Гарантирующие равновесия в бескоалиционном варианте двухуровневой иерархической децентрализованной дифференциальной игры трех лиц в условиях неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Сергеева, Мария Юрьевна

• Сергеева, Мария Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сергеева, Мария Юрьевна

Ф ВВЕДЕНИЕ.,.

ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ГАРАНТИРУЮЩИХ

РАВНОВЕСИЙ.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Определение равновесия.

§3. Свойства равновесия.

3.1. Максиминные стратегии и гарантии.

3.2. Устойчивость.

3.3. Полнота.

• §4. Сравнение с равновесием Нэша-Слейтера.

ГЛАВА И. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

РАВНОВЕСИЙ.

§5. Существование равновесий с однозначной реакцией игрока верхнего уровня.

§6. Достаточные условия существования в случае однозначного отображения.

6.1. Основная теорема.

6.2. Коэффициентные критерии для линейно-квадратичной игры.

§7. Построение структуры множества контрстратегий для неоднозначной реакции Центра.

§8. Достаточные условия существования неоднозначной реакции Центра и GG-гарантирующего равновесия.

§9. Коэффициентные критерии для нетривиальной линейноквадратичной игры.

ГЛАВА III. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ГАРАНТИРУЮЩИХ

РАВНОВЕСИЙ.

§10. Вычисление гарантирующих равновесий для линейно-квадратичной игры.

§11. Тестирование численного решения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гарантирующие равновесия в бескоалиционном варианте двухуровневой иерархической децентрализованной дифференциальной игры трех лиц в условиях неопределенности»

Научно-технический прогресс оказывает, с одной стороны, безусловное позитивное влияние на все сферы общественной жизни - социальную и политическую, экономические отношения. С другой стороны, постоянно растущие материальные потребности, расширение и углубление взаимоотношений людей между собой и с окружающей природой приводят к необходимости построения общественных и экономических отношений, ведения хозяйства и сохранения среды обитания человека на научных принципах.

Многообразные проблемы, возникающие в процессе деятельности человека, требуют их исследования с применением математических методов. При этом уже на этапе содержательной постановки научной проблемы, связанной с указанными выше сферами деятельности человека, зачастую становится ясно, что в основе этой проблемы лежит некоторое противоречие, конфликт. Например, проблема добычи животных, птиц, рыб связана с противоречием между удовлетворением растущих потребностей в питании людей и сохранением популяций от уничтожения. Проблема роста благосостояния субъектов экономических отношений связана с конфликтом между продавцом и покупателем благ. Большинство проблем в социальной и политической жизни возникают из-за конфликтов между начальником и подчинённым, между социальными группами, объединениями, партиями и т.п.

При более глубоком анализе поставленной научной проблемы, как правило, выясняется, что отношения между «участниками» противоречия или конфликта могут быть с той или иной степенью достоверности описаны с использованием средств теории исследования операций. При этом в зависимости от характера исследуемой проблемы может быть привлечён математический аппарат теории оптимального управления, теории игр, теории вероятностей и статистики. А поставленные цели обусловливают статический или динамический вариант исследований. Конечным результатом исследования научной проблемы (которое проводит исследователь операции) являются рекомендации для принятия решения ответственным лицом (лицом, прини-Ф мающим решение - ЛПР).

В последние годы оформилось общее название научного направления, в рамках которого ведутся исследования по управлению сложными системами - теоретические основы информатики. Такое название обусловлено тем, что одной из ключевых проблем в процессе исследований является проблема информационной неопределённости и её учета.

В указанном только что научном направлении к настоящему времени уже сложилось чёткое понимание общего объекта исследования. Таким объектом является сложная система управления. В такой системе, как правило, ® фигурируют несколько активных сторон (активность понимается как наличие реакции на внешнее воздействие), что приводит к конфликтному характеру процесса принятия решения. Кроме того, процесс принятия решения может происходить в условиях неопределённости (неточное знание возможностей сложной системы, нечёткая постановка целей, неточности в передаче информации и т.п.).

Значительное число сложных систем управления характеризуется иерархической структурой. Исследование таких систем начиналось на основе одного из направлений в исследовании операций, связанного с изучением • минимаксных, или максиминных, задач. Изучением минимаксных задач управления занимались В.Г. Болтянский и И.С. Чеботару [8], Т.К. Виноградова и В.Ф. Демьянов [16], Г.В. Гайшун и Б.Ш.Мордухович [17], В.А.Горелик и В.В.Федоров [24, 26, 75], Л.Г. Гурин и Е.М. Столярова [30], А.А. Первозванский [57] и другие.

Важным классом минимаксных задач являются задачи управления со связанными переменными, когда управление одной из систем представляет собой многозначную реакцию на управляющее воздействие другой системы. £ В этом случае минимакс дает гарантированную оценку за весь период функционирования систем. Эти задачи возникают, в частности, при изучении иерархических систем и рассмотрены В.А. Гореликом, М.А. Гореловым, А.Ф. Ф Кононенко, Н.С. Новиковой, А.Ф. Таракановым, В.В. Федоровым в [24-29,

54, 75]. Игровой подход к иерархическим системам применялся в [14, 26, 28, 29, 36, 41, 48, 54, 70, 76, 77, 81]. На данный момент теория игр и, в частности, дифференциальных игр, является активно развивающейся областью современной математической теории управления.

Первые работы по дифференциальным играм с ненулевой суммой появились в конце 60-х-начале 70-х годов [1, 20, 47, 76, 92, 88, 89], и в их основе лежат фундаментальные исследования антагонистических дифференциальных игр и теории оптимального управления. На сегодняшний момент закон-Ш чился, в основном, период накопления практических задач и разрозненных теоретических фактов, и наблюдается тенденция к их систематизации, к построению стройной математической теории дифференциальных игр с ненулевой суммой как самостоятельного раздела общей математической теории оптимальных процессов, имеющего свой круг понятий и различные направления исследования.

Характерной чертой многих игровых задач является наличие таких параметров управляемой системы, выбором которых игроки распоряжаться не могут. Появление таких задач связано с тем, что сложные системы, как пра-• вило, взаимосвязаны с внешним миром, что обязывает учитывать не только механизмы функционирования самих систем, но и их взаимодействие с помехами, возмущениями и другими неопределённостями. Изучением таких систем занимается новое направление теории дифференциальных игр - теория дифференциальных игр в условиях неопределённости.

В многокритериальных задачах при неопределённости лицо, принимающее решение, при выборе своего решения должно учитывать, во-первых, наличие нескольких критериев, зависящих как от решений, так и от неопре-а делённостей, во-вторых, возможность реализации любой неопределённости из заданных границ её изменений и вызванную этим многозначность критериев. ф Данная задача привлекла к себе внимание ещё с 60-х годов. Одними из первых на необходимость учёта такой многозначности (в игровых задачах) обратили внимание Р. Ауманн и Б. Пелег [82]. Естественно дальнейшее развитие этого направления на игровые задачи при неопределённости. При этом выделилось два подхода к изучению игр в условиях неопределённости, формализованных в виде антагонистической игры с векторной функцией выигрыша. Первый основан на обобщении понятий минимаксной и максиминной стратегий и активно разрабатывается в России В.И. Жуковским [10, 36, 37, 39] и его учениками А.Е. Бардиным [5], Г.И. Житомирским [35], В.А. Мат® веевым [51], В.В. Мухиным [53], И.В. Чернявским [79] и другими. Независимо от них аналогичные исследования ведутся в Италии [85] и Японии [93]. Динамический вариант этой задачи впервые рассмотрен в книге [96] и получил свое дальнейшее развитие в [36]. Второй подход основан на обобщении понятия векторной седловой точки и рассмотрен в [36, 37, 41] и др.

В последние двадцать лет сформировалось направление в теории игр, оказавшееся весьма плодотворным при анализе иерархических организационных систем. Это направление исследует специальный класс игр, характеризующихся неравноправным положением участников (игроков) и получив® ших поэтому название иерархических игр. К указанным организационным системам можно отнести все модели, базирующиеся на отношениях "начальник-подчиненный". Это большая часть эколого-экономических систем, характеризующихся наличием подуровней.

Особенностью многих исследований иерархических дифференциальных игр является применение к их решению теорем типа принципа максимума JI.C. Понтрягина. Вследствие этого управления игроков ограничиваются в основном только функциями времени [84, 91]. В [83] на простейшем примере ф управляемой системы первого порядка рассмотрен вопрос об организационной структуре, подобная задача для более сложных систем изучена в [56, 71, 72]. Достаточные условия существования стратегий, зависящих только от времени, в линейно-квадратичной дифференциальной игре двух лиц приведены в [4, 91].

Систематическая разработка вопросов теории иерархических игр начата Ю.Б. Гермейером и Н.Н. Моисеевым [19, 23], которые определили решение иерархической игры, близкое по сути к решению по Штакельбергу [94]. В [41] даётся определение решения по Штакельбергу иерархической дифференциальной игры двух лиц. В [22] установлена структура решений, связанная с так называемыми стратегиями наказания. В дифференциальных играх данный подход активно использовался И.А. Вателем, Р.А. Ведерниковым, В.А. Гореликом, Т.Н. Данильченко, Ф.И. Ерешко, А.Ф. Кононенко, Н.С. Кукушкиным, И.С. Меньшиковым, К.К. Мосевичем, Е.З. Мохонько, Н.С. Новиковой, П.В. Фоменко, А.Д. Халезовым, В.В. Чумаковым и другими [12, 13-15, 25, 27-29, 31-34, 42-45, 48, 49, 52, 54, 78, 81]. Принцип Штакельберга стал основой исследования иерархических систем зарубежными учеными [83, 84, 87, 88, 90-92, 95].

Дальнейшее исследование иерархических игр связано с рассмотрением на нижнем уровне иерархии не менее двух игроков, что порождает проблемы выбора игроками правил рационального поведения. Эти правила были перенесены из классической теории игр с ненулевой суммой и породили бескоалиционный, коалиционный и кооперативный варианты иерархической игры. В этом направлении следует отметить исследование В.И. Жуковского и Э.М. Вайсборда [9], в котором использованы стратегии Штакельберга. Здесь достаточно полно изучены различные варианты иерархической игры трёх лиц (без неопределённости) с правом первого хода у игрока верхнего уровня. Однако все выкладки касаются так называемых "однозначных игр", где отсутствует многозначность в контрстратегиях, и действия игроков нижнего уровня предсказуемы. Существенным обстоятельством является зависимость стратегий игроков не только от времени, но и от реализовавшихся значений фазовых координат. Это стало возможным благодаря подходу, основанному на предложенном академиком Н.Н. Красовским объединении динамического программирования с методом функций Ляпунова и позволяющему в ряде случаев указать коэффициентные критерии существования решения и построить их явный вид.

Большое количество работ, посвященных принятию решений в условиях неопределённости, связано с многообразием проявления фактора неопределённости в реальных иерархических системах (неопределённость, связанная с процедурой принятия решения, различная информированность подсистем о внешних параметрах, о параметрах системы и др.).

Игры трёх и более лиц в условиях неопределённости исследовались, например, в [21, 48, 52, 54]. Многообразие возникающих здесь ситуаций определяется порядком ходов участников игры, их информированностью друг о друге, характером внешних параметров (неопределённые, случайные) и т.п. В этих работах, в частности, рассматривались задачи принятия решений в условиях неопределённости в случае, когда Центр информирован хуже подсистем. Это относится к тем неопределённым параметрам, которые являются локальными, то есть описывают сферу действия отдельных подсистем.

Случай, когда Центр информирован лучше подсистемы, рассмотрен в [28]. Это относится к глобальным неопределённым параметрам, описывающим внешнюю среду. В этом случае у Центра появляются дополнительные возможности воздействия на подсистемы, связанные с прогнозированием значений неопределённых факторов.

В [45, 81] изучается класс задач принятия решений в двухуровневой иерархической управляемой системе в условиях неопределённости, обусловленной внешними по отношению к системе факторами (неконтролируемыми воздействиями, параметрами). Специфика рассматриваемого класса задач заключается в следующем. Предполагается, что конкретизация значений неконтролируемых параметров происходит после реализации управлений, выбранных подсистемами, и до реализации конкретных значений управлений Центра. На этапе выбора управлений конкретные значения внешних воздействий не известны ни верхнему, ни нижнему уровням. Априорная информированность элементов системы о неконтролируемых факторах является самостоятельной и может различаться.

В перечисленных выше работах по иерархическим играм, неопределённость имеет, как правило, локальный характер, что позволяет отдельным игрокам использовать информацию о возможных её реализациях. Практически это сводится к следующим моментам: информированный о неопределённости игрок сворачивает свою функцию выигрыша, ориентируясь на наихудшую для себя реализацию неопределённости (то есть минимизирует выигрыш по неопределённому параметру), либо ориентируясь на математическое ожидание неопределённости. При передаче информации другому игроку производятся те же свертки.

Однако в случае наличия нескольких критериев (выигрышей) более целесообразным представляется использование векторных гарантий (от неопределённости), то есть аналогов векторного максимина или векторной седло-вой точки. В рамках же исследования векторных гарантий в дифференциальных играх при неопределённости иерархические игры пока не рассматривались.

Цель настоящей работы - построение математического аппарата для исследования бескоалиционного варианта иерархической дифференциальной игры в условиях неопределённости с правом первого хода у игроков нижнего уровня. При формализации векторных гарантий дифференциальной игры в условиях неопределённости используется аналог векторной седловой точки, объединенный с концепцией равновесного решения иерархической игры. Указанная концепция основана на принципе Штакельберга [94].

Таким образом, объект настоящего исследования — бескоалиционный вариант иерархической дифференциальной игры трёх лиц в условиях неопределённости с правом первого хода у игроков нижнего уровня.

Предметом исследования является принцип равновесного гарантированного результата в этих играх.

Научную новизну работы составляют результаты исследования класса дифференциальных игр трёх лиц, где имеет место внешний неконтролируемый неопределённый фактор. Игра является децентрализованной, так как правом первого хода обладают игроки нижнего уровня, действующие каждый в своих интересах. Такая постановка задачи соответствует бескоалиционному варианту игры. Существенным моментом является нетривиальность рассматриваемой игры, то есть учитывается многозначность в контрстратегиях лидера и непредсказуемость его действий для игроков нижнего уровня. Важной особенностью настоящего исследования является учёт реализации любой контрстратегии Центра из целого множества, а это ставит игроков нижнего уровня перед проблемой учета дополнительного неопределённого для них параметра. Именно в отношении такого вида неопределённости следует рассматривать понятие "гарантирующий" в определениях исследуемых равновесий.

Достижению поставленной цели способствует решение следующих задач:

• построение принципа равновесного гарантированного результата бескоалиционного варианта иерархической дифференциальной игры трёх лиц в условиях неопределённости - гарантирующих равновесий;

• изучение свойств гарантирующих равновесий;

• построение достаточных условий существования гарантирующих равновесий для тривиальной игры, нахождение коэффициентных критериев для линейно-квадратичного случая;

• построение достаточных условий существования гарантирующих равновесий для нетривиальной игры, нахождение коэффициентных критериев для линейно-квадратичного случая;

• численное исследование гарантирующих равновесий по коэффициентным критериям.

Методологическую основу настоящего исследования составляют:

• выпуклый анализ [61, 62];

• теория матриц и систем дифференциальных уравнений [6, 18, 60];

• методы и подходы теории дифференциальных игр и многокритериальных задач [1,9, 38, 39, 40, 58];

• методы и принципы теории оптимизации и оптимального управления [2, 3, 7, 11, 46, 50, 55, 59, 63, 73, 74, 80];

• подход к построению достаточных условий, основанный на объединении метода функций Ляпунова с динамическим программированием [47].

Практическая значимость исследования заключается в прикладной актуальности рассмотренного класса игр. Такими играми моделируется множество реальных ситуаций: управление многоуровневым производством в меняющихся экономических условиях с предоставлением экономической свободы в принятии решений по схеме "снизу-вверх"; осуществление командования военными действиями при неизвестных действиях противника; поддержание экологического баланса в природе при неопределённых природных факторах (распространенная схема: районная администрация следит за эффективным поведением вредного производства и оказывает поддержку сельскому хозяйству, при этом интересы производства и фермера различны, а неопределённые природные факторы могут усилить вредное воздействие производства, что повредит всем элементам системы) и др. Настоящее исследование позволяет предложить эффективное решение указанных проблем, а в случае получения соответствующих количественных характеристик в ряде случаев возможно найти и численное решение.

На защиту выносятся:

1) определения гарантирующих равновесий: а) обобщённое определение гарантирующих равновесий; б) определение равновесий Штакельберга-Слейтера, Штакельберга-Парето и Штакельберга-Джоффриона для частного случая исследуемой игры при однозначной реакции Центра; в) определение гарантирующего равновесия, конкретизированное для нетривиальной игры;

2) свойства гарантирующих равновесий;

3) достаточные условия существования гарантирующих равновесий для тривиальной игры и коэффициентные критерии в линейно-квадратичном случае;

4) достаточные условия существования гарантирующих равновесий для нетривиальной игры и коэффициентные критерии в линейно-квадратичном случае.

Апробация. Результаты докладывались на научно-практических конференциях молодых ученых Балашовского филиала Саратовского государственного университета (СГУ) им. Н.Г.Чернышевского (Балашов, 1999, 2000, 2001, 2005 гг.), научно-методических семинарах кафедры информатики, на аспирантском объединении Балашовского филиала СГУ им. Н.Г.Чернышевского (Балашов, 1999, 2000, 2001, 2005 гг.), на IV Международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2003» в Санкт-Петербургском государственном политехническом университете (Санкт-Петербург, 2003 г.), региональных научно-практических конференциях Балашовского филиала Саратовского государственного социально-экономического университета (Балашов, 2003, 2005 гг.), научно-методических семинарах кафедры прикладной математики и информатики Борисоглебского государственного педагогического института (2005г.). Кро

Кроме того, результаты исследования апробированы с помощью численного эксперимента, описанного в диссертации.

Структура работы. Работа состоит из трех глав. В первой главе (§§ 1-4) формулируется и исследуется децентрализованная иерархическая дифференциальная игра трёх лиц в условиях неопределённости. В § 1 дается описание игры и описываются ее правила. Рассматриваются особенности рассматриваемого класса игр и формулируются основные этапы в построении решений. В §2 производится поиск аналога решения по Штакельбергу применительно к бескоалиционному варианту рассматриваемой игры. При этом выкладки опираются на определение решения по Штакельбергу вспомогательной двухуровневой дифференциальной игры не трёх, а двух лиц. На основе анализа этого решения устанавливается практический способ нахождения решения по Штакельбергу игры двух лиц, который позволяет обобщить это решение на случай исследуемой игры трёх лиц.

В этом же параграфе даются обобщенные определения гарантирующих равновесий в игре трёх лиц в условиях неопределённости и устанавливается их взаимосвязь.

В §3 устанавливаются свойства введённых равновесий. Это традиционные для равновесий свойства: индивидуальная рациональность, векторная гарантия при реализации любой неопределённости, устойчивость к отклонению от равновесия отдельного игрока, динамическая устойчивость и полнота.

К традиционным свойствам добавляется также свойство влияния одного игрока нижнего уровня, выбравшего стратегию из равновесия, на выбор второго игрока нижнего уровня. Производится также сравнение исследуемого равновесия с популярным равновесием Нэша-Слейтера для той же игры.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Сергеева, Мария Юрьевна

Основные результаты диссертации.

1) Построено решение игры - KL-гарантирующее равновесие, которое является аналогом векторной седловой точки во взаимоотношениях «игроки-неопределенность», а также позволяет игрокам нижнего уровня использовать такие стратегии, которые гарантируют им наибольшие выигрыши при любом поведении Центра.

2) Для введенного равновесия изучено свойство индивидуальной рациональности, векторная гарантия в отношении неопределенности, устойчивость к отклонению отдельного игрока, динамическая устойчивость, полнота, диктатура условий, сравнение с равновесием Нэша-Слейтера.

3) Выделен и изучен частный случай рассматриваемой игры - тривиальный вариант, который образуется в случае однозначной реакции Центра и позволяет говорить о предсказуемости действий Центра для игроков нижнего уровня. Для данной разновидности рассматриваемой игры построены равновесия Штакельберга-Слейтера, Штакельбурга-Парето и Штакельберга-Джоффриона как частные случаи KL-гарантирующего равновесия.

4) Сформулированы и доказаны достаточные условия существования равновесия Штакельберга-Джоффриона, а также построены коэффициентные критерии для линейно-квадратичной игры.

5) В среде MathCAD реализована схема нахождения численного значения равновесия Штакельберга-Джоффриона. По этой схеме произведено тестирование равновесия на оптимальность, что показало практическую пригодность линейно-квадратичных критериев для решения рассматриваемого класса игр.

6) Выделен нетривиальный вариант игры, который реализуется в случае неоднозначной реакции Центра. В этом случае действия Центра непредсказуемы для игроков нижнего уровня, что говорит о наличии в игре не только заявленной объективной неопределенности, но и определенности субъективной. Эту дополнительную неопределенность приходится учитывать игрокам нижнего уровня. KL-гарантирующее равновесие в полной мере соответствует данной постановке задачи. Однако для удобства восприятия и дальнейших исследований введено корректирующее определение - GG-гарантирующее равновесие. В нем явным образом указана стратегия управления Центра а, которая входит в состав контрстратегии и реализует указанную неоднозначность реакции.

7) Для нетривиальной игры сформулированы и доказаны достаточные условия существования GG-гарантирующего равновесия (и, следовательно, KL-гарантирующих равновесий) и построены коэффициентные критерии для линейно-квадратичной игры. Важным моментом процесса построения коэффициентных критериев в данном случае является последовательное решение двух систем дифференциальных уравнений (ранее исследованные игры не использовали такой подход). Недостатком предложенной схемы является затруднительность ее численной реализации из-за большого числа коэффициентов и аргументов искомых функций.

II. Область применения полученных результатов. Множество реальных систем, функционирующих в обществе, имеют иерархическую структуру. Большая их часть может быть описана с помощью рассмотренной в диссертации игры.

Рассмотрим следующий пример. Телевизионный канал транслирует в эфире музыку и новости. За каждое направление деятельности отвечает самостоятельный отдел. Задача каждого отдела — создание интересных программ, которые будут транслироваться в эфире. Администрация канала обеспечивает качественную трансляцию эфира, производит отбор предоставленных к эфиру материалов, их анонсирование и рекламную политику. При этом деятельность канала осуществляется в условиях жесткой конкуренции с другими каналами. Такую систему можно описать с помощью иерархической децентрализованной игры в условиях неопределенности. Игроками нижнего уровня являются отдел новостей и музыкальный отдел, Центр — администрация канала. Конкурирующие каналы можно рассматривать как внешнюю неопределенность, которая своими действиями может повредить системе: перекупить частоты вещания, опередить в освещении событий и прочее.

Естественно, что в описываемой системе администрация канала благосклонна к каждому из отделов и способствует эффективной работе каждого из них. Распространенным явлением в деятельности телеканалов является регламентирование эфирного времени для каждой программы, поэтому администрация своими действиями не станет ущемлять один отдел и продвигать другой. При этом стратегические цели администрации понятны каждому из отделов. В этом случае действия администрации не являются непредска-л зуемыми для отделов. В качестве нахождения оптимального функционирования описанной системы можно предложить равновесие Штакельберга-Джоффриона.

Ф Согласно определению равновесия, система ориентируется на сильнейшее противодействие конкурентов, поэтому прилагает максимум усилий к качеству эфира. Отделы канала действуют самостоятельно, однако учитывают информацию о политике канала (контрстратегиях), то есть используют в своих решениях ответные решения администрации. При этом выбирают свои решения, ориентируясь на лучший результат.

Предложенные коэффициентные критерии существования равновесия Штакельберга-Джоффриона для линейно-квадратичной формализации данной задачи позволяют предложить отделам и администрации канала опти

• мальный вариант поведения. Числовые расчеты в среде MathCAD по приведенной в диссертации схеме дают возможность получить явный числовой вид функций поведения (стратегий), а также рассчитать прибыль или рейтинг каждого из отделов и канала в целом (выигрыши).

Другая задача. В некотором районе функционирует производство в лице завода, а также сельское хозяйство в лице фермерского хозяйства. Управляющим органом района является районная администрация, которой подчиняются и руководство завода и управляющий фермерским хозяйством. При этом интересы и завода, и фермерского хозяйства различны. Заводу необходимо получать прибыль, выпуская больше продукции, однако отходы производства могут загрязнять окружающую среду. Фермер заинтересован в выращивании качественной, экологически чистой сельскохозяйственной продукции, а этому могут помешать действия завода. Районная администрация заинтересована в процветании района, поэтому способствует развитию как сельского хозяйства, так и промышленности. Однако перед ней стоит важная задача поддержания экологического баланса и контролирования действий завода и фермерского хозяйства. Неопределенным фактором можно считать природные условия, которые могут усилить вредное воздействие промышленного завода и нарушить экологическое равновесие.

В такой задаче формально описана иерархия, функционирующая в условиях неопределенности. Но действия районной администрации в полной мере не предсказуемы для завода и фермерского хозяйства, поэтому образуют дополнительную субъективную неопределенность. Предложить варианты поведения в этом случае позволяет GG-гарантирующее равновесие. Интересной особенностью этого равновесия является то, что для принятия решения на его основе можно использовать следующую последовательность действий:

1) руководство завода и управляющий фермерским хозяйством предоставляют районной администрации проекты своей деятельности (множества стратегий);

2) администрация района в ответ на эти проекты формирует свою политику в отношении предоставленных проектов и сообщает ее руководству завода и управляющему фермерским хозяйством (создает множества контрстратегий);

3) и завод, и фермерское хозяйство принимают окончательные решения, которые содержат параметры, корректируемые районной администрацией (стратегии управления Центра);

4) районная администрация вносит коррективы и указывает конкретные объемы производства, ориентируясь на конъюнктуру рынка, загрязненность среды и прочее (выбирает конкретное решение из своей политики).

При этом каждый элемент описанной иерархии должен учитывать наличие неконтролируемых природных факторов.

Очевидно, что описанная последовательность действий является рациональной. В такой системе невозможно обойтись без обмена информацией между верхним уровнем и нижним.

Коэффициентные критерии существования GG-гарантирующего равновесия в случае линейно-квадратичной формализации функционирования этой системы позволяют предложить конкретный вид принимаемых решений (стратегий).

Рассмотренные примеры в достаточной степени отражают области возможного использования результатов настоящего исследования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сергеева, Мария Юрьевна, 2005 год

1. Айзеке, Р. Дифференциальные игры Текст./ Р.Айзеке.- М.: Мир,1967.-479с.

2. Атанс, М. Оптимальное управление Текст./ М.Атанс, П.Фалб — М.: Машиностроение, 1968-764с.

3. Афанасьев, В.Н. Математическая теория конструирования систем управления Текст./ В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов- М.: Высш. шк., 1989-447с.

4. Баратова, Е.Д. Метод штрафов и необходимые условия оптимальности в дифференциальной иерархической игре при неопределенности Текст./

5. Е.Д.Баратова, А.Ф. Тараканов // Известия АН. Теория и системы управления.- 2003.- №4.- С.342-348.

6. Бардин, А.Е. Векторный риск Текст.: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: Санкт-Петербургский гос. ун-т/ Бардин Александр Евгеньевич.- СПб, 1993.- 14с.

7. Беллман, Р. Введение в теорию матриц Текст./ Р.Беллман- М.: Наука, 1969.-367с.

8. Беллман, Р. Динамическое программирование Текст./ Р.Беллман.— М.: ИЛ, I960.-400с.

9. Болтянский, В.Г. Минимаксные задачи оптимального управления Текст./ В.Г.Болтянский, И.С. Чеботару // Дифференц. уравнения 1974-Т. 10.-№7.-С. 1213-1224.

10. Вайсборд, Э.М. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения Текст./ Э.М. Вайсборд, В.И. Жуковский. М.: Советское радио, 1980-304с.

11. Ватель, И.А. Оптимальное поведение игрока, обладающего правом первого хода при неточном знании интересов партнера Текст./ И.А.Ватель, Н.С.Кукушкин// Ж. вычисл. матем. и матем. физ 1973.-Т.13,№2.-С.303-310.

12. Ведерников, Р.А. О принятии решений в двухуровневой иерархической системе управления при неполной информации о нижнем уровне Текст./ Р.А.Ведерников, А.Ф. Кононенко// Изв. АН СССР. Техн. кибернети-ка.-1976.-№2.-С. 13-22.

13. Ф 14. Ведерников, Р.А. О рациональных процедурах обмена информациейпри планировании в условиях неопределенности Текст./ Р.А.Ведерников, А.Ф. Кононенко// Модели и методы анализа экономических целенаправленных систем-Новосибирск: Наука, 1977.-С.98-112.

14. Ведерников, Р.А. Об эффективных процедурах обмена информацией при управлении в условиях неопределенности Текст./ Р.А.Ведерников, А.Ф. Кононенко, П.В.Фоменко//Автоматика и телемеханика.-1983.-№1.-С.118-124.

15. Виноградова, Т.К. К необходимым условиям в минимаксных задачах управления Текст./ Т.К.Виноградова, В.Ф. Демьянов// Журн. вычисл. мате• матики и мат. физики 1974-Т. 14, № 1.-С. 233-236.

16. Гайшун, П.В. Минимаксная задача оптимального управления для одного класса негладких систем с терминальными ограничениями Текст./ П.В. Гайшун, Б.Ш. Мордухович (Препринт/ Ин-т математики АН БССР-№13(170)).-Минск, 1983.-30с.

17. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц Текст./ Ф.Р. Гантмахер- М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.- 492с.к

18. Гермейер, Ю.Б. Введение в теорию исследования операций Текст./ а Ю.Б. Гермейер.-М.:Наука, 1971.-383с.

19. Гермейер, Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами Текст./ Ю.Б. Гермейер-М.:Наука, 1976-328с. Ф 21. Гермейер, Ю.Б. К теории игр трех лиц [Текст]/ Ю.Б. Гермейер//

20. Журн. вычисл. математики и мат. физики 1973-Т. 13.-№6.-С. 1459-1468.

21. Гермейер, Ю.Б. Об играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов Текст./ Ю.Б. Гермейер// Докл. АН СССР.- 1971.-195, №5-С.1001-1004.

22. Гермейер, Ю.Б. О некоторых задачах теории иерархических систем Текст./ Ю.Б.Гермейер, Н.Н.Моисеев// Проблемы прикладной матем. и механики.- М.: Наука, 1971.- С. 30-43.

23. Горелик, В.А. Максиминные задачи на связанных множествах в • банаховых пространствах Текст./ В.А. Горелик// Кибернетика 1983.- №1 .1. С.64-67.

24. Горелик, В.А. Принцип гарантированного результата в неантагонистических играх двух лиц с обменом информацией Текст./ В.А. Горелик //Исследование операций.-М.: ВЦ АН СССР.- 1971.-Вып.2.-С.102-108.

25. Горелик, В.А. Об одном подходе к решению минимаксных задач оптимального управления Текст./ В.А. Горелик, В.В. Федоров// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика 1976-№1-С. 45-54.

26. Горелик, В.А. Анализ конфликтных ситуаций в системах управле-Ф ния Текст./ В.А. Горелик, М.А. Горелов, А.Ф. Кононенко.- М.: Радио исвязь, 1991.-288с.

27. Горелик, В.А. Теоретико-игровые модели принятия решений в эко-лого-экономических системах Текст./ В.А. Горелик, А.Ф. Кононенко М.: Радио и связь, 1982. - 144с.

28. Горелик, В.А. Метод решения минимаксных задач управления

29. Текст./ В.А.Горелик, А.Ф. Тараканов // Проблемы теоретической кибернетикки: Тез. докл. VIII Всесоюз. конф. в 2-х частях, Горький, июль 1988г.- Горь-т кий, 1988.- Ч. 1.-С.95-96.

30. Гурин, Jl.Г. Принцип максимума в одной минимаксной задаче Текст./ Л.Г. Гурин, Е.М. Столярова // Журн. вычисл. математики и мат. физики.-1973 .-Т. 13, №5-С. 1175-1185.

31. Данильченко, Т.Н. Многошаговая игра двух лиц при осторожном втором игроке и последовательной передаче информации Текст./ Т.Н.Данильченко, К.К. Мосевич//Журн. вычисл. математики и мат. физики-1974.-Т. 14, №5.-С. 1323-1327.

32. Данильченко, Т.Н. Многошаговая игра двух лиц с фиксированной последовательностью ходов Текст./ Т.Н.Данильченко, К.К. Мосевич// Журн. вычисл. математики и мат. физики.- 1974- Т. 14, № 4 — С. 1047-1052.

33. Данильченко, Т.Н. Многошаговые игры двух лиц с непротивоположными интересами и передачей информации Текст./ Т.Н.Данильченко, К.К. Мосевич // Труды 18-й науч. конф. Моск. физ.-техн. ин-та. Серия "Аэромеханика, процессы управления", 1973- С. 222-230.

34. Ерешко, Ф.И. Решение игры с правом первого хода при неточной информации о цели партнера Текст./ Ф.И. Ерешко, А.Ф. Кононенко// Ж. вычисл. матем. и матем. физ 1973.-Т. 13, №1-С.217-221.

35. Житомирский, Г.И. Конфликтные динамические системы Текст.: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.09 Ленинград, гос. ун-т/ Житомирский Гарри Иосифович-Л.:, 1988 16с.

36. Жуковский, В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности Текст./В.И. Жуковский-М.: МНИИПУ,1997.-461с.

37. Жуковский, В.И. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности Текст./ В.И. Жуковский, B.C. Молоствов М.: МНИИ-ПУ, 1988.- 132с.

38. Жуковский, В.И. Игровые линейно-квадратичные задачи Текст./ В.И. Жуковский, М.Е. Салуквадзе.- (Препринт).- Тбилиси: Ин-т Систем Управления АН Грузии, 1992 64с.

39. Жуковский, В.И. Многокритериальные задачи в условиях неопределенности Текст./ В.И. Жуковский, М.Е. Салуквадзе.- Тбилиси: МЕЦНИЕ-РЕБА, 1991.- 128с.

40. Жуковский, В.И. Оптимизация гарантий в многокритериальных задачах управления Текст./ В.И. Жуковский, М.Е. Салуквадзе- Тбилиси: МЕЦНИЕРЕБА, 1996.-480с.

41. Жуковский, В.И. Линейно-квадратичные дифференциальные игры Текст./ В.И. Жуковский, А.А. Чикрий- Киев: Наукова думка, 1994.- 320с.

42. Кононенко, А.Ф. Роль информации о функции цели противника в играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов Текст./ А.Ф. Кононенко// Ж. вычисл. матем. и матем. физ 1973.-Т.13, №2.-С.311-317.

43. Кононенко, А.Ф. О процессе получения информации в неантагонистических дифференциальных играх Текст./ А.Ф. Кононенко, Е.З. Мохонь-ко.-М.: ВЦ АН СССР, 1982.-20 с.

44. Кононенко, А.Ф. Принятие решений в условиях неопределенности Текст./ А.Ф. Кононенко, А.Д. Халезов, В.В. Чумаков.-М.: ВЦ АН СССР, 1991.- 198с.

45. Кононенко, А.Ф. О принятии решений в двухуровневой иерархической системе управления при наличии внешних неконтролируемых факторов Текст./ А.Ф. Кононеко, В.В. Чумаков// Автоматика и телемеханика 198811.-С. 92-101.

46. Красовский, Н.Н. Теория управления движением Текст./ Н.Н. Кра-совский.-М.: Наука, 1968.-475с.

47. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры Текст./ Н.Н. Красовкий, А.И. Субботин М.: Наука, 1974- 455с.

48. Кукушкин, Н.С. Бескоалиционные игры трех лиц с фиксированной иерархической структурой Текст./ Н.С. Кукушкин// Журн. вычисл. математики и матем. физики 1979.- Т. 19, №4 - С. 896-911.

49. Кукушкин, Н.С. Об одной игре с неполной информацией Текст./ Н.С. Кукушкин// Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1973.-Т.13,№1.-С.210-216.

50. Ф 50. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления Текст./ Э.Б. Ли,

51. Л. Макус.-М.: Наука, 1972 — 574с.

52. Матвеев, В.А. Многокритериальная позиционная задача для параболической системы Текст.: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 Уральский гос. ун-т / Матвеев Владимир Александрович — Екатеринбург, 1992.-13с.

53. Новикова, Н.С. Игры двух и трех лиц со связанными ограничениями при фиксированном порядке ходов Текст./ Н.С. Новикова // Журн. вычисл. математики и мат. физики 1976 - Т. 16, №2.- С. 326-329.

54. Ногин, В.Д. Основы теории оптимизации Текст.: учеб. пособие для студентов ВТУЗов/ В.Д. Ногин, И.О. Протодьяконов, И.И. Евлампиев; под общ. ред. И.О.Протодьяконова.-М.: Высш. шк., 1986-384с.

55. Павловский, Ю.Н. Агрегирование сложных моделей и построение иерархических систем управления Текст./ Ю.Н. Павловский // Исследование операций.- Вып. 4.- М.: ВЦ АН СССР, 1974.- С.3-38.

56. Первозванский, А.А. О минимуме максимального уклонения управляемой линейной системы Текст./ А.А. Первозванский// Изв. АН СССР. Сер. Механика.- 1965.-№2.-С. 51-57.

57. Подиновский, В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач Текст./ В.В. Подиновский, В.Д. Ногин.-М.: Наука, 1972 254с.

58. Понтрягин, JT.C. Математическая теория оптимальных процессов Текст./ Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко

59. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1969384с.

60. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения Текст./ Л.С. Понтрягн М.: Наука, 1961.- 311с.

61. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи Текст./ Б.Н. Пшеничный— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 —320с.

62. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах Текст./ Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин М.: Мир, 1982 - 276с.

63. Сеа, Ж. Оптимизиция: теория и алгоритмы Текст./ Ж. Сеа- М.: Мир, 1973 .-244с.

64. Сергеева, М.Ю. Гарантированные равновесия в двухуровневой иерархической дифференциальной игре трех лиц в условиях неопределенности

65. Текст./ М.Ю. Сергеева// Материалы ежегодной научно-практической конференции молодых ученых (13-20 апреля 2000г.)/ Под общ. ред. А.В. Шатиловой.- Балашов: Изд-во БГПИ, 2000г. С. 100-102.

66. Сергеева М.Ю. Иерархические игры многих лиц в условиях неопределенности/ М.Ю. Сергеева// Перспективы экономического роста и качество

67. Ф жизни россиян: Материалы III региональной научно-практической конференции БФ СГСЭУ (28-29 апреля 2005г.).- Балашов: Издат. центр БФ СГСЭУ, 2005г.-С.78-81.

68. Сергеева, М.Ю. Поиск решений в двухуровневых системах средствами среды MathCAD Текст./ М.Ю. Сергеева// Материалы I научно-практической конференции БФ СГСЭУ (22-24 апреля 2003 г.).- Балашов: БФ СГСЭУ, 2003г.- С.40-42.

69. Тараканов, А.Ф. Решение Нэша-Слейтера иерархической игры в условиях неопределенности Текст./ А.Ф. Тараканов// Известия АН. Теория и системы управления 2000 - №4 - С.553-560.

70. Фаткин, Ю.М. Оптимальное управление в иерархических системах, описываемых дифференциальными уравнениями иерархической структуры Текст./ Ю.М. Фаткин// Автоматика и телемеханика.-1973.-№10 С.169-178.

71. Фаткин, Ю.М. Оптимальное управление в иерархических структурах Текст./ Ю.М.Фаткин// ДАН СССР, 1972.- Т. 202, №1С.59-61.

72. Фаткин, Ю.М.Оптимальное управление в иерархической структуре, элементы которой заданы на различных временных интервалах Текст./ Ю.М.Фаткин, Г.М. Зуев// Автоматика ителемеханика-1974. № З.-С. 95-101.

73. Фаткин, Ю.М., Чарный В.И. Определение оптимального управления в системах дифференциальных уравнений с иерархической структурой с помощью итеративного процесса Текст./ Ю.М.Фаткин, В.И. Чарный// Автомал тика и телемеханика 1973-№11- С. 102-112.

74. Федоров, В.В. Численные методы максимина Текст./ В.В.Федоров-М.: Наука, 1979.-279с. р 76. Флеров, Ю.А. Многоуровневые динамические игры и централизованное управление Текст./ Ю.А.Флеров// Децентрализованное методы управления М.: Наука, 1972 - С. 64-71.

75. Флеров, Ю.А. Многоуровневые иерархические игры Текст./ Ю.А. Флеров// ДАН СССР.- 1969.- Т. 187, № 5.- С. 1002-1004.

76. Халезов, А.Д. Об одном классе многошаговых конфликтов в условиях риска Текст./ А.Д. Халезов// Журн. вычисл. математики и мат. физики,- 1982.- Т. 22, № 1.- С. 42-48.

77. Чернявский, И.В. Гарантии в многокритериальных задачах Текст.: # автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.01. МГУ им. М.В. Ломоносова /

78. Чернявский Игорь Владимирович.-М., 1988.—13с.

79. Чикрий, А.А. Конфликтно управляемые процессы Текст./ А.А.Чикрий Киев: Наукова думка, 1992 - 384с.

80. Чумаков, В.В. Об одной иерархической игре в условиях неопределенности Текст./ В.В. Чумаков// Математические методы управления и обработки информации-М.: МФТИ, 1986-С. 120-125.

81. Aumann, R.J. Von Neumann-Morgenstern Solution for Cooperative Games without Side Payments Текст./ R.J. Aumann, B. Peleg// Bulletin of theф American Mathematical Society.- 1990.- V. 66, №3.- P. 173-179.

82. Basar, T. On the relative leadership property of Stackelberg strategies Текст./ Т. Basar// J. Optimiz. Theory Appl- V. 11, № 6 P. 655-661.

83. Chen, C.J. Stackelberg solution for two-person games with biased information patterns Текст./ C.J. Chen, J.B. Crus// IEEE Trans. Automat. Contr-1972, V. 17, № 6.- P. 791 -798.

84. Ferro, F.A. Minimax Theorem for Vector-Valued Function Текст./ F.A. Ferro// J. Optimiz. Theory and Appl.- 1989.- V. 60.- P. 19-31.

85. Jumarie, G. Coordination des systemes hierarchique a deux niveau pur coorgination des hamiltoniens de niveau inferrieur Текст./ G. Jumarie// C. r.

86. Ф Acad. Sci., ser. В.- 1974, № 1 l.-P. 451-454.

87. Kenko, U. Optimal control for a linear continues system under a hierarchical information structure Текст./ U.Kenko, M.Kinji, S.Etsu jiro// Кейсо-ку дзидо сейгё раккай рамбунсю (Trans. Soc. Instrum. and Control Eng.).-1974.-V. 10, № l.-P. 71-77.

88. Leitmann, G. Cooperative and Noncooperative Many Players Differential Games Текст./ G. Leitmann Wien: Springer, 1974- 77 p.

89. Pau, L.F. Coordinational par les contraintes dans in jeu twolevel hierarchise Текст./ L.F. Pau// C. r. Acad. Sci. Ser. A.- 1974.- V. 279, № 5.- P.• 177-180.

90. Simaan, M. Additional aspects of the Stackelberg's strategy in nonzero-sum games Текст./ M. Simaan, J.B. Crus// J. Optimiz. Theory Appl- 1973.-V.ll,№6.-P. 613-636.

91. Simaan, M. A Stackelberg's solution for games with many players Текст./ M. Simaan, J.B. Crus// IEEE Trans. Automat. Contr 1973- V.18, № 3.-P. 322-324.

92. Simaan, M. On the Stackelberg's strategy in nonzero-sum games Текст./ M. Simaan, J.B. Crus//J. Optimiz. Theory. Appl.- 19973.-V.11.№ 5.-P. 533-555.

93. Tanaca, T. Two Types of Minimax Theorems for Vector-Valued Functions Текст./ Т. Tanaca// Ibid 1991.- V. 68, № 2.- P. 321-334.

94. Von Stackelberg, H. The Theory of the Market Economy Текст./ H. Von Stackelberg- New York: Oxford University Press., 1952 328c.

95. Waltz, F.M. An enginiering approah: hierarchical optimization criteria Текст./ F.M. Waltz// IEEE Trans. Automatic. Control 1967.- AC-12, № 2.- P. 179-180.

96. Zhukovskii, V.I. The Vector-Valued Maximin Текст./ V.I. Zhukovskii, , M.E. Salukvadze- New York ets: Academic Press, 1994 404 p.