Математические модели конфликтов в экологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Вишнякова, Екатерина Викторовна

• Вишнякова, Екатерина Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вишнякова, Екатерина Викторовна

Оглавление

Введение

Глава 1. Конфликтные модели рыбных войн

§ 1. Математические модели рыбных войн

§ 2. Теоретико-игровая модель промысла двух

видов рыб в случае двух игроков

§ 3. Равновесие по Нэшу

§ 4. Решение по Штакельбергу

§ 5. Парето-оптимальное решение

§ 6. Иерархическая структура рыбного промысла

Глава 2. Проблема динамической устойчивости в рыбных войнах и регуляризация решения

§ 1. Регуляризация решения по Штакельбергу

для модели двух игроков

1.1. Перераспределение затрат

1.2. 5-локально-оптимальная траектория и динамическая устойчивость

§ 2. Регуляризация решения по Штакельбергу для

модели п игроков

Глава 3. Игровые модели с дисконтированием

§ 1. Модели с дисконтированными функциями затрат

1.1. Равновесие по Нэшу

1.2. Решение по Штакельбергу

1.3. Парето-оптимальное решение

§ 2. Модели с дисконтированными функциями затрат в случае различных коэффициентов дисконтирования

9 игроков

2.1. Равновесие по Нэшу

2.2. Парето-оптимальное решение

2.3. Решение по Штакельбергу

Заключение

Библиографический список использованной литературы

Приложения

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели конфликтов в экологии»

Введение

Экология в настоящее время относится к наиболее развивающимся разделам науки и практики о жизни на Земле. История развития Земли очень существенно отражает воздействие на нее живых организмов и человека особенно. Между человеком и природой устанавливаются такие связи и отношения, которые делают возможным его существование. Однако от интенсивности этого взаимодействия в природе нашей планеты обнаружились серьезные негативные сдвиги, несущие угрозу для жизни. Усиливающиеся загрязнения окружающей природной среды - воздуха, воды, почвы, истощение невозобновляемых природных ресурсов, нарушение устойчивости биосферы, резкое сокращение биологического разнообразия поставили человечество не только перед необходимостью осознания важности экологических проблем, но и разработки стратегии развития науки и техники, которая гарантировала бы выживание человечества, сохранение живой природы. Важным вопросом современной экологии становится понимание того, что необдуманное желание полновластия над природой делает человека зависимым от тех перемен, которые он сам осуществляет. В этой связи экологические проблемы все больше становятся предметом исследования естественных наук.

Экология все более трансформируется из науки о жизни природы в науку о структуре природы и о работе живого покрова Земли в целостных экосистемах. Кроме того, если раньше экология лишь констатировала факты и выявляла закономерности жизни организмов в природе, то позднее, начиная с 20-х годов нашего века, она начала выявлять пути управления биологическими ресурсами, особенно на примере популяций полезных и вредных видов. В практику экологических исследований широко вошли такие виды методов, как мониторинг и моделирование, прогнозы, экспресс-контроль и др. Теперь экология решает задачи прогнозирования продуктивности

биогеоценозов, производит моделирование оптимальных экосистем и, главное - ставит задачи широкой реализации путей управления биологическими ресурсами на уровне популяций и биогеоценозов, вплоть до биосферы. И что особенно важно: современная экология взяла курс на разработку путей возобновления биологических ресурсов биосферы и отдельных биогеоценозов, нарушенных человеком, на воссоздание оптимальной структуры природных сообществ и сохранение высокопродуктивных экосистем, регулирование численности видов. Все это обусловило экологии статус научной основы охраны природы и рационального природопользования.

К группе эмпирических методов изучения окружающей среды относится и метод моделирования экологических явлений в природе и обществе, который в последнее время получил широкое распространение. Модель - это абстрактное описание какого-то явления реального мира, позволяющая делать предсказания об этом явлении. Хотя любая модель всегда упрощена и отражает лишь общую суть процесса, тем не менее моделирование позволяет экспериментировать, использовать процессы и явления, недоступные для непосредственного наблюдения. Методами имитационного моделирования, особенно с применением компьютеров, можно получить достаточно надежные количественные прогнозы, например, изменения численности популяции, устойчивости структуры экосистем и др. Имитационное моделирование широко используется при исследовании экосистемы, особенно биосферы, т.е. там, где учитывается множество разнохарактерных структурных компонентов экосистемы и многофункциональное их поведение.

Модели очень полезны, так же как средство интеграции всего того, что известно о моделируемой ситуации, при этом они выявляют и неточности в исходных данных об объекте, а также определяют новые аспекты его изучения. Моделирование экологических явлений используется для практических прогнозов динамики явлений, для

исследования взаимосвязей видов и сообществ со средой, для определения воздействия факторов и для выбора путей рационального вмешательства человека в жизнь природы.

В настоящее время многие ученые направляют свои усилия на исследование взаимодействия человека и биосферы, изучение проблем эволюции ноосферы, выработку концепции и определение условий перехода человечества к устойчивому развитию. Процессы формирования и реализации такой концепции сопровождаются сталкиванием интересов разных регионов и стран, различающихся по уровню экономического и социального развития, степени участия в использовании общих для всех природных ресурсов, таких как атмосфера, вода, животный и растительный мир и т.п. Это определяет сложность пути, по которому должно пройти мировое сообщество для выработки согласованной стратегии своего развития. В обсуждении этих проблем принимают участие ученые разных областей науки. Задача специалистов в области прикладной математики — построение методологии применения количественных методов, позволяющих формализовать указанные процессы с помощью математических моделей. Основой для этого служат фундаментальные результаты математической экологии, теории управления и теории игр. Теоретические исследования при этом играют важную направляющую роль концептуальных основ, и в тоже время естественных ограничений для экспериментальных разработок и прикладных реализаций, а результаты моделирования могут служить основой для качественных рекомендаций в более общих случаях. Актуальность работы, посвященной построению математических моделей конфликтов в экологии, объясняется повышенным интересом к данной проблематике в настоящее время и важностью для современного общества, развитие которого напрямую зависит от состояния экологических систем. Исходя из вышесказанного, особенно важным и необходимым в современных условиях являются пути нахождения

оптимальных стратегий поведения участников конфликта в процессе координации политики рыбного промысла, что является центральным вопросом рассмотрения данной диссертационной работы.

Научная новизна работы. Предложена новая математическая формализация процесса конфликтного управления рыбным промыслом с учетом экологического и экономического критериев, разработка методов и алгоритмов нахождения оптимальных решений для различных принципов оптимальности, а также исследование свойства динамической устойчивости достроенных решений.

В работе представлены следующие результаты:

- Построена и исследована теоретико-игровая модель промысла двух видов рыб в случае двух игроков. На основе полученных конструктивных условий для нахождения ситуаций равновесия по Нэнгу, Штакельбергу и Парето в динамической игре предложены алгоритмы вычисления решений;

- Осуществлена разработка алгоритмов регуляризации решения по Штакельбергу и построения траекторий 5-локально оптимального поведения, обеспечивающих их динамическую устойчивость;

Предложен метод вычисления равновесных по Нэпгу, Штакельбергу и Парето решений для моделей с дисконтированием;

- Доказаны теоремы о динамической устойчивости равновесия по Нэшу и Парето-оптимального решения в задаче с переменным текущим дискаунт-фактором.

Теоретическая значимость диссертации определяется новизной постановки и формализации математической модели рыбного промысла, исследованием динамических конфликтных систем, решением проблем динамической устойчивости и построением процедур регуляризации оптимального решения в динамических играх.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанный научно-методический аппарат обеспечивает

возможность использования полученных результатов для выработки стратегии поведения участников конфликтного процесса рыбного промысла. Полученные результаты могут быть также применены в учебном процессе по дисциплинам, связанным с математической экологией и теорией оптимального управления.

Попытки математического моделирования динамики как отдельных биологических популяций, так и сообществ, включающих взаимодействующие популяции различных видов, предпринимались давно. Одна из первых моделей роста изолированной популяции была предложена еще в конце XVIII века:

Ж = цУ

Л ^'

где N - численность популяции; ц - разность между коэффициентами рождаемости и смертности. Решение этого уравнения Щ) = при |а > 0 неограничено возрастает. Однако эффект неограниченного экспоненциального роста популяции в природе, где ресурсы, обеспечивающие этот рост, ограничены, не наблюдается. Как правило, численность популяции в заданной среде ограничена некоторой величиной К, называемой емкостью среды: Щ) -» К при t оо. Модели, учитывающие в какой-то степени это обстоятельство, появились позже. Например, в 1838г. П.Ферхюльст предложил довольно простую и наглядную модель, которая достаточно хорошо описывает динамику биологических популяций:

ж = тк-ю

йг К

Саморегуляризация численности популяции всегда являлась центральной проблемой математической экологии. Все началось в 1920-х годах с Альфреда Лотки [64], который сумел смоделировать цикл передачи малярии человеку насекомыми, и Вито Вольтерра [4], проанализировавшего динамику взаимодействия типа хищник-жертва рыб в Адриатическом море. Они впервые ввели дифференциальные

уравнения для описания динамики таких систем. Наиболее серьезное исследование моделей биологических сообществ, включающих несколько популяций различных видов, было приведено в работе В.Вольтерра [4]. Например, динамика взаимодействия в сообществе двух биологических популяций описывалась системой дифференциальных уравнений:

= Ni(si +yiN2), ^=N2(e2+y2Ni),

где 8/ - коэффициенты естественного прироста (или смертности) популяции; yz - коэффициенты межвидового взаимодействия. В зависимости от выбора коэффициентов модель описывает либо борьбу видов за общий ресурс, либо взаимодействие типа хищник-жертва, когда один вид является пищей для другого. В отличие от работ других авторов, где основное внимание уделяется собственно построению различных моделей, Вольтерра провел глубокое исследование построенных моделей биологических сообществ. Современные методы исследования динамики популяций изложены в работах [30, 33, 35, 36, 37]

Одним из первых, кто задумался о поведении животных в терминах вторжения (invasion) и саморегуляризации численности был Джон Мэйнард Смит [67]. Сначала он применил свою теорию к существующему соперничеству в пределах одной популяции, чтобы используя полученные результаты объяснить преобладание традиционной борьбы. Джон Мэйнард Смит и Джон Прайс [66] впервые изложили теорию борьбы в теоретико-игровых терминах. Хорошее введение в теорию динамики биологических популяций дается в книге Халлама и Левина [51]. Классификация всех фазовых изменений системы Лотки-Вольтерра в двухмерном пространстве дается в книге Бомзе [44].

Большое внимание проблемам управления биологическими

популяциями уделяется такими учеными, как Хэмэлайнен (Hamalainen) [52], Каитала (Kaitala) [58, 59] и Аури (Haurie) [55]. Целью их работ является рассмотрение эксплуатации зависящих один от другого или трансграничных рыбных месторождений в рамках некооперативных игр. Задачи оптимального управления с конечным горизонтом (фиксированной продолжительности) для класса выпуклых систем, обычно используемые в моделировании экономических и биологических систем, впервые были рассмотрены в работах Аури и Хунга [55] и Брока и Аури [45]. Эта теория основывается на свойстве вариаций ("turnpike") для оптимально управляемых систем. При достаточных предположениях о вогнутости начального уравнения и критерия становится возможным утверждать, что граничная оптимальная траектория, вне зависимости от ее начального положения, должна сходиться к экстремальному устойчивому положению.

Свойство "turnpike" для класса дифференциальных игр, рассматривающих разработку зависимых друг от друга рыбных месторождений двумя странами, представляет интерес, поскольку анализировать устойчивое положение статических игр связанное с "turnpikes", намного проще чем динамические траектории. Хэмэлайнен и Каитала [53] использовали этот подход для анализа игры выбора переменных линии поведения при переговорах, связанных с трансграничными рыбными запасами. Эти авторы подняли важную проблему вылова рыб среди стран, вовлеченных в управление зависимыми рыбными запасами. Целью исследования этих авторов было построение равновесного по Нэпгу решения для поставленных ими задач.

Важной проблемой реализуемости оптимальных решений в конфликтно-управляемых системах, включая и экологические, является их возможная динамическая неустойчивость. Эта проблема исследовалась для различных классов динамических игр. Впервые

постановка этой проблемы и подходы к ее решению были предложены в работе Л.А.Петросяна [28]. Исследованием проблемы динамической и сильнодинамической устойчивости посвящены также работы С.В.Чистякова [39, 40] и В.В.Захарова [11, 74].

Применению принципа максимума Понтрягина и разработке эффективных алгоритмов нахождения оптимальных решений для различных оптимизационных задач посвящены многочисленные труды Л.С.Понтрягина [34], В.И.Зубова [14, 15, 16], Н.Н.Красовского [18, 19], В.И.Благодатских и др.

Целью диссертационной работы является рассмотрение проблем применения математических методов в экологии, разработка теоретико-игрового подхода к построению математических моделей и нахождению оптимальных решений. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию конфликтных моделей рыбного промысла. В первом параграфе приводится анализ особенностей планирования рыбного промысла в мировом обществе, а также условий и факторов, влияющих на организацию вылова, и вытекающие из них требования к методам решения и алгоритмам оптимизации. Во втором исследуется теоретико-игровая модель промысла двух видов рыб в случае двух игроков. В отдельные параграфы выделены алгоритмы нахождения ситуаций равновесия по Нэшу, Штакельбергу и Парето-оптимального решения. Последний параграф главы посвящен исследованию вопроса принятия решений в сложных системах с иерархической структурой управления. В нем рассматривается задача выбора регулирующим органом коэффициентов платежей за добычу популяций рыб. Во второй главе работы исследуется проблема динамической устойчивости в рыбных войнах и регуляризации решения. Первый параграф главы посвящен вопросу регуляризации решения по Штакельбергу для модели двух игроков. Рассматриваются два различных метода регуляризации.

Первый метод заключается в перераспределении функционалов затрат вдоль оптимальной траектории. Для этого метода вводится модифицированное определение динамической устойчивости решения по Штакельбергу. В третьей главе рассматриваются модели с дисконтированными функциями затрат. Приводятся алгоритмы нахождения равновесия по Нэшу, Штакельбергу и Парето-оптимального решения для данной модели. Сформулированы и доказаны теоремы о динамической устойчивости равновесия по Нэшу и Парето-оптимального решения в задаче с переменным текущим дискаунт-фактором, в случае когда коэффициент дисконтирования у всех игроков одинаковый. В отдельный параграф выделен случай, когда дискаунт-фактор у игроков разный. Предложены методы вычислений оптимальных решений для каждого принципа оптимальности.

Приложения содержат исходные тексты программ на встроенном языке интерактивной системы МАТЪАВ (версии 5.0), реализующие функции решения соответствующих задач и визуализации решений в виде графиков. Выбор среды разработки программ связан с широкими возможностями системы МАТЪАВ в области обработки многомерных матриц большой размерности и богатой библиотекой функций (например, для решения линейных дифференциальных уравнений, численного интегрирования и т.п.). Указанные достоинства системы МАТЬАВ позволили сфокусировать усилия на составлении алгоритма решения задач, сократить время разработки и сделать более ясными для чтения исходные тексты программ.

Программы для решения каждого вида задач состоят из крупных функциональных блоков, реализующих следующие функции:

• присвоение начальных данных;

• решение задачи;

• отображение результатов в виде графиков;

• вспомогательные функции для решения систем

дифференциальных уравнений (метод Рунге-Кутта 4-го порядка) и численного интегрирования (метод трапеций).

Для задачи регуляризации решения по Штакельбергу соответствующие программы используют циклический вызов функционального блока решения задачи нахождения оптимальной траектории для каждого шага регуляризации с сохранением результатов для последующего составления регуляризованного решения.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Вишнякова, Екатерина Викторовна

Основные результаты работы реализованы в численных алгоритмах, написанных на встроенном языке интерактивной системы МАТЬАВ (версии 5.0), реализующих функции решения соответствующих задач и визуализации решений в виде графиков. Полученные результаты могут быть использованы в процессе координации политики рационального использования акватических ресурсов и определения оптимальной стратегии поведения в различных конфликтных моделях рыбного промысла.

Заключение

Современная экология взяла курс на разработку путей возобновления биологических ресурсов биосферы и отдельных биогеоценозов, нарушенных человеком, на воссоздание оптимальной структуры природных сообществ и сохранение высокопродуктивных экосистем, регулирование численности видов. Все это обусловило экологии статус научной основы охраны природы и рационального природопользования. Необходимость дальнейшего развития и совершенствования математического аппарата для построения оптимальных планов природопользования стимулируется наличием многочисленных нерешенных проблемных ситуаций как прикладного, так и чисто теоретического характера. Моделирование экологических явлений используется для практических прогнозов динамики явлений, для исследования взаимосвязей видов и сообществ со средой, для определения воздействия факторов и для выбора путей рационального вмешательства человека в жизнь природы.

Выполненная диссертационная работа направлена на решение научной задачи, заключающейся в разрешении проблемы применения математических методов в экологии, построении новых математических моделей и нахождении оптимальных решений.

Основные научные и практические результаты диссертационной работы состоят в следующем:

• Построена и исследована теоретико-игровая модель промысла двух видов рыб в случае двух игроков. На основе полученных конструктивных условий для нахождения ситуаций равновесия по Нэшу, Штакельбергу и Парето в динамической игре предложены алгоритмы вычисления решений;

• Осуществлена разработка алгоритмов регуляризации решения по Штакельбергу и построения траекторий 5-локально оптимального поведения, обеспечивающие их динамическую устойчивость;

• Предложен метод вычисления равновесных по Нэшу, Штакельбергу и Парето решений для моделей с дисконтированием;

• Доказаны теоремы о динамической устойчивости равновесия по Нэшу и Парето-оптимального решения в задаче с переменным текущим дискаунт-фактором.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вишнякова, Екатерина Викторовна, 1998 год

Библиографический список использованной литературы

1. Алексеев В.Б., Крышев H.H. Кинетические уравнения для описания биоценозов // Биофизика. 1974. т. 19. №4. стр.754-759.

2. Вишнякова Е.В. Равновесие по Штакельбергу в баесовских стратегиях, Тезисы докладов "Понтрягинские чтения-VIII" на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Воронеж, 1997. стр.31.

3. Вишнякова Е.В. Математические модели рыбного хозяйства. Сборник "Управление в социально-экономических системах", серия "Вопросы механики и процессов управления", изд-во СПбГУ, Вып. 20, (в печати, 1999).

4. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., 1976. 288 стр.

5. Воробьев H.H. Теория игр: Лекции для экономистов-кибернетиков. Л., 1973.160 стр.

6. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М., 1984.

7. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М., 1982. 144 стр.

8. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М., 1981.

9. Захаров В.В. К вопросу о применении теории игр к проблеме охраны окружающей среды // Вестник Ленинградского университета. 1981. № 1. Вып. 1. стр.111-113.

10. Захаров В.В. Динамическая теоретико-игровая модель охраны окружающей среды // Многошаговые, дифференциальные, бескоалиционные и кооперативные игры и их приложения. Калинин, 1982. стр.126-134.

11. Захаров В.В. О регуляризации и динамической устойчивости

решений иерархических дифференциальных игр // Вестник СПбГУ, серия 1. 1988. Вып. 2. № 8. стр.27-31.

12. Захаров В.В., Куншенко Е.В. Конфликтная модель управления динамикой популяции. Межвузовский сборник научных трудов "Сложные управляемые системы". Москва, 1996. стр. 123-128.

13. Захаров В.В., Петросян JI.A. Теоретико-игровой подход к проблеме охраны окружающей среды // Вестник Ленинградского университета. 1981. № 1. Вып. 1. стр.26-32.

14.3убов В.И. Моделирование биологических процессов при помощи дифференциальных уравнений // Вопросы кибернетики. 1975. Вып. 25. стр. 3-9.

15. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М., 1982. 286 стр.

16. Зубов В.И., Петросян Л. А. Математические методы в планировании. Л., 1982. 112 стр.

17. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяции // Проблемы кибернетики. Вып. 25. М.,

1972. стр. 100-106.

18. Красовский H.H. Управление динамической системой. Москва, 1985.518 стр.

19. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М., 1974. 456 стр.

20. Куншенко Е.В. Модель управления конфликтной системой. Вестник Санкт-Петербургского Университета, серия математика, механика, астрономия, изд-во СПбГУ, 1994. (депонирование)

21. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.,

1973. 320 стр.

22. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М., 1982. 320 стр.

23. Модели управления природными ресурсами / Под ред. В.И.Гурмана. М., 1981. 264 стр.

24. Мулен Э. Теория игр. С примерами из математической

экономики. M., 1985.

25. Никольский М.С. Первый прямой метод Л.С.Понтрягина в дифференциальных играх. М., 1984.

26. Одум Ю. Основы экологии. М., 1975. 321 стр.

27. Оуэн Г. Теория игр. М., 1971. 230 стр.

28. Петросян Л.А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вестник Ленинградского университета. 1977. № 19. Вып. 4. стр. 46-52.

29. Петросян Л.А. Решения дифференциальных игр п-лиц // Динамическое управление. Свердловск, 1979. стр. 208-210.

30. Петросян Л.А., Захаров В.В. Математические модели в экологии. СПб, 1997. 254 стр.

31. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. М, 1998. 300 стр.

32. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Л., 1982. 252 стр.

33. Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. Л., 1980. 289 стр.

34. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1961. 392 стр.

35. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М., 1983. 184 стр.

36. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование биологических систем. М., 1972. 159 стр.

37. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М., 1978. 352 стр.

38. Чистяков C.B. О бескоалиционных дифференциальных играх // Доклады Академии наук СССР. 1981. том 259. № 5. стр. 1052-1055.

39. Чистяков C.B. О построении сильнодинамически устойчивых решений кооперативных дифференциальных игр // Вестник СПбГУ,

серия 1. 1992. Вып. l.№ 1.

40. Чистяков С.В. Динамический аспект решения классических кооперативных игр // Доклады Академии наук России.1993. том 330. № 6. стр. 707-709.

41. Arunabha Bagchi Stackelberg Differential Games in Economic Models.- Springerg-Verlag, 1984.

42. Basar Т., Olsder I. Dynamic Noncooperative Game Theory. -London, Acad.Press, 1982.

43. Bishop D.T., Cannings C., Maynard Smith J. The war of attrition with random rewards // J. Theor. Biol. 1978. Vol.74 p. 377-388.

44. Bomze I.M. Lotka-Volterra equation and replicator dynamics: New issues in classification // Biological Cybernetics. 1995. № 72. p. 447-453.

45. Brock W.A., Haurie A. On existence of overtaking optimal trajectories over an infinite time horizon // Math Oper Res. 1976. № 1. p. 337-346.

46. Cressman R. Frequency depent stability for two-species interactions // Theor.Pop.Biol. 1996.№ 49. p. 189-210.

47. Fischer Ronald D., Mirman Leonard J. Strategic dynamic interactions: fish wars // J. Economics Dynamics Control. 1992. Vol. 16. p. 267-287.

48. Fudenberg D., Tirole J. Game Theory. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England. 1992.

49. Gaunersdorfer A., Hofbauer and K.Sigmund On dynamics of asymmetric games // Theor.Pop.Biol. 1991.№ 39. p.345-357.

50. Giblons R. Game Theory for Applied Economists. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1992.

51. Hallam T.G., Levin S.A. Mathematical Ecology: An Introduction. Biomathematics 17. Berlin: Springer. 1986.

52. Hamalainen R.P., Kaitala V., Haurie A. Bargaining on whales: A differential game model with Pareto optimal equilibria // Oper Res Lett. № 3. 1984. p. 5-11.

53. Hamalainen R.P., Haurie A., Kaitala V. Equilibria and threats in a fishery management game // Optimal Control applications and methods. 1985. Vol. 6, №4. p. 315-332.

54. Hammerstein P., Selten R. Game Theory and Evolutionary biology. In: RJ.Aumann and S.Hart (eds), Handbook of Game Theory II, Amsterdam: North-Holland. 1994. pp. 931-993.

55. Haurie A., Hung N.M. Turnpike properties for the optimal use of a natural resourse // Review of Economical Studies. 1976. № 44. p. 329-336.

56. Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary Games and Population Dynamics. Cambridge University Press. 1998.

57. Jorgensen S.E. Integration of ecosystem theories: a pattern. Kluwer Academic Publ. 1992.

58. Kaitala V., Pohjola M. Economic development and agreeable redistribution in capitalism: efficient game equilibria in two-class neoclassical growth model // International Economic Review. 1990. Vol.31, p. 421-438.

59. Kaitala V., Pohjola M. Sustainable international agreements on green house warming: A game theory study // Ann. Dynamic Games. Boston, 1994. p. 47-55.

60. Kunshenko E.V., Zakharov V.V. Game theoretical model of harvesting two species of fish //

- Game Theory and Applications. New York. 1996. Vol. 2. p. 153-161.

- Nova journal of mathematics, game theory and algebra. New York. 1996. Vol.6. № 1. p. 65-72.

61. Kunshenko E.V., Zakharov V.V. Sustainability in fishery games. Proceedings of the International congress of engineers and scientists "Challenges of sustainable development". Amsterdam. 1996. (http: //www. frt. fy. chalmers. se/amsterdam)

62. Kunshenko E.V. Stackelberg solution and problems of dynamic stability in fishery games. Proceedings of the fourth International workshop

"Multiple criteria and game problems under uncertainty". Orekhovo-Zuevo, Moscow. 1996. p.52.

63. Kunshenko E.V., Zakharov V.V. On Stackelberg solution in fishery games. Proceedings of the 7th ISDG symposium "Dynamic games and applications". Kanagawa, Japan. 1996. p.557-564.

64. Lotka A.J. Elements of physical biology. Baltimor, 1925. 460 p.

65. Petrosjan L.A. The time consistency (dynamic stability) in differential games with a discount factor // International Year-Book of Game Theory and Applications. 1993. Vol. 1. p. 47-53.

66. Maynard Smith J., Price J.R. The logic of animal conflict // Nature. London. 1973. Vol. 246. p. 15-18.

67. Maynard Smith J. Evolution and the theory of games. Cambridge, 1982. 356 p.

68. Myerson R.B. Game Theory. Analysis of Conflict. Harvard University Press. Cambridge, Massachusetts, London, England, 1991.

69. Simaan M., Cruz J.B. On the Stackelberg strategy in non zero-sum game // Journal of Optimization Theory and Applications. 1973. № 3. p. 533-535.

70. Slobodinskaya T.V. Stochastic strategies in differential games with incomplete information // Game Theory and Applications, edited by L.A.Petrosjan and V.V.Mazalov. New York: Nova Science Publishers Inc. 1996. Vol.2, p. 57-65.

71. Vishnyakova E. Stackelberg equilibrium in behavior strategies // Proceedings of 11th conference on Game Theory and Applications. Milano, Italy. 1997. p. 75-76.

72. Vishnyakova E. Sustainable fishering under game theoretic consideration // Book of abstracts of the 12th conference on Game Theory and Application. Genova, Italy. 1998. p. 95-96.

73. Vishnyakova E. The problem of time consistency in the models of fishery management // Proceedings of the International conference dedicated to the 90th anniversary of L.S.Pontryagin. Moscow. 1998. p.

201-203.

74. Zakharov V.V. Stackelberg differential games and the problem of time consistency // International Ywar-book of Game Theory and Applications. Novosibirsk, 1993. vol. 1. p. 95-101.