Разработка и исследование математической модели динамики численности многовозрастной лимитированной популяции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 03.00.02, кандидат физико-математических наук Ласт, Елена Валерьевна

• Ласт, Елена Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ласт, Елена Валерьевна

Введение.

Глава 1. Проблема динамики численности в современной популяционной экологии.

§1.1. Особенности моделирования биологических систем.

§1.2. Колебания численности популяций в природе.

§1.3. Факторы, влияющие на динамику численности.

§1.4. Классические модели популяционной динамики.

1.4.1. Модели динамики численности локальной популяции с непрерывным временем.

1.4.2. Дискретные модели динамики численности локальной популяции.

§1.5. Моделирование динамики численности популяций с возрастной структурой.

§1.6. Дискретно-непрерывные модели динамики численности.

§1.7. Особенности динамики численности и оптимальное управление популяциями промысловых "ВИДОВ.

§1.8. Основные направления современного моделирования биосистем.

§1.9. Результаты обзора и постановка задачи исследования.

Глава 2. Математическая модель динамики численности лимитированной популяции с возрастной структурой.

§ 2.1. Построение математической модели.

2.1.1. Ограничения, принимаемые при построении модели.

2.1.2. Вывод основного уравнения.

§ 2.2. Стационарные точки модели.

2.2.1. Устойчивость стационарных точек. Характеристическое уравнение.

2.2.2. Устойчивость тривиальной стационарной точки.

2.2.3. Нетривиальная неподвижная точка и ее устойчивость.

§ 2.3. Частный случай основной модели.

2.3.1. Стационарные точки и их устойчивость.

2.3.1.1. Потеря устойчивости через корень характеристического уравнения Х=-1.

2.3.1.2. Потеря устойчивости через комплексные корни характеристического уравнения.

§ 2.4. Выводы по второй главе.

Глава 3. Математическая модель динамики численности многовозрастной популяции.

§3.1. Исследование модели динамики неэксплуатируемой популяции.

3.1.1. Тривиальная неподвижная точка и ее устойчивость.

3.1.2. Нетривиальная стационарная точка.

§ 3.2. Частные случаи основной модели.

3.2.1. Случай к=2.

3.2.1.1. Потеря устойчивости через корень характеристического уравнения А,=-1.

3.2.1.2. Потеря устойчивости через комплексные корни характеристического уравнения.

3.2.2. Случай к=3.

3.2.2.1. Потеря устойчивости через корень характеристического уравнения Х,=-1.

§ 3.3. Точные значения бифуркационных параметров.

3.3.1. Бифуркационные параметры для случая к=2.

3.3.2.Бифуркационные параметры для случая к=3.

§ 3.4. Численное исследование модели.

3.4.1. Некоторые сведения о популяционной экологии тихоокеанских лососей.

3.4.2. Анализ динамических режимов.

§ 3.5. Выводы по третьей главе.

Глава 4. Исследование математической модели динамики численности однородной лимитированной популяции.

§ 4.1. Динамика неэксплуатируемой однородной популяции.

4.1.1. Тривиальная стационарная точка и ее устойчивость.

4.1.2. Ненулевая стационарная точка. Особенности потери устойчивости.

§ 4.2. Исследование частных случаев модели динамики однородной популяции.

4.2.1. Частный случай к=2.

4.2.2. Случай к=3.

§ 4.3. Точные значения бифуркационных параметров.

4.3.1. Бифуркационные параметры в случае к=2.

4.3.2. Бифуркационные параметры в случае к=3.

§ 4.4. Выводы по четвертой главе.

Глава 5. Решение задачи оптимального управления.

§ 5.1. Оптимизация эксплуатации многовозрастной популяции.

5.1.1. Оптимизация: промысла при постоянной доле изъятия.

5.1.2. Оптимизация промысла при переменной доле изъятия.

5.1.2.1. Обоснование зависимости доли изъятия от плотности.

5.1.2.2. Определение оптимальных промысловых параметров.

§ 5.2. Влияние промысла на динамику многовозрастной популяции.

5.2.1. Устойчивость системы, находящейся под действием промысла с постоянной долей изъятия.

5.2.2, Устойчивость системы, находящейся под действием неравновесного промысла.

§ 5.3. Оптимизация эксплуатации однородной популяции.

5.3.1. Оптимальное управление при постоянной доле изъятия.

5.3.2. Случай переменной доли изъятия.

§ 5.4. Влияние промысла на динамику эксплуатируемой однородной популяции.

5.4.1. Устойчивость неподвижной точки при постоянной доле промыслового изъятия.

5.4.2. Устойчивость динамики при переменной доле промыслового изъятия.-.

§ 5.5. Частные случаи модели однородной популяции, подверженной неравновесному промыслу.

5.5.1. Частный случай к=2.

5.5.2. Частный случай к=3.

§ 5.6. Верификация модели на основе данных о промысле реальных природных популяций.

5.6.1. Оценка коэффициентов для модели многовозрастной популяции.

5.6.1.1. Верификация модели по данным об уловах горбуши.

5.6.1.2. Верификация модели по данным об уловах нерки.

5.6.2. Оценка коэффициентов для модели однородной популяции.

5.6.2.1. Верификация модели по данным о заготовках полевки-экономки.

5.6.2.2. Верификация модели по данным о заготовках водяной полевки.

§ 5.7. Выводы по пятой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование математической модели динамики численности многовозрастной лимитированной популяции»

На современном этапе развития человеческого общества возникла качественно новая ситуация: антропогенное воздействие на природные системы стало сравнимо по своим масштабам с естественными явлениями и процессами. Человек активно вмешивается в протекание глобальных геофизических процессов, причем в большинстве ситуаций это вмешательство носит негативный характер: нарушение озонового слоя, исчезновение лесов и полезных ископаемых, загрязнение мирового океана и т.д. Во 2-ой половине XX века произошло резкое снижение численности многих видов рыб, что было вызвано комплексным воздействием антропогенных факторов, таких как строительство плотин, добыча строительных материалов со дна рек, химическое и тепловое загрязнение водоемов, вызванное сбросами отработанных вод с электростанций и химических соединений. Огромный урон рыбному населению наносит лесосплав по рекам. Особенно большой вред лесосплав причиняет в северных реках ценнейшим рыбам - лососевым и сиговым, откладывающим икру на дно. В результате заиливания дна и потепления воды во многих водоемах происходит полная смена ихтиофауны: длинноцикловые, более ценные рыбы замещаются на короткоцикловые, менее ценные.

Нельзя оставить без внимания и «прямое» биологическое воздействие. Мировая добыча рыбы выросла на протяжении XX века более чем в 20 раз. Результатом явился перелов многих ценных рыб: палтусов, осетровых, лососевых. Огромный урон наносит браконьерство.

Одним из важнейших способов поддержания численности ценных видов рыб является искусственное разведение, однако из-за использования ограниченного числа особей часто происходит снижение генетического разнообразия и обеднение генофонда популяции или вида. Особенно это касается видов со сложной популяционной структурой (осетровые, лососевые). К тому же молодь, выращенная на рыбоводных заводах, часто бывает менее жизнестойкой, чем молодь от естественного нереста.

Уникальность природных систем не позволяет проводить крупномасштабные эксперименты; а последствия неверного решения могут оказаться катастрофическими. В таких условиях научно обоснованное, рациональное управление экосистемами приобретает особую важность.

Основное препятствие, на которое наталкиваются исследователи при решении данной задачи, заключается в том, что большое количество и сложность взаимоотношений между компонентами природного биоценоза затрудняют детальное описание и анализ в рамках классических биологических способов исследований. Получение количественных оценок традиционными средствами экспериментальной экологии требует весьма длительного времени, по прошествии которого последствия антропогенных воздействий могут стать необратимыми.

Ясно, что глубокйй анализ и систематизация наших представлений о структуре как биоценозов в целом, так и отдельных его компонентов, требуют привлечения других средств исследования и в первую очередь методов математического моделирования.

Актуальность проблемы. Успешное и своевременное решение задач оптимального управления эксплуатацией биоценозов и их составляющих может быть получено путем объединения идей и результатов современной популяци-онной экологии (Шварц, 1980; Никольский, 1974; Одум, 1986; Шилов, 1997) с идеями и методами математического моделирования экологических процессов и систем (Шапиро, Луппов, 1983; Фрисман, 1994; Березовская, 1996; Недорезов, 1997 и др.). На базе этого синтеза необходимо разрабатывать оптимальные стратегии антропогенного воздействия на биоценозы (May, 1981; -Фрисман, Скалецкая, 1986; Абакумов, 1993).

Первым шагом на пути построения адекватной модели сложного биоценоза может служить создание тщательно разработанных моделей биосистем, состоящих из ограниченного числа составляющих. При этом необходимо создать модели, учитывающие основные процессы, протекающие в отдельных популяциях (динамика половой и возрастной структур, плотностно зависимые эффекты и т.п.), и на основе этих моделей ставить и решать задачи оптимального управления.

Разработка математических моделей популяционной динамики имеет и самостоятельный интерес, поскольку исследование характера и механизмов динамики численности популяций составляет одну из центральных проблем теоретической экологии. Наиболее актуальным является объяснение механизмов флюктуирующего - циклического и нерегулярного - поведения численности популяций. Это необходимо как для теоретического описания характера процессов, протекающих в экосистемах, так и для оптимизации практического использования биологических ресурсов промысловых видов.

В настоящей работе разрабатывается обобщенная детерминистическая модель с дискретным временем, предназначенная для анализа характера и механизмов динамики численности биологических популяций, характеризующихся наличием сложной возрастной структуры, и решения задач оптимального управления этой динамикой, а также изучения влияния промысла на характер популяционной динамики. Тема диссертационной работы связана с выполнением (при непосредственном участии автора) лабораторией математического моделирования экологических систем ИАГТУ ДВО РАН научно-исследовательских работ по теме: «Математическое моделирование и исследование популяционных и экологических систем, а также коэволюционных моделей, учитывающих как экологические, так и генетические процессы. Определение оптимальных режимов эксплуатации некоторых сообществ».

Цель и задачи исследования. Ранее многими авторами подробно исследовалась динамика численности популяций с возрастной структурой (Свирежев, Логофет, 1978), причем наиболее подробно рассмотрен случай двух возрастных групп (Домбровский, Обущенко, 1991; Недорезов, Неклюдова, 1999). Вместе с тем исследованию данной проблемы все еще далеко до завершения. Целью настоящей работы является качественное описание и количественное исследование наиболее общих характеристик и механизмов динамики численности популяций со сложной возрастной структурой, а также анализ влияния оптимального управления на популяционную динамику. В работе продолжается направление исследований, сформулированное Скалецкой, Фрисманом, Шапиро (1979) и получившее развитие в работах Сычевой (1999, 2001) и Ширковых (1999). В ходе работы решаются следующие задачи.

1. Построение обобщенной многокомпонентной математической модели популяционной динамики.

2. Анализ динамики численности неоднородной популяции, состоящей из множества возрастных классов. Аналитическое и численное исследование условий возникновения и структуры нелинейных динамических режимов (на примере тихоокеанских лососей).

3. Анализ динамики численности двухвозрастной однородной популяции. Аналитическое и численное исследование условий возникновения и структуры нелинейных динамических режимов.

4. Постановка и решение на основе построенных моделей задачи оптимизации промысла. Исследование возможных экологических последствий использования различных стратегий изъятия.

5. Оценка коэффициентов предложенных моделей на основе данных реального промысла, оценка адекватности моделей.

Научная новизна работы. В работе разрабатывается и подробно исследуется обобщенная детерминистическая модель с дискретным временем, предназначенная для анализа характера и механизмов динамики численности биологических популяций, характеризующихся наличием сложной возрастной структуры.

Разработан метод точного аналитического вычисления значений параметров системы, вызывающих бифуркационные изменения.

Развивается идеология функциональной зависимости между промысловыми усилиями и численностью многовозрастной популяции. Впервые строго показано, что если величина промысловых усилий закономерно меняется с изменением численности, то промысел может привести к дестабилизации попу-ляционной динамики, причем условия потери устойчивости зависят от промысловых параметров и слабо связаны со структурой популяции.

Практическое значение работы. Применяемая в рамках диссертации методика позволяет успешно разрабатывать и исследовать модели динамики численности многокомпонентных популяций, в том числе искусственных. Адаптация модели для конкретных эксплуатируемых видов показала, что она без значительных модификаций может быть применена для описания динамики проходных видов рыб (на примере нерки и горбуши) и мелких млекопитающих (на примере полевки-экономки и водяной полевки). Результаты, полученные при решении задачи оптимального управления, могут быть применены при разработке критериев рациональной эксплуатации биоресурсов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Российских и международных студенческих конференциях; на 3-ей международной конференции "Проблемы устойчивого развития: системный анализ в экологии" (Запорожье, 1998); на всероссийских конференциях по моделированию неравновесных систем (МНС-98, МНС-99, МНС-2000, Красноярск); на 3-ем и 4-м Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98, ИНПРИМ-2000, Новосибирск); на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998, 2000); на международной научной конференции «Рыбохо-зяйственные исследования мирового океана» (Владивосток, 1999); на международной конференции «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов, экономики)» (Красноярск, 1999); на международной конференции "Control of Oscillations & Chaos (СОС-2000)" (Санкт-Петербург, 2000) и на конференции, посвященной памяти А.А. Ляпунова (Новосибирск, 2001).

Гпава 1. Проблема динамики численности в современной популя-ционной экологии

Одной из важнейших задач, решаемых в экологии при помощи математического моделирования, является анализ временной динамики количественных характеристик биологических популяций. Такой анализ направлен прежде всего на выделение наиболее существенных факторов, определяющих популяционную динамику. При этом адекватность модели зависит не только от выбора переменных и достоверности описания природных процессов, но и от конкретного вида модели. В связи с этим важно представлять себе реальные возможности как собственно метода математического моделирования, так и конкретных видов модельных уравнений, их преимущества и недостатки.

Постановку задачи и обсуждение результатов исследования начнем с краткого обзора особенностей моделирования биосистем и сложившихся к настоящему времени подходов, используемых при моделировании популя-ционной динамики.

§ 1,1. Особенности моделирования биологических систем

Несмотря на разнообразие живых систем, они обладают общими специфическими чертами, которые необходимо учитывать при построении моделей.

Во-первых, все биологические системы являются сложными, многокомпонентными, причем отдельные элементы обладают индивидуальностью.

Во-вторых, это размножающиеся системы, т.е. способные к авторепродукции. Это важнейшее свойство живых систем определяет их способность перерабатывать неорганическое и органическое вещество для биосинтеза биологических макромолекул, клеток, организмов. В модельных уравнениях это свойство характеризуют члены, определяющие возможности роста (в нели-митированных условиях - экспоненциального) и неустойчивости стационарного состояния в локальных системах, наличия «пятнистости» и диссипативных структур в пространственно распределенных системах. Важную роль в развитии сложных пространственно-временных режимов играют процессы взаимодействия и переноса (например, конкуренция, миграции).

В-третьих, биосистемы являются открытыми. Они далеки от термодинамического равновесия и постоянно пропускают через себя потоки вещества и энергии. Поэтому живые системы должны описываться нелинейными уравнениями.

Наконец, все биологические объекты, от клеток до популяций и сообществ, имеют сложную пространственную структуру и иерархическую систему регуляции протекающих в них процессов в зависимости от внешних условий и изменения внутренних параметров. Способность к самоорганизации определяет возможность появления сложных динамических режимов в отсутствие внешних воздействий.

Кроме того, могут возникнуть определенные трудности с выделением конкретной популяции в естественных условиях. Существует множество различных определений, обозначающих факт существования популяции как целостной биологической системы, обладающей набором эмерджентных свойств, не сводимых к сумме свойств элементов. Однако многие определения трудноприменимы на практике, поскольку не дают объективных критериев для обозначения конкретных «границ» популяции. Дело в том, что эти границы в природных условиях весьма эфемерны и скорее стохастичны, чем линейны. По Н.П. Наумову (1955) все видовое население представлено сложной, многоуровневой системой территориальных группировок различного масштаба: подвиды, географические популяции, экологические популяции, элементарные популяции. В дальнейшем будем понимать под популяциеи такую совокупность особей одного вида, в которой все особи прямо связаны функциональными (в том числе репродуктивными) и информационными отношениями. Именно информационная и функциональная интеграция особей лежит в основе сложных форм внутрипопуляционных отношений, в результате которых жизненно важные свойства популяции как единой системы приводятся в соответствие с изменениями параметров среды;(Шилов, 1997).

Возможно два подхода к моделированию биологических систем. Первый - агрегированный, или феноменологический: выделяются определяющие характеристики системы (например, общая численность видов) и рассматриваются качественные свойства поведения этих величин во времени (устойчивость стационарных состояний, наличие колебаний, существование пространственной неоднородности и т.д.). Такой подход является исторически наиболее древним и свойственен динамической теории популяций. Другой подход заключается в построении имитационной модели, параметры которой имеют ясный физический и биологический смысл. Имитационные модели конкретных сложных живых систем, как правило, максимально учитывают имеющуюся информацию об объекте. Повышение производительности и быстродействия вычислительной техники, качества программного обеспечения послужило толчком к развитию этого направления. Сегодня имитационные модели применяются для описания объектов различного уровня организации живой материи - от макромолекул до биогеоценозов (см., напр, Ширкова, Ширков, 1999; Сенина, 2000). Такие модели созданы для описания физиологических процессов, происходящих в жизненно важных органах: нервном волокне, сердце, мозге и т.д. На них проигрываются сценарий процессов, протекающих в норме и при различных патологиях, исследуется влияние внешних воздействий, в том числе лекарственных препаратов. Имитационные модели широко используются для описания продукционного процесса растений, для разработки оптимально го режима выращивания растений с целью получения максимального урожая, или получения наиболее равномерно распределенного во времени созревания плодов.

К недостаткам имитационного моделирования как средства исследования можно отнести необходимость сбора как можно более полной количественной информации об объекте, что зачастую не представляется возможным. Кроме того, такие модели не дойускают аналитического исследования, и будучи предназначенными для описания конкретной биосистемы, не могут быть использованы при изучении других объектов без значительной модификации.

Преимущества феноменологического подхода к описанию популяцион-ных процессов очевидны. В математическую модель закладываются биологические представления, гипотезы о кинетических свойствах процессов (скоростях роста, размножения, гибели, интенсивностях взаимодействия). Синтезируя эту информацию, модель позволяет изучить качественно и количественно пространственно-временную структуру, формирующуюся в реальной или гипотетической биосистеме, вскрыть причинно-следственные связи. Математическое моделирование не только помогает строго формализовать имеющиеся данные наблюдений, но и провести численные исследования, предсказать дальнейшее поведение численности популяции, дать рекомендации по оптимизации управления той или иной популяцией. Это особенно важно для активно эксплуатируемых человеком природных экосистем, продуктивность которых определяется закономерностями роста популяций, их составляющих. В настоящее время математическая биология, частью которой является популяционная динамика, достигла уже того уровня развития, на котором имеется собственный формальный математический аппарат для проверки теоретических идей и представлений о законах роста и эволюции биологических видов, популяций, сообществ. Следует отметить, что математическое моделирование не подменяет собой экспериментальные исследования, а, напротив, стимулирует накопление фактического материала, уточняет направление проводимых экспериментов.

Построение моделей связано, как правило, с максимальной идеализацией природных процессов и большим количеством ограничений и допущений. . Подход к изучению природных явлений и процессов при помощи моделей предполагает описание простейших ситуаций и анализ лишь немногих факторов, наиболее существенно влияющих на изучаемое явление. Одним из достоинств метода моделирования является именно возможность вычленения и оценки роли каждого фактора в «чистом виде». Поэтому ма тематическое моделирование неизбежно предполагает анализ предельно простых схем с последующей коррекцией и обобщениями результатов на реальные системы.

Заключение диссертации по теме «Биофизика», Ласт, Елена Валерьевна

Заключение

В рамках диссертации разработана и исследована детерминистическая математическая модель многокомпонентной популяции с дискретным временем. Для общей модели найдены условия существования и устойчивости стационарных точек. Выделены области различной динамики в пространстве модельных параметров, в частном случае построен параметрический портрет системы.

Подробно проанализированы наиболее важные частные случаи основной модели:

• во-первых, исследована модель динамики численности неоднородной популяции, представленной совокупностью возрастных классов, в которой после размножения все взрослые особи погибают. В природе такая ситуация характерна для проходных видов рыб;

• во-вторых, исследована модель динамики численности однородной популяции, в которой все взрослые особи составляют единую группу. Этой модели можно поставить в соответствие популяции короткоцикловых рыб, мелких млекопитающих.

Решена задача оптимального управления для двух наиболее популярных промысловых стратегий: случая постоянной доли изъятия и случая зависимости величины промысловых усилий от текущего значения численности. Вычислены оптимальные значения промысловых параметров, исследовано влияние промысла на характер популяционной динамики.

Основные научные результаты проведенного исследования: 1. Определены условия существования и устойчивости неподвижных точек,'построены параметрические портреты для моделей динамики численности неоднородной и однородной популяций. Показано, что репродуктивный потенциал является параметром, определяющим возможность колебаний. При этом сценарий перехода «порядок-хаос» зависит от возрастной структуры.

2. Описан метод вычисления точных значений параметров, при которых в системе происходят бифуркационные изменения динамического поведения.

3. Показано, что в модели динамики численности однородной популяции невозможен переход к хаотической динамике через серию бифуркаций удвоения периода.

4. Показано, что оптимальная доля изъятия не зависит ни от стратегии промысла, ни от возрастной структуры. В случае с многокомпонентной моделью она зависит только от репродуктивного потенциала, а для модели однородной популяции - также от коэффициента выживаемости после размножения.

5. Доказано стабилизирующее воздействие промысла с постоянной долей изъятия на популяционную динамику. Показано, что неравновесный промысел сам может вызвать колебания численности, а при определенных начальных условиях - даже привести к вырождению популяции, причем границы устойчивости слабо зависят от популяционной структуры, а определяются промысловыми параметрами.

6. Оценены параметры модели эксплуатируемой популяции по данным об уловах двух видов тихоокеанских лососей: нерки и горбуши, а также по данным о заготовках водяной полевки и полевки-экономки. Показано, что нерегулярный характер динамики лососей обусловлен, по-видимому, воздействием многолетнего промысла. Для более адекватного описания динамики заготовок полевок требуется включение в модель параметров, характеризующих среду.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ласт, Елена Валерьевна, 2002 год

1. Абакумов А.И. Задачи оптимального сбора урожая в популяции с возрастной структурой // Вопросы кибернетики. Управление и оптимизация в экологических системах. - М., 1979. - Вып. 52. - С. 27-48.

2. Абакумов А.И. Управление и оптимизация в моделях эксплуатируемых популяций. Владивосток: Дальнаука, 1993.

3. Алексеев В.В. Влияние фактора насыщения на динамику системы «хищник-жертва» // Биофизика. 1973. - Т. 18. - Вып. 5. - С. 922-926.

4. Алексеев В.В. Динамические модели водных биогеоценозов // Человек и биосфера. М.: Изд-во МГУ, 1975. - Вып. 1. - С. 3-143.

5. Аникст М.Т., Фрисман Е.Я. Оптимальное управление биологической популяцией по некоторым критериям // Модели биологических сообществ. -Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1979. С. 33-50.

6. Ашихмина Е.В., Куликов А.Н. Моделирование популяционной динамики белки // Исследования по математической популяционной биолопш. -Владивосток: Институт автоматики и процессов управления ДВШД АН СССР, 1986. С. 71-81.

7. Базыкин А.Д. Модель динамики численности и проблема сосуществования близких видов // Журнал общей биологии. -1969. Т. 30. - № 3. - С. 259-264.

8. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. -М.: Наука, 1985.

9. Базыкин А.Д. Теоретическая и математическая экология: проблема опасных границ и критерии приближения к ним // Математика и моделирование. -Пущино: ОНТИ НЦБИАН СССР, 1990. С. 232-238.

10. Березовская Ф.С. Стереотипы динамики экологических систем и бифуркации в моделях // Исследования по математической биологии. Сб. научных трудов, посвященный памяти А.Д. Базыкина. Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 1996. - С. 49-60.

11. Бивертон Р., Холт С. Динамика численности промысловых рыб. М.: Пищ. пром-ть, 1969. - 248 с.

12. Викторов Г.А. Динамика численности животных и управление ею // Современные проблемы экологии. М.: Наука, 1973. - С. 88-120.

13. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1978.-286 с.

14. Воронцов А.И. Биологические основы защиты леса. М.: Высшая школа, 1963.-324 с.

15. П.Воронцов А.И. Лесная энтомология. М.: Высшая школа, 1982. - 384 с.

16. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // Успехи мат. наук, 1984. Т. 39. - Вып. 3 (237). - С. 3-37.

17. Гудман Д. Демографический подход к жестко управляемым популяциям // Биология охраны природы / Под ред. Сулея М., Уилкокса Б. М. М.: Мир, 1983.-С. 198-224.

18. Денисова Ю.К., Недорезов Л.В., Бахвалов С.А. Модель динамики численности еловой хвоевертки с учетом действия патогена // Первое международное рабочее совещание «Биоразнообразие и динамика экосистем

19. Северной Евразии: информационные технологии и моделирование» (WITA-2001). Тезисы докладов. Новосибирск, 2001. - www.sbras.ru.

20. Домбровский Ю.А. Оптимальный сбор урожая в модели популяции с перекрывающимися поколениями // Вопросы кибернетики. Управление и оптимизация в экологических системах. М., 1979. - Вып. 52. - С. 48-59.

21. Ильинский А.И. Организация надзора за хвое- и листогрызущими вредителями в лесах и прогнозирование их массовых размножений // Защита лесов от вредителей и болезней. М.: Сельхозгиз, 1961. - С.57-97.

22. Исаев А.С., Недорезов JI.B., Хлебопрос Р.Г. Бумеранг-эффект в системах хищник-жертва // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л.: Гидрометеоиздат, 1979. - С. 190-196.

23. Карнаухов А.В. Причинно-следственное моделирование при изучении явлений в нелинейных сложных системах // Материалы Всероссийской научной конференции «Нестандартный анализ и нелинейные задачи биокинетики». Пущино, 1998. - www.bio.psn.ru.

24. Кожанчиков И.В. К пониманию массовых размножений насекомых // Зоол. журнал, 1953. Т. 32. - Вып. 2. - С. 195-202.

25. Колесов Ю.С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: изд-во Ярославского университета, 1979. - С. 3-40.

26. Коновалов С.М. Популяционная биология тихоокеанских лососей. JI. : Наука, 1980.

27. Костицын В.А. Математическая биология. М., 1937.

28. Кофман Г.Б., Кравцоз Б.А., Хлебопрос Р.Г. Анализ динамики численности популяций с неперекрывающимися поколениями на фазовой плоскости // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. JI.: Гидрометеоиздат, 1978. - Т. 1. - С. 128-136.

29. Кравченко П. 3. Дискретная модель динамики численности возрастных групп самок нерки // Математическое моделирование в популяционной экологии. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1985. - С. 21-33.

30. Ласт Е.В. Обобщенная математическая модель и решение задачи оптимального управления для популяции лососевых рыб // 1-ая Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Тезисы докладов. Владивосток, 1997. - С.33.

31. Ласт Е.В. Построение, верификация и исследование модели популяционной динамики рыб лососевых пород дальневосточного региона. // Молодежь и научно-технический прогресс. Материалы региональной научной конференции. Владивосток, 1998. - С. 99.

32. Ласт Е.В. Оптимальное управление популяцией лососевых рыб в случае зависимости промыслового изъятия от плотности. // 2-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Тезисы докладов. Владивосток, 1998. - С.16.

33. Ласт Е.В. Эволюция характера динамики численности тихоокеанских лососей. // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Владивосток, 1998. - С.51.

34. Ласт Е.В. Стабилизация популяционной динамики однородной популяции под действием промысла // Моделирование неравновесных систем (МНС2000). Всероссийская конференция. Тезисы докладов. Красноярск, 2000. -С. 144.

35. Ласт Е.В. Исследование динамики численности однородной популяции // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Владивосток, 2000. - С. 72-73.

36. Ласт Е.В., Луппов С.П., Фрисман Е.Я. Динамическая неустойчивость в математической модели динамики численности популяций лососевых видов рыб // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука, 2001,-Т. 2.-№1.-С. 114-125.

37. Ласт Е.В., Сычева Э.В. Влияние промысла на характер популяционной динамики дальневосточных лососей. // Рыбохозяйственные исследования мирового океана. Труды международной научной конференции. -Владивосток, 1999. С. 35-37.

38. Левитин В.В. Изображение траекторий динамических систем на ЭВМ типа IBM PC/XT. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1988. - 26 с.

39. Луппов С.П. О поведении циклов при изменении параметров системы // Модели биологических сообществ. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1979. -С. 51-54.

40. Лэк Д. Численность животных и ее регуляция в природе. М.: ИЛ, 1957. -404 с.

41. Максимов А.А. Динамика численности и ритмы эпизоотий у грызунов в сопоставлении с циклами солнечной активности // Влияние солнечной активности на атмосферу Земли. М.: Наука, 1971. - С. 61-74.

42. Максимов А.А. Многолетние колебания численности животных, их причины и прогноз. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1984.

43. Макфедьен Э. Экология животных. М.: Мир, 1965. - 375 с.

44. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. - 312 с.

45. Наумов Н.П. Экология животных. М.: Высшая школа, 1955.

46. Недорезов Л.В. Моделирование вспышек массовых размножений насекомых. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1986. - 126 с.

47. Недорезов Л.В. Лекции по математической экологии. Новосибирск: Сибирский хронограф, 1997. - 161 с.

48. Недорезов Л.В. Назаров И.Н. Непрерывно-дискретные модели динамики изолированной популяции и двух конкурирующих видов // Журнал общей биологии. 2000. - Т. 31 • - №1.

49. Недорезов Л.В., Неклюдова В.Л. О некоторых непрерывно-дискретных моделях элементарных экосистем. Новосибирск: НГУ, 2000. - 48 с.

50. Непомнящих В.А. Фрактальные структуры в динамике золотой рыбки, Carassius auratus L. (Cyprinidae: Pisces) // Журнал общей биологии. 1998. -Т. 59. - № 5.

51. Никольский Г.В. Теория динамики стада рыб. М.: Пищ. пром-ть, 1974. -367 с.62,Одум Ю. Основы экологии: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. - 742 с.бЗ.Одум Ю. Экология. М.: Мир, 1986. - Т. 1 - 2.

52. Перцев Н.В. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций // Вестник Омского университета. 1996. - Вып.1. - С. 24-26.

53. Полуэктов Р.А. Динамическая теория биологических популяций. М.: Наука, 1974.

54. Попадюк Р.В., Чумаченко С.И. Имитационная биоэкологическая модель развития многовидового разновозрастного древостоя У/ Биологические науки. 1991. - Т. 8. - С. 67-77.

55. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. -М.: Наука, 1983. 181 с.

56. Рикер У.Е. Методы оценки и интерпретация биологических показателей популяций рыб. М.: Пищ. пром-ть, 1979. - 408 с.

57. Руднев Д.Ф. О причинах массовых размножений вредителей леса // Зоол. Журнал. 1962. - Т. 41. - Вып. 3. - С. 313-329.

58. Рулье К.Ф. Жизнь животных по отношению к внешним условиям. М., 1952. - 121 с.

59. Русанов Я.С. Охота и охрана фауны (Влияние охоты на структуру популяций охотничьих угодий). М.: Лесн. пром-ть, 1973. - 144 с.

60. Сафонов Л.А. Управление системами, стабилизируемыми вибрацией // «Нестандартный анализ и нелинейные задачи биокинетики». Материалы Всероссийской научной конференции. Пущино, 1998. - www.bio.psn.ru.

61. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. -М.: Наука, 1978. 352 с.

62. Свирежев Ю.М., Тимофеев Н.Н. О регулировании численности популяции с возрастной структурой // Журнал общей биологии. 1980. - Т. 41. - № 2. - С. 200-209.

63. Северцев С.А. Проблемы экологии животных. М.: Изд-во АН СССР, 1951. -Т. 1.-172 с.

64. Сенина И.Н. Имитационное моделирование популяции Азовского судака // Материалы II научной конференции молодых ученых. Ростов, 2000. -www.math.rsu.nl.

65. Скалецкая Е.И. Оптимальная стратегия управления эксплуатируемой популяцией с циклически меняющимся параметром // Математическое моделирование в популяционной экологии. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1985. -С. 72-80.

66. Скалецкая Е.И. Оптимальное однопараметрическое управление для популяций с единственным устойчивым стационарным состоянием // Исследования по математической популяционной биологии. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1986.-С. 39-49.

67. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Климова З.В. Математическая модель динамики численности популяции пятнистых оленей // Исследования по математической популяционной экологии. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1983. - С. 18-27.

68. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Кузин А.Е. Математическая модель динамики численности популяции северного морского котика // Известия ТИНРО. Владивосток, 1981. - Т. 105. - С. 130-145.

69. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. М.: Наука, 1979. - 166 с.

70. Тузинкевич А.В. Переход к хаотическому поведению в простой интегральной модели динамики численности // Журнал выч. матем. и матем. Физики. 1989. - Т. 29. - №4. - С. 608-614.

71. Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. Количественный подход. М.: Мир, 1971. - 463 с.

72. Фейгенбаум М. Универсальность и поведение нелинейных систем // Успехи физических наук. 1983. - Т. 141. Вып. 2. - С. 343-374.

73. Формозов А.Н. Колебания численности промысловых животных. M.-JL: КОИЗ, 1935. - 102 с.

74. Формозов А.Н., Наумов Н.П., Кирис И.Б. Изучение колебаний численности промысловых животных и организация «прогнозов урожая» в охотничьем хозяйстве СССР.// Зоол. журнал. 1942. - Т. 21. - Вып.6. - С. 251-258.

75. Фрисман Е.Я. О механизме сохранения неравномерности в пространственном распределении особей // Математические модели в экологии. М.: Наука, 1977. - С. 145-153.

76. Фрисман Е.Я. Об одной модели динамики численности // Модели биологических сообществ. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1979. - С. 23-27.

77. Фрисман Е.Я. Математические модели динамики численности с непрерывным, дискретным и дискретно-непрерывным временем //

78. Математические и вычислительные методы в биологии. Тезисы докладов Всесоюзного семинара. Пущино: НЦБИ АН СССР, 1985.

79. Фрисман Е.Я. Странные аттракторы в простейших моделях динамики численности популяции с возрастной структурой // ДАН. 1994. - Т. 338. -№2. - С. 282-286.

80. Фрисман Е.Я. Эволюция характера динамики численности популяции: переход к хаосу // Исследования по математической биологии. Сб. научных трудов, посвященный памяти А.Д. Базыкина. Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 1996. - С. 75-87.

81. Фрисман Е.Я., Лайт Е.В. Бифуркации и хаотические изменения численности тихоокеанских^лососей. // Моделирование неравновесных систем (МНС-98). Тезисы докладов Всероссийской конференции. Красноярск, 1998.

82. Фрисман Е.Я., Ласт Е.В. Неустойчивость сложноструктурированной популяции, вызванная промыслом. // Моделирование неравновесных систем (МНС-99). Тезисы докладов Всероссийской конференции. Красноярск, 1999.

83. Фрисман Е.Я., Скалецкая Е.И. Оптимальное управление биологическими ресурсами // X Всесоюзное совещание по проблемам управления. Тезисы докладов. М., 1986. - Кн. 2. - С. 392-393.

84. Фрисман Е.Я., Сычева Э.В. Математическая модель динамики численности однородной популяции с дискретно-непрерывным временем // Дальневосточный математический сборник. Владивосток: Дальнаука, 1998. -Вып. 6. - С. 149-157.

85. Фрисман Е.Я., Сычева Э.В., Израильский Ю.Г. Динамическая неустойчивость популяции промыслового вида, связанная с воздействием промысла И ДАН. 2001. - Т. 380. - № 3. - С. 425-429.

86. Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М: Мир, 1985. - 423 с.

87. Хенон М. Двумерное отображение со странным аттрактором // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. - С. 152-163.

88. Чигиринский А.И. Промысел тихоокеанских лососей в Беринговом море /У Экология и трофические связи промысловых рыб дальневосточных морей: Известия ТИНРО. 1994. - Т. 116. - С. 142-151.

89. Чумаченко С.И. Моделирование динамики разновозрастного многовидового лесного ценоза // Журнал общей биологии. 1998. - Т. 59. -№ 4.

90. Шапиро А.П. К вопросу о циклах в возвратных последовательностях // . Управление и информация. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1972. - Вып. 3. -С. 96-118.

91. Шапиро А.П. Математические модели конкуренции // Управление и информация. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1974. - Вып. 10. - С. 5-75.

92. Шапиро А.П. О существовании первой серии бифуркаций однопараметрического семейства функций // Дифференциальные уравнения" и функциональный анализ. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1980. - С. 6-12.

93. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии. М.: Наука, 1983. - 132 с.

94. Шарковский А.Н. Существование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. - Т. 16. - № 1. -С. 61-71.

95. Шарковский А.Н. О циклах и структуре непрерывного отображения // Украинский математический журнал. 1965. - Т. 17. - № 3. - С. 104-111.

96. Шарковский А.Н. Разностные уравнения и динамика численности популяций. Киев, 1982. - 21 с. (Препринт Института математики АН УССР: 82.12).

97. Шаров А А. Моделирование динамики численности популяций насекомых // Итоги науки и техники. Серия "энтомология". М., ВИНИТИ, 1986. - Т. 6. - С. 3-115.

98. Шилов И.А. Экология. М.: Высшая школа, 1997.

99. Шипилова О.С. Возможности системы аналитических вычислений MAPLE для изучения моделей популяционной динамики К Материалы II научной конференции молодых ученых. Ростов, 2000. - www.math.rsu.ru.

100. Элтон Ч. Экология нашествия растений и животных. М.: ИЛ, 1960.

101. Яблоков А.В. Переход от промысла к хозяйству как главная из долгосрочных проблем изучения морских млекопитающих К Материалы VI Всесоюз. совещ. по морским млекопитающим. Киев: Наукова думка, 1975. -Ч. 2.-С. 188-189. ;

102. Яблоков А.В., Назаренко Ю.И. Поддержание оптимальной возрастно-половой структуры основа рациональной эксплуатации популяции гренландского тюленя // Экология. - 1986. - № 2. - С. 51-56.

103. Якобсон М.В. О свойствах динамических систем, порождаемыхотображением вида х —> Ахе // Моделирование биологических сообществ. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1975. - С. 141-162.

104. Anikst М.Т., Frisman E.Ya. Optimum control criteria for population number dynamics and degeneration // IF AC workshop on urban, regional and national planning (ANRENAP). Environmental aspects. Kyoto, 1977.

105. Berezovskaya F.S., Khlebopros R.G. Parametric domains of visualized stochastics on forest insect model dynamical regimes // Proceeding of International conference on Dynamical Systems and Chaos. Tokyo, 1994.

106. Cook L.M. Oscillation in the simple logistic growth model // Nature. 1965. -V. 207.-P. 316-317.

107. Cull P. The problem of time unit in Leslie's population model // Bull. Math. Biol. 1984. - V. 42. - № 5. - P. 719-727.

108. Doubleday W.G. Harvesting in matrix population models // Biometrics. 1975. -V. 31.-P. 189-200.

109. Farmer J.D., Ott E., Yorke J. A. The dimension of chaotic attractors // Physica 7D. 1983.-P. 153-170.

110. Frisman E.Ya. Differences in densities of individuals in populations with uniform ranges // Ecolog. Model. 1980. - V. 8. - P. 345-354.

111. Getz W.M. Harvesting models and stock recruitment curves in fisheries management // Lect. Notes. Biomath. 1980. - V. 33. - P. 284-304.

112. Guckenheimer J. Noise in chaotic systems 11 Nature. 1982. - № 298,.- P. 358.

113. Harwood J.W., Shepherd J.G. The sensitivity of age-structured populations to environmental variability// Math. Biosciences. 1981. - V. 57. - № 1-2. - P. 5982.

114. Hassel M.R. Density dependence in single-species populations // J. Anim. Ecol. 1975. - V. 44.-P. 283-295.

115. Hassel M.R., Lawton J.H., May R.M. Patterns of dynamical behavior in single-species populations// J. Anim. Ecol. 1976. - V. 45. - № 2. - P. 471-486.

116. Henon M. A Two-dimensional map with a strange attractor // Commun. Math. Phys. 1976.-50.-P. 69.

117. Holmes P.J. (ed.) New approaches to nonlinear problems in dynamics // SIAM. Philadelphia, PA, 1981.

118. Holmes P.J. Bifurcation sequences in horseshoe maps: infinitely many routes to chaos // Phys. Letters. 1984. - A 104 (6, 7). - P. 299-302.

119. Hutchinson G.E. Circular causal systems in ecology // Ann. N. Y. Academy of Sciences. 1948. - V. 50. - P. 221-246.

120. Lange R. The momentum of a population whose birth rates gradually change to replacement levels // Math. Biosci. 1978. - V. 40. - № 3-4. - P. 225-231.

121. Leslie P.H. On the use of matrices in certain population mathematics // Biometrica. 1945. - У.'ЗЗ. - № 3.- P. 183-212.

122. Leslie P.H. Some further notes on the use of matrices in population mathematics // Biometrica. 1948. - V. 35. - № 3-4. - P. 213-245.

123. Li T.Y., Yorke J.A. Period three implies chaos // Amer. Math. Monthly. -1975. -V. 82. № 10. -IP. 985-992.

124. Lotka A.J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams&Wilkins, 1925. -460 p.

125. Mai thus T.R. An essay on the principle of population. London: Johnson, 1793.

126. May R.M. On relationships among various types of population models // Amer. Natur. 1972. - V. 107. - P. 46-57.

127. May R.M. Biological populations with non-overlapping generations: stable points, stable cycles and chaos // Science. 1974. - V. 186. - P. 645-647.

128. May R.M. Gree-Ojibwa hunting and the hare-lynx cycle // Nature. 1980. - V. 286. - № 5769. - P. 108-109.

129. May R.M., Conway G.R., Hassell M.R. South wood T.R.E. Time delayes, density dependence and single-species oscillations // J. Anim. Ecol. 1974. - V. 43. 3. - P. 747-770.'

130. May R.M., Oster G.F. Bifurcations and dynamic complexity in simple ecological models // Amer. Natur. 1976. - V. 110. - № 974. p. 573-599.

131. Maynard Smith J. Mathematical ideas in biology. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1968.

132. Maynard Smith J. Models in ecology. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1974.

133. Metz J.A.J., Denkman O. The Dynamics of Physiologically structured populations // Lecture Notes in Biomath. Springer, 1986. - № 68.

134. Moran P.A.P. Some remarks on animal population dynamics // Biometrics. -1950.

135. Nicholson A.J. The balance of animal populations // J. Anim. Ecol. 1933. - V. 2. -№ 1. - P. 132-178.

136. Nicholson A.J. An outline of the dynamics of animal populations // Australian J. Zoology. 1954. - V. 2. - P. 9-65.

137. Nusse H.E. Complicated dynamical behaviour in discrete population models // New Arch. Wish. 1984. - Ser. 4. - V. 2. - № 1. - P. 43-81.

138. Oster G. Predicting populations // Amer. Zool. 1981. - V. 21. - № 4. - P. 831 -844.

139. Pearl R. The growth of populations // Quart Rev. Biol. 1927. - V. 2. - P. 532548.

140. Pearl R. The biology of population growth. N.-Y,: A.A. Kuopf, Inc., 1930.

141. Pearl R., Reed L.G, On the rate of growth on the population of the United States since 1790 and its mathematical representation // Proc. Nat. Acad. Sci. (Wash). 1920. - V. 6. - P. 275-288.

142. Petrovskiy S.V., Shirshov P.P. Modeling of populational bursts in a marine biological community // "Nonlinear Phenomena in Biology". Proc. of the Conference. Pushchino, 1998. - www.bio.psn.ru.

143. Reed W.J. Optimum agespecific harvesting in a nonlinear population model // Biometrics. 1980. - V. 36. - № 4. - P. 579-593.

144. Richer W.E. Stock and recruitment // Th. J. Fisheries Res. Bard. Can. 1954. -V. 11. -№5. - P. 559-623.

145. Shapiro A.P., Skaletskaya E.I. The existence of optimal strategy in the exploitation of limited biocenosis // Ecolog. Models. 1982. - V. 17. - P. 113-120.

146. Silvert W. Anomalous enhancement of mean population levels by harvesting // Math. Biosci. 1978. - P. 253-256.

147. Smith H.S. The role of biotic factors in the determination of population densities // J. Ecol. Ent. 1935. - V. 28. - P. 873-898.

148. Sykes Z.M. On discrete stable population theory // Biometrics. 1969. - V. 25. - № 2. - P. 285-293.

149. Tsyganov M.A., Kiesteva I.B., Aslanidi G.V. et al. A mechanism of the formation of fractal-like patterns in the populations of Motile Bacteria // "Nonlinear Phenomena in Biology". Proc. of the Conference. Pushchino, 1998. -www.bio.psn.ru.

150. Usher M.B. Developments in the Leslie matrix model // Mathematical models in ecology. 12-th Symp. Brit. Ecol. Soc. / Ed. J.N.R. Jeffers. Oxford: Blackwell, 1972. - P. 29-60.

151. Utida S. Pamped oscillation of population density et equilibrium // Res. Pop. Ecol.- 1967.-V. 9.- P. 1-9.

152. Verhulst P.F. Notice sur la loi gue la population suit dans son accroissement // Corresp. Math. Etphys.- 1838.-V. 10.-P. 113-121.

153. Volterra V. Variazone e fluttuazini del numero d'individui in specie animale conviventi // Mem. Acad. Naz. Lincei. 1926. - Ser. 6. - V. 2. - P. 31-113.

154. Volterra V. Lecons sur ta theorie mathematigue de la lutte pour la vie. Paris: Gauthiers-Viellars, 1931.

155. Waloff Z. The upsurges and recessions of the desert locust, an historical survey // Antilocust Mem. London, 1966. - № 8.

156. Weinstein M.S. Hares, iynx and trappers // Amer. Natur. 1977. - V. 111. - № 980. - P. 806-808.

157. Wolf A. Quantifying Chaos with Lyapunov Exponents // Nonlinear Sci. Theory Appl. / Ed. A.V. Hoi den. Manchester Univ. Press, 1984.

158. Wolf A., Swift J.В., Swirmey H.L. and Vasano J.A. Determining Lyapunov Exponents from a Time Series // Physica. 1985. - 16 D. - P. 285-317.