Математические модели конвективных течений в атмосфере от локальных нестационарных источников тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, кандидат физико-математических наук Моисеенко, Константин Борисович

• Моисеенко, Константин Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моисеенко, Константин Борисович

Ведение

Глава 1. Основные проблемы моделирования атмосферных струйных выбросов от техногенных источников.

Глава 2. Математическая модель свободноконвективного течения от локального теплового источника переменной мощности.

2.1. Математическая модель нестационарной конвективной струи в приближении неподвижной атмосферы. Постановка задачи.

2.2. Модель вертикальной конвективной струи от нестационарного теплового источника.

2.3. Автомодельные режимы конвективных струй, генерируемых источниками переменной мощности.

2.4. Математическая модель термика для случая импульсного теплового источника в нейтральной атмосфре.

2.5. Математическая модель термика для случая импульсного теплового источника в устойчиво стратифицированной атмосфере.

Глава 3. Математическая модель стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере при наличии вет- 71 Ра.

3.1. Модель стационарной конвективной струи при наличии ветра. Постановка задачи.

3.2. Анализ основных методов замыкания системы интегральных уравнений конвективной струи.

3.3. Расчет параметров конвективной струи в сносящем ветровом потоке.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели конвективных течений в атмосфере от локальных нестационарных источников»

Актуальность темы.

Повсеместное загрязнение воздуха в результате интенсивного антропогенного воздействия на окружающую среду определяет необходимость прогнозирования распространения загрязняющих веществ от техногенных источников в окружающей среде и оценок их воздействия на природу и человека. Разрабатываемые с этой целью математические модели различаются способами описания процессов переноса загрязнений в атмосфере, полнотой учета факторов, оказывающих влияние на эти процессы, а также масштабами описываемых явлений. В частности, большое практическое значение имеет проблема расчета полей концентраций загрязняющих веществ в воздухе и на подстилающей поверхности от локальных техногенных очагов выбросов, влияние которых на экологическую обстановку может проявляться на расстояниях до нескольких десятков километров. Наиболее типичными очагами загрязнения являются тепловые источники, такие как дымовые выбросы из труб промышленных предприятий и электростанций, а также локальные очаги возгорания.

Для выполнения расчетов полей концентраций загрязняющих веществ необходима разработка моделей источников загрязнений, которые вместе с имеющимися моделями адвективно-диффузионного переноса обеспечивают проведение оценок и прогноза загрязнения природной среды техногенными источниками. Таким образом, разработка моделей атмосферных выбросов от источников различного типа является ключевым моментом при решении проблемы моделирования загрязнения атмосферы и подстилающей поверхностью.

В настоящее время при расчете полей загрязнений вблизи тепловых источников наиболее часто используется физическая концепция конвективных струйных течений со свободными границами, позволяющая существенно упростить математическую постановку решаемой задачи и, в то же время, достаточно полно учесть все основные физические факторы, влияющие на формирование полей загрязняющих примесей в атмосфере.

Вопрос о формировании конвективных струйных выбросов, генерируемых стационарными тепловыми источниками, исследован достаточно подробно. В то же время, в научной литературе практически отсутствуют работы, посвященные тепловым источникам переменной мощности. Между тем, данная задача 4 представляет большой практический интерес, поскольку существует обширный класс тепловых источников загрязнения, параметры которых характеризуются существенной нестационарностью. Типичными примерами источников подобного типа являются:

- пожары разлитых на поверхности земли жидких? горючих материалов, тепловая мощность которых определяется скоростью выгорания горючего слоя, которая в свою очередь зависит от его толщины;

- мощные периодически действующие источники выбросов на предприятиях металлургического и нефтегазового комплексов;

- импульсные источники, возникающие в результате взрывов на складах горючих материалов, пусков ракет и т.п.

Следует отметить, что моделирование струйных выбросов от нестационарных источников связано с решением сложных вычислительных проблем. Разработанные к настоящему времени методы математического моделирования свободноконвективных течений от нестационарных источников требуют решения полной системы уравнений в частных производных, что само по себе является сложной и громоздкой задачей. В связи с этим необходим поиск такого решения данной задачи, разработка и реализация которого потребовала бы меньших временных затрат и вычислительных ресурсов без существенного снижения точности расчетов.

Разработка подходов и методов моделирования выбросов от нестационарных источников составляет самостоятельное и важное направление моделирования загрязнения атмосферы техногенными выбросами, развитие которого обеспечит прогресс в решении проблем оценки и прогноза загрязнения природной среды. Это обстоятельство определяет цель и основное содержание диссертационной работы.

Иель работы.

Целью работы являлась разработка математических моделей свободноконвективных течений от различных типов тепловых источников в нейтральной и устойчиво стратифицированной средах в приложении к задачам локального и мезомасштабного переноса пассивных примесей в атмосфере.

Рассмотренные в диссертации вопросы являются частью более общей задачи о свободной конвекции в полубесконечной области под действием расположенного вблизи ее нижней границы источника тепла. В работе исследованы случаи конвективной струи и термика при нейтральной и устойчивой фоновой 5 температурной стратификации. Построение отдельных конвективных моделей для разных типов источников и внешних параметров позволило в каждом конкретном случае упростить физическую и математическую постановку задачи без существенной потери точности искомого решения.

Выбор указанных направлений исследований, выполненных в диссертации, определялся необходимостью решения ряда принципиальных вопросов, связанных с созданием общей модели для расчета полей загрязнений атмосферы и подстилающей поверхности от техногенных источников.

Научная новизна.

В работе получен ряд новых результатов:

1. Разработана новая математическая модель вертикальной конвективной струи, генерируемой нестационарным тепловым источником. Модель представляет обобщение метода интегральных соотношений Кармана-Польгаузена на случай восходящего конвективного течения с переменной верхней границей.

2. Для случая источников, мощность которых постоянна или меняется со временем по степенному закону, в задаче о нестационарной конвективной струе в нейтрально стратифицированной среде найдены автомодельные решения и приближенные формулы, позволяющие рассчитывать высоту подъема струи и ее основные характеристики в зависимости от времени и параметров источника.

3. Разработаны математические модели свободноконвективных течений для случая импульсных тепловых источников в нейтральной и устойчиво стратифицированной атмосфере. В основу моделей положены численные алгоритмы решения уравнений теории конвекции Буссинесска на основе конечноразностной схемы Лакса-Вендроффа, позволяющие исследовать структуру конвективных течений в широком диапазоне начальных условий и фоновых атмосферных параметров.

4. Для стационарной конвективной струи от теплового источника с нулевым начальным импульсом в устойчиво стратифицированной атмосфере найдены приближенные аналитические решения задачи и предложен новый способ расчета максимальной высоты траектории струи и ее основных характеристик.

Результаты модельных расчетов основных параметров восходящих конвективных струй достаточно хорошо согласуются с опубликованными данными экспериментов. Воспроизводимая в численных моделях термиков структура термодинамических полей хорошо согласуется с результатами расчетов по моделям 6 других авторов. Разработанные алгоритмы численного интегрирования по времени обеспечивают выполнение основных интегральных соотношений для системы уравнений Буссинесска при расчетах на длительные сроки, что также свидетельствует о их математической корректности.

Научное и практическое значение

Разработанные математические модели свободноконвективных течений, генерируемых нестационарными и импульсными тепловыми источниками, могут быть использованы для расчета временной эволюции поля концентрации загрязнения вблизи локального теплового источника атмосферного выброса. Экономичность с точки зрения затрат вычислительных ресурсов позволяет эффективно использовать их в более общих моделях крупномасштабного атмосферного переноса при расчетах с приемлемой точностью первичного поля концентрации выбросов вблизи источника.

В работе проведено обобщение хорошо известного метода расчета параметров стационарной конвективной струи (Кармана-Польгаузена) на нестационарный случай, что открывает новые возможности в математическом моделировании свободноконвективных течений от непрерывно действующих источников.

Содержание работы.

Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 94 страницы, включая 14 рисунков. Список литературы включает 105 работ.

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Моисеенко, Константин Борисович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В данной главе приведено решение задачи о распространении конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере при наличии сносящего ветрового потока для случая теплового источника с нулевым начальным импульсом. Разработана простая численная модель, позволяющая рассчитывать основные характеристики струи, включая ее траекторию, а также вертикальную скорость и плавучесть в зависимости от высоты и сноса в подветренном направлении. Показано, что в случаях, когда влиянием

89 импульса на выходе из источника можно пренебречь по сравнению с действием сил плавучести, решение задачи может быть найдено методом линеаризации исходной системы интегральных уравнений относительно фонового ветрового потока. При этом оказывается возможным получить аналитические решения в виде простых формул, позволяющих рассчитывать основные характеристики струи, включая ее траекторию, для широкого класса атмосферных условий и различных моделей вовлечения. Установлено, что в случае «чисто конвективной» струи, максимальная высота подъема струи пропорциональна корню третьей степени из отношения мощности источника к скорости ветра и температурной стратификации. Сравнение с экспериментальными данными о траекториях струй при различных атмосферных условиях показало хорошее согласие с теоретической траекторией в случаях, когда скорость ветра не сильно меняется по высоте (выше приземного слоя). Разработанная модель струи может быть использована для расчета "эффективной высоты" виртуального источника в различных моделях локального и мезомасштабного переноса примесей в атмосфере.

90

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена актуальная научная и важная в практическом отношении задача, связанная с разработкой численных моделей конвективных струй и термиков от тепловых источников различного типа, включая техногенные, в пограничном слое атмосферы. Также разработана численная модель термика для условий реальной атмосферы с учетом произвольной стратификации и внешней турбулентности. Получены следующие основные результаты:

1. Разработана новая математическая модель вертикальной нестационарной конвективной струи, представляющая обобщение широко используемого метода интегральных соотношений Кармана-Польгаузена на случай конвективного течения с переменной верхней границей. По сравнению с известными моделями нестационарных струй, ее основными преимуществами являются относительная простота реализации и экономичность с точки зрения затрат вычислительных ресурсов. Модель может быть использована при расчетах параметров теплового струйного выброса загрязнений вблизи источника с целью установления характеристик первичного облака выброса в задачах крупномасштабного атмосферного переноса загрязнений.

2. Для случая источников, мощность которых постоянна или меняется со временем по степенному закону, в задаче о нестационарной конвективной струе найдены автомодельные решения, согласно которым основные характеристики струйного течения могут быть представлены в виде универсальных безразмерных функций, зависящих только от показателя роста мощности источника р и безразмерной вертикальной координаты. С помощью разложения искомого решения в ряд по степеням безразмерной высоты, были получены приближенные аналитические формулы, позволяющие расчитать параметры струи в зависимости от времени и параметров источника. Исходя из свойств автомодельности и подобия, для указанного класса источников установлена аналитическая зависимость между высотой подъема струи, параметрами источника и временем с момента его включения.

3. Разработана математическая модель свободноконвективного течения (термика) для случая мгновенного теплового выброса в нейтральной атмосфере. Показано, что в случае нейтрально стратифицированной среды обобщение предлагаемой методики расчета на случай мгновенного источника приводит к известному решению задачи о термике в классе автомодельных функций.

91

Разработана математическая модель термика для случая устойчиво стратифицированной атмосферы, позволяющая рассчитывать его временную эволюцию для случая мощного теплового выброса, при котором конвективное течение характеризуется значительным вертикальным и горизонтальным масштабами. Модель допускает обобщение на случай криволинейной нижней границы, позволяющей учесть влияние орографии и использовать ее для решения ряда смежных задач.

4. Для устойчиво стратифицированной атмосферы при наличии ветра исследована задача о распространении струи стационарного теплового источника выброса с нулевым начальным импульсом. Предложен новый способ расчета максимальной высоты траектории струи в зависимости от мощности источника, средней скорости ветра и температурной стратификации. Найдены аналитические решения задачи, которые могут быть использованы для расчета параметров струи вблизи от источника.

Полученные результаты указывают на возможность построения модели нестационарной струи на основе общих принципов, использующихся в интегральных моделях стационарных конвективных струй. Основная возникающая здесь трудность связана с необходимостью установления явного вида зависимости верхней границы восходящей струи от времени, параметров источника и параметров внешней среды. При этом в работе проведено исследование наиболее простых случаев, приводящих к аналитическим решениям, что неизбежно ведет к сужению границ ее применимости для реальных практически важных ситуаций. С другой стороны, разработанная модель глубокой конвекции может быть использована для решения разных краевых задач конвекции при достаточно общих фоновых условиях.

92

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моисеенко, Константин Борисович, 2000 год

1. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Физматгиз, 1961.- 495 с.

2. Бэтчелор Дж. Теория однородной турбулентности. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. -197 с.

3. Hinze J.O., Turbulence: An introduction to Its Mechanism and Theory, McGraw-Hill, N.Y., 1975

4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. M.: Наука, 1974.

5. Cormack D.E., Studies of a Phenomenological Turbulenca Model, California Inst, of Technology, Pasadena, 1975

6. Гибсон M.M., Лоундер Б.Э. О расчете свободных горизонтальных турбулентных течений со сдвигом в условиях влияния естественной конвекции. Теплопередача. Сер. С, 1976, т. 98, N 1, с. 86-94.

7. Васильев О.Ф., Квон В.И., Лыткин Ю.М., Розовский И.Л. Стратифицированные течения. Итоги науки и техники. // ВИНИТИ. Сер. Гидромеханика, 1974, т.8, с. 74-131.

8. Патанкар C.B., Басю Д.К., Альпей С.А. Численный расчет трехмерного поля скорости искривленной турбулентной струи. Теорет. основы инж. расчетов. 1977, Сер.Д, т.99, N4.

9. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй. М.: Физматгиз, 1960. - 715 с.

10. Монин A.C., Обухов A.M. Основные закономерности турбулентного перемешивания в приземном слое атмосферы. Тр. Геофиз. ин-та АН СССР, 1954, N 24, с. 163 - 187.

11. Обухов A.M. Турбулентность в температурно-неоднородной атмосфере. Тр. Ин-та теорет. геофизики АН СССР // Сер. Физика и математика., 1946, вып. 7, с.95-115.

12. Бруяцкий Е.В. Основные интегральные соотношения для струи в сносящем потоке. Гидромеханика., 1979, N39, с. 14

13. Ламли Дж. Л., Пановский Г.А. Структура атмосферной турбулентности. Пер. с англ. -М.: Мир, 1966.-264 с.

14. Гиршович Т.А. О турбулентной струе в сносящем потоке. Изв. АН СССР // Сер. МЖГ, 1966,Nl,c.l51-153.

15. Krausche D., Fearn R.L.,Weston R.P. Round jet in a cross-flow: Influence of injection angle on vortex properties. AIAA Journal, v. 16, 636-637, 1978.

16. Турбулентные сдвиговые течения. Под ред. Гиневского A.C. М.: Машиностроение, 1983. 4.2.-422 с.93

17. Гутман Л.Н. Введение в нелинейную теорию мезометеорологических процессов. -М.: Наука, 1967.

18. Зельдович Я.Б. Предельные законы свободно восходящих турбулентных потоков. ЖЭТФ, 1937, т.7, вып. 12, с. 3 12.

19. China S. J. Free convection due to boundary sources in fluid models in geophysics. // Proc. of the first Simp, on the use of models in geophysics. Washington, 1986.

20. Гутман Л.Н. О ламинарной термической конвекции над стационарном источником тепла. Прикладная математика и механика. 1949, т. 8, N4

21. Batchelor G.K. Heat Convection and Buoyancy Effects in Fluids, Quart. J. Roy. Meteor. Soc., v.80, N 345, 154 168,1954.

22. Pristley C.H.B., Ball F.K. Continuous Convection from an Isolated Source of Heat, Quart, J. Roy. Meteor. Soc., 81,144-157,1955.

23. Pristley C.H.B. Convection from Earth's Surface, Proc. Roy. Soc., 238, 1214 1226, 1957.

24. Pristley C.H.B. Turbulent transfer in the Lower Atmosphere, Univ. Chicago. Press., 130 -148,1929.

25. Morton B.R., Taylor G.I., Turner J.S., Turbulent gravitational convection from maintained and instantaneous sources, Proc. Roy. Soc., 324,1 37,1956, Ser.A.

26. Morton B.R. Forced plumes, J.Fluid Mech, 15,151 168, 1959.

27. Ogura Y., Wilhemson R., The pressure perturbation and the numerical model of a cloud, J. Attn. Sci, 1972, 29,1295-1307.

28. Orlanski I.A. A simple boundary condition for unbounded hyperbolic flows, J. Сотр. Phys., 1976,21,251 -269.

29. Kotsovinos N.E., A Study of Entrainment and Turbulence in a Plane Buoyant Jet., California Inst, of Technology, Pasadena, 1975

30. Прыпушневич Р.И., Баули B.B. Экспериментальное исследование вертикальных всплывающих струй, истекающих в воду на конечной глубине. Теплопередача, 1975, N2, с.120-126.

31. Chen C.J., Rodi W., Vertical Turbulent Buoyant Jees: A. Review of Experimental Data, Pergamon, N.Y., 1980

32. Гутман Л.Н. Теоретическая модель смерча. // Известия АН СССР, сер. Геофизика, 1957, N1.94

33. Вульфсон Н.И., Гутман JI.H. Влияние стационарных источников тепла на характер конвективных движений в неустойчивой атмосфере.// Известия АН СССР, сер. Физика атмосферы и океана. 1965, т.1, N6

34. Вульфсон Н.И. Влияние влажности воздуха на развитие конвективных движений в безоблачной атмосфере. // ДАН СССР, т.151, N6.

35. Turner J.S., The starting plume in neutral surroundings, J.Fluid Mech., 13, 356 374, 1962.

36. Delichatsios M.A., Time similarity analysis of unsteady buoyant plumes in neutral sorroundings, J.Fluid Mech., 93, part 2., 241 260,1979.

37. Yu H.-Z., Transient Plume Influence in Measurement of Convective Heat Release Rates of Fast-Growing Fires Using a LargeScale Fire Products Collector, Journal of Heat Transfer, 112, 186 203,1990.

38. Malkus J.S., Witt G., The Evolution of a Convective Element: A Numerical Calculation. The Atmocphere and the Sea in Motion, New York, Rockfeller Institute Press, 1959.

39. Lilly D.K. On the Numerical Simulation of Buoyant Convection, Tellus, 14, N2, 1962.

40. Ogura Y., Convection of Isolated Masses of Buoyant Fluid: a Numerical Calculation, J. Attn. ScL, 19, 492-502, 1969.

41. Пекелис E.M., Прессман Д.Я., Численная реализация условий излучения и их применение в качестве условий открытых границ при численном интегрировании уравнений конвекции. // Труды Гидрометцентра СССР, 1982, вып. 249, с. 74-95.

42. Брегман А.А., Вельтищев Н.Ф. Эксперименты по численному моделированию глубокой влажной конвекции. // Труды Гидрометцентра СССР, 1982, вып. 249, с. 62-73.

43. Желнин А.А. Двумерная численная модель глубокой коннвекции в сухом воздухе. // Труды Гидрометцентра СССР, 1982, вып. 249, с. 20-27.

44. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977. - 431 с.

45. Lilly D.K., Numerical Solutions for the Shape-Preserving Two Dimensional Thermal Convection Element, J. Atm. Sci., 21, 1-18, 1964.

46. Briggs G.A. A plume rise model compared with observation. J. Air Pollution Control Ass., 15,1965.

47. Briggs G.A., CONCAWE meeting discussion of the comparative con sequences of different plume rise formulas, J. Atm.Env., 2, 288 310,1968.

48. Briggs G.A., Discussion chimney plumes in neutral and stable surroundings, Atm. Env., 6, 507-516,1972.95

49. Briggs G.A. Plume rise prediction. Lectures on air pollution and environmental impact analyses, workshop proceedings. Boston, MA, Amer.met.Soc., 50-111,1975

50. Hoult D.P., Weil J.C., Turbulent plume in a laminar cross flow, J. Atm. Env., 6, 513 -528,1972.

51. Slawson P.R., Csandy G.T., On the mean path of buoyant, bentover chimney plumes, J.FluidMech., 28, 311 331,1967.

52. Bennet M., Sutton S., Gardiner D.R.C., An analysis of lidar measurements of buoyant plume rise and dispersion at five power station, J.Atm.Env., 26a, 3249 3260,1978.

53. Priestley C., Ball F., Continuous convection from an isolated source of heat, Quart. J. Roy. Met. Soc., 81,1956.

54. Schmidt F.H., On the rise of hot plumes in the atmosphere, Int. J. Appl. Air Wat. Pol., 9, N4,1965.

55. Кисельникова B.3., Пекелис E.M., Прессман Д.Я., К численном интегрированию уравнений конвекции. // Труды Гидрометцентра СССР, 1981, вып. 248, с. 3-35.

56. Whaley H., Lee G.K., The behavior of buoyant plumes in neutral and stable conditions in Canada, J. Atm. Env., 16,2555 2571,1982.

57. Anfossi D, Plume rise measurements at Torbigo, J. Atm. Env., 16, N11,1982.

58. Rittmann B.E., Application of 2/3 law to plume rise from industrial-sized sources, J. Atm. Env., 16, N11, 1982.

59. Hanna S.R., Concentration fluctuations in a smoke plume, J. Atm. Env., 18, 1091-1106, 1984.

60. Hoult D.P., Fay J.A., A theory of plume rise compared with field observations, J. Air. Pollut., 19, 585-590,1985.

61. Erbrink H.J., Plume rise in different atmosphere, J. Atm. Env., 28, N22, 3625 3638, 1994.

62. Fay J.A., Escudier M.P., Hoult D.P., Discussion of plume rise measurements at industrial chimneys, J. Atm. Env., 3, 3113-3122,1969.

63. J.A.Fay, D.P.Hoult, T.A.Hewett, Laboratory experiments of smokestack plumes in a stable atmosphere, J. Atm. Env., 5,767-789,1971.

64. Csanady G., Some observations of smoke plumes, Int. J. Air Wat. Pollut., 4, 109 128, 1961.

65. Willis G.E., Deardorff J.W., On plume rise within a convective boundary layer, J. Atm. Env., 17,2435-2448,1983.96

66. Weil G.S., Hoult D.P., A correlation of ground-level concentrations of sulfur dioxide downwind of the Keystone Stacks, J. Atm. Env.,1,707 -719,1973.

67. Sharf G., Peleg M., Livant M., Luria M., Plume rise measurements from large point sources in Israel, J. Atm. Env., 27A, 1657 1665,1993.

68. Deardorff J.W., Willis G.E., Ground-level concentrations due to fumigation into an entraining mixed layer, J. Atm. Env., 16, 1159 1174,1982.

69. Manins P.C., Partial penetration of an elevated inversion layer by chimney plumes, J. Atm. Env., 13,733 746,1979.

70. VenKatram A., Dispersion from an elevated source in a convective boundary layer, J. Atm. Env., 14,1 16,1980.

71. VenKatram A., Vet R., Modeling of dispersion from tall stacks, J.Atm. Env., 15,1531 -1545,1981.

72. Turner D.B., Proposed pragmatic methods for estimating plume rise and plume penetration through atmospheric layers, J. Atm. Env., 22, 2061 2074, 1988.

73. Petersen R.L., Dowd R.M, Discussion on proposed pragmatic methods for estimating plume rise and plume penetration through atmospheric layers, J. Atm. Env., 22, 2061 2080, 1988.

74. Overcamp T.J., Ku Т., Plume rise from two or more adjacent stacks, J. Atm. Env., 22, 625 -639,1988.

75. Heskestad G., Delichatsios M.A., Environments of fire detectors. Phase 1: Effect of fire size, ceiling height and material, vol.1, Tests; vol. 2, Analysis. F.M.R.C. Tech. Rep. no. 22427, Factory Mutual Research Corp., Norwood, Massachusetts, 1977

76. Heskestad G. Similarity relations for the initial convective flow generated by fire. A.S.M.E. paper no. 72-WA/HY-17.

77. Witham G.B., Nonlinear Dispersive Waves, Proc. Roy. Soc., 238A, 238 244,1965.

78. Рихтмаер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. - 380с.

79. Вульфсон А.Н. О суточном ходе высоты пограничного слоя атмосферы в условиях проникающей конвекции. // Известия АН СССР, ФАО, 1988, т.24б, №1, с.89-92.

80. Willis G.E., Deardorff J.W., A laboratory stady of dispersion from elevated source within a modelled convective planetary boundary layer, J. Atm. Env., 12, 1305 1321, 1978.

81. Б. Гебхарт, Й. Джалурия, P. Махаджан, Б. Самаккия. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. М.: Мир., т2, 1991.

82. Гиневский А.С. Теория турбулентных струй и следов. М.: Машиностроение, 1969.97

83. Бруяцкий Е.В., Гаев Е.А. Деформация турбулентной струи в сносящем потоке.// Прикл. механика, 1976, т. 12, с. 6.

84. Эпштейн A.M. О возможности расчета параметров струи в поперечном потоке на основе приближения теории пограничного слоя и вихревой пары.// Изв. АН ЭССР. Сер. Физика и математика, 1975, т.24, N1, с.81-91.

85. Вельтищев Н.Ф., Желнин A.A. Численная трехмерная модель мезомасштабной влажной конвекции. // Труды Гидрометцентра СССР, 1979, вып. 219, с.28-37.

86. Берлянд, М.Е., Генихович E.JL, Грачева И.Г., Оникул Р.И., Филатова E.H., Хуршудян Л.Г. Об усовершенствовании методов расчета загрязнения атмосферы. // Труды ГГО, 1987, вып. 511, с. 1-23.

87. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1975, 448с.

88. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. М.: Гидрометеоиздат, 1985, 272 с.

89. Берлянд М.Е. и др. Физические и методологические принципы установления предельно допустимых выбросов в атмосферу. // Труды ГГО, 1985, вып. 495, с.3-23.

90. Берлянд М.Е. и др. К оценке опасных скоростей ветра для высоких источников. // Труды ГГО, 1977, вып. 387, с.13-23.

91. Генихович Е.Л., Грачева Е.П. Анализ дисперсии горизонтальных колебаний направления ветра. // Труды ГГО, 1985, вып. 172, с.42-47.

92. Берлянд М.Е., Генихович Е.Л., Грачева И.Г. Влияние термических неоднородностей пересеченной местности на структуру воздушного потока и закономерности распространения примесей. // Труды ГГО, 1983, вып. 467, с.3-20.

93. Грачева И.Г. К разработке методики расчета рассеивания примесей в условиях сложного рельефа. // Труды ГГО, 1979, вып. 417, с.36-44.

94. Оникул Р.И., Кончай Я.С. О расчетах загрязнения атмосферы от многих источников на ЭВМ с применением унифицированных программ. // Труды ГГО, 1983, вып. 467, с.41-49.

95. Вульфсон А.Н. Численная модель развития бездождевого конвективного облака. // Труды Гидрометцентра СССР, 1982, вып. 249, с.50-62.

96. Вульфсон А.Н. К вопросу об уравнениях глубокой конвекции в сухой атмосфере. // Труды Гидрометцентра СССР, 1979, вып. 219, с.56-64.

97. Моисеенко К.Б. Стационарные факелы. // Труды ИПГ,1997, вып.81, с.61-65.98

98. Моисеенко К.Б. Расчет высоты подъема конвективных струй, генерируемых тепловыми источниками возрастающей мощности. // Изв. АН России, ФАО, 1998, т.34, N6, с.782-784.

99. Моисеенко К.Б. Распространение нестационарной конвективной струи в нейтрально стратифицированной атмосфере. // Метеорология и гидрология, 1998, N9, с.62-67.

100. Вызова H.JL, Иванов В.Н., Гаргер Е.К. Турбулентность в пограничном слое атмосферы. JI.: Гидрометеоиздат, 1989.

101. Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

102. Priestley С.Н.В., Buoyant motion in a turbulent environment., Austral. J. Phys., 6, 279290,1953.

103. Мальбахов B.M. Гидродинамическое моделирование эволюции атмосферных конвективных ансамблей. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 1997. - 186с.

104. Кисельникова В.З., Пекелис Е.М., Прессман Д.Я., Схемы повышенной устойчивости для численного интегрирования уравнений глубокой конвекции. // Труды Гидрометцентра СССР, 1982, вып. 249, с. 96-113.

105. Рихтмайер Р., Мортон К., Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.-418 с.