Математические модели и комплекс программ для расчета качества воды в системах открытых русел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Якушева, Наталья Васильевна

• Якушева, Наталья Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Якушева, Наталья Васильевна

Введение

1. Расчет течения воды в системах открытых русел

1.1. Постановка задачи.

1.2. Разностные уравнения на комплексе

1.3. Метод решения.

1.4. Примеры расчетов.

1.4.1. Расчет тестовых задач.

1.4.2. Расчет неустановившегося движения воды для ре альных водных объектов.

2. Расчет распространения примесей в системах откры тых русел

2.1. Постановка задачи.

2.2. Разностные уравнения на комплексе

2.3. Метод решения.

2.4. Примеры расчетов

2.4.1. Расчет рассеивания стока в реке при установив шемся режиме движения воды.

2.4.2. Расчет аварийной (гипотетической) ситуации в ре ке Вилюй.

3. Численные методы решения некоторых обратных за дач гидравлики и качества воды

3.1. Идентификация коэффициента шероховатости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и комплекс программ для расчета качества воды в системах открытых русел»

Прогнозирование формирования водных ресурсов, изменений их режима и качества под влиянием антропогенной нагрузки, прогнозирование паводков, наводнений и других экстремальных явлений, оценка взаимодействия водных объектов с окружающей средой, научное обоснование комплексного использования и охраны вод остаются актуальными проблемами [33, 64].

Республика Саха (Якутия), которая относится к территории сплошного распространения вечной мерзлоты, как и вся территория Крайнего Севера, в природоохранном отношении характеризуется рядом специфических особенностей. Важнейшая из них - малая устойчивость экосистем, высокая степень их ранимости при хозяйственной деятельности [45, 59].

Народно-хозяйственное освоение богатств республики и бурные темпы развития ее производительных сил не проходит бесследно для природных комплексов. Особенно тяжелую нагрузку несут районы интенсивного природопользования, где происходит загрязнение воды, атмосферы, почв. Промышленные и коммунальные предприятия сбрасывают в речные системы сточные воды, как правило, не только без биологической, но даже без примитивной механической очистки. В результате чего многие реки Якутии загрязнены нефтепродуктами, взвешенными веществами, фенолами и другими вредными веществами. Кроме того, сточные воды, обладая сравнительно высокой температурой, способствуют оттаиванию, просадкам и размыву почвенно-грунтового комплекса.

При разработке природоохранных мероприятий и оценке антро5 погенного воздействия на природу Севера неоправданно, ошибочно, механически переносятся критерии, принятые для климатических зон средних широт. Вследствие низких температур и длительного ледостава возможности северных рек к самоочищению от загрязнения нефтепродуктами и другими вредными веществами в десятки раз ниже. Замкнутость кругооборота воды в пределах изолированного от глубинных горизонтов небольшого по толщине деятельного слоя предъявляет повышенные требования в отношении количества и состава ядохимикатов и химических удобрений, вносимых или попадающих в почву и водные объекты в районах вечной мерзлоты [45, 59].

Поэтому систематические исследования биосферы Севера Сибири, в том числе разработка специфических методов для исследования состояния и уровня загрязненности водных объектов Севера особенно актуальны.

Для рационального и эффективного использования водных ресурсов требуются достаточно детальные сведения о гидрологическом режиме водотоков (режимах изменения уровней, расходов воды) и характеристиках качества воды (концентрациях консервативных и неконсервативных примесей). В связи с большой протяженностью водотоков, необходимостью учета многих факторов в настоящее время количественные и качественные характеристики водных ресурсов можно получить практически только методами математического моделирования процессов движения воды и переноса примесей. Более чем за вековую историю исследований математическим моделям для расчета неустановившегося движения и качества воды посвящена обширная литература. Последовательный и обстоятельный обзор исследований, посвященных созданию математических моделей гидравлических и гидрологических процессов, ретроспектив6 ный обзор научного моделирования процессов переноса и трансформации примесей в водоемах и водотоках, численных алгоритмов и методов расчета как в нашей стране, так и за рубежом, дан в работах [5, б, 9, 11, 30, 39, 41, 50, 76, 79].

Одной из важнейших проблем разработки методов исследования состояния и уровня загрязненности водных объектов является совместный расчет неустановившегося движения воды и переноса примесей в сложноразветвленных системах русел. В Институте Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН разработаны теория и методы решения "одномерных эволюционных систем" [25, 26], являющиеся развитием и продолжением работ [2, 7, 12, 24, 66, 67]. Дальнейшее развитие и разработка эффективных численных методов и применение их для решения конкретных примеров динамичного учета и контроля состояния водных объектов, имеющих наибольшее прикладное значение, является актуальной задачей, которой посвящена настоящая работа.

Достоверность математического моделирования процессов движения воды и примесей в системе водотоков зависит от точности знания коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения - параметров моделей. Трудность экспериментального измерения определяющих параметров моделей вызывает необходимость решения обратных задач гидравлики и качества воды, которые позволяют по данным натурных наблюдений (например, измерениям уровней воды или концентрации примеси) восстановить коэффициенты, входящие в уравнения или граничные условия. Опыт идентификации моделей гидравлики описан в работах [13, 14, 32, 37, 38, 46, 51, 74, 84]. После идентификации математических моделей можно определять характеристики движения и переноса примесей с высокой точностью и использовать их для повышения эффективности управления вод7 ными ресурсами в водохозяйственных системах.

Основной целью работы является постановка и решение комбинаторной краевой задачи совместного расчета неустановившегося движения и качества воды, областью определения которой является одномерный клеточный комплекс (граф), постановка и решение обратных задач гидравлики и разработка комплекса программ для численного прогноза качества воды в сложноразветвленных системах русел.

В соответствии с указанной целью в настоящей работе ставились следующие задачи:

1. применить для расчета течения воды в системах открытых русел новую схему постановки краевых задач (комбинаторную краевую задачу на графе) и новый метод параметрической прогонки в соответствии с концепцией расчета "одномерных эволюционных систем" ;

2. применить аналогичную постановку задачи для совместного расчета течения и качества воды в системах водотоков, разработать эффективный численный метод для расчета распространения примесей в системах открытых русел;

3. разработать алгоритмы решения обратных задач расчета движения и качества воды (восстановление коэффициентов шероховатости дна, окисления органической примеси и массы сбрасываемой на труднодоступном участке примеси);

4. реализовать данные алгоритмы в виде комплекса компьютерных программ, провести серию примеров расчетов и сопоставить рассчитанные характеристики с экспериментальными данными или данными других авторов.

Научная новизна диссертационной работы.

1. В рамках рассматриваемой модели модифицирован числен8 ный алгоритм расчета распространения примесей в системах открытых русел, который позволяет сократить необходимый для алгоритма объем памяти ЭВМ, упростить логическую схему решения, а также допускает организацию параллельного счета.

2. Предложена модификация метода идентификации коэффициента шероховатости, позволяющая восстанавливать данный коэффициент и в случае граничных условий первого рода.

3. Разработан алгоритм восстановления коэффициента скорости окисления органических веществ.

4. Разработан численный метод восстановления граничного условия - массы сбрасываемой примеси на труднодоступном участке реки в системах открытых русел в стационарном случае (для установившегося гидравлического режима).

Практическая ценность.

1. Разработанный комплекс программ может быть использован при решении актуальных задач прогнозирования водных ресурсов, изменений их режима и качества под влиянием антропогенной нагрузки, прогнозирования паводков, наводнений и других экстремальных явлений, оперативного управления и контроля за режимом трансформации веществ в водных объектах.

2. С помощью разработанных алгоритмов решения обратных задач гидравлики могут быть определены параметры моделей в случае плохого качества наблюдений или полного отсутствия данных, что позволяет использовать более доступную и менее трудоемкую первичную информацию, в связи с этим повысить точность и качество расчетов.

3. Проведены расчеты продвижения волны паводка на участке р. Лены от п. Крестовский до г. Ленска и гипотетической аварийной ситуации на р. Вилюй в результате сброса в нее промстоков с 9 повышенным содержанием в них загрязняющих веществ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на III Международной конференции "Математические проблемы экологии" (г. Новосибирск, 1996 г.); Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов "Молодежь и наука РС(Я)" (г. Якутск, 1996 г.); II Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 1997 г.); I школе-семинаре молодых ученых и специалистов по проблемам освоения северных территорий (г. Якутск, сентябрь 1997 г.); Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (г. Красноярск, август 1999 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 печатных работ.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Во введении приводится краткое содержание диссертации, обсуждаются актуальность, цель и основные результаты работы.

В первой главе описывается математическая модель течения воды в системах открытых русел. Математическое моделирование неустановившегося плавно изменяющегося движения воды в системах открытых русел приводит к необходимости решения комбинаторной краевой задачи на графе. Постановка задачи и метод решения следуют разработанной в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН методике численного расчета неустановившихся движений водных потоков в сложноразветвленных системах русел.

Для интегрирования системы уравнений, описывающих неустановившееся движение воды в открытых руслах с учетом притока по длине реки и внешних воздействий, применяется метод конечных

10 разностей. Для того, чтобы обеспечить возможность ведения вычислений с большими шагами по времени, что очень существенно для расчетов паводков в крупных реках, когда продолжительность даже одного пика исчисляется неделями, выбрана неявная разностная схема.

Разработан комплекс прикладных программ на языке Паскаль (использовался компилятор Borland Pascal with Objects 7.0). Приводятся примеры расчетов с помощью созданной программы на персональном компьютере (CPU Intel Celeron 333, RAM DIMM 32Mb). Качество численных методов и разработанной программы проверяется на серии тестовых задач, разработанных в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева (ИГиЛ) СО РАН, и содержащих наиболее характерные особенности задания граничных условий и входных данных, а также приводятся два примера расчета неустановившегося движения воды для схематизированных реальных речных объектов - участков рек Вилюй и Лена.

Во второй главе описывается математическая модель для совместного расчета движения воды и распространения примесей в системах открытых русел в аналогичной постановке. Поскольку метод решения комбинаторной краевой задачи для гидравлических характеристик подробно описан в первой главе, здесь описываются разностные уравнения и метод решения только для задачи качества воды (при этом гидравлические характеристики потока считаются известными).

Для расчета распространения примесей в системах открытых русел разработан эффективный численный алгоритм, также основанный на идее параметрической прогонки в сочетании с итерациями. На каждом отрезке краевая задача ставится независимо, при этом в граничные условия вводятся в рассмотрение неизвестные ве

11 личины для обозначения потоков на концах отрезка. Если считать эти величины известными, краевая задача на отрезке является однозначно разрешимой. В результате преобразований выводятся зависимости, связывающие введенные величины со значениями концентрации примесей в вершинах. Используя эти зависимости, исключаем неизвестные значения потоков на концах отрезков из системы уравнений для параметров в вершинах. После того, как значения концентрации примесей в вершинах определены, на последнем этапе по однотипным формулам определяем значения концентрации примесей во внутренних точках отрезка.

Для аппроксимации уравнения переноса примеси применяются две неявные разностные схемы: с центральной и направленной разностями для аппроксимации первой производной по пространству.

Приводятся примеры расчетов с помощью разработанного комплекса программ. Описывается расчет характеристик качества при установившемся движении воды (гидравлические величины заранее известны) и совместный расчет гидравлических характеристик потока и характеристик качества воды для схематизированного реального водного объекта (расчет гипотетической аварийной ситуации на реке Вилюй).

В третьей главе рассматриваются вычислительные алгоритмы для решения:

1. коэффициентных обратных задач (идентификация коэффициента шероховатости в математической модели, описывающей неустановившееся движение воды, - по данным измерений уровней воды и идентификация коэффициента скорости окисления органического вещества в уравнении переноса примеси - по данным измерений концентрации примеси);

2. граничной обратной задачи (восстановление граничного

12 условия в математической модели расчета распределения характеристик качества воды - по данным измерений концентрации примеси).

Для первых двух задач используется экстремальный метод решения (подстановка данных натурных наблюдений в функционал, который минимизируется для поиска искомого параметра), а для третьей - прямой метод решения (прямая подстановка данных измерений в математическую модель).

Приводятся примеры расчетов, подтверждающие эффективность разработанных алгоритмов.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы и выводы, сделанные на их основании.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований №98-01-03694 (р98арк-тика).

Автор выражает глубокую благодарность к.т.н. B.C. Никифо-ровской, оказавшей большую помощь своими консультациями при выполнении работы и оформлении диссертации, а также к.ф.-м.н. М.С. Троевой, внимательно прочитавшей рукопись и сделавшей ряд ценных замечаний.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Якушева, Наталья Васильевна

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Для расчета течения воды в системах открытых русел применены постановка комбинаторной краевой задачи на графе и алгоритм, основанный на сочетании метода параметрической прогонки с итерациями в соответствии с концепцией расчета "одномерных эволюционных систем". Метод позволяет рассчитывать данный класс задач для речных русел, схематизированных графом произвольной структуры. Эффективность его заключается в том, что он не только позволяет сократить необходимый для вычислений объем памяти и упростить логическую схему решения, но и допускает организацию параллельного счета.

2. Приведена постановка комбинаторной краевой задачи для совместного расчета течения и качества воды. Разработан эффективный численный алгоритм расчета распространения примесей в системах открытых русел, также основанный на идее параметрической прогонки в сочетании с итерациями и обладающий всеми вышеперечисленными достоинствами.

3. Разработан универсальный комплекс программ модульной структуры, позволяющий получать достаточно детальную информацию о гидрологическом режиме водотоков (режимах изменения уровней, расходов воды) и характеристиках качества воды (концен

110 трациях консервативных и неконсервативных примесей) для оперативного принятия решений по рациональному и эффективному использованию водных ресурсов, контролю за качеством воды.

4. Разработаны вычислительные алгоритмы, основанные на методах параметрической прогонки, пригодные для численного решения:

- обратных коэффициентных задач (идентификации коэффициентов шероховатости и скорости окисления органического вещества, входящих в дифференциальные уравнения математических моделей);

- граничной обратной задачи (восстановление массы примеси, сбрасываемой в одной из входных вершин графа при установившемся движении воды).

Заключение

Настоящая работа посвящена исследованию неустановившегося движения воды и переноса примесей в системах открытых русел методами математического моделирования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Якушева, Наталья Васильевна, 2000 год

1. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена).- М.¡Машиностроение, 1979.- 216 с.

2. Атавин A.A. Расчет неустановившегося течения воды в разветвленных системах речных русел или каналов // В сб.: Динамика сплошной среды.- Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР, 1975.- Вып. 22.- С. 25-36.

3. Вабищевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции-диффузии // Дифференциальные уравнения.- 1994.-Т.ЗО.- №3.- С.503-513.

4. Вабищевич П.Н., Самарский А.А. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции-диффузии // ЖВМ и МФ.- 1998.-Т.38.- №2.- С.207-219.

5. Васильев О.Ф. Неустановившиеся течения в открытых руслах, каналах и трубопроводах //В сб.: Некоторые проблемы газовой динамики (динамика сплошной среды), вып. 23.- Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР, 1975.- С. 34-41.

6. Васильев О.Ф. Математическое моделирование гидравлических и гидрологических процессов в водоемах и водотоках (обзор работ, выполненных в СО РАН) // Водные ресурсы.- 1999.26, №5.- С. 600-611.112

7. Васильев О.Ф., Атавин A.A., Воеводин А. Ф. Методы расчета неустановившихся течений в системах открытых русел и каналов // В сб.: Численные методы механики сплошной среды.-Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1975.- Т.6.- №4.- С. 21-30.

8. Васильев О.Ф., Воеводин А. Ф. Математическое моделирование качества воды в системах открытых русел. // В сб.: Динамика сплошной среды.- Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР, 1975.- Вып. 22.- С. 73-88.

9. Васильев О.Ф., Ляхтер В.М. Гидравлика //В кн.: Механика в СССР за 50 лет.- Т. 2.- М.:Наука, 1970.- С. 709-190.

10. Васильев В.И., Михайлова P.C. Численное решение задач конвективной диффузии // В сб. науч. тр. ЯФ СО АН СССР "Процессы переноса в деформируемых пористых средах.- Якутск, 1980,- С. 102-110.

11. Васильев О.Ф., Шугрин С.М., Притвиц H.A., Атавин A.A., Гладышев М.Т., Воеводин А.Ф. Применение современных численных методов и цифровых ЭВМ для решения задач гидравлики открытых русел // Гидротехническое строительство.-1965.- №8.- С. 44-48.

12. Воеводин А.Ф. Метод прогонки для разностных уравнений, определенных на комплексе // Журн. выч. матем. и матем. физ.- 1973,- Т. 13.- №2.

13. Воеводин А.Ф., Никифоровскал B.C. Численный метод идентификации гидравлических параметров //В сб.: Методы МСС.-Якутск, 1977.- С. 30-40.113

14. Воеводин А.Ф., Никифоровскал B.C. Численный метод решения некоторых обратных задач гидравлики // Всесоюз. сими. "Численные методы в гидравлике", Телави, апрель 1980 г.: Тез. докл.- Л., 1980 С.29-32.

15. Воеводин А.Ф., Никифоровскал B.C. Разработка математической модели, численных методов и программ на ПЭВМ для круглогодичного и долгосрочного прогнозирования качества воды в системах открытых русел: Отчет о НИР ИГиЛ СО РАН Новосибирск, 1992.

16. Воеводин А.Ф., Никифоровскал B.C. Математическое моделирование процессов массопереноса в системах открытых водотоков // В сб.: Математические заметки ЯГУ.- Якутск, 1996. Т. 3, вып. 2.- С. 114-120.

17. Воеводин А.Ф., Никифоровскал B.C., Данилова З.В. Комплекс программ ГИДР1 для расчета гидравлических режимов в разветвленных системах открытых русел: Описание применения (3533970.00004 01 31 01).- Новосибирск, 1984.

18. Воеводин А.Ф., Никифоровскал B.C., Данилова З.В. Комплекс программ ГИДР2 для расчета гидравлических режимов в разветвленных системах открытых водотоков (Упрощенная модель): Описание применения (3533970.00005 01 31 01).- Новосибирск, 1984.

19. Воеводин А.Ф., Никифоровскал B.C., Данилова З.В. Комплекс программ ГИДРЗ для расчета гидродинамических режимов в разветвленных системах открытых русел: Описание применения (3533970.00006 01 31 01).- Новосибирск, 1984.114

20. Воеводин А.Ф., Никифоровскал B.C., Данилова З.В. Комплекс программ ГИДР1 для расчета гидравлических режимов в разветвленных системах открытых русел: Руководство программиста. Тестовые задачи (3533970.00004 01 33 02-1).- Новосибирск, 1984.

21. Воеводин А.Ф., Никифоровскал B.C., Данилова З.В. Комплекс программ ДСИГМА для расчета неустановившихся течений воды в разветвленных системах русел с учетом ее качества: Описание применения (589.3533970.00009 01 31 01).- Новосибирск, 1987.

22. Воеводин А.Ф., Никифоровскал B.C., Овчарова А.С. Численные методы решения задачи о неустановившемся движении воды в устьевых участках рек //Тр. ААНИИ, 1983. Т. 378-С. 23-34.

23. Воеводин А.Ф., Овчарова А. С. Численное решение задачи о качестве воды в открытом русловом потоке // Водные ресурсы, 1977 №4.- С. 172-178.

24. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численный расчет одномерных течений воды в системах речных русел и каналов //В сб.: Динамика сплошной среды.- Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР.- 1978.- Вып. 35.- С. 40-60.

25. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы расчета одномерных систем.- Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1981.- 208 с.115

26. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем.- Новосибирск: ВО "Наука". Сибирская издательская фирма, 1993.- 368 с.

27. Гидравлика / И.И. Агроскин, Г.Т. Дмитриев, Ф.И. Пикалов; под ред. проф. И.И. Агроскина.- 4-е изд.- М.-.Энергия, 1964352 с.

28. Гидродинамика береговой зоны и эстуариев (пер. с англ.).-Л.:Гидрометеоиздат, 1970.

29. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.:Наука, 1973.- 400 с.

30. Грушевский М.С. Волны попусков и паводков в реках.-Л.:Гидрометеоиздат, 1969.- 337 с.

31. Идентификация моделей гидравлики. / Г.Д. Бабе, Э.А. Бондарев, А.Ф. Воеводин, М.А. Каниболотский. Отв. ред. Г.В. Арцимович.- Новосибирск:Наука, 1980.- 160 с.

32. Израэлъ Ю.А. Науки о Земле на рубеже веков: науки об атмосфере и гидросфере // Метеорология и гидрология.- 1999.-№5 С.18-31.

33. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопереноса.- Киев: Наук, думка, 1982.- 368 с.116

34. Комплекс гидравлических моделей для решения рационального использования водных ресурсов // Рекламный проспект, Внеш-тогриздат, 1989.- №6120МВ.

35. Кондратюк В.Г. Кислородный баланс и реаэрация водотоков // Водные ресурсы.- 1977.- №.- С. 27-40.

36. Корень В.И., Кучмент JI.C. Определение геометрических и гидравлических характеристик речного русла путем решения обратных задач для уравнения Сен-Венана // Водные ресурсы,- 1973.- №4.- С. 83.

37. Корень В.И., Кучмент Л.С. Идентификация параметров моделей стока с распределенными параметрами // Тр. ГМЦ.- 1974.-Вып. 131.- С.З.

38. Корепанов Д. А. Моделирование гидрологических процессов за рубежом // Тр. науч. конф. по итогам н.-и. работ Map. гос. техн. ун-та, Йошкар-Ола, 19-21 апреля, 1999.- Map. гос. техн. ун-т.- Йошкар-Ола, 1999.- С. 87-92.

39. Кусатов К.И. Количественные и качественные характеристики заторов льда на реке Лене: Отчет о НИР ЯУ ГМС.-Якутск, 1974.

40. Леонов A.B. Математическое моделирование процессов биотрансформации веществ в природных водах // Водные ресурсы.- 1999.- 26, №5.- С. 624-630.

41. Мамаев О.И. Упрощенная зависимость между плотностью, температурой и соленостью морской воды.- Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1964.- №2.- С. 309-311.117

42. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.:Наука, 1980.- 536 с.

43. Математические модели контроля загрязнения воды / Дж.Ф. Эндрюс, К.Дж.С. Петри, и др.; под ред. А. Джеймса; пер. с англ. под ред. Ю.М. Свирежева.- М.:Мир, 1981.- 472 с.

44. Мочалов И.П., Родзиллер И.Д., Жук Е.Г. Очистка и обеззараживание сточных вод малых населенных мест: в условиях Крайнего Севера.- Л.:Стройиздат, Ленинградское отделение, 1991.- 160 с.

45. Никифоровскал B.C. Идентификация коэффициента ветрового напряжения. // Вопросы гидрологии Сибири.- Л., 1980.- С. 8688.

46. Павлов H.H. Численный расчет рассеивания стоков в реке // В сб.: Математические заметки ЯГУ.- Якутск, 1994.- Т. 1.-Вып. 1.- С. 149-153.

47. Павлов H.H., Якушева Н.В. Численные методы решения некоторых обратных задач гидравлики и качества воды //В сб.:Математические заметки ЯГУ.- Якутск, 1999.- Т.6.- Вып. 2.- С. 121-130.

48. Разработка методов прогнозирования качества воды водных объектов при сбросе в них сточных вод:.- Сводный научный доклад по теме 1А-2.06.- Секретариат СЭВ.- Москва, 1979.200 с.

49. Рогунович В.П. Автоматизация математического моделирования движения воды и примесей в системах водотоков.-Л.:Гидрометеоиздат, 1989.- 264 с.118

50. Романов A.B. Особенности идентификации и численного интегрирования системы уравнений Сен-Венана для русла со сложной поймой // Тр. ГМЦ 1977.- Вып. 191.- С.З.

51. Рохусаар Л.Л., Паалъ Л.Л. О продольной диффузии веществ загрязнений в малых водотоках // Доклады и сообщения по вопросам самоочищения водоемов и смешанных сточных вод: Тр. Таллин, политех, ин-та, Таллин.- 1970.-Сер. А.- Вып. 6.-№298.- С.З.

52. Саава Д.Э. О динамике численности бактерий и превращении легко окисляемых веществ в малых реках / / Водные ресурсы.-1982.- №2.- С. 144-150.

53. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем.-М.:Наука, 1971.- 552 с.

54. Самарский A.A. Теория разностных схем.- М.:Наука, 1983.616 с.

55. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии.- М.:Эдиториал УРСС, 1999.- 248 с.

56. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем.-М.-Наука, 1973.- 415 с.

57. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.:Наука, 1978.- 592 с.

58. Социально-экономические аспекты проблемы природопользования на Севере Сибири // Сб. научных трудов.- Якутск, ЯФ СО АН СССР, 1979.- 160 с.119

59. Справочник по гидравлике / Под ред. В.А. Большакова.- Киев: Вища шк., 1984.- 344 с.

60. Суходолов А.Н. О продольной дисперсии в речных потоках // Водные ресурсы 1998.- 25, №2.- С. 186-192.

61. Тихонов А.Г., Попов В.В. Разработка комплекса гидравлических моделей для решения проблем рационального использования водных ресурсов: Отчет о НИР ООП ЯНЦ СО РАН.-Якутск, 1992.

62. Хубларян М.Г. Водные потоки: модели течений и качества вод суши.- М.:Наука, 1991 192 с.

63. Хубларян М.Г. Водные проблемы на рубеже веков // Всеросс. совещ. и выезд, науч. сес. "Антропол. воздействие на природу Севера и его экологические последствия", Апатиты, 22-25 июня, 1998: Тез. докл.- Апатиты, 1998.- С. 8.

64. Чеботарев А.И. Гидрологический словарь.- Л.:Гидрометеоиз-дат, 1964.- 222 с.

65. Шугрин С.М. Численный расчет неустановившегося движения воды в системах речных русел и каналов // Изв. СО АН СССР, сер. техн. наук.- 1969.- Вып. 1- №3.- С. 25-31.

66. Шугрин С.М. Клеточные комплексы и комбинаторные краевые задачи // Численные методы МСС 1983 - Т. 14 - №1- С. 145160.

67. Шугрин С.М. Соединение одномерной и двумерной (плановой) моделей течения воды // Водные ресурсы, 1987.- №5.- С. 5-15.120

68. Якушева Н.В. Численный расчет рассеивания стоков в реке // III Международная конференция "Математические проблемы экологии" (МАПЭК-96), 2-4 июня, 1996.: Тез. докл.- Новосибирск, 1996.- С. 8.

69. Якушева Н.В. Расчет распространения примесей в системах открытых русел и каналов // В сб.: Математические заметки ЯГУ.- Якутск, 1996.- Т.З.- Вып. 2.- С. 148-154.

70. Якушева Н.В. Восстановление граничного условия для уравнения переноса примеси // Республиканская научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов "Молодежь и наука РС(Я)", Якутск, 5-6 декабря, 1996: Тез. докл.-Якутск, 1996.- С. 71-72.

71. Якушева Н.В. Совместное решение течения воды и распространения примесей в системах открытых русел //II Международная конференция по математическому моделированию, Якутск, 28 июня 2 июля, 1997: Тез. докл.- Якутск, 1997.- С. 113-114.

72. Якушева Н.В. Идентификация коэффициента шероховатости // Международная конференция "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 18-24 августа, 1999: Тез. докл.- Красноярск, 1999 С. 218-219.

73. Becker L., Yeh W. Identification of parameters in unsteady open channel flows // Water resources reseach.- 1972.- Vol.8.- №4.- P. 956-965.

74. Churchill M.A., Elmore H.L., Buckingham R.A. The Prediction of Stream Reaeration Rates // J. "Sanitary Eng.".- DIV. Am. Soc. Civil. Engrs.- July 1962.- №7.- P. 1-46.121

75. Croucher A.E., 0'Sullivan M.J. Numerical methods for contaminant transport in rivers and estuaries // Comput. and Fluids.-1998.- 27, №.- P.861-878.

76. Gotaas H.B. Effect of temperature on biochemical oxidation of sewage // Sewage Works Journal.- Vol. 20.- №5 1948.

77. Laumbach D.D. A high-accuracy finite-difference technique for treating the convection-diffusion equation // Soc. Petr. Ing. J.Dec. 1975.- P. 517-531.

78. Narasimha R. Advances in mathematical modelling and simulation // Sadhana.- 1999.- 24, №1-2.- P.l-2.

79. Negulesku M., Rojanski. Recent research to determine reaeration coefficient // Water research Vol.3.- №3.- March 1969.- P. 189203.

80. Owens M., Edward R.W., Gibbs Y. W. Some reaeration studies in streams // Intern. Jour. Air. and Water Pollution.- №8.- 1964.

81. Ryan P.Y., Harleman D.R.F. An analitycal and experimental study of transient cooling pond behavior.- R.M. Parson Lab.- Dept. of Civ. Eng.- MIL Rep. №161- January 1973.

82. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Conputational heat transfer.-Chihester: Wiley, 1995.- 1004 p.

83. Schreiber P.L., Bender P.L. Obtaining overlandflow resistance by optimization //J. Hydr. Div. Proc. ASCE.- 1972 Vol. 98.- No HY3 - P. 429.