные меры, не удовлетворяющие СУХЕ.

В параграфе 1.7 показано, что все другие (нехааровские) интерполяции безарбитражных рынков, приводящие к полным рынкам, можно свести к хааровским интерполяциям.

Приведенный обзор результатов главы 1 показывает, что все поставленные задачи для финансового рынка с одним типом акции, связанные с описанием мартингальных мер, удовлетворяющих СХЕ и СУХЕ, решены полностью.

Основные понятия стохастической финансовой математики.

Фундаментом вероятностной модели является стохастический базис, ft, P)k=о где N — финальный момент времени (горизонт), до которого включительно исследуется модель (в наших построениях полагаем, что N < оо); пространство, состоящее из элементарных событий и, понимаемых как различные состояния рынка;

JF — сг-алгебра подмножеств пространства элементарных событий (совокупность всех событий, наблюдаемых на рынке до момента N включительно);

Р — вероятностная мера на Т\ k)k=o ~~ возрастающая последовательность сг-подалгебр сг-алгебры Т, где Tq = {0,0}, Fn — каждая ст-алгебра Ть интерпретируется как информация о событиях, происходящих на рынке до момента к включительно.

Последовательность (Sk)k=o -измеримых строго положительных с.в. будем интерпретировать как последовательность цен акций (Sk — цена акции в момент времени к). Другую строго положительную последовательность (Bk)k=:о понимают как стоимость банковского счёта в момент времени к. В большинстве случаев последовательность (Вк)к=о считается детерминированной.

Рынок, определяемый последовательностями (Sk) и (Вк), будем называть (В, 8)-рынком.

Обозначим через (Зк количество единиц банковского счёта, а через 7к —■ количество акций в момент времени к. Инвестиционная стратегия (или портфель) 7г определяется как двумерная предсказуемая последовательность (Phi Tfc)fc==o (т0 есть Рк и 1к являются ^„х-измеримыми).

Капитал портфеля 7г — это последовательность случайных величин (Xl)k=Q> задаваемая формулой (ЗкВк + + hk, (0.6) где (hk)k=о ~~ некоторая адаптированная к (Fk) последовательность. Для упрощения обозначений мы будем часто отбрасывать индекс тг.

Рассмотрим подробнее как происходит формирование портфеля тг. Начальный капитал в момент времени к = 0 имеет вид:

Х0 = /30В0 + 70<S0.

При переходе к следующему моменту времени к = 1 под воздействием различного рода обстоятельств капитал Xq может измениться и принять значение Xq + gi, где д\ — случайная величина, которая является

-измеримой. В зависимости от знака д\ капитал может увеличиться, уменьшиться или остаться прежним (при д\ = 0). Стремясь получить к моменту к = 1 как можно больший капитал Xi, производят различные финансовые операции (продают одни акции, покупают другие, вносят изменения в банковский счёт), тем самым модернизируя структуру портфеля. То есть непосредственно перед объявлением новых цен на акции (перед моментом к = 1) портфель будет состоять из (3\ единиц банковского счёта и 7i акций. Таким образом,

-^о + 9i = PIBQ + TiSo

Сразу после объявления новых цен на акции и процентного начисления на банковский счёт в момент к = 1 происходит добавление (или изъятие) суммы h\, после чего капитал портфеля принимает вид:

Xi = PiBi + 7iSi + hi.

Так и во все промежутки между моментами к — 1и к капитал Xk-i изменяется на значение ^х-измеримой случайной величины gk и происходит перераспределение портфеля так, что 9к = (ЗкВк-1 + 7*Зь-1. (0.7)

В момент к капитал портфеля выражается формулой (0.6).

Если при этом портфель не испытывает ни притока дополнительного капитала, ни оттока капитала (hk = 0 \/к и дк = 0 Vn ), то такой портфель назовём самофинансируемым.

Отметим, что в состав обычно входят инвестиции, потребление, операционные издержки, в то время, как hk включает в себя дивиденды на акции, премии за страховые полисы и выплаты по полисам . В дальнейшем мы будем часто использовать следующую теорему, составленную из результатов, которые можно найти в [57, с.493-503].

Теорема 0.1 Рассмотрим портфель 7Г = (A;,7fc)b=o ценных бумаг с капиталом (0.6). Тогда следующие условия равносильны: a) Xk-i+gk = PkBk-i+'JkSk-b & = 1,2,., iV (вид финансирования портфеля); b) Bk-iAf3k + Sk-i^Jk = 9k + hk-ъ k = 1,2,., iV, (балансовое соотношение); c) AXk = Pk&Bk + Ik&Sk + gk + hk, k = 1,2,., N , (формула приращения капитала); d) А(ж)= 7кЛШ + + = wow** приращения дисконтированного капитала).

Заметим, что все выписанные в теореме 0.1 соотношения понимаются Р-п.н.

Перейдем к описанию таких важных понятий рынка, как безарбит-ражность и полнота.

Арбитражем называется наличие возможности получения прибыли без риска. Арбитражная стратегия — стратегия, приносящая прибыль при нулевых начальных затратах. Более точно (см. [57, с. 528, определение 2]), говорят, что самофинансируемый портфель 7г реализует арбитражную возможность, если Xfi = 0, Р(Х^ > 0) = 1 и Р(Х^ > 0) > 0. (В,8)-рынок, на котором отсутствуют арбитражные возможности, называется безарбитражным.

Самофинансируемый портфель 7г = {fiki4k)k=o, такой, что в момент времени N его капитал мажорирует некоторое платёжное обязательство jРдг, являющееся ^-дг-измеримой случайной величиной (т.е. для которого Хн > Рдг Р-п.н.), называется хеджирующим портфелем. Процедура построения такого портфеля называется хеджированием данного обязательства. Если при этом Р-п.н. XJj — Рдг, то хедж называется совершенным. (B,S)-pbiHOK называется полным, если для любого платёжного обязательства Рдг существует совершенный хедж.

Дисконтированной ценой акции называется отношение — цены акfc ции к банковскому счёту. Основой для анализа различных стохастических моделей (В,8)-рынка является предположение о наличии мартин-гальной меры, каковой мы называем такую вероятностную меру Р, эквивалентную исходной мере Р (записывают Р ~ Р), относительно которой

Для исследований (В,8)-рынков особо важны такие их качества, как полнота и безарбитражность. Именно эти экономические характеристики имеют математическое воплощение, выраженное в двух основных теоремах финансовой математики (см. [56, с.28-36]).

Теорема 0.2 (В, SJ-рынок является безарбитражным тогда и только тогда, когда существует мартингальная мера Р.

Теорема 0.3 Безарбитражный (В,SJ-рынок является полным тогда и только тогда, когда мартингальная мера Р единственна.

Теперь остановимся подробнее на понятии опциона. Для определённости рассмотрим стандартный опцион на покупку Европейского типа. n процесс

Опцион такого типа даёт право его владельцу купить в фиксированный момент времени N некие рисковые активы (в данной работе это будут акции) по заранее оговоренной контрактной цене . Ясно, что в момент N фактическая стоимость акции может отличаться от контрактной . При Sn > К владельцу опциона выгодно предъявить его к исполнению, так как, немедленно продав эти акции, он получает в этом случае доход, равный Sn — К.

При обратной ситуации, когда Sn < К, опцион не предъявляется к исполнению, так как сделка становится невыгодной для владельца опциона, который может купить интересующие его акции на рынке по меньшей цене. Таким образом, в момент N доход покупателя (равный финансовому обязательству продавца) определяется по формуле

Fn = (SN - К)+ = max{e?jv - К, 0}.

Получив за проданный опцион премию Сдг, продавец опциона должен к моменту N иметь возможность выполнить взятые на себя обязательства. Исходя из этого, он должен, имея начальный капитал Xq, так построить свою стратегию, чтобы в момент N достигнуть платёжного обязательства Fn, совпадающего с доходом покупателя, т.е. Х^ = (Sn — К)+•

В связи с этим, весьма актуальны задачи о вычислении справедливой цены опциона Сдг и о построении стратегии продавца опциона, хеджирующей его финансовое обязательство.

Очевидно, что продавец и покупатель опциона преследуют разные цели, назначая, соответственно, продажную и покупную цены опциона. Различие целей продавца и покупателя приводит к назначению, вообще говоря, разных цен продажи C*(N) и покупки C*(iV). При отсутствии полноты рынка, это приводит к появлению ненулевой разницы С* — С*, называемой спрэдом. Если же рынок полон, то возможно совмещение противоположных интересов продавца и покупателя, выражающееся в существовании справедливой цены опциона Ск (см. [35, с.74]), когда

С/у = С* = С*.

Можно существенно расширить класс платежных обязательств, если величину выплат F е Тк считать F = {Fk)k=o,i,.,n неотрицательной стохастической последовательностью длины N. Такие платежные обязательства (F, N) будем называть динамическими платежными обязательствами с последней датой погашения N.

С динамическими платежными обязательствами (F, N) естественно связаны производные ценные бумаги, согласно которым держатель имеет право предъявлять их к исполнению в любой момент к = 0,1,., N и получить выплату в размере Fk. Продавец же такой ценной бумаги, получающий при ее продаже премию С (стоимость этой бумаги), обязан распорядиться ею так, чтобы в любой момент п капитал его портфеля превышал Fk, т.е. обеспечить хеджирование данного платежного обязательства. Такие ценные бумаги называются опционами американского типа.

Опционы американского типа, таким образом, представляют большую свободу их держателям в выборе момента исполения т. При этом держатель опциона принимает свое решение на основе имеющейся до этого момента информации и, следовательно, момент исполнения является марковским моментом.

Кроме хеджирования сверху, которое применяется как на полных так и на неполных рынках, причем на полных рынках оно является совершенным, существуют и другие виды несовершенного хеджирования, к которым относятся квантильное хеджирование, когда XJj > Fдг выполняется с заданной вероятностью; хеджирование в среднем, когда при заданном начальном капитале минимизируется математическое ожидание квадрата отклонения финального капитала от финального обязательства (этот показатель в расчетах является измерителем финансового риска).

Ключевой вопрос при исследовании (В,8)-рынка — определение законов, согласно которым эволюционируют цены активов рынка, иначе говоря, законов, формирующих последовательности Sk и Вк. Обычно эволюция банковского счёта считается детерминированной. Эволюция же цен акций носит, как было отмечено ранее, ярко выраженный случайный характер и поэтому задание последовательности Sk представляет особый интерес.

Основой для построения многочисленных моделей финансового рынка является модель Кокса-Росса-Рубинштейна, базирующаяся на том естественном предположении, что цены акций в любой момент времени могут как повышаться, так и понижаться. Считая эти изменения дискретными, Кокс, Росс и Рубинштейн разработали биномиальную модель (В,8)-рынка (см. [63]), где В и S эволюционируют согласно формулам:

Bfc = (l + r)Bfci

0.8) где Во > 0 и г — постоянная процентная ставка;

Sk = (1 + Р*)«&1, (0.9) где So > 0 и pk > — 1 — последовательность независимых в совокупности а, одинаково распределенных двузначных случайных величин: Рк = \

I6' причем —1 < а < г < о.

Данная модель исследуется в работах [33, 35, 38, 49, 51, 57]. Появление модели Кокса-Росса-Рубинштейна послужило толчком для развития методов современного стохастического анализа в математической теории финансов. При этом модель безарбитражного (B,S) рынка (0.8)-(0.9) часто обладает свойством полноты, которая, согласно теореме 0.3, означает единственность мартингальной меры. С нематематической точки зрения, свойство полноты обеспечивает доступность всех фигурирующих на рынке активов и отсутствие ограничений для инвестирования в эти активы. Общие формулы расчета справедливой цены и хеджирующих стратегий приводятся в рамках полного безарбитражного рынка. Поэтому вопрос о пополнении безарбитражного рынка достаточно актуален.

Обзор результатов 2-ой главы диссертации. Вся вторая глава диссертации (за исключением параграфа 2.2) посвящена описанию и анализу модели финансового рынка с двумя агрессивными скупщиками акций. При этом основной упор сделан на построении совершенных хеджей в рамках интерполирующих моделей.

Применение теоретических результатов главы 1 основано на следующих возможных ситуациях:

1. Продавец (хеджер) руководствуется результатами теоремы 2.1 (см. с.76). Обладая определенной информацией, он моделирует значение дисконтированной цены акции на промежуточных временах, руководствуясь при этом условиями 2) теоремы 2.1. По теореме 2.1 полученный интерполирующий рынок безарбитражен и полон, следовательно он обладает единственной мартингальной мерой Р, которая вычисляется по формулам (2.3). Эту меру он предлагает покупателю как основу вычисления стоимости контракта и по ней (в случае реализации контракта) строит совершенный хедж. Эта ситуация реализована в параграфе 2.1.

2. Продавец и покупатель контракта соглашаются вычислять стоимость контракта, используя некоторую мартингальную меру Р. При этом: а) Р удовлетворяет СУХЕ. Тогда продавец (хеджер) строит совершенный хедж по известным формулам полного и безарбитражного рынка. Эта ситуация реализована в параграфах 2.3-2.5. б) Р не удовлетворяет СУХЕ. Тогда хеджер берет мартингальную меру Р', приближающую Р с нужной точностью, и с использованием Р' строит совершенный хедж (параграф 2.2).

В параграфе 2.4 рассматривается хеджирование в среднеквадратичном смысле. При этом учитываются дополнительно к предыдущему следующие элементы:

1) начального капитала недостаточно, чтобы осуществить хеджирование;

2) добавляется процесс потребления (инвестирования).

По отношению к вышеизложенному для продавца опциона добавлена дополнительная возможность, которая заключается в следующем: хеджер может выбирать периодичность осуществления финансовых операций. Для выбора отимального поведения на финансовом рынке продавец опциона руководствуется критерием — математическое ожидание квадрата отклонения финального капитала от финансового обязательства, взятого на себя продавцом опциона.

В параграфе 2.5 решается задача построения оптимального хеджа с точки зрения минимизации начального капитала портфеля для динамического платежного обязательства. При этом расчеты производятся как для финансового обязательства достаточного общего вида, так и для специального финансового обязательства.

Полученные вычислительные схемы реализованы в программном комплексе "Хедж". Программный комплекс создан в среде Visual FoxPro 6.0. и предназначен для:

1) статистической обработки реальных данных (пользователь выбирает конкретный тип акции и временной период, который хотел бы проанализировать) ;

2) проверки существования мартингальной меры (если множество мар-тингальных мер не пусто, то пользователю предоставляется возможность ввести дополнительную информацию по которой вычисляется мартин-гальная мера; если множество мартингальных мер пусто, то пользователю предлагается отказаться от использования данного актива);

3) пополнения рынка (автоматически происходит построение графиков эволюции дисконтированной стоимости акции);

4) выбора типа опциона (в случае европейского опциона выбирается контрактная цена, для американского же опциона выбирается контрак-ная цена и дисконтирующий множитель в\

5) построения справедливой цены опциона, рисковых и безририсковых составляющих портфеля.

Системные требования к программному комплексу: Win98SE, Microsoft Excel 2000, 4Mb свободного дискового пространства.

В заключении приводятся и комментируются основные результаты работы, выносимые на защиту.

В приложении представлен код программного комплекса "Хедж"в среде Visual FoxPro 6.0, дано полное описание программного комплекса.

Основные результаты диссертации содержатся в 12 публикациях: [1], [5]-[14]. В совместных работах на долю соискателя приходится 70%. Основные результаты диссертации докладывались:

1) на Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам и Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2000г.; г. Самара, 2001г.; г. Йошкар-Ола, 2001г.; г. Ростов-на-Дону, 2002г.);

2) на Международной конференции "Стохастический анализ и смежные вопросы"(г. Санкт-Петербург, 2001г.);

3) на третьих и четвертых межвузовских научных чтениях при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2001, 2003г.г.);

4) на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004г.);

5) в отделе теории вероятностей и математической статистики Института математики им. В.А. Стеклова РАН (зав. отделом — академик РАН Ю.В.Прохоров);

6) на межкафедральных семинарах по стохастической финансовой математике при кафедрах высшей и прикладной математики РГСУ (рук. — проф. И.В.Павлов и проф. Г.И.Белявский );

7) на семинаре по вероятностным методам геометрии и анализа при РГУ (рук. — проф. С.Б. Климентов).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Павлову И.В. и заведующему кафедрой ПМ и ВТ, д.т.н., проф. Белявскому Г.И. за оказанную помощь и ценные советы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Богачева, Марина Николаевна

Заключение

В заключении приведем список основных результатов, которые получены в нашем исследовании.

В соответствии с поставленной перед нами задачей и в результате анализа возникших в следствие этого теоретических проблем нам удалось получить результаты, которые сводятся к следующему:

1) Построена модель (В,3)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны двух агрессивных скупщиков.

2) Изобретен метод хааровских интерполяций финансовых рынков.

3) Получены, основанные на методе хааровских интерполяций, вычислительные схемы расчета компонентов хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего рынка для опционов Европейского и Американского типов (вычислительные схемы реализованы в программном комплексе "Хедж").

4) Получены теоретические результаты, обосновывающие метод хааровской интерполяции: а) теорема о существовании мартингальной меры, удовлетворяющей свойству хааровской единственности; результат, дающий достаточное уеловие выполнения свойства хааровской единственности; b) результат о равносильности условия несовпадения барицентров и свойства универсальной хааровской единственности; c) критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству универсальной хааровской единственности; критерий того, что любая мартингальная мера удовлетворяет свойству универсальной хааровской единственности; d) теорема о существовании мартингальных мер, не удовлетворяющих свойству универсальной хааровской единственности.

Таким образом, наше исследование позволяет преобразовывать неполные и безарбитражные финансовые рынки в полные безарбитражные рынки и, как следствие, производить все необходимые для оптимального поведения инвесторов на финансовых рынках расчеты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Богачева, Марина Николаевна, 2004 год

1. Белявский Г.И., БОГАЧЁВА М.Н. Об одной модели расчета оптимального хеджа для динамического платежного обязательства. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2002, №2. с.

2. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Некоторые специальные случаи модели эволюции стоимости акций. // Изв. РГСУ. 1998. №4. с.177-183

3. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Ранговый критерий полноты одного финансового рынка при допущении арбитража. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1999. Т.6. т. с.121-122.

4. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (В,8)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на Дону. 1998. с.179-181.

5. БОГАЧЁВА М.Н., ПАВЛОВ И.В. О связи условий тривиализации цены акции финансового рынка и свойства хааровской единственности. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2001, т. 8, вып. 1, с.107-108.

6. БОГАЧЁВА М.Н. Расчет цен и хеджирование опционов американского типа относительно специальной хааровской фильтрации. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2000, т. 7, вып. 2, с.477-478.

7. БОГАЧЁВА М.Н., ПАВЛОВ И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2002, №3. с.16-24.

8. БОГАЧЁВА М.Н. Об интерполяции финансовых рынков в случае конечного вероятностного пространства. // Математические и статистические методы в экономике и естествознании: Материалы 3-х мезвузовских научных чтений, Ростов-на-Дону, РГЭУ. 2002, с. 126128.

9. БУРЕНИН А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. // М.: Тривола, 1995.

10. ВОЛКОВ С.Н., КРАМКОВ Д.О. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. т. с.18-65.

11. Капитоненко В.В. Финансовая математика и её приложения. // М.: Приор, 1998.

12. КРАСИЙ Н.П. Об одной модели (В,8)-рынка. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1998. сс.197.

13. КРАСИЙ Н.П. Критерий существования мартингальной меры в случае потока атомических сг-алгебр. // Строительство-2000. Материалы международной научно-практической конференции. Ростов-на-Дону: РГСУ, 2000, с.115-116.

14. КРАСИЙ Н.П., ПАВЛОВ И.В. Уточнённая модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Сборник научных трудов III Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии", Т.4, Кисловодск, 1999. с.71-74.

15. КРАСИЙ Н.П., ПАВЛОВ И.В. О безарбитражности и полноте обобщённой модели финансового рынка в случае скупки акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1999. Т.6. Ж. с.162-163.

16. КРАСИЙ Н.П., ПАВЛОВ И.В. Построение хеджирующих стратегий для одной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2000. Т.7. №2. с.501-503.

17. КРАСИЙ Н.П., ПАВЛОВ И.В. Обобщённая модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Изв. РГСУ. 2000. №5. с.

18. КРАСИЙ Н.П., ПАВЛОВ И.В. Модели (В,8)-рынков типа Кокса-Росса-Рубинштейна в случае скупки акций. // Изв. вузов СевероКавказский регион. Естеств. науки. 2001. №1. с.30. кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.: Дело, 1998.

19. МЕЛЬНИКОВ А.В. Финансовые рынки. // M.: ТВП, 1997.

20. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М. Н. Математика финансовых обязательств. // М.: ГУ ВШЭ, 2001.

21. Мельников А.В., Нечаев M.JI. К вопросу о хеджировании платёжных обязательств в среднеквадратичном. // Теория вероятностей и её применения. 1998. Т.43. №1. с.672-691.

22. Мельников А.В., Нечаев M.JL, Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчётов с ценными бумагами. // Препринт. М.: Научно-иссл. Актуарно-финансовый центр. 1996. т. с.13.

23. Мельников А.В., Феоктисов К.М. Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчёты платёжных обязательств. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2001, т.8, вып.1, с.28-40.

24. НОВИКОВ А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью. // Теория вероятностей и её применения. 1998 Т.43. №1. с.152-160.

25. ПАВЛОВ И.В. Об одном модели (В, 8)-рынка, связанной с простейшей фильтрацией Хаара. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, т.4, вып. 3, с.389-390.

26. Педдок Р., Петерсон Д., ТелмеЙдж P. Visual FoxPro 6. Разработка корпоративных приложений. // М.: ДМК, 1999.47. первозванский А.А., Первозванская Т.И. Финансовый рынок: расчёт и риск. // М.: Инфра-М, 1994.

27. Петраков Н.Я., Ротарь В.И. Фактор неопределённости и управление экономическими системами. // М.: Наука, 1985.

28. Рачев С.Т., рушендорф Л. Модели и расчёты контрактов с опционами. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1. с.150-190.

29. Селезнёва Т.В., Тутубалин В.Н., УГЕР Е-.Г. Имитация практического применения некоторых мартингальных стратегий хеджирования и спекуляций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. №1. с.103-123.

30. Стохастические аспекты финансовой математики. Тематический выпуск. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1.

31. ТетЁРКИН Д.Н. О представлении мартингалов в случае сг-алгебр специального вида. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т.5. №2. с.283-284.

32. ФЕОКТИСОВ К.М. Расчёт верхних и нижних цен платежных обязательств посредством пополнения рынка.// Успехи матем. наук., 1998, т.53,в.6., с.165-166.

33. ШИРЯЕВ А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1,2. // М.:.ФАЗИС, 1998.

34. ШИРЯЕВ А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1994. Т.1. №5. с.780-820.

35. Сох J.C., Ross R.A., Rubinstein М. Option pricing a simplified approach. // Journal of Financial Economics. 1976. V.7 (September), p.229-263.

36. HAAR A. Zur Theorie der orthogonalen Functionensysteme. Math. Annalen, 1910, Bd. 69, p. 331-371.68. harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in miltiperiod securities markets. // Journal Econom. Theor. 1979. V.20. p.381-408.

37. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. // Stochastic Process. Appl. 1981. V.ll. №3. p.215-260.

38. KENDALL M.G. The analysis of economic time-series. Part 1. Prices. // Journal of the Royal Statistical Society. 1953. V.96. P.ll-25.

39. LEPINGLE D. Orthogonalite et integralite uniform de martingales discretes. // Sem. De Prob. XXVI. Lecture Notes in Math. №1526. 1992. p.167-169.

40. NEVEU J. Discrete-Parameter Martingales. // North-Holland Publishing Сотр. 1975. p.236.

41. Taqqu M.S., WlLLlNGER W. The analysis of finite security markets// Adv. Appl. Probab., 1987, 9. p. 1-2580. hull J.C. Options, Futures, and Other Derivative Securities. // 2nd ed., Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1993.