Развитие метода конечных элементов для расчета систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Осокин, Андрей Владимирович

• Осокин, Андрей Владимирович
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Осокин, Андрей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ

ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ.

1Л. Точная матрица жесткости конечного элемента с поперечным сечением открытого профиля на основе теории проф. В.З. Власова.

1.2. Использование приближенной модели тонкостенного стержня для построения матрицы жесткости и ее уточнение.

1.3. Исследование точности элементов матрицы жесткости тонкостенного стержня, полученных на основе различных моделей.

1.4. Решение некоторых задач статики тонкостенных стержней и стержневых систем и оценка точности полученных решений.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЖЕСТКОСТИ ДЛЯ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.

2.1. Механический смысл матрицы геометрической жесткости и ее применение при решении задач продольно-поперечного изгиба и устойчивости стержней.

2.2. Уравнения устойчивости сжатого стержня В.З. Власова и получение на их основе матрицы геометрической жесткости.

2.3. Матрица геометрической жесткости тонкостенного стержня открытого профиля.

2.4. Решение некоторых задач устойчивости с использованием полученной матрицы геометрической жесткости.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ СОГЛАСОВАННЫХ МАСС ДЛЯ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ

КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СИСТЕМ.

ЗЛ. Уравнения колебаний тонкостенного стержня В.З. Власова и получение на их основе матрицы инерционных характеристик.

3.2. Матрица согласованных масс тонкостенного стержня открытого профиля.

3.3. Решение некоторых задач определения спектра собственных колебаний стержней и стержневых систем с поперечным сечением открытого профиля.

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ УЧЕТА ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ В ЗАДАЧАХ СТАТИКИ СТЕРЖНЕВЫХ

ТОНКОСТЕННЫХ СИСТЕМ.

4 Л. Алгоритм итерационного процесса решения физически нелинейной задачи по методу дополнительных нагрузок.

4.2. Вычисление дополнительных реакций для тонкостенного стержня открытого профиля.

4.3. Отработка полученной методики и анализ точности решения физически нелинейных задач.

4.4. Решение некоторых задач упругопластического деформирования для консольного двутаврового стержня и сравнение полученных результатов с данными эксперимента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие метода конечных элементов для расчета систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля»

Актуальность проблемы. В настоящее время при сооружении строительных и транспортных конструкций используются сложные пространственные системы, включающие тонкостенные стержни с открытым профилем поперечного сечения. Как известно, деформирование таких стержней сопровождается появлением значительных напряжений, вызванных стесненным кручением. Жесткость стержней открытого профиля существенно отличается от жесткости стержней закрытого профиля, однако, первый тип сечений имеет по сравнению со вторым ряд технологических преимуществ.

В качестве примера таких сложных пространственных конструкций рассмотрим оболочку покрытия здания и вантовый мост. Далее подробнее остановимся на особенностях работы этих конструкций.

Общий вид стержневой конструкции оболочки покрытия здания для торжественных приемов терминала аэродрома приводится ниже на рис. 1.

Рис. 1. Стержневая оболочка покрытия здания

Ниже на рис. 2 показана стержневая пространственная конструкция оболочки с указанием характерных геометрических размеров: в плане 124 х 70 м, максимальная высота сооружения 18 м.

Рис. 2. Геометрические параметры стержневой системы При эскизном проектировании в 2005 году, в котором принимал участие автор настоящей работы, под руководством профессоров A.B. Александрова и В.И. Травуша, в качестве основного элемента конструкции был принят стержень с поперечным сечением в виде сварного двутавра с высокой стенкой. Поперечное сечение стержня с указанием основных геометрических размеров показано на рис. 3 (все размеры в мм).

Рис. 3. Поперечное сечение стержня Размеры этого двутавра подбирались из статических расчетов на нагрузку от собственного веса и снеговой нагрузки по нормам СНиП.

При проведении поверочных расчетов на устойчивость (с использованием программного комплекса МЗС/Иаз^ап) возникли проблемы, связанные с учетом эффектов стесненного кручения. В ходе этих расчетов было установлено, что критической нагрузке отвечает форма потери устойчивости, связанная с изгибом стержня, находящегося в месте опорного закрепления (наиболее нагруженный элемент). На рис. 4 показана форма потери устойчивости этого элемента.

Рис. 4. Форма потери устойчивости При выполнении этого расчета использовался обычный стержневой элемент, для которого жесткость на кручение подсчитывалась как жесткость при свободном кручении. Полученные результаты вызвали недоверие в достоверности, так как хорошо известным фактом является то, что тонкостенные стержни открытого профиля могут терять устойчивость по изгибно-крутильным формам при критических нагрузках существенно меньших, чем чисто изгибные формы.

Устойчивость наиболее нагруженного стержня конструкции исследовалась с использованием пластинчатой конечно-элементной модели, показанной на рис. 5.

Рис. 5. Конечно-элементная модель стержня

Определялся спектр критических нагрузок и форм потери устойчивости. В ходе расчета было установлено, что практически значимая изгибная форма потери устойчивости, соответствует 50 форме.

Проведенные расчеты отдельного стержня приводят к выводу, что попытка исследования устойчивости этой сложной конструкции с использованием пластинчатых конечных элементов на имеющихся в распоряжении инженера-проектировщика вычислительной технике не представляется возможным как с точки зрения размерности модели, так и временных затрат на решение.

В качестве второго примера конструкции, при расчете которой был необходим учет эффектов стесненного кручения, приведем построенный и принятый в эксплуатацию вантовый мост через реку Шайтанка в городе Салехарде. Фотография этого моста показана ниже на рис. 6.

Рис. 6. Байтовый мост в городе Салехарде через реку Шайтанка

Поперечное сечение балки жесткости этого моста представляет собой открытый профиль в виде швеллера (две вертикальные главные балки и горизонтальная проезжая часть). При проектировании данного сооружения не было уделено достаточного внимания исследованию динамической работы конструкции. В результате эксплуатации данного сооружения был зафиксирован повышенный уровень вибрации в помещении ресторана, расположенном наверху пилона, что привело к его временному закрытию.

Отмеченные выше особенности работы сложных пространственных стержневых систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля, подтверждают актуальность выбранной темы диссертационной работы - развития методов и алгоритмов расчета стержневых систем с элементами открытого профиля на прочность, устойчивость и колебания. Данная работа выполнялась в рамках гранта Российской академии архитектуры и строительных наук по теме: «Исследование проблем компьютерного моделирования общей устойчивости конструкций зданий и сооружений» в 2006 и 2007 годах.

Аиализ состояния проблемы

Историю развития теории расчета стержней и стержневых систем с тонкостенным поперечным сечением с момента появления первых исследований в этой области и по настоящее время можно разделить на три основных этапа. Первый этап (1905 - 1940 гг.) - первые экспериментальные и теоретические работы, касающиеся в основном эффектов возникновения дополнительных напряжений стесненного кручения при изгибе балок и решение некоторых простейших задач устойчивости сжатых стержней, а также устойчивости равновесия плоской формы изгиба. Второй этап (1940 -1970 гг.) связан с созданием достаточно полной теории деформирования тонкостенных стержней с углубленным изучением задач прочности, устойчивости и колебаний. Третий этап (1970 - по настоящее время) связан с появлением и совершенствованием вычислительных средств, а также развитием наиболее эффективного метода машинного расчета конструкций -метода конечных элементов (МКЭ).

Основоположником теории расчета тонкостенных стержней следует считать проф. С.П. Тимошенко, который занимался вопросом изгиба и кручения тонкостенных стержней в связи со своей работой по устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки [52]. В 1905 году вывел формулу угла закручивания консольного двутаврого стержня, проверив ее также опытным путем. В 1910 году проф. С.П. Тимошенко опубликовал общее уравнение для угла закручивания шарнирно опертой двутавровой балки [53].

Существенный вклад в развитие теории стесненного кручения тонкостенных стержней открытого профиля внесли немецкие ученые: Бах [59], Вебер [126], Вагнер [121], Блейх [64] и другие. Однако, наиболее полная теория расчета любых тонкостенных стержней открытого профиля была разработана выдающимся советским механиком проф. В.З. Власовым в 1932 - 1937 гг.

Свою теорию расчета тонкостенных стержней на прочность, устойчивость и колебания проф. В.З. Власов опубликовал в 1940 году в книге

Тонкостенные упругие стержни» [12], получившей широкую известность в инженерной среде.

В послевоенный период в связи с бурным развитием авиастроения, судостроения, транспортного машиностроения различные аспекты и особенности деформирования тонкостенных стержней открытого и закрытого профилей были исследованы в работах известных советских ученых: A.A. Уманского [56], А.Р. Ржаницына [34,35,36,37], Д.В. Бычкова [7,8,9,10,11], АЛ. Гольденвейзера [16], Г.Ю. Джанелидзе [17,18,19], Я.Г. Пановко [30], A.C. Вольмира [15], В.В. Болотина [6], В.Б. Мещерякова [24,25,26,27]. Следует отметить работы проф. А.И. Стрельбицкой и ее соавторов [43,44,45,46,47,48,49,50,51], в которых особое внимание уделялось экспериментальным исследованиям и сравнению результатов экспериментов с теоретическими расчетами.

В дальнейшем рассматриваемая теория получила свое развитие в применении классических методов строительной механики (метода сил и метода перемещений) к расчету плоско-пространственных и пространственных стержневых систем и рам. Здесь следует отметить работы Д.В. Бычкова, а также ученых МИИТа: В.И. Урбана, П.Г. Проскурнева, A.B. Александрова, В.Б. Мещерякова, В.Д. Потапова, М.А. Гурковой.

В связи с появлением и развитием средств вычислительной техники сначала 50-х годов прошлого столетия стали появляться работы по расчету строительных конструкций, состоящих из стержней, пластин и оболочек с использованием матричных методов вычисления. Здесь следует отметить работы Дж. Аргириса [4] и А.Ф. Смирнова [40]. Позднее на основе этих работ сформировался особый метод расчета конструкций - метод конечных элементов (1960 г.). Основы МКЭ и его приложения к расчету различных конструкций обсуждаются в книгах: Дж. Пшеминецкого [104], О. Зенкевича [20], Л.А. Розина [38], Дж. Одена [29], В.А. Постнова [31,32,33], Р. Клафа и Дж. Пензиена [21], Р. Галлагера [76], К. Бате и Е. Вилсона [5], Д. Сегерлинда [39] и других авторов.

Одной из первых публикаций, посвященной расчету тонкостенного стержня с применением метода конечных элементов, следует считать работу 1970 года Р. Барсума и Р. Галлагера [60]. В ней рассматривалось решение задачи об устойчивости плоской формы равновесия тонкостенного стержня открытого профиля при чистом изгибе. После этого стали появляться работы, посвященные применению конечно-элементного анализа к расчету систем, содержащих тонкостенные стержни открытого профиля. Среди них следует упомянуть работы П. Базента [61], С. Райсехарана [105,106,107], И.Я. Хархурима [31], А.Р. Туснина [55] и других авторов. В этих работах рассматриваются вопросы статики, динамики и устойчивости на основе применения различного рода подходов и моделей. Вместе с тем некоторые проблемы расчета стержневых систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля, в конечно-элементной постановке требуют проведения дополнительных исследований.

Цели и задачи исследования

Цель диссертационной работы состоит в развитии метода конечных элементов как для линейно-упругих систем, так и систем упругопластических, включающих тонкостенные стержни открытого профиля. Практически значимой является задача разработки на основе стержневой модели алгоритмов и программного обеспечения расчета многоэлементных систем тонкостенных стержней с открытым профилем поперечного сечения на прочность, устойчивость и колебания по теории В.З. Власова. Также важной проблемой является разработка методики анализа такого рода систем, выполненных из упругопластического материала, с целью оценки степени развития в них пластических деформаций.

Обоснованность и достоверность научных положений

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обосновывается использованием известных алгоритмов численного решения задач механики твердого деформируемого тела и метода конечных элементов. Также в диссертации приводится сравнительный анализ решений многих задач, некоторые из которых имеют точное аналитическое решение. Решения задач упругопластического деформирования тонкостенного стержня сравниваются с результатами экспериментальных исследований.

Научная новизна

Научная новизна состоит в полученных алгоритмах решения задач прочности, устойчивости и колебаний систем с тонкостенными стержнями открытого профиля. Разработаны методика и алгоритмы построения матриц упругой жесткости конечного элемента тонкостенного стержня открытого профиля, при этом рассмотрены точная, приближенная и уточненная модели. Выбрана наиболее эффективная с точки зрения точности и вычислительных затрат уточненная модель. На ее основе предложен алгоритм построения матрицы геометрической жесткости применительно к случаю центрального и внецентренного сжатия или растяжения. Также получена матрица масс для решения задач колебаний. Для решения задач упругопластического деформирования тонкостенных стержней открытого профиля разработана методика и алгоритм итерационного поиска дополнительных нагрузок метода упругих решений.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Осокин, Андрей Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны методика и алгоритмы построения матриц упругой жесткости конечного элемента тонкостенного стержня открытого профиля, при этом рассмотрены точная, приближенная и уточненная модели и проведен их сравнительный анализ.

2. На основе предложенной модели конечного элемента тонкостенного стержня построена матрица геометрической жесткости применительно к случаю центрального и внецентренного сжатия или растяжения, а также поперечного изгиба.

3. Получена матрица инерционных характеристик для решения задач собственных колебаний систем, состоящих из тонкостенных стержней открытого профиля.

4. Разработаны методика и алгоритмы исследования деформированного состояния тонкостенных стержней открытого профиля в упругопластической стадии.

5. Разработанные алгоритмы реализованы в виде программы по расчету плоско-пространственных систем из тонкостенных стержней открытого профиля на прочность, устойчивость и колебания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Осокин, Андрей Владимирович, 2010 год

1. Александров A.B., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. -М.: Высшая школа, 1995. 560 с.

2. Александров A.B., Потапов В.Д. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности. Изд.2, исправл. М.: Высшая школа, 2002. - 400 с.

3. Александров A.B., Потапов В.Д., Зылев В.Б. Строительная механика. Кн. 2. Динамика и устойчивость упругих систем. — М.: Высшая школа, 2008.-384 с.

4. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: Стройиздат, 1968. - 241 с.

5. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 447 с.

6. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: Гостехиздат, 1956.-600с.

7. Бычков Д.В. Совместное действие изгиба и кручения в металлических балках. -М.: Стройиздат, 1940. 134 с.

8. Бычков Д.В., Мрощинский А.К. Испытание металлической балки П-образного сечения. М.: Стройиздат, 1944. - 154 с.

9. Бычков Д.В., Мрощинский А.К. Кручение металлических балок. М.: Стройиздат, 1944. — 260 с.

10. Бычков Д.В. Расчет балочных и рамных стержневых систем из тонкостенных элементов. М.: Стройиздат, 1948. - 208 с.

11. П.Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. -М.: Стройиздат, 1962. 476 с.

12. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. -М.: Стройиздат, 1940.

13. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. -М.: Физматгиз, 1959. 568 с.

14. Власов В.З. Избранные труды. — М.: Наука, 1964. 955 с.

15. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. - 880 с.

16. Гольденвейзер A.JI. О теории тонкостенных стержней. М.: Стройиздат, 1949.-193 с.

17. Джанелидзе Г.Ю. Вариационная формулировка теории тонкостенных упругих стержней В.З. Власова // Прикладная математика и механика, 1943, Т.VII., вып. 6, с. 455-462.

18. Джанелидзе Г.Ю. Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. М.: Гостехиздат, 1948.-208 с.

19. Джанелидзе Г.Ю. К теории тонких и тонкостенных стержней // Прикладная математика и механика, 1949, Т. XIII., вып. 6, с. 597-608.

20. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

21. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. -319 с.

22. Межлумян P.A. Изгиб и кручение тонкостенных цилиндрических оболочек за пределом упругости. 1950.

23. Межлумян P.A. Пространственная устойчивость конструкций при упруго-пластических деформациях. 1953.

24. Мещеряков В.Б. К теории устойчивости тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов. Тр. МИИТ, 1968, вып. 260.

25. Мещеряков В.Б. О влиянии сдвигов на упругую устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля. Тр. МИИТ, 1971, вып. 364.

26. Мещеряков В.Б. Динамическая устойчивость центрально сжатого стержня с учетом частотно-независимого внутреннего трения. Тр. МИИТ, 1975, вып. 476.

27. Мещеряков В.Б., Чефанова Е.В. Динамика тонкостенных стержней открытого профиля. Вестник МИИТа, №3, 2000. с. 123-130.

28. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

29. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

30. Пановко Я.Г. Тонкостенные стержни и системы, составленные из тонкостенных стержней. -М.: Госстройиздат, 1957.

31. Постнов В. А., Хархурим И .Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 287 с.

32. Постнов В.А. Численные методы расчетов судовых конструкций. — JL: Судостроение, 1977. 245 с.

33. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Радионов A.A. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. JL: Судостроение, 1977.-315 с.

34. Ржаницын А.Р. Экспериментальное исследование внецентренно-сжатых тонкостенных стержней. 1939.

35. Ржаницын А.Р. Сложное сопротивление тонкостенных профилей с недеформируемым контуром в пределах и за пределом упругости. 1941.

36. Ржаницын А.Р. Устойчивость тонкостенных стержней за пределом упругости. -М.: Стройиздат, 1941.

37. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М.: Стройвоенмориздат, 1949.

38. Розин JI.A. Метод конечных элементов. JL: Энергия, 1971. - 126 с.

39. Сегерлинд Д. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

40. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ М.: Стройиздат, 1976. - ч. 1, 248 е., ч. 2, 237 с.

41. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. - 415 с.

42. Соболевский Г.П. Тонкостенные стержни открытого профиля, усиленные бимоментными связями // Дис. д-ра техн. наук. Тула, 1967. - 418 с.

43. Стрельбицкая А.И. Предельное состояние двутаврового профиля при стесненном кручении. 1950.

44. Стрельбицкая А.И. Предельное состояние тонкостенного двутаврого сечения при сложном сопротивлении. 1951.

45. Стрельбицкая А.И. Экспериментальное исследование кручения тонкостенных балок за пределом упругости. 1952.

46. Стрельбицкая А.И. Деформации тонкостенной консольной балки при стесненном кручении. 1952.

47. Стрельбицкая А.И. Упруго-пластическое кручение тонкостенного стержня. 1952.

48. Стрельбицкая А.И. Предельные нагрузки тонкостенных балок при совместном действии изгиба и кручения. 1954.

49. Стрельбицкая А.И. Несущая способность тонкостенных стержней при сложном сопротивлении. 1956.

50. Стрельбицкая А.И. Предельное состояние рам из тонкостенных стержней при изгибе с кручением. Киев: Наука думка, 1964. - 255 с.

51. Стрельбицкая А.И. Евсеенко Г.И. Экспериментальное исследование упруго-пластической работы тонкостенных конструкций. Киев: Наука думка, 1968.- 182 с.

52. Тимошенко С.П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки. СПб.: Известия Политехнического института, 1905. - т. IV - V.

53. Тимошенко С.П. Об устойчивости упругих систем. Киев: Известия Киевского политехнического института, 1910. - кн. 4, с. 182.

54. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: ОГИЗ, 1946. — 532 с.

55. Туснин А.Р. Численный расчет конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля. Монография. -М.: Издательство АСВ, 2009. 144 с.

56. Уманский А.А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций. М.: Оборопгиз, 1939.

57. Урбан И.В. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций. М.: Трансжелдориздат, 1955. - 190 с.

58. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. M.: ДМК, 2003.-448 с.

59. Bach-Baumann Elastizitat und Festigkeit. Berlin: VDI, 1909. - т. 53, стр. 1710.

60. Barsoum R., Gallagher R. Finite element analysis of torsional and lateral stability problems. Int. J. Num. Meth. Eng., Volume 2, Issue 3, 1970, Pages 335-352.

61. Bazant P., Nimeiri M.E. Large-deflection spatial buckling of thin-walled beams and frame // Journal of Structural Engineering, №99, 1973, Pages 1259 -1281.

62. Blandford George E. Static analysis of flexibly connected thin-walled plane frames. Computers & Structures, Volume 28, Issue 1, 1988, Pages 105-113.

63. Blandford G.E. Stability analysis of flexibly connected thin-walled space frames. Computers & Structures, Volume 53, Issue 4, 17 November 1994, Pages 839-847.

64. Bleich F. und Bleich H. Biegung, Drellung und Knickung von Staben aus dunnen Wanden, 1936.

65. Boswell L.F., Zhang S.H. A box beam finite element for the elastic analysis of thin-walled structures. Thin-Walled Structures, Volume 1, Issue 4, 1983, Pages 353-383.

66. Chang T.Y., Sawamiphakdi K. Large deformation analysis of laminated shells by ftnife element method. Computers & Structures, Volume 13, Issues 1-3, June 1981, Pages 331-340.

67. Chen Bo-Zhen, Hu Yu-Ren The torsional stiffness matrix of a thin-walled beam and its application to beams under combined loading. Computers & Structures, Volume 28, Issue 3, 1988, Pages 421-431.

68. Chen Chin-Jen, Liu Wenchin, Chern Shue-Ming Torsional analysis of shear core structures with openings. Computers & Structures, Volume 41, Issue 1, 1991, Pages 99-104.

69. Chen X., Tamma K.K. Dynamic response of elastic thin-walled structures influenced by coupling effects. Computers & Structures, Volume 51, Issue 1, 3 April 1994, Pages 91-105.

70. Chou S. M., Rhodes J. Review and compilation of experimental results on thin-walled structures. Computers & Structures, Volume 65, Issue 1, October 1997, Pages 47-67.

71. Chroscielewski Jacek, Lubowiecka Izabela, Szymczak Czeslaw, Witkowski Wojciech On some aspects of torsional buckling of thin-walled I-beam columns. Computers & Structures, Volume 84, Issues 29-30, November 2006, Pages 1946-1957.

72. Dimitrios Karamanlidis, Hilde Gesch-Karamanlidis Geometrically and materially nonlinear finite element analysis of thin-walled frames: Numerical studies. Thin-Walled Structures, Volume 4, Issue 4, 1986, Pages 247-267.

73. Dvorkin Eduardo N., Celentano Diego, Cuitino Alberto, Gioia Gustavo A Vlasov beam element. Computers & Structures, Volume 33, Issue 1, 1989, Pages 187-196.

74. Foudil Mohri, Noureddine Damil, Michel Potier Ferry Large torsion finite element model for thin-walled beams. Computers & Structures, Volume 86, Issues 7-8, April 2008, Pages 671-683.

75. Fu C. C., Hsu Y. T. The development of an improved curvilinear thin-walled Vlasov element. Computers & Structures, Volume 54, Issue 1, 3 January 1995, Pages 147-159.

76. Gallagher Richard H. Finite element analysis. Fundamentals. New Jersey: Prentice-hall, 1975.-428 c.

77. Geir A. Gunnlaugsson, P. Terndrup Pedersen A finite element formulation for beams with thin walled cross-sections. Computers & Structures, Volume 15, Issue 6, 1982, Pages 691-699.

78. Hu Yuren, Jin Xianding, Chen Bozhen A finite element model for static and dynamic analysis of thin-walled beams with asymmetric cross-sections. Computers & Structures, Volume 61, Issue 5, December 1996, Pages 897-908.

79. Jonsson Jeppe Determination of shear stresses, warping functions and section properties of thin-walled beams using finite elements. Computers & Structures, Volume 68, Issue 4, August 1998, Pages 393-410.

80. Kim T. H., Reid S. R. Bending collapse of thin-walled rectangular section columns. Computers & Structures, Volume 79, Issues 20-21, August 2001, Pages 1897-1911.

81. Larlcin L.A. Elastic-plastic analysis withNASTRAN user elements. Computers & Structures, Volume 13, Issues 1-3, June 1981, Pages 357-362.

82. Lee H. P., Harris P. J., Hsu Cheng-Tzu Thomas A nonlinear finite element computer program for thin-walled members. Thin-Walled Structures, Volume 2, Issue 4, 1984, Pages 355-376.

83. Lee Phill-Seung, McClure Ghyslaine A general three-dimensional L-section beam finite element for elastoplastic large deformation analysis. Computers & Structures, Volume 84, Issues 3-4, January 2006, Pages 215-229.

84. Leung A. Y. Dynamic stiffness for lateral buckling. Computers & Structures, Volume 42, Issue 3, 3 February 1992, Pages 321-325.

85. Le van Anh, Wielgosz Christian Finite element formulation for inflatable beams. Thin-Walled Structures, Volume 45, Issue 2, February 2007, Pages 221236.

86. Mario M. Attard Lateral buckling analysis of beams by the fem. Computers & Structures, Volume 23, Issue 2, 1986, Pages 217-231.

87. Mario M. Attard, Ian J. Somervaille Non-linear analysis of thin-walled, open beams. Computers & Structures, Volume 25, Issue 3, 1987, Pages 437-443.

88. Meek J. L., Loganathan S. Geometric and material non-linear behaviour of beam-columns. Computers & Structures, Volume 34, Issue 1, 1990, Pages 87100.

89. Meredith D., Witmer E.A. A nonlinear theory of general thin-walled beams. Computers & Structures, Volume 13, Issues 1-3, June 1981, Pages 3-9.

90. Mohri F., Azrar L., Potier-Ferry M. Lateral post-buckling analysis of thin-walled open section beams. Thin-Walled Structures, Volume 40, Issue 12, December 2002, Pages 1013-1036.

91. Mohri F., Eddinari A., Damil N., Potier Ferry M. A beam finite element for non-linear analyses of thin-walled elements. Thin-Walled Structures, Volume 46, Issues 7-9, July-September 2008, Pages 981-990

92. Moon-Young Kim, Hee-Taek Yun, Nam-Il Kim Exact dynamic and static element stiffness matrices of nonsymmetric thin-walled beam-columns. Computers & Structures, Volume 81, Issue 14, June 2003, Pages 1425-1448.

93. Ohga M., Hara T., Kawaguchi K. Buckling mode shapes of thin-walled members. Computers & Structures, Volume 54, Issue 4, 17 February 1995, Pages 767-773.

94. Ohga M., Takao H., Hara T. Natural frequencies and mode shapes of thin-walled members. Computers & Structures, Volume 55, Issue 6, 17 June 1995, Pages 971-978.

95. Papangelis J. P., Hancock G. J. Computer analysis of thin-walled structural members. Computers & Structures, Volume 56, Issue 1, 3 July 1995, Pages 157-176.

96. Pasquino M., Marotti de Sciarra F. Buckling of thin-walled beams with open and generically variable section. Computers & Structures, Volume 44, Issue 4, 3 August 1992, Pages 843-849.

97. Pastor M.M., Roure F. Open cross-section beams under pure bending. I. Experimental investigations. Thin-Walled Structures, Volume 46, Issue 5, May 2008, Pages 476-483.

98. Pastor M.M., Roure F. Open cross-section beams under pure bending II. Finite element simulation. Thin-Walled Structures, Volume 47, Issue 5, May 2009, Pages 514-521.

99. Pittaluga A. Recent developments in the theory of thin-walled beams. Computers & Structures, Volume 9, Issue 1, July 1978, Pages 69-79.

100. Prokic A. Thin-walled beams with open and closed cross-sections. Computers & Structures, Volume 47, Issue 6, 17 June 1993, Pages 1065-1070.

101. Prokic A. Computer program for determination of geometrical properties of thin-walled beams with open-closed section. Computers & Structures, Volume 74, Issue 6, 1 February 2000, Pages 705-715.

102. Prokic A. Stiffness method of thin-walled beams with closed cross-section. Computers & Structures, Volume 81, Issue 1, January 2003, Pages 39-51.

103. Przeminiecki J. Theory of matrix structural analysis. — New York: McGraw-Hill Book, 1968.

104. Rajasekaran S. Finite element analysis of thin-walled for open cross sections. Structural Engineering Report, №34, September 1971, Pages 144-160.

105. Rajasekaran S., Murray D.W. Finite element solution of inelastic beam equations. Journal of Structural Divigion, №99, 1973, Pages 1025-1041.

106. Rajasekaran S. Instability of tapered thin-walled beams of generic section. Journal of Engineering Mechanics, Volume 120, Issue 8, 1994, Pages 16301640.

107. Rand Omri Nonlinear in-plane warping deformation in elastically coupled open thin-walled beams. Computers & Structures, Volume 79, Issue 3, January 2001, Pages 281-291.

108. Ronagh Ii.R., Bradford M.A. Some notes on finite element buckling formulations for beams. Computers & Structures, Volume 52, Issue 6, 17 September 1994, Pages 1119-1126.

109. Ronagh H. R., Bradford M. A., Attard M. M. Nonlinear analysis of thin-walled members of variable cross-section. Part I: Theory. Computers & Structures, Volume 77, Issue 3, 29 June 2000, Pages 285-299.

110. Ronagh IT. R., Bradford M. A., Attard M. M. Nonlinear analysis of thin-walled members of variable cross-section. Part II: Application. Computers & Structures, Volume 77, Issue 3, 29 June 2000, Pages 301-313.

111. Sekulovic Miodrag, Pujevic Branislav Nonlinear analysis of reinforced concrete thin-walled beams and frames. Computers & Structures, Volume 32, Issues 3-4, 1989, Pages 861-870.

112. Senjanovic I., Grubisic R. Coupled horizontal and torsional vibration of a ship hull with large hatch openings. Computers & Structures, Volume 41, Issue 2, 1991, Pages 213-226.

113. Seong-Whan Park, Daiji Fujii, Yoshinobu Fujitani A finite element analysis of discontinuous thin-walled beams considering nonuniform shear warping deformation. Computers & Structures, Volume 65, Issue 1, October 1997, Pages 17-27.

114. Shakourzadeh H., Guo Y. Q., Batoz J. -L. A torsion bending element for thin-walled beams with open and closed cross sections. Computers & Structures, Volume 55, Issue 6, 17 June 1995, Pages 1045-1054.

115. Shakourzadeh H., Guo Y. Q., Batoz J. L. Modeling of connections in the analyses of thin-walled space frames. Computers & Structures, Volume 71, Issue 4, May 1999, Pages 423-433.

116. Sapountzakis E. J., Mokos V. G. Nonuniform torsion of bars of variable cross section. Computers & Structures, Volume 82, Issues 9-10, April 2004, Pages 703-715.

117. Soon Huat Tan, Leong Keey Seah Flexibly-connected thin-walled framework. Computers & Structures, Volume 55, Issue 1, 3 April 1995, Pages 133-140.

118. Soriano H.L., Haas J.W. Matrix compatibility of interface between thin-walled open-section column and beam. Computers & Structures, Volume 33, Issue 2, 1989, Pages 583-591.

119. Szymczak C. Buckling and initial post-buckling behavior of thin-walled I columns. Computers & Structures, Volume 11, Issue 6, June 1980, Pages 481487.

120. Wagner H. Verdrehung und Knickung von offenen Profilen. 1929.

121. Waldron P. Sectorial properties of straight thin-walled beams. Computers & Structures, Volume 24, Issue 1, 1986, Pages 147-156.

122. Waldron P. Equivalent beam analysis of thin-walled beam structures. Computers & Structures, Volume 26, Issue 4, 1987, Pages 609-620.

123. Wang Quanfeng, Li W. Y. Lateral buckling of thin-walled members with shear lag using spline finite member element method. Computers & Structures, Volume 75, Issue 1, 1 March 2000, Pages 81-91.

124. Waszczyszyn Z., Janus-Michalska M. Numerical approach to the "exact" finite element analysis of in-plane finite displacements of framed structures. Computers & Structures, Volume 69, Issue 4, November 1998, Pages 525-535.

125. Weber C. Ubertragugn des Drehmoments in Balken. 1926.

126. Wekezer Jerzy W. Elastic torsion of thin walled bars of variable cross sections. Computers & Structures, Volume 19, Issue 3, 1984, Pages 401-407.

127. Xiaodong Tang Shape functions of tapered beam-column elements. Computers & Structures, Volume 46, Issue 5, 3 March 1993, Pages 943-953.