Численное моделирование нестационарных течений и качества воды в открытых руслах: Решение прямой и обратной задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.27, кандидат физико-математических наук Семчуков, Александр Николаевич

• Семчуков, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семчуков, Александр Николаевич

Введение.

1. Расчет течения воды в реке.

1.1.Постановка задачи.

1.2.Схематизация русла и построение разностной схемы.

1.3.Численная реализация.

1.4.Расчет влияния суточного регулирования расхода Новосибирской ГЭС на режим работы водозаборов г. Новосибирска.

2. Решение прямой задачи о качестве воды в реке.

2.1. Постановка задачи.

2.2.Расчет теплового режима реки.

2.3.Численная реализация.

2.4.Пример расчета.

3. Решение обратной задачи о качестве воды в реке.

3.1.Постановка задачи.

3.2.Метод решения.

3.3.Результаты модельных расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование нестационарных течений и качества воды в открытых руслах: Решение прямой и обратной задач»

В настоящее время реки являются основным источником водоснабжения для значительной части населения России, здоровье которого существенно зависит от качества речной воды. Существующие методы ее очистки не всегда достаточно эффективны, особенно в случае непредвиденного залпового сброса загрязняющих веществ. Поэтому большое значение имеет контроль качества речной воды и, в том числе, определение интенсивности сброса загрязняющих веществ отдельными точечными источниками, представляющими наибольшую потенциальную опасность. При этом необходимо учитывать, что точки контроля, в которых производятся замеры параметров качества воды, зачастую находятся на значительном удалении от наиболее важных источников загрязнения. В этом случае, приходится решать обратную задачу, учитывающую сложный нелинейный механизм трансформации и взаимодействия различных примесей, а так же перенос примесей нестационарным потоком, массообмен с дном и атмосферой, поступление примесей с водосборного бассейна.

Методам решения обратных задач математической физики посвящена обширная литература. Обзор таких методов можно найти, например в [10, 17, 19, 20,37,66, 70].

Несмотря на всю видимую практическую важность данной обратной задачи, ей уделяется недостаточное внимание. Например, в работах [41, 59, 64] задача об определении интенсивности поступления примеси от точечного источника в реку по наблюдениям в расположенном ниже створе решается в стационарном случае, то есть в предположении постоянной интенсивности источника, постоянных во времени параметров течения и распределения примесей вдоль течения реки, в том числе в [41, 64] задача решается только для отдельной примеси, без учета ее возможного взаимодействия с другими примесями.

Наиболее близкими к данной задаче являются задачи управления качеством воды, где ставится цель регулирования интенсивности выброса загрязнения промышленными предприятиями в речной бассейн, с тем, чтобы достичь приемлемого уровня загрязнения при минимальных экономических затратах, или наоборот, минимизировать экономические затраты при сохранении приемлемого уровня загрязнения [15,44, 59, 71, 73, 79]. Стоит упомянуть также задачу об определении интенсивности поступления загрязняющих и биогенных веществ с водосборного бассейна (неточечный, или диффузный источник) по данным измерений в реке [35] и задачу об определении интенсивности поступления взвеси [85], а также задачу об идентификации местоположения источников загрязнения [81].

Решению задачи по определению интенсивности источников поступление примеси в атмосферу посвящено большое количество работ (см., напр. [30, 39, 40, 42,43]).

Во всех упомянутых работах интенсивность источника, как правило, предполагалась постоянной во времени.

Однако, предположение о постоянной интенсивности источника загрязнения неприемлемо в случае мониторинга залповых и аварийных сбросов, а предположение о почти стационарности течения в реке не приемлемо для нижних бьефов ГЭС (как показано в главе 2 данной работы), где расход воды может несколько раз многократно изменяться в течение суток при внутрисуточном регулировании выработки электроэнергии, особенно в период зимней межени, когда имеет место экономия воды в водохранилище. Расчет неустановившегося течения в нижнем бьефе ГЭС имеет также большое самостоятельное значение для оценки надежности водоснабжения, поскольку она зависит только от качества воды, но и от поддержки ее необходимого уровня в районе водозаборов. В нижних бьефах ГЭС находятся многие крупных промышленные центры с многочисленными точечными источниками загрязнения, такие как, например, Новосибирск и Красноярск.

Расчету неустановившихся течений в открытых руслах и их системах посвящена обширная литература (см., напр. [2-9, 11-14, 16, 29, 34, 36, 38, 47, 62-64, 82-84]). В частности, работы [36, 47] посвящены расчету движения волн попуска в нижних бьефах ГЭС.

Кроме того, для получения реалистичных результатов при решении обратной задачи об определении интенсивности источника, как правило, необходимо учитывать сложные нелинейные процессы взаимодействия различных примесей и их взаимной трансформации в соответствии с современным состоянием моделирования качества воды. Моделированию качества воды посвящена обширная литература, подробный и обстоятельный обзор которой можно найти, например, в работах [22, 32, 57, 59, 72, 75, 78, 80]. Модели качества воды в реках подразделяются на две основные группы: модели описывающие поведение токсичных веществ (различные химические механизмы разложения, осаждение токсиканта, сорбированного на взвеси и т.д.) и модели описывающие самоочищение реки от органического загрязнения.

В последней группе особую роль играют так называемые эвтрофи-кационные модели (eutrophication models), которые наряду с разложением органического загрязнения при потреблении растворенного кислорода и динамикой концентрации последнего описывают развитие фитопланктона и круговорот биогенных веществ. К числу наиболее распространенных и широко используемых моделей этого типа относятся модель QUAL2E

67] и се развитие WASP [65] (эвтрофикационный блок), разработанные под эгидой Американского агентства по охране окружающей среды. Фитопланктон является основным источником первичной продукции органического вещества в большинстве рек и оказывает существенное влияние не только непосредственно на концентрацию органики, но и на концентрацию растворенного кислорода, которая является одним из важнейших показателей качества воды и определяет скорость самоочищения от органического загрязнения. Учет жизнедеятельности фитопланктона также необходим для моделирования концентрации определяющих биогенных веществ (аммонийный, нитратный, нитритный азот, минеральный фосфор), относящихся к приоритетным загрязнителям. Поэтому, именно такие модели следует использовать, когда оценивается влияние поступления биогенных и органических веществ с городских очистных сооружений, промышленных предприятий, а так же их смыв с городских и сельскохозяйственных территорий.

Если моделирование поведения токсикантов к настоящему времени еще недостаточно развито, различные токсиканты зачастую рассматриваются по отдельности, без учета их взаимодействия с другими растворенными веществами и их распад описывается простыми линейными соотношениями, то упомянутые выше модели круговорота питательных веществ являются многокомпонентными и носят достаточно сложный нелинейный характер.

Необходимой основой моделирования качества воды в реках является расчет переноса примесей течением (см., напр. [4, 6, 11, 21, 61, 68, 82]).

Цель работы состоит 1. в разработке методов решения задачи по определению изменяющейся во времени интенсивности сброса загрязняющих веществ в реку точечным источником с заранее известным расположением по данным наблюдений в расположенном ниже створе с учетом биохимической трансформации вещества и непостоянства параметров течения воды и фоновых концентраций примесей; 2. в решении задачи об оценке влияния суточного регулирования расхода ГЭС на уровенный режим водозаборов, расположенных в ее нижнем бьефе.

При этом ставились следующие вспомогательные задачи: построение методов расчета неустановившегося течения воды в открытом русле произвольного сечения; построение методов расчета термического режима и качества воды в реке.

Научная и практическая новизна работы состоит в том, что задача по определению интенсивности сброса загрязняющих веществ точечным источником времени по данным наблюдений в расположенном ниже створе решена в нестационарной постановке, когда интенсивность источника ищется как функция от времени, фоновые концентрации примесей и параметры течения в реке предполагаются непостоянными.

Предлагаемый метод решения данной обратной задачи основан на использовании алгоритма чувствительности (линеаризации) [46] и нелинейной многокомпонентной модели качества воды.

Как частный случай, рассмотрено использование данного метода в случае простейшей модели качества воды, описывающей перенос примеси течением и ее разложение по экспоненциальному закону.

При этом решается вспомогательные задачи по расчету переноса и трансформации примесей в реке на основе одномерных нестационарных уравнений конвективной диффузии и многокомпонентной нелинейной модели качества воды WASP [65] (прямая задача о качестве воды) и по расчету параметров неустановившегося течения воды в открытом русле произвольной формы на основе одномерных нестационарных уравнений Сен-Венана.

Для этого разработаны новые методы расчета на основе явной двухшаговой конечно-разностной схемы Лакса-Вендрофа 2-го порядка точности по пространству и времени [45, 74] и ее модификации с дополнительными диффузионными членами. Применительно к задаче о качестве воды используемая схема является консервативной, а применительно к задаче о течении — почти консервативной. Данные методы позволяют с достаточно высокой точностью рассчитывать параметры быстро изменяющегося течения в реке, как, например, в нижнем бьефе ГЭС при суточном регулировании расхода и быстро изменяющееся распределение концентрации примесей, как, например, при залповом сбросе загрязняющих веществ точечным источником.

С помощью предложенного метода для расчета течения в реке решена практически важная задача об оценке влияния суточного регулирования расхода Новосибирской ГЭС на режим работы находящихся в ее нижнем бьефе водозаборов г. Новосибирска. Полученные при этом результаты являются новыми.

Достоверность полученных результатов. При тестировании метода решения обратной задачи применительно к модели качества воды WASP в качестве данных "наблюдений" бралось решение прямой задачи при заданной интенсивности сброса, причем наблюдалось хорошее совпадение между заданной интенсивностью сброса и интенсивностью сброса, полученной при решении обратной задачи. При решении прямой и обратной задачи использовалась одна и та же разностная схема, но хорошее совпадение имело место как в том случае, когда использовалась одинаковая разностная сетка и одинаковый шаг по времени, так и в том случае, когда для решения прямой задачи использовалась в 4 раза более густая сетка и шаг по времени, соответствующий числу Куранта 1, что уничтожало численную вязкость и делало решение прямой задачи, в силу малости диффузионных членов, достаточно близким к аналитическому.

Также данный метод решения обратной задачи был тестирован для простейшей модели качества воды, представляющей из себя линейное уравнение, описывающего перенос примеси в реке и ее распад по экспоненциальному закону. При этом в качестве данных "наблюдений" бралось аналитическое решение прямой задачи при заданной интенсивности сброса. В этом случае так же получено хорошее совпадение между заданной интенсивностью сброса и интенсивностью сброса, соответствующей решению обратной задачи.

Тестирование численного метода для расчета параметров течения производилось путем сопоставления измеренных значений уровня свободной поверхности реки Оби при постоянном расходе воды ГЭС 1300 м3/с для различных лет и профилей уровня, вычисленных с использованием натурных коэффициентов шероховатости, определенные по характеру дна для тех же лет. При этом продемонстрировано достаточно хорошее совпадение измеренных и вычисленных профилей на всем рассматриваемом отрезке русла, за исключением участка, непосредственно прилегающего к плотине ГЭС.

В дальнейших расчетах использовались коэффициенты шероховатости, подобранные (идентифицированные) из условия наименьшего отклонения вычисленных значений уровня от измеренных.

Практическая ценность работы. Данные методики для решения прямой и обратной задач о качестве воды в реках могут служить для решения практической задачи по оценке влияния сбросов загрязняющих веществ, в том числе и залповых, промышленными, коммунальными и сельскохозяйственными предприятиями на качество воды в реках с целыо принятия своевременных мер по ограничению ущерба окружающей среде и уменьшению вреда здоровью людей, а так же для решения практической задачи об определении интенсивности и общего объема этого сброса с учетом биохимической трансформации примеси в водной экосистеме и других естественных экологических процессов с целью контроля за деятельностью этих предприятий.

Методика расчета течения может быть применена для решения реальных, практически важных гидравлических задач, например, для расчета движения волны паводка. В данной работе описано ее применение для оценки влияния внутрисуточного регулирования расхода воды Новосибирской ГЭС в период зимней межени на уровенный режим работы водозаборов города Новосибирска, то есть на надежность водоснабжения горожан.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на втором, третьем и четвертом конгрессах по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 96, 98, 2000) Новосибирск, 96, 98, 2000, международной школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости, Новосибирск, 1998, международной конференции "Фундаментальные проблемы воды и водных ресурсов на рубеже третьего тысячелетия" (ФПВ - 2000), Томск, 2000, международной конференции "Экология Сибири, дальнего востока и Арктики" (ESFEA - 2001), Томск, 2001, всероссийской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии", Барнаул, 2002, на объединенном семинаре Новосибирского филиала ИВЭП СО РАН и на семинаре лаборатории обратных задач математической физики ИМ СО РАН.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Методика определения интенсивности сброса загрязняющих веществ в реку точечным источником как функции от времени по данным наблюдений в расположенном ниже створе с использованием нелинейной многокомпонентной модели качества воды 2. Результаты оценки влияния суточного регулирования расхода Новосибирской ГЭС на режим работы водозаборов г. Новосибирска.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ.

Структура диссертации. Работа состоит из введения и 3-х глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Гидрология суши, водные ресурсы, гидрохимия», Семчуков, Александр Николаевич

Заключение

Разработан численный алгоритм на основе метода чувствительности (линеаризации) для решения обратной задачи об определения интенсивности поступления примеси от точечного источника в реку как функции от времени по данным наблюдений в расположенном ниже створе. При этом не требуется стационарность гидравлического и теплового режима реки, как и постоянство фоновых концентраций примесей.

Частью данного алгоритма является численное решение прямой задачи о качестве воды в реке, то есть нестационарной задачи о переносе и трансформации примесей. Для этого разработан метод расчета на основе явной консервативной двухшаговой конечно-разностной схемы Лакса-Вендрофа 2-го порядка точности по времени и пространству.

Для правильного расчета переноса и трансформации примесей разработан метод расчета нестационарного течения реки на основе уравнений Сен-Венана и метод расчета нестационарного теплового режима реки с определением потока тепла между водой и атмосферой по методике Харлемана. Данные методы реализованы на основе упомянутой конечно-разностной схемы высокого порядка точности и интегрированы с методом для расчета переноса и трансформации примесей в единый комплекс вычислительных программ.

Так же разработаны вспомогательные численные методы для: идентификации коэффициента шероховатости как функции от пространственной переменной, расчета стационарного течения реки, сглаживания параметров русла, аппроксимации метеоданных с сохранением их среднемесячных значений, расчета внутрисуточного распределения освещенности, численной реализации различного вида граничных условий для уравнений Сен-Венана.

Упомянутый метод решения обратной задачи применен к одному линейному уравнению переноса и трансформации примеси и к модели качества воды WASP, описываемой системой нелинейных уравнений, и успешно апробирован на модельных задачах.

На основе разработанного алгоритма для расчета течения реки на примере речных водозаборов г. Новосибирска решена практически важная задача об оценке влияния суточного регулирования расхода ГЭС на режим работы находящихся в ее нижнем бьефе водозаборов. Получено, что режим работы речных водозаборов г. Новосибирска в маловодный период маловодного года в настоящее время близок к критическому.

Предложенные численные методы решения прямой и обратной задач о качестве воды в реке, а так же метод расчета неустановившегося течения воды в открытом русле могут применяться для решения практически важных задач экологического мониторинга.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семчуков, Александр Николаевич, 2004 год

1. Александров И. Я., Квон В. И., Филатова Т. Н., Жуковская О. П. Математическое моделирование ледотермического режима в водоемах при больших тепловых нагрузках // Метеорология и гидрология. -1992.-№2.-С. 73-81

2. Атавин А. А. Расчет неустановившегося течения воды в разветвленных системах речных русел или каналов // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1975. - Вып. 22. - С. 25.

3. Белолипецкий В. М., Генова С. Н., Туговиков В. Б., Шокин Ю. И. Численное моделирование задач гидроледотермики водотоков. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1989. - 135 с.

4. Васильев О. Ф. Математическое моделирование качества воды в реках и водоемах // Труды IV всесоюзного гидрологического съезда. — JL: Гидрометеоиздат, 1976. Т. 9. - С. 161.

5. Васильев О. Ф., Атавин А. А., Воеводин А. Ф. Методы расчета неустановившихся течений в системах открытых русел и каналов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1975. - Т. 6. - № 4. - С. 21.

6. Васильев О. Ф., Воеводин А. Ф. Математическое моделирование качества воды в системах открытых русел // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1975. - Вып. 22. - С. 73.

7. Васильев О. Ф., Гладышев М. Е., Судобичер В. Г. Численное решение задач о течениях с прерывными волнами в открытых руслах // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1970.-Т. 1.-№ 5.-С. 3-19.

8. Васильев О. Ф., Годунов С. К. Численный метод расчета длинных волн в открытых руслах и приложение его к задаче о паводке // ДАН -1963. Т. 151. - № 3. - С. 525-527.

9. Васильев О. Ф., Шугрин С. М., Притвиц Н. А. и др. Применение современных численных методов и цифровых ЭВМ для решения задач гидравлики открытых русел // Гидротехническое строительство. -1965.-№ 8.-С. 44.

10. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988.-550 с.

11. Воеводин А. Ф., Никифоровская В. С., Чернышева Р. Т. Об одном численном методе для расчета резкоизменяющегося течения в руслах и водотоках // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1975. - Вып. 22. - С. 89-98.

12. Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. Методы решения одномерных эволюционных систем. Новосибирск: Наука, 1993. - 230 с.

13. Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск: Наука, 1981. - 208 с.

14. Гареев А. М. Оптимизация водоохранных мероприятий в бассейне реки : Геогр.-экол. аспект. СПб.: Гидрометеоиздат, 1995. - 190 с.

15. Гиляров Н. П. Моделирование речных потоков. — JI.: Гидрометеоиз-дат, 1973.-200 с.

16. Гласко А. Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984.-111 с.

17. Дегтярев В. В., Герус Т. Н., Шумкова М. Н. К вопросу оценки гидравлических сопротивлений естественных русел // Сибирский научный вестник ННЦ РАЕН. Вып. 2. - 1998 - С. 160-165.

18. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.-206 с.

19. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1998, - 440 с.

20. Еремеенко Е. В. Моделирование переноса и трансформации веществ для управления качеством речных потоков: Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. М: ВНИИ ВОДГЕО, 1989.-50 с.

21. Иоргенсен С. Э. Управление озерными системами. М: Агропромиз-дат, 1985.- 149 с.

22. Карамышев В. Б. Монотонные схемы и их приложение в газовой динамике. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1994.

23. Квон Д. В., Квон В. И., Семчуков А. Н. Численный расчет продольно-вертикальной термической структуры Телецкого озера в годовом цикле // Вычислительные технологии. — 2000. Т. 5, № 3. - С. 29-45.

24. Коваленко В. В. Измерение и расчет характеристик неустановившихся речных потоков. JL: Гидрометеоиздат, 1984. - 160 с.

25. Крылова А. И., Рапута В. Ф., Суторихин И. А. Планирование и анализ подфакельных наблюдений концентрации примеси в атмосфере // Метеорология и гидрология. 1993. — № 5. — С. 5-13.

26. Мальцев В. С., Бавский С. П. Использование водных ресурсов Новосибирского водохранилища // Водное хозяйство России (проблемы, технологии, управление). 2000. - Т. 2. - № 4 - С. 347-356.

27. Математические модели контроля загрязнения воды. / Под. ред. Джеймса А.-М.: Мир, 1981.-471 с.

28. Материалы наблюдений по Новосибирскому водохранилищу за 1981 г. — Новосибирск: Лаборатория комплексных исследований и прогнозирования качества вод ЗапСибНИГМИ Госкомгидромета.

29. Методы расчета неустановившегося движения воды в каналах (отечественная и зарубежная литература за 1960-1973 гг.). М.: ЦБНИМ справочно-информационной литературы, 1973. - 12 с.

30. Михайлов С. А. Диффузное загрязнение водных экосистем. Методы оценки и математические модели: Аналитический обзор. — Барнаул: День, 2000.- 130 с.

31. Наумчик Л. И. Неустановившееся движение воды в нижних бьефах гидроузлов. Реферативный обзор отечественной и зарубежной литературы за 1967-1970 гг. Л.: ВНИИ им. Веденеева, 1971.

32. Обратные задачи естествознания : Учеб. пособие фак. вычислит, математики и кибернетики МГУ. / Под ред. Костомарова Д. П., Дмитриева В. И. М.: Изд-во МГУ, 1997. - 208 с.

33. Остапенко В. В. О сквозном расчете прерывных волн в открытых руслах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. - Т. 33, № 5. с. 743-752.

34. Пененко В. В., Рапута В. Ф. Планирование эксперимента в обратных задачах переноса примеси // Метеорология и гидрология. 1982. - № 8.-С. 38-46.

35. Пененко В. В., Рапута В. Ф., Быков А. В. Планирование эксперимента в задаче оценки мощности источников примеси // Известия АН СССР, ФАО. 1985. - Т.21, № 6. - С. 913-920.

36. Рапута В. Ф. Закономерности радиоактивного загрязнения долины р. Енисей // Труды Международной конференции "Математические методы в геофизике". Часть II. Новосибирск, 2003. - С. 487-491.

37. Рапута В. Ф., Крылова А. И. Обратная задача получения оценок параметров источника примеси в пограничном слое атмосферы // Метеорология и гидрология. 1995. -№ 3. - С. 49-58.

38. Рапута В. Ф., Крылова А. И., Платов Г. А. Обратная задача оценивания границ суммарного выброса в условиях нестационарного пограничного слоя атмосферы // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. - Т. 1, № 3. - С. 271-279.

39. Рикун А. Д., Черняев А. М., Ширяк И. М. Методы математического моделирования в оптимизации водохозяйственных систем промышленных регионов М.: Наука, 1991.-161 с.

40. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М: Мир, 1972.-418 с.

41. Рубан А. И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности. — Томск: Издательство ТГУ, 1975.-270 с.

42. Русинов М. И. Особенности распространения волн попусков в пойменном русле /численные эксперименты на ЭЦВМ/: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук.-Л., 1967.-19 с.

43. Семчуков А. Н., Атавин А. А., Квон В. И., Дегтярев В. В., Алексеева. Н. В. Оценка условий работы речных водозаборов в нижних бьефах ГЭС при суточном регулировании стока // Известия вузов. Строительство. 2003. - Т. 2. - С. 73-82.

44. Семчуков А. Н., Квон В. И. Определение интенсивности сброса загрязняющих веществ в реку по данным наблюдений в расположенном ниже створе // Метеорология и гидрология. 1999. — № 7. - С. 84-91.

45. Семчуков А. Н., Квон В. И. Численное моделирование некоторых обратных задач качества воды в реках // Материалы Международной научной конференции 3-7 сентября 2000 г. "Фундаментальные проблемы воды и водных ресурсов на рубеже третьего тысячелетия".

46. Томск: Томский филиал Института геологии нефти и газа СО РАН, 2000.-С. 441-445.

47. Семчуков А. Н., Квон В. И. Численное решение одной обратной задачи о качестве воды в реках // Сибирский журнал индустриальной математики.- 1999.-Т. 2, № 1. С. 151-163.

48. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. - 617 с.

49. Страшкраба М., Гнаук А. Пресноводные экосистемы. Математическое моделирование. М.: Мир, 1989. - 376 с.

50. Указания по термическому расчету водохранилищ. JL: Энергия, 1969.

51. Цхай А. А. Мониторинг и управление качеством вод речного бассейна. Модели и информационные системы. — Барнаул: Алтайское книжное издательство, 1995. 174 с.

52. Чертоусов М. Д. Специальный курс гидравлики. Л.: главная редакция строительной литературы, 1937.-484 с.

53. Шугрин С. М. Численный расчет неустановившегося движения воды в открытых руслах: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Новосибирск, 1964. — 8 с.

54. Шугрин С. М. Численный расчет неустановившегося течения воды в системе речных русел или каналов // Известия Сибирского отделения АН СССР. Серия технических наук. 1969. - Вып. 1, № 3. - С. 25-31.

55. Якушева Н. В. Математические модели и комплексы программ для расчета качества воды в системах открытых русел: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математичкских наук. Якутск: ЯГУ, 2000. - 18 с.

56. Ambrose R. D., Jr., Wool Т. A. Martin J. L., Connoly J. P., Schanz R. W. WASP5.X A Hydrodynamic and water quality model. Athens: EPA,1991.-349 p.

57. Anger G. Inverse problems in differential equations. New York: Ple-numLondon, 1990. - 255 p.

58. Brown L. C., Barnwell Т. O., Jr. The enhanced stream water quality models QUAL2E and QUAL2E-UNCAS. Athens: EPA, 1987. - 189 p.

59. Handbook of Hydrology. / ed. Maidment D. R. New York: Mc GrowHill,1992.-518 p.

60. Han T. J., Meng J. С. I. An open boundary condition for incompressible stratified flows // Journal of Computational Physics. 1983. - № 49. - P. 876-897.

61. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. New York: Springer, 1998.-284 p.

62. Ivanov P., Masliev I., Kularathna M. et. al. Decision Support system for Evaluation River basin strategies DESERT. User's Manual Barnaul: Inst. Water Environ. Problems, 1996. - 151 p.

63. Jorgensen S. E. Fundamentals of ecological modelling. Amsterdam: Elsevier, 1988-391 p.

64. Kularathna M., Somlyody L. River Basin Water Quality Management Models: A State-of-the-Art Review. Laxenburg: HAS A, WP-94-3.

65. Lax P., Wendroff B. Systems of conservation laws // Comm. Pure and Appl. Math. 1960. - Vol. 13. - P. 217-237.

66. Mathematical modeling of water quality: streams, lakes and reservoirs. / ed. Orlob G. T. Chichester: A Wiley interscience publication, 1983. -518 p.

67. Rayan R. J., Harleman D. R. F., Stolzenbach. Surface heat loss from cooling ponds // Water resources research. 1974. - Vol. 10, № 5. - P. 930938.

68. Schnoor J. L. Environmental modeling: fate and transport of pollutants in water, air and soil. New York: A Wiley interscience publication, 1996. — 684 p.

69. Somlyody L., Masliev I., Petrovic P., Kularathna M. Water Quality Management in the Nitra River Basin. Laxenburg: IIASA, CP-94-2.

70. Somlyody L., Varis O. Water Quality Modeling of Rivers and Lakes. -Laxenburg: IIASA, WP-92-41. 85 p.

71. Turner A. Diagnosis of chemical reactivity and pollution sources from particulate trace metal distributions in estuaries // Estuarine, Coast, and Shelf Sci. 1999. - Vol. 48, № 2. - P. 177-191.

72. Vasiliev O. F. Mathematical modeling of water quality in river channels and its systems. Laxenburg: IIASA, WP-79-121.

73. Vasiliev О. F. Numerical solution of the non-linear problem of unsteady flow in open channels // The 2-nd Int. Conf. Numerical Methods in Fluid Dynamics. Berlin: Springer, 1971.-Vol. 8.-P. 410.

74. Vasiliev O. F., Voevodin A. F., Atavin A. A. Numerical methods for the calculation of unsteady flow in systems of open channels and canals // Proc. Int. Symp. Unsteady Flow Open Channel. Newcasle-upon-Tyne. England, BHRA, Fluid Eng., 1976. - P. E2-15.